ROBUSTNÍ ŘÍZENÍ DVOUROZMĚROVÉ SOUSTAVY ROBUST CONTROL OF TWO INPUTS -TWO OUTPUTS SYSTEM

Transkript

1 ROBUTNÍ ŘÍZENÍ DVOUROZMĚROVÉ OUTAVY ROBUT CONTROL OF TWO INPUT -TWO OUTPUT YTEM Jiří Macháček Anotace: Návrh decentralizovaných regulátorů je založen na podínkách robustní stability a robustní kvality regulačního pochodu. Neurčitost odelu je dána vnitřníi interakcei. Metoda je siulačně ověřena v prostředí MATLAB/iulink. Klíčová slova: Decentralizované řízení, robustní řízení, vícerozěrová soustava uary: The design of decentralized controllers is based on robust stability and robust perforance conditions. Uncertainty is given by inner interactions. The ethod is tested in MATLAB/iulink enviroent. Key words: Decentralized control, robust control, ultivariable systes. ÚVOD Jednou z ožností, jak řídit vícerozěrovou soustavu s vnitřníi interakcei je decentralizované řízení jednorozěrovýi regulátory. Interakce se nepotlačují jako při autononí řízení, ale berou se v úvahu při nastavování regulátorů. V příspěvku je tento problé řešen za pooci teorie robustního řízení, kde interakce jsou brány jako neurčitosti odelu. Rozsah neurčitostí je dán rozsahe kritických hodnot, které definují ez stability. Regulátory typu PID jsou navrženy podle frekvenční Zieglerovy-Nicholsovy etody. Odvození a popis etody je provedeno pro soustavu se dvěa vstupy a dvěa výstupy, etoda je ověřena na siulované příkladě.. METODY DECENTRALIZOVANÉHO ŘÍZENÍ oustava se dvěa vstupy a dvěa výstupy (dvourozěrová soustava) á obecnou přenosovou funkci ( ( ( = () ( ( Přenosy na vedlejší diagonále vyjádřují íru vzájeného ovlivňování (interakci) ezi obvody a předpokladá se, že nejsou zanedbatelné. oustava je řízena dvěa regulátory a přenosová funkce je tedy diagonální atice Doc. Ing. Jiří Macháček, Cc., Univerzita Pardubice, Fakulta elektrotechniky a inforatiky, Katedra řízení procesů, ná. Čs. Legií, 53 Pardubice, tel.: , e-ail jiri.achacek@upce.cz Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 3

2 c( c ( = () c ( Blokové schéa regulačního obvodu je znázorněno na obr.. w - c( u ( y ( ( w - c( u ( y Obr. - Dvourozěrová soustava s decentralizovaný regulátore Z obr. je zřejé, že pro návrh paraetrů prvního regulátoru c se usí uvažovat přenosová funkce ezi první vstupe a první výstupe, která obsahuje i druhou větev obvodu včetně regulátoru c (pro w = ): Totéž platí pro druhý obvod ( ( c ( ( = ( (3) ( ( c ( ( c ( ( = ( (4) ( ( c Rovnice jsou závislé, protože při výpočtu jednoho regulátoru je nutné znát nastavení druhého a nopak. V praxi se často používají PID regulátory s paraetry, navrženýi Zieglerovou- Nicholsovou frekvenční etodou [Ziegler, 94]. Ta je založena na znalosti kritického zesílení r k a kritické doby kitu T k (nebo kritické frekvence ω k ) uzavřeného regulačního obvodu na ezi stability. Paraetry regulátoru se počítají ze vztahů: r =. 5 T (5).6 r k, Ti =.5 Tk, Td = k a rovnice regulátoru á tvar c ( = r ( Td (6) T s i Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 4

3 Nastavení paraetrů regulátorů pro víceěrovou soustavu je složitější. Je-li k dispozici odel soustavy, ohou se kritické hodnoty vypočítat, v opačné případě se provádí experient, nejčastěji poocí relé ve zpětné vazbě. V obou případech se řeší soustava rovnic pro ez stability, pro dvourozěrovou soustavu iω ) r = (7) ( k k iω ) r =. (8) ( k k Vzhlede k závislosti rovnic se usí řešení provádět iteračně. Existují dva způsoby, jak při iteracích postupovat. Při tzv. sekvenční etodě se nastavování regulátorů provádí postupně v jednotlivých obvodech a opakuje se, dokud se nenajde optiální nastavení. Druhou ožností je, že se hledá společná frekvence, na které oba obvody současně rozitají. Dá se snadno dokázat, že rovnice (7) a (8) jsou poto totožné, takže pro výpočet tří neznáých paraetrů ω k, r k a r k jsou k dispozici pouze dvě rovnice (reálná a iaginární část rov. (7) nebo (8)). Existuje tedy nekonečně noho dvojic kritických zesílení, pro které jsou oba obvody na ezi stability a je třeba volit další podínku pro jednoznačné řešení. Podrobně je tato probleatika včetně teoretického odvození popsána např. v článku [Macháček, 5]. 3 DECENTRALIZOVANÉ ROBUTNÍ ŘÍZENÍ Navrhovaná etoda využívá diagonální přenosové funkce ( a ( jako noinalní odely a druhé části rovnic (3) a (4) jako neurčitosti. Velikost neurčitostí závisí na nastavení regulátorů ve opačné obvodu, které ovše není přede znáé. tanovení ezí paraetrů regulátoru je založeno na následující úvaze: Pokud se zvolí druhý způsob iteračního řešení rovnic (7) a (8) se společnou kritickou frekvencí, pohybuje se kritické zesílení v rozsahu od nuly po kritické zesílení saotných obvodů ( a ( a kritická frekvence nabývá zhruba hodnot ezi kritickýi frekvencei saotných obvodů ([Palor, 995]). Pro dva regulační obvody dvourozěrové soustavy je ožné definovat následující přenosové funkce: Přenosovou funkci otevřeného regulačního obvodu L ( = ( c ( =, (9) citlivostní funkci ( = =, () ( ( c a doplňkovou citlivostní funkci (přenos řízení) Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 5

4 T ( c ( ( = =, () ( ( c Nepřesnosti odelů se nechají popsat ve shodě s rovnicei (3) a (4) aditivní neurčitostí [Doyle, 99]: ( = ( Δ ( W ( =, () kde ( je skutečný přenos, ( je noinální odel, W ( je váhová přenosová funkce a Δ ( je proěnná stabilní přenosová funkce, která splňuje podínku Δ( s ) (3) Aplitudová frekvenční charakteristika (FCH) váhové funkce je poto z rov. () rovna (pro Δ( s ) = ) W = ω =, (4) Kvalita řízení se nechá vyjádřit tvare aplitudové FCH citlivostní funkce. Jako horní ez aplitudové FCH citlivostní funkce se volí převrácená hodnota aplitudové FCH zvoleného váhovacího filtru W p ( : < ω =, (5) W p Přenosová funkce filtru W p ( se obvykle volí v jednoduché tvaru [kogestat, 997] s ωb W s M p ( ) = (6) s ω A B kde pro / ( platí, že A je zesílení na nízkých frekvencích, M na vysokých frekvencích a W p ω B je frekvence, na které je hodnota zesílení poprvé rovna při postupu od nižších frekvencí. Podínka pro robustní kvalitu řízení a robustní stabilitu je aditivní neurčitost rovna W p W c < ω =, (7) Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 6

5 Paraetry regulátorů usí být navrženy optializační etodou tak, aby tato podínka byla splněna. 4. IMULOVANÝ PŘÍKLAD Výše uvedená etoda byla aplikována na siulační odel dvourozěrové soustavy s přenosovou funkcí,5 (,s ) ( = (8) (,s )(,s ),4 (,5s ) iulace byla provedena v prostředí MATLAB/iulink za předpokladu, že odel soustavy je znáý. Kritické hodnoty přenosů v příých větvích ( ) a ( ) jsou následující: r k 9, ω k = 7, 73 r = s k,78 ω k = 4, 768 = s Kobinace kritických zesílení, které vedou na rozitání soustavy na jedné frekvenci, je znázorněna na obr.. s s 4 8 rk 6 wk rk Obr. - Závislost kritických hodnot pro soustavu (8) Kritické hodnoty se ohou pohybovat v rozsazích: r = až 9, r = až,78 ω = až 7,73 s - k k k Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 7

6 K odstranění stejnosěrné složky neurčitostí byly noinální hodnoty přenosů ( ) a ( ) násobeny čísle,834. Průběhy aditivních neurčitostí, počítaných podle rov.(4) pro s zvolené rozsahy kritických hodnot, jsou znázorněny na obr. 3. Aproxiační přenosy (6) byly s - - W -3 W w -4 - navrženy s paraetry: A = A =, ; M = ; M = 3, 4 ; ω B =, s ; ω B =, 5 s a jejich FCH jsou na obr. 3 znázorněny čárkovaně. Obr. 3 - Frekvenční charakteristiky neurčitostí a jejich aproxiace w Optializací byly nalezeny následující hodnoty paraetrů regulátorů: r =,48 r =. 3 Ti = Ti =, 65 s Td = Td =, 6 s. Regulační pochody jsou znázorněny na obr. 4. Jsou to odezvy na jednotkovou skokovou zěnu w v čase s a stejnou zěnu w v čase s..4. y y y, y t Obr. 4 - Časové průběhy regulačních pochodů. Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 8

7 5. ZÁVĚR Nová etoda decentralizovaného řízení, založená na poznatcích z teorie robustního řízení, byla navržena a s úspěche odzkoušena na siulované příkladě dvourozěrové soustavy. Výsledné regulační pochody jsou lepší, než u klasických etod decentralizovaného řízení (viz např. [Palor, 995]). Příspěvek vznikl za podpory Institucionálního výzkuu MM 6755 Teorie dopravních systéů Univerzity Pardubice. POUŽITÁ LITERATURA [] DOYLE, J.; FRANCI, B.; TANNENBAUM, A. 99. Feedback Control Theory. Macillan Publishing, 99. [] MACHÁČEK, J. 5. Decentralized Control. Unified Approach and Coparison Methods. cientific Papers of the University of Pardubice, eries A, Faculty of Cheical Technology,, -37. [3] PALMOR, Z. J.; HALEVI, Y.; KRANEY, N Autoatic tuning of decentralized PID controllers for TITO processes. Autoatica, 995, 3, -. [4] KOETAD,., POTLETHWAITE, I Multivariable Feedback Control Analysis and Design, J. Wiley & ons Chichester, New Youkr, Brisbane, Toronto, ingapore, 997. [5] ZIELER, J..; NICHOL, N. B. 94. Optiu ettings for Autoatic Controllers. Trans. AME, 94, 65, Recenzent: doc. Ing. František Dušek, Cc. Univerzita Pardubice, FEI, Katedra řízení procesů Macháček - Robustní řízení dvourozěrové soustavy 9