Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5

Transkript

1 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii ČVUT v Praze letní semestr

2 BI-SAP 5: osnova Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Zdroje:T. Brabec, M. Skrbek Strojový kód a data 2

3 Poziční číselné soustavy a převody Dvojková soust., převod do desítkové Šestnáctková soust., převod do dvojkové Aritmetika (1) Sčítání Násobení Řádová mřížka Zobrazení záporných čísel Aritmetika (2) Odčítání 3

4 Literatura [1] Pluháček, A., Projektování logiky počítačů, skripta, Praha, ČVUT, 2000, ISBN

5 Poziční číselné soustavy I Určeny bází (základem) z, z N a z 2 Soustava s bází z z-adická Nejčastěji používané soustavy: z = 2 z = 10 z = 16 dvojková (binární) desítková (dekadická) šestnáctková (hexadecimální) 5

6 Poziční číselné soustavy II Zápis čísla v z-adické soustavě: A z řádová čárka = ( an an 1... a1 a0, a 1 a 2... a m ), n, m N z celá část zlomková část základ soustavy a i z-adická cifra (číslice) na pozici i a i hodnota číslice a i, 0 a i < z i řád číslice (řádové místo, pozice), určuje její váhu v i = z i n nejvyšší řád s nenulovou číslicí -m nejnižší řád s nenulovou číslicí Hodnota čísla A z : A = n v( A z ) = a v m i i = n m a i z i 6

7 Dvojková soustava Základ (báze) soustavy z = 2 zápis čísla tvořen posloupností 0 a 1 v i Př , v(a) = /2+1/8 = 19,625 Toto je ekvivalentní zápis čísla A v desítkové soustavě. Určení hodnoty čísla převod do desítkové soust., tj. Dvojková Desítková 7

8 Desítková Dvojková (celá část) Postupným dělením celé části číslem 2 (tj. základem dvojkové soustavy) Př. Převeďte číslo do dvojkové soustavy A 2 57 : 2 = 28 zbytek 1 a 0 A 2 = : 2 = 14 zbytek 0 14 : 2 = 7 zbytek 0 7 : 2 = 3 zbytek 1 3 : 2 = 1 zbytek 1 1 : 2 = 0 zbytek 1 a 5 Pozn. Zápis čísla odpovídá posloupnosti zbytků brané v opačném pořadí. 8

9 Desítková Dvojková (zlomková část) Postupným násobením zlomkové části číslem 2 (tj. základem dvojkové soustavy) Př. Převeďte číslo 0, do dvojkové soustavy. 0, A 2 0, = 1, 3125 a -1 0, = 0, 625 A 2 = 0, ,625 2 = 1, 25 0,25 2 = 0, 5 0,5 2 = 1, 0 a -5 9

10 Příklady: , , , , , , , ,

11 Důležité mocniny dvou n 2 n Dec n 2 n Dec n 2 n Dec M G G T , , , ,0625 Toto je důležité! 11

12 Šestnáctková soustava Zápis čísla tvořen ciframi 0..9 a A..F Hex. Dec. Bin Hex. Dec. Bin A B C D E F Toto je nutné znát zpaměti! 12

13 Dvojková Šestnáctková Jsou to příbuzné soustavy, tj. z 16 = 16 = 2 4 = z 2 4 Jedna cifra v z 16 odpovídá čtyřem cifrám v z 2 Mezi zápisy v soustavách z 16 a z 2 je pouze formální rozdíl. Př. Převeďte čísla mezi příbuznými soustavami: a) , b) 734, , D, ,

14 Příklady , B,5C D , ,35C A5F, , F563D, , , ,

15 Sčítání ve dvojkové soustavě Základem je součet dvou 1-ciferných čísel Přenos do vyššího řádu. Př. Sečtěte čísla a Přenos zřádu i se sčítá s ciframi v řádu (i+1) Pozn. Součtem dvou N-ciferných čísel může vzniknout (N+1)-ciferné číslo. 15

16 Násobení ve dvojkové soustavě Základem je součin dvou 1-ciferných čísel Více-ciferné násobení se převádí na sčítání Př. Vynásobte čísla a ( ) 0 ( ) 1 ( ) Pozn. Součinem N- a M-ciferného čísla může vzniknout (N+M)-ciferné číslo. 16

17 Řádová mřížka Řádová mřížka určuje formát zobrazitelných čísel na počítači (tj. definuje nejvyšší řád n a nejnižší řád -m) Př. Základní vlastnosti: řádová čárka n = 3, -m = 0 n = 0, -m = -3 Délka ř.m. (l) počet řádů obsažených v ř.m. Jednotka ř.m. (ε) nejmenší číslo zobrazitelné v ř.m. Modul ř.m. (M) nejmenší číslo, které již v ř.m. zobrazitelné není M = , ε = 1 M = 10,000, ε = 0,001 17

18 Určete vlastnosti ř.m. Určete vlastnosti následujících řádových mřížek (z = 2): a) b) c) obecně, tj. v závislosti na n a m: l = 8, M = 2 10, ε = (2-7 ) 10 l = 8, M = (2 8 ) 10, ε = 1 l = 6, M = (2 3 ) 10, ε = (2-3 ) 10 l = n + m + 1, M = z n+1, ε = z -m 18

19 Odečítání ve dvojkové soustavě Odčítání přičítání opačného čísla, vždy v rámci řádové mřížky, tedy modulu M. Př. Určete rozdíl čísel (ve dvojkové soustavě). (Odečtení 6 je totéž jako přičtení modulo 32) Všimněte si volby ř.m. Obě čísla v ní musí být správně zobrazena! 6 10 = = = = znaménko výsledku tento přenos ignorujeme (prozatím) 19

20 Úloha: Odečtěte ve dvojkové soustavě. Převeďte čísla do dvojkové soustavy (je-li to nutné) a spočítejte jejich rozdíl = = = F = Problémy: velikost řádové mřížky, určení a zobrazení správného výsledku, jestliže používáme nezáporná čísla 20

21 Detekce (ne)správného výsledku Záleží na použitém kódu pro zobrazení čísel se znaménkem a velikosti řádové mřížky, tzn. modulu. Sčítání a odčítání: Příklady: M= tzn.: zobrazíme 16 čísel, 0 až 15 (12+7) = nebo 1910? (12-7) = = nebo 2110? 1. přenos 21

22 Odčítání pro nezáporná čísla pozorování na příkladu M=1000, ε=1: B=101 B=010 B + B = 111 = = M 1 B = B + 1 M A B = A + B + 1 M Příklad: Abychom dostali správný výsledek musíme mít možnost odečíst modul. Musí vyjít přenos!! M= (12-7)10 Hana Kubátová BI-SAP , Aritmetika =

23 Zobrazení záporných čísel (čísel se znaménkem) Standardní polyadické soustavy pouze nezáporná čísla Zobrazení záporných čísel číselné kódy popisují transformaci z omezené množiny celých čísel do omezené množiny nezáporných čísel Nejpoužívanější číselné kódy: přímý (znaménko a absolutní hodnota sign-magnitude) aditivní (s posunutou nulou biased) doplňkový (pro dvojkovou soustavu - 2 s complement) (inverzní) 23

24 Doplňkový kód Definice: D (X) = X, je-li X >= 0 M + X, je-li X < 0 D(X) M Příklad napsat všechna 3 bitová čísla (M = 1000, ε = 1, l = 3) ½M X D(X) ½M ½ M X < ½ M ½M Znaménko je určeno prvním bitem zleva, ale tento bit je organickou součástí obrazu!!! 24 X

25 Př. Obrazy čísel +5 a 5 (z = 2, M = , ). D(5) = 5 10 = D D(-5) = ( ) = = Algoritmus určení obrazu záporného čísla (ve dvojkové soustavě): 1. Zapíšeme číslo X 2 do řádové mřížky. 2. Invertujeme všechny bity. 3. Přičteme jedničku nejvyšší bit představuje znaménko D Lze rychleji: Zprava opisuj 0 až do první 1, tu také opiš. Další bity invertuj. Př. Obraz čísla 5 (z = 2, Z = 16) = zápis v ř.m. 2. inverze bitů 3. přičtení jedničky D(-5 10 ) 25

26 Doplňkový kód - pokračování Obraz záporného čísla X je doplňkem jeho hodnoty do modulu M řádové mřížky Př D D ,05 10 D D ,

27 Sčítání a odčítání v doplňkovém kódu Příklady: M= tzn. : zobrazíme 16 čísel, ale nyní -8 až 7 (7-4) = nebo 1910? (4 + 7) = = nebo -510? A co teď s přenosem a jak poznáme, že výsledek je správně? 27

28 Sčítání a odčítání v doplňkovém kódu příklady tabule D(A) + D(B) D(A + B) 1 A 0 B 0 A + B A + B 2 A 0 B < 0 A < 0 B 0 A + B + M A + B A + B + M 3 A < 0 B < 0 A + B + M + M A + B + M D(A + B) = D(A) + D(B) D(A) + D(B) M Sečtou se obrazy a ignoruje se přenos!!! Příklady viz proseminář 28

29 Přeplnění detekce nesprávného výsledku Přeplnění (overflow) není přenos (carry)!!!!! D(A) + D(B) 3 2xM Přeplnění: M 1 + M 0 M 1 A + B 29

30 Odčítání Příklad pro 3 bitová nezáporná čísla (opakování): V doplňkovém kódu: B=101 B=010 A B = A + (-B) D(B) + D(-B) = B + (-B) + M = M B + B = 111 = = M 1 B = B + 1 M A B = A + B + 1 M Správný výsledek musím mít možnost odečíst modul, Musí vyjít přenos!! D(-B) = M - D(B) D(-B) = D(B) + 1 A B = D(A) + D(B) + 1 detekce přeplnění je stejná jako u sčítání 30

31 Doplňkový kód pro desítkovou soustavu 10 s complement Příklad 3 místná desítková čísla M = znaménko je určeno první číslicí zleva: (kladná čísla) (záporná čísla) X D(X) X D(X) D(X) + D( X) = 1000 = D( X) = 999 D(X) + 1 označme: a = 9 a D(X) = 499 D( X) = D( X) = =

32 Přímý kód Nejvyšší řád ř.m. představuje znaménko, zbytek ř.m. je absolutní hodnota Znaménko reprezentováno číslicí: Znázornění zobrazení: P(X) M + 0, - 1 +/- absolutní hodnota ½M X < ½M ½M 0 X ½M 32

33 Příklady přímý kód M = tzn. 3bitová čísla X P(X) kladná nula záporná nula P P ,05 10 P P ,

34 Sčítání a odčítání Pracuji zvlášť se znaménkem a absolutní hodnotou Absolutní hodnota je nezáporné číslo Příklad pro 3 bitová nezáporná čísla: B=101 B=010 B + B = 111 = = M 1 B = B + 1 M A B = A + B + 1 M 34

35 Sčítání a odčítání v přímém kódu A + B, A B, výsledek ulož do A kde A ~ (za, aa), B ~ (zb, ab) z znaménko, a absolutní hodnota 35

36 Aditivní kód Též označovaný jako kód s posunutou nulou Formální definice: A(X) = X + K pro -K X < M - K K vhodná konstanta často se volí: K = ½ Z M K A(X) X -K 0 M-K