Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Martina Pavlačková, Ph.D. Rok odevzdání: 010 Vypracovala: Vendula Tichá ME,. Ročník

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně pod vedením RNDr. Martiny Pavlačkové, Ph.D. a uvedla jsem všechny použité zdroje. V Olomouci dne

3 Poděkování Děkuji vedoucí bakalářské práce RNDr. Martině Pavlačkové, Ph.D. za trpělivost a čas strávený pročítáním mé práce.

4 Obsah Úvod 5 1. Základy programu Maple Práce v Maplu Knihovny linalg a LinearAlgebra Úlohy z lineární algebry a jejich řešení pomocí programu Maple Matice Determinanty Inverzní matice Charakteristická matice, charakteristický polynom a vlastní čísla Kvadratické formy....6 Řešení soustav lineárních rovnic Využití poznatků z lineární algebry v jiných oborech....1 Hessova matice a hessián.... Řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant.. 9 Závěr 47 Literatura a internetové zdroje 48

5 Úvod Lineární algebra je odvětví matematiky, které se zabývá vektory, vektorovými prostory, soustavami lineárních rovnic a lineárními transformacemi. Je důležitou součástí jak abstraktní algebry, tak funkcionální analýzy. Aplikovaná lineární algebra se využívá například v přírodních nebo sociálních vědách. Cílem mé bakalářské práce je studovat vybrané problémy lineární algebry a ukázat, jak je lze řešit s využitím programu Maple. Samotná práce je rozdělena do tří kapitol. V první kapitole jsou popsány základy programu Maple, zejména práce v Maplu a jeho knihovny týkající se lineární algebry. Ve druhé kapitole se věnuji vybraným úlohám z lineární algebry a tomu, jak je lze řešit pomocí programu Maple. Konkrétně zejména problematice týkající se matic, determinantů, vlastních čísel, kvadratických forem a řešení soustava lineárních rovnic. V práci uvedené teoretické poznatky ilustruji vlastními příklady řešenými pomocí programu Maple. V poslední, třetí kapitole se zabývám využitím poznatků z lineární algebry v jiných oborech, konkrétně při hledání extrémů funkcí více proměnných a při řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant. I v této kapitole je teorie ilustrována na příkladech řešených pomocí programu Maple. 5

6 1 Základy programu Maple Maple je systém počítačové algebry pro výuku a využití matematiky v přírodovědných, technických a ekonomických oborech, který byl vyvinut na univerzitě ve Waterloo v Kanadě. Maple umožňuje provádět jak symbolické a numerické výpočty, tak vytvářet grafy funkcí a uchovávat je v souborech v počítači. Funkce používané v programu Maple pokrývají mnoho odvětví matematiky od základů diferenciálního a integrálního počtu, lineární algebry, až k řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, diferenciální geometrii a logice. 1.1 Práce v Maplu Po spuštění programu se otevře nový dokument, který začíná znakem > (tzv. promptem), za nímž je umístěn kurzor. Za promptem napíšeme mapleovský příkaz a řádek ukončíme středníkem. Ukončení je nutné, protože jinak Maple očekává pokračování předchozího příkazu. Stiskneme-li ENTER, příkaz bude vykonán a kurzor se přesune za následující prompt. Pokud chceme následné vypsání potlačit, ukončíme příkaz dvojtečkou (místo středníkem). V případě, že chceme příkaz napsat na více řádků, stačí stisknout ENTER a středník napsat až na konci příkazu. Pokud za promptem napíšeme znak #, je veškerý text za # brán jako poznámka a Maple jej ignoruje. Tímto způsobem můžeme vkládat mezi mapleovské příkazy vysvětlující text. Ukončení práce v Maplu provedeme zapsáním příkazu Quit, done, stop (stačí bez středníku) a stisknutím klávesy ENTER. 6

7 1. Knihovny linalg a LinearAlgebra Maple obsahuje řadu speciálních knihoven. Knihovny linalg a LinearAlgebra obsahují funkce a příkazy, které pracují s poli reprezentující vektory a matice v Maplu. Příkaz with(linalg), resp. with(linearalgebra), zpřístupňuje funkce a příkazy z těchto speciálních knihoven. V následující tabulce si uvedeme základní maticové a vektorové operace a jejich značení v programu Maple. Operace definování matice a vektoru sčítání matic násobení dvou matic transponovaná matice výpočet determinantu matice A inverzní matice hodnost matice A redukce A na Gaussův-Jordanův tvar Gaussova eliminace matice A řešení soustavy Ax=b charakteristická matice charakteristický polynom vlastní čísla matice Mapleovské značení matrix, array, vector evalm(a+b) evalm(a&*b) transpose(a) det(a) evalm(a^(-1)) rank(a) gaussjord(a) gausselim(a) linsolve(a,b) CharacteristicMatrix CharacteristicPolynomial eingenvalues V jednotlivých kapitolách uvedeme podrobnější popis příslušných příkazů a jejich použití. Podrobnější informace o programu Maple může čtenář nalézt například v literatuře [], [4] a [9]. 7

8 Úlohy z lineární algebry a jejich řešení pomocí programu Maple V této kapitole se seznámíme se základními úlohami vyskytujícími se v lineární algebře a na konkrétních příkladech si ukážeme, jak lze dané úlohy řešit pomocí programu Maple. Při zpracování této kapitoly byly použity zejména zdroje [1], [5], [6], [8] a [10]..1 Matice Matice (anglicky matrix) je obdélníková tabulka čísel nebo určitých matematických objektů. Obecně obsahuje m řádků a n sloupců. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic, ale využívají se také pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné nebo k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Za zakladatele teorie matic je považován anglický matematik A. Cayley. Definice 1. Nechť T = (T,+, ) je číselné těleso, m, n N, a ij T pro každé i = 1,..., m, j = 1,..., n. Potom se schéma a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a m1 a m a mn nazývá matice typu m n nad T. Je-li a ij prvek matice, pak číslo i nazveme řádkový index a číslo j sloupcový index tohoto prvku. Je-li r = min m, n, pak řekneme, že prvky a 11, a,..., a rr tvoří hlavní diagonálu a prvky a 1n, a,n 1,..., a r,n (r 1) tvoří vedlejší diagonálu matice A. Poznámka 1. Matici A typu m n můžeme také někdy zapisovat v některém z následujících zkrácených tvarů A = a ij m n = a ij m,n = a ij m n = a ij m,n. 8

9 Definice. a) Matici A = a ij typu n n nazveme čtvercová matice stupně n. b) Čtvercovou matici nazveme diagonální, pokud všechny její prvky, které neleží na hlavní diagonále, jsou rovny 0. c) Diagonální matice se nazývá skalární, jestliže všechny její prvky ležící na hlavní diagonále jsou si rovny. d) Skalární matice stupně n, jejíž všechny prvky na hlavní diagonále jsou rovny 1, se nazývá jednotková matice stupně n. Značíme ji E n (popř. pokud je zřejmý typ matic, jenom E). Označení: Množinu všech matic typu m n nad T značíme M m n (T) a množinu všech čtvercových matic stupně n nad T značíme M n (T). Definice. Jsou-li A = a ij, B = b ij dvě matice z M m n (T), pak řekneme, že matice A je rovna matici B, platí-li a ij = b ij pro každé i = 1,..., m, j = 1,..., n. Značíme A = B. Definice 4. Nechť A = a ij, B = b ij M m n (T). Potom součtem matic A a B rozumíme matici A + B = c ij M m n (T) takovou, že c ij = a ij + b ij pro každé i = 1,..., m a každé j = 1,..., n. Definice 5. Nechť c T, A = a ij M m n (T). Potom (levým) součinem skaláru c a matice A rozumíme matici ca = ca ij M m n (T). Poznámka. Podobně je možno definovat pravý součin matice A a skaláru c vztahem Ac = a ij c. Definice 6. Nechť A = a ij M m n (T), B = b jk M n p (T). Potom součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici A B = AB = c ik M m p (T) takovou, že 9

10 pro každé i = 1,..., m, k = 1,..., p. n c ik = a ij b jk j = 1 Poznámka. Je zřejmé, že matice A a B můžeme násobit jenom tehdy, je-li počet sloupců matice A stejný jako počet řádků matice B. Příklad 1. Uvažujme matice A = a ij,, B = b ij,4 a C = c ij, takové, že a ij = 1 i+j, pro každé i = 1,, j = 1,,, b ij = i j, pro každé i = 1,,, j = 1,,, 4, c ij = 1 i+j 1 i+j, pro každé i = 1,, j = 1,,. V Maplu můžeme tyto matice zadat následovně pomocí příkazu matrix: > A:=matrix (,,(i,j)->(-1)^(i+j)); A := > B:=matrix (,4,(i,j)->i*j); 1 4 B := > C:=matrix (,,(i,j)->((-1)^(i+j))*(1/(i+j))); C := Sečíst matice A a C můžeme v Maplu pomocí příkazu evalm a symbolu +: > evalm(a+c);

11 Vynásobit matice A a B nebo C a B můžeme pomocí příkazu evalm a symbolů &* sloužícím k násobení: > AB:=evalm(A&*B); AB := > CB:=evalm(C&*B); CB := Vzhledem k typu matic A, B, C nemůžeme sčítat matice A a B, respektive B a C a vypočítat součiny B C, B A, A C, C A. Definice 7. Je-li A = a ij matice typu m n, potom maticí transponovanou k matici A nazýváme matici A T = a ji typu n m, která vznikne z matice A vzájemnou záměnou řádků a sloupců (tj. překlopením matice A podle hlavní diagonály). Příklad. Určete transponovanou matici k matici A = V Maplu můžeme transponovanou matici najít pomocí příkazu transpose, ale nejdříve musíme otevřít knihovnu linalg pomocí příkazu with(linalg): > with(linalg): > A:=matrix([[1,5,9,8],[,0,7,6]]); A := > Atrans:=transpose(A); 1 Atrans :=

12 Definice 8. Řádkovým podprostorem určeným maticí A M m n (T) budeme rozumět podprostor v T n generovaný řádky matice A. Definice 9. Elementárními řádkovými transformacemi matice A nazýváme následující operace: 1. výměna libovolných dvou řádků v A;. vynásobení některého řádku v A prvkem z T různým od nuly;. přičtením libovolného násobku některého řádku z A k jinému řádku v A. Definice 10. Jsou-li A, B M m n (T), pak řekneme, že matice B je řádkově ekvivalentní s maticí A (značíme AB), může-li B vzniknout z A pomocí konečného počtu elementárních řádkových transformací. Poznámka 4. Je zřejmé, že jsou-li A, B, C M m n (T), pak platí a) AA, b) AB BA, c) (AB BC) AC. Můžeme proto v případě AB říkat, že matice A a B jsou řádkově ekvivalentní. Definice 11. Nechť je dána libovolná elementární řádková transformace čtvercové matice n-tého stupně. Potom maticí této elementární transformace rozumíme matici, která vznikne z jednotkové matice n-tého stupně použitím této transformace. Definice 1. Je-li A M m n (T), pak vedoucím prvkem nenulového řádku a i matice A rozumíme první nenulový prvek v a i. Definice 1. Řekneme, že matice A je redukovaná, je-li vedoucí prvek každého nenulového řádku v A roven 1 a jestliže v každém sloupci matice A, který obsahuje vedoucí prvek některého řádku, jsou všechny zbývající prvky rovny 0. 1

13 Definice 14. Redukovanou matici, která splňuje podmínky a) všechny nulové řádky jsou až za všemi nenulovými řádky, b) jsou-li a i, a j, i < j, nenulové řádky, které mají své vedoucí prvky ve sloupcích k i, k j, pak k i < k j, nazýváme redukovaná trojúhelníková matice. Věta 1. Každá matice je řádkově ekvivalentní s některou redukovanou trojúhelníkovou maticí. Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt například v [5]. Definice 15. Hodností matice A M m n (T) rozumíme dimenzi řádkového podprostoru v T n určeného maticí A (hodnost matice A budeme značit A ). Poznámka 5. a) Podle definice řádkového podprostoru je hodnost matice A rovna maximálnímu počtu jejich lineárně nezávislých řádků, tedy A m. b) Řádkově ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. c) Hodnost matice A je rovna počtu nenulových řádků libovolné redukované trojúhelníkové matice, která je řádkově ekvivalentní s A. Příklad. Vypočítejte hodnost matice A = Nejdříve otevřeme knihovnu linalg, nadefinujeme matici A pomocí příkazu array: > with(linalg): > A := array( [[4,-,1,0],[,0,,4],[-,6,1,1],[1,0,1,]] ); 1

14 4-1 0 A := V Maplu hodnost matice A určíme pomocí příkazu rank: > h(a):=rank(a); h( A) := Pro kontrolu převedeme matici A na trojúhelníkový tvar pomocí příkazu gaussjord: > gaussjord(a,'r'); Po převedení na trojúhelníkový tvar získáme matici se nenulovými řádky, což odpovídá vypočtené hodnosti.. Determinanty V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár deta. Determinantem čtvercové matice řádu n přitom nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý z těchto součinů přitom ve výsledném součtu vystupuje se znaménkem + nebo podle jistých pravidel. Determinanty mají využití při řešení soustav lineárních rovnic, v integrálním počtu nebo při hledání extrémů funkcí více proměnných. Abychom mohli nadefinovat pojem determinant, je nutné nejprve vědět, co je permutace množiny, respektive znaménko této permutace. 14

15 Definice 16. Je-li A = {a 1, a,..., a n }, kde n 1, konečná množina, potom pořadím množiny A nazveme libovolnou posloupnost = (a k1, a k,, a kn ) prvků z A takovou, že každý prvek z množiny A se v vyskytuje právě jednou. Poznámka 6. Pro další úvahy bude nejpřehlednější, když pro každé n 1 budeme pracovat s množinou A = {1,,...,n}. Definice 17. Základním pořadím na množině A = {1,,...,n} rozumíme pořadí = (1,,...,n). Poznámka 7. Permutací na množině A rozumíme každou bijekci A na A. P = i 1 i P i 1 P i i n P i n. Každou permutaci P na množině A je možno zapsat pomocí dvou pořadí ve tvaru P = π 1 π. Definice 18. Je-li = (k 1, k,..., k n ) pořadí, pak řekneme, že prvky k i a k j tvoří v pořadí inverzi, platí-li i < j a k i > k j. Poznámka 8. Je-li pořadí, pak počet inverzí v označíme π. Definice 19. Znaménkem pořadí rozumíme číslo sgn π = 1 π. Je-li sgn π = 1 pak se pořadí nazývá sudé, je-li sgn π = 1, pak se nazývá liché. Definice 0. Znaménkem permutace P = i 1 i k 1 k i n k n = π 1 π rozumíme číslo sgn P, které se rovná +1, platí-li sgn π 1 = sgn π, a rovná se 1, platí-li sgn π 1 = sgn π. Permutace P se nazývá sudá, je-li sgn P = 1; v opačném případě se permutace P nazývá lichá. 15

16 Definice 1. Je-li π = i 1, i,, i n pořadí a P = 1 k 1 k n k n permutace na {1,,...,n}, pak řekneme, že pořadí π = k i1, k i,, k in vznikne z pořadí pomocí permutace P. Definice. Nechť a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a n1 a n a nn je čtvercová matice stupně n nad číselným tělesem T. Determinantem matice A pak rozumíme číslo deta z tělesa T takové, že deta = kde sčítáme přes všechny permutace P P = 1 k 1 k množiny {1,,...,n}. Každý ze součinů nazýváme člen determinantu deta. sgn P a 1k1 a k a nk n, n k n = 1 P 1 P a 1k1 a k a nk n n P n Dále se budeme zabývat tím, jak lze determinant vypočítat snáze než jen podle výše uvedené definice. Věta. Má-li čtvercová matice A v některém řádku samé nuly, pak deta = 0. Věta. Má-li matice A M n (T) všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, potom deta je roven součinu a 11 a a nn prvků na hlavní diagonále. Důkazy těchto tvrzení lze nalézt například v [5]. 16

17 Definice. Nechť A = a ij je matice typu m n. Potom každou matici, která vznikne z matice A vynecháním některých řádků a některých sloupců, nazýváme dílčí maticí matice A. Je-li dílčí matice matice A čtvercová, potom její determinant nazýváme subdeterminantem matice A. Definice 4. Je-li A = a ij M n (T), potom subdeterminant dílčí matice stupně n 1 vzniklé vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce A nazýváme minor matice A příslušný k prvku a ij a značíme jej M ij. Algebraickým doplňkem prvku a ij rozumíme prvek A ij = 1 i+j M ij. Věta 4. (Laplaceova) Nechť A = a ik M n (T). Potom a) pro každé i = 1,, n platí b) pro každé j = 1,, n, i j platí n a ik k=1 n a ik k=1 A ik = deta; A jk = 0. Důkaz Laplaceovy věty lze nalézt například v [5] a [6]. Příklad 4. Vypočítejte determinant matice B = V Maplu můžeme determinant vypočítat pomocí příkazu det(b), ale nejdříve musíme otevřít knihovnu linalg pomocí příkazu with(linalg): > with(linalg): > B:=matrix([[5,8,9,1,7],[,5,7,9,],[1,-5,,,-6],[,4,1,- 4,5],[5,4,,-,5]]); 17

18 > detb:=det(b); B := detb := -5 Příklad 5. Vypočítejte determinant matice A = 0 sin x cos x sin y cos x cos y sin x cos y cos y cos x sin y sin x sin y. Nejdříve si otevřeme knihovnu linalg, nadefinujeme matici A a pomocí příkazu det(a) vypočítáme determinant matice A: > with(linalg): > A:=matrix([[0,-sin(x),cos(x)],[sin(y),cos(x)*cos(y), sin(x)*cos(y)],[cos(y),cos(x)*sin(y),sin(x)*sin(y)]]); 0 sin( x ) cos( x ) A := sin( y ) cos( x ) cos( y ) sin( x ) cos( y ) cos( y ) cos( x ) sin( y ) sin( x ) sin( y ) > deta:=det(a); deta := sin( x) sin( y) cos ( x) sin( y) sin ( x) cos( y) cos ( x) cos( y) Maplem vypočítaný determinant A můžeme ještě upravit: deta = sin x sin y cos x sin y sin x cos y cos x cos y = sin x sin y + cos y cos x sin y + cos y = sin x + cos x = 1 Podle hodnoty determinantu dělíme čtvercové matice na regulární a singulární. Definice 5. a) Matice A M n (T) se nazývá regulární, platí-li deta 0. 18

19 b) Matice A M n (T) se nazývá singulární, platí-li deta = 0. Příklad 6. Určete, pro jaká a, b R je matice regulární. A = a b 1 b 0 1 Nejdříve si otevřeme knihovnu linalg, nadefinujeme matici A a vypočítáme determinant matice A (v závislosti na a, b): > with(linalg): > A:=matrix([[,a,-b],[1,-b^,],[0,1,-]]); > deta:=det(a); a b A := 1 b deta := 4 b 4 ab V Maplu můžeme pomocí příkazu solve zjistit, pro jaké a je matice A singulární nebo regulární: > a:=solve(4*b^-4+*a-b=0,a); a := b 1 b Matice je tedy singulární v případě, že a = b + 1 b +, kde b je libovolné reálné číslo. V ostatních případech je regulární.. Inverzní matice Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky. 19

20 Definice 6. Inverzní maticí k čtvercové matici A nazýváme takovou matici A 1 stejného typu, pro kterou platí AA 1 = A 1 A = E. Věta 5. Je-li A matice z M n (T), potom k ní existuje inverzní matice A 1 tehdy a jen tehdy, je-li matice A regulární. Věta 6. Jsou-li A, B regulární matice z M n (T), pak platí AB 1 = B 1 A 1. Věta 7. Pro inverzní matici platí: deta 1 = 1 deta. Věta 8. Je-li A M n (T) regulární, pak je možno přejít pomocí elementárních řádkových transformací od matice A k matici E. Přitom pomocí stejných transformací přejdeme od matice E k matici A 1. Důkazy uvedených tvrzení jsou uvedeny například v [1], [5], [6] a [8]. Příklad 7. Určete inverzní matici k matici A = a ověřte, že matice A splňuje vztah uvedený ve Větě 7. V Maplu můžeme inverzní matici zadat pomocí příkazu evalm(a^(-1)): > A:=matrix([[,-1,],[1,,-],[4,,-1]]); -1 A := > Ainv:=evalm(A^(-1)); 0

21 Ainv := Pomocí násobení matic ověříme, že je výpočet správně: > AAinv:=evalm(A&*Ainv); AAinv := Abychom ověřili, že A a vypočtená inverzní matice splňují rovnost z Věty 7, vypočítáme jejich determinanty. > with(linalg): > det(a); -1 > det(ainv); Charakteristická matice, charakteristický polynom a vlastní čísla Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře a funkcionální analýze, ale také například v kvantové fyzice. Definice 7. Nechť A = a ij M n (T). Pak matice A λe M n (T), kde λ je parametr, se nazývá charakteristická matice k matici A. Poznámka 9: Matice A λe je tedy ve tvaru 1

22 A λe = a 11 λ a 1 a 1n a 1 a λ a n a n1 a n a nn λ. Definice 8. Charakteristickým polynomem matice A = a ij M n (T) rozumíme determinant charakteristické matice A λe. Jeho kořeny se nazývají vlastní (charakteristická) čísla matice A. Píšeme ca λ = det A λe. Příklad 8. Najděte charakteristickou matici, charakteristický polynom a vlastní čísla matice M = Pomocí příkazu with(linearalgebra) si otevřeme příslušnou knihovnu a nadefinujeme matici M: > with(linearalgebra): > M := <<4,-,5> <0,1,0> <,-1,>>; 4 0 M := V Maplu můžeme charakteristickou matici zadat pomocí příkazu CharacteristicMatrix: > CharacteristicMatrix(M,lambda); Charakteristický polynom můžeme zadat pomocí příkazu CharacteristicPolynomial: > CharacteristicPolynomial(M,lambda); 7 4 Kořeny charakteristického polynomu jsou vlastní čísla. V Maplu je můžeme najít například pomocí příkazu solve:

23 > solve(%,lambda); 1, 11, 11 Ověříme výpočet pomocí příkazu Eingenvalues, který slouží k hledání vlastních čísel: > Eigenvalues(M); Kvadratické formy Kvadratická forma je zúžením bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem vyskytující se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších oblastech. Definice 9. Nechť A = a ij, i, j = 1,, n je symetrická matice, R n. Řekneme, že kvadratická forma P = A, = a ij i j určená maticí A je pozitivně (negativně) semidefinitní, jestliže P() 0 (P() 0), pro každé R n. Jestliže nastane rovnost pouze pro = 0, řekneme, že forma P je pozitivně (negativně) definitní. Jestliže existují, R n takové, že P < 0 a P > 0, řekneme, že kvadratická forma P je indefinitní. Často místo o definitnost, resp. indefinitnosti kvadratické formy P mluvíme o definitnosti, resp. indefinitnosti matice A. n i,j =1 Věta 9. Kvadratická forma P určená symetrickou maticí A = a ij, P = A, = a ij i j n i,j =1

24 je pozitivně (negativně) definitní, právě když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná (záporná). Forma P je pozitivně (negativně) semidefinitní, právě když všechna vlastní čísla jsou nezáporná (nekladná). Věta 10. Kvadratická forma P je pozitivně definitní, právě když jsou všechny hlavní minory matice A, tj. determinanty a 11, a 11 a 1 a 1 a, a 11 a 1 a 1 a 1 a a,, a 1 a a a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn = deta kladné. Kvadratická forma P je negativně definitní, právě když hlavní minory střídají znaménko, počínajíc záporným. Důkazy uvedených tvrzení lze nalézt například v [5]..6 Řešení soustav lineárních rovnic Řešení soustav lineárních rovnic je úloha, která se velmi často vyskytuje nejen při řešení úloh v různých oblastech matematiky, ale také v jiných vědních disciplínách. Definice 0. Je-li T číselné těleso, pak lineárním polynomem o n proměnných nad T rozumíme každé zobrazení f = T n T takové, že kde a 1,, a n T. f x 1,, x n = a 1 x a n x n = n i=1 a i x i, Definice 1. Nechť n i=1 a i x i je lineární polynom nad tělesem T, b T. Potom úloha určit všechny uspořádané n-tice ξ 1,, ξ n T n, pro které platí 4

25 n i=1 a i ξ i = b, se nazývá lineární rovnice o n neznámých nad T. Každá n-tice ξ 1,, ξ n T n, pro kterou nastane rovnost se nazývá řešení této rovnice. n i=1 a i ξ i = b, Definice. Nechť n n a 1i x i,, a mi x i i=1 i=1 jsou lineární polynomy nad T, b 1,, b m T. Pak úloha určit všechny uspořádané n-tice pro které platí ξ 1,, ξ n T n, n S i=1 a 1i ξ i = b 1 R 1 n i=1 a mi ξ i = b m se nazývá soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad T. Pokud platí b i = 0 pro každé i = 1,, m, pak se soustava nazývá homogenní, v opačném případě se nazývá nehomogenní. R m Definice. Je-li S soustava lineárních rovnic z Definice, potom matici A = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n, resp. a m1 a m a mn a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn nazýváme maticí soustavy S, resp. rozšířenou maticí soustavy S. b 1 b b m Poznámka 10. a) Soustava S je jednoznačně určena (až na označení neznámých) pomocí své rozšířené matice. 5

26 b) Označíme-li ξ T = ξ 1 ξ n a b T = b 1 b m, pak soustavu S můžeme maticově zapsat ve tvaru Aξ T = b T. Řešením této soustavy pak bude každý vektor u T n, pro který platí Au T = b T. Poznámka 11. Pro označení rozšířené matice soustavy S budeme používat symbol (A, b T ). Definice 4. Dvě soustavy lineárních rovnic o n neznámých Aξ T = b T a Bη T = c T nad T se nazývají ekvivalentní, mají-li stejné množiny řešení. Definice 5. Soustava lineárních rovnic Aξ T = b T nad T se nazývá řešitelná, existuje-li alespoň jedno její řešení. Věta 11. (Frobeniova věta) Nehomogenní soustava lineárních rovnic Aξ T = b T je řešitelná tehdy a jen tehdy, platí-li h(a) = h((a, b T )). Věta 1. Nechť Aξ T = b T je soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem T, splňující h(a) = h((a, b T )). Platí-li h(a) = n, pak existuje právě jedno řešení této soustavy. Platí-li h(a) < n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení, závislých na n A parametrech. Důkazy těchto tvrzení lze nalézt například v [1] a [5]. Při hledání řešení soustav lineárních rovnic se nejčastěji používají dvě metody Gaussova eliminační metoda a Cramerovo pravidlo. 6

27 Gaussova eliminační metoda: Nechť Aξ T = b T je soustava m lineárních rovnic o n neznámých, jejíž rozšířená matice je A, b T = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn b 1 b b m. Předpokládejme, že a (Pokud by tomu tak nebylo, můžeme toho dosáhnout záměnou řádků.) Pro každé k =,, m přičteme ke k-tému řádku matice a k1 a 11 -násobek 1. řádku této matice. Ve vzniklé matici jsou všechny prvky 1. sloupce s výjimkou 1. řádku rovny nule. Z každé soustavy můžeme vypustit každou rovnici tvaru 0 = 0, protože její množinou řešení je T n. Výsledná matice je tedy ve tvaru kde r m. a 11 a 1 a 1n 0 a a n 0 a r a rn Předpokládejme, že a 0. (Jestliže tomu tak není a je-li alespoň jedno z čísel a,, a r nenulové, pak toho opět můžeme dosáhnout záměnou řádků.) Jsou-li všechna čísla a,, a r rovna nule, pak můžeme přečíslovat sloupce, ovšem ve výsledku se musíme vrátit k původnímu označení. Pro každé j =,, r přičteme a j a -násobek druhého řádku nové matice k j-tému řádku této matice. Opět vynecháme všechny řádky, které obsahují samé nuly. Ve výsledku dostaneme matici, v jejímž. sloupci jsou všechny prvky počínaje. řádkem rovny nule. Tímto způsobem pokračujeme tak dlouho, až dojdeme k matici tvaru b 1 b b r, kde n. a 11 a 1 a 1 a 1n b 1 0 a a a n b, 0 0 c c n d Z rovnice c ξ + + c n ξ n = d, 7

28 která odpovídá poslednímu řádku výsledné matice, vyjádříme neznámou ξ pomocí neznámých ξ +1,, ξ n. Z předposlední rovnice pak analogicky vyjádříme neznámou ξ 1, atd., až z první rovnice vypočítáme neznámou ξ 1. Přitom je zřejmé, že pokud c n 0 a = n, pak má soustava odpovídající poslední matici jediné řešení, zatímco v případě < n mají tyto soustavy nekonečně mnoho řešení, která závisejí na n parametrech ξ +1,, ξ n. (Za tyto parametry můžeme dosazovat libovolná čísla z T.) Věta 1. (Cramerovo pravidlo) Nechť Aξ T = b T je soustava n lineárních rovnic o n neznámých (n 1) nad T taková, že deta 0. Potom pro každé j = 1,, n platí ξ j = deta j deta, kde A j je matice, která vznikne z A nahrazením j-tého sloupce vektorem b T. Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt například v [5]. Příklad 9. Najděte řešení soustavy rovnic v závislosti na parametru p: px 1 + x + x = 1 x 1 + px + x = 1 x 1 + x + px = p. Nejprve si otevřeme knihovnu linalg a definujeme matici A a vektor b pomocí příkazu vector: > with(linalg): > A:=matrix([[p,1,1],[1,p,1],[1,1,p]]); p 1 1 A := 1 p p > b:=vector([1,1,p^]); b := [ 1, 1, p ] Pro zápis zadání použijeme rozšířenou matici soustavy: > Ab:=matrix([[p,1,1,1],[1,p,1,1],[1,1,p,p^]]); 8

29 p Ab := 1 p p p Pro provedení Gaussovy eliminace použijeme v Maplu příkaz gausselim: > gausselim(a); > gausselim(ab); p 1 1 p1 p 1 0 p p 0 0 p p p p1 p 1 p 1 0 p p p 0 0 p p p p Je-li p p = 0, pak není soustava jednoznačně řešitelná. Kořeny polynomu p p určíme pomocí příkazu solve: > solve(-p^-p=0,p); -, 1 Řešení pro p = - neexistuje, protože po provedení Gaussovy eliminace zjistíme, že nejsou splněny předpoklady Frobeinovy věty: > p:=-; > A:=matrix([[p,1,1],[1,p,1],[1,1,p]]); > Ab:=matrix([[p,1,1,1],[1,p,1,1],[1,1,p,p^]]); > gausselim(a); p := A := Ab :=

30 > h(a):=rank(a); > gausselim(ab); > h(ab):=rank(ab); h( A) := h( Ab) := Je zřejmé, že pro p = - je A = a Ab =, z čehož plyne, že soustava nemá řešení. Pro p = 1 má soustava nekonečně mnoho řešení, protože po provedení Gaussovy eliminace vychází: > p:=1; > A:=matrix([[p,1,1],[1,p,1],[1,1,p]]); > Ab:=matrix([[p,1,1,1],[1,p,1,1],[1,1,p,p^]]); > gausselim(a); > h(a):=rank(a); > gausselim(ab); p := A := Ab := h( A) := 1 0

31 > h(ab):=rank(ab); h( Ab) := 1 Hodnosti A = Ab = 1, z čehož plyne, že soustava má řešení závislé na dvou parametrech. Toto řešení x 1, x, x splňuje x 1 + x + x = 1, a je tedy jej možné zapsat ve tvaru t, s, 1 t s, kde t, s R. Pro kontrolu vyřešíme soustavu pomocí příkazu linsolve(a,b): > b:=vector([1,1,p^]); > linsolve(a,b); Pro p,1 má soustava 1 řešení ve tvaru p, p, p +p+ p+ p+ p+ získat např. pomocí příkazu linsolve: > linsolve(a,b); b := [ 1, 1, 1] [ 1 _t 1 _t, _t 1, _t ] p,, p p p p p p, které je možné 1

32 Využití poznatků z lineární algebry v jiných oborech V této kapitole se seznámíme s několika oblastmi matematiky, v nichž se dají poznatky z předchozí kapitoly využít. Při tvorbě této kapitoly byla využita zejména literatura [], [7] a [10]..1 Hessova matice a hessián Speciální typ matice, tzv. matice Hessova, a její determinant se používají při hledání extrémů funkcí více proměnných. Důkazy tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt například v []. Definice 6. Nechť A R n a f: A R je funkce n proměnných. Existují-li parciální derivace funkce f druhého řádu v bodě x = x 1,, x n, pak Hessova matice funkce f v bodě x má tvar H x = f x1 x f x1 x x f x1 x n x f x x 1 x f x x f x x n x f xn x 1 x f xn x x f xn x. Determinant Hessovy matice se nazývá hessián. Věta 14. Ze Schwarzovy věty plyne, že má-li funkce f v bodě x spojité druhé parciální derivace, pak je Hessova matice funkce f v bodě x symetrická. Hessova matice a hessián se využívají při hledání extrémů funkcí více proměnných. Definice 7. Řekneme, že funkce f: A R, kde A R n, nabývá v bodě x R n lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí σ x bodu x takové, že pro každé x σ x A platí f x f x (f x f x ). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro

33 x x ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální minima a maxima budeme používat společný termín (ostré) lokální extrémy. Definice 8. Nechť f: A R, kde A R n. Řekneme, že bod x R n je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x existují všechny parciální derivace funkce f a platí f xi x = 0, i = 1,, n. Věta 15. Nechť funkce f: A R, kde A R n, má v bodě x R n lokální extrém. Pak všechny parciální derivace funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule, tj. x je stacionárním bodem. Poznámka 1. Funkce f: A R, kde A R n, může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Zdůrazněme, že stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému (takový bod se pak nazývá sedlo). Věta 16. Nechť x R n je stacionární bod funkce f a předpokládejme, že f má na nějakém okolí bodu x spojité parciální derivace druhého řádu. Položme A = a ij = H x, tj. a ij = f xi x j x. a) Je-li kvadratická forma P = A, pozitivně (negativně) definitní, má funkce f v bodě x ostré lokální minimum (maximum). b) Je-li kvadratická forma P indefinitní, v bodě x extrém nenastává. c) Má-li funkce f v bodě x lokální minimum (maximum), je kvadratická forma P pozitivně (negativně) semidefinitní. Příklad 10. Najděte lokální extrémy funkce f x 1, x, x, x 4 = x 1 + x + x + x 4 + 1x 1 x x 4x 4. > f:=x[1]^+x[]^+x[]^+x[4]^+1*x[1]*x[]-*x[]-4*x[4]; f := 1 x 1 x x 4 x 4 x 1 x x x 4 Nejprve vypočítáme první parciální derivace funkce f:

34 > Diff(f,x[1])=diff(f,x[1]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x 1 1 x 1 > Diff(f,x[])=diff(f,x[]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x 1 x 1 > Diff(f,x[])=diff(f,x[]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x > Diff(f,x[4])=diff(f,x[4]); ( x ) x 1 x x x 4 1 x 1 x x 4 x 4 x Definiční obory parciálních derivací jsou R 4, funkce f může mít lokální extrém tedy pouze ve svých stacionárních bodech. Tyto body najdeme pomocí příkazu solve: >solve({*x[1]^+1*x[]=0,*x[]+1*x[1]=0,*x[]=0,*x[4]- 4=0},{x[1],x[],x[],x[4]}); { x 4, x 1, x 1 0, x 0 }, { x 4, x 1, x 1 4, x -144} Funkce f má dva stacionární body [0,0,1,] a [4,-144,1,]. Abychom určili typ extrémů v nalezených stacionárních bodech, vypočítáme druhé parciální derivace: > Diff(f,x[1],x[1])=diff(f,x[1],x[1]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 6 x 1 x 1 x x x 4 > Diff(f,x[1],x[])=diff(f,x[1],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[1],x[])=diff(f,x[1],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[1],x[4])=diff(f,x[1],x[4]); 4

35 ( x ) x 4 x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[],x[1])=diff(f,x[],x[1]); ( x ) x 1 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 1 x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[4])=diff(f,x[],x[4]); ( x ) x 4 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[],x[1])=diff(f,x[],x[1]); ( x ) x 1 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[],x[4])=diff(f,x[],x[4]); ( x ) x 4 x 1 1 x 1 x x 4 x 4 0 x x x 4 > Diff(f,x[4],x[4])=diff(f,x[4],x[4]); ( x 1 x ) 1 1 x x 4 x 4 x 4 x x x 4 > Diff(f,x[4],x[1])=diff(f,x[4],x[1]); ( x ) x 1 x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 5

36 > Diff(f,x[4],x[])=diff(f,x[4],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 > Diff(f,x[4],x[])=diff(f,x[4],x[]); ( x ) x x 1 1 x 1 x x 4 x x x x 4 Vytvoříme Hessovu matici funkce f: >HM:=matrix([[6*x[1],1,0,0],[1,,0,0],[0,0,,0],[0,0,0,]]) ; 6 x HM := Ve stacionárním bodě [0,0,1,], má Hessova matice tvar: >with(linearalgebra): >HA[1]:=<<0,1,0,0> <1,,0,0> <0,0,,0> <0,0,0,>>; HA 1 := O její definitnosti rozhodneme pomocí vlastních čísel: > eigenvalues(ha[1]); 1 145, 1 145,, Hessova matice je tedy indefinitní a ve stacionárním bodě [0,0,1,] extrém nenastává. Ve druhém stacionárním bodě [4,-144,1,], má Hessova matice tvar: >with(linearalgebra): >HA[]:=<<6*4,1,0,0> <1,,0,0> <0,0,,0> <0,0,0,>>; 6

37 HA := O její definitnosti rozhodneme pomocí vlastních čísel: > eigenvalues(ha[]); , ,, Hessova matice je pozitivně definitní a funkce f má tedy ve stacionárním bodě [4,- 144,1,] ostré lokální minimum. Speciálně pro funkce dvou proměnných platí: Věta 17. Nechť funkce f: A R, kde A R, má na nějakém okolí bodu x 0, y 0 spojité parciální derivace druhého řádu a nechť x 0, y 0 je její stacionární bod. Jestliže D x 0, y 0 = f xx x 0, y 0 f yy x 0, y 0 f xy x 0, y 0 > 0, pak má funkce f v x 0, y 0 ostrý lokální extrém. Je-li f xx x 0, y 0 > 0, jde o minimum, je-li x 0, y 0 < 0, jde o maximum. Jestliže D x 0, y 0 < 0, pak v bodě x 0, y 0 lokální f xx extrém nenastává. Příklad 11. Rozhodněte, má-li funkce f x 1, x = x x 1 x + 1 v bodě 1,1 lokální extrém. > f:=*x[]^x[1]-*x[]+1; x 1 f := x x 1 Nejprve vypočítáme první parciální derivace funkce f: > dx[1]:=diff(f,x[1])=diff(f,x[1]); dx 1 := x x 1 1 x x 1 x 1 x ln( x ) > dx[]:=diff(f,x[])=diff(f,x[]); dx := x 1 x1 x 1 x x x 1 x x 7

38 Do těchto derivací dosadíme bod 1,1 : > x[1]=1;x[]=1; x 1 1 x 1 > solve(dx[1]); > solve(dx[]); 0 0 Bod 1,1 je tedy stacionárním bodem. Abychom ověřili, že se nejedná o bod sedlový, vypočítáme druhé parciální derivace. > dx[11]:= Diff(f,x[1],x[1])=diff(f,x[1],x[1]); dx 11 := x 1 x x 1 1 x x 1 x ln( x ) > dx[1]:=diff(f,x[1],x[])=diff(f,x[1],x[]); dx 1 := x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x1 ln( x ) x x > dx[]:=diff(f,x[],x[])=diff(f,x[],x[]); dx := x x 1 x1 x x 1 x x 1 x 1 x x1 > dx[1]:=diff(f,x[],x[1])=diff(f,x[],x[1]); dx 1 := x 1 x x x x 1 x x x 1 x 1 x1 ln( x ) x x x x x 1 x 1 Vytvoříme Hessovu matice funkce f: >HA:=matrix([[*x[]^x[1]*ln(x[])^,*x[]^x[1]*x[1]/x[]*ln (x[])+*x[]^x[1]/x[]],[*x[]^x[1]*x[1]/x[]*ln(x[])+*x[ ]^x[1]/x[],*x[]^x[1]*x[1]^/x[]^-*x[]^x[1]*x[1]/ x[]^]]); 8

39 x 1 x ln( x ) HA := x x 1 x1 ln( x ) x x x x 1 x x 1 x1 ln( x ) x x x x 1 x1 x x x 1 x x1 x x 1 Ve stacionárním bodě 1,1, má Hessova matice tvar: > HA:=matrix([[0,],[,1]]); HA := 0 1 Pomocí Věty 17 určíme, má-li funkce f ve stacionárním bodě 1,1 lokální extrém. > D(1,1):=evalm(0*1-^); D ( 1, 1) := -4 Vzhledem k tomu, že D 1,1 < 0 tak v bodě 1,1 extrém nenastává.. Řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant Druhou aplikací poznatků z předchozí kapitoly bude úloha najít řešení nehomogenní diferenciální rovnice. Důkazy tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt například v [5]. Nechť n N a F x, z 0, z 1,, z n je funkce n + proměnných definovaná na otevřené množině Ω R n+. Pak rovnice F x, y, y,, y n = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru s neznámou y x. 9

40 Definice 9. Nechť x je funkce definovaná na otevřeném intervalu J. Pak x se nazývá řešení rovnice F x, y, y,, y n = 0 na J, jestliže x má derivace až do řádu n, pro každé x J je x, x, x,, n x Ω a platí F x, x, x,, n x = 0, x J. rovnice. Speciálním případem obyčejných diferenciálních rovnic jsou lineární diferenciální Definice 40. Rovnice tvaru b n x y n x + b n 1 x y n 1 x + + b 1 x y x + b 0 x y = g x, kde b i x, i = 0,1,, n a g x jsou funkce, nazýváme lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Dále budeme předpokládat, že b n x 0. Pak je možné rovnici vydělit tímto koeficientem a při označení a i x = b i x b n x rovnice tvaru, i = 0,1,, n 1, a f x = g x b n x y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f x. nabude Rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f x se nazývá homogenní, jestliže f x 0, nehomogenní v opačném případě. Věta 18. Nechť y 1 x je řešení rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f 1 x a y x je řešení rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = f x (tedy levé strany obou rovnic jsou stejné). Pak pro libovolná α, β R je funkce y x = αy 1 x + βy x řešením rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = αf 1 x + βf x. Definice 41. Nechť y 1 x,, y n x je n lineárně nezávislých řešení rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = 0. Pak každé řešení této rovnice má tvar y x = c 1 y 1 x + + c n y n x, kde c 1,, c n jsou libovolná reálná čísla. Tato lineárně nezávislá řešení y 1 x,, y n x nazýváme fundamentální systém rovnice y n + a n 1 x y n a 1 x y + a 0 x y = 0. 40

41 Poznámka 1: Speciálně pro n =, a 1 x = a 1, a 0 x = a 0 získáme rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty y + a 1 y + a 0 y = 0. Řešení této rovnice hledáme ve tvaru y = e λx, kde λ je vhodné číslo. Vypočteme y = λe λx y = λ e λx a po dosazení obdržíme λ e λx + a 1 λe λx + a 0 e λx = 0. Protože e λx 0, musí λ splňovat rovnici λ + a 1 λ + a 0 = 0. To je kvadratická rovnice, kterou umíme snadno vyřešit. Definice 4. Nechť λ R je k-násobný reálný kořen rovnice λ + a 1 λ + a 0 = 0, k 1. Pak funkce y 1 x = e λx,, y k x = x k 1 e λx jsou řešením rovnice y + a 1 y + a 0 y = 0. Nechť α ± β C je komplexně sdružená dvojice k-násobných komplexních kořenů rovnice λ + a 1 λ + a 0 = 0, k 1, α, β R, β 0. Pak funkce y 1 x = e αx cosβx, y x = e αx sinβx, jsou řešením rovnice y + a 1 y + a 0 y = 0. Věta 19. Množina řešení zkonstruovaná popsaným způsobem tvoří fundamentální systém rovnice y + a 1 y + a 0 y = 0. Uvažujme nyní nehomogenní rovnici druhého řádu y + a 1 x y + a 0 x y = f x. (1) Nechť y 1 x a y x jsou nezávislá řešení příslušné homogenní rovnice y i + a 1 x y i + a 0 x y i = 0, i = 1,. Hledejme řešení rovnice (1) ve tvaru y 0 x = K 1 x y 1 x + K x y x. Vypočteme první derivaci (pro stručnost nepíšeme argument x). 41

42 y 0 = K 1 y 1 + K 1 y 1 + K y + K y. Při výpočtu druhé derivace bychom dostali druhé derivace neznámých funkcí. Požadujme proto, aby K 1 y 1 + K y = 0. Že takovou podmínku můžeme splnit, uvidíme níže. Pak máme y 0 = K 1 y 1 + K y y 0 = K 1 y 1 + K 1 y 1 + K y + K y. Po dosazení do (1) a úpravě vyjde K 1 y 1 + K 1 y 1 + K y + K y + a 1 K 1 y 1 + K y + a 0 K 1 y 1 + K y = f x, K 1 y 1 + K y + K 1 y 1 + a 1 y 1 + a 0 y 1 + K y + a 1 y + a 0 y = f x. Vezmeme-li v úvahu y i + a 1 x y i + a 0 x y i = 0, dostaneme K 1 y 1 + K y = f x. Celkově tedy máme pro derivace neznámých funkcí K 1 a K soustavu lineárních rovnic K 1 y 1 + K y = 0, K 1 y 1 + K y = f x. Determinant matice soustavy se nazývá wronskián y 1 y y 1 y, který je nenulový, a proto má naše soustava jediné řešení, které můžeme získat např. Cramerovým pravidlem. Z K 1 a K dostaneme K 1 a K integrací. To ovšem nemusí být možné ve třídě elementárních funkcí. Až na tento problém je však celý algoritmus metody variace konstant efektivní. Příklad 1. Řešte rovnici pomocí metody variace konstant: y y + y = ex x. V Maplu můžeme nehomogenní diferenciální rovnici nadefinovat pomocí příkazu diff: > rovnice:=diff(y(x),x,x)-*diff(y(x),x)+y(x)=exp(x)/x; rovnice := y( x ) x x y( x ) y( x ) e x x Příslušná homogenní rovnice má tvar: > homrov:=lhs(rovnice)=0; 4

43 homrov := y( x ) x x y( x ) y( x ) 0 Jedná se o homogenní rovnici druhého řádu. Její řešení hledáme ve tvaru y x = e λx. > tvar_reseni:=y(x)=exp(lambda*x); tvar_reseni := y( x) e ( x) Dosazením do zadané rovnice dostaneme po úpravách charakteristickou rovnici. > subs(tvar_reseni,homrov); > simplify(%); x e( x ) e ( x) e ( ) x e( x ) e ( ) x e ( ) x 0 x 0 Protože výraz e λx je vždy větší než nula, můžeme jím rovnici vydělit. > char_rovnice:=simplify(%/exp(lambda*x)); char_rovnice := 1 0 Vypočteme kořeny charakteristické rovnice > solve(char_rovnice,lambda); 1, 1 Rovnice má tedy jeden dvojnásobný kořen λ = 1. Fundamentální systém řešení má tvar: > reseni1:=subs(lambda=1,tvar_reseni);reseni:=subs(lambda=1, x*tvar_reseni); reseni1 := y( x) e x reseni := x y( x) x e x Určíme wronskián nalezených řešení pomocí stejnojmenného příkazu, který je součástí knihovny linalg: > with(linalg): 4

44 >W:=wronskian([rhs(reseni1),rhs(reseni)],x); a vypočteme ho. > detw:=det(%); w := e x e x x e x e x x e x detw := ( e x ) Lineární kombinací nalezených řešení dostaneme obecné řešení homogenní rovnice. > ob_reseni:=y(x)=c[1]*rhs(reseni1)+c[]*rhs(reseni); ob_reseni := y( x) c 1 e x c x e x Výsledek porovnáme s výsledkem získaným pomocí příkazu dsolve: > ob_res_hom:=dsolve(homrov,y(x)); ob_res_hom := y( x) _C1 e x _C e x x Partikulární řešení nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru, > tvar:=subs(_c1=k[1](x),_c=k[](x),ob_res_hom); tvar := y( x) K 1 ( x) e x K ( x) e x x který jsme dostali nahrazením konstant C1, C funkcemi K 1 (x) a K (x). Provedeme první derivaci partikulárního řešení pomocí příkazu diff: > der1:=diff(tvar,x); der1 := y x ( x ) K ( ) x 1 x e x K 1 ( x) e x K x ( x) e x x K ( x) e x x K ( x) e x Platí: > podminka1:=op(1,rhs(der1))+op(,rhs(der1))=0; podminka1 := x K ( x ) 1 e x x K ( x) e x x0 Dosazením dostaneme: > der1_upr:=lhs(der1)=rhs(der1)-lhs(podminka1); 44

45 der1_upr := y x ( x ) K ( x) 1 ex K ( x) e x x K ( x) e x Vypočteme druhou derivaci: > der:=diff(der1_upr,x); der := x y( x) x K ( x) e x x K 1 ( x) e x K 1 ( x) e x K ( ) x x e x x K ( x) e x x K ( x) e x Dosazením do původní rovnice dostaneme: >podminka:=simplify(subs(diff(y(x),x$)=rhs(der),y(x)=rhs(t var),rovnice)); podminka := x K ( x ) 1 e x K x ( x) e x x x K ( x) e x e x x V získané soustavě rovnic zavedeme substituci první derivace hledaných funkcí K 1 x, K x označíme a, b. >soustava:=subs({diff(k[1](x),x)=a,diff(k[](x),x)=b},{podmin ka1,podminka}); soustava := { a e x b e x xb e x e x, a e x b e x x0 } x Vypočteme první derivace funkcí K 1 x, K x a uložíme je do proměnných a, b. > konst_der:=solve(soustava,{a,b}); assign(konst_der); 1 konst_der := { a-1, b } x Integrací a, b dostaneme vzhledem ke stanovené substituci funkce K 1 x, K x. > konst1:=int(a,x); konst1 := x > konst:=int(b,x); konst := ln( x) 45

46 Hledané partikulární řešení nehomogenní rovnice pak má tvar: >part_reseni:=simplify(subs(k[1](x)=konst1,k[](x)=konst,tva r)); part_reseni := y( x) e x x ln( x) e x x Obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem obecného řešení příslušné homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Jelikož Maple při integraci, jejímž výsledkem je funkce obsahující přirozený logaritmus, nezohledňuje definiční obor (tj. neuzavírá argument přirozeného logaritmu do absolutní hodnoty), vyřešíme tuto odlišnost ručním přepsáním. > ob_reseni:=y(x)=rhs(ob_res_hom)-x*exp(x)+ln(abs(x))*x* exp(x); ob_reseni := y( x) _C1 e x _C e x xe x x ln( x ) x e x Řešení získané přímo příkazem dsolve bude mít také tuto odlišnost. > ob_dsolve:=dsolve(rovnice,y(x)); ob_dsolve := y( x) e x _C e x x _C1 e x x ( 1 ln( x) ) 46

47 Závěr Cílem mojí bakalářské práce bylo běžnému uživateli ukázat, jak lze využít program Maple k řešení vybraných problémů z lineární algebry. Vzhledem k rozsahu lineární algebry jsem se rozhodla vybrat jen určité části. Konkrétně jsem se zaměřila na matice, determinanty, inverzní matice, charakteristické matice, charakteristický polynom a vlastní čísla, kvadratické formy a řešení soustav lineárních rovnic. Také jsem se v práci snažila ukázat, že s lineární algebrou se můžeme setkat i v jiných oblastech matematiky jako například při hledání extrémů funkcí více proměnných pomocí Hessovy matice a hessiánu a také při řešení nehomogenních diferenciálních rovnic pomocí metody variace konstant. Teoretické poznatky jsem ilustrovala na vlastních příkladech, které byly vyřešeny s využitím programu Maple. Díky této práci jsem si prohloubila znalosti z lineární algebry a naučila jsem se lépe pracovat s programem Maple a jeho knihovnami linalg a LinearAlgebra. 47

48 Literatura a internetové zdroje [1] Bican L., Lineární algebra a geometrie, 1. vydání, Academia, 000 [] Buchar J., Úvod do programového souboru Maple V, 1. vydání, Vysoká škola zemědělská v Brně, 1994 [] Došlá Z., Došlý O., Diferenciální počet funkcí více proměnných,. vydání, Masarykova univerzita Brno, 006 [4] Heck A., Introduction to Maple,. vydání, Springer-Verlag, New York, 00 [5] Hort D., Rachůnek J., Algebra I., 1. vydání, UP Olomouc, 005 [6] Kostra J., Pomp M., Teorie matic, 1. vydání, Přírodovědecká fakulta Ostravské univerzity, 1997 [7] Kuben J., Obyčejné diferenciální rovnice, 1. vydání, UP Olomouc, 1995 [8] Inverzní matice [online], dostupné z: [citováno.. 010] [9] Maple [online], dostupné z: [citováno ] [10] 48

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic

Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Brno 2007 Roman Melichar Prohlašuji,

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Matematika I Lineární závislost a nezávislost

Matematika I Lineární závislost a nezávislost Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu. MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54

x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54 MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Matematika 4: Verze ze dne 29. listopadu 2015. Jan Chleboun. Úvod... 2. 2 Lineární algebra... 4

Matematika 4: Verze ze dne 29. listopadu 2015. Jan Chleboun. Úvod... 2. 2 Lineární algebra... 4 Matematika 4: Příručka pro přežití Verze ze dne 29. listopadu 2015 Jan Chleboun Obsah Úvod... 2 1 Komplexní čísla... 2 2 Lineární algebra... 4 2.1 Vlastní čísla, vlastní vektory... 4 2.2 Geršgorinova věta...

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více