Pohyb vody v porézních stavebních materiálech -XI. Kapilární absorpce z hemisférické dutiny

Transkript

1 Building and Environment, Svazek. 29, č. 1, s , Vytištěno ve Velké Británii /94 $ Pergamon Press Ltd. Pohyb vody v porézních stavebních materiálech -XI. Kapilární absorpce z hemisférické dutiny MOIRA A. WILSON* W. D. HOFF* CHRISTOPHER HALLf Kapilární absorpce vody z hemisférické dutiny je analyzována v rámci modelu strmé mokré fronty. Odvozuje se řada aproximací rovnice popisující absorpci vody z hemisférické dutiny. Tato rovnice se použije k získání hodnot vodní sorptivity cihlových materiálů a malty z třírozměrných absorpčních dat. ÚVOD V předchozích dokumentech této řady jsme se zabývali základní teorií kapilární absorpce vody porézními médii [1, 2]. Na základě této práce se sorptivita ukázala jako jeden z nejdůležitějších základních parametrů charakterizujících dynamiku kapilární absorpce. Byl standardizován postup měření sorptivity v laboratoři [3] a k tomuto účelu se konstantně používaly jednorozměrné absorpční geometrie. Na staveništi je však jen zřídka možné vytvořit podmínky pro jednosměrnou absorpci vody. Jedním z empirických testů používaným u betonu je Figgův test [4], který zahrnuje měření míry absorpce vody ze slepého otvoru vyvrtaného do povrchu materiálu. Před nedávnem jsme v dokumentu [5] analyzovaly absorpci vody z vyvrtané cylindrické dutiny, která kompletně prochází materiálem, a ukázali jsme, že je možné odvodit přesné hodnoty sorptivity z cylindrického zdroje absorpčních dat absorpce. Absorpce z vyvrtaného zdroje je komplexnější než absorpce z jednoduché cylindrické dutiny, protože dochází k další absorpci ve spodku dutiny. Aby byla analýza absorpce vody rozumně uchopitelná, navrhujeme, že vyvrtanou dutinu je možné analyzovat jako válec s hemisférickým zakončením. (Otvory s takovouto geometrií je možné vyvrtat pomocí upraveného vrtáku na zdivo, což popíšeme v dalším dokumentu.) Předtím, než zvážíme absorpci z takovýchto vyvrtaných zdrojů, je nutné se podrobně zamyslet nad absorpcí z hemisférické dutiny. V následujících částech odvodíme rovnice popisující absorpci vody z hemisférické dutiny a ukážeme, že je možné získat hodnoty z třírozměrných absorpčních dat vložením experimentálních dat do tříčlenné rovnice. MATEMATICKÝ ZÁKLAD Rovnice, jež určují absorpci vody z třírozměrného zdroje, jsou odvozeny naprosto stejným způsobem jako rovnice určující dvourozměrnou absorpci [5, 6]. Předpokládá se stejný model strmé mokré fronty, v němž je ψ 0 o kapilárním potenciálem na infiltračním povrchu, ψ 1 je kapilární potenciál v místě mokré fronty a ψ 0 - ψ 1 se rovnají konstantě C. Laplaceho rovnice sféricky symetrického třídimenzionálního toku ve sférických polárních koordinátách je Integrací rovnice (1) dostaneme Integrací rovnice (2) dostaneme sorptivity (1) (2) (3) kde A a B jsou konstanty. Na infiltračním povrchu jsou r = r 0 a ψ- ψ 0. Na povrchu mokré fronty jsou r = r a ψ- ψ 1. Substitucí těchto hodnot do rovnice (3) můžeme eliminovat výraz konstanty B a dostaneme (4) Podle Darcyho zákona o rychlosti nasávání, je v 0 vody na infiltračním povrchu dáno * Department of Building Engineering, UMIST, P.O. Box 88, Manchester, M60 1QD. t Schlumberger Cambridge Research, P.O. Box 153, Cambridge, CB3 0EL. 99

2

3 Kumulativní absorbovaný objem vody na jednotku plochy infiltračního povrchu, i, je možné pro hemisférický zdroj zapsat přímo podle objemu smáčené oblasti kde f je objemovou frakcí poréznosti materiálu. Definujeme bezrozměrné proměnné a (kde KC =S 2 /2f [7]) a kombinací těchto hodnot s rovnicemi (6) a (7) dostaneme bezrozměrný vztah mezi rychlostí nasávání a kumulativním absorbovaným objemem vody [6] (7) (8) (9) (10) Obr. 1. Odchylky I v závislosti na T podle definice v rovnici (12) pro absorpci vody hemisférickým infiltračním povrchem do semiinfinitního pevného materiálu, kde K je hydraulická vodivost. Kombinací rovnic (4) a (5) dostaneme (5) (6) Časovou závislost V a I je možné vyjádřit explicitně. Definicí (11) a použitím v 0 = di/dt dostaneme I a T vztahující se k rovnici hemisférického zdroje (12) Graf rovnice (12) je na obr. 1. Rovnice uvádějící do vztahu V a T je vyjádřena (13) Rozvinutím členů obsahujících V v rovnici (13) a zanedbáním sil V větších než 2 dostaneme (14) Obr. 2. Kolísání log V s log T podle definice rovnicí (13). 99

4 100 M. A. Wilson et al. větší než druhý člen a rovnice se redukuje na Úpravou rovnice (16) a rozvinutím v mocninách T dostaneme (16) (17) Pro velká T,bude 3/T malé a V 1. Tuto konstantní míru absorpce v dlouhých časových intervalech nelze snadno experimentálně prozkoumat, protože log T = 3,5 (obr. 2) odpovídá asi t = 92 hodinám pro dutinu o průměru 10 mm v maltě, pro niž S = 1,44 mm min -1/2 a ƒ = 0,27. APROXIMAČNÍ SLED NA HODNOTU TOKU Z HEMISFÉRICKÉ DUTINY Rozvinutím rovnice (12) o T = 0 dostaneme (18) Obr. 3. Srovnání mezi rovnicí (12) (spodní křivka) a prvními dvěma členy její bezrozměrné aproximace, rovnice (18) (horní křivka). jenž po nahrazení za V a T v rovnicích (9) a (11) vede k (pro krátké časové úseky) (15) což je identické s rovnicí popisující míru absorpce vody v jednorozměrné geometrii. Stejně jako v dvourozměrném případě [5] zde dochází v krátkých časových úsecích k pseudo jednorozměrnému chování. Logaritmický graf rovnice (13) je na obr. 2, kde v raném stadiu jasně vidíme lineární chování. Toto chování se rozšiřuje na T 0,003. U hemisférické dutiny o průměru 25 mm v materiálu, pro nějž platí ƒ = 0,25 a S = 1,5 mm min -1/2, tato hodnota T odpovídá času t= 1,5 s. To se rovná T=0,03, které odpovídá t 15 s, pro cylindrickou dutinu stejného poloměru ve stejném materiálu (viz obr. 2 v odkazu [5]). Z důvodu většího stupně zakřivení v hemisférické geometrii je trvání pseudo jednorozměrného chování kratší řádově 10x než ve dvourozměrném případě a je příliš krátké na to, aby jej bylo možné využít pro experimentální určení sorptivity. Vrátíme-li se k obr. 2, je možné asymptotické chování křivky při T vysvětlit prověřením chování rovnice (13) při velkých hodnotách T. Při velkých hodnotách T (a tudíž malých V) je první člen v rovnici (13) o dost Ponecháme-li první dva členy a nahradíme-li bezrozměrné proměnné, dostaneme (19) To můžeme srovnat s aproximačním sledem pro absorpci z cylindrického zdroje, (20) z něhož vidíme, že první člen je identický v každém z případů, ale koeficient t v hemisférickém případě je dvakrát větší než v případě cylindrickém. Srovnání mezi rovnicí (12) a prvními dvěma členy její aproximace, rovnice (18), je zobrazeno na obr. 3. Ve skutečnosti není rozvoj podle mocninové řady (18) striktně konvergentní a používáním jednoho nebo dvou dalších členů dochází k větším chybám. Dvoučlenná rovnice se však ukazuje být velmi adekvátní aproximací (chyby <3,5%) v rámci experimentálního rozmezí, které je pro nás zajímavé. URČENÍ SORPTIVITY Z TŘÍROZMĚRNÝCH ABSORPČNÍCH DAT Již jsme ukázali, že trvání pseudo jednorozměrného chování v hemisférickém zdroji je příliš krátké na to, aby bylo použitelné při stanovení sorptivity. Hemisférická absorpční data i(t)jsou tudíž Tabulka 1. Výsledky vložení dat i(t) generovaných rovnicí (22) do rovnice (19) S jako koeficient /" 2 f vypočítáno z S r o v rovnici (19) % koeficientu t % Vzorek (mm min -1/2 ) f (mm) (mm min" " 2 ) chyba v rovnici (19) chyba A B C

5 Water Movement in Porous Building Materials XI 101 Tabulka 2. Srovnání hodnot sorptivity odvozených z údajů o absorpci z hemisférického zdroje s hodnotami průměrné sorptivity určenými ze standardních jednorozměrných absorpčních dat Vzorek Popis Sorptivita standardní metodou (mm min -1/2 ) Sorptivita odvozená z 3-D absorpčních dat (mm min -1/2 ) % chyba HA1 HA1 1:3 Malta 0,89 0,99 +11,0 W/C 0.92 HA2 HA2 1:4 Malta 1,44 1,50 +4,2 W/C 1.37 HA3 HA3 1:2 Malta 0,69 0,66-3,7 W/C 0.74 HA4 Hliněná cihla 1,31 1,29-2,0 vložena do rovnice ve formě (21) Sorptivita stanovená z koeficientu srovnáním s rovnicí (19). V praxi je voda absorbována dutinou během doby, jež je potřebná k jejímu zaplnění. Z tohoto důvodu dojde k malému průsečíku na grafu i versus t a proto je nutné mít konstantní člen c v interpolační rovnici. Stejně jako v cylindrickém případě je možné metodu testovat na přesnost použitím rovnice (22) (získané substitucí bezrozměrných proměnných v rovnici (12)) a tím získáme teoretická data i(t), která poté vložíme do rovnice (19). Koeficient členu t 1/2 v rovnici (19) poté udává sorptivitu. Poté, co nalezneme sorptivitu, je možné poréznost vypočítat z koeficientu členu t v rovnici (19). Výsledky takového teoretického pokusu jsou v tabulce 1. U tohoto pokusu byla data i(t) z rovnice (22) interpolována tak, aby dodala celočíselné hodnoty t v jednominutových intervalech po dobu až 5 minut a pak v 5minutových intervalech po dobu až 25 minut a bylo tak možné simulovat experimentální postup. V pátém sloupci tabulky 1 můžeme vidět, že sorptivity udávané koeficienty t 1/2 jsou v rozumné míře přesné. Podle očekávání nízká sorptivita s velkým poloměrem vzorku A dává nejlepší výsledky. Porézní hodnoty (sloupec 7, tabulka 1) získané z koeficientu členu v t v rovnici (19) nejsou tak uspokojující jako hodnoty sorptivity odvozené od prvního členu této rovnice. EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE Byly provedeny experimenty na různých směsích malty a hliněných cihlách. Všechny vzorky byly odlity do krychlových forem o hraně 100 mm. Malta byla naložena pod vodou po dobu čtrnácti dnů a poté vysušena na konstantní hmotnost při 105 ⁰C. Hemisférické dutiny byly vytvořeny pomocí 25milimetrového upraveného vrtáku na zdivo s polokruhovým ostřím. U všech vzorků malty se předpokládalo, že jsou isotropní a sorptivita byla měřena napříč základnami vzorků pomocí standardní jednorozměrné absorpční procedury [3]. Z každého povrchu byla odstraněna vrstva materiálu o tloušťce asi 20 mm a skrze ni se prováděla měření sorptivity za účelem eliminace povrchových efektů [8]. Třírozměrná absorpční data byla získávána měřením kumulativního zvýšení hmotnosti původně suchých vzorků vzniklých působením absorpce vody z hemisférických dutin. Měření byla prováděna v 1minutových intervalech po dobu Obr. 4 Absorpce vody z hemisférických dutin. Experimentální referenční body a interpolace pomocí nejmenších čtverců do rovnice i = at 1/2 + bt + c. O, vzorek HA2;, vzorek HA4;, vzorek HA1;, vzorek HA3. prvních 5 minut a poté v 5minutových intervalech po dobu 25 minut. Data byla vložena do rovnice (21) a byly získány hodnoty sorptivity z koeficientů t 1/2. EXPERIMENTÁLNÍ VÝSLEDKY URČENÍ SORPTIVITY Z TŘÍROZMĚRNÝCH ABSORPČNÍCH DAT Tabulka 2 podává podrobnosti použitých vzorků a jejich sorptivity. Jednorozměrná sorptivita vzorku

6 102 M. A. Wilson et al. Tabulka 3. Výsledky sorptivity z tří experimentálních pokusů na stejném vzorku cihly Sorptivita odvozená V jednorozměrných tocích je však distribuce vždy podobná, a proto střední hodnota z 3-D absorpčních dat % Pokus (mm min -1/2 ) chyba cihly je geometrickou střední hodnotou sorptivit naměřených napříč základnou, cihlou uloženou napříč a čely rámu. Všechny hemisférické dutiny měly průměr 25 mm. V tabulce 2 je vidět, že hemisférické dutiny podávají velmi dobré výsledky, co se sorptivity týče. Obr. 4 ukazuje experimentální referenční body spolu s interpolací pomocí nejmenších čtverců do rovnice (21). Míra shody mezi experimenty a teorií se zdá být dobrá. Tabulka 3 udává sorptivity získané z tří experimentů provedených na stejném vzorku cihly, u kterého byla střední jednorozměrná sorptivita 1,31 mm min -1/2. Dokonce i nejhorší výsledek má chybu pouze 10%. Kalkulace bezrozměrných proměnných I a T Obr. 5 porovnává experimentálně určené hodnoty I a T s rovnicí (12). Experimentální data i, t byla konvertována na data I a T pomocí rovnic (8) a (11) a nezávisle určených hodnot S a f. Hodnoty S byly získány ze standardních jednorozměrných absorpčních experimentů. Hodnoty f byly hodnotami efektivní poréznosti určené pomocí experimentálního postupu popsaného v odkazu [5]. DISKUZE Ukázali jsme, že je možné použít první dva členy polynomu v t 1/2 pro aproximaci rovnice, která řídí absorpci z hemisférické dutiny, a že dobré odhady sorptivity je možné získat z třírozměrných absorpčních dat. Metoda není vhodná pro získání odhadů poréznosti. Prohlédnete-li si obr. 5, zjistíme, že rovnice (12) absorpci předpovídá poněkud přespříliš a to především v delších časových úsecích. Rozdíl mezi teorií a experimentem pravděpodobně odhaluje některá omezení modelu strmé mokré fronty. Především pak model strmé mokré fronty předpokládá, že smáčené oblasti jsou úplně nasyceny až do mokré fronty nebo alespoň jsou rovnoměrné a s konstantním nasycením. Ve skutečnosti existuje v nenasycených kapilárních tocích gradient obsahu vody z infiltračního povrchu do mokré fronty. T Obr. 5. Srovnání experimentálních a teoretických hodnot bezrozměrných proměnných I a T., vzorek HA1; O, vzorek HA2;. vzorek HA3;, vzorek HA4. Všechny dutiny měly průměr 25 mm. Plná křivka je grafem rovnice (12). obsahu vody smáčené oblasti je alespoň konstantní. V 2-D, a obzvláště pak 3-D tocích, střední hodnota obsahu vody progresivně klesá s posunem mokré fronty ven jednoduše proto, že je důsledkem zvyšování plochy mokré fronty (zvyšuje se jako r v 2-D a r 2 v 3-D). ZÁVĚR U absorpce z hemisférické dutiny je trvání pseudo jednorozměrného chování příliš krátké na tom, aby je bylo možné prakticky použít při určení sorptivity. Nejuspokojivější metodou analýzy dat je vložit hemisférická absorpční data do rovnice (21). Hodnoty sorptivity určené tímto způsobem se ukázaly být v dobré shodě s měřenou jednorozměrnou sorptivitou. Je nutné poznamenat, že rovnice popisující absorpci vody z hemisférické dutiny do poloprostoru se aplikuje stejně na absorpci ze sférické dutiny do infinitního média.