Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek"

Transkript

1 Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek

2 Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných Přechod k separaci Variace konstant Bernoulliova rovnice Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 8 3. Systémy funkcí Eulerova rovnice Rovnice s konstantními koeficienty Metoda snižování řádu Nehomogenní rovnice Metoda odhadu tvaru partikulárního řešení Okrajové úlohy Úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 8 4. Soustavy homogenních diferenciálních rovnic Soustavy nehomogenních diferenciálních rovnic Posloupnosti a řady funkcí 5. Posloupnosti funkcí Funkční řady Mocniné řady Fourierovy řady 7 7 Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných proměnných 30 8 Řešení funkcionálních rovnic, tečná rovina 30 9 Extrémy funkcí více proměnných 3 9. Optimalizační úlohy bez vazeb Optimalizační úlohy s vazbami Vícenásobné integrály 3 0. Dvojné integrály Trojné integrály

3 Diferenciální rovnice. řádu. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y. Separací proměnných převedeme rovnici na tvar dy dx = tg x tg y cos y sin y dy = sin x cos x dx a substitucemi u = sin y, v = cos x dostaneme po integrování ln u = ln v + ln C, neboli sin y = C cos x. (xy + x)dx + (y x y)dy = 0 (obecný integrál). + y = C( x ) 3. xyy = x x + y = ln Cx 4. y tg x y = a y = C sin x a 5. xydx + (x + )dy = 0 y = C(x + )e x 6. y + dx = xydy ln x = C + y + ; x = 0 7. e y ( + x )dy x( + e y )dx = 0 + e y = C( + x ) 8. (x )y + xy = 0, y(0) = y{ln( x ) + } = 9. y sin x = y ln y, y( π ) = e y = e tg x 0. sin y cos xdy = cos y sin xdx, y(0) = π 4 cos x = cos y. y cotg x + y =, y( π 3 ) = 0 y = 4 cos x Řešení pomocí webmathematicy 3

4 . Rovnice umožnující přechod k separaci proměnných. Příklad : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = 3 + (x + y). Substitucí x + y = u, + y = u převedeme rovnici na tvar u = 3 + u du dx = u u. Separaci proměnných a integrováním dostaneme u u du = dx, neboli u ln u = x C a přejdeme k původním proměnným 3x + y + ln x y = C. Příklad 3 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice (x + y + ) dx + (x + y ) dy = 0. Substitucí x + y = u, dx + dy = du převedeme rovnici na tvar (u + ) dx + (u )(du dx) = 0 (3 u) dx + (u ) du = 0. Separaci proměnných a integrováním dostaneme u 3 u du + dx = C, neboli u 5 ln u 3 + x = C a přejdeme k původním proměnným x + y + 5 ln x + y 3 = C. 4. y y = x 3 x + y = Ce x 5. y = sin(x y) 6. y = 4x + y 7. y = cos(x y ) 8. y + x + y = x + y x + C = cotg( y x + π 4 ) 4x + y ln( 4x + y + ) = x + C y = x arcotg( C x ) + kπ; k Z x + C = u + 3 ln u 8 3 ln(u + ) u = + x + y 4

5 Příklad 9 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = x + xy xy Substitucí y = ux, y = u x + u převedeme rovnici na tvar. u x + u = x + xux xux Integrováním dostaneme u + du = ln u + + (u + ) u + a přejdeme k původním proměnným 0. y = x+y x y. y = xy x y u du (u + ) = dx x. = ln x + C ln y x + + y = ln x + C ln x + y + x + x x + y = C. arcotg yx = ln C x + y x + y = Cy. xy y = x + y x = C + Cy) 3. (3y + 3xy + x )dx = (x + xy)dy 4. (x + y )y = xy (x + y) = Cx 3 e x x+y y x = Cy, y = 0 5. xy = y cos ln y x ln Cx = cotg( ln y x ) y = xe kπ, k Z 6. y + x + y xy = 0, y() = 0 y = x 7. (xy y) arcotg y x = x, y() = 0 x + y = e y x arcotg y x 8. (y 3x )dy + xydx = 0, y(0) = 9. y = y xy x y +xy x, y() = y 3 = y x y = x 5

6 .3 Variace konstant Příklad 30 : Metodou variace konstanty řešte diferenciální rovnici y cos x + y = tg x. Nejdříve vyřešíme homogenní rovnici metodou separace proměnných y cos x + y = 0 ln y + tg x = ln C y = Ce tgx. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y = C(x)e tgx. Po dosazení do původní rovnice dostaneme (C (x)e tgx + C(x)e tgx cos x ) cos x + C(x)e tgx = tg x. tedy C (x)e tgx cos x = tg x C(x) = e tgx (tgx ) + K. Obecné řešení rovnice má tvar y = Ce tgx + tg x =. 3. xy y = x 4 y = Cx + x 4 3. xy + y + = 0 xy = C ln x 33. xy + (x + )y = 3x e x xy = (x 3 + C)e x 34. (xy + e x )dx xdy = 0 y = e x (ln x + C) 35. y = x(y x cos x) y = x(c + sin x) 36. (xy ) ln x = y y = C ln x ln x 37. y sin x + y cos x = y = sin x + C cos x 38. (e y x)y = x = e y + Ce y 39. y = y 3x y x = Cy 3 + y 40. y = x sin y+ sin y x = 8 sin y cos + y Ce 4. y + 3y x = x 3, y() = 4. y xy =, y(0) = 0 y = x + 3 x y = e x x 0 e t dt 43. xy y = sin x cos x, y je omezená pro y = cos x 44. x y xy = x cos x 3 sin x, y 0 pro x y = sin x x 45. ( + x ) ln( + x )y xy = ln( + x ) x arcotg x y = arcotg x y π pro x 6

7 .4 Bernoulliova rovnice Příklad 46 : Převodem na lineární diferenciální rovnici vyřešte Substitucí z = y z = yy x y y = x y. dostaneme xy y y = x xz z = x. Vyřešíme lineární rovnici. hom. rovnice. part. řešení xz z = 0 x C e x = x z h = C e x C = e x z p = e x e x = 3. obecné řešení z = C e x + y = C e x y + y = y e x y(e x + Ce x ) =, y = xy x y = 4y y = x 4 ln Cx, y = xy + y + x 5 y 3 e x = 0 y = x 4 (e x + C), y = ( + x )y = xy + x y y = +x (C x + x ln(x + x + )) 7

8 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 3. Systémy funkcí Příklad 5 : Máme rozhodnout o lineární závislosti nebo nezávislosti funkcí, x, x na intervalu I = (, ). Budeme zkoumat, kdy x I nastane rovnost c + c x + c 3 x = 0. Postupně pro x = 0 dostaneme c = 0, pak pro x = a x = dostaneme c + c 3 = 0 a c + c 3 = 0. Odtud plyne c = 0, c 3 = 0. Podle definice jsou funkce, x, x lineárně nezávislé. Wronskián daných funkcí je W (x) = x x 0 x 0 0 = 0. Tedy i podle věty 0.4 jsou funkce, x, x lineárně nezávislé. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti následujících funkcí 5.,, x, x 53. e x, xe x, x e x 54. 5, cos x, sin x závislé nezávislé závislé 55. cos x, cos(x + ), cos(x ) závislé 56., arcsin x, arccos x závislé 57. cos x, sin x, cos x nezávislé Najděte Wronskián funkcí 58., x 59. e x, xe x 60., cos x, cos x 6. 4, sin x, cos x 6. e 3x sin x, e 3x cos x e x 8 sin 3 x 0 e 6x 8

9 3. Eulerova rovnice Řešení Eulerovy rovnice x n y (n) + a n x n y (n ) + + a x y + a 0 y = 0, kde a 0,..., a n R hledáme ve tvaru y(x) = x λ, (popř. x λ ln x,..., x λ ln k x) λ C. Příklad 63 : Dosazením funkce y(x) = x λ do rovnice x y 4xy + 6y = 0 dostaneme x λ(λ )x λ 4xλx λ + 6x λ = 0, tedy (λ 5λ + 6) x λ = 0. Tato rovnost je splněna (při x 0) pro kořeny λ =, λ = 3, uvedeného polynomu. Funkce y (x) = x, y (x) = x 3 tvoří fundamentální systém dané rovnice a její obecné řešení má tvar y = C x + C x 3. Příklad 64 : Podobně při řešení rovnice x y 3xy + 4y = 0 dostaneme λ 4λ + 4 = 0 λ, = a fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi y (x) = x, y (x) = x ln x. Obecné řešení má tedy tvar y = C x + C x ln x. Příklad 65 : Řešení rovnice x y + 3xy + y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = x λ. Po dosazení do rovnice dostaneme λ + λ + = 0 λ = + i, λ = i. Do fundamentálního systému tedy patří funkce y (x) = x +i, y (x) = x i nebo y (x) = x cos(ln x), y (x) = x sin(ln x) a obecné řešení rovnice má tvar y = C x cos(ln x) + C x sin(ln x). 66. x y 3xy y = 0 y = C x C x x 3 y x y = 0 y = C + C x + C 3 x ln x 68. x y + 5xy + 3y = 0 y = C x + C x x y + 7xy + 8y = 0 y = C x + C x x 3 y 6y = 0 y = C x 3 + C cos( ln x) + C 3 sin( ln x) 7. x y xy + y = 0 ; y(0) = 0, y (0) = y = C x 9

10 3.3 Rovnice s konstantními koeficienty Příklad 7 : koeficienty Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními y y y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = e λx (popř. xe λx,..., x k e λx ), kde číselný parametr λ je kořenem charakteristické rovnice (charakteristického polynomu) λ λ + = 0. Tedy λ = 4, λ = 3, fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi e 4x, e 3x a obecné řešení rovnice má tvar Příklad 73 : Rovnice y(x) = C e 4x + C e 3x. y 4y + 4y = 0 má charakteristickou rovnici λ 4λ + 4 = 0 λ, =. Fundamentální systém rovnice je nyní tvořen funkcemi y (x) = e x, y (x) = x e x a obecné řešení rovnice má tvar y = C e x + C x e x. Příklad 74 : K rovnici y + 4y = 0 přísluší charakteristická rovnice λ + 4 = 0 s kořeny λ = i, λ = i. Fundamentální systém je tvořen funkcemi y (x) = e ix, y (x) = e ix nebo y (x) = cos x, y (x) = sin 3x. Obecné řešení má tvar y(x) = C cos x + C sin x. 75. y + y + y y = 0 y = e x ( + x), y(0) =, y (0) =, y (0) = y 4y + 3y = 0; y(0) = 6, y (0) = 0 y = 4e x + e 3x 77. y + 6y + y + 6y = 0 y = C e x + C e x + C 3 e 3x 78. y (6) + y (5) + y (4) = 0 y = C + C x + C 3 x + C 4 x 3 + e x (C 5 + C 6 x) 79. 4y 8y + 5y = 0 y = e x (C cos x + C sin x ) 80. y 8y = 0 y = C e x + e x (C cos 3x + C 3 sin 3x 8. y (4) +4y +0y +y +5y = 0 y = (C + C x)e x + (C 3 cos x + C 4 sin x)e x 8. y y + y = 0; y(0) = 0, y (0) = y = e x sin x 83. y y + 3y = 0; y(0) =, y (0) = 3 y = e x (cos x + sin x) 0

11 3.4 Metoda snižování řádu Pokud známe jedno řešení y (x) homogenní rovnice, pak další partikulární řešení hledáme ve tvaru y(x) = y (x) z(x). Příklad 84 : Rovnice (sin x cos x) y sin x y + (cos x + sin x) y = 0 má jedno řešení y = e x. Pro druhé řešení y(x) = e x z(x), platí y = e x (z + z ), y = e x (z + z + z ) a po dosazení do původní rovnice máme (sin x cos x) e x (z + z + z ) sin x e x (z + z ) + (cos x + sin x) e x z = 0 (sin x cos x) (z + z ) sin x z = 0 (u = z ) (sin x cos x) u cos x u = 0 (sin x cos x) du = cos x u dx u du = cos x sin x cos x dx ; vypočteme integrál vpravo cos x sin x cos x dx = cos x sin x cos x dx = cos x sin x + cos x + sin x dx = sin x cos x { } v = sin x cos x = dx+ dv = (cos x + sin x) dx v dv = x +ln sin x cos x +C ; tedy ln u = x + ln sin x cos x +Ĉ u = Ce x (sin x cos x) (= z ) z = Ce x ( sin x) y = e x Ce x ( sin x) = C sin x a obecné řešení má tvar y = C e x + C sin x. Nalezněte obecné řešení následujících rovnic, jestliže znáte partikulární řešení 85. ( x )y xy + 4 y = 0; y = + x y = C + x + C x 86. x (x + )y y = 0; y = + x y = C ( + x ) + C ( x + x+ x ln x + ) 87. xy + y xy = 0; y = ex x xy = C e x + C e x 88. y ( + tg x)y = 0; y = tg x y = C tg x + C ( + x tg x) 89. (e x + )y y e x y = 0; y = e x y = C (e x ) + C e x x (x )y + (4x 3)xy xy + y = 0 y = C x + C x + C 3(x ln x + ) y = x, y = x 9. (x x + 3)y (x + )y + xy y = 0 y = C x + C e x + C 3 (x ) y = x, y = e x

12 3.5 Nehomogenní rovnice Příklad 9 : Metodou variace konstant vyřešíme rovnici y + 9y = sin 3x.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y + 9y = 0 (viz metoda charakteristické rovnice, příklad (7)) λ + 9 = 0 y h (x) = C cos 3x + C sin 3x.. Partikulární řešení y p nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Funkce y p (x) = C (x) cos 3x + C (x) sin 3x. C (x), C (x) splňují soustavu algebraických rovnic: C cos 3x + C sin 3x = 0 3C cos 3x sin 3x + 3C sin 3x = 0, 3C sin 3x + 3C cos 3x = sin 3x 3C sin 3x cos 3x + 3C cos 3x = cos 3x sin 3x. Odtud po sečtení rovnic dostaneme 3C cos 3x = sin 3x C = 9 ln sin 3x a z první rovnice plyne C cos 3x cos 3x + 3 = 0 C = x 3. Partikulární řešení má tvar y p (x) = x 3 cos x + ln sin 3x sin 3x Obecným řešením úlohy je funkce y(x) = y h (x) + y p (x) = C cos 3x + C sin 3x x 3 cos x + ln sin 3x sin 3x. 9 Řešte rovnice 93. y y + y = ex x y = e x (x ln x + C x + C ) 94. y y + y = ex x + y = e x (C x + C ln x + + x arcotg x) 95. y + 3y + y = e x + y = (e x + e x ) ln(e x + ) + C e x + C e x 96. y + y + cotg x = 0 y = + C cos x + C sin x + cos(x) ln tg x Vyřešte rovnici,y y = f(x), jestliže 97. f(x) = ex +e y = e x (x + C x ) (e x + ) ln(e x + ) + C 98. f(x) = e x e y x = ex (arcsin(e x ) + e x e x + C ) + 3 ( e x ) 3 + C 99. f(x) = e x cos(e x ) y = C e x cos(e x ) + C

13 3.6 Metoda odhadu tvaru partikulárního řešení Příklad 00 : Pomocí odhadu tvaru partikulárníbo řešení vyřešíme rovnici y 5y = (x ).. Charakteristická rovnice λ 5λ = 0, má kořeny λ = 0, λ = 5 a homogenní řešení má tvar y h = C + C e 5x.. Z rovnosti (x ) = e ax (P n (x) cos bx + Q m (x) sin bx) vyplývá a = 0, b = 0, n =, m = 0 k =, R (x) = a x + a x + a 0, kde a, a, a 0 jsou konstanty. Kritické číslo a + i b = 0 je jednonásobný kořen charakteristické rovnice, tedy r =. Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = x (a x + a x + a 0 ), potom y p(x) = a x + a x + a 0 + x (a x + a ) = 3a x + a x + a 0, y p(x) = 6a x + a. Po dosazení y p, y p do dané rovnice dostaneme: 6a x + a 5 (3a x + a x + a 0 ) = (x ), 5a x + (6a 0a )x + a 5a 0 = x x +, a partikulárním řešením je funkce a = 5, a = 4 5, = a 0 = 7 5, y p (x) = x ( 5 x x ). 3. Obecné řešení má tvar y(x) = C + C xe 5x + x ( 5 x x ). Metodou odhadu řešte rovnice 0. y + y = 4xe x y = C cos x + C sin x + (x + )e x 0. y y = e x x y = C e x + C e x + xe x + x y + y y = 3xe x y = C e x + C e x + ( x x 3 )ex 04. y 3y + y = sin x y = C e x + C e x + sin x cos x y + y = 4 sin x y = C cos x + C sin x x cos x 06. y 3y + y = x cos x y =C e x +C e x +( x 0 00 ) cos x (3x ) sin x 3

14 07. y + 3y 4y = e 4x + xe x y = C e x + C e 4x x 5 e 4x ( x )e x 08. y 9y = e 3x cos x y = C e 3x + C e 3x + e 3x ( 6 37 sin x 37 cos x) 09. y y + y = 6xe x y = (C + C x + x 3 )e x 0. y + y = x sin x y = (C x 4 ) cos x + (C + x 4 ) sin x Řešte rovnice s počáteční podmínkou. y + 9y = 6e 3x ; y(0) = y (0) = 0 y = 3 (cos 3x + sin 3x e3x ). y 4y + 5y = x e x ; y(0) =, y (0) = 3 y =e x (cos x sin x)+(x+) e x 3. y +6y +9y = 0 sin x ; y(0) = y (0) = 0 y = (x+ 3 5 )e 3x + 5 (4 sin x 3 cos x) 4. y + 4y = sin x ; y(0) = y (0) = y = cos x + 3 (sin x + sin x) 5. y + y = cos x ; y(0) =, y (0) = 0 y = cos x + x sin x Odhadněte partikulární řešení následujících rovnic 6. y 7y = (x ) A x 3 + A x + A 3 x 7. y + 7x = e 7x Axe 7x 8. y 8y + 6y = (0 x)e 4x (A x 3 + A x )e 4x 9. y + 5y = cos 5x x(a cos 5x + B sin 5x) 0. y + 4y + 8y = e x (sin x + cos x) (A cos x + B sin x)e x. y 4y + 8y = e x (sin x cos x) x(a cos x + B sin x)e x. y (4) y = 4 Ax 3 3. y + y + y = (x + ) sin x + (x 4x) cos x (Ax + Bx + C) cos x+ +(Dx + Ex + F ) sin x 4. y y = e x sin x + x e x (A cos x + B sin x)+ +x(cx + Dx + E) 5. y (4) 4y + 8y 8y + 4y = e x (x cos x + sin x) x e x {(Ax + B) cos x+ +(Cx + D) sin x} 6. y (5) y (4) +8y 8y +6y 6y = 3 cos x+ x (A cos x + B sin x) + C 4 y = 3 cos x +

15 3.7 Okrajové úlohy Příklad 7 : Pomocí charakteristické rovnice a dosazením okrajových podmínek vyřešíme smíšenou okrajovou úlohu y y 8y = 0, x (0, ), y(0) =, y () = 0. Charakteristická rovnice je λ λ 8 = 0 λ = 4, λ = a obecným řešením úlohy je funkce y(x) = C e 4x + C e x. Z okrajových podmínek dostaneme = C + C, C = +e, 6 0 = 4C e 4 C e, C = e6 +e. 6 Řešením okrajové úlohy je funkce y(x) = +e 6 e 4x + e6 +e 6 e x. Řešte následující okrajové úlohy 8. y y = 0 ; y(0) = 0, y(π) = y = sinh x sinh π 9. y + y = 0 ; y(0) = 0, y(π) = nemá řešení 30. y k y = 0 ; y(0) = v, y(x 0 ) = v y = sinh kx 0 (v sinh k(x 0 x)+v sinh kx) 3. y α y = 0 ; y(0) = v, y (x 0 ) = 0 y = v cosh(x 0 x) cosh αx 0 3. y α sy = 0 ; y(0) = s, y (x 0 ) = 0 s < 0; y = cos α s(x 0 x) s cos α sx 0 pro x 0 = (k+)π α s nemá řešení; s > 0; y = cosh α s(x 0 x) 33. y λ y = 0 ; λ 0, y(0) = 0, y() = λ 34. y λ y = 0 ; λ, y(0) = 0, y () = λ 35. y λ y = 0 ; λ, y (0) = 0, y() = λ pro x 0 (k+)π α s s cosh α sx 0 ; k =,, 3,... y = sinh λx λ sinh λ y = sinh λx λ cosh λ y = cosh λx λ cosh λ 36. xy + y = 0; y() = αy () ; y(x) je omezená pro x y = y (4) λ 4 y = 0; y(0) = y (0) = 0, y(π) = y (π) = 0 y = C sin kx pro λ = k k =,, 3,... y = 0 pro ostatní λ 5

16 3.8 Úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce Příklad 38 : Určíme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy y + λy = 0, y (0) = 0, y (π) = 0. Řešení hledáme ve tvaru y(x) = e kx, potom charakteristická rovnice má tvar k + λ = 0 k = ± λ. Pro λ < 0 je k = λ, k = λ a obecné řešení má tvar y(x) = C e λx + C e λx y (x) = λ C e λx λ C e λx. Z okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C, C } 0 = C + C, 0 = λ C e λπ λ C e λπ C = 0, C = 0 y = 0., Pro λ = 0 má obecné řešení tvar y(x) = C + C x y (x) = C a z okrajových podmínek dostaneme Pro λ > 0 má obecné řešení tvar C R, C = 0 y = C. y(x) = C cos λx+c sin λx y (x) = λ C sin λx+ λ C cos λx. Z okrajových podmínek plyne 0 = C, 0 = C sin λπ, Dostáváme tak posloupnost vlastních čísel } λπ = nπ, n N. {, 4, 9, 6,...} a posloupnost jim odpovídajících vlastních funkcí je {cos x, cos x, cos 3x,...}. Najděte vlastní čísla a vlastní funkce úlohy y + λy = 0, je-li 39. x < 0, π >, y(0) = y (π) = 0 λ K = (K ) 4, y K = sin K x, K N 6

17 40. x < 0, π >, y (0) = y(π) = 0 4. x <, >, y() = y() = 0 4. x <, >, y() = y () = x <, >, y () = y() = x <, >, y () = y () = x < a, b >, y(a) = y(b) = x < a, b >, y(a) = y (b) = x < a, b >, y (a) = y(b) = 0 λ K = (K ) 4, y K = cos K x, K N λk = K π, y K = sin Kπx, K N λ K = (K ) π 4, y K = cos K πx, K N λ K = (K ) π 4, y K = sin k πx, K N λk = K π, y K = cos Kπx; K = 0,,,... λ K = K π λ K = (K ) π 4(b a) λ K = (K ) π 4(b a) (b a), y K = sin Kπ(x a) b a, K N, y K = sin (K )(x a)π (b a), K N, y K = cos (K )(x a)π (b a), K N Najděte vlastní čísla a vlastní funkce následujících okrajových úloh 48. y + y + λy = 0 ; x < 0, l >, y(0) = y(l) = 0 λ K = + K π ln l yk = l x sin Kπx l, K N 49. x y + xy + λy = 0 ; x <, l >, y() = y(l) = 0 λ K = K π Kπ ln x ln l, y ln l K =sin 50. y + (λ + )y = 0 λk = K π, K N x < 0, >, y(0)=y (0)=0, y() y ()=0 y K =sin(arcotg(kπ)+kπx) 5. y + x y +λy = 0 ; y(l)=0, y je omezená pro x 0 λ K = K π l, y K = Kπx x sin l 7

18 4 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic Příklad 5 : 4. Soustavy homogenních diferenciálních rovnic 53. x = x + y y = 3x + 4y 54. x = x y y = y 4x 55. x + x 8y = 0 y x y = x = x + y y = 3y x x = C e t + C e 5t y = C e t + 3C e 5t x = C e t + C e 3t y = C e t C e 3t x = C e 3t 4C e 3t y = C e 3t + C e 3t x = e t (C cos t + C sin t y = e t {(C + C ) cos t + (C C ) sin t} 57. x = x 3y x = e t (C cos 3t + C sin 3t) y = 3x + y y = e t (C sin 3t C cos 3t) 58. x + x + 5y = 0 x = (C C ) cos t (C + C ) sin t y x y = 0 y = C cos t + C sin t 59. x = x + y x = (C + C t)e 3t y = 4y x y = (C + C + C t)e 3t 60. x = 3x y x = (C + C t)e t y = 4x y y = (C C + C t)e t 6. x = x + z y x = C e t + C e t + C 3 e t y = x + y z y = C e t 3C 3 e t z = x y z = C e t + C e t 5C 3 e t 6. x = 3x y + z x = C e t + C e t + C 3 e 5t y = x + y + z y = C e t C e t + C 3 e 5t z = 4x y + 4z z = C e t 3C e t + 3C 3 e 5t 63. x = 4y z 3x x = C e t + C 3 e t y = z + x y = C e t + C e t z = 6x 6y + 5z z = C e t C 3 e t 8

19 64. x = x y z x = e t (C sin t + C 3 cos t) y = x + y y = e t (C C cos t + C 3 sin t) z = 3x + z z = e t ( C 3C 3 cos t + 3C 3 sin t 65. x = 4x y z x = C e t + (C + C 3 )e 3t y = x + y z y = C e t + C e 3t z = x y + z z = C e t + C 3 e 3t 66. x = x y + z x = (C + C t)e t + C 3 e t y = x + y z y = (C C + C t)e t z = z y z = (C C + C t)e t + C 3 e t 67. x = 4x y x = (C + C t + C 3 t )e t y = 3x + y z y = {C C + (C C 3 )t + C 3 t }e t z = x + z z = {C C + C 3 + (C C 3 )t + C 3 t }e t 4. Soustavy nehomogenních diferenciálních rovnic 68. x = y + e t x = C e t + C e t + te t t y + x + t y = C e t C e t + (t )e t t 69. x = y 5 cos t x = C e t + C e t sin t cos t y = x + y y = C e t C e t + sin t + 3 cos t 70. x = 4x + y e t x = C e t + C e 3t + (t + )e t y = y x y = C e t C e 3t te t 7. x = y x + x = (C + C t)e t 3 y = 3y x y = (C + C + C t)e t 7. x = 5x 3y + e 3t x = C e t + 3C e 4t e t 4e 3t y = x + y + 5e t y = C e t + C e 4t e t e 3t 73. x = x 4y x = 4C e t + C e t 4te t y = x 3y + 3e t y = C e t + C e t (t )e t 74. x = x y x = C e 3t + 3t + t + C y = y x + 8t y = C e 3t + 6t t + C 75. x = x + y + 6te t x = C e t + C e 3t (t + 3)e t y = x y y = C e t C e 3t (8t + 6)e t 76. x = x y x = (C + C t t )e t y = x + e t y = {C C + (C + )t t }e t 9

20 77. x = x y + 8t x = C cos t C sin t + t + y = 5x y y = (C + C ) cos t + (C C ) sin t + 0t 78. x = x y x = C e t + C e 3t + e t ( cos t sin t) y = y x 5e t sin t y = C e t C e 3t + e t (3 cos t + sin t) 79. x = y + tg t x = C cos t + C sin t + tg t y = x + tg t y = C sin t + C cos t x = 4x y + e t x = C + C e t + e t ln e t y = 6x + 3y 3 e t y = C 3C e t 3e t ln e t 8. x = x y+ cos t x = C cos t + C sin t + t(cos t + sin t) + (cos t sin t) ln cos t y = x y y = (C C ) cos t + (C + C ) sin t + cos t ln cos t + t sin t 8. x = x + y z t + x = C e t + C sin t + C 3 cos t y = x y = t C e t + C cos t C 3 sin t z = x + y z t + z = + C sin t + C 3 cos t Najděte partikulární řešení následujících soustav diferenciálních rovnic 83. y = y + z ; y(0) = 0, z(0) = y = e t e 3t z = y + 4z z = e t e 3t 84. y = 3y z ; y(0) =, z(0) = 5 y = e t z = 0y 4z z = 5e t 85. x = 3x + 8y ; x(0) = 6, y(0) = x = (e t + e t ) y = 3y x y = e t e t 86. x = e t y 5x ; x(0) = 9 900, y(0) = 900 x = 4 5 et 36 et y = e t + x 3y y = 5 et et 87. x = y ; x(0) = y(0) = x = cos t + sin t y = x y = cos t sin t 88. x = 4x 5y ; x(0) = 0, y(0) = x = ( t)e t y = x y = te t 89. x = x + y + t ; x(0) = 7 9, y(0) = 5 9 x = 4 3 t 7 9 y = x y + t y = 3 t x = x + 5y ; x(0) =, y(0) = x = (sin t cos t)e t y = 3y x y = e t cos t 0

21 9. x = 6x y 6t t + 3 ; x(0) =, y(0) = 3 y = y t x = e t + e 3t + t + t y = e t + t +

22 5 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 9 : 5. Posloupnosti funkcí Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci posloupnosti {f n (x)}, je-li 93. f n (x) = n n +x x R nestejnoměrně, x <, > stejnoměrně 94. f n (x) = x n x < 0, > nestejnoměrně, x < 0, > stejnoměrně 95. f n (x) = arcotg nx n+x x < 0, + ) stejnoměrně 96. f n (x) = x n x n+ x < 0, > stejnoměrně 97. f n (x) = x n x n x < 0, > nestejnoměrně 98. f n (x) = nx +n x x < 0, > nestejnoměrně 99. f n (x) = x +n x x R stejnoměrně 00. f n (x) = x + n x x < 0, + > stejnoměrně 0. f n (x) = e n(x ) x (0, ) nestejnoměrně 0. f n (x) = arcotg nx x (0, + ) nestejnoměrně 03. f n (x) = x arcotg nx x (0, + ) stejnoměrně 5. Funkční řady Příklad 04 : Najděte obor konvergence řady u n (x), je-li 05. u n (x) = ln n x e < x < e 06. u n (x) = ( )n n+ ( x +x )n < 0, ) 07. u n (x) = +x n x R <, > 08. u n (x) = xn +x n x R {, }

23 09. u n (x) = ( )n+ x n 0. u n (x) = e nx x > x > 0 cos nx e nx. u n (x) = x > 0. u n (x) = (5 x ) n < x < 6 ln x 3. u n (x) = n x > e 4. u n (x) = n e nx x R {0} 5. u n (x) = xn x n Dokažte stejnoměrnou konvergenci 6. f n (x) = x +n 7. f n (x) = ( )n x+ n 8. f n (x) = x +n 4 x 9. f n (x) = sin nx 3 n4 +x 4 f n (x), je-li x < x R x 0 x R x R 0. f n (x) = nx +n 5 x x R. f n (x) = arcotg x x +n 3 x R. f n (x) = cos nx n 3. f n (x) = x sin(n x) +n 3 x 4 x R x 0 4. f n (x) = (arcotg x x +n ) x 0 5. f n (x) = ln( + x ) n, x a, a > 0 n ln n 6. f n (x) = sin( x n ) x x a, a > 0 n+ 7. f n (x) = sin( x n ) sin nx x +4n 8. f n (x) = n n! (x n + x n ) x R x 9. f n (x) = x e nx ε x a, (ε, a > 0, ε < a) 3

24 5.3 Mocniné řady Příklad 30 : Najděte poloměr konvergence řady ( ) n n n x n 5 n x 3n n n! n x n n 3 n (n 3 + )x n Najděte poloměr konvergence řady a n x n, je-li 35. a n = n e a n = n! 37. a n = (+i)n n n 38. a n = α n (0 < α < ) 39. a n = an n + bn n (a, b > 0) n 40. a n = 3 n + 4. a n = a n +b n (a, b > 0) 4. a n = ( ) n { n (n!) (n+)! }p min( a, b ) min(a, b) p 43. a n = ( )n n! ( n e )n 44. a n = a(a+)...(a+n )b(b+)...(b+n ) n!c(c+)...(c+n ) Najděte obor konvergence mocninné řady a n (x x 0 ) n, je-li 45. a n = n n, x 0 = < 0, > 4

25 46. a n = ( n 3n+ )n, x 0 = ( 7, ) 47. a n = ( )n n+, x 0 = 0 (, > 48. a n = 3 n3 n, x 0 = <, 4) n 49. a n = +3 n 3 +4n, x 0 = ( 3, ) 50. a n = 5n +( 3) n n+, x 0 = 0 < 5, 5 ) 5. a n = n+ ln 3n 3n+, x 0 = <, 0 > 5. a n = 3 n+ 3 n n, x 0 = 3 < 4, > 53. a n = n a, x 0 = 0, a > 0, a <, ) n 54. a n = 3, x n +n+ 0 = < 0, > Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninou řadu 55. f(x) = e x 56. f(x) = cos x 57. f(x) = sin 3x sin 5x 58. f(x) = sin 3 x 59. f(x) = x (+x) 60. f(x) = 5x 4 x+ 6. f(x) = x x 3 +x 6. f(x) = ln x 5 ( ) n x n n! ; x R + ( ) n n (n)! xn ; x R ( ) n n (n)! ( 4n )x n ; x R ( ) n+ 3(3 n ) 4(n+)! x n+ ; x R ( ) n (n + )x n+ ; x (, ) + 4 7( ) n x n ; x (, ) n +( ) n 3 n+ 3 x n ; x (, ) n+ x n+ n+ ; x (, )

26 63. f(x) = ln 3 x +3x 64. f(x) = x ln 3 + {( 3 )n ( 3 )n } xn n ; x ( 3, 3 > 65. f(x) = + x + x f(x) = ( x ) 3 + n= (n )!! (n)!! x n ; x (, ) ( ) n (n 3)!! (n)!! x n ; x (, ) 67. f(x) = x x x f(x) = ( + x ) arcotg x x + Najděte rozvoj f(x) v mocninnou řadu 69. f(x) = ln(x + + x ) x f(x) = arcsin x 7. f(x) = arcotg x+3 x 3 7. f(x) = x x 73. f(x) = 74. f(x) = 75. f(x) = 4 x + π 4 + (n+)!! (n)!! x n ; x (, ) (n )!! n! x n+ ; x (, ) ( ) n+ 4n xn+ ; x <, > ( ) n (n )!! x n+ (n)!! n+ ; x <, > +x+x 3 x cos α x x cos α+x ln +x x + arcotg x (n )!! x n+ (n)!! n+ ; x <, > ( ) n+ 3 n+ x n+ n+ ; x < 3, 3 > 5 {( 5+ ) n+ + ( ) n ( 5 ) n+ }; x < 5 sin π(n+) 3 x n ; x (, ) x n cos nα; x (, ) x 4n+ 4n+ ; x (, ) 76. f(x) = x arcotg x ln + x ( ) n+ xn n(n ) ; x <, > 77. f(x) = x arcsin x + x + x + 6 (n )!! x n+ (n+)!! n+ ; x <, >

27 78. f(x) = ln(+x) +x 79. f(x) = ex x 80. f(x) = arcotg x 8. f(x) = e x sin x 8. f(x) = e x cos x ( ) n ( n )xn ; x (, ) u k! xn ; x (, ) k=0 ( ) n ( n )xn n ; x <, > n sin( nπ 4 ) n! x n ; x R 83. f(x) = ( arcsin x x ) Vypočtěte integrály x 84. e t dt x 0 x 0 x 0 sin t t dt dt t 4 t dt +t x x + ( ) n (n )!!x n+3 n cos( nπ 4 ) n! x n ; x R n+ (n!) (n+)! x n ; x ( ) n n!(n+) xn+ ; x R ( ) n x n+ (n+)(n+)! ; x R (n )!!x 4n+ (n)!!(4n+) ; x (, ) (n)!!(n+3) ; x <, > 6 Fourierovy řady Příklad 88 : Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) na intervalu ( π, π), je-li 89. f(x) = x n+ sin nx ( ) n 7

28 90. f(x) = pro 0 x π f(x) = 0 pro π x 0 9. f(x) = x Výsledku využijte k sečtení řady π (n+) 9. f(x) = π x Výsledku využijte k sečtení řady 3 π f(x) = sign x Výsledku využijte k sečtení řady 94. f(x) = sin ax a Z 95. f(x) = cos ax a Z 96. f(x) = e ax a f(x) = q sin x q cos x+q q < π sinh aπ{ a + Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li + π 4 n, ( ) n+ n ( ) n n+ sin πa π sin πa π { ( ) n+ n 4 π a + sin(n )x n cos(n+)x (n+) ; π 8 cos nx; π 6, π sin(n )x n ; π 4 n+ n sin nx ( ) n a n a cos nx ( ) a n } ( ) n a +n (a cos nx n sin nx)} q n sin nx; zaveďte e ix = z 98. f(x) = π x, x (0, π) 99. f(x) = x, x (a, a + l) 300. f(x) = x, x (0, π) 30. f(x) = e ax, x ( h, h) a + l + l π sin nx n nπa π (sin l cos nπx l cos nπa l sin nπx l ) 4π sinh ah{ ah + ( ) f(x) = x cos x, x ( π, π ) π 303. f(x) = e x, x (0, π) 8 e π π { + cos nx n 4π sin nx n nπx nπx n ah cos( h ) n sin( h ) (ah) +(πn) } cos nx ( +n ( ) n+ n (4n ) sin nx n sin nx +n )}

29 Najděte Fourierovu řadu funkcí f n (x) = sin n x a g n (x) = cos n x pro n =, 3, 4, f (x) = cos x g (x) = + cos x 305. f 3 (x) = 3 4 sin x 4 sin 3x g3 (x) = 3 4 cos x + 4 cos 3x 306. f 4 (x) = 3 4 cos x + 8 cos 4x g4 (x) = cos x + 8 cos 4x 307. f 5 (x) = 5 8 sin x sin 3x 6 sin 5x g 5 (x) = 5 8 cos x cos 3x + 6 cos 5x Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li 308. f(x) = π 4 x, x (0, π) (kosinová řada) π 309. f(x) = x, x (0, π) (sinová řada) π cos(n+)x (n+) ( ) n+ { π n + n ( ) n } sin nx 30. f(x) = sin ax, a Z, x (0, π) (kosinová řada) 3. f(x) = cos ax, a Z, x (0, π) (sinová řada) cos(n+)x a (n+) pro a sudé a + cos nx a 4n }pro a liché 4a π 4a π { 4 π 8 π sin(n+)x a (n+) n sin nx a 4n pro a sudé pro a liché 3. f(x) = x( π x), x (0, π ) podle soustavy {cos(n )x}, n N (n ) { + 4( )n (n )π } cos(n )x {sin(n )x}, n N { ( )n (n ) + 8 (n ) } sin(n )x 3 Integrací Fourierova rozvoje funkce f(x) = x najděte rozvoj funkcí x, x 3, x 4, x 5 pro x ( π, π) 33. f(x) = x n+ sin nx ( ) 34. f(x) = x π n cos nx n ( ) n 9

30 35. f(x) = x 3 ( ) n 6 π n 36. f(x) = x 4 π ( ) n+ 6 π n n f(x) = x 5 ( ) n+ 0 0π n +π 4 n 4 n 5 n 3 sin nx cos nx sin nx 7 Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných proměnných Příklad 38 : Rozhodněte o spojitosti fce f v bodě 0, 0: 39. f(x, y) = x +y xy, f(0, 0) = 0 není spojitá 30. f(x, y) = ( + sin(x y)) ln x y, f(0, 0) = je spojitá Rozhodněte, zda fce f v bodě 0, 0 a ve směru (, ) roste nebo klesá 3. f(x, y) = (x + y ) sin x, fce roste 3. f(x, y) = tg y e x, fce klesá Najděte diferenciál funkce f v bodech 0, 0 a, 33. f(x, y) = df xy, f(0, 0) = 0 = 0dx + 0dy, df = x +y dx + 3 dy 8 Řešení funkcionálních rovnic, tečná rovina Příklad 34 : Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodů A, B, C. Případně určete derivaci y v příslušném bodě. 30

31 35. F (x, y) = 3 x + y xy x 3y, A = 0, 3, B =,, C = 3, 0. A : y (0) = 5 3, B : Neex., C : Neex. 36. F (x, y) = x + 4y x + 6y + 3, A =,, B =,, C =, 0. A : Neex, B : y (0) = 0, C : Neex. 37. Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) implicitně definované rovnicí z 3 3xyz 8 = 0 v bodě A = 0, 3. A : zx = 3, z y = 0, 38. Ke grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : 3x + y z = 0. 3(x ) + (y ) (z 3) = K nulové hladině funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y, z) = x + y + 3z, ϱ : x + 4y + 6z = 0. (x ) + 4(y ) + 6(z ) = 0, (x + ) + 4(y + ) + 6(z + ) = 0 9 Extrémy funkcí více proměnných Příklad 330 : 9. Optimalizační úlohy bez vazeb Najděte lokální extrémy funkce f 33. f(x, y) = x 4 + y 4 x xy y,,, min, 0, 0 sedlo 33. f(x, y) = x + xy + y 4 ln x 0 ln y, min 333. f(x, y) = x + y + z + x + 4y 6z,, 3 min 334. f(x, y) = xy + z(a x y 3z) a 5, a 0, a 0 sedlo 0, ±, ±, 0 sedla,,, (e) (e) 335. f(x, y) = xy ln(x + y ), min,,,, max (e) (e) (e) (e) (e) (e) 3

32 9. Optimalizační úlohy s vazbami Příklad 336 : Najděte lokální extrémy funkce f vzhledem k množině M 337. f(x, y) = x + xy + y, M : 4x + y = 5, 3, 4, 3, 4 max,, 3,, 3 min 338. f(x, y) = x y + z, M : x + y + z =, 3, 3, 3 max, 3, 3, 3 min 339. f(x, y) = xy + yz, M : x + y =, y + z =,,, max Najděte min. a max. hodnoty funkce f vzhledem k množině M 340. f(x, y) = x + y + z, M : x + y z, min, + max 34. f(x, y) = x + y + 3z, M : x + y + z 00, 0 min, 300 max 0 Vícenásobné integrály Příklad 34 : 0. Dvojné integrály 343. y e x dx dy y x y+ x y 6 x x y 4 S 347. S x+y+ x (+y) x y dx dy dx dy e4 + 5 e 0 5 dx dy, kde S je trojúhelník s vrcholy,, 5,, 4, ln ln 6 x dx dy, kde S je dána nerovnostmi x y, 4x + y

33 0. Trojné integrály 348. xy 3 z (+z ) dx dy dz, kde V je dána nerovnostmi, x + y z, 0 V x, 0 y ln x yz 3 dx dy dz, kde V je dána nerovnostmi 0 x, 0 y x, V 0 z xy dx dy dz, kde V je dána nerovnostmi x + y 3, 0 y, 0 x, V x+y 4+z 0 z 4 9 ln 35. xy (4+z) dx dy dz, kde V je dána nerovnostmi x + y 4z 6 0 V 35. V x yz dx dy dz, kde V je dána nerovnostmi 4x + y + z, x 0, y 0, z

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Aplikace diferenciálních rovnic v praxi UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Aplikace diferenciálních rovnic v praxi UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Aplikace diferenciálních rovnic v praxi Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jan Tomeček,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Funkcionální rovnice

Funkcionální rovnice Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Matematika a statistika

Matematika a statistika KMA/SZZMS Matematika a statistika Matematika 1. Číselné posloupnosti: Definice, vlastnosti, operace s posloupnostmi; limita posloupnosti a její vlastnosti, operace s limitami 2. Limita funkce jedné proměnné:

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Aplikace matematiky v ekonomii

Aplikace matematiky v ekonomii KMA/SZZAE Aplikace matematiky v ekonomii Matematické modely v ekonomii 1. Klasifikace prostředků matematického modelování v ekonomii. 2. Modely síťové analýzy: metody CPM a PERT. 3. Modely hromadné obsluhy:

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2015 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více