Matematika B 2. Úvodní informace

Transkript

1 Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace

2 Kontakt Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení)

3 Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno i jindy po dohodě

4 Předpokládané znalosti Funkce, konstrukce grafu funkce, derivace Cíl předmětu Rozšířit znalosti v oblasti funkcí vzhled, Rozšířit znalosti v oblasti funkcí vzhled, průběh, vlastnosti dále v oblasti Integrálního počtu integrování funkcí, posloupnosti

5 Požadavky k získání zápočtu Účast na cvičeních minimálně 50% Vypracování zápočtové práce se ziskem minimálně 51%

6 Požadavky k získání zkoušky Vypracování písemné práce Ústní část zkoušky

7 Literatura Budínský, Havlíček: Matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření Budínský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření Kaňka, Coufal, Klůfa: Učebnice matematiky pro ekonomy a jiná literatura na probírané téma

8 Učební materiály v IS VSFS is.vsfs.cz Student E-learning Matematika B 2 Studijní materiály Učební materiály Kučera

9 Funkce Průběh funkce Fce je předpis, kterým je všem x z množiny přiřazeno H f právě jedno y z množiny. D f Definiční obor, obor hodnot, proměnná, funkční hodnota, soustava souřadnic, graf, tabulka, značení,

10 Typy a vlastnosti fcí Lineární: y = ax + b přímka y x

11 Typy a vlastnosti fcí Lineárně lomená: y = y 1 ax + b x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

12 Typy a vlastnosti fcí 2 y = ax + bx + c Kvadratická: parabola y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

13 Typy a vlastnosti fcí Mocninné: y = ax n + b y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

14 Rostoucí Klesající Prostá Sudá Lichá Omezená - minimum, maximum Konvexní Konkávní Inverzní Spojitá

15 Průběh funkce je aplikace derivací Směrnice tečny v bodě - tedy derivace funkce v bodě

16

17 Kdy je funkce v bodě rostoucí? Když je tečna v tomto bodě rostoucí. Kdy tečna roste? Když je úhel v intervalu (0, 90) stupňů, tj, když je tangens úhlu kladný. Co je to derivace? Směrnice tečny. Co je směrnice? Tangens úhlu. Kdy funkce v bodě roste? Když je derivace v Kdy funkce v bodě roste? Když je derivace v tomto bodě kladná.

18 Jestliže f'(q)>0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q rostoucí. Jestliže f'(q)<0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q klesající. Pokud je f'(q)=0, pak má funkce v tomto bodě extrém

19 KONVEXNOST A KONKÁVNOST Funkce je konvexní Funkce je konkávní

20 Funkce f(x) je v bodě x 0 konvexní, pokud platí f''(x 0 ) 0 a konkávní pokud f''(x 0 ) 0. Funkce f(x) je v bodě x 0 ryze konvexní, 0 pokud platí f''(x 0 )>0 a ryze konkávní pokud f''(x 0 )<0. 0

21 Extrémy Má-li fce v bodě c lokální extrém, pak derivace v tomto bodě buď neexistuje, nebo je rovna nule. (nutná podmínka) Je-li fce na nějakém intervalu spojitá a existuje ( δ c + δ ) c, δ > 0 okolí tohoto bodu, kde ( c δ, c) Je-li f'(x)>0 v intervalu a f'(x)<0 v ( c, c + δ ) intervalu, má fce v bodě c ostré maximum. (první postačující podmínka)

22 Podobně je tomu u minima

23 Předpoklad: f'(x) existuje v určitém okolí bodu c Je-li f'(x) =0 a f''(x) < 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální maximum Je-li f'(x) =0 a f''(x) > 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální minimum (druhá postačující podmínka)

24 Inflexní bod (bod změny) Předpoklady: Fce je na daném intervalu spojitá a v každém jeho vnitřním bodě má derivaci. δ >0 tak, že fce je na intervalu c δ, c δ, konvexní a na intervalu konkávní (respektive obráceně), pak platí: c c Existuje li f''(c), pak je rovna nule.

25 Shrnutí 1. Určíme D(f) 2. Určíme sudost, lichost, periodicitu a další speciální vlastnosti 3. Vyšetříme spojitost 4. Určíme průsečíky s osou x a y 5. Určíme limity v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech 6. Vypočítáme první derivaci lokální extrémy, rostoucí, klesající 7. Vypočítáme druhou derivaci inflexní body, konvexnost, konkávnost 8. Nakreslíme graf

26 INTEGRÁL Fci F(x) nazvu primitivní funkcí k fci f(x) na otevřeném intervalu I právě tehdy když platí pro každé x z I: F (x) = f(x)

27 Neurčitý integrál (primitivní fce k fci f) značíme: f f(x) respektive f ( x) dx

28 Nechť existují integrály f g a a, b jsou reálná čísla. Pak v I existuje (af bg) = a f b g c Kde c je integrační konstanta.

29 Integrační metoda Per partes (po částech) Nechť fce f a g mají v I spojité derivace. Potom platí: f g = fg fg

30 Substituční metoda