MASARYKOVA UNIVERZITA

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY Číselné soustavy včera a dnes Bakalářská práce Brno Vedoucí práce: Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Vypracovala: Kateřina Roušová

2

3 Anotace Bakalářská práce Číselné soustavy včera a dnes se v první části zabývá vývojem zápisu čísel. Jednotlivé kapitoly jsou logicky rozčleněny podle národů nebo geografické polohy. Popisují číselnou symboliku v pozičních a nepozičních soustavách. Dále uvádí příklady aritmetických operací související s historickou problematikou. Druhá část se věnuje převodům mezi vybranými pozičními číselnými soustavami, které jsou využívány dnes. Abstract Bacherlor Thesis "Numerical systems then and now" deals in its first part with the developement of writing numbers. Separate chapters are divided logically by nations or geographical location. They describe the numerical symbolism in positional and non-positional systems. Furthermore they give examples of arithmetic operations related to historical issues. The second part is dedicated to transfers between selected positional number systems, which are still used nowadays. Klíčová slova Poziční a nepoziční číselné soustavy; převody zápisů čísel mezi soustavami; číselná symbolika; matematické operace; starověké civilizace; středověká Evropa; úhly; čas. Keywords Positional and non-positional numerical systems; transfers of numbers between systems; numerical symbolism; mathematical operations; medieval civilizations; medieval Europe; angles, time.

4 Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy university a se zákonem č. 121/2000 SB., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění předpisů. V Brně dne 2018 Kateřina Roušová

5 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucí mé bakalářské práce Mgr. Jitce Panáčové, Ph.D. za odborné vedení, trpělivost a ochotu, kterou mi v průběhu zpracování práce věnovala.

6 Obsah Úvod Historická část Vývoj zápisu čísla Číslovky Matematické operace Číselné soustavy Egypt Aritmetické operace Zlomky Mezopotámie Aritmetické operace Ostatní národy Blízkého Východu Starožidovská numerace Mayové Aztékové a Inkové Starověké Řecko Symbolika čísel Aritmetické operace Řím Aritmetické operace Čína Vývoj Abaku Indie Aritmetické operace Zlomky Islámské země Aritmetické operace Zlomky

7 12. Středověká Evropa Byzantská říše Arménie a Gruzie Rozšíření aritmetiky v poziční soustavě Teoretická část Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě Desítková soustava a vybrané nedesítkovésoustavy Desítková soustava Dvojková soustava Osmičková soustava Dvanáctková soustava Šestnáctková soustava Šedesátková soustava Převody čísel v pozičních soustavách Převody čísel mezi desítkovou a nedesítkovou soustavou Převod čísla z nedesítkové do desítkové soustavy Převod čísla z desítkové do nedesítkové soustavy Převody čísel mezi nedesítkovými soustavami Praktické využití pozičních soustav při výuce na ZŠ Údaje časové Početní operace s úhly Závěr Seznam obrázků Seznam tabulek Seznam použité literatury... 56

8 Úvod Ve své bakalářské práci s názvem Číselné soustavy včera a dnes se zabývám vývojem číselné symboliky, historií číselných soustav, výkladem principů zápisu a převodů čísel ve vybraných číselných soustavách a některými početními operacemi s nimi. Text je doplněn názornými obrázky příslušných číselných soustav a příklady. Práci jsem rozčlenila na historickou a teoretickou část. První historická část se věnuje nejstarším způsobům zápisu čísel a objasňuje vznik a vývoj pozičních a nepozičních soustav v různých starověkých kulturách a civilizacích, jakými byly například Egypt, Indie, Čína, Mezopotámie, Mayové atd. Poznatky pro historickou část jsem čerpala z literatury, která je uvedena v závěru práce. Druhá teoretická část se věnuje vybraným číselným soustavám, převody mezi soustavami. Ve své práci shrnuji možné převody zápisu čísla mezi desítkovými a nedesítkovými soustavami a naopak. V závěru teoretické části uvádím několik praktických školských příkladů časových a úhlových převodů. Bakalářskou práci bych ráda věnovala těm, kteří si chtějí prohloubit své znalosti o číselných soustavách a dozvědět se něco z jejich historie. Cílem této práce je shrnutí historického vývoje zápisu čísel od nejstarších dob. I v dnešní době se setkáváme s různými zápisy čísel. Malé děti se učí počítat pomocí prstů na ruce a při hrách používají žetony. Myslím si, že různé číselné soustavy používá denně každý z nás, třebaže mnohdy nevědomky, například při práci s počítačem

9 Historická část 1. Vývoj zápisu čísla 1.1. Číslovky První matematické pojmy jsou spjaty s obdobím doby kamenné, paleolitu. V té době se člověku rozvinul mozek natolik, že byl schopen se artikulovaně domluvit, ale byl i schopen abstraktního myšlení, které využíval při měření a počítání. Z archeologických vykopávek se dozvídáme, že první aritmetické a geometrické pojmy vytvořil člověk již v době kamenné Vývoj číslovek a číselných symbolů Podle slov Adama Smitha 1 jsou názvy čísel projevem jedné z nejabstraktnějších myšlenek, které je lidská mysl schopna vytvořit (Smith, 2005, str. 375). U některých jazyků, jako je například řečtina nebo keltština se pro číselné pojmy původně používalo podvojných tvarů. V praxi to znamenalo, že větší čísla vznikala spojováním. Číslo tři vznikalo sečtením 2 a 1, číslo čtyři sečtením 2 a 2, číslo pět sečtením 2 a 3. Ukazuje to i příklad termínů užívaných pro číslovky u některých australských kmenů: Murray River: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petchevalpetcheval Kamilaroi: 1 = mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bunan, 5 = bulan-guliba, 6= guliba-guliba (Struik, 1963) Rozvoj počítání, tedy i záznamů čísel, přišel v době, kdy se lidé usadili a stali se z nich zemědělci. Člověk začal hromadit dobytek a cenné věci, které si musel umět spočítat. Dále se rozvíjel obchod a řemesla, to znamenalo nezbytnost počítání ve větších množstvích. Čísla se vyjadřovala zpravidla pomocí základu pět (pomocí prstů na ruce), později i deset nebo dvacet (součet prstů na rukou i nohou). Číselné zprávy se zaznamenávaly různými způsoby pomocí kamínků či mušlí, které se kladly na hromádky. Dále se využívaly zářezy na holi nebo kosti (tzv. vrubovky) a uzlíky na provázcích. Pro znázornění větších čísel byly však tyto zápisy nepřehledné, a proto velkým pokrokem bylo sdružovat zářezy do skupin. O tom svědčí jeden z 1 Adam Smith ( ) skotský ekonom a filosof. Autor jedné z nejvlivnějších ekonomických knih v dějinách An Inquiry in to the Nature and Causes of the Wealthof Nations

10 nejstarších zápisů čísla z doby paleolitu na vlčí kosti dlouhé přibližně 18 cm s 55 zářezy, která byla nalezena archeologem Karlem Absolonem v r v Dolních Věstonicích na Moravě. Tento zápis obsahuje 25 a 30 zářezů sdružených do skupin po pěti. Obrázek 1:Holení kost vlka se zářezy Zdroj: (Jelínek, 1974, str. 18) Inkové například používali pro určení počtu předmětů uzly na provázcích, přičemž barevně odlišovali druh počítaného předmětu. Nelze vždy objasnit vznik všech číselných symbolů, je však jisté, že dnešní číslice 1, 2 a 3 byly utvořeny ze zápisu jedné, dvou nebo tří čárek. Existují domněnky, že slovo číslo je odvozeno z latinského ciselare (v překladu razit či rýt neboli dělat značky, zářezy). (Kolman, 1968, str. 24) 1.2. Matematické operace Zápis čísla pomocí prstů či kamínků podpořil v rozvoji matematického myšlení zejména rozvoj matematických operací. Pojem calculare (počítat) je odvozen od slova calculus (kamínek). Jako obtížné se ukázalo samotné vyčíslování. Ještě nyní některé kmeny na nízkém stupni vývoje vyčíslují velká čísla takto: jeden člověk ukazuje na prstech jednotky, druhý desítky, třetí stovky. (Kolman, 1968) Celá tisíciletí byly jedinými matematickými operacemi sčítání a odčítání. Postupem času vzniklo i násobení. Již ve staroegyptské matematice se používala dvojí operace zdvojování a sčítání. Operace dělení vznikla mnohem později než násobení. Poté relativně brzy vznikl pojem jedné poloviny. Tento pojem nesouvisel s číslem dvě. Toto tvrzení dokládá fakt, že v žádném jazyce slova polovina a dvě nemají společný základ (česky: půl, dva; anglicky: half, two). Poznání, že je dělení inverzní operací k násobení, je výsledkem dlouhodobého vývoje matematického myšlení

11 Se vznikem matematických operací je spojen počátek nových početních soustav, které těchto operací využívají Číselné soustavy Číselná soustava je způsob reprezentace čísel. Podle způsobu určení hodnoty čísla z dané reprezentace se rozlišují dva hlavní druhy číselných soustav: poziční číselné soustavy a nepoziční číselné soustavy. (eknihovna: Mendelova univerzita v Brně, 2017) Nepoziční číselná soustava Nepoziční číselná soustava je způsob reprezentace čísel, ve kterém není hodnota číslice dána její pozicí v dané sekvenci číslic. Symboly pro číslice nepoziční číselné soustavy jsou kladeny za sebe v libovolném pořadí a tím tvoří čísla. Příkladem zápisu čísla v nepoziční číselné soustavě může být následující číslo: jestliže zvolíme označení A=1, B=10, C=100, D=1000, pak zápis v nepoziční číselné soustavě např. číslo 3542 může vypadat takto: AABBBBCCCCCDDD V těchto soustavách se nevyskytoval symbol pro zápis nuly. Nepoziční číselné soustavy se už prakticky nepoužívají, ale můžeme se ještě dnes s nimi stále setkat, např. římská číselná soustava Poziční číselná soustava Poziční číselná soustava je způsob reprezentace čísel, ve kterém je hodnota číslice dána její pozicí v dané sekvenci číslic. Charakteristikou pozičních soustav je základ, kterým je přirozené číslo větší než jedna. Zároveň základ určuje počet symbolů pro číslice v dané soustavě. První známky o existenci pozičních číselných soustav pochází z Babylonie před 5000 lety jednalo se o tzv. šedesátkovou soustavu. V dnešní době využíváme převážně poziční soustavu desítkovou. Výhodou pozičních soustav je velká pružnost a malá množina číslic pro zápis jednotlivých čísel

12 2. Egypt Ve starém Egyptě byly každoroční záplavy Nilu, a proto byli Egypťané nuceni opakovaně vyměřovat svá políčka. K tomu byla zapotřebí dobře fungující administrativa a s ní spojené vybírání a evidování daní, což se bez počítání neobešlo. Geometrie se zde pojila převážně se stavitelstvím. Po sjednocení Egyptské říše začátkem 3. tisíciletí př. n. l. prošla matematika značným vývojem. Čísla můžeme najít na hieroglyfických nápisech. Slavnostní nápisy byly tesány do kamene. Jednalo se například o činy vládců, které měly být uchovány navěky. Pro ty běžnější události se používal papyrus, který nebyl tak trvanlivý, avšak suché egyptské podnebí umožňovalo jeho zachování po delší dobu. Staří Egypťané užívali desítkové číselné soustavy, přičemž existovaly zvláštní číselné znaky (viz Obrázek 2) počínaje jedničkou včetně mocniny 10 do (Kolman, 1968) Obrázek 2: Číslicová symbolika v Egyptě Zdroj: (eprojekt: mezipředmětové vztahy v projektové výuce, 2017) Jedničku symbolizuje obraz měřící hole. Desítka je hieroglyf, který představuje kraví pouta na nohy neboli val. Stovku znázorňuje měřický provazec, dělící se na

13 loktů, užívaný k měření polí. Další prameny uvádějí, že se také mohlo jednat o svinutý palmový list. Číslo tisíc představovalo květ lotosu, který kvetl na březích Nilu a byl to symbol hojnosti. Deset tisíc vyjadřuje ukazovák. Sto tisíc byl symbol pulce (pulců bylo vždy při záplavách Nilu velké množství). Milión zobrazoval jednoho z bohů. Tento znak se ztotožňoval s nekonečnem. Egypťané vyjadřovali všechna ostatní čísla tak, že tyto znaky opakovali a kladli vedle sebe. Všechny své hieroglyfické nápisy psali zprava doleva postupně od nejnižších řádů. Stejné znaky přitom psali ve skupinách nejvýše po čtyřech znacích. Obrázek 3: Symbol pro Zdroj: (Kolman, 1968) Symbol na Obrázku 3 je znak pro deset miliónů. Existují různé dohady, co tento znak měl znamenat. Podle některých názorů je to Slunce, podle jiných obzor nebo dokonce prsten. Jako příklad zápisu, kterého užívali staří Egypťané, uvádím číslo : Tuto soustavu považujeme za nepoziční desítkovou, což znamená, že číslice lze dle libosti přehazovat, aniž by se číselná hodnota zapsaného čísla změnila. Se vznikem hieratického (rychlopisné zkratky hieroglyfů) a později démotického (abecedního) písma se změnila i podoba číselných znaků. Egypťané začali psát číslice od vyšších řádů k nižším a změnila se i podoba písma Aritmetické operace Z matematických papyrů se dozvídáme, že Egypťané prováděli čtyři základní aritmetické operace (s přirozenými čísly). Egypťané sčítali a odčítali stejně jako my dnes. Sčítali jednotky stejného řádu (vyjádřeno stejnými znaky) a pokud přesáhl počet jednotek deset, přičetli jedničku k následujícímu vyššímu řádu. Znak pro sčítání je uvedený na Obrázku 4 (pata ve směru psaní symbolizovala plus), symbol osově symetrický s tímto znakem (pata směřovala proti směru psaní) označoval mínus

14 Obrázek 4: Hieroglyf pro sčítání Zdroj: (Cajori, 1993) Způsob, jakým Egypťané násobili, pramenil z tradic předků, kteří užívali dvojkové soustavy. Násobení převáděli na zdvojování a sčítání. Na výpočet si sestavili jednoduchou tabulku se dvěma sloupci. Její princip demonstruji na příkladu Následující řádek tabulky vždy vzniká zdvojením předchozího. Poslední číslo v levém sloupci nesmí převyšovat násobitele (11). Celkový součin dvou čísel byl hledán následujícím způsobem: v levém sloupci Egypťané vybrali ta čísla, jejichž součet byl 11, přičemž postupovali zdola nahoru. Takto vybraná čísla levého sloupce jsou v tabulce označena čárkou. Sečtením odpovídajících čísel na pravé straně tabulky získáme celkový součin / 1 15 / / Dohromady: = 165 Pro dělení používali Egypťané stejný vzorec. Tedy zdvojnásobovali dělitele tak dlouho, dokud součet pravého sloupce nebyl dělenec. Podíl je dán součtem odpovídajících čísel v levém sloupci. Tento způsob si ukážeme na příkladu / / Výsledek dělení je dán součtem odpovídajících čísel v levém sloupci, tedy = 18. Jako samostatné aritmetické operace se zdvojování a půlení dochovalo v západoevropských učebnicích až do 17. století

15 2.2. Zlomky Zlomky v Egyptě vznikly při vyměřování a dělení pole na části. Zpočátku zlomky vyjadřovaly konkrétní jednotky plochy setata. Nejstaršími zlomky byly s mocninou dvou ve jmenovateli a jedničkou v čitateli ( 1 ; 1 ; 1 "setata"). Jejich vznik souvisí s procesem půlení. Pro zlomky 1 3 ; 2 3 ; 1 4 ; 3 4 ; 1 6 a 5 6 existovaly speciální symboly (viz Obrázek 5). Obrázek 5: Zlomky v hieroglyfickém písmu Zdroj: (Bečvář, M., & Vymazalová, 2003, str. 43) Egypťané také používali tzv. kmenné zlomky (tvaru 1 ). Nad číslem, které n představovalo jmenovatele kmenného zlomku, byl zakreslen symbol úst (viz výše uvedené označení zlomků na Obrázku 5). V hieratickém zápisu se místo symbolu úst psala tečka. (Bečvář, M., & Vymazalová, 2003, str. 43) 3. Mezopotámie Matematika v Mezopotámii byla na mnohem větší úrovni než v Egyptě. Její pokrok lze sledovat v průběhu jednotlivých století. Jedny z nejstarších textů pocházejí z posledního sumerského období a obsahují multiplikační tabulky. V těchto tabulkách je desítkový systém doplněn o poziční šedesátkový, který byl velmi dobře propracován. Sumerové a později Babylóňané, kteří žili ve středověké Mezopotámii přibližně 3000 let př. n. l., psali na hliněné tabulky pomocí dřevěných tyčinek nebo rákosu. Rydla byla seříznuta do tvaru klínku. Tabulky se poté vypalovaly na slunci nebo v peci. Značka pro klín symbolizovala číslo 1, značka symbolizovala číslo 10. Opakováním uvedených dvou znaků zapisovali Sumerové ostatní čísla od 1 do 59. Tento způsob zapisování převzali i Babyloňané, kteří kolem roku 1800 př. n. l. ovládli Mezopotámii, a po kterých je tento způsob pojmenován. Jako příklad nám poslouží číslo 12, na kterém vidíme, že nalevo zapisovali desítky a napravo jednotky

16 Při zápisu čísel větších než 59 znamenal znak pro 1 také čísla 60, 60 2, 60 3, 60 4, 60 5, Řády se zapisovaly do řádku zleva a po vzoru Egypťanů se začaly později znaky sdružovat do skupin, a to buď po třech, nebo po čtyřech. Tento způsob zápisu je znázorněn na příkladu čísla 83 = : Obrázek 6: Babylonská čísla v klínovém písmu Zdroj: (eprojekt: mezipředmětové vztahy v projektové výuce, 2017) Babyloňané zápisem v klínovém písmu, který je uveden na Obrázku 6, udělali velký objev. Byli první, kteří zavedli poziční numerační soustavu. S pozůstatky této soustavy o základu 60 se setkáváme i dnes při uvádění časových údajů a měření úhlů. Výhodou šedesátkové soustavy je fakt, že číslo 60 je dělitelné čísly: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Nedostatek v této soustavě vidím v tom, že Babyloňané ještě neznali nulu jako číslo. Z toho důvodu neměli pro nulu ani znak, a proto některé zápisy čísla nejsou úplně jasné. Můžeme se pouze dohadovat, co například znamenají tyto symboly:. Není z nich patrno, zda se jedná o číslo dva nebo šedesát jedna. V pozdějších dobách se na místo nuly dělala mezera nebo jiná speciální znaménka

17 3.1. Aritmetické operace Výrazný rozdíl mezi Egypťany a Babyloňany byl ten, že Babyloňané u svých výpočtů uváděli pouze výsledky. Například napsali: 1 10 a sečteme a dostaneme V našem zápise to znamená: = Stejným způsobem se zapisovalo i odečítání. (Kolman, 1968) Dalším rozdílem bylo, že Babyloňané neprováděli zdvojnásobování, ale násobili přímo podle řádů. Tento způsob používáme dodnes. Pro zjednodušení výpočtů používali Babyloňané tabulky, díky kterým si nemuseli pamatovat součiny od 2 2 až po Tyto tabulky byly sestaveny pouze pro čísla, která neměla jiné dělitele než 2, 3, 5. Dále při násobení využívali tabulek převrácených hodnot, kterými se také dělilo. V tabulce se nalezla hodnota převrácená k děliteli. Ta byla vynásobena dělencem. Nebyla-li reciproká hodnota v tabulce, Babyloňané určili výsledek přibližně. Později začali Babyloňané i dělit jako my, podle řádů. (Kolman, 1968) 4. Ostatní národy Blízkého Východu Po 4. tisíciletí př. n. l. v severovýchodní části Mezopotámie vznikla raně otrokářská asyrská říše, jejíž rozvoj vrcholil v polovině 2. tisíciletí př. n. l. V století př. n. l. si Asýrie podmanila několik sousedních území, začala obchodovat se vzdálenými zeměmi a měla vysoce rozvinutou architekturu a techniku. Asyřané měli pečlivě vypracovanou berní soustavu, kterou se periodicky sčítalo obyvatelstvo a majetek. Podobně je tomu i s ostatními starými civilizacemi, které zakládaly raně otrokářské státy na Blízkém Východě. Mezi tyto civilizace řadíme Chetity, kteří počátkem 3. tisíciletí př. n. l. vybudovali otrokářskou říší ve východní části Malé Asie a v severní Sýrii. Hieroglyfické a později klínové písmo Chetitů rozluštil roku 1917 český vědec Bedřich Hrozný 2. Asyrská číselná soustava nebyla poziční a používala zvláštní znaky pro 1, 2, 5, 10, 20, 100. Jejich kombinací vytvářeli další symboly, které jsou uvedeny na Obrázku 7. 2 Bedřich Hrozný ( ) český klínopisec a orientalista. Rozluštil jazyk starověkých Chetitů a položil tak základy oboru chetitologie

18 Obrázek 7: Asyrská číselná soustava Zdroj: (Kolman, 1968, str. 63) Proti tomu foinická numerace používala speciální znaky: 1 =, 10 =, 20 = a 100 =, ze kterých se sestavovaly symboly pro ostatní číslovky. Obrázek 8: Foinická numerace Zdroj: (Kolman, 1968, str. 63) Předpokládá se, že asyrská a foinická číselná soustava mají stejný původ. Stopy můžeme pozorovat v podobnosti znaků 1 a 10. Rozdíl ve velikosti symbolu čísla 10 se vysvětluje tím, že Asyřané psali zleva doprava, zatímco Foiničané zprava doleva. Pravděpodobně je foinická soustava starší Starožidovská numerace Staří Židé vyjadřovali čísla abecedou, a to v desítkové soustavě. Tato numerace používala 22 znaků hebrejské abecedy a byla doplněna pěti koncovými písmeny. Toto jsou znaky pro záznam čísel:

19 Obrázek 9: Starožidovská numerace Zdroj: (Kolman, 1968) Židé tečkou odlišovali číslice od písmene. Čísla větší než 1000 měla totožné symboly jako 1, 2, a nad nimi se psaly buď dvě tečky nebo symbol. Na obrázku 10 je ukázka zápisu čísla Obrázek 10: Ukázka zápisu čísla Zdroj: (Kolman, 1968) 5. Mayové Mayové žili ve střední Americe na poloostrově Yucatan, který je na území dnešního Mexika. Tato civilizace vynikala v astronomickém pozorování a velice přesnými a spolehlivými kalendáři. Psali hieroglyfickým písmem, které mělo rysy piktografického písma a bylo na mnohem nižším stupni než písmo egyptské. Zásadním matematickým počinem je, že se na tomto místě postupně vyvinula poziční numerační soustava včetně nuly. Tato soustava byla dvacítková (tzv. vigesimální soustava), kombinovaná s pětkovou. Dokládá to fakt, že Mayové chodili bosi a byli zvyklí počítat na rukou i nohou. Výhodou kombinace dvou soustav bylo, že zápis velkého čísla bylo možné zapsat pouze třemi symboly. Čísla od nuly do 19 se zapisovala takto: Obrázek 11: Mayská numerace Zdroj: (Kolman, 1968, str. 64)

20 uvádí. Symbol pro nulu je obrazem mušle, nikoli zavřeným okem, jak se mnohdy chybně Čísla se v této soustavě nezapisují do řádku, jak jsme zvyklí, ale do sloupce zdola nahoru; základní místo vyznačující jednotky je dole, nad ním se zapisují skupiny řádu prvního, druhého atd. tj. skupiny začínající 20, 20 2, 20 3 jednotek. (Jelínek, 1974) Zápis vyšších čísel vypadal takto: = Zajímavostí je, že největší nalezené číslo, které bylo zapsáno tímto způsobem, je dní, to znamená roků. Mayové podle historiků neuměli psát zlomky, nebo znaky pro psaní zlomků nebyly dochovány. 6. Aztékové a Inkové Říše Aztéků vznikla ve 12. stol. n. l. v Mexiku. Aztékové používali hieroglyfické písmo a k výpočtům používali dvacítkovou nepoziční soustavu. Symboly pro čísla vypadala takto: Obrázek 12: Numerace Aztéků Zdroj: (Kolman, 1968, str. 68) Další symbol byl pro číslo 400 a vypadal takto Z tohoto znaku se postupně získávaly další hodnoty 300 =, 200 = a 100 =. Další speciální znak mělo číslo 8000 =. Inkové obývali v stol. n. l. největší indiánskou říši předkolumbovské Ameriky. Žili na území Peru a okolí u jezera Titicaca. Pravděpodobně neměli písmo ani číslovky, i když někteří autoři se domnívají, že Inkové měli plnohodnotné písmo, ale to

21 bylo pouze pro kněze. Tato domněnka nebyla zatím potvrzena. Proto vycházíme z nálezů, že veškeré záznamy vedli v uzlících kipu (quipo) na barevných šňůrkách. Základní aritmetické operace zvládali zpaměti. Matematicky byli Inkové na úrovni neolitu. 7. Starověké Řecko V století př. n. l. vznikaly v Řecku otrokářské státy. Nejvýznamnější se nacházely ve střední části západního pobřeží Malé Asie v Ionii. Řekové postupně přešli od tyranie k otrokářské demokracii, v té době to byla pokroková vláda. Do této fáze dospěly i Atény kolem roku 500 př. n. l.. Rozvoj vědeckých znalostí souvisel s rozvojem zemědělství, stavitelství a řemeslné výroby. Počátkem 7. století př. n. l. vznikla v Ionii nová věda zahrnující matematické, lékařské, astronomické, meteorologické, zeměpisné, ekonomické, politické a filosofické poznatky, ze kterých tvoří jeden celek. Matematické znalosti získali Řekové z babylonských, egyptských a foinických pramenů. S rozvojem otrokářské demokracie přibližně v 6. století př. n. l.se do popředí dostala teoretická stránka matematiky, různé praktické výpočty nechávali Řekové počítat otroky. Došlo k rozdělení na teoretickou a praktickou matematiku, kdy se teoretická matematika nestala samostatným oborem, ale byla součástí filosofie. Matematici se snažili veškeré úlohy zobecňovat. Teoretická geometrie a aritmetika obsahovala návody na řešení úloh. Praktické obory kladly důraz na správnost řešení, ke kterému mnohdy patřily i důkazy. Matematika začala existovat jako samostatný vědní obor od poloviny 6. století př.n.l. Přibližně 300 př.n.l. vzniklo vrcholné dílo matematiky Základy, jejímž autorem byl Eukleides (300 př. n. l. 265 př. n. l.) - nejvýznamnější matematik řecko-římské antiky. Toto dílo ovlivnilo západní matematiku po dobu více než 2000 let. V průběhu rozvoje matematiky Řekové získávali mnoho elementárních znalostí, díky kterým mohli dokazovat matematické věty. V pozdějších dobách byly důkazy vyžadovány u každého tvrzení a byly odlišovány výchozí pojmy od předpokladů. 7.1 Symbolika čísel V 10. století př. n. l. se začaly objevovat první psané symboly číslic, kdy Řekové začali používat písmo vzniklé z foinické abecedy. Samotný systém psaní čísel byl založen

22 na aditivním principu 3 desítkové soustavy, stejně jako v Egyptě. V průběhu antického období se způsob zápisu čísel měnil původní tzv. akrofonická soustava číslic byla posléze nahrazena analfabetickou soustavou, která částečně ovlivnila podobu římských číslic. Nejednotnost Řecka měla vliv na rozdíly při vyjadřování číslic, jak bude patrno v následujícím textu. V jednotlivých městských státech užívali vlastní symboliku k zápisu číslic, která se často navzájem lišila. Jedním z největších a nejvýznamnějších antických řeckých městských států byly Atény. Kolem 5.století př.n.l. zde byl číselný systém vyjádřen nepoziční desítkovou soustavou, pouze počítání s drachmami, talenty a oboly 4 se provádělo v šedesátkové soustavě. Jedničku reprezentovala svislá čára, zbylé symboly pocházejí z archaické řecké abecedy (viz Tabulka 1). Tento způsob zápisu nazýváme akrofonickou soustavou číslic, ve které byla vybraná čísla označena písmenem, jímž začínalo jejich čtení. Tabulka 1: Označení některých čísel Zdroj: (Špidurová, 2014) Řekové používali různé znaky pro mocniny čísla deset a také pro násobky těchto čísel s číslem pět. Násobky čísla pět obvykle vznikaly multiplikativním způsobem 5. V Tabulce 2 vidíme, jak byl vytvořen zápis například pro čísla 50, 500, a číslo pět je zastoupeno archaickou formou a dovnitř tohoto písmena se vhodně umisťovaly symboly s danou mocninou čísla deset. Tato čísla se využívala pro měření míry, hmotnosti, ale i pro počítání s penězi a zastupovala dnešní přirozená čísla. 3 Aditivní princip desítkové soustavy hodnota čísla se získá prostým součtem hodnot použitých znaků, proto je zapotřebí znaků pro jednotky, desítky a další. Např. symbol dvou jedniček dnes chápeme jako číslo jedenáct oproti tomu v nepoziční soustavě by dvě jedničky znamenaly součet, a to jest dvě. 4 Drachmé = hrst, talent = 25-36kg, v pozdějších dobách se názvy staly mincemi 1drachma = 6obolů, 1talent = 6000drachem 5 Multiplikativní princip jedná se o nahrazení pětice stejných symbolů pomocí operace násobení v zápise čísel, jejichž hodnota přesahuje číslo pět v libovolném řádu. Např. číslo 829 by v aditivním zápise mělo 19 symbolů, tj. H H H H H H H H. Pomocí multiplikativního způsobu obsahuje pouze jedenáct symbolů ΓH H H H Γ

23 Tabulka 2: Způsob vytváření čísel Zdroj: (Špidurová, 2014) Obrázek 13:Systém psaní čísel na území Attiky v 5. století př. n. l Zdroj:(Špidurová, 2014) Systém čísel na Obrázku 13 pochází z 5. století př. n. l. z území Attiky, která je historickým krajem Řecka, na němž leží hlavní město Atény a několik dalších měst. Po drobných úpravách se tento systém ve druhé polovině 1. tisíciletí př. n. l. ujal v mnohých státech antického Řecka. Ve 3. století př. n. l. na ostrově Kos se číselný zápis lišil od akrofonického systému (viz Obrázek 14). Nejvýraznější změnou je absence speciálního znaku pro číslo pět, což způsobilo, že všechna čísla od 1 do 9 včetně se tvořila kumulací symbolu, který označoval jedničku (tzv. drachma). Zavedení násobků pěti s mocninou deseti se v podstatě ztotožňuje s akrofonickým systémem, jedinou změnu můžeme pozorovat ve tvaru archaického písmene

24 Obrázek 14: Číselná soustava na ostrově Kos Zdroj: (Špidurová, 2014) V dalším starověkém řeckém městě Epidauru se používal systém (viz Obrázek 15), který byl založený na opakování a vycházel z krétského systému. Zcela striktně se uplatňovaly symboly pro jednotku, desítku, stovku a tisícovku. Koncem 4. století př. n. l. se objevil speciální znak pro číslo pět, byla využita archaická podoba písmene Pí. Tento znak sloužil jako pojem násobku pětky, požadovaný násobek musíme vhodně vybrat zvoleným symbolem pro jednotku, desítku, stovku či tisícovku. Obrázek 15: Systém čísel od konce 4. do 3. století př.n.l. v Epidauru Zdroj:(Špidurová, 2014) Starověká řecká Nemea měla ve 4. století př. n. l. také svůj nepoziční číselný systém (viz Obrázek 16). Jednotka měla symbol tečky, desítka byla symbolizovaná a zápis čísla 100 byl totožný se zápisem užívaným v Epidauru. Zajímavé na tomto systému je, že mělo číslo 50 svůj symbol, které je totožné jako v akrofonickém systému, ale jiný násobek pětky v této soustavě zastoupen nebyl

25 Obrázek 16: Číselný systém v Nemee Zdroj: (Špidurová, 2014) Další řecké městské státy používaly číselné systémy převzaté z jižní Arábie nebo z Říma Sjednocený zápis čísel V pozdní antice, označované jako helénistické období ( př. n. l.), se používaly dva různé systémy zápisu čísel. Akrofonický (popsaný v předešlém textu) a alfabetický, který k vyjádření čísel a číslic využívá všech 27 písmen řecké abecedy (viz Obrázek 17). Celá soustava byla nepoziční, proto bylo nutné opatrnosti při počítání. Obrázek 17: Označení čísel dle druhého způsobu Zdroj: (Jelínek, 1974, str. 32) Symboly pro čísla 6, 90, 900 jsou stará řecká písmena, která se již nevyužívají. Tisíce se zapisovaly pomocí apostrofu na prvních devíti znacích např. ε označovalo Desetitisíce se zapisovaly pomocí velkého písmene M. Například označovalo Řecký zápis čísla vypadal takto: Vědci se domnívají, že tento systém byl inspirován královstvím Sába, kde k zápisu čísel využívali celou svoji abecedu. Aby nedocházelo k nejasnostem mezi písmeny a čísly, čísla byla ohraničena svislými čarami

26 7.2 Aritmetické operace Výpočty usnadňovaly Řekům tabulky pro sčítání a násobení. Sčítání prováděli v řádku, nezapisovali pod sebe čísla stejných řádů. Podobným způsobem zapisovali i ostatní operace. Dále neměli znaky pro matematické operace, místo symbolu = psali homoi v překladu dohromady, nebo před výsledek psali znak gignetai dostáváme. Dosud nevíme, jakým způsobem Řekové dělili. V pozdějších dobách měli pravděpodobně stejný způsob, jako my dnes. Při dělení se zbytkem výsledek vyjadřovali pomocí zlomků nebo výsledek zaokrouhlili. Zlomky se vyjadřovaly třemi způsoby. Nejvíce se používalo vyjádření pomocí kmenných zlomků. Každý kmenný zlomek 1 n měl doplňkový zlomek n 1 n a dohromady dávaly 1. Dlouho se tyto zlomky zapisovaly slovně, později pro ně byly vytvořeny symboly. Obecné zlomky se zapisovaly jako m-násobky kmenných zlomků nebo pomocí znaků pro dělení m : n. Řekové v té době uměli převádět zlomky na společného jmenovatele, krátit a rozšiřovat. 8. Řím Číselné soustavy Etrusků a Římanů byly pro některé zápisy číslic podobné, porovnání etruských a starořímských číselných znaků je patrno z Obrázku 18: Obrázek 18: Porovnání etruských a starořímských číselných znaků Zdroj: (Kolman, 1968, str. 171) Číselný zápis Etrusků reprezentují písmena. Není ale jisté, zda představují počáteční písmena číslovek nebo byla vzata dle abecedního pořadí. Římané znali alfabetickou soustavu pro zápis čísel, ale nepřejali ji. Užívali později znaků pro zápis číslic, jak ukazuje Tabulka 3. Zápisy jednotlivých čísel byly tvořeny pomocí těchto číselných znaků, v případě potřeby i opakováním těchto znaků jako při egyptské numeraci. Číslice se zapisovaly zleva doprava podle velikosti čísel, např. číslo 1972 bylo zapsáno MDCCCCLXII. Popsaná numerace, kterou používali Římané je nepoziční. Římské číslice jsou dosud k vidění, můžeme je shlédnout na budovách, hodinách, při označování kapitol v knize, na pomnících apod

27 Tabulka 3: Číselné znaky Římanů 1 I 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D 1000 M Zdroj: zpracování vlastní Etruský a starořímský číselný systém byl podobný také v principu vytváření čísel. Předpokladem tvorby čísel je odčítání. Římský způsob zápisu čísel: 4 = IV, 8 = IIX, 40 = XL, 90 = XC, 400 = CD. Podobným způsobem zapisovali čísla také Etruskové s tím rozdílem, že odčítaný symbol zapisovali napravo. Číslo 45 se zapisoval takto V. Čísla větší než tisíc se zapisovala pomocí různých symbolů nad číslicemi, číslo se zapisovalo X X, vodorovný pruh symbolizoval tisícinásobek. 8.1 Aritmetické operace Nejstarší způsob počítání bylo pro Římany sčítání pomocí prstů na ruce. Druhým způsobem bylo sčítání na abaku. Počítání s římskými čísly je obtížné. Pravděpodobně se používaly nějaké zkratky a triky, ani dnes čísla MMCDXLV DCXVII neodečteme jinak, než že si je převedeme do desítkové soustavy a výsledek zase zpět 6. Násobení usnadňovaly tabulky, které většina Římanů znala zpaměti nebo je měli v písemné podobě. Celkové počítání s římskými čísly bylo velice nepraktické. 9. Čína V Číně se matematika využívala především pro výpočty při tvorbě kalendářů, které pochází z období poloviny 2. tisíciletí př. n. l. V tomto období bylo zemědělství hlavní obživou obyvatelů, proto byly kalendáře propracované a dokazují dobré aritmetické znalosti. Do počátku našeho letopočtu nemáme žádné písemné zmínky o vývoji matematiky v Číně. Prvním významným dochovaným dílem je Matematika v devíti kapitolách (někteří autoři uvádí překlad: Matematika v devíti knihách), který obsahuje mnoho nových znalostí, jež podstatně přispěly k následnému vývoji matematiky = MDCCCXXVII

28 Nejstarší čínské zápisy čísel pochází ze 14. až 11. stol. př. n. l. a nachází se na magických kostkách, dále z 10. až 3. století na mincích a bronzových nebo keramických předmětech. Nejvyšším číslem, které se zde objevuje je Číňané počítali v desítkové soustavě, která měla odraz v indické desítkové soustavě, nikoliv ve tvaru číslic, ale v myšlence výhodnosti desítkových soustav. Příslušné číslice pro čísla od 1 do 10 jsou uvedeny ve čtvrtém a pátém sloupci tabulky (Obrázek 19). Číslice od 1 do 4 jsou vytvořeny prostřednictvím vodorovných rovnoběžných čar. Původ číslic pro čísla 5-9 není znám. Deset se značí jednou svislou čárkou. Dále existovaly speciální znaky pro čísla 100 a Ostatní velká čísla se vyjadřovala skládáním a násobením. Zápis čísel vypadal tak, že se ke svislé čárce přidal potřebný počet menších vodorovných čárek. Záznam čísel se psal ve tvaru vidlicově spojených 2, 3, 4 svislých čárek nebo přeškrtáváním znaku 10 znaky 2, 3 a 4. Čísla 50 nebo 80 se zapisovala tak, že se nad znaky čísla 5 nebo 8 udělal znak pro 10. Ve 4. století př. n. l. začali Číňané využívat zjednodušený zápis pomocí tyčinek. Tohoto zápisu se využívalo až do 13. století. Čísla se vytvářela pomocí aditivního principu ze svislých a vodorovných úseček. Velké množství úseček bylo nepřehledné při zápisu velkých čísel, proto se zápis čísel 6-9 zjednodušil. A to tím způsobem, že se pro číslo 5 používala jen jedna tyčinka. Takové zjednodušení bylo dále pro čísla 60 90, kde se 50 značila právě jednou tyčinkou. Číselná soustava využívající tyčinky byla nejstarší, poziční, desítková soustava. Výslovně nacházíme princip poziční hodnoty vyjádřený u čínského učence z 3. nebo 4. století Sun c 7 : Při počítání musíme znát především postavení čísla, jednotky jsou svislé, desítky vodorovné; stovky stojí, zatímco tisícovky leží; tak mají stovky a tisícovky shodný tvar, stejně jako desetitisíce a stovky. (Juškevič, 1977) 7 Sun-c čínský matematik a astronom. Je autorem knihy Matematická klasika Mistra Suna

29 Obrázek 19: Číslice v starověké a středověké Číně Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 21) Čísla se psala do řádku a stejně jako u babylónské numerace chybí v zápisu nula. Zajisté to má souvislost s počítáním na abaku, kde nebyl symbol pro nulu potřeba (na desce se vynechalo místo). Symbol nuly byl přinesen do Číny zvenčí. Poprvé o něm byla zmínka v astronomickém a astrologickém pojednání, které bylo napsané mezi roky 718 a 729, autorem pojednání byl Ind Gautama Siddhártha 8.V tisku se symbol nuly, jako kroužku, objevuje až 1247 v díle Devět knih o matematice od autora Čchina Ťiou-šaoa (Juškevič, 1977, str. 23) Při studiu paleografie 9 zjišťujeme, že v Číně existovaly různé druhy číselného zápisu. Texty byly napsány především hieroglyfickými číslicemi, které se používají dodnes ovšem ve vědeckých textech se častěji používají arabské číslice. 8 Gautama Siddhártha byl Ind, který pracoval v čínském Astronomickém úřadu. Číňané ho nazývali Čchiou-tchan Si-ta. 9 Paleografie je věda, která se zabývá dějinami písma, číslic a dalšími grafickými znaky

30 9.1 Vývoj Abaku Abakus je jednoduchá mechanická pomůcka usnadňující výpočty, která vznikla pravděpodobně před 5000 lety v Malé Asii. Toto počítadlo bylo založeno na systémů korálků (kamínků), které byly na tyčinkách nebo ve žlábcích. Destička byla také často nahrazována čarami v písku. Abakus se později objevil v Řecku i Římě. Zdokonalení se ale dočkává až v letech n. l. učenci západoevropské školy matematiky. V Číně je abakus znám pod názvem suan-pchan (počítací deska, viz Obrázek 20). Pochází ze 13. století a je tvořen třinácti sloupci se dvěma korálkami nahoře, které měly znamenat nebe, a pěti korálky dole, které vyjadřovaly zemi. Úpravy tohoto abaku nacházíme v Japonsku a Rusku. Obrázek 20: Čínský suan-pchan; jsou na něm vyjádřena čísla 10^8 a 1872 Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 26) Během středověku se suan-pchan rozšířil i v Japonsku, kde se nazýval soroban. Oproti tomu v Rusku se nazýval sčot. 10. Indie Ve 3. tisíciletí př. n. l. se v okolí Indu rozprostíral značně rozvinutý otrokářský stát. Nacházely se v něm kolmé ulice, kanalizace a zavlažovací systémy. To vše dokazuje, že tehdejší společnost měla velice dobré znalosti matematiky. Bohužel se žádné matematické texty z té doby nenašly a piktografické nápisy na předmětech nejsou dodnes rozluštěny. Ve 4. století našeho letopočtu zde nastal velký rozkvět vědy. Ve městech vznikaly školy a univerzity, dále celá řada astronomických děl, ve kterých se nacházejí matematické výpočty

31 Matematika byla v Indii velice vážená. Podle pověsti se Gautama, tj. Buddha 10 v osmi letech začal učit psát a počítat, protože to byly nejdůležitější vědy. Opravdový chvalozpěv na matematiku se nám dochoval z 9. století od Mahávíra 11. Z 6. století jsou známé matematické texty, které dokládají, že mimo základních operací Indové běžně využívali zlomky, znali výpočty druhé odmocniny a přibližný výpočet třetí odmocniny. Největším vědeckým i kulturním přínosem indických matematiků je poziční způsob zápisu číselné soustavy. Od nejstarších dob měla Indická numerace desítkový charakter s tou výjimkou, že na různých místech a v různých dobách se udržely stopy numerace o základu čtyř. (Juškevič, 1977, str. 108) Sanskrtové číslovky od jedné do deseti, stovky a tisíce jsou zapsány v Tabulce 4: Tabulka 4 Sanskrtské číslovky Sanskrtské číslovky Sanskrtské číslovky 1 ékah, éká, ékam 9 nava 2 dvau, dvi, dvé 10 daša 3 trajah, trisrah, tríni 20 vim šat 4 čatvárah, čatasrah 30 trim-šat 5 panča 100 šatam 6 šaš 200 dvi-šatam (dve-šate) 7 sapta 300 tri-šatam 8 ašta 1000 sahasram Zdroj: vlastní zpracování Pro názvy sanskrtských čísel sestavených z jednotlivých řádů se využíval aditivní princip, málokdy se používalo odečítání. Číslo 19 se mohlo pojmenovat nava-daša neboli devět-deset, nebo také ekauna-vimšati neboli jedna do dvaceti. Pro vyšší desítkové řady bylo velké množství číslovek. Dílo Lalitavistaraze 3. století př. n. l. říká, že Gautama měl odpovědět na dotaz, zda existuje číslo větší než 100 Koti (= ). Gautama dokázal vyjmenovat ještě další čísla řádu o 22 vyššího, největším bylo tallakšána (= ). 10 Buddha (pravděpodobně 563př.n.l. 484př.n.l.) nepálský princ a zakladatel Buddhismu, vlastním jménem Siddhártha Gautama 11 Mahávíra indický matematik, který přispěl k rozvoji algebry a žil v 9.století n.l. Je autorem Gaṇitasārasangraha, který přezkoumával Brāhmasphuṭasiddhānta (= jedna z prvních knih, která poskytuje konkrétní myšlenky na kladná a záporná čísla včetně nuly a sepisuje pravidla pro počítání)

32 V pozdějších dílech se pojmenovávají i další desítkové řády. Šrídhara 12 je uvádí do a Mahávíra do Tito matematici se zčásti neshodují v označení. Šrídhara pojmenoval 10 4 ajuta, 10 5 lakša a 10 6 prajuta, zatímco Mahávíra pojmenoval 10 4 daša sahasra, 10 5 lakša a 10 6 daša lakša. Před vznikem samotné poziční desítkové číselné soustavy v Indii se objevily různé číselné soustavy a záznamy čísel, které později zanikly. Od 4. století př. n. l. do 3. století n. l. se v území dnešního východního Afgánistánu a severního Paňdžábu používaly tzv. číslice kharóšthí 13 (viz Obrázek 21). Jednalo se o nepoziční desítkovou soustavu se speciálními znaky pro 1, 4, 10, 20 a 100. Můžeme se domnívat, že symbol pro 20 vznikl složením ze dvou znaků pro 10. Jednotky se zapisovaly podle aditivního principu pomocí znaků 1 a 4, desítky pomocí znaků 10 a 20 a stovky se zapisovaly pomocí znaku sta (který se samostatně nepoužíval) a za ním číslicemi vyznačujícími počet set. Znaky prvních tří číslic se v mnoha soustavách shodují s čínskými (čtyřka ve tvaru kříže se také občas používala v Číně). Číslice se psaly zprava nalevo. (Juškevič, 1977, str. 110) Obrázek 21: Indické číslice kharóšthí Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 109) Číselná soustava bráhmí (Obrázek 22), která byla velmi rozšířená ve velké části Indie a používala se bez podstatných změn více než 1000 let, představovala vyšší stupeň reprezentace zápisu čísel. V této číselné soustavě existovaly zvláštní znaky pro jednotky, desítky, stovky a tisíce. Stovky a tisíce se znázorňovaly multiplikativně. Číslice se zaznamenávaly zleva doprava. Symboly pro 1 9 jsou charakteristické a významné rysy pro indickou aritmetiku, které se staly základním kamenem pro vytvoření poziční desítkové číselné soustavy. mít základ čtyři. 12 Šrídhara (asi ) - indický matematik, který ve svých dílech psal o praktických aplikacích algebry. Byl jedním z prvním, kdo popsal postup pro řešení kvadratických rovnic. 13 Ze zápisu Kharóšthí si můžeme uvědomit skutečnost, že původní číselné soustavy v Indii musely

33 Obrázek 22: Indické číslice bráhmí Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 110) Multiplikativní a poziční princip získal svůj význam také ve zvláštní soustavě názvů čísel, která se využívala v dílech z astronomie a matematiky. Jednička se označovala předmětem, který existuje pouze jeden (např. Země, Bráhma). Dvě zastupovaly párové předměty (např. ruce, křídla). Pět se označovalo pomocí smyslů nebo šípů 14. Dvanáct bylo zastoupeno pomocí slova Súrja (=12 domů Slunce, tj. 12 znamení zvěrokruhu). Zápis čísla 867 je: giri-rasa-vazu (hory (7) vůně (6) bohové (8)). Řády se zapisovaly od nižších k vyšším. Jedno číslo bylo možné vyjádřit různým způsobem. Chybějící řád se zapisoval pomocí slova díra 15. S tímto zápisem se můžeme setkat například u Brahmagupty 16. Gautama Siddharta vyjádřil nulu pomocí tečky, později tečku nahradil kroužek. Další zásadní změna byla v první polovině 6. století, kdy se čísla začala zapisovat od řádů vyšších k nižším. V 7. století se indický způsob zápisu čísel začal šířit na západ Aritmetické operace Ve starověké Indii bylo rozšířené počítání pomocí počítací desky. Složitější výpočty se prováděly pomocí mušliček kauri. Set podlouhlých mušliček (anka-ráši) značil čísla 1 9 ve sloupcích abaku. Kulaté mušličky (šúnjaráši) označovaly nulu. Kauri se kladly na abakus ve skupinách. Číslo je znázorněno na obrázku 24. Podlouhlé mušličky jsou symbolizovány šikmými čarami a kulaté mušličky jsou znázorněny kroužkem. 14 Pět šípů boha lásky Kámadévy = saši-pakša-kha-éká ((1) měsíc (2) křídla (0) díra (1) sám). (Juškevič, 1977, str. 110) 16 Brahmagupta ( ) indický matematik, který řeší obecné lineární rovnice a uvádí vzorce pro kvadratické rovnice. Dále uvádí návod na některé operace se zlomky. Také se zabýval diofantickými problémy

34 Obrázek 23: Znázornění čísla na abaku Zdroj: (Juškevič, 1977) Předpoklad počítání na abaku s čísly menšími jak 10 byl, že známe jeho doplněk do desíti ( prati-ráši ). Jestliže při sčítání přičítané číslo, které si pamatovali, bylo menší než doplněk do desíti odpovídajícího čísla prvního sčítance zaznamenaného na abaku, potom jednoduše přidali potřebný počet mušliček. Jestliže se přičítané číslo rovnalo doplňku, přidali v nejbližším řádu nalevo v prvním sčítanci jednu podlouhlou mušličku, mušličky daného řádu se odebraly a na prázdné místo se položila kulatá mušlička. Konečně jestliže přičítané číslo bylo větší než doplněk do deseti, potom se v řádu nalevo přidala podlouhlá mušlička a z mušliček daného řádu se odebral doplněk do deseti druhého sčítance. (Juškevič, 1977, str. 115). Podobným způsobem se odečítalo. Násobení se převádělo na opakované sčítání, a naopak dělení na opakované odčítání. Později se výpočty prováděly písemně na počítacích deskách pokrytým prachem nebo pískem, do kterých se záznamy zapisovaly pomocí zaostřené hůlky. Počítací desky byly na výpočty krátké, proto se nepotřebné výsledky mazaly. Při počítání v poziční soustavě jsou potřebné operace s nulou. Pro tyto účely zformulovali Šrídhara a Árjabhatta II. 17 pravidla pro výpočty s nulou: a ± 0 = a 0 + a = a (součet kladného čísla a nuly je kladné číslo) a a = 0 a 0 = 0 a = 0 (vynásobením jakéhokoliv čísla nulou dostaneme nulu) 0 a = 0 Vydělení nenulového čísla nulou se považuje za nemožné. Avšak Bháskara II. 18 dělení nulou připouštěl a navrhoval, že výsledek dělení nulou by se mohl rovnat nekonečnu. V problému dělení nuly nulou neměli indičtí matematikové příliš jasno. 17 Árjabhatta II. - (asi ) indický matematik. Sestrojil tabulku hodnot sinu, které byly přesné až na pět desetinných míst. 18 Bháskara II. ( ) indický matematik a astronom, často označován jako otec desítkové soustavy. Jako první napsal práci využívající desítkovou soustavu. Reagoval na problémy Brahmagupty

35 10.2 Zlomky Indové měli počítání se zlomky velice dobře rozpracované. Zápis se téměř shodoval s dnešní podobou zlomků. Jmenovatele zapisovali pod čitatele, avšak nepoužívali zlomkovou čáru. Pokud zapisovali smíšené číslo, psali celou část nad čitatelem. Operace s celými čísly a zlomky se prováděly tím způsobem, že se celá čísla zapisovala jako zlomek se jmenovatelem 1. Obecné zlomky, kde čitatel je různý od jedničky, se poprvé objevily v Ápastambových Pravidel provazce. Šrídhara představil 14 pravidel pro počítání se zlomky. Operace sčítání, odčítání a výpočty třetích mocnin odpovídá operacím pro počítání s celými čísly. Hledání společného jmenovatele se provádělo pomocí vynásobením jednotlivých jmenovatelů. Algoritmus, který umožňuje nalezení nejmenšího společného násobku, byl popsán později. Pravidla pro operace mezi zlomky a celými čísly jsou zapsána takto: 11. Islámské země a b c d e f = a c e b d f a: b a c = c b a ± c ad ± c = d d a b ± c d a a (d ± c) = b b d Počátkem 7. století se na Arabském poloostrově začalo formovat nové náboženství islám. Stoupenci tohoto náboženství v průběhu 7. a 9. století dobyli severní Afriku, Středomoří včetně jihu Itálie a Pyrenejského poloostrova, Zakavkazsko, Střední Asii a část Indie. Státním jazykem těchto území byla arabština. Z toho důvodu se matematika z těchto území nazývá arabská, přestože její představitelé jsou různých národů. K šíření vědeckých poznatků docházelo díky obchodním stykům, které Arabové udržovali s Byzancí, Indií, Čínou, Ruskem a pobřežními oblastmi Středozemního moře. Průlomem ve vzdělání byl na přelomu 8. a 9. století vznik bagdádské školy nesoucí název Dům moudrosti, která fungovala 200 let. Na této škole se shromažďovali učenci z různých oblastí a jejich hlavní náplní bylo studium děl starých autorů jako byli například

36 Apolloninus 19, Archimédes, Diofantos 20, Eukleides 21, Hérón 22 nebo Ptolemaios 23, a jejich překlady do arabštiny. Vznikla zde i terminologie používaná v arabské matematice. Při rozvoji islámské matematiky využívali Arabové znalosti zejména z Indie. Vývoj arabské matematiky je možné rozdělit do tří vývojových stádií. V první řadě docházelo k osvojování řeckého a orientálního dědictví. V 9. století vznikla matematická kultura a v 10. a 11. století se rozvíjely algebraické a trigonometrické metody. Abú Abdalláh Muhammad Ibn Músá al-chórezmí Abú Dža'far 24 je autorem prací, které se většinou nedochovaly v originále, známe je z překladů nebo o nich máme informace z prací pozdějších autorů. Všechny dochované části však byly důležité pro rozvoj matematiky a zabývaly se algebrou, aritmetikou, astronomií, geografií a výpočty kalendáře. Al-Chvárizmího Traktát o indické aritmetice, který známe z jediného latinského překladu z 13. století, a který navíc není úplný, považujeme za první arabskou práci, ve které byla objasněna (dle indického pojetí) desítková poziční soustava a vysvětleny algoritmy aritmetických operací v této soustavě. V latinském překladu tohoto díla, jehož rukopis je uložen v knihovně Cambridgeské university, nejsou uvedeny zápisy nových číslic, přestože jsou pro ně vynechaná místa. Výjimečně se můžeme setkat se symboly pro čísla 1, 2, 3, 5 a 0, která byla značena pomocí kroužku. Tvar cifer, které al-chvárizmí užíval, není znám, pravděpodobně však používal pro čísla 1-9 symboly písmen abecedy. Je však možné, že využíval východoarabských číslic, jejichž symbolika je znázorněna na Obrázku Apollonius (asi př.n.l.) řecký matematik, který napsal knihu Kónika Pojednání o kuželosečkách 20 Diofantos - (asi ) řecký matematik, který napsal dílo Aritmetika, které mělo velký vliv na vývoj teorie čísel 21 Eukleides (asi př.n.l.) řecký matematik, který napsal dílo Základy. 22 Hérón (asi 10 75) Sestavil vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku pomocí délek jeho stran 23 Ptolemaios (asi ) řecký astronom a geograf, který rozpracoval geocentrický systém. 24 al-chvárizmí (cca ) islámský matematik, astronom. Jeho matematické spisy měly velký vliv na další vývoj středověké islámské i evropské matematiky. Stál ve středu skupiny matematiků pracujících v Domě moudrosti

37 Obrázek 24: Východoarabské a západoarabské číslice Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 194) Řecké alfabetické symboly se v matematických textech k označování číslic začaly používat poté, co Arabové dobyli Egypt, Sýrii a Mezopotámii. Nadále se však využíval slovní zápis čísel. V 8. a 9. století se začala značně využívat arabská numerace, která se během 10. století rozšířila. Poziční způsob zápisu čísel se rozšiřoval už v první polovině 10. století, například ho využívají východoarabské číslice, které lze považovat za jakousi obměnu číslic bráhmí. Západoarabské číslice, které se v 10. století objevují na Pyrenejském poloostrově, se nazývaly číslice džubar (též gubar). Toto slovo znamená v překladu prach. Z toho můžeme usuzovat, že číslice byly psány na desce, která byla posypána pískem. Nula se nejprve označovala kroužkem, později se označovala tečkou. Dodnes se se západoarabskými číslicemi můžeme setkat v Maroku Aritmetické operace V díle Traktát o indické aritmetice al-chwárizmí ukazuje způsob zápisu čísel v desítkové poziční soustavě, kde se opírá o indické znaky a využívá 0, jako malý kruh. Dává návod k vyslovování číslovek velkých čísel, přičemž používá pouze krátce před tím objasněné názvy jednotek, desítek, stovek a tisíců. Ukazuje to na příkladu dosti velkého čísla, aniž by však zároveň uvedl jeho ciferný zápis. Je to číslo: , které čte jako: jeden tisíc tisíců tisícůtisícůtisíců pětkrát a sto tisíc tisíců tisícůtisíců čtyřikrát a osmdesát tisíc tisíců tisícůtisíců čtyřikrát a potom sedmset tisíc tisíců tisíců třikrát, tři tisíce tisíců tisíců třikrát a padesát jedna tisíc tisíců dvakrát a čtyřista tisíc a devadesátdva tisíce a osmset šedesát tři. Podobná neohrabaná pojmenování se zachovala v arabské a evropské literatuře velmi dlouho. (Juškevič, 1977, str. 189) Dále jsou v díle popsány matematické operace inspirované Indií. Příklady jsou zadány římskými číslicemi nebo slovně, zřídka se využívala kombinace obojího. Sčítání a odčítání al-chwárizmí provádí zleva doprava, tedy od vyšších řádů. Při výpočtech klade důraz na zapsání nuly, aby nedocházelo k chybám při výpočtech. Dále vysvětluje půlení (mediatio) a zdvojnásobování (duplatio). Při násobení byl předpoklad znát násobilku až

38 po 9 9. Zároveň jsou v díle naznačeny multiplikativní vlastnosti nuly: 0 n = 0 a n 0 = 0. Součet, rozdíl i součin se zapisoval pod příslušný řád vrchního čísla, tj. pod jednoho ze sčítanců u sčítání, pod menšence u odčítání a pod činitele u násobení. Podíl byl zapisován nad dělence. Pravidla, která určovala umístění číslic, zpřehledňovaly a usnadňovaly celkovou orientaci v příkladu. Postupně se začaly zapisovat výpočty na papír, který zaznamenával veškeré kroky a nedocházelo tím k mazání mezivýpočtů. Tento zápis je možné pozorovat v některých evropských rukopisech z 12. století. V Evropě se později mezivýpočty škrtaly, to způsobilo značnou nepřehlednost. V následujícím textu je uveden příklad násobení čísel shrnující kroky výpočtu, které prováděl al-chwárizmí. Na začátku jsou pod nejvyšším řádem násobence zapsány jednotky násobitele: Násobení dvěma, řádově nejvyšší číslicí vrchního čísla všech postupně se zmenšujících řádů nižšího čísla dává 428, což se zapisuje nad 214 do řádku násobence, přičemž smažeme nejvyšší řád násobence dvojku, jakmile násobení dojde k prvnímu řádu dolního čísla, smažeme to, co bylo na místě stojícím nad ním a místo toho napíšeme to, co jsme obdrželi násobením. Pak se násobitel posune o jedno místo doprava: Trojka, pod kterou stojí jednotky dolního čísla se násobí číslem 214, tj = 642. Přičteme 64 k 28, což dá 92, která se zapíše nad 21 a dvojka nahradí smazanou trojku. Násobitel se posune opět o řád doprava: Stejný postup jako v předcházejících krocích dá mezivýsledek

39 Po provedení stejné operace se šestkou stojící v horním čísle nad jednotkami násobitele zůstane na desce ve vrchním řádku výsledný součin (Juškevič, 1977, str. 191) 11.2 Zlomky Další část al-chwárizmího traktátu se zabývá zlomky. Latinský pojem pro zlomek je fractiones, v překladu kasr z arabského kasara (v češtině lámat). Text aritmetického traktátu vyjadřuje jednu zvláštnost arabštiny, a to speciální označení pro kmenové zlomky. 1 = niṣf 1 =thulth 1 = rubc 1 = chums 1 = suds = subc 1 = thumn 1 = 8 9 tusc 1 c = u šr 10 Jiné kmenové zlomky neměly specifické pojmenování. (Juškevič, 1977, str. 195) 12. Středověká Evropa Matematika ve středověké Evropě podstatně zaostávala oproti antické a pozdně orientální matematice. Západní část římské říše, která se ocitala již v troskách, byla ve srovnání s východořímskou říší kulturně i hospodářky zaostalejší. Propagátory vzdělanosti byly kláštery, které představovaly významné náboženské a hospodářské instituce. Výchova se zaměřovala na sedmero svobodných umění Byzantská říše V Byzanci se nacházela jedna z nejznámějších teologických a filosofických škol, a to Alexandrijská škola. Studiu matematiky se zde věnovali například Simplikios 26 a Eutokios z Askalónu 27. Maximos Planudes 28 napsal dílo o aritmetice, ve kterém vysvětluje devět symbolů čísel od 1 po 9 a také symbol nazývaný cifra (tzifra), který znamená nic. 25 Trivium gramatika, rétorika, dialektika a Kvadrium aritmetika, geometrie, astronomie a múzika 26 Simplikios (asi ) řecký matematik, který psal komentáře k matematickým a filosofickým dílům např. Eukleida a Aristotela 27 Eutokios ( ) řecký matematik, který komentoval díla Archiméda a Apollonia 28 Planudes ( ) mnich z Nikomedie, který byl vyslanec císaře v Benátkách. Napsal komentáře ke dvou knihám Diofanta Aritmetika

40 Poziční číselná soustava se v Byzantské říši rozšiřovala velice pomalu a v různých obměnách. Poziční soustava sestavená z abecedních číslic se objevuje v jednom rukopise ze 14. století Arménie a Gruzie Na přelomu 4. a 5. století se v rámci arménského boje za samostatnost vytvořilo vlastní písmo na základě perské a řecké abecedy. Z tohoto písma se později vyvinul i arménský způsob zápisu čísel. Písmeny abecedy se označovaly jednotky, desítky, stovky i tisíce (viz Obrázek 25). Bjur bylo označení pro Arméni používali pro čísla větší než bjur speciální znak. Jednalo se o zvláštní čárku nahoře u písmene, která zvyšovala hodnotu abecední číslice desettisíckrát. Obrázek 25: Arménský abecední zápis čísel Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 326) Starogruzínský číselný systém (viz Obrázek 26) byl také založen na abecedním zápisu. Abeceda obsahovala 37 písmen a též měla základy v perské a řecké abecedě. Gruzínský způsob zápisu měl speciální symboly pro brevi, uškari a ušti

41 Obrázek 26: Starogruzínský číselný zápis Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 328) O středověké matematice v Gruzii není moc informací, protože se rukopisy nedochovaly Rozšíření aritmetiky v poziční soustavě Až do 10. století se v Evropě k zápisu čísel používaly výhradně římské číslice, pak začínaly do Evropy pozvolna pronikat číslice indicko-arabské. Poprvé se objevily ve Španělsku, kam se dostaly s šířící se arabskou vědou a kulturou ve formě apices 29. Skutečností je, že v této době existovala východní a západní forma arabských číslic. Obrázek 27: Apices Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 342) 29 Jednotky se na počítací desce nevyjadřovaly pomocí kamínku, ale pomocí speciálních početních znamének s vyobrazením příslušné číslice. Apices se nazývaly právě ty početní znaménky

42 Na přelomu 10. a 11. století se v Evropě začaly šířit západoarabské číslice, pocházející z oblasti dnešního Íránu a Egypta. Říkalo se jim gubar (též gobar), v překladu písek. Nejprve byla číselná soustava bez symbolu nula, řády se rozlišovaly pomocí teček nad číslicemi (počet teček odpovídal řádu). Příklady čísel: a. V 11. století se objevovalo stále více rukopisů, ve kterých byla čísla zapisována v indo-arabské poziční desítkové soustavě, postupně se vyskytovaly odchylky od arabského způsobu psaní cifer. Indicko-arabská poziční desítková soustava byla v Evropě přijímána s nedůvěrou. O nový způsob zápisu čísel měli v té době zájem převážně obchodníci, kteří prováděli dlouhé výpočty, kdežto matematikové se stále přidržovali osvědčených římských číslic. Rozhodující význam pro přijetí desítkové poziční soustavy s indicko-arabskými číslicemi měly některé nové spisy šířící se Evropou: Kniha Algorisma o aritmetické praxi od Joanna Sevillského 30, Kniha uvedení Algorisma do astronomického umění od neznámého mistra a Kniha o měřeních od Savasorda 31. (Karfíková & Šír, 2003) Na konci 12. století se začalo používat takzvané počítání na linách. Jednalo se o řadu rovnoběžných linek na tabuli nebo na stole. Každá linka měla význam jednoho řádu. Na linky se kladly kamínky nebo se křídou kreslily puntíky, které se při výpočtech odmazávaly. Značka na lince symbolizovala hodnotu příslušného řádu, v mezeře označoval pět jednotek. Na linách se prováděly standartní operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení). Způsob počítání se využíval až do 16. století nejen jako počítadlo, ale i jako průprava pro vnímání čísel. Leonardo Pisánský 32 ( ) známý jako Fibonacci roku 1202 vydal svoji nejslavnější knihu Liberabaci v překladu Kniha počtů, která se stala na několik set let základem algebry a aritmetiky. Zásluhou Fibonacciho došlo k rozšíření arabských číslic do Evropy. V této knize se zabývá přidáním dalšího znaku do indicko-arabské číselné soustavy, a to nulou, která zde vystupuje už jako skutečné číslo. (Juškevič, 1977, str. 363) 30 Joannes Sevílský (Toledský) významný překladatel z arabštiny do španělštiny. V letech působil v Toledu, kde s Gonzalesem (překládal ze španělštiny do latiny) přeložili asi 20 prací. 31 Savasorda ( ) vlastním jménem Abraham bar Hiyya Ha-Naší byl španělský Žid. V hebrejsky psané Knize o měření dokládá tabulky tětiv. Jeho spisy se zabývají náboženskou tématikou. 32 Leonardo Pisánký ( ) byl středověkým italským matematikem, který podpořil rozšíření arabských číslic v Evropě

43 V 16. století indicko-arabský poziční desítkový systém vytěsnil ze škol i z běžného života římské cifry. K jeho rozvoji velmi přispělo rozšíření knihtisku a s ním spojené vydávání prvních početnic a učebnic aritmetiky. Tato změna způsobila, že se postupně přestalo počítat na abaku a na linách. Více se rozvíjely početní algoritmy při provádění početních operací. Následující Obrázek 28 ilustruje vývoj dnešních číslic. Obrázek 28: Vývoj dnešních číslic Zdroj: (Juškevič, 1977, str. 343)