INTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "INTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí"

Vratislav Tichý
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: P (n) množina všech polynomů stupně n ÚLOHA LAGRANGEOVY INTERPOLACE značení: x 0, x 1,, x n y 0, y 1,, y n F (x) P (n) vzájemně různé body (uzly) dané hodnoty hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí F (x i ) = y i, i = 0, 1,, n interpolační polynom v Newtonově tvaru: N(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a n (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n1 ), kde a 0, a 1,, a n jsou koeficienty splňující soustavu rovnic a 0 = y 0 a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) = y 1 a 0 + a 1 (x x 0 ) + a (x x 0 )(x x 1 ) = y a 0 + a 1 (x n x 0 ) + + a n (x n x 0 ) (x n x n1 ) = y n Řešení lze popsat rekurzivním způsobem pomocí poměrných diferencí prvního, druhého, n-tého řádu výpočet pomocí tabulky poměrných diferencí si ukážeme na cvičení ÚLOHA HERMITEOVY INTERPOLACE značení: x 0, x 1,, x n y 0, y 1,, y n y 0, y 1,, y n F (x) P (n+1) vzájemně různé body (uzly) dané hodnoty dané hodnoty první derivace hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí F (x i ) = y i F (x i ) = y i, i = 0, 1,, n interpolační polynom v zobecněném Newtonově tvaru (Hermiteův interpolační polynom): H(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a n (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n1 ), kde a 0, a 1,, a n jsou koeficienty splňující soustavu rovnic (stejnou jako výše), přičemž každý uzel se v dané soustavě objevuje dvakrát a poměrné diference tvaru 0 jsou nahrazeny zadanými derivacemi 0

2 8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Příklad 1 Pro zadané hodnoty sestrojte a) interpolační polynom v Newtonově tvaru, b) Hermiteův interpolační polynom i 0 1 x i y i y i -1-9 y N(x) H(x) Řešení x

3 8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 3 Příklad Hodnotu aproximujte hodnotou a) interpolačního polynomu v Newtonově tvaru, b) Hermiteova interpolačního polynomu funkce f(x) = 3 x v uzlech x 0 = 1 a x 1 = 1 V obou případech určete absolutní chybu aproximace Zaokrouhlujte na 6 desetinných míst a) Úloha Lagrangeovy interpolace, interpolační polynom v Newtonově tvaru: i x i y i y(x i, x i+1 ) interpolační polynom v Newtonově tvaru: = N(x) = (x 1) N(105) = (105 1) = = odhad absolutní chyby: N(105) = b) Úloha Hermiteovy interpolace, interpolační polynom v zobecněném Newtonově tvaru: f(x) = 3 x f (x) = 1 3 x 3 i x i y i y(x i, x i+1 ) y(x i, x i+1, x i+ ) y(x 0, x 1, x, x 3 ) f (1) = = f (1) = = = = Hermiteův interpolační polynom v zobecněném Newtonově tvaru: H(x) = (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) H(105) = (105 1) (105 1) (105 1) (105 1) = = odhad absolutní chyby: H(105) =

8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Řešený příklad z praxe Nákladní trajekt spojující pevninu s ostrovem má maximální kapacitu 1 000 osobních vozů, ovšem nakládka vozů blížící se

4 8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Řešený příklad z praxe Nákladní trajekt spojující pevninu s ostrovem má maximální kapacitu osobních vozů, ovšem nakládka vozů blížící se maximální kapacitě je časově velmi náročná K dispozici máme tabulku s počty aut naloženými v daném čase Odhadněte, kolik vozů bylo naloženo za 1 hodinu, použitím a) interpolačního polynomu v Newtonově tvaru, b) Hermiteova interpolačního polynomu Řešení a) interpolační polynom v Newtonově tvaru čas [hod] y y Zdroj: [1] i x i y i y(x i, x i+1 ) y(x i, x i+1, x i+ ) y(x 0, x 1, x, x 3 ) Newtonův interpolační polynom: N(x) = (x 05) = 50 3 x3 10 N(1) = = b) Hermiteův interpolační polynom x (x 05) (x 07) x 69 8 (x 05) (x 07) (x 09) = i x i y i

5 8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 5 Hermiteův interpolační polynom: H(x) = = H(1) = = x x x x x x x Poznámka k výsledkům Pokud víme, že lze počet naložených vozů v čase t vyjádřit vztahem f(t) = t t + e t, porovnejte odhadnuté počty naložených aut za 1 hodinu se skutečnou hodnotou: t [hod] 1 N(t) H(t) f(t) Pozn Zajímají nás odhady počtů naložených aut po zaokrouhlení se odhady neliší od hodnoty spočítané ze zadané funkce Počet naložených aut během 1 hodiny je tedy 731 Zdroj: [1] (listopad 018) Kateřina Konečná/verze: 5 XI 018

Podobné dokumenty

INTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí

INTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí 8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: