MOŽNOST PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU KRITICKÉ ÚNAVOVÉ TRHLINY METODOU PDPV

Transkript

1 MOŽNOST PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU KRITICKÉ ÚNAVOVÉ TRHLINY METODOU PDPV Vladiír Toica 1) a Martin Krejsa 2) Abstract: Degradation of bridges structures is accidental event expressed ainly as fatigue daage. This fact was applied into the design by Eurocode. The critical crack sizes are iportant for conservation of requiring bridges reliability. Probabilistic odels for fatigue crack growth consider the uncertainty in aterial properties, in loading, in initial flaw size, in definition of critical size and calculation odel based on using siulation technique Monte Carlo. The Direct Deterined Fully Probabilistic Method ("DDFPM") was applied to calculation in the paper. The ethod was originally developed as a Monte Carlo alternative to SBRA the developent of which started in the id of 1980 s. Both for SBRA and DDFPMM, input rando quantities (such as the load, geoetry, aterial properties, or iperfections) are applied. The description of the rando quantities is expressed by the nonparaetric distribution in histogras. DDPFM is based on general ters and procedures used in probabilistic theories. 1. ÚVOD Spolehlivost nosné konstrukce, naáhané proěnný zatížení, je výrazně ovlivněna degradačníi účinky, způsobené zejéna únavou základního ateriálu. V procesu návrhu těchto konstrukcí se vychází z koncepce tzv. Wöhlerových křivek, u nichž se připouští oezená životnost do porušení, veli probleaticky stanoveného na základě konstantního rozkitu a předpokládaného nožství zatěžovacích cyklů. Metodika byla postupně rozpracována do postupů vystihujících reálné podínky a usnadňujících práci projektantů. Náhodně se objevující únavové trhlinky na stávajících konstrukcích jeřábových drahách a ostech, nasvědčují o jisté nedokonalosti této návrhové etodiky. Rozvíjejí se etody uvažující s podchycení ožných vad a defektů ve forě inicializačních trhlin, které výrazně urychlují šíření únavových trhlin. Jednou z alternativ je lineární loová echanika, jež je předěte zkouání již řadu let zejéna ve strojírenských oborech a do probleatiky 1) Prof. Ing. Vladiír Toica, CSc., Katedra konstrukcí, Fakulta stavební, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, tel.: (+420) , e-ail: vladiir.toica@vsb.cz. 2) Ing. Martin Krejsa, Ph.D., Katedra stavební echaniky, Fakulta stavební, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, tel.: (+420) , e-ail: artin.krejsa@vsb.cz.

2 návrhu nosných stavebních konstrukcí je postupně přebírána a upravována. Využívá se zejéna ke stanovení časů prohlídek a k analýze jejich výsledků, které při nezjištění trhlin vedou k podíněné pravděpodobnosti jejich vzniku. 2. PRAVDĚPODOBNOSTNÍ PŘÍSTUP K PROBLEMATICE ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÉ TRHLINY Rychlost šíření únavové trhliny se řídí principy dle všeobecně znáého Paris Erdoganova zákona ([5]): da dn C K =. Δ (1) kde a je velikost (délka) trhliny, N počet cyklů, C a jsou ateriálové charakteristiky a ΔK rozkit koeficientu intenzity napětí, který lze při znáé rozkitu špiček napětí Δσ vyjádřit vztahe: Δ K = Δσ. π. a. (2) F a ( ) Kalibrační funkce F( a ) sleduje průběh šíření trhliny, která se při zěně počtu cyklů z N1 na N 2 rozšíří z délky a 1 na a 2. Úpravou (1) s využití (2) lze pak získat: a 2 a 1 da ( π. a. F ) ( a) = N 2 N C. Δσ.dN 1 (3) Pokud se délka trhliny a 1 rovná počáteční velikosti trhliny a 0 a a 2 naopak konečné (kritické) délce trhliny a cr, levou stranu rovnice (3) lze pak považovat za odolnost konstrukce R: R ( a ) cr = a cr a da ( π. a F ) 0. ( a) (4) Obdobně lze definovat akuulaci účinků zatížení, která se rovná pravé straně (3): S N.( N N0 = C. Δσ.dN = C. Δσ ) (5) N 0 kde N je celkový počet rozkitů špiček napětí Δσ při nárůstu velikosti trhliny z a 0 na a cr, N 0 představuje počet rozkitů v čase inicializace únavové trhliny. Lze definovat funkci spolehlivosti, jejíž analýzou je ožno získat pravděpodobnost poruchy P f : G fail R ( ) ( ) S Z a cr = (6)

3 kde Z je vektor náhodných fyzikálních vlastností echanických vlastnosti ateriálu, geoetrie konstrukce, účinků zatížení a také rozěrů únavové trhliny. Pravděpodobnost poruchy je pak rovna: ( fail < ) = P R( a ) ( Z ) ( S ) Pf = P G 0 < (7) cr Saotný pravděpodobnostní výpočet lze provést s využití dostupného softwaru buď etodou PDPV [7, 8] (viz dále) nebo siulační etodou Monte Carlo. 3. METODA PŘÍMÉHO DETERMINOVANÉHO PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU (PDPV) Metoda příého deterinovaného pravděpodobnostního výpočtu (PDPV) byla původně vyvíjena jako alternativa siulační techniky Monte Carlo v etodě SBRA, vyvíjené od 2. poloviny 80 let inulého století. Stejně jako u této etody jsou i u PDPV vstupní proěnlivé náhodné veličiny (zatížení, geoetrické a ateriálové charakteristiky, iperfekce ad.) vyjádřeny histogray vyjádřené tzv. neparaetrický rozdělení, přičež etoda není oezena ani pro použití paraetrických rozdělení (viz dále). Postup PDPV vychází ze základních pojů a postupů teorie pravděpodobnosti (např.[6]). Pro aplikaci PDPV lze v současné době využít prograový systé ProbCalc, jenž je stále rozvíjen. Lze něj do ipleentovat relativně jednoduše analytický transforační odel dané konkrétní řešené pravděpodobnostní úlohy. Analyzovaná funkce spolehlivosti ůže být v toto prograu vyjádřena analyticky forou aritetického výrazu ve znakové podobě (s využití tzv. kalkulačky) nebo poocí tzv. dynaické knihovny DLL, která ůže být vytvořena v kterékoliv prograovací jazyce (např. Borland Delphi). Metodou PDPV je ožno v současné době řešit řadu pravděpodobnostních výpočtů. Počet náhodných veličin vstupujících do výpočtu pravděpodobnosti poruchy je však oezen ožností danou úlohu nuericky zvládnout. Při velké počtu náhodně proěnných je totiž úloha časově veli náročná i při dostupné výkonné výpočetní technice. Z tohoto důvodu byla do prograu ProbCalc ipleentována řada optializačních postupů, které ožnosti aplikace etody podstatně rozšiřují při zachování korektnosti postupu řešení. Náhodný charakter veličin vstupujících do pravděpodobnostního výpočtu při posuzování spolehlivostí konstrukcí se často vyjadřuje histogray vycházejícíi z pozorování a ěření často i dlouhodobých. Histogray vstupních hodnot využívané v etodě SBRA i PDPV ohou být vytvořeny pro diskrétní nebo čistě diskrétní veličiny. Veličiny, vstupující do statických výpočtů (zatížení, ateriálové charakteristiky, průřezové charakteristiky), lze považovat jejich povahou jako veličiny spojité (viz obr.1). S histogray je ožno v ráci pravděpodobnostních výpočtů provádět základní ateatické operace. Např. v případě kobinování zatížení se z těchto ateatických úkonů využívá sčítání histograů jednotlivých typů zatížení. Sčítání obou histograů probíhá v prograových cyklech, kdy se postupně sčítají hodnoty zatížení (vodorovná osa) a jejich pravděpodobnosti se vynásobí a přičtou do odpovídajícího intervalu výsledného histograu. Princip takového nuerického řešení je nejlépe patrný z obr.2.

4 Obr.1: Histogra diskrétní veličiny Obr.2: Princip výpočtu kobinace stálého a nahodilého dlouhodobého zatížení Aritetické operace s histogray lze tedy realizovat přío deterinisticky při využití základních principů teorie pravděpodobnosti. Lze pracovat s jakýkoliv histograe, vyjadřující jakoukoliv náhodnou veličinu, vstupující do výpočtu. Nechť histogra B je libovolnou funkcí f histograů A j, kde j nabývá hodnot od 1 do n. Platí tedy B = f(a 1, A 2, A 3,, A j, A n ) (8)

5 Každý histogra A j á i j intervalů, přičež každý interval je oezen hodnotou a j,i zdola a hodnotou a j,i+1 shora. Znaená to například, že v intervalu i j = 1 budou hodnoty: a j,1 a j a j,2 (9) přičež kde a j,2 = a j,1 + Δa j (10) a j, ax a j,in Δ a j = (11) i j V intervalu i j bude tedy obecně: a j,i a j a j,i+1 (12) Hodnoty a j v toto intervalu označe dále a j (ij). Obdobné platí pro histogra B. Je-li zde počet intervalů i, pak v i-té intervalu nabývá histogra hodnot b i až b i+1, (dále označované b (i) ), které jsou dány funkcí b (i) = f(a 1 (i1), a 2 (i2),, a j (ij), a n (in) ) (13) pro danou kobinaci arguentů a 1 (i1), a 2 (i2),, a j (ij), a n (in). Stejné hodnoty b (i) však ůže být dosaženo i při jiných hodnotách (nebo alespoň některých) a j (ij). Označíe-li ožnou kobinaci l hodnot a j (ij), pak lze obecně psát b (i) = f(a 1 (i1), a 2 (i2),, a j (ij), a n (in) ) l (14) i Pravděpodobnost p bl hodnot a ij j. Platí tedy výskytu b (i) je dána součine pravděpodobnosti p aj (ij) výskytu p bl i =( p aj (i1). p aj (i2). p aj (i3).. p aj (ij).. p aj (in) ) (15) Pravděpodobnost výskytu všech ožných kobinací (a 1 i1, a 2 i2,, a j ij, a n in ) l, funkce f jejichž výsledke je b (i) je pak ( i) p b = p l l = 1 () i pl (16) Počet intervalů i j v každé histograu A j ůže být různý stejně jako počet intervalů i v histograu B. Pro počet potřebných početních operací a potřebnou dobu výpočtu je přito rozhodující a také podstatně ovlivňuje přesnost výpočtu. Provede-li se etodou Monte Carlo stejný výpočet opakovaně, budou se výsledky i při relativně velké počtu siulací ( ) poněkud lišit. Důvode je generování náhodných čísel nebo přesněji řečeno pseudonáhodných čísel, který je vždy oezený a při každé sérii siulací se vždy poněkud liší. U příého pravděpodobnostního výpočtu je při stejné volbě intervalů výsledek vždy stejný.

6 Optializace pravděpodobnostního výpočtu Postupy souhrnně označované jako optializační, byly aplikovány i v prograu ProbCalc při řešení některých pravděpodobnostních výpočtů. V současné době se jako účinné nástroje pro snížení požadovaných počtů operací ukazují následující optializační etody: Grupování proěnných Tento postup je aplikován např. v situacích, kdy je kobinace zatížení tvořena několika složkai náhodně proěnných zatížení se stejný působiště, takže je pak lze vyjádřit jediný společný histograe. Lze využít i v obdobných situacích s jinýi vstupníi či výstupníi veličinai. Snižování počtu intervalů v histograech vstupních veličin Tento způsob zrychlení výpočtu se využívá tak, aby nebyl podstatně ovlivněn výsledek a korektnost řešení úlohy byla zachována. Při toto postupu se proto nejdříve testuje vliv počtu intervalů každé náhodné veličiny na výsledek řešení a následně se tento počet intervalů inializuje. V prograu ProbCalc se tato optializační etoda uplatňuje pod označení Intervalová optializace. Vyloučení intervalů jednotlivých histograů vstupujících do výpočtu Eliinace intervalů histograů vstupních veličin se týká pouze těch intervalů, které se na výsledné pravděpodobnosti poruchy jednoznačně nepodílejí. V případě, kdy porucha dle je dána rozdíle dvou useknutých histograů, je tento postup relativně jednoduchý a snadno zvládnutelný. Vstupuje-li do výpočtu pravděpodobnosti poruchy větší počet náhodných veličin vyjádřených histogray, pak je algoritus řešení podstatně složitější. V každé histograu ohou vznikat až tři typy intervalů zón, lišících se svý podíle na pravděpodobnosti vzniku poruchy, a to : (a) Typ I Podílí se na pravděpodobnosti poruchy vždy. (b) Typ II Na pravděpodobnosti poruchy se ůže a neusí podílet. (c) Typ III Na pravděpodobnosti poruchy se nepodílí. V prograu ProbCalc se tato optializační etoda uplatňuje pod označení Zonální optializace. Grupování dílčích výsledků výpočtu Z výpočetního odelu lze separovat některé výsledné veličiny a zpracovat je odděleně až po provedení výpočtu. Takto lze pracovat například s funkcí spolehlivosti, kdy je odolnost konstrukce vyjádřena vstupní histograe (napětí na ezi kluzu) nebo konstantní hodnotou (tolerovaná deforace), a účinek zatížení je získán výpočte.

7 Kobinace uvedených optializačních postupů Uvedené postupy lze navzáje kobinovat, číž lze dosáhnout ještě výraznějšího zrychlení výpočtu. Algoritus PDPV se tedy dá obecně využít k relativně veli složitý aritetický operací (viz kap.4), při jeho aplikaci je nutno pouze vytvořit účinný výpočetní nástroj, ve které je uživatel schopen zadat výpočetní odel např. v textové podobě. V již ziňované prograu ProbCalc je ožno zadat ateatický odel forou tzv. kalkulačky právě v textové podobě, nebo s využití tzv. DLL dynaické knihovny, která uožňuje rychlejší výpočet a definování rozsáhlejšího výpočetního odelu. 4. UKÁZKA PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU METODOU PDPV Nejčastější oblastí vzniku únavové trhliny je ostovka železničních nebo silničních ostů. Závažný podněte pro vznik únavové trhliny je skutečnost, že jeden cyklus zatížení představuje každá kolová síla. Navíc je účinek zatížení výraznější v případě veli blízkého uložení konstrukčního prvku k působišti zatížení. Obr.3: Únavová trhlina v detailu připojení podélníku na příčník Jako příklad ukázky pravděpodobnostního výpočtu slouží podélník železničního ostu, který již byl v inulosti analyzován etodou využívající siulační techniku Monte Carlo ([1] až [4]). Nedokonalost konstrukčního spoje je dána zejéna zanedbání vlivu ohybového oentu v ístě připojení. Nosnou částí je pouze stěna podélníku. Způsob šíření této únavové trhliny z okraje lze vyjádřit v (2) kalibrační funkcí ve tvaru: 2 a a a a F( a ) = 1,12 1, ,32. 13, ,0. (17) b b b b kde a je délka trhliny, b je výška stěny (v toto případě 400 ). 3 Dalšíi vstupníi údaji jsou veličiny s náhodný charaktere, vyjádřené paraetrický rozdělení (viz tab.1). Jejich grafické zobrazení je uvedeno v obr. 4 až 8. 4

8 Tab.1: Přehled variabilních vstupních veličin Veličina Rozkit špiček napětí Δσ [MPa] Celkový počet rozkitů špiček napětí za jeden rok N [-] Počáteční velikost trhliny a 0 [] Nejenší ěřitelný rozěr trhliny a d [] Kritická velikost trhliny a cr =200 Typ rozdělení Střední hodnota Paraetry Sěrodatná odchylka Norální 30 2 Norální Lognorální 0,1 0,02 Norální 10 0,6 Norální Obr.4: Histogra s rozkite Obr.5: Histogra s celkový počte rozkitů špiček napětí Δσ [MPa] špiček napětí za jeden rok N [-] Obr.6: Histogra s počáteční velikostí trhliny a 0 [] Obr.7: Histogra s nejenší ěřitelný rozěre trhliny a d []

9 Obr.8: Histogra s kritickou velikostí trhliny a cr [] Obr.9: Histogra odolnosti konstrukce R (acr) Deterinisticky zadanýi vstupníi údaji jsou ateriálové charakteristiky C=2, a =3. Pravděpodobnostní výpočet kritické únavové trhliny etodou PDPV s využití prograu ProbCalc spočívá nejprve v určení odolnosti konstrukce R (acr) (4). Uvedený integrál byl řešen nuericky s využití klasické obdélníkové etody. Rozsah daný spodní (a 0 ) a horní (a cr ) ezí byl rozdělen na tisíc diferencí. Výpočet byl proveden s využití dynaické knihovny, která byla naprograovaná v prostředí Borland Delphi. Výsledný histogra odolnosti R (acr) je uveden na obr.9. Další veličinou určující spolehlivost konstrukce je účinek zatížení S (5). Při jeho určení vstupuje do výpočtu dvojice deterinisticky zadaných ateriálových charakteristik a dvojice histograů rozkit špiček napětí Δσ [MPa] a počet rozkitů špiček napětí N. Histograu účinku zatížení pro účinek zatížení S se zadanou hodnotou počtu rozkitů špiček napětí za 14 let provozu je zobrazen na obr.10. Výslednou hodnotu pravděpodobnosti poruchy P f pak lze získat dle (6). Odpovídá kvantilu histograu funkce spolehlivosti, který se nachází v oblasti kde G fail <0 (zobrazeno na obr.11). Obr.10: Histogra účinku zatížení S Obr.11: Histogra funkce spolehlivosti G fai pro celkový počet rozkitů špiček s vyznačený kvantile, kde G fail <0, napětí za 14 let P f je rovna 0,

10 Výpočet pravděpodobnosti poruchy P f lze provést pro jednotlivé roky provozu ostu. Na základě tohoto výpočtu pak lze získat závislost této pravděpodobnosti poruchy P f na letech provozu ostu. Při stanovení ezní úrovně spolehlivosti (např. P d = 2, ) pak lze stanovit dobu první prohlídky na ostě. Na obr.12 je zobrazen graf této závislosti pro případ řešeného ocelového ostu. Na základě pravděpodobnostního výpočtu byla stanovena doba první prohlídky ostu na období ezi 14. a 15.roke provozu. 1,0E+00 Závislost pravděpodobnosti poruchy P f na letech provozu ostu Roky 1,0E-02 1,0E-04 1,0E-06 1,0E-08 1,0E-10 1,0E-12 1,0E-14 1,0E-16 P f Obr.12: Závislost pravděpodobnosti poruchy P f na letech provozu ostu 5. ZÁVĚR Uvedený deonstrační příklad poukazuje na ožnost využití vyvíjeného prograového systéu ProbCalc i pro pravděpodobnostní výpočet předětné kritické únavové trhliny. Použitá etoda PDPV vede narozdíl od výpočetních způsobů založených na siulační technice Monte Carlo vždy k jednoznačnéu a srovnatelnéu výsledku, který je zatížen pouze chybou danou diskretizací vstupních veličin. Rovněž lze se stávající prograový vybavení a etodikou odelovat a pravděpodobnostní způsobe řešit i veli složité nuerické úlohy, které lze definovat v ráci dynaické knihovny DLL. Tyto výhody by ěly v další výzkuu posloužit k přesnějšíu stanovení pravděpodobnosti poruchy ostních konstrukcí způsobené šíření únavových trhlin s přihlédnutí k podíněné pravděpodobnosti jejich vzniku a k jejich vlivu na statické chování nosného systéu.

11 OZNÁMENÍ Příspěvek byl realizován za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictví Grantové agentury České republiky. Registrační číslo projektu je 103/05/2467. LITERATURA [1] Toica, V., Gocál, J.: Pravděpodobnostní přístup při sledování únavových trhlin, časopis Ocelové konstrukce 2/2001. [2] Gocál, J.: Únavové posúdenie oceľových ostov poocou lineárnej loovej echaniky s využití pravdepodobnostného prístupu, sborník přednášek 26. celostátního aktivu Kovové konštrukcie a osty, súčasný stav a perspektívy rozvoja, Rajecké Teplice [3] Toica, V., Slavík, J.: Fatigue Reliability of Existing Steel Structures, Studies of University of Transport and Counications in Žilina, 20/1996. [4] Toica, V., Slavík, J.: Spolehlivost ostních konstrukcí s únavovýi trhlinkai, New Requireents for Structures and their Reliability, Praha, červen 1994 [5] Tallin, A. G., Cesare, M.: Inspection Based Reliability Updating for Fatigue of Steel Bridges, proceedings of Bridge Manageent Conference, London 1990 [6] Janas, P., Krejsa, M.: Příklad využití příého deterinovaného pravděpodobnostního řešení v etodě SBRA, sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava, číslo 1, rok 2003, ročník III, řada stavební, str (6 stran), ISBN: , ISSN [7] Janas, P., Krejsa, M., Krejsa, V.: Aplikace příého deterinovaného pravděpodobnostního výpočtu v prograu ProbCalc, sborník abstraktů VII. konference s ezinárodní účastí Staticko-konštrukčné a stavebno-fyzikálne probléy stavebných konštrukcií, Vysoké Tatry, [8] Janas, P., Krejsa, M. a Krejsa, V.: Structural Reliability Assessent Using Direct Deterined Fully Probabilistic Calculation, proceedings of 3rd International ASRANet Colloquiu 2006, (abstract p.8, full paper on CD), 10 12th July 2006, Glasgow, UK, ISBN / (In English).