Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
|
|
- Kryštof Liška
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz. Formuloval pět postulátů, pátý vždy budil zájem. Mnozí se ho snažili dokázat z předchozích čtyř. 5.postulát:Jestližepřímkaprotínádvěpřímkytak,ževnitřníúhlynatéžestranějsoumenšíneždvapravé úhly,paksepřímkyprotnounatéžestraně,nakteréjsouúhlymenšíneždvapravé. Po vynechání 5. postulátu vznikly nové neeuklidovské geometrie(gauss, János Bolyai, Lobačevskij,...). 1.DefiniceEuklidovskýprostor E n jeafinníprostor(x, V)dimense n,kde Vjelineárníprostorseskalárním součinem. Ze skalárního součinu je odvozena norma a metrika(vzdálenost). Vzdálenost bodů P a Q je definována jako norma(velikost) vektoru P Q. Euklidovský prostor dimense 3 jedánmnožinouxalineárnímprostorem V 3 volnýchvektorů. 2. Lineární závislost volných vektorů - volnývektor ABjelineárnězávislýprávětehdy,kdyžjenulový,tedy A=B. - vektory ABa ACjsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžbody A, B, Cležínajednépřímce(vektory AB, AC jsou kolineární). - vektory AB, AC a ADjsoulineárnězávisléprávětehdy,kdyžbody A, B, C, Dležívjednérovině (vektory AB, ACa ADjsoukomplementární). - každé čtyři volné vektory jsou lineárně závislé. 3.DefiniceŘekneme,žedvěuspořádanébázelineárníhoprostoru V 3 jsousouhlasněorientované,jestliže determinant matice přechodu od jedné báze k druhé(a naopak) je kladný. Řekneme, že dvě uspořádané báze lineárníhoprostoru V 3 jsounesouhlasněorientované,jestližedeterminantmaticepřechoduodjednébázek druhé(a naopak) je záporný. Relace býtsouhlasněorientovaný jerelaceekvivalence(reflexivní,symetrická,tranzitivní),kterámádvě třídy. Libovolné dvě uspořádané báze z jedné či druhé třídy jsou souhlasně orientované, když vezmeme libovolnou bázi z jedné třídy a libovolnou bázi z druhé třídy, budou orientované nesouhlasně. Orientovat lineární prostor znamená jednu třídu bazí prohlásit za kladně orientované, druhou za záporně orientované. Máme na výběr dvě možnosti, prostor lze tedy orientovat dvěma různými způsoby. K orientaci prostoru zřejmě stačí vybrat jen jednu bázi a tu prohlásit za kladně orientovanou. Báze s ní souhlasně orientované pak jsou orientované kladně, nesouhlasně orientované jsou orientované záporně. 4.DefiniceSkalárnísoučinvektorů u, v V 3 definujeme kde ϕ je úhel, který svírají vektory u a v. u v= u v cosϕ, 5. Poznámka Známe-li souřadnice vektorů u a v vzhledem k nějaké ortonormální bázi, můžeme jejich skalární součin spočítat podle vztahu u v=(u 1 v 1 )+(u 2 v 2 )+(u 3 v 3 ) (jakjsmeukázalivkapitoleoskalárnímsoučinu).ortonormálníbázivprostoru V 3 bývázvykemoznačovat ( i, j, k),považujemejizakladněorientovanou. 6. Definice Vektorovým součinem vektorů u a v nazveme vektor u v definovaný takto: 1. pokudjsouvektory ua vlineárnězávislé,je u v= o. 2. jestližejsouvektory ua vlineárněnezávislé,potom u v= w,kde
2 (a) wjekolmýkoběmavektorům ua v. (b) provelikostvektoru wplatí w = u v sin ϕ,kde ϕjeúhel,kterýsvírajívektory ua v. (c) Vektory u, va wjsoulineárněnezávislé,tvořítedybáziprostoru V 3.Báze( u, v, w)jekladně orientovaná. 7. Tvrzení(Vlastnosti vektorového součinu) 1. Prokaždédvavektory u, vzv 3 platí u v= ( v u). 2. Prokaždédvavektory u, vzv 3 akaždádvěreálnáčísla α, βplatí 3. Prokaždéčtyřivolnévektory u, v, w, zz V 3 platí (α u) (β v)=(α β) ( u v) ( u+ v) ( w+ z)=( u w)+( u z)+( v w)+( v z). 8.TvrzeníMají-livolnévektory u, vvuspořádanébázi( b 1, b 2, b 3 )souřadnice(u 1, u 2, u 3 ),resp.(v 1, v 2, v 3 ), tedy u=u 1 b1 + u 2 b2 + u 3 b3, v= v 1 b1 + v 2 b2 + v 3 b3, potom u v=(u 1 v 2 u 2 v 1 ) ( b 1 b 2 )+(u 2 v 3 u 3 v 2 ) ( b 2 b 3 )+ +(u 3 v 1 u 1 v 3 ) ( b 3 b 1 ) 9.DůsledekPokudjetatobázeortonormální,tj.( i, j, k),potom u v=(u 1 v 2 u 2 v 1 ) ( i j)+(u 2 v 3 u 3 v 2 ) ( j k)+(u 3 v 1 u 1 v 3 ) ( k i)= =(u 1 v 2 u 2 v 1 ) k+(u 2 v 3 u 3 v 2 ) i+(u 3 v 1 u 1 v 3 ) j= =(u 2 v 3 u 3 v 2 ) i (u 1 v 3 u 3 v 1 ) j+(u 1 v 2 u 2 v 1 ) k= i j k = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. Souřadnicevektoru u vvzhledemkortonormálníbázi( i, j, k)jsoutedy ( ) u 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v Definice Nechť u, v, w jsou volné vektory. Smíšeným součinem těchto vektorů nazveme číslo u ( v w). 11. Poznámka(geometrický význam smíšeného součinu) Pokud jsou vektory u, v, w lineárně závislé, je jejichsmíšenýsoučinrovennule.pokudjsoulineárněnezávislé,tvoříbáziprostoru V 3.Pokudjebáze( u, v, w) kladněorientovaná,jesmíšenýsoučinkladnýajerovenobjemurovnoběžnostěnu(vzniklého doplněním původních vektorů). Pokud je báze( u, v, w) orientovaná záporně, je smíšený součin záporné číslo, opačné k objemu zmíněného rovnoběžnostěnu. 12.TvrzeníMají-livektory u, v, wvuspořádanébázi( i, j, k)souřadnice(u 1, u 2, u 3 ),(v 1, v 2, v 3 ),(w 1, w 2, w 3 ), můžeme smíšený součin spočítat ze vztahu u 1 u 2 u 3 u ( v w)= v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 AnalytickágeometrievE 3 13.PřipomenutíVprostoru E 3 pevnězvolímebod Okterýnazvemepočátkem.Každémubodu Ajepotom jednoznačněpřiřazenjehoradius-vektor r A = OA.Je-li( b 1, b 2, b 3 )uspořádanábázeprostoru V 3,máradiusvektor r A vtétobázisouřadnice(a 1, a 2, a 3 ).Uspořádanoutrojici[a 1, a 2, a 3 ]budemepovažovatzasouřadnice bodu Avsouřadnicovémsystémuurčenémpočátkem Oabazí( b 1, b 2, b 3 ). 14.DefinicePokudjebáze( b 1, b 2, b 3 )ortogonální,nazvemesouřadnicovýsystémpravoúhlý,pokudjeortonormální, nazveme jej kartézský. 15. Připomenutí V kartézském souřadnicovém systému platí:
3 1. Nechť(u 1, u 2, u 3 )a(v 1, v 2, v 3 )jsousouřadnicevektorů ua vvzhledemkekartézskémusystémusouřadnic. Potom skalární součin u v=u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v Nechť(u 1, u 2, u 3 )jsousouřadnicevektoru uvzhledemkekartézskémusystémusouřadnic.potomnorma (velikost) vektoru u je u = u u2 2 + u Nechť[a 1, a 2, a 3 ]a[b 1, b 2, b 3 ]jsousouřadnicebodů AaBvzhledemkekartézskémusystémusouřadnic. Potom vzdálenost těchto bodů je A B = (a 1 b 1 ) 2 +(a 2 b 2 ) 2 +(a 3 b 3 ) Rovnice přímky 1. bodová-mámepevnězvolenýbod Aasměrovývektor u,potomvšechnybody Xpřímky pvyhovují rovnici X= A+t u, t R. 2. vektorová- vznikne přepsáním pro radius-vektory r X = r A + t u, t R. 3. parametrická- vznikne rozepsáním jednotlivých souřadnic x = x A + t u 1 y = y A + t u 2 z = z A + t u 3, t R kde(x, y, z)jsousouřadnicelibovolnéhobodupřímky,(x A, y A, z A )jsousouřadnicebodu Aa(u 1, u 2, u 3 ) jsou souřadnice směrového vektoru. 4. kanonickýtvar-formálnízápis, vyjádřeníparametruzparametrickérovnice x x A u 1 = y y A u 2 = z z A u 3 17.VarováníNeexistuježádná obecnárovnice přímkyvprostoru,pojemnormálynebonormálového vektoru také nemá smysl(je jich nekonečně mnoho). 18.TvrzeníVzdálenost vbodu Bodpřímky X= A+t u, t Rurčímepodlevztahu v= AB u. u 19. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujmepřímky p:x= A+t u, t Raq: Y = B+ s v, s R,kde u o v.rozeznávámenásledující případy 1. vektory u, v a AB jsoulineárněnezávislé,potomjsoupřímky paqmimoběžné.určujemejejich vzdálenost,kterájevlastněvýškouv doplněném rovnoběžnostěnu,tedy v= AB ( u v u v 2. vektory u, va ABjsoulineárnězávislé,potomležípřímkyvrovině. (a)pokudjsouvektory ua vlineárněnezávislé,jsoupřímky paqrůznoběžné.můžemeurčitjejich průsečík a úhel(ten ostrý), který svírají. Úhel určíme ze vztahu pro skalární součin u v= u v cosϕ, tedy ϕ=arccos u v u v
4 (b) pokud jsou vektory u a v lineárně závislé, jsou přímky rovnoběžné nebo totožné(splývají). Můžeme určit jejich vzdálenost např. jako vzdálenost bodu B od přímky p. Pokud je vzdálenost nulová, jsou přímky totožné. 20. Rovnice roviny 1. bodová-pevnězvolenýbod Aadvasměrovévektory ua v.všechnybody Xroviny potomvyhovují rovnici X= A+t u+s v, t, s R. 2. vektorová- přepíšeme pro radius-vektory r X = r A + t u+s v, t, s R. 3. parametrická- opět rozepíšeme po jdnotlivých souřadnicích x = x A + t u 1 + s v 1 y = y A + t u 2 + s v 2 z = z A + t u 3 + s v 3, t, s R kde(x, y, z)jsousouřadnicelibovolnéhobodupřímky,(x A, y A, z A )jsousouřadnicebodu Aa(u 1, u 2, u 3 ), (v 1, v 2, v 3 )jsousouřadnicesměrovýchvektorů. 4. obecná rovnice ax+by+ cz+ d=0 vektor(a, b, c) nazýváme normálový vektor roviny. 21.TvrzeníVzdálenost vbodu A=[x A, y A, z A ]odroviny :ax+by+ cz+ d=0spočítámepodlevztahu v= ax A+ by A + cz A + d a2 + b 2 + c 2. 22: Vzájemná poloha přímky a roviny Uvažujmerovinu :ax+by+cz+d=0,jejínormálovývektoroznačme n,apřímku p:x= A+t u, t R, Rozeznáváme následující případy 1. pokudvektor n neníkolmýnavektor u,jepřímkarůznoběžnásrovinou.můžemeurčitprůsečíka úhel, který svírá přímka s rovinou podle vztahu ϕ=arcsin u n u n. 2. pokudjsoutytovektorynasebekolmé,jepřímkarovnoběžnásrovinou,případněvníleží.můžeme spčítat vzdálenost přímky od roviny např. jako vzdálenost bodu A od roviny. Pokud je vzdálenost rovna nule, přímka leží v rovině. 23. Vzájemná poloha dvou rovin Uvažujmeroviny :a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0aσ: a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0.Rozeznávámenásledujícípřípady 1. pokudjsoujejichnormálovévektory n a n σ lineárněnezávislé,jsourovinyrůznoběžné.můžemeurčit jejich průsečnici a úhel, pod kterým se protínají. Je stejný jako úhel, který svírají jejich normálové vektory, tedy ϕ=arccos n σ n n σ n. 2. pokud jsou jejich normálové vektory lineárně závislé, jsou roviny rovnoběžné nebo totožné(splývají). Můžeme určit vzdálenost rovin. Obecné rovnice obou rovin lze vynásobit vhodnými reálnými čísly tak, žeplatí :ax+by+ cz+ d =0a :ax+by+ cz+ d σ = 0.Vzdálenost vrovinurčímepodlevztahu Pokud je vzdálenost rovna nule, roviny splývají. v= d d σ a2 + b 2 + c 2.
5 Euklidovskýprostor E n 24. Připomenutí Nadrovina v afinním prostoru(zobecněná rovina) je zadána bodem, který v ní leží, a bazí (směrovými vektory). Může být také zadána soustavou lineárních rovnic, souřadnice jejích bodů pak tvoří množinu všech řešení této soustavy. Tyto dva popisy lze převádět jeden na druhý. 25. Průsečíky nadrovin Dvě nadroviny se mohou protínat, průsečík může být jeden(bod- např. průsečík dvou přímek) nebo jich je nekonečně mnoho a tvoří nějakou nadrovinu. Při hledání vlastně řešíme soustavu rovnic, která vznikne tak, že spojíme obě soustavy, které určují ty nadroviny. 26.TvrzeníKolmiceknadrovině X= A+W procházejícíbodem Bjeopětnadrovina,kterájeurčená bodem BaortogonálnímdoplňkemkW,tedyjetonadrovina Y = B+ W. 27.PřipomenutíVrovině E 2 jesměrovývektorkolmicekpřímcesesměrovýmvektorem(u 1, u 2 )roven ( u 2, u 1 ). Vprostoru E 3 můžemevyužítvektorovýsoučin. 28.DefiniceNechť X= A+Wjenadrovinav E n, Bjebodležícímimotutonadrovinu.Bod B nadroviny nazvemekolmýprůmětbodubdonadroviny X= A+W,jestližepřímkaurčenábody Ba B jekolmák této nadrovině. 28. Konstrukce 1. Zknstruujemekolmiciknadrovině X= A+W,kteráprocházíbodem B,průsečíkemobounadrovin jebod B. 2. Můžeme také využít skalární součin. Fourierovy koeficienty jsou vlastně kolmými průměty vektorů na vektorynormovanébáze.nechť B = { b 1, b 2,..., b k }jenějakábázepodprostoru W,položme α i = (B A) b i.potom b i k B = A+ α i bi. i=1 29.KonstrukceHledámekolmýprůmětnadroviny X= A+W = A+ b 1, b 2,..., b k donadroviny Y = B+ V = B+ u 1, u 2,..., u m,kde k < m. 1. Najdeme V = v 1, v 2,..., v n k 2. Najdemenejmenšímadrovinu,kteráobsahujenadrovinu X= A+Wisměrkolmýna Y = B+ V.Je tonadrovina Z= B+ b 1, b 2,..., b k, v 1, v 2,..., v n k =Z+ U. 3. Hledanýprůmětjeprůnikemnadrovin Y = B+ V a Z= B+ U. 30.VE n uvažujmerovnoběžnostěnaoznačme v 1, v 2,..., v n vektory,kterétvoříhranyvycházejícíztéhož vrcholu. Zapíšeme-li do sloupců matice souřadnice těchto vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bázi, pak absolutní hodnota determinantu této matice je rovna objemu rovnoběžnostěnu.
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceEuklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceAB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceVEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Vícen tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně přímky k je méně než dva pravé úhly, pak se přímky m, straně protínají.
Přednáška 5: Analytická geometrie v prostoru Geometrie stejně jako aritmetika stojí na několika málo základních principech. Díky tomu mohl již kolem roku 00 př. n. l. Eukleides napsat Základy 1, první
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Více7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
Více( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
Více3. Analytická geometrie
3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů
VíceEuklidovský prostor. Parametrické rovnice roviny. Obecná rovnice roviny. . p.1/25
n 3 GeometrievÊ zvláštěvê Euklidovský prostor n Ê Norma, úhel vektorů, skalární a vektorový součin Parametrické rovnice přímky Parametrické rovnice roviny Obecná rovnice roviny. p.1/25 Euklidovskýprostor
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceAnalytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceDá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceZákladní vlastnosti eukleidovského prostoru
Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceAnalytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceGeometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
VíceKolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
VíceGeometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Víces p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceM - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
Více