2 Spojité modely rozhodování

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2 Spojité modely rozhodování"

Transkript

1 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A je rozhodovací množina variant. Pro spojité modely rozhodování budeme používat následující zápis: f(x) max, x = (x 1, x 2,... x n ), x X, kde X = {x R n, g i (x) b i, x 0}, je rozhodovací množina variant a f kriteriální funkce. Přípustným řešením nazveme každý vektor x rozhodovací množiny X, tedy vektor, který splňuje omezující podmínky a podmínky nezápornosti. Optimálním řešením nazveme takový vektor x z množiny přípustných řešení, který maximalizuje hodnotu kriteriálníí funkce f(x). Pozn.: Pokud jsou funkce f a g i (x) lineární, mluvíme o úloze lineárního programování. 2.1 Model lineárního programování Model lineárního programování lze obecně zapsat ve tvaru: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n... maximalizace kriteriální funkce za podmínek: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m... omezující podmínky x 1, x 2,..., x n 0... podmínky nezápornosti Tento zápis je sice sndno pochopitelný ale bohužel zlouhavý a tak pro model lineárního programování častěji používáme zkrácený zápis pomocí symbolů sumy: max z = n c j x j... maximalizace kriteriální funkce j=1 1

2 za podmínek: n a ij x j b i... omezující podmínky j=1 x j 0... podmínky nezápornosti nebo maticový zápis: max z = c T x... maximalizace kriteriální funkce za podmínek: Ax b... omezující podmínky x 0... podmínky nezápornosti Pro maticový zápis platí: matice strukturních koeficientů a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn vektor řešení vektor pravých stran vektor cenových koeficientů x = b = c = 2 x 1 x 2. x n b 1 b 2. b m c 1 c 2. c n

3 Základní věta lineárního programování nám říká, že má-li úloha lineárního programování optimální řešení, pak existuje také základní optimální řešení. Jinými slovy, projdeme-li všechna základní řešení (kterých je konečně mnoho) a nenajdeme-li přípustné řešení, pak optimální řešení neexistuje. Navíc platí, že má-li úloha jedno optimální řešení, pak je základní. Má-li nekonečně mnoho řešení, pak je alespoň jedno řešení základní. Pokud mezi základními řešeními najdeme přípustné řešení, ale ne optimální, pak optimální řešení neexistuje. Základním řešením se rozumí vrcholy konvexního polygonu tvořícího množinu přípustných řešení. 2.2 Jednofázová simplexová metoda Krok 1 převod na soustavu rovnic Uvažujme maximalizační úlohu popsanou v předchozí kapitole. Nejprve soustavu omezujících podmínek převedeme na soustavu rovnic. Získáme tak kanonický tvar soustavy rovnic. Pro každou nerovnici (podmínku) použijeme jednu přídatnou proměnnou, která bude nezáporná. V soustavě máme původně x 1,..., x n a nyní přidáme obecně dalších m proměnných x n+1,..., x n+m. Pokud jsou nerovnosti tvaru, je třeba proměnné přičíst, pro nerovnosti opačného směru je třeba přídatné proměnné odečíst. Pro maximalizační úlohu z předchozí kapitoly získáme tedy kanonický tvar soustavy rovnic: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n +x n+1 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n +x n+2 = b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n +x n+m = b m Z této soustavy snadno sestavíme matici strukturních koeficientů. Matice má rozměr m (n+m) a obsahuje submatici rozměru m m, která je jednotková (v případě nerovností typu ): 3

4 A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Krok 2 nalezení výchozího řešení Pokud je soustava podmínek v kanonickém tvaru, tzn. že obsahuje jednotkovou submatici, je výchozím řešením vektor x = 0, je-li přípustný (neboli pokud na pravé straně jsou hodnoty nezáporné). V případě, že soustava není v kanonickém tvaru, řeší se úloha dvoufázovou simplexovou metodou, kde prvním krokem je najít přípustné výchozí řešení za pomoci pomocné účelové funkce. Krok 3 sestavení výchozí simplexové tabulky Do prvního řádku napíšeme do jednotlivých sloupců seznam všech proměnných, včetně přídatných proměnných. Dopředu přidáme další sloupec, do kterého budeme psát základní (bazické) proměnné. Pro snazší výpočty se doporučuje přidat ještě jeden sloupec, do kterého vypíšeme cenové koeficienty pro bazické proměnné. Do posledního sloupce budeme zapisovat vektor pravých stran a tam také nalezneme řešení. Do řádků pak zapíšeme bazické proměnné, pro kanonický tvar budou prvními bazickými proměnnými proměnné přídatné. Pak vpíšeme do tabulky strukturní koeficienty, první řádek odpovídá první podmínce, druhý řádek druhé podmínce atd. Sloupce odpovídají jednotlivým proměnným. Nakonec budeme uvádět řádek účelové funkce, kam pro začátek napíšeme opačné hodnoty cenových koeficientů (pr přídatné proměnné nuly) a do sloupce pro pravou stranu budeme psát hodnotu účelové funkce, která je na začátku rovna nule. 4

5 Pokud si hodnoty cenových koeficientů nepamatujeme, připíšeme si je do hlavičky tabulky, neboť je budeme potřebovat. Pro maximalizační úlohu, která má dvě proměnné a dvě podmínky ve tvaru, bude vypadat výchozí simplexová tabulka následovně: ceny c 1 c c B zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 β i 0 x 3 a 11 a b 1 0 x 4 a 21 a b 2 zj 1 c 1 c Poznamenejme ale nakonec, že řádek a sloupec s cenami se většinou v tabulkách neuvádí. Krok 4 ověření optimality Pro maximalizační úlohu platí, že řešení je optimální, pokud v řádku účelové funkce jsou nezáporná čísla (mluvíme pohopitelně o redukovaných a stínových cenách). Pro minimalizační úlohy je řešení optimální, pokud jsou všechny redukované a stínové ceny nekladné. V případě, že je podmínka optimality splněna, výpočet ukončíme, pokud ne, provedeme transformaci simplexové tabulky popsanou v kroku 5. Optimální řešení pak nalezneme v posledním sloupci, kde jsou hodnoty jednotlivých proměnných. Krok 5 transformace simplexové tabulky Řešení v simplexové tabulce není optimální, pro maximalizační úlohu je některá z cen v řádku účelové funkce záporná. Jako klíčový sloupec vybereme ten, ve kterém je v řádku účelové funkce záporná hodnota v absolutní hodnotě nejvyšší (neboli nejmenší záporné číslo). Proměnná, které odpovídá tento sloupec bude proměnnou vstupující do báze (stane se základní proměnnou). Pro minimalizaci bude klíčovým sloupcem ten, který má v řádku účelové funkce nejvyšší kladnou hodnotu. Připomeňme, že kladné ceny uvedené v řádku účelové funkce nám říkají, o kolik se sníží hodnota účelové funkce přidáním jedné jednotky odpovídající proměnné, záporné hodnoty naopak říkají, o kolik se hodnota účelové funkce zvýší. 5

6 Máme-li klíčový sloupec, zvolíme klíčový řádek. Pro všechny řádky i, která mají v klíčovém sloupci j kladnou hodnotu příslušného strukturního koeficientu α ij > 0 spočítáme hodnotu t i = b i /α ij. Řádek, který má tuto hodnotu nejnižší zvolíme jako klíčový a příslušná základní proměnná se stane nezákladní, neboli vystupující z báze. Také v případě minimalizace se volí klíčový řádek jako ten, který má výše uvedený poměr minimální. Důvod, proč volíme klíčový řádek takto je jednoduchý. Snažíme se hledat taková řešení, která jsou přípustná a nezpůsobí zápornost pravé strany. V případě, že zvolíme špatně klíčový řádek, docílíme toho, že v posledním sloupci se objeví záporné hodnoty a řešení nebude přípustné. Prvek, který je v klíčovém sloupci i klíčovém řádku se nazývá klíčový prvek. Nejprve transformujeme klíčový řádek tak, že všechny hodnoty v řádku vydělíme klíčovým prvkem a do legendy (sloupce se základními proměnnými) tohoto řádku napíšeme vstupující proměnnou. Pak transformujeme ostatní řádky tak, že vezmeme hodnotu v klíčovém sloupci a přenásobíme číslem ( 1). Takto získanou hodnotou přenásobíme každý prvek v řádku nové (vstupující) proměnné to je ten, která jsme před chvílí vydělili klíčovým prvkem. Tyto nově získané hodnoty přiteme k původnímu řádku ve staré simplexové tabulce a napíšeme do té nové. V praxi tedy platí, že pokud klíčový sloupec označíme j a klíčový řádek i, simplexovou tabulku (kromě klíčového řádku) transformujeme tak, že: a N kl = as kl as kj (as il /as ij). Horní index N označuje hodnotu v nové simplexové tabulce, index S ve staré. Pro klíčový řádek je transformace: a N il = a S il /as ij. Zbývá dopočítat řádek účelové funkce. Pokud míme tabulku rozšířenou o sloupec a řádek s cenami, bude výpočet jednodušší. Předpokládejme, že počítáme hodnotu pro j-tý sloupec, tedy proměnnou x j. Hodnota z j je pak počítána následovně: Prvek ve sloupci znásobíme cenovým koeficientem příslušné bazické proměnné (to je cena v prvním sloupci), tyto součiny nasčítáme pro všechny řádky a odečteme cenu proměnné ve sloupci (cenu v prvním řádku). Důležité je, že pro základní proměnné je v řádku účelové funkce nula. Hodnota účelové funkce (pravý dolní roh tabulky) je pak součinem cen základních proměnných (první sloupec) a množstvím těchto základních proměnných (pravé strany, poslední sloupec) nasčítaných přeš všechny řádky. 6

7 Pozn.: Pokud by v případě maximalizace hodnota účelové funkce nevzrostla, v případě minimalizace neklesla, je něco v nepořádku. Po této transformaci se vrátíme ke kroku 4 a ověříme optimalitu. Pro další studium Pro další studium simplexové metody a její praktické použití je důležité zvládnout: Dvoufázovou simplexovou metodu nalezení přípustného výchozího řešení pomocí pomocných proměnných a pomocné účelové funkce. Zamyslet se nad výpočtem minimalizace. Rozmyslet si počty optimálních řešení, alternativní řešení apod. Zamyslet se, co se stane pokud nerovnosti nemají očekávaný směr. Jak počítat v případě, že omezující podmínka je ve tvaru rovnosti. Interperataci redukovaných a stínových cen. Znalosti je možno čerpat z Lagová, Lineární modely, VŠE 1999, Lagová, Lineární modely v příkladech, VŠE 2002 a Jablonský, Operační výzkum, Professional Publishing Řešené příklady Příklad 1 Zadání: max z = 10x 1 + 5x 2 za podmínek: 5x 1 + 3x x 1 2x 2 26 x 1, x 2 0 7

8 a) Nalezněte graficky řešení této úlohy. b) Vypočtěte simplexovou metodou řešení úlohy. Řešení: a) Účelová funkce je funkcí dvou proměnných, grafické řešení tedy nebude těžké najít, neboť množinu přípustných řešení lze zobrazit v rovině. Nejprve si tedy nakreslíme jednotlivá omezení. V obrázku můžeme vidět: Modrou barvou vyobrazenou polorovinu odpovídající první podmínce 5x 1 + 3x 2 60 Červenou barvou vyobrazenou polorovinu odpovídající druhé podmínce 4x 1 2x 2 26 Béžovou barvou podmínku nezápornosti pro x 1 Zelenou barvou podmínku nezápornosti pro x 2 Žlutě je pak vyznačen průnik těchto polorovin, tedy množina přípustných řešení Černé rovnoběžky ukazují jednotlivé hladiny pro účelovou funkci. Hodota účelové funkce roste směrem k severovýchodnímu (pravému hornímu) rohu (jak naznačuje černá šipka). Účelová funkce tedy nabývá na množině přípustných řešení (žlutý čtyřúhelník) svého maxima v bodě x opt. 8

9 x opt lze snadno spočítat jako průsečík modré a červené přímky. Tyto přímky jsou grafickým vyjádřením první a druhé podmínky (se znamením rovnosti). Stačí tedy řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 5x 1 + 3x 2 = 60 4x 1 2x 2 = 26 Tato soustava má jediné řešení x opt = (x 1, x 2 ) = (9, 5). b) Pomocí přídatných proměnných převedeme soustavu na ekvivalentní soustavu rovnic: 5x 1 +3x 2 +x 3 = 60 4x 1 2x 2 +x 4 = 26 Dále převedeme účelovou funkci do anulovaného tvaru: z 10x 1 5x 2 = 0 Nyní sestavíme výchozí simplexovou tabulku: zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 β i x x zj Teď bychom měli zvolit klíčový sloupec protože funkci maximalizujeme, hledáme v řádku účelové funkce nejmenší záporný koeficient. V našem případě 10 a vstupující proměnnou tedy bude x 1. Dále musíme určit proměnnou vystupující, a tak spočítáme pro každý řádek, kde α ik > 0, hodnotu t = β i /α ik. Klíčovým řádkem, na kterém najdeme vystupující proměnnou, bude ten, který bude mít tuto hodnotu nejmenší. zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 β i t = β i /α ik x x /2 zj

10 Z tabulky vidíme, že vystupující proměnnou bude x 4. V dalším kroku nahradíme vystupující proměnnou proměnnou vstupující a řádek vydělíme řídícím prvkem. Ostatní řádky upravíme tak, abychom v sloupci s vstupující proměnnou získali jednotkový vektor. Tak získáme novou simplexovou tabulku. zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 β i x /2 1 5/4 55/2 x 1 1 1/2 0 1/4 13/2 zj /2 65 Vzhledem k tomu, že v řádku účelové funkce je stále alespoň jedna záporná hodnota, celý postup opakujeme. zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 β i t = β i /α ik x /2 1 5/4 55/2 5 x 1 1 1/2 0 1/4 13/2 xxx zj /2 65 zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 β i x /11 5/22 5 x /11 3/22 9 zj /11 5/ Nyní jsme našli optimální řešení, neboť v řádku účelové funkce již není žádný koeficient záporný. Koeficienty jsou nulové pouze pro základní proměnné, což znamená, že neexistuje alternativní řešení a nalezené řešení je jediným optimálním řešením. Hledané řešení tedy je x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (9, 5, 0, 0), hodnota účelové funkce (v simplexové tabulce vpravo dole) je rovna 115. Příklad 2 Zadání: max z = x 1 + x 2 10

11 za podmínek: 5x 1 + 5x x 1 + 4x 2 16 x 1 5 x 1, x 2 0 a) Nalezněte graficky řešení této úlohy. b) Vypočtěte simplexovou metodou řešení úlohy. Řešení: a) Účelová funkce je funkcí dvou proměnných, grafické řešení tedy nebude těžké najít, neboť množinu přípustných řešení lze zobrazit v rovině. Nejprve si tedy nakreslíme jednotlivá omezení. V obrázku můžeme vidět: Modrou barvou vyobrazenou polorovinu odpovídající první podmínce 5x 1 + 5x 2 25 Červenou barvou vyobrazenou polorovinu odpovídající druhé podmínce 2x 1 + 4x 2 16 Růžovou barvou vyobrazenou polorovinu odpovídající třetí podmínce x

12 x opt Béžovou barvou podmínku nezápornosti pro x 1 Zelenou barvou podmínku nezápornosti pro x 2 Žlutě je pak vyznačen průnik těchto polorovin, tedy množina přípustných řešení (povšimněme si, že třetí podmínka množinu nijak neomezuje, kdybychom tuto podmínku vypustili, získali bychom zcela stejné řešení při řešení simplexovou metodou by tedy nebylo nutné tuto podmínku uvažovat, my ji však při výpočtech budeme pro ukázku stejně brát v úvahu). Černé rovnoběžky ukazují jednotlivé hladiny pro účelovou funkci. Hodota účelové funkce roste směrem k severovýchodnímu (pravému hornímu) rohu (jak naznačuje černá šipka). Účelová funkce tedy nabývá na množině přípustných řešení (žlutý čtyřúhelník) svého maxima na celé černé úsečce začínající v bodě x opt a končící v bodě (5,0). Simplexovou metodou bychom měli získat oba tyto body. Optimálním řešením pak bude jakákoliv konvexní kombinace těchto dvou bodů (tedy výše zmiňovaná úsečka). lze snadno spočítat jako průsečík modré a červené přímky. Tyto přímky jsou grafickým vyjádřením první a druhé podmínky (se znamením rovnosti). Stačí tedy řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 5x 1 + 5x 2 = 25 2x 1 + 4x 2 = 16 Tato soustava má jediné řešení x opt = (x 1, x 2 ) = (2, 3). Druhým optimálním základním řešením je průsečík modré, zelené a růžové přímky, tedy bod x N = (x 1, x 2 ) = (5, 0). Konvexní kombinaci těchto dvou bodů lze zapsat jako x = kx opt + (1 k)x N, k < 0, 1 >. Jinými slovy, pro každé optimální řešení platí: x 1 = k 2 + (1 k) 5 = 2k + 5 5k = 5 3k, x 2 = k 3 + (1 k) 0 = 3k 0 = 3k, 12

13 k < 0, 1 >. b) Pomocí přídatných proměnných převedeme soustavu na ekvivalentní soustavu rovnic: 5x 1 +5x 2 +x 3 = 25 2x 1 +4x 2 +x 4 = 16 x 1 +x 5 = 5 Dále převedeme účelovou funkci do anulovaného tvaru: z x 1 x 2 = 0 Nyní sestavíme výchozí simplexovou tabulku: zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i x x x zj Teď bychom měli zvolit klíčový sloupec protože funkci maximalizujeme, hledáme v řádku účelové funkce nejmenší záporný koeficient. V našem případě 1 a vstupující proměnnou tedy bude x 1 nebo x 2 (je zcela jedno, který sloupec si vybereme). Dále musíme určit proměnnou vystupující, a tak spočítáme pro každý řádek, kde α ik 0, hodnotu t = β i /α ik. Klíčovým řádkem, na kterém najdeme vystupující proměnnou, bude ten, který bude mít tuto hodnotu nejmenší (pokud by řádků s touto nejnižší hodnotou bylo více, vybereme kterýkoliv z nich). zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i t = β i /α ik x x x zj V dalším kroku nahradíme vystupující proměnnou proměnnou vstupující a řádek vydělíme řídícím prvkem. Ostatní řádky upravíme tak, abychom v sloupci s vstupující proměnnou získali jednotkový vektor. Tak získáme novou simplexovou tabulku. 13

14 zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i x / x / x / zj / Nyní jsme našli optimální řešení, neboť v řádku účelové funkce již není žádný koeficient záporný: x 1 = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (5, 0, 0, 6, 0), hodnota účelové funkce (v simplexové tabulce vpravo dole) je rovna 5. Koeficienty však nejsou nulové pouze pro základní proměnné, nýbrž i pro jednu proměnnou nezákladní, což znamená, že existuje alternativní řešení. Podívejme se, co by se stalo, kdybychom v předchozím kroku zvolili jako vstupující proměnnou x 2. zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i t = β i /α ik x x x xxx zj zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i t = β i /α ik x 3 5/ / x 2 1/ / x zj 2 1/ /4 0 4 zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i x /5 1/2 0 2 x /5 1/2 0 3 x /5 1/2 1 3 zj / Nalezené alternativní řešení x 2 = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (2, 3, 0, 0, 3) má stejnou hodnotu účelové funkce (=5). Po nalezení prvního řešení jsme však k alternativnímu řešení mohli dojít i mnohem rychlejší metodou: Nezákladní proměnnou, která má nulový 14

15 koeficient v řádku účelové funkce, zvolíme jako proměnnou vstupující a zcela běžnou metodou najdeme proměnnou vystupující. Sestavíme novou simplexovou tabulku a okamžitě získáme alternativní řešení: zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i t = β i /α ik x / x / x / xxx zj / zákl.prom. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 β i x /5 1/2 0 2 x /5 1/2 0 3 x /5 1/2 1 3 zj / Výpočet této konečné simplexové tabulky je výrazně jednodušší, než postupný výpočet předvedený v předchozí fázi, ale vede k identickému řešení. Nyní jsme tedy nalezli dva optimální body (a žádný další mezi základními řešeními nenalezneme). Optimálním řešením je tedy každý bod, který je konvexní kombinací těchto dvou nalezených bodů (včetně krajních bodů): x = kx 1 + (1 k)x 2, k < 0, 1 >. 2.4 Dualita v úlohách lineárního programování Ve všech přechozích kapitolách jsme pracovali s maximalizační úlohou, kterou lze zapsat různými způsoby. My teď budeme používat maticový zápis, ale pokud by to někomu dělalo problémy, může si vztahy snadno přepsat do jakékoliv formy. Maximalizační úlohu lineárního programování lze tedy zapsat následovně: max z = c T x... maximalizace kriteriální funkce za podmínek: Ax b... omezující podmínky x 0... podmínky nezápornosti V teorii duality se tato úloha nazývá primární úlohou. 15

16 Ke každé primární úloze je možno velmi snadno sestavit úlohu duální. K výše uvedené primární úloze má duální úloha tvar: min f = b T y... minimalizace kriteriální funkce za podmínek: A T y c... omezující podmínky y 0... podmínky nezápornosti Ukažme si nyní na příkladu, co to znamená prakticky: Příklad duální úloha Předpokládejme, že máme zadanou primární úlohu jako maximalizační funkci za daných podmínek. Naším úkolem je k primární úloze sestavit duální úlohu. Primární úloha: max z = 5x 1 + 3x 2 + 2x 3 za podmínek: x 1 + 2x 2 x 3 8 2x 1 x 2 + 3x 3 6 x 1 + x 2 x 3 7 x 1, x 2, x 3 0 Duální úloha: min f = 8y 1 + 6y 2 + 7y 3 za podmínek: y 1 + 2y 2 + y 3 5 2y 1 y 2 + y 3 3 y 1 + 3y 2 y 3 2 y 1, y 2, y

17 Podívejme se nyní pořádně, jak jsme duální úlohu sestavili. K maximalizaci je duální minimalizační problém. Koeficienty v účelové funkci duální úlohy tvoří vektor pravých stran z úlohy primární. Naopak vektor pravých stran v úloze duální je tvořen vektorem cenových koeficientů z primární úlohy. Směr nerovností v omezujících podmínkách je opačný a matice strukturních koeficientů je transformovaná. Tzn. že sloupcové vektory primární úlohy nyní tvoří řádkové vektory duální úlohy a naopak. Nyní se již nabízí jediná otázka: K čemu to je? V praxi má dualita velké využití, neboť primární a duální úloha mají velmi úzký vztah. V simplexové tabulce primární úlohy najdeme řešení na pravé straně. Nalezneme tam ale také řešení duální úlohy a to konkrétně v řádku účelové funkce pod přídatnými proměnnými. Odtud je již patrné využití. Pokud máme minimalizační úlohu, je její duální úloha maximalizační a patrně se vyhneme nepřípustnému výchozímu řešení. Není tedy běžně potřeba využívat dvoufázovéo simplexu (Pozor: ne vždy se tímto způsobem dvoufázovému simplexu vyhneme). Maximalizační úlohy již umíme řešit, takže není problém úlohu vyřešit a ceny pod přídatnými proměnnými interpretovat jako optimální řešení primární úlohy. Další výhodou je, že počet podmínek v primární úloze se rovná počtu proměnných v úloze duální. Máme-li tedy v primární úloze jen dvě podmínky (bez ohledu na počet proměnných), duální úloha bude sestavena za pomoci jen dvou proměnných. Všichni dobře víme, že úlohy se 2 proměnnými se velmi snadno řeší graficky. Poznamenejme ještě, že primární a duální úloha se nazývají symetricky sdružené duální úlohy. Ze symetrie úloh je již snadno pochopitelné, že přídatné proměnné se nazývají proměnnými duálními. Hodnoty duálních proměnných udávají, o kolik se zvýší hodnota účelové funkce primární úlohy, pokud se disponibilní množství daného zdroje (podmínka) zvýší o jednotku. Tyto hodnoty se často nazývají stínovými cenami. Hodnoty primárních proměnných se nazývají redukovanými cenami a říkají, o kolik se zvýší hodnota účelové funkce, pokud přidáme jednotku primární proměnné. Poslední poznámka se týká skutečnosti, že v případě, že podmínky nemají správný směr, je před sestavením duální úlohy třeba příslušné nerovnice přená- 17

18 sobit ( 1), aby nerovnost měla správný směr. Pak je možné již snadno duální úlohu sestavit. 18

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit: 3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Metody operačního výzkumu cvičení

Metody operačního výzkumu cvičení Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou)

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá

STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá 1) Lineární i nelineární regrese prostá, korelace Naeditujeme data viz obr. 1. Obr. 1 V menu Statistika zvolíme submenu Pokročilé lineární/nelineární

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Karnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto:

Karnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto: Karnaughovy mapy Metoda je použitelná již pro dvě vstupní proměnné, své opodstatnění ale nachází až s větším počtem vstupů, kdy návrh takového výrazu přestává být triviální. Prvním krokem k sestavení logického

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí.

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. V roce 2012 se na katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze konala Matematická fotosoutěž. Vítězný snímek týkající se právě lineární

Více

Využití simplexového algoritmu v projektování výroby

Využití simplexového algoritmu v projektování výroby JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra řízení Studijní program: B6208 Ekonomika a management Studijní obor: Řízení a ekonomika podniku Využití simplexového algoritmu v projektování

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7 Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

Využití simplexového algoritmu pro transformaci výroby

Využití simplexového algoritmu pro transformaci výroby Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta Strukturální politika Evropské unie a rozvoj venkova DIPLOMOVÁ PRÁCE Využití simplexového algoritmu pro transformaci výroby Vypracoval: Bc.

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

9. Soustava lineárních rovnic

9. Soustava lineárních rovnic @097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 MA1ACZMZ06DT MATEMATIKA 1 didaktický test Testový sešit obsahuje 18 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1. jarní série. Barevné úlohy

1. jarní série. Barevné úlohy Téma: Datumodeslání: 1. jarní série Barevné úlohy ½ º ÒÓÖ ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Háňa má krychli, jejíž stěny jsou tvořeny barevnými skly. Když se Háňa na svou kostku podívá jako na obrázku, vidí v každé ze sedmi

Více

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu. MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více