Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Martina Pavlačková, Ph.D. Rok odevzdání: 010 Vypracovala: Vendula Tichá ME,. Ročník

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně pod vedením RNDr. Martiny Pavlačkové, Ph.D. a uvedla jsem všechny použité zdroje. V Olomouci dne

3 Poděkování Děkuji vedoucí bakalářské práce RNDr. Martině Pavlačkové, Ph.D. za trpělivost a čas strávený pročítáním mé práce.

4 Obsah Úvod 5 1. Základy programu Maple Práce v Maplu Knihovny linalg a LinearAlgebra Úlohy z lineární algebry a jejich řešení pomocí programu Maple Matice Determinanty Inverzní matice Charakteristická matice, charakteristický polynom a vlastní čísla Kvadratické formy....6 Řešení soustav lineárních rovnic Využití poznatků z lineární algebry v jiných oborech....1 Hessova matice a hessián.... Řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant.. 9 Závěr 47 Literatura a internetové zdroje 48

5 Úvod Lineární algebra je odvětví matematiky, které se zabývá vektory, vektorovými prostory, soustavami lineárních rovnic a lineárními transformacemi. Je důležitou součástí jak abstraktní algebry, tak funkcionální analýzy. Aplikovaná lineární algebra se využívá například v přírodních nebo sociálních vědách. Cílem mé bakalářské práce je studovat vybrané problémy lineární algebry a ukázat, jak je lze řešit s využitím programu Maple. Samotná práce je rozdělena do tří kapitol. V první kapitole jsou popsány základy programu Maple, zejména práce v Maplu a jeho knihovny týkající se lineární algebry. Ve druhé kapitole se věnuji vybraným úlohám z lineární algebry a tomu, jak je lze řešit pomocí programu Maple. Konkrétně zejména problematice týkající se matic, determinantů, vlastních čísel, kvadratických forem a řešení soustava lineárních rovnic. V práci uvedené teoretické poznatky ilustruji vlastními příklady řešenými pomocí programu Maple. V poslední, třetí kapitole se zabývám využitím poznatků z lineární algebry v jiných oborech, konkrétně při hledání extrémů funkcí více proměnných a při řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant. I v této kapitole je teorie ilustrována na příkladech řešených pomocí programu Maple. 5

6 1 Základy programu Maple Maple je systém počítačové algebry pro výuku a využití matematiky v přírodovědných, technických a ekonomických oborech, který byl vyvinut na univerzitě ve Waterloo v Kanadě. Maple umožňuje provádět jak symbolické a numerické výpočty, tak vytvářet grafy funkcí a uchovávat je v souborech v počítači. Funkce používané v programu Maple pokrývají mnoho odvětví matematiky od základů diferenciálního a integrálního počtu, lineární algebry, až k řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, diferenciální geometrii a logice. 1.1 Práce v Maplu Po spuštění programu se otevře nový dokument, který začíná znakem > (tzv. promptem), za nímž je umístěn kurzor. Za promptem napíšeme mapleovský příkaz a řádek ukončíme středníkem. Ukončení je nutné, protože jinak Maple očekává pokračování předchozího příkazu. Stiskneme-li ENTER, příkaz bude vykonán a kurzor se přesune za následující prompt. Pokud chceme následné vypsání potlačit, ukončíme příkaz dvojtečkou (místo středníkem). V případě, že chceme příkaz napsat na více řádků, stačí stisknout ENTER a středník napsat až na konci příkazu. Pokud za promptem napíšeme znak #, je veškerý text za # brán jako poznámka a Maple jej ignoruje. Tímto způsobem můžeme vkládat mezi mapleovské příkazy vysvětlující text. Ukončení práce v Maplu provedeme zapsáním příkazu Quit, done, stop (stačí bez středníku) a stisknutím klávesy ENTER. 6

7 1. Knihovny linalg a LinearAlgebra Maple obsahuje řadu speciálních knihoven. Knihovny linalg a LinearAlgebra obsahují funkce a příkazy, které pracují s poli reprezentující vektory a matice v Maplu. Příkaz with(linalg), resp. with(linearalgebra), zpřístupňuje funkce a příkazy z těchto speciálních knihoven. V následující tabulce si uvedeme základní maticové a vektorové operace a jejich značení v programu Maple. Operace definování matice a vektoru sčítání matic násobení dvou matic transponovaná matice výpočet determinantu matice A inverzní matice hodnost matice A redukce A na Gaussův-Jordanův tvar Gaussova eliminace matice A řešení soustavy Ax=b charakteristická matice charakteristický polynom vlastní čísla matice Mapleovské značení matrix, array, vector evalm(a+b) evalm(a&*b) transpose(a) det(a) evalm(a^(-1)) rank(a) gaussjord(a) gausselim(a) linsolve(a,b) CharacteristicMatrix CharacteristicPolynomial eingenvalues V jednotlivých kapitolách uvedeme podrobnější popis příslušných příkazů a jejich použití. Podrobnější informace o programu Maple může čtenář nalézt například v literatuře [], [4] a [9]. 7

8 Úlohy z lineární algebry a jejich řešení pomocí programu Maple V této kapitole se seznámíme se základními úlohami vyskytujícími se v lineární algebře a na konkrétních příkladech si ukážeme, jak lze dané úlohy řešit pomocí programu Maple. Při zpracování této kapitoly byly použity zejména zdroje [1], [5], [6], [8] a [10]..1 Matice Matice (anglicky matrix) je obdélníková tabulka čísel nebo určitých matematických objektů. Obecně obsahuje m řádků a n sloupců. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic, ale využívají se také pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné nebo k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Za zakladatele teorie matic je považován anglický matematik A. Cayley. Definice 1. Nechť T = (T,+, ) je číselné těleso, m, n N, a ij T pro každé i = 1,..., m, j = 1,..., n. Potom se schéma a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a m1 a m a mn nazývá matice typu m n nad T. Je-li a ij prvek matice, pak číslo i nazveme řádkový index a číslo j sloupcový index tohoto prvku. Je-li r = min m, n, pak řekneme, že prvky a 11, a,..., a rr tvoří hlavní diagonálu a prvky a 1n, a,n 1,..., a r,n (r 1) tvoří vedlejší diagonálu matice A. Poznámka 1. Matici A typu m n můžeme také někdy zapisovat v některém z následujících zkrácených tvarů A = a ij m n = a ij m,n = a ij m n = a ij m,n. 8

9 Definice. a) Matici A = a ij typu n n nazveme čtvercová matice stupně n. b) Čtvercovou matici nazveme diagonální, pokud všechny její prvky, které neleží na hlavní diagonále, jsou rovny 0. c) Diagonální matice se nazývá skalární, jestliže všechny její prvky ležící na hlavní diagonále jsou si rovny. d) Skalární matice stupně n, jejíž všechny prvky na hlavní diagonále jsou rovny 1, se nazývá jednotková matice stupně n. Značíme ji E n (popř. pokud je zřejmý typ matic, jenom E). Označení: Množinu všech matic typu m n nad T značíme M m n (T) a množinu všech čtvercových matic stupně n nad T značíme M n (T). Definice. Jsou-li A = a ij, B = b ij dvě matice z M m n (T), pak řekneme, že matice A je rovna matici B, platí-li a ij = b ij pro každé i = 1,..., m, j = 1,..., n. Značíme A = B. Definice 4. Nechť A = a ij, B = b ij M m n (T). Potom součtem matic A a B rozumíme matici A + B = c ij M m n (T) takovou, že c ij = a ij + b ij pro každé i = 1,..., m a každé j = 1,..., n. Definice 5. Nechť c T, A = a ij M m n (T). Potom (levým) součinem skaláru c a matice A rozumíme matici ca = ca ij M m n (T). Poznámka. Podobně je možno definovat pravý součin matice A a skaláru c vztahem Ac = a ij c. Definice 6. Nechť A = a ij M m n (T), B = b jk M n p (T). Potom součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici A B = AB = c ik M m p (T) takovou, že 9

10 pro každé i = 1,..., m, k = 1,..., p. n c ik = a ij b jk j = 1 Poznámka. Je zřejmé, že matice A a B můžeme násobit jenom tehdy, je-li počet sloupců matice A stejný jako počet řádků matice B. Příklad 1. Uvažujme matice A = a ij,, B = b ij,4 a C = c ij, takové, že a ij = 1 i+j, pro každé i = 1,, j = 1,,, b ij = i j, pro každé i = 1,,, j = 1,,, 4, c ij = 1 i+j 1 i+j, pro každé i = 1,, j = 1,,. V Maplu můžeme tyto matice zadat následovně pomocí příkazu matrix: > A:=matrix (,,(i,j)->(-1)^(i+j)); A := > B:=matrix (,4,(i,j)->i*j); 1 4 B := > C:=matrix (,,(i,j)->((-1)^(i+j))*(1/(i+j))); C := Sečíst matice A a C můžeme v Maplu pomocí příkazu evalm a symbolu +: > evalm(a+c);

11 Vynásobit matice A a B nebo C a B můžeme pomocí příkazu evalm a symbolů &* sloužícím k násobení: > AB:=evalm(A&*B); AB := > CB:=evalm(C&*B); CB := Vzhledem k typu matic A, B, C nemůžeme sčítat matice A a B, respektive B a C a vypočítat součiny B C, B A, A C, C A. Definice 7. Je-li A = a ij matice typu m n, potom maticí transponovanou k matici A nazýváme matici A T = a ji typu n m, která vznikne z matice A vzájemnou záměnou řádků a sloupců (tj. překlopením matice A podle hlavní diagonály). Příklad. Určete transponovanou matici k matici A = V Maplu můžeme transponovanou matici najít pomocí příkazu transpose, ale nejdříve musíme otevřít knihovnu linalg pomocí příkazu with(linalg): > with(linalg): > A:=matrix([[1,5,9,8],[,0,7,6]]); A := > Atrans:=transpose(A); 1 Atrans :=

12 Definice 8. Řádkovým podprostorem určeným maticí A M m n (T) budeme rozumět podprostor v T n generovaný řádky matice A. Definice 9. Elementárními řádkovými transformacemi matice A nazýváme následující operace: 1. výměna libovolných dvou řádků v A;. vynásobení některého řádku v A prvkem z T různým od nuly;. přičtením libovolného násobku některého řádku z A k jinému řádku v A. Definice 10. Jsou-li A, B M m n (T), pak řekneme, že matice B je řádkově ekvivalentní s maticí A (značíme AB), může-li B vzniknout z A pomocí konečného počtu elementárních řádkových transformací. Poznámka 4. Je zřejmé, že jsou-li A, B, C M m n (T), pak platí a) AA, b) AB BA, c) (AB BC) AC. Můžeme proto v případě AB říkat, že matice A a B jsou řádkově ekvivalentní. Definice 11. Nechť je dána libovolná elementární řádková transformace čtvercové matice n-tého stupně. Potom maticí této elementární transformace rozumíme matici, která vznikne z jednotkové matice n-tého stupně použitím této transformace. Definice 1. Je-li A M m n (T), pak vedoucím prvkem nenulového řádku a i matice A rozumíme první nenulový prvek v a i. Definice 1. Řekneme, že matice A je redukovaná, je-li vedoucí prvek každého nenulového řádku v A roven 1 a jestliže v každém sloupci matice A, který obsahuje vedoucí prvek některého řádku, jsou všechny zbývající prvky rovny 0. 1

13 Definice 14. Redukovanou matici, která splňuje podmínky a) všechny nulové řádky jsou až za všemi nenulovými řádky, b) jsou-li a i, a j, i < j, nenulové řádky, které mají své vedoucí prvky ve sloupcích k i, k j, pak k i < k j, nazýváme redukovaná trojúhelníková matice. Věta 1. Každá matice je řádkově ekvivalentní s některou redukovanou trojúhelníkovou maticí. Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt například v [5]. Definice 15. Hodností matice A M m n (T) rozumíme dimenzi řádkového podprostoru v T n určeného maticí A (hodnost matice A budeme značit A ). Poznámka 5. a) Podle definice řádkového podprostoru je hodnost matice A rovna maximálnímu počtu jejich lineárně nezávislých řádků, tedy A m. b) Řádkově ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. c) Hodnost matice A je rovna počtu nenulových řádků libovolné redukované trojúhelníkové matice, která je řádkově ekvivalentní s A. Příklad. Vypočítejte hodnost matice A = Nejdříve otevřeme knihovnu linalg, nadefinujeme matici A pomocí příkazu array: > with(linalg): > A := array( [[4,-,1,0],[,0,,4],[-,6,1,1],[1,0,1,]] ); 1

14 4-1 0 A := V Maplu hodnost matice A určíme pomocí příkazu rank: > h(a):=rank(a); h( A) := Pro kontrolu převedeme matici A na trojúhelníkový tvar pomocí příkazu gaussjord: > gaussjord(a,'r'); Po převedení na trojúhelníkový tvar získáme matici se nenulovými řádky, což odpovídá vypočtené hodnosti.. Determinanty V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár deta. Determinantem čtvercové matice řádu n přitom nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý z těchto součinů přitom ve výsledném součtu vystupuje se znaménkem + nebo podle jistých pravidel. Determinanty mají využití při řešení soustav lineárních rovnic, v integrálním počtu nebo při hledání extrémů funkcí více proměnných. Abychom mohli nadefinovat pojem determinant, je nutné nejprve vědět, co je permutace množiny, respektive znaménko této permutace. 14

15 Definice 16. Je-li A = {a 1, a,..., a n }, kde n 1, konečná množina, potom pořadím množiny A nazveme libovolnou posloupnost = (a k1, a k,, a kn ) prvků z A takovou, že každý prvek z množiny A se v vyskytuje právě jednou. Poznámka 6. Pro další úvahy bude nejpřehlednější, když pro každé n 1 budeme pracovat s množinou A = {1,,...,n}. Definice 17. Základním pořadím na množině A = {1,,...,n} rozumíme pořadí = (1,,...,n). Poznámka 7. Permutací na množině A rozumíme každou bijekci A na A. P = i 1 i P i 1 P i i n P i n. Každou permutaci P na množině A je možno zapsat pomocí dvou pořadí ve tvaru P = π 1 π. Definice 18. Je-li = (k 1, k,..., k n ) pořadí, pak řekneme, že prvky k i a k j tvoří v pořadí inverzi, platí-li i < j a k i > k j. Poznámka 8. Je-li pořadí, pak počet inverzí v označíme π. Definice 19. Znaménkem pořadí rozumíme číslo sgn π = 1 π. Je-li sgn π = 1 pak se pořadí nazývá sudé, je-li sgn π = 1, pak se nazývá liché. Definice 0. Znaménkem permutace P = i 1 i k 1 k i n k n = π 1 π rozumíme číslo sgn P, které se rovná +1, platí-li sgn π 1 = sgn π, a rovná se 1, platí-li sgn π 1 = sgn π. Permutace P se nazývá sudá, je-li sgn P = 1; v opačném případě se permutace P nazývá lichá. 15

16 Definice 1. Je-li π = i 1, i,, i n pořadí a P = 1 k 1 k n k n permutace na {1,,...,n}, pak řekneme, že pořadí π = k i1, k i,, k in vznikne z pořadí pomocí permutace P. Definice. Nechť a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a n1 a n a nn je čtvercová matice stupně n nad číselným tělesem T. Determinantem matice A pak rozumíme číslo deta z tělesa T takové, že deta = kde sčítáme přes všechny permutace P P = 1 k 1 k množiny {1,,...,n}. Každý ze součinů nazýváme člen determinantu deta. sgn P a 1k1 a k a nk n, n k n = 1 P 1 P a 1k1 a k a nk n n P n Dále se budeme zabývat tím, jak lze determinant vypočítat snáze než jen podle výše uvedené definice. Věta. Má-li čtvercová matice A v některém řádku samé nuly, pak deta = 0. Věta. Má-li matice A M n (T) všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, potom deta je roven součinu a 11 a a nn prvků na hlavní diagonále. Důkazy těchto tvrzení lze nalézt například v [5]. 16

17 Definice. Nechť A = a ij je matice typu m n. Potom každou matici, která vznikne z matice A vynecháním některých řádků a některých sloupců, nazýváme dílčí maticí matice A. Je-li dílčí matice matice A čtvercová, potom její determinant nazýváme subdeterminantem matice A. Definice 4. Je-li A = a ij M n (T), potom subdeterminant dílčí matice stupně n 1 vzniklé vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce A nazýváme minor matice A příslušný k prvku a ij a značíme jej M ij. Algebraickým doplňkem prvku a ij rozumíme prvek A ij = 1 i+j M ij. Věta 4. (Laplaceova) Nechť A = a ik M n (T). Potom a) pro každé i = 1,, n platí b) pro každé j = 1,, n, i j platí n a ik k=1 n a ik k=1 A ik = deta; A jk = 0. Důkaz Laplaceovy věty lze nalézt například v [5] a [6]. Příklad 4. Vypočítejte determinant matice B = V Maplu můžeme determinant vypočítat pomocí příkazu det(b), ale nejdříve musíme otevřít knihovnu linalg pomocí příkazu with(linalg): > with(linalg): > B:=matrix([[5,8,9,1,7],[,5,7,9,],[1,-5,,,-6],[,4,1,- 4,5],[5,4,,-,5]]); 17

18 > detb:=det(b); B := detb := -5 Příklad 5. Vypočítejte determinant matice A = 0 sin x cos x sin y cos x cos y sin x cos y cos y cos x sin y sin x sin y. Nejdříve si otevřeme knihovnu linalg, nadefinujeme matici A a pomocí příkazu det(a) vypočítáme determinant matice A: > with(linalg): > A:=matrix([[0,-sin(x),cos(x)],[sin(y),cos(x)*cos(y), sin(x)*cos(y)],[cos(y),cos(x)*sin(y),sin(x)*sin(y)]]); 0 sin( x ) cos( x ) A := sin( y ) cos( x ) cos( y ) sin( x ) cos( y ) cos( y ) cos( x ) sin( y ) sin( x ) sin( y ) > deta:=det(a); deta := sin( x) sin( y) cos ( x) sin( y) sin ( x) cos( y) cos ( x) cos( y) Maplem vypočítaný determinant A můžeme ještě upravit: deta = sin x sin y cos x sin y sin x cos y cos x cos y = sin x sin y + cos y cos x sin y + cos y = sin x + cos x = 1 Podle hodnoty determinantu dělíme čtvercové matice na regulární a singulární. Definice 5. a) Matice A M n (T) se nazývá regulární, platí-li deta 0. 18

19 b) Matice A M n (T) se nazývá singulární, platí-li deta = 0. Příklad 6. Určete, pro jaká a, b R je matice regulární. A = a b 1 b 0 1 Nejdříve si otevřeme knihovnu linalg, nadefinujeme matici A a vypočítáme determinant matice A (v závislosti na a, b): > with(linalg): > A:=matrix([[,a,-b],[1,-b^,],[0,1,-]]); > deta:=det(a); a b A := 1 b deta := 4 b 4 ab V Maplu můžeme pomocí příkazu solve zjistit, pro jaké a je matice A singulární nebo regulární: > a:=solve(4*b^-4+*a-b=0,a); a := b 1 b Matice je tedy singulární v případě, že a = b + 1 b +, kde b je libovolné reálné číslo. V ostatních případech je regulární.. Inverzní matice Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky. 19

20 Definice 6. Inverzní maticí k čtvercové matici A nazýváme takovou matici A 1 stejného typu, pro kterou platí AA 1 = A 1 A = E. Věta 5. Je-li A matice z M n (T), potom k ní existuje inverzní matice A 1 tehdy a jen tehdy, je-li matice A regulární. Věta 6. Jsou-li A, B regulární matice z M n (T), pak platí AB 1 = B 1 A 1. Věta 7. Pro inverzní matici platí: deta 1 = 1 deta. Věta 8. Je-li A M n (T) regulární, pak je možno přejít pomocí elementárních řádkových transformací od matice A k matici E. Přitom pomocí stejných transformací přejdeme od matice E k matici A 1. Důkazy uvedených tvrzení jsou uvedeny například v [1], [5], [6] a [8]. Příklad 7. Určete inverzní matici k matici A = a ověřte, že matice A splňuje vztah uvedený ve Větě 7. V Maplu můžeme inverzní matici zadat pomocí příkazu evalm(a^(-1)): > A:=matrix([[,-1,],[1,,-],[4,,-1]]); -1 A := > Ainv:=evalm(A^(-1)); 0

21 Ainv := Pomocí násobení matic ověříme, že je výpočet správně: > AAinv:=evalm(A&*Ainv); AAinv := Abychom ověřili, že A a vypočtená inverzní matice splňují rovnost z Věty 7, vypočítáme jejich determinanty. > with(linalg): > det(a); -1 > det(ainv); Charakteristická matice, charakteristický polynom a vlastní čísla Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře a funkcionální analýze, ale také například v kvantové fyzice. Definice 7. Nechť A = a ij M n (T). Pak matice A λe M n (T), kde λ je parametr, se nazývá charakteristická matice k matici A. Poznámka 9: Matice A λe je tedy ve tvaru 1

22 A λe = a 11 λ a 1 a 1n a 1 a λ a n a n1 a n a nn λ. Definice 8. Charakteristickým polynomem matice A = a ij M n (T) rozumíme determinant charakteristické matice A λe. Jeho kořeny se nazývají vlastní (charakteristická) čísla matice A. Píšeme ca λ = det A λe. Příklad 8. Najděte charakteristickou matici, charakteristický polynom a vlastní čísla matice M = Pomocí příkazu with(linearalgebra) si otevřeme příslušnou knihovnu a nadefinujeme matici M: > with(linearalgebra): > M := <<4,-,5> <0,1,0> <,-1,>>; 4 0 M := V Maplu můžeme charakteristickou matici zadat pomocí příkazu CharacteristicMatrix: > CharacteristicMatrix(M,lambda); Charakteristický polynom můžeme zadat pomocí příkazu CharacteristicPolynomial: > CharacteristicPolynomial(M,lambda); 7 4 Kořeny charakteristického polynomu jsou vlastní čísla. V Maplu je můžeme najít například pomocí příkazu solve:

23 > solve(%,lambda); 1, 11, 11 Ověříme výpočet pomocí příkazu Eingenvalues, který slouží k hledání vlastních čísel: > Eigenvalues(M); Kvadratické formy Kvadratická forma je zúžením bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem vyskytující se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších oblastech. Definice 9. Nechť A = a ij, i, j = 1,, n je symetrická matice, R n. Řekneme, že kvadratická forma P = A, = a ij i j určená maticí A je pozitivně (negativně) semidefinitní, jestliže P() 0 (P() 0), pro každé R n. Jestliže nastane rovnost pouze pro = 0, řekneme, že forma P je pozitivně (negativně) definitní. Jestliže existují, R n takové, že P < 0 a P > 0, řekneme, že kvadratická forma P je indefinitní. Často místo o definitnost, resp. indefinitnosti kvadratické formy P mluvíme o definitnosti, resp. indefinitnosti matice A. n i,j =1 Věta 9. Kvadratická forma P určená symetrickou maticí A = a ij, P = A, = a ij i j n i,j =1

24 je pozitivně (negativně) definitní, právě když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná (záporná). Forma P je pozitivně (negativně) semidefinitní, právě když všechna vlastní čísla jsou nezáporná (nekladná). Věta 10. Kvadratická forma P je pozitivně definitní, právě když jsou všechny hlavní minory matice A, tj. determinanty a 11, a 11 a 1 a 1 a, a 11 a 1 a 1 a 1 a a,, a 1 a a a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn = deta kladné. Kvadratická forma P je negativně definitní, právě když hlavní minory střídají znaménko, počínajíc záporným. Důkazy uvedených tvrzení lze nalézt například v [5]..6 Řešení soustav lineárních rovnic Řešení soustav lineárních rovnic je úloha, která se velmi často vyskytuje nejen při řešení úloh v různých oblastech matematiky, ale také v jiných vědních disciplínách. Definice 0. Je-li T číselné těleso, pak lineárním polynomem o n proměnných nad T rozumíme každé zobrazení f = T n T takové, že kde a 1,, a n T. f x 1,, x n = a 1 x a n x n = n i=1 a i x i, Definice 1. Nechť n i=1 a i x i je lineární polynom nad tělesem T, b T. Potom úloha určit všechny uspořádané n-tice ξ 1,, ξ n T n, pro které platí 4

25 n i=1 a i ξ i = b, se nazývá lineární rovnice o n neznámých nad T. Každá n-tice ξ 1,, ξ n T n, pro kterou nastane rovnost se nazývá řešení této rovnice. n i=1 a i ξ i = b, Definice. Nechť n n a 1i x i,, a mi x i i=1 i=1 jsou lineární polynomy nad T, b 1,, b m T. Pak úloha určit všechny uspořádané n-tice pro které platí ξ 1,, ξ n T n, n S i=1 a 1i ξ i = b 1 R 1 n i=1 a mi ξ i = b m se nazývá soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad T. Pokud platí b i = 0 pro každé i = 1,, m, pak se soustava nazývá homogenní, v opačném případě se nazývá nehomogenní. R m Definice. Je-li S soustava lineárních rovnic z Definice, potom matici A = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n, resp. a m1 a m a mn a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn nazýváme maticí soustavy S, resp. rozšířenou maticí soustavy S. b 1 b b m Poznámka 10. a) Soustava S je jednoznačně určena (až na označení neznámých) pomocí své rozšířené matice. 5

26 b) Označíme-li ξ T = ξ 1 ξ n a b T = b 1 b m, pak soustavu S můžeme maticově zapsat ve tvaru Aξ T = b T. Řešením této soustavy pak bude každý vektor u T n, pro který platí Au T = b T. Poznámka 11. Pro označení rozšířené matice soustavy S budeme používat symbol (A, b T ). Definice 4. Dvě soustavy lineárních rovnic o n neznámých Aξ T = b T a Bη T = c T nad T se nazývají ekvivalentní, mají-li stejné množiny řešení. Definice 5. Soustava lineárních rovnic Aξ T = b T nad T se nazývá řešitelná, existuje-li alespoň jedno její řešení. Věta 11. (Frobeniova věta) Nehomogenní soustava lineárních rovnic Aξ T = b T je řešitelná tehdy a jen tehdy, platí-li h(a) = h((a, b T )). Věta 1. Nechť Aξ T = b T je soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem T, splňující h(a) = h((a, b T )). Platí-li h(a) = n, pak existuje právě jedno řešení této soustavy. Platí-li h(a) < n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení, závislých na n A parametrech. Důkazy těchto tvrzení lze nalézt například v [1] a [5]. Při hledání řešení soustav lineárních rovnic se nejčastěji používají dvě metody Gaussova eliminační metoda a Cramerovo pravidlo. 6

27 Gaussova eliminační metoda: Nechť Aξ T = b T je soustava m lineárních rovnic o n neznámých, jejíž rozšířená matice je A, b T = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn b 1 b b m. Předpokládejme, že a (Pokud by tomu tak nebylo, můžeme toho dosáhnout záměnou řádků.) Pro každé k =,, m přičteme ke k-tému řádku matice a k1 a 11 -násobek 1. řádku této matice. Ve vzniklé matici jsou všechny prvky 1. sloupce s výjimkou 1. řádku rovny nule. Z každé soustavy můžeme vypustit každou rovnici tvaru 0 = 0, protože její množinou řešení je T n. Výsledná matice je tedy ve tvaru kde r m. a 11 a 1 a 1n 0 a a n 0 a r a rn Předpokládejme, že a 0. (Jestliže tomu tak není a je-li alespoň jedno z čísel a,, a r nenulové, pak toho opět můžeme dosáhnout záměnou řádků.) Jsou-li všechna čísla a,, a r rovna nule, pak můžeme přečíslovat sloupce, ovšem ve výsledku se musíme vrátit k původnímu označení. Pro každé j =,, r přičteme a j a -násobek druhého řádku nové matice k j-tému řádku této matice. Opět vynecháme všechny řádky, které obsahují samé nuly. Ve výsledku dostaneme matici, v jejímž. sloupci jsou všechny prvky počínaje. řádkem rovny nule. Tímto způsobem pokračujeme tak dlouho, až dojdeme k matici tvaru b 1 b b r, kde n. a 11 a 1 a 1 a 1n b 1 0 a a a n b, 0 0 c c n d Z rovnice c ξ + + c n ξ n = d, 7

28 která odpovídá poslednímu řádku výsledné matice, vyjádříme neznámou ξ pomocí neznámých ξ +1,, ξ n. Z předposlední rovnice pak analogicky vyjádříme neznámou ξ 1, atd., až z první rovnice vypočítáme neznámou ξ 1. Přitom je zřejmé, že pokud c n 0 a = n, pak má soustava odpovídající poslední matici jediné řešení, zatímco v případě < n mají tyto soustavy nekonečně mnoho řešení, která závisejí na n parametrech ξ +1,, ξ n. (Za tyto parametry můžeme dosazovat libovolná čísla z T.) Věta 1. (Cramerovo pravidlo) Nechť Aξ T = b T je soustava n lineárních rovnic o n neznámých (n 1) nad T taková, že deta 0. Potom pro každé j = 1,, n platí ξ j = deta j deta, kde A j je matice, která vznikne z A nahrazením j-tého sloupce vektorem b T. Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt například v [5]. Příklad 9. Najděte řešení soustavy rovnic v závislosti na parametru p: px 1 + x + x = 1 x 1 + px + x = 1 x 1 + x + px = p. Nejprve si otevřeme knihovnu linalg a definujeme matici A a vektor b pomocí příkazu vector: > with(linalg): > A:=matrix([[p,1,1],[1,p,1],[1,1,p]]); p 1 1 A := 1 p p > b:=vector([1,1,p^]); b := [ 1, 1, p ] Pro zápis zadání použijeme rozšířenou matici soustavy: > Ab:=matrix([[p,1,1,1],[1,p,1,1],[1,1,p,p^]]); 8

29 p Ab := 1 p p p Pro provedení Gaussovy eliminace použijeme v Maplu příkaz gausselim: > gausselim(a); > gausselim(ab); p 1 1 p1 p 1 0 p p 0 0 p p p p1 p 1 p 1 0 p p p 0 0 p p p p Je-li p p = 0, pak není soustava jednoznačně řešitelná. Kořeny polynomu p p určíme pomocí příkazu solve: > solve(-p^-p=0,p); -, 1 Řešení pro p = - neexistuje, protože po provedení Gaussovy eliminace zjistíme, že nejsou splněny předpoklady Frobeinovy věty: > p:=-; > A:=matrix([[p,1,1],[1,p,1],[1,1,p]]); > Ab:=matrix([[p,1,1,1],[1,p,1,1],[1,1,p,p^]]); > gausselim(a); p := A := Ab :=

30 > h(a):=rank(a); > gausselim(ab); > h(ab):=rank(ab); h( A) := h( Ab) := Je zřejmé, že pro p = - je A = a Ab =, z čehož plyne, že soustava nemá řešení. Pro p = 1 má soustava nekonečně mnoho řešení, protože po provedení Gaussovy eliminace vychází: > p:=1; > A:=matrix([[p,1,1],[1,p,1],[1,1,p]]); > Ab:=matrix([[p,1,1,1],[1,p,1,1],[1,1,p,p^]]); > gausselim(a); > h(a):=rank(a); > gausselim(ab); p := A := Ab := h( A) := 1 0

31 > h(ab):=rank(ab); h( Ab) := 1 Hodnosti A = Ab = 1, z čehož plyne, že soustava má řešení závislé na dvou parametrech. Toto řešení x 1, x, x splňuje x 1 + x + x = 1, a je tedy jej možné zapsat ve tvaru t, s, 1 t s, kde t, s R. Pro kontrolu vyřešíme soustavu pomocí příkazu linsolve(a,b): > b:=vector([1,1,p^]); > linsolve(a,b); Pro p,1 má soustava 1 řešení ve tvaru p, p, p +p+ p+ p+ p+ získat např. pomocí příkazu linsolve: > linsolve(a,b); b := [ 1, 1, 1] [ 1 _t 1 _t, _t 1, _t ] p,, p p p p p p, které je možné 1

32 Využití poznatků z lineární algebry v jiných oborech V této kapitole se seznámíme s několika oblastmi matematiky, v nichž se dají poznatky z předchozí kapitoly využít. Při tvorbě této kapitoly byla využita zejména literatura [], [7] a [10]..1 Hessova matice a hessián Speciální typ matice, tzv. matice Hessova, a její determinant se používají při hledání extrémů funkcí více proměnných. Důkazy tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt například v []. Definice 6. Nechť A R n a f: A R je funkce n proměnných. Existují-li parciální derivace funkce f druhého řádu v bodě x = x 1,, x n, pak Hessova matice funkce f v bodě x má tvar H x = f x1 x f x1 x x f x1 x n x f x x 1 x f x x f x x n x f xn x 1 x f xn x x f xn x. Determinant Hessovy matice se nazývá hessián. Věta 14. Ze Schwarzovy věty plyne, že má-li funkce f v bodě x spojité druhé parciální derivace, pak je Hessova matice funkce f v bodě x symetrická. Hessova matice a hessián se využívají při hledání extrémů funkcí více proměnných. Definice 7. Řekneme, že funkce f: A R, kde A R n, nabývá v bodě x R n lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí σ x bodu x takové, že pro každé x σ x A platí f x f x (f x f x ). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro

33 x x ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální minima a maxima budeme používat společný termín (ostré) lokální extrémy. Definice 8. Nechť f: A R, kde A R n. Řekneme, že bod x R n je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x existují všechny parciální derivace funkce f a platí f xi x = 0, i = 1,, n. Věta 15. Nechť funkce f: A R, kde A R n, má v bodě x R n lokální extrém. Pak všechny parciální derivace funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule, tj. x je stacionárním bodem. Poznámka 1. Funkce f: A R, kde A R n, může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Zdůrazněme, že stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému (takový bod se pak nazývá sedlo). Věta 16. Nechť x R n je stacionární bod funkce f a předpokládejme, že f má na nějakém okolí bodu x spojité parciální derivace druhého řádu. Položme A = a ij = H x, tj. a ij = f xi x j x. a) Je-li kvadratická forma P = A, pozitivně (negativně) definitní, má funkce f v bodě x ostré lokální minimum (maximum). b) Je-li kvadratická forma P indefinitní, v bodě x extrém nenastává. c) Má-li funkce f v bodě x lokální minimum (maximum), je kvadratická forma P pozitivně (negativně) semidefinitní. Příklad 10. Najděte lokální extrémy funkce f x 1, x, x, x 4 = x 1 + x + x + x 4 + 1x 1 x x 4x 4. > f:=x[1]^+x[]^+x[]^+x[4]^+1*x[1]*x[]-*x[]-4*x[4]; f := 1 x 1 x x 4 x 4 x 1 x x x 4 Nejprve vypočítáme první parciální derivace funkce f:

34 > Diff(f,x[1])=diff(f,x[1]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x 1 1 x 1 > Diff(f,x[])=diff(f,x[]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x 1 x 1 > Diff(f,x[])=diff(f,x[]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x > Diff(f,x[4])=diff(f,x[4]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x Definiční obory parciálních derivací jsou R 4, funkce f může mít lokální extrém tedy pouze ve svých stacionárních bodech. Tyto body najdeme pomocí příkazu solve: >solve({*x[1]^+1*x[]=0,*x[]+1*x[1]=0,*x[]=0,*x[4]- 4=0},{x[1],x[],x[],x[4]}); { x 4, x 1, x 1 0, x 0 }, { x 4, x 1, x 1 4, x -144} Funkce f má dva stacionární body [0,0,1,] a [4,-144,1,]. Abychom určili typ extrémů v nalezených stacionárních bodech, vypočítáme druhé parciální derivace: > Diff(f,x[1],x[1])=diff(f,x[1],x[1]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 6 x 1 x 1 x x x 4 > Diff(f,x[1],x[])=diff(f,x[1],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[1],x[])=diff(f,x[1],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[1],x[4])=diff(f,x[1],x[4]); 4

35 ( x ) x 4 x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[],x[1])=diff(f,x[],x[1]); ( x ) x 1 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 1 x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[4])=diff(f,x[],x[4]); ( x ) x 4 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[],x[1])=diff(f,x[],x[1]); ( x ) x 1 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[4])=diff(f,x[],x[4]); ( x ) x 4 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[4],x[4])=diff(f,x[4],x[4]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 x 4 x x x 4 > Diff(f,x[4],x[1])=diff(f,x[4],x[1]); ( x ) x 1 x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 5

36 > Diff(f,x[4],x[])=diff(f,x[4],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[4],x[])=diff(f,x[4],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 Vytvoříme Hessovu matici funkce f: >HM:=matrix([[6*x[1],1,0,0],[1,,0,0],[0,0,,0],[0,0,0,]]) ; 6 x HM := Ve stacionárním bodě [0,0,1,], má Hessova matice tvar: >with(linearalgebra): >HA[1]:=<<0,1,0,0> <1,,0,0> <0,0,,0> <0,0,0,>>; HA 1 := O její definitnosti rozhodneme pomocí vlastních čísel: > eigenvalues(ha[1]); 1 145, 1 145,, Hessova matice je tedy indefinitní a ve stacionárním bodě [0,0,1,] extrém nenastává. Ve druhém stacionárním bodě [4,-144,1,], má Hessova matice tvar: >with(linearalgebra): >HA[]:=<<6*4,1,0,0> <1,,0,0> <0,0,,0> <0,0,0,>>; 6

37 HA := O její definitnosti rozhodneme pomocí vlastních čísel: > eigenvalues(ha[]); , ,, Hessova matice je pozitivně definitní a funkce f má tedy ve stacionárním bodě [4,- 144,1,] ostré lokální minimum. Speciálně pro funkce dvou proměnných platí: Věta 17. Nechť funkce f: A R, kde A R, má na nějakém okolí bodu x 0, y 0 spojité parciální derivace druhého řádu a nechť x 0, y 0 je její stacionární bod. Jestliže D x 0, y 0 = f xx x 0, y 0 f yy x 0, y 0 f xy x 0, y 0 > 0, pak má funkce f v x 0, y 0 ostrý lokální extrém. Je-li f xx x 0, y 0 > 0, jde o minimum, je-li x 0, y 0 < 0, jde o maximum. Jestliže D x 0, y 0 < 0, pak v bodě x 0, y 0 lokální f xx extrém nenastává. Příklad 11. Rozhodněte, má-li funkce f x 1, x = x x 1 x + 1 v bodě 1,1 lokální extrém. > f:=*x[]^x[1]-*x[]+1; x 1 f := x x 1 Nejprve vypočítáme první parciální derivace funkce f: > dx[1]:=diff(f,x[1])=diff(f,x[1]); dx 1 := x x 1 1 x x 1 x 1 x ln( x ) > dx[]:=diff(f,x[])=diff(f,x[]); dx := x 1 x1 x 1 x x x 1 x x 7

38 Do těchto derivací dosadíme bod 1,1 : > x[1]=1;x[]=1; x 1 1 x 1 > solve(dx[1]); > solve(dx[]); 0 0 Bod 1,1 je tedy stacionárním bodem. Abychom ověřili, že se nejedná o bod sedlový, vypočítáme druhé parciální derivace. > dx[11]:= Diff(f,x[1],x[1])=diff(f,x[1],x[1]); dx 11 := x 1 x x 1 1 x x 1 x ln( x ) > dx[1]:=diff(f,x[1],x[])=diff(f,x[1],x[]); dx 1 := x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x1 ln( x ) x x > dx[]:=diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); dx := x x 1 x1 x x 1 x x 1 x 1 x x1 > dx[1]:=diff(f,x[],x[1])=diff(f,x[],x[1]); dx 1 := x 1 x x x x 1 x x x 1 x 1 x1 ln( x ) x x x x x 1 x 1 Vytvoříme Hessovu matice funkce f: >HA:=matrix([[*x[]^x[1]*ln(x[])^,*x[]^x[1]*x[1]/x[]*ln (x[])+*x[]^x[1]/x[]],[*x[]^x[1]*x[1]/x[]*ln(x[])+*x[ ]^x[1]/x[],*x[]^x[1]*x[1]^/x[]^-*x[]^x[1]*x[1]/ x[]^]]); 8

39 x 1 x ln( x ) HA := x x 1 x1 ln( x ) x x x x 1 x x 1 x1 ln( x ) x x x x 1 x1 x x x 1 x x1 x x 1 Ve stacionárním bodě 1,1, má Hessova matice tvar: > HA:=matrix([[0,],[,1]]); HA := 0 1 Pomocí Věty 17 určíme, má-li funkce f ve stacionárním bodě 1,1 lokální extrém. > D(1,1):=evalm(0*1-^); D ( 1, 1) := -4 Vzhledem k tomu, že D 1,1 < 0 tak v bodě 1,1 extrém nenastává.. Řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant Druhou aplikací poznatků z předchozí kapitoly bude úloha najít řešení nehomogenní diferenciální rovnice. Důkazy tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt například v [5]. Nechť n N a F x, z 0, z 1,, z n je funkce n + proměnných definovaná na otevřené množině Ω R n+. Pak rovnice F x, y, y,, y n = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru s neznámou y x. 9

40 Definice 9. Nechť x je funkce definovaná na otevřeném intervalu J. Pak x se nazývá řešení rovnice F x, y, y,, y n = 0 na J, jestliže x má derivace až do řádu n, pro každé x J je x, x, x,, n x Ω a platí F x, x, x,, n x = 0, x J. rovnice. Speciálním případem obyčejných diferenciálních rovnic jsou lineární diferenciální Definice 40. Rovnice tvaru b n x y n x + b n 1 x y n 1 x + + b 1 x y x + b 0 x y = g x, kde b i x, i = 0,1,, n a g x jsou funkce, nazýváme lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Dále budeme předpokládat, že b n x 0. Pak je možné rovnici vydělit tímto koeficientem a při označení a i x = b i x b n x rovnice tvaru, i = 0,1,, n 1, a f x = g x b n x y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f x. nabude Rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f x se nazývá homogenní, jestliže f x 0, nehomogenní v opačném případě. Věta 18. Nechť y 1 x je řešení rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f 1 x a y x je řešení rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f x (tedy levé strany obou rovnic jsou stejné). Pak pro libovolná α, β R je funkce y x = αy 1 x + βy x řešením rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = αf 1 x + βf x. Definice 41. Nechť y 1 x,, y n x je n lineárně nezávislých řešení rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = 0. Pak každé řešení této rovnice má tvar y x = c 1 y 1 x + + c n y n x, kde c 1,, c n jsou libovolná reálná čísla. Tato lineárně nezávislá řešení y 1 x,, y n x nazýváme fundamentální systém rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = 0. 40

41 Poznámka 1: Speciálně pro n =, a 1 x = a 1, a 0 x = a 0 získáme rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty y + a 1 y + a 0 y = 0. Řešení této rovnice hledáme ve tvaru y = e λx, kde λ je vhodné číslo. Vypočteme y = λe λx y = λ e λx a po dosazení obdržíme λ e λx + a 1 λe λx + a 0 e λx = 0. Protože e λx 0, musí λ splňovat rovnici λ + a 1 λ + a 0 = 0. To je kvadratická rovnice, kterou umíme snadno vyřešit. Definice 4. Nechť λ R je k-násobný reálný kořen rovnice λ + a 1 λ + a 0 = 0, k 1. Pak funkce y 1 x = e λx,, y k x = x k 1 e λx jsou řešením rovnice y + a 1 y + a 0 y = 0. Nechť α ± β C je komplexně sdružená dvojice k-násobných komplexních kořenů rovnice λ + a 1 λ + a 0 = 0, k 1, α, β R, β 0. Pak funkce y 1 x = e αx cosβx, y x = e αx sinβx, jsou řešením rovnice y + a 1 y + a 0 y = 0. Věta 19. Množina řešení zkonstruovaná popsaným způsobem tvoří fundamentální systém rovnice y + a 1 y + a 0 y = 0. Uvažujme nyní nehomogenní rovnici druhého řádu y + a 1 x y + a 0 x y = f x. (1) Nechť y 1 x a y x jsou nezávislá řešení příslušné homogenní rovnice y i + a 1 x y i + a 0 x y i = 0, i = 1,. Hledejme řešení rovnice (1) ve tvaru y 0 x = K 1 x y 1 x + K x y x. Vypočteme první derivaci (pro stručnost nepíšeme argument x). 41

42 y 0 = K 1 y 1 + K 1 y 1 + K y + K y. Při výpočtu druhé derivace bychom dostali druhé derivace neznámých funkcí. Požadujme proto, aby K 1 y 1 + K y = 0. Že takovou podmínku můžeme splnit, uvidíme níže. Pak máme y 0 = K 1 y 1 + K y y 0 = K 1 y 1 + K 1 y 1 + K y + K y. Po dosazení do (1) a úpravě vyjde K 1 y 1 + K 1 y 1 + K y + K y + a 1 K 1 y 1 + K y + a 0 K 1 y 1 + K y = f x, K 1 y 1 + K y + K 1 y 1 + a 1 y 1 + a 0 y 1 + K y + a 1 y + a 0 y = f x. Vezmeme-li v úvahu y i + a 1 x y i + a 0 x y i = 0, dostaneme K 1 y 1 + K y = f x. Celkově tedy máme pro derivace neznámých funkcí K 1 a K soustavu lineárních rovnic K 1 y 1 + K y = 0, K 1 y 1 + K y = f x. Determinant matice soustavy se nazývá wronskián y 1 y y 1 y, který je nenulový, a proto má naše soustava jediné řešení, které můžeme získat např. Cramerovým pravidlem. Z K 1 a K dostaneme K 1 a K integrací. To ovšem nemusí být možné ve třídě elementárních funkcí. Až na tento problém je však celý algoritmus metody variace konstant efektivní. Příklad 1. Řešte rovnici pomocí metody variace konstant: y y + y = ex x. V Maplu můžeme nehomogenní diferenciální rovnici nadefinovat pomocí příkazu diff: > rovnice:=diff(y(x),x,x)-*diff(y(x),x)+y(x)=exp(x)/x; rovnice := y( x ) x x y( x ) y( x ) e x x Příslušná homogenní rovnice má tvar: > homrov:=lhs(rovnice)=0; 4

43 homrov := y( x ) x x y( x ) y( x ) 0 Jedná se o homogenní rovnici druhého řádu. Její řešení hledáme ve tvaru y x = e λx. > tvar_reseni:=y(x)=exp(lambda*x); tvar_reseni := y( x) e ( x) Dosazením do zadané rovnice dostaneme po úpravách charakteristickou rovnici. > subs(tvar_reseni,homrov); > simplify(%); x e( x ) e ( x) e ( ) x e( x ) e ( ) x e ( ) x 0 x 0 Protože výraz e λx je vždy větší než nula, můžeme jím rovnici vydělit. > char_rovnice:=simplify(%/exp(lambda*x)); char_rovnice := 1 0 Vypočteme kořeny charakteristické rovnice > solve(char_rovnice,lambda); 1, 1 Rovnice má tedy jeden dvojnásobný kořen λ = 1. Fundamentální systém řešení má tvar: > reseni1:=subs(lambda=1,tvar_reseni);reseni:=subs(lambda=1, x*tvar_reseni); reseni1 := y( x) e x reseni := x y( x) x e x Určíme wronskián nalezených řešení pomocí stejnojmenného příkazu, který je součástí knihovny linalg: > with(linalg): 4

44 >W:=wronskian([rhs(reseni1),rhs(reseni)],x); a vypočteme ho. > detw:=det(%); w := e x e x x e x e x x e x detw := ( e x ) Lineární kombinací nalezených řešení dostaneme obecné řešení homogenní rovnice. > ob_reseni:=y(x)=c[1]*rhs(reseni1)+c[]*rhs(reseni); ob_reseni := y( x) c 1 e x c x e x Výsledek porovnáme s výsledkem získaným pomocí příkazu dsolve: > ob_res_hom:=dsolve(homrov,y(x)); ob_res_hom := y( x) _C1 e x _C e x x Partikulární řešení nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru, > tvar:=subs(_c1=k[1](x),_c=k[](x),ob_res_hom); tvar := y( x) K 1 ( x) e x K ( x) e x x který jsme dostali nahrazením konstant C1, C funkcemi K 1 (x) a K (x). Provedeme první derivaci partikulárního řešení pomocí příkazu diff: > der1:=diff(tvar,x); der1 := y x ( x ) K ( ) x 1 x e x K 1 ( x) e x K x ( x) e x x K ( x) e x x K ( x) e x Platí: > podminka1:=op(1,rhs(der1))+op(,rhs(der1))=0; podminka1 := x K ( x ) 1 e x x K ( x) e x x0 Dosazením dostaneme: > der1_upr:=lhs(der1)=rhs(der1)-lhs(podminka1); 44

45 der1_upr := y x ( x ) K ( x) 1 ex K ( x) e x x K ( x) e x Vypočteme druhou derivaci: > der:=diff(der1_upr,x); der := x y( x) x K ( x) e x x K 1 ( x) e x K 1 ( x) e x K ( ) x x e x x K ( x) e x x K ( x) e x Dosazením do původní rovnice dostaneme: >podminka:=simplify(subs(diff(y(x),x$)=rhs(der),y(x)=rhs(t var),rovnice)); podminka := x K ( x ) 1 e x K x ( x) e x x x K ( x) e x e x x V získané soustavě rovnic zavedeme substituci první derivace hledaných funkcí K 1 x, K x označíme a, b. >soustava:=subs({diff(k[1](x),x)=a,diff(k[](x),x)=b},{podmin ka1,podminka}); soustava := { a e x b e x xb e x e x, a e x b e x x0 } x Vypočteme první derivace funkcí K 1 x, K x a uložíme je do proměnných a, b. > konst_der:=solve(soustava,{a,b}); assign(konst_der); 1 konst_der := { a-1, b } x Integrací a, b dostaneme vzhledem ke stanovené substituci funkce K 1 x, K x. > konst1:=int(a,x); konst1 := x > konst:=int(b,x); konst := ln( x) 45

46 Hledané partikulární řešení nehomogenní rovnice pak má tvar: >part_reseni:=simplify(subs(k[1](x)=konst1,k[](x)=konst,tva r)); part_reseni := y( x) e x x ln( x) e x x Obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem obecného řešení příslušné homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Jelikož Maple při integraci, jejímž výsledkem je funkce obsahující přirozený logaritmus, nezohledňuje definiční obor (tj. neuzavírá argument přirozeného logaritmu do absolutní hodnoty), vyřešíme tuto odlišnost ručním přepsáním. > ob_reseni:=y(x)=rhs(ob_res_hom)-x*exp(x)+ln(abs(x))*x* exp(x); ob_reseni := y( x) _C1 e x _C e x xe x x ln( x ) x e x Řešení získané přímo příkazem dsolve bude mít také tuto odlišnost. > ob_dsolve:=dsolve(rovnice,y(x)); ob_dsolve := y( x) e x _C e x x _C1 e x x ( 1 ln( x) ) 46

47 Závěr Cílem mojí bakalářské práce bylo běžnému uživateli ukázat, jak lze využít program Maple k řešení vybraných problémů z lineární algebry. Vzhledem k rozsahu lineární algebry jsem se rozhodla vybrat jen určité části. Konkrétně jsem se zaměřila na matice, determinanty, inverzní matice, charakteristické matice, charakteristický polynom a vlastní čísla, kvadratické formy a řešení soustav lineárních rovnic. Také jsem se v práci snažila ukázat, že s lineární algebrou se můžeme setkat i v jiných oblastech matematiky jako například při hledání extrémů funkcí více proměnných pomocí Hessovy matice a hessiánu a také při řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant. Teoretické poznatky jsem ilustrovala na vlastních příkladech, které byly vyřešeny s využitím programu Maple. Díky této práci jsem si prohloubila znalosti z lineární algebry a naučila jsem se lépe pracovat s programem Maple a jeho knihovnami linalg a LinearAlgebra. 47

48 Literatura a internetové zdroje [1] Bican L., Lineární algebra a geometrie, 1. vydání, Academia, 000 [] Buchar J., Úvod do programového souboru Maple V, 1. vydání, Vysoká škola zemědělská v Brně, 1994 [] Došlá Z., Došlý O., Diferenciální počet funkcí více proměnných,. vydání, Masarykova univerzita Brno, 006 [4] Heck A., Introduction to Maple,. vydání, Springer-Verlag, New York, 00 [5] Hort D., Rachůnek J., Algebra I., 1. vydání, UP Olomouc, 005 [6] Kostra J., Pomp M., Teorie matic, 1. vydání, Přírodovědecká fakulta Ostravské univerzity, 1997 [7] Kuben J., Obyčejné diferenciální rovnice, 1. vydání, UP Olomouc, 1995 [8] Inverzní matice [online], dostupné z: [citováno.. 010] [9] Maple [online], dostupné z: [citováno ] [10] 48

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008

Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí funkcí funkce Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 funkce funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 T 0 (x) = 24 funkce funkcí Polynom

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více