Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3

Transkript

1 Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz. Formuloval pět postulátů, pátý vždy budil zájem. Mnozí se ho snažili dokázat z předchozích čtyř. 5.postulát:Jestližepřímkaprotínádvěpřímkytak,ževnitřníúhlynatéžestranějsoumenšíneždvapravé úhly,paksepřímkyprotnounatéžestraně,nakteréjsouúhlymenšíneždvapravé. Po vynechání 5. postulátu vznikly nové neeuklidovské geometrie(gauss, János Bolyai, Lobačevskij,...). 1.DefiniceEuklidovskýprostor E n jeafinníprostor(x, V)dimense n,kde Vjelineárníprostorseskalárním součinem. Ze skalárního součinu je odvozena norma a metrika(vzdálenost). Vzdálenost bodů P a Q je definována jako norma(velikost) vektoru P Q. Euklidovský prostor dimense 3 jedánmnožinouxalineárnímprostorem V 3 volnýchvektorů. 2. Lineární závislost volných vektorů - volnývektor ABjelineárnězávislýprávětehdy,kdyžjenulový,tedy A=B. - vektory ABa ACjsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžbody A, B, Cležínajednépřímce(vektory AB, AC jsou kolineární). - vektory AB, AC a ADjsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžbody A, B, C, Dležívjednérovině (vektory AB, ACa ADjsoukomplementární). - každé čtyři volné vektory jsou lineárně závislé. 3.DefiniceŘekneme,žedvěuspořádanébázelineárníhoprostoru V 3 jsousouhlasněorientované,jestliže determinant matice přechodu od jedné báze k druhé(a naopak) je kladný. Řekneme, že dvě uspořádané báze lineárníhoprostoru V 3 jsounesouhlasněorientované,jestližedeterminantmaticepřechoduodjednébázek druhé(a naopak) je záporný. Relace býtsouhlasněorientovaný jerelaceekvivalence(reflexivní,symetrická,tranzitivní),kterámádvě třídy. Libovolné dvě uspořádané báze z jedné či druhé třídy jsou souhlasně orientované, když vezmeme libovolnou bázi z jedné třídy a libovolnou bázi z druhé třídy, budou orientované nesouhlasně. Orientovat lineární prostor znamená jednu třídu bazí prohlásit za kladně orientované, druhou za záporně orientované. Máme na výběr dvě možnosti, prostor lze tedy orientovat dvěma různými způsoby. K orientaci prostoru zřejmě stačí vybrat jen jednu bázi a tu prohlásit za kladně orientovanou. Báze s ní souhlasně orientované pak jsou orientované kladně, nesouhlasně orientované jsou orientované záporně. 4.DefiniceSkalárnísoučinvektorů u, v V 3 definujeme kde ϕ je úhel, který svírají vektory u a v. u v= u v cosϕ, 5. Poznámka Známe-li souřadnice vektorů u a v vzhledem k nějaké ortonormální bázi, můžeme jejich skalární součin spočítat podle vztahu u v=(u 1 v 1 )+(u 2 v 2 )+(u 3 v 3 ) (jakjsmeukázalivkapitoleoskalárnímsoučinu).ortonormálníbázivprostoru V 3 bývázvykemoznačovat ( i, j, k),považujemejizakladněorientovanou. 6. Definice Vektorovým součinem vektorů u a v nazveme vektor u v definovaný takto: 1. pokudjsouvektory ua vlineárnězávislé,je u v= o. 2. jestližejsouvektory ua vlineárněnezávislé,potom u v= w,kde

2 (a) wjekolmýkoběmavektorům ua v. (b) provelikostvektoru wplatí w = u v sin ϕ,kde ϕjeúhel,kterýsvírajívektory ua v. (c) Vektory u, va wjsoulineárněnezávislé,tvořítedybáziprostoru V 3.Báze( u, v, w)jekladně orientovaná. 7. Tvrzení(Vlastnosti vektorového součinu) 1. Prokaždédvavektory u, vzv 3 platí u v= ( v u). 2. Prokaždédvavektory u, vzv 3 akaždádvěreálnáčísla α, βplatí 3. Prokaždéčtyřivolnévektory u, v, w, zz V 3 platí (α u) (β v)=(α β) ( u v) ( u+ v) ( w+ z)=( u w)+( u z)+( v w)+( v z). 8.TvrzeníMají-livolnévektory u, vvuspořádanébázi( b 1, b 2, b 3 )souřadnice(u 1, u 2, u 3 ),resp.(v 1, v 2, v 3 ), tedy u=u 1 b1 + u 2 b2 + u 3 b3, v= v 1 b1 + v 2 b2 + v 3 b3, potom u v=(u 1 v 2 u 2 v 1 ) ( b 1 b 2 )+(u 2 v 3 u 3 v 2 ) ( b 2 b 3 )+ +(u 3 v 1 u 1 v 3 ) ( b 3 b 1 ) 9.DůsledekPokudjetatobázeortonormální,tj.( i, j, k),potom u v=(u 1 v 2 u 2 v 1 ) ( i j)+(u 2 v 3 u 3 v 2 ) ( j k)+(u 3 v 1 u 1 v 3 ) ( k i)= =(u 1 v 2 u 2 v 1 ) k+(u 2 v 3 u 3 v 2 ) i+(u 3 v 1 u 1 v 3 ) j= =(u 2 v 3 u 3 v 2 ) i (u 1 v 3 u 3 v 1 ) j+(u 1 v 2 u 2 v 1 ) k= i j k = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. Souřadnicevektoru u vvzhledemkortonormálníbázi( i, j, k)jsoutedy ( ) u 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v Definice Nechť u, v, w jsou volné vektory. Smíšeným součinem těchto vektorů nazveme číslo u ( v w). 11. Poznámka(geometrický význam smíšeného součinu) Pokud jsou vektory u, v, w lineárně závislé, je jejichsmíšenýsoučinrovennule.pokudjsoulineárněnezávislé,tvoříbáziprostoru V 3.Pokudjebáze( u, v, w) kladněorientovaná,jesmíšenýsoučinkladnýajerovenobjemurovnoběžnostěnu(vzniklého doplněním původních vektorů). Pokud je báze( u, v, w) orientovaná záporně, je smíšený součin záporné číslo, opačné k objemu zmíněného rovnoběžnostěnu. 12.TvrzeníMají-livektory u, v, wvuspořádanébázi( i, j, k)souřadnice(u 1, u 2, u 3 ),(v 1, v 2, v 3 ),(w 1, w 2, w 3 ), můžeme smíšený součin spočítat ze vztahu u 1 u 2 u 3 u ( v w)= v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 AnalytickágeometrievE 3 13.PřipomenutíVprostoru E 3 pevnězvolímebod Okterýnazvemepočátkem.Každémubodu Ajepotom jednoznačněpřiřazenjehoradius-vektor r A = OA.Je-li( b 1, b 2, b 3 )uspořádanábázeprostoru V 3,máradiusvektor r A vtétobázisouřadnice(a 1, a 2, a 3 ).Uspořádanoutrojici[a 1, a 2, a 3 ]budemepovažovatzasouřadnice bodu Avsouřadnicovémsystémuurčenémpočátkem Oabazí( b 1, b 2, b 3 ). 14.DefinicePokudjebáze( b 1, b 2, b 3 )ortogonální,nazvemesouřadnicovýsystémpravoúhlý,pokudjeortonormální, nazveme jej kartézský. 15. Připomenutí V kartézském souřadnicovém systému platí:

3 1. Nechť(u 1, u 2, u 3 )a(v 1, v 2, v 3 )jsousouřadnicevektorů ua vvzhledemkekartézskémusystémusouřadnic. Potom skalární součin u v=u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v Nechť(u 1, u 2, u 3 )jsousouřadnicevektoru uvzhledemkekartézskémusystémusouřadnic.potomnorma (velikost) vektoru u je u = u u2 2 + u Nechť[a 1, a 2, a 3 ]a[b 1, b 2, b 3 ]jsousouřadnicebodů AaBvzhledemkekartézskémusystémusouřadnic. Potom vzdálenost těchto bodů je A B = (a 1 b 1 ) 2 +(a 2 b 2 ) 2 +(a 3 b 3 ) Rovnice přímky 1. bodová-mámepevnězvolenýbod Aasměrovývektor u,potomvšechnybody Xpřímky pvyhovují rovnici X= A+t u, t R. 2. vektorová- vznikne přepsáním pro radius-vektory r X = r A + t u, t R. 3. parametrická- vznikne rozepsáním jednotlivých souřadnic x = x A + t u 1 y = y A + t u 2 z = z A + t u 3, t R kde(x, y, z)jsousouřadnicelibovolnéhobodupřímky,(x A, y A, z A )jsousouřadnicebodu Aa(u 1, u 2, u 3 ) jsou souřadnice směrového vektoru. 4. kanonickýtvar-formálnízápis, vyjádřeníparametruzparametrickérovnice x x A u 1 = y y A u 2 = z z A u 3 17.VarováníNeexistuježádná obecnárovnice přímkyvprostoru,pojemnormálynebonormálového vektoru také nemá smysl(je jich nekonečně mnoho). 18.TvrzeníVzdálenost vbodu Bodpřímky X= A+t u, t Rurčímepodlevztahu v= AB u. u 19. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujmepřímky p:x= A+t u, t Raq: Y = B+ s v, s R,kde u o v.rozeznávámenásledující případy 1. vektory u, v a AB jsoulineárněnezávislé,potomjsoupřímky paqmimoběžné.určujemejejich vzdálenost,kterájevlastněvýškouv doplněném rovnoběžnostěnu,tedy v= AB ( u v u v 2. vektory u, va ABjsoulineárnězávislé,potomležípřímkyvrovině. (a)pokudjsouvektory ua vlineárněnezávislé,jsoupřímky paqrůznoběžné.můžemeurčitjejich průsečík a úhel(ten ostrý), který svírají. Úhel určíme ze vztahu pro skalární součin u v= u v cosϕ, tedy ϕ=arccos u v u v

4 (b) pokud jsou vektory u a v lineárně závislé, jsou přímky rovnoběžné nebo totožné(splývají). Můžeme určit jejich vzdálenost např. jako vzdálenost bodu B od přímky p. Pokud je vzdálenost nulová, jsou přímky totožné. 20. Rovnice roviny 1. bodová-pevnězvolenýbod Aadvasměrovévektory ua v.všechnybody Xroviny potomvyhovují rovnici X= A+t u+s v, t, s R. 2. vektorová- přepíšeme pro radius-vektory r X = r A + t u+s v, t, s R. 3. parametrická- opět rozepíšeme po jdnotlivých souřadnicích x = x A + t u 1 + s v 1 y = y A + t u 2 + s v 2 z = z A + t u 3 + s v 3, t, s R kde(x, y, z)jsousouřadnicelibovolnéhobodupřímky,(x A, y A, z A )jsousouřadnicebodu Aa(u 1, u 2, u 3 ), (v 1, v 2, v 3 )jsousouřadnicesměrovýchvektorů. 4. obecná rovnice ax+by+ cz+ d=0 vektor(a, b, c) nazýváme normálový vektor roviny. 21.TvrzeníVzdálenost vbodu A=[x A, y A, z A ]odroviny :ax+by+ cz+ d=0spočítámepodlevztahu v= ax A+ by A + cz A + d a2 + b 2 + c 2. 22: Vzájemná poloha přímky a roviny Uvažujmerovinu :ax+by+cz+d=0,jejínormálovývektoroznačme n,apřímku p:x= A+t u, t R, Rozeznáváme následující případy 1. pokudvektor n neníkolmýnavektor u,jepřímkarůznoběžnásrovinou.můžemeurčitprůsečíka úhel, který svírá přímka s rovinou podle vztahu ϕ=arcsin u n u n. 2. pokudjsoutytovektorynasebekolmé,jepřímkarovnoběžnásrovinou,případněvníleží.můžeme spčítat vzdálenost přímky od roviny např. jako vzdálenost bodu A od roviny. Pokud je vzdálenost rovna nule, přímka leží v rovině. 23. Vzájemná poloha dvou rovin Uvažujmeroviny :a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0aσ: a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0.Rozeznávámenásledujícípřípady 1. pokudjsoujejichnormálovévektory n a n σ lineárněnezávislé,jsourovinyrůznoběžné.můžemeurčit jejich průsečnici a úhel, pod kterým se protínají. Je stejný jako úhel, který svírají jejich normálové vektory, tedy ϕ=arccos n σ n n σ n. 2. pokud jsou jejich normálové vektory lineárně závislé, jsou roviny rovnoběžné nebo totožné(splývají). Můžeme určit vzdálenost rovin. Obecné rovnice obou rovin lze vynásobit vhodnými reálnými čísly tak, žeplatí :ax+by+ cz+ d =0a :ax+by+ cz+ d σ = 0.Vzdálenost vrovinurčímepodlevztahu Pokud je vzdálenost rovna nule, roviny splývají. v= d d σ a2 + b 2 + c 2.

5 Euklidovskýprostor E n 24. Připomenutí Nadrovina v afinním prostoru(zobecněná rovina) je zadána bodem, který v ní leží, a bazí (směrovými vektory). Může být také zadána soustavou lineárních rovnic, souřadnice jejích bodů pak tvoří množinu všech řešení této soustavy. Tyto dva popisy lze převádět jeden na druhý. 25. Průsečíky nadrovin Dvě nadroviny se mohou protínat, průsečík může být jeden(bod- např. průsečík dvou přímek) nebo jich je nekonečně mnoho a tvoří nějakou nadrovinu. Při hledání vlastně řešíme soustavu rovnic, která vznikne tak, že spojíme obě soustavy, které určují ty nadroviny. 26.TvrzeníKolmiceknadrovině X= A+W procházejícíbodem Bjeopětnadrovina,kterájeurčená bodem BaortogonálnímdoplňkemkW,tedyjetonadrovina Y = B+ W. 27.PřipomenutíVrovině E 2 jesměrovývektorkolmicekpřímcesesměrovýmvektorem(u 1, u 2 )roven ( u 2, u 1 ). Vprostoru E 3 můžemevyužítvektorovýsoučin. 28.DefiniceNechť X= A+Wjenadrovinav E n, Bjebodležícímimotutonadrovinu.Bod B nadroviny nazvemekolmýprůmětbodubdonadroviny X= A+W,jestližepřímkaurčenábody Ba B jekolmák této nadrovině. 28. Konstrukce 1. Zknstruujemekolmiciknadrovině X= A+W,kteráprocházíbodem B,průsečíkemobounadrovin jebod B. 2. Můžeme také využít skalární součin. Fourierovy koeficienty jsou vlastně kolmými průměty vektorů na vektorynormovanébáze.nechť B = { b 1, b 2,..., b k }jenějakábázepodprostoru W,položme α i = (B A) b i.potom b i k B = A+ α i bi. i=1 29.KonstrukceHledámekolmýprůmětnadroviny X= A+W = A+ b 1, b 2,..., b k donadroviny Y = B+ V = B+ u 1, u 2,..., u m,kde k < m. 1. Najdeme V = v 1, v 2,..., v n k 2. Najdemenejmenšímadrovinu,kteráobsahujenadrovinu X= A+Wisměrkolmýna Y = B+ V.Je tonadrovina Z= B+ b 1, b 2,..., b k, v 1, v 2,..., v n k =Z+ U. 3. Hledanýprůmětjeprůnikemnadrovin Y = B+ V a Z= B+ U. 30.VE n uvažujmerovnoběžnostěnaoznačme v 1, v 2,..., v n vektory,kterétvoříhranyvycházejícíztéhož vrcholu. Zapíšeme-li do sloupců matice souřadnice těchto vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bázi, pak absolutní hodnota determinantu této matice je rovna objemu rovnoběžnostěnu.