Mathematical Assistant on Web

Transkript

1 Mathematical Assistant on Web Robert Mařík Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně

2 Mathematical Asistant on Web MAW) Jak se rodila myšlenka na vytvoření aplikace Vláda ČR a EU podporují celoživotní vzdělávání překlad: na univerzitu přicházejí čtyřicátníci se značně pohaslými znalostmi středoškolské matematiky) Vláda ČR a EU požadují větší procento vysokoškolsky vzdělaných lidí překlad: univerzitu zkouší vystudovat ne nejvzdělanějších 15 % populace, ale 4%) Vysokoškolské vzdělávání je vícestupňové překlad: po derivacích a integrálech na baklářském stupni si studenti od matematiky dva roky odpočinou a teprve poté pokračují na magisterském stupni parciálními derivacemi, diferenciálními rovnicemi a dvojným integrálem) Studenti se často učí matematiku pomocí sbírek matematických úloh překlad: čtením řešených příkladů a následným napodobováním)

3 MAW výpočty snadno a rychle 3 Systém je určen jako podpora slabším studentům, matematickým začátečníkům, kteří jsou nejistí v praktickém počítání Z pohledu uživatele jde o webové formuláře šité na míru klasickým úloham základního kurzu matematiky Student do formuláře zadá svůj problém a obdrží zpracovaný výsledek, včetně rozepsaného postupu řešení

4 První dojmy 4 Vstupní formuláře mají všechny podobnou strukturu a obsahují předdefinované ukázkové příklady a historii.

5 January 18, 9 8:5 Mathematical Assistant on Web, January 18, 9 8: Mathematical Assistant on Web, Derivace a Lagrangeův polynom 5 Derivace Interpolace pomocí Lagrangeova polynomu Zadání 1 : Derivujte funkci y = x 3 e x označení: ) = d dx y = x 3 e x) Derivace součinu: x 3 e x) = x 3 e x) + e x x 3) y = x 3 e x) + e x x 3) Derivace mocninné funkce: x) 3) = 3 x Derivace exponenciální funkce: e x) = e x x ) y = x 3 e x x ) + 3 x e x Derivace mocninné funkce: x) ) = x y = x 4 e x + 3 x e x Pokusíme se třemi různými způsoby automaticky upravit vypočtenou derivaci, Všechny varianty jsou ekvivalentní matematické výrazy, vyberte si proto tu úpravu, která působí opticky nejpřijatelněji může se stát, že jsou některé tvary výsledku po úpravách stejné, v tom případě se snažíme ty co se opakují vynechat a nemusí tu proto být uvedeny všechny tři úpravy). Úprava 1: y = x x + 3 ) e x Pro zadané body hledáme polynom, co nejmenšího stupně, který prochází všemi těmito body. i 1 xi 1 3 yi 3 1 Protože je zadáno 3 bodů, bude stupeň polynom nejvýše. Pomocí y-ových souřadnic sestavíme tvar Lagrangeova polynomu. Lx) = lx) + 3l1x) + lx) Pomocí x-ových souřadnic sestavíme a upravíme pomocné Lagrangeovy polynomy. x ) x 3) lx) = 1 ) 1 3) = x 5x + 6 = 1 x 5 x + 3 l1x) = lx) = x 1) x 3) 1) 3) = x 4x x 1) x ) 3 1) 3 ) = x 3x + = x + 4x 3 = 1 x 3 x + 1 Dosadíme pomocné Lagrangeovy polynomy a sečteme členy se stejnou mocninou výsledek je uveden v rámečku). 1 Lx) = x 5 ) x x + 4x 3 ) 1 + x 3 ) x + 1 = 3 x + 11 x Úprava : y = x x ) e x Úprava 3: y = x 4 e x + 3 x e x 1 Pokud se zadaná funkce neshoduje s funkcí, která je uvedena na začátku řetězce derivování, znamená to, že došlo k automatickým úpravám vedoucím k přepsání zadané funkce do ekvivalentního, ale jednoduššího tvaru.

6 January 18, 9 9:4 Mathematical Assistant on Web, January 18, 9 9:4 Mathematical Assistant on Web, Průběh funkce 6 Průběh funkce programem Maxima Graf 1 Vyšetřujeme průběh funkce y = x3 x 1 Výpočet je zpravidla rozdělen na dvě strany. Na první straně jsou výpočty derivací, na druhé straně graf. 5 Podmínka na body nespojitosti: x 1 = Body nespojitosti: x1 = 1 x 3 Podmínka na průsečík s osou x: x 1 = Průsečíky s osou x: x1 = Funkce není ani sudá ani lichá [ ] x Výpočet y 3 : = 3x x 1) x 3 x 1 x 1) = x3 3x x 1) = x x 3) x 1) První derivace: y = x x 3) x 1) Podmínka pro stacionární body: x x 3) = Stacionární body: x1 = 3, x = -5-1 [ ] x Výpočet y 3 3x : x 1) = 6x 6x) x 1) x 3 3x ) x 1) x 1) 4 = ) ) x 1 6x 6x) x 1) x 3 3x ) = x 1) 4 = = 6x 6x) x 1) x 3 3x ) x 1) 3 = x3 6x + 6x x 1) 3 = x x 3x + 3) x 1) 3 Druhá derivace: y = x x 3x + 3) x 1) 3 Podmínka pro stacionární body: x x 3x + 3 ) = Kritické body: x1 = Funkce nemá asymptotu v ±.

7 January 18, 9 8:5 Mathematical Assistant on Web, January 18, 9 8:5 Mathematical Assistant on Web, Diferenciální rovnice druhého řádu 7 Řešíme nehomogenní rovnici Lineární diferenciální rovnice druhého řádu y + y + y = x 1) 1. Vyřešíme nejprve asociovanou homogenní rovnici y + y + y = Charakteristická rovnice: λ + λ + 1 = Kořeny: λ1, = ) ± ) 4 1) = ± = 1 Charakteristický polynom má jeden dvojnásobný kořen. Dvě lineárně nezávislá řešení jsou y1 = e x a y = xe x. Obecné řešení asociované homogenní rovnice je y = C1e x + Cxe x.. Hledáme partikulární řešení nehomogenní rovnice. Pravá strana rovnice je polynom P x) = x, stupeň tohoto polynomu je. Číslo není kořenem charakteristického polynomu a partikulární řešení je tvaru y = ax + bx + c). a. Přípravné výpočty musíme najít derivace a dosadit tyto derivace do zadané rovnice): y =ax + bx + c ) y =ax + b y =a b. Dosazení do rovnice dosadíme do 1)) a) + ax + b) + ax + bx + c) }{{}}{{}}{{} y y y and add like powers of x ax + bx + 4ax + c + b + a = x = x and collect the coefficients at the powers of x ax + b + 4a) x + c + b + a = x c. Vypočítáme neurčité koeficienty Porovnáním koeficientů získáváme od nejvyšší mocniny) a = 1 b + 4a = c + b + a = Řešíme nehomogenní rovnici y + y + y = x 1. Asociovaná homogenní rovnice je y + y + y = Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Charakteristický polynom je λ + λ + 1 = Kořeny charakteristické rovnice: λ1, = ) ± ) 4 1) = ± Charakteristický polynom má jeden dvojnásobný kořen. Dvě lineárně nezávislá řešení jsou y1 = e x a y = xe x. Obecné řešení asociované homogenní rovnice je y = C1e x + Cxe x.. Metodou variace konstant hledáme řešení ve tvaru yp = Ax)e x + Bx)xe x Řešíme soustavu rovnic = 1 A x) [ e x] +B x) [ xe x] = A x) [ e x] + B x) [ x 1) e x] = x s neznámými A x) a B x). Determinant matice soustavy wronskián funkcí y1 a y) W [y1, y]x) = y1x) yx) y 1x) y x) = e x xe x e x x 1) e x Pomocné determinanty jsou W1x) = yx) fx) y x) = xe x x x 1) e x Wx) = y1x) y 1x) fx) = e x e x x = x e x Řešení soustavy rovnic pro A x) a B x) je A x) = W1 W = x3 e x = x3 e x = e x B x) = W W = x e x Integrací dostaneme Ax) a Bx) kliknutím na integrál tento integrál nahrajete do aplikace usnadňující výpočet neurčitých integrálů) Ax) = x 3 e x dx = x 3 + 3x 6x + 6 ) e x Bx) = x e x dx = x x + ) e x Partikulární řešení po dosazení a úpravě): ypx) = Ax)y1x) + Bx)yx) = x 4x + 6 Obecné řešení: yx) = ypx) + C1y1x) + Cyx) = x 4x C1e x + Cxe x.

8 January 18, 9 8:54 Mathematical Assistant on Web, January 18, 9 8:54 Mathematical Assistant on Web, Integrály 8 Geometrické aplikace určitého integrálu Hledáme obsah obrazce mezi grafy funkcí f : y = 1 x a g : y = 1 x) na intervalu od do 1. 1 [ S = 1 x 1 x) )] dx 1 = x x dx [ = x ] 1 3 x3 = Klikněte na integrál pro předání funkce online aplikaci, která Vás provede výpočtem neurčitého integrálu. Dvojný integrál Integrujeme funkci x ) y na množině zadané nerovnostmi x 1 a y x. I = = = = = x x ) y dy dx [ ] x 3 + 1) y x 1 dx 1 + x 3 ) x ) 1 x 7 + x 4 [ ] x x5 1 dx = = 13 8 úprava) úprava) vnitřní integrace) ) 16 8 vnitřní integrace) 1 + x 3 ) dx dosazení mezí) dosazení mezí) x.5 1. x y

9 Neurčitý integrál 9 Výpočet neprobíhá automaticky, ale je řízen uživatelem. MAW provádí výpočty a u každé funkce se snaží nabízet uživateli vhodnou metodu výpočtu.

10 MAW nemine cíl 1 MAW obsahuje kontrolní mechanismy dělá zkoušku ) aby se mu nestávalo to co vidíme na výpočtu z mathway.com.

11 MAW dává možnost volby 11 Následující výpočet je automaticky vygenerován aplikací Integrace s programem Maple na serveru MU v Brně. Zvolená substituce není pro výpočet integrálu optimální, nicméně uživatel nemá možnost použitou substituci ovlivnit. MAW uživateli tuto možnost dává tam, kde to má smysl např. u neurčitého integrálu a diferenciální rovnice druhého řádu). Některé jiné služby na webu generují výpočet, který nedává možnost volby metody. MAW je naopak vstřícný k experimentátorům.

12 MAW má čtivý výstup 1 Výstup MAWu je typograficky kvalitní a přizpůsobený bežně používaným normám. Následující výpočet je automaticky vygenerován komerčním serverem calc11.com. Zvolená forma zápisu není v českých učebnicích příliš rozšířena a zajisté bude pro cílovou skupinu MAWu slabé studenty) matoucí.

13 MAW stojí na ramenou obrů 13 If I have seen further it is only by standing on the shoulders of Giants. Newton) Výkonné jádro MAWu se spoléhá na osvědčené programy, historie některých sahá až do 6. let století. Systém počítačové algebry Maxima Typografický systém TEX Program pro kreslení obrázků GNUplot

14 MAW se nesnaží objevit Ameriku 14 MAW se vždy snaží k řešení úkolů využít již dostupné nástroje. Šetří tak čas svých autorů a může využívat nástroje, které by jeho tvůrci vytvořit neuměli. Pomáhá také při testování dalších open source aplikací. Pro převod matematických výrazů mezi různými formáty slouží program formconv Některé pasáže týkající se bezpečnosti jsou převzaty z projektu MaximaPHP Pro editaci matematických výrazů a jejich zadávání do vstupních políček je využit program DragMath

15 MAW není tajemný hrad v Karpatech 15 Zdrojové texty MAWu jsou publikovány na sourceforge.org Aplikaci si může kdokoliv na instalovat na svůj počítač nebo server Při procházení historie jsou průběžně odhalovány a opravovány chyby nejčastěji úlohy, jejichž zpracování z nějakého důvodu selhalo) Na testování se podílejí sami uživatelé díky!) registrujeme více než přístupů denně během zkouškového období, celkem z více než 1 zemí za 1 rok provozu