Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008
|
|
- Dalibor Esterka
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února
2 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant Definice a základní vlastnosti Poznámky na konec Vlastní čísla a vlastní vektory Úvod Podobné a diagonizovatelné matice Charakteristický mnohočlen Pozitivně definitní matice Kvadratické formy 23 2
3 10 Permutace Definice 101 Permutace na množině {1,, n} je zobrazení p : {1,, n} {1,, n}, které je vzájemně jednoznačné Množinu všech permutací na {1,, n} budeme značit S n Poznámka 102 (Zápis permutace) Tabulkou či zkráceně jako (4, 2, 1, 3) Grafem i p(i) Permutační maticí A p : V našem případě: pokud j = p(i), (A p ) ij = 0 jinak A p = Cykly: (1, 4, 3)(2) Pozorování 103 Skládání permutací není komutativní Důkaz Použijme zkrácený zápis tabulkou Potom: (1, 3, 2) (2, 1, 3) = (3, 1, 2), kdežto (2, 1, 3) (1, 3, 2) = (2, 3, 1) Definice 104 Mějme permutaci p Permutace p 1 taková, že p p 1 = p 1 p = id, se nazývá inverzní permutace k permutaci p Plyne, že p(i) = j p 1 (j) = i Poznámka 105 K permutaci p = (4, 2, 1, 3) z Poznámky 102 je inverzní permutací permutace q = (3, 2, 4, 1) 3
4 Definice 106 Transpozice je taková permutace, která obsahuje jeden cyklus délky 2 a n 2 cyklů délky 1 Poznámka 107 Transpozice je tedy taková permutace, ve které si dva prvky prohodí pozice a ostatní prvky se zobrazí na sebe, např Pozorování 108 Každou permutaci lze složit z transpozic Důkaz Indukcí podle součtu délek cyklů délky větší než 2 Použijeme zápis pomocí cyklů V každém kroku rozdělíme cyklus (1,, k) délky k na cyklus (1, k) délky 2 a cyklus (1,, k 1) délky k 1 Postupně lze takto každý cyklus (1,, k) délky k lze rozdělit na k 1 cyklů délky 2 Definice 109 Nechť p je permutace na množině {1,, n} Potom inverzí permutace p rozumíme každou dvojici i, j {1,, n} : i < j p(i) > p(j) Celkový počet inverzí permutace p budeme značit I(p) Poznámka 1010 Vraťme se znovu k permutaci p = (4, 2, 1, 3) z Poznámky 102 V této permutaci se nacházejí inverze (1, 3), (1, 4), (1, 2) a (2, 3) Celkový počet inverzí pro permutaci zapsanou ve zkráceném zápise tabulkou, (4, 2, 1, 3) lze vypočítat jednoduše: Bereme postupně čísla od začátku a ptáme se, kolik je před nimi větších čísel Před 4 žádné, před 2 jedno, před 1 dvě, před 3 jedno Proč tento postup funguje je zřejmé ze zápisu permutace grafem: Definice 1011 Znaménkem permutace p se rozumí číslo: sgn(p) := ( 1) I(p) Pozorování 1012 p, q S n : sgn(p) sgn(q) = sgn(q p) Důkaz Ukážeme, že k Z : I(q p) = I(p) + I(q) + 2k Potom už jednoduše vyplyne, že sgn(q p) = ( 1) I(q p) = ( 1) I(p)+I(q)+2k = ( 1) I(p) ( 1) I(q) ( 1) 2k = ( 1) I(p) ( 1) I(q) = sgn(p) sgn(q) Nechť i < j Potom může nastat jedna z následujících možností: ( ): p(i) < p(j) q(p(i)) < q(p(j)), 4
5 ( +): p(i) < p(j) q(p(i)) > q(p(j)), (+ ): p(i) > p(j) q(p(i)) > q(p(j)), (++): p(i) > p(j) q(p(i)) < q(p(j)), kde + značí přítomnost inverze v zobrazení p, resp q, a její nepřítomnost Takto přiřadíme každou dvojici prvků i < j do příslušné přihrádky; výsledné počty prvků v jednotlivých přihrádkách označíme jako I, I +, I +, I ++ Je zřejmé, že dvojice v přihrádkách (+ ) a (++) představují inverze v p, dvojice v přihřádkách ( +) a (++) inverze v q a nakonec dvojice v přihrádkách ( +) a (+ ) inverze v q p Můžeme tedy psát: I(q p) = I + + I + = (I + + I ++ ) + (I + + I ++ ) 2 I ++ = I(q) + I(p) + 2k Důsledek 1013 Nechť p S n Potom sgn(p) = sgn(p 1 ) Důkaz 1 = sgn(id) = sgn(p 1 p) = sgn(p 1 ) sgn(p), z čehož nutně vyplývá, že sgn(p) = sgn(p 1 ) Pozorování 1014 Nechť t S n je transpozice Potom sgn(t) = 1 Důkaz V transpozici se vyskytuje lichý počet inverzí: 1 i j n 1 i j n Důsledek 1015 sgn(p) = ( 1) # transposic v libovolném rozkladu p # sudých cyklů v p = ( 1) 5
6 11 Determinant 111 Definice a základní vlastnosti Definice 111 Nechť A je čtvercová matice řádu n nad tělesem K Potom determinant matice A je dán výrazem: det(a) := n sgn(p) a i,p(i) p S n i=1 Formálně jde o zobrazení det( ) : K n n K ( ) a11 a Poznámka 112 Mějme matici A = 12 Množina všech permutací na množině a 21 a 22 {1, 2}, tj S 2, obsahuje dva prvky: identitu (1, 2) se znaménkem 1 a transposici (2, 1) se znaménkem 1 Potom: Pozorování 113 det(a) = det(a ) Důkaz det(a) = (+1) a 11 a 22 + ( 1) a 12 a 21 det(a ) = n sgn(p) (A ) i,p(i) p S n i=1 (definice determinantu) = n sgn(p) a p(i),i p S n i=1 (transpozice matice A) = n sgn(p) a i,q(i) p S n i=1 (při volbě q = p 1 ) = n sgn(q) a i,q(i) q S n i=1 (sgn(p) = sgn(q), Důsledek 1013) = det(a) (dle Definice 111) Pozorování 114 Přerovnání sloupců matice A podle permutace q: nezmění det(a), je-li sgn(q) = 1, změní znaménko det(a), je-li sgn(q) = 1 6
7 Důkaz Označme A přerovnanou matice Platí a ij = a i,q 1 (j) Dále: det(a ) = n sgn(p) a i,p(i) p S n i=1 = n sgn(p) a i,q 1 (p(i)) p S n i=1 =sgn(q 1 p) = { }} { n sgn(q) sgn(q 1 ) sgn(p) a i,q } {{ } 1 (p(i)) p S n i=1 =1 = sgn(q) n sgn(q 1 p) a i,(q 1 p)(i) p S n i=1 = sgn(q) det(a) Poznámka 115 (Důsledky Pozorování 114) i Stejné tvrzení platí i pro řádky, díky Pozorování 113 (det(a) = det(a )) ii Záměna dvou řádků (sloupců) změní znaménko determinantu iii Jsou-li dva řádky stejné, je determinant nulový 1 Tvrzení 116 Determinant je lineární funkcí každého řádku i sloupce dané matice i Linearita vůči skalárnímu násobku: a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n ta i,1 ta i,n = t a i,1 a i,n a n,1 a n,n a n,1 a n,n ii Linearita vůči sčítání: a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n a i,1 + b i,1 a i,n + b i,n = a i,1 a i,n + b i,1 b i,n a n,1 a n,n a n,1 a n,n a n,1 a n,n 1 V tělesech charakteristiky 2 může být i 1 7
8 Důkaz i Linearita vůči skalárnímu násobku: det(a ) = n sgn(p) a i,p(i) p S n i=1 = sgn(p)(a 1,p(1) ta i,p(i) a n,p(n) ) p S n = t det(a) ii Analogicky Důsledek 117 Nechť A K n n a i, j n, i j Potom přičtení t-násobku j-tého řádku k i-tému nezmění determinant Důkaz Nechť A je výsledná matice Potom dle Tvrzení 116: a 1,1 a 1,n det(a ) = a i,1 + ta j,1 a i,n + ta j,n a n,1 a n,n a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n = a i,1 a i,n +t a j,1 a j,n a n,1 a n,n a n,1 a n,n } {{ } } {{ } =det(a) =det(b) = det(a) Matice označená jako B má na místě i-tého řádku kopii řádku j-tého Jelikož má dva řádky stejné, její determinant je roven nule (podle bodu iii Poznámky 115) Poznámka 118 (Výpočet determinantu) Matici převedeme na trojúhelníkovou přičítáním t-násobků jiných řádku, podobně jako při Gaussově eliminaci Potom Pamatujme, že: det(a) = a 11 a 22 a nn buď neměníme pořadí řádků, anebo si pamatujeme změnu znaménka 8
9 nenásobíme řádky t, neboť by se determinant změnil t-krát lze upravovat i po sloupcích Takto lze vypočítat determinant v polynomiálním čase O(n 3 ), podobně jako Gaussova eliminace Věta 119 Nechť A a B jsou čtvercové matice nad T Potom platí: det(a B) = det(a) det(b) Důkaz Je-li A nebo B singulární, je i jejich součin singulární Potom det(a B) = 0 = det(a) det(b) Předpokládejme, že matice A je regulární Rozložíme A jako součin matic elementárních úprav: A = E 1 E 2 E k Potom: det(ab) = det(e 1 E 2 E k B) = det(e 1 ) det(e 2 E k B) = det(e 1 ) det(e n ) det(b) (iterací předchozího kroku) = det(e 1 E } {{ n ) det(b) } A Rovnítko s hvězdičkou platí, jelikož: pokud je E 1 matice záměny dvou řádku, je det(e 1 C) = 1 det(c) a det(e 1 ) det(c) = 1 det(c), pokud je E 1 matice vynásobení řádku skalárem t, potom det(e 1 C) = t det(c) a det(e 1 ) det(c) = t det(c), pokud je E 1 matice přičtení j-tého řádku k i-tému, potom det(e 1 C) = 1 det(c) a det(e 1 ) det(c) = 1 det(c) Věta 1110 Čtvercová matice A je regulární, právě když det(a) 0 Důsledek 1111 Je-li matice A regulární, potom: det(a 1 ) = 1 det(a) Důkaz 1 = det(i n ) = det(aa 1 ) = det(a) det(a 1 ) 9
10 Pozorování 1112 (Rozvoj determinantu podle i-tého řádku) Nechť A ij značí matici, která vznikne z A K n n vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce Pak platí pro libovolné i {1,, n}: det(a) = n j=1 a ij ( 1) i+j det(a ij ) Důkaz a i1 a i2 a in = a i a i a in (Tvrzení 116) = a i a i a in (Tvrzení 116) = n j=1 a ij ( 1) i+j det(a ij ) (viz výklad níže) Uvažujme následující matici: C = a 11 a 1j a 1n a n1 a nj a nn tj, matici A, jejíž i-tý řádek obsahuje v j-tém sloupci jedničku a jinak nuly Postupným vyměňováním řádků (i, i + 1),, (n 1, n) se posune i-tý řádek na konec matice Podobně přesuneme j-tý sloupec na konec matice a získáme matici: C = A ij jejíž determinant je roven det(a ij ) Při přesouvání řádků a sloupců jsme využili (n i)+(n j) transpozic, a tudíž: det(c) = ( 1) (n i)+(n j) det(a ij ) = ( 1) (i+j) det(a ij ) 10
11 Definice 1113 Pro čtvercovou matici A definujeme adjungovanou matici adj(a): adj(a) ij = ( 1) i+j (det(a ji )) (Poznámka: Všimněte si prohozeného pořadí indexů) Věta 1114 Pro každou regulární matici A nad tělesem T platí: Důkaz Z Pozorování 1112 plyne, že Podobně: A 1 = k-tý řádek A i-tý sloupec adj(a) = 1 det(a) adj(a) i-tý řádek A i-tý sloupec adj(a) = det(a) determinant matice vzniklé z A překopírováním k-tého řádku na i-tý Výraz A adj(a) je tedy roven matici, která má na diagonále det(a) a mimo diagonálu nuly Věta 1115 (Cramerovo pravidlo) Nechť A je regulární matice Řešení soustavy Ax = b lze zapsat jako: x i = det(a i b), det(a) kde A i b je matice, která vznikne z A nahrazením i-tého sloupce vektorem b Důkaz Ax = b = x = A 1 b = = x i = 1 det(a) adj(a)b 1 det(a) (adj(a)b) i = 1 det(a) n (adj(a)) ij b j = j=1 1 det(a) det(a i b) 112 Poznámky na konec Poznámka 1116 (Různé druhy obalů) Nechť X = {x 1,, x n } je konečná množina v R n Definujme následující obaly: Lineární obal: span(x) = { a i x i, a i R} Afinní obal: aff(x) = { a i x i, a i R, a i = 1} 11
12 Konvexní obal: conv(x) = { a i x i, a i R, a i = 1, a i [0, 1]} Rovnoběžnostěn: P(X) = { a i x i, a i R, a i [0, 1]} Poznámka 1117 (Geometrický význam determinantu) det(a) udává objem rovnoběžnostěnu určeného řádky nebo sloupci matice A Pozorování 1118 Je-li f : R n R n lineární zobrazení a A je matice tohoto zobrazení, potom platí, že objem těles se mění podle předpisu: vol(f(v )) = det(a) vol(v ) } {{ } původní objem 12
13 12 Vlastní čísla a vlastní vektory 121 Úvod Definice 121 Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a f : V V je lineární zobrazení Potom λ T, pro nějž existuje nenulový vektor x V takový, že f(x) = λx, nazveme vlastním číslem zobrazení f Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ je každý nenulový vektor x V splňující f(x) = λx Je-li dim(v ) = n <, potom lze f reprezentovat maticí zobrazení A T n n a můžeme předchozí definici rozšířit i na matice Množina všech vlastních čísel matice či zobrazení se nazývá spektrum Pozorování 122 Množina vlastních vektorů příslušných k pevnému vlastnímu číslu λ tvoří podprostor V Důkaz Nechť x a y jsou vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu λ Potom: f(cx) = cf(x) = λcx a f(x + y) = f(x) + f(y) = λx + λy = λ(x + y) Poznámka 123 (Geometrický význam vlastních vektorů) Vlastní vektory jsou vektory, které nemění směr při zobrazení f Věta 124 Nechť f : V V je lineární zobrazení, λ 1,, λ k jsou navzájem různá vlastní čísla zobrazení f a x 1,, x k jsou některé vlastní vektory příslušné k λ 1,, λ k Potom x 1,, x k jsou lineárně nezávislé Důkaz Větu dokážeme indukcí a sporem zároveň Pro k = 1 věta platí triviálně Předpokládejme, že věta platí pro k 1, a předpokládejme dále, že x 1,, x k jsou lineárně závislé, tj a 1,, a n : k i=1 a i x i = 0 Potom: a Potom: k k k 0 = f(0) = f( a i x i ) = a i f(x i ) = a i λ i x i i=1 i=1 i=1 k 0 = λ k 0 = λ k a i x i = i=1 k a i λ k x i i=1 k k k k 1 0 = 0 0 = a i λ i x i a i λ k x i = a i (λ i λ k )x i = a i λ i x i i=1 i=1 i=1 i=1 Tedy, x 1,, x k 1 jsou lineárně závislé, což je spor s předpoklady Důsledek 125 Čtvercová matice řádu n může mít nejvýše n vlastních čísel 13
14 122 Podobné a diagonizovatelné matice Poznámka 126 Vztah zobrazení f a matice zobrazení A = [f] XX není jednoznačný, jelikož matice zobrazení závisí na volbě báze X Všechny matice zobrazení ovšem musejí mít stejná vlastní čísla (jelikož ta jsou daná zobrazením) Mějme dvě různé báze X a Y Potom: [f(u)] X = [f] XX [u] X [f(u)] X = [id] Y X [f] Y Y [id] XY [u] X a tedy: [f] XX = [id] Y X [f] Y Y [id] XY Definice 127 Čtvercové matice A a B stejného řádu se nazývají podobné, pokud existuje regulární matice R taková, že A = R 1 BR Věta 128 Jsou-li matice A a B podobné, tj A = RBR 1, λ je vlastní číslo matice A a x je příslušný vlastní vektor, tak potom λ je také vlastní číslo matice B a y = Rx je příslušný vlastní vektor matice B Důkaz By = } RAR {{ 1 } }{{} Rx = RAx = Rλx = λrx = λy B y Pozorování 129 Vlastní čísla diagonální matice jsou prvky na diagonále a vlastní vektory jsou příslušné vektory kanonické báze Definice 1210 Matice se nazývá diagonizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici Poznámka 1211 (Užití diagonalizace) Snadný popis vlastních čísel a vlastních vektorů: λ i = (D) ii, e i je příslušný vlastní vektor Snadný výpočet mocnin: Nechť A = R 1 DR Potom: kde (D n ) ii = ((D) ii ) n A n = (R 1 DR)(R 1 DR) (R 1 DR) = R 1 D n R, Věta 1212 Pokud má matice A K n n n různých vlastních čísel, tak potom je diagonizovatelná Důkaz λ 1,, λ n vlastní čísla, x 1,, x n příslušné lineárně nezávislé vektory Sestavme matici R, jejíž sloupce jsou vektory x 1 až x n Tato matice je regulární, jelikož je sestavena z lineárně nezávislých vektorů (viz Větu 124) Potom AR = RD, kde: λ λ 2 0 D =, 0 λ n a D = R 1 AR 14
15 Věta 1213 Matice A T n n je diagonizovatelná, právě když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů Důkaz = Existuje R regulární: R 1 AR = D, neboli AR = RD Sloupce R jsou vlastní vektory a ty jsou lineárně nezávislé, jelikož R je regulární = Z vlastních vektorů sestavíme R, ta je regulární: AR = RD a R 1 AR = D 123 Charakteristický mnohočlen Definice 1214 Nechť A je čtvercová matice nad tělesem T Potom charakteristický mnohočlen v proměnné t je dán předpisem: p A (t) := det(a ti n ) Věta 1215 Pro matici A T n n platí: λ T je vlastní číslo matice A, právě když je kořenem charakteristického mnohočlenu Důkaz λ je vlastní číslo A x 0 : Ax = λx x 0 : Ax λx = Ax λi n x = 0 x 0 : (A λi n )x = 0 matice A λi n je singulární det(a λi n ) = 0 p A (λ) = 0 λ je kořenem p A (t) Tvrzení 1216 Podobné matice mají stejné charakteristické mnohočleny Důkaz Uvažujme A = R 1 BR Potom p A (t) = det(a ti n ) = det(r 1 BR tr 1 I n R) (Věta 119) = det(r 1 (B ti n )R) = det(r 1 ) det(b ti n ) det(r) (Věta 119, Důsledek 1111) = det(b ti n ) = p B (t) Tvrzení 1217 Pro libovolné čtvercové matice A a B mají matice AB a BA stejná vlastní čísla Důkaz Použijeme pravidlo pro násobení blokových matic: ( ) ( ) AB 0 I A B 0 0 I ( ) AB ABA = = B BA 15 ( ) ( ) I A I B BA
16 Tedy, ( ) ( ) AB je podobná, tím pádem mají stejné charakteristické mnohočleny: B 0 B BA ( ) AB ti 0 det = det(ab ti) ( t) n = p B ti AB (t) ( t) n ( ) ti 0 det = ( t) n det(ba ti) = ( t) n p B BA ti BA (t) Vyplývá, že p AB (t) = p BA (t) Věta 1218 (Základní věta algebry) Každý mnohočlen stupně alespoň 1 v C má alespoň jeden kořen Důkaz Důkaz je poměrně těžký větu necháme bez důkazu Důsledek 1219 Každý komplexní mnohočlen lze rozložit na součin jednočlenů Důkaz Nechť p(t) = a n t n + + a 1 t + a 0 je komplexní mnohočlen a λ 1 jeho kořen Jelikož p(t) je dělitelný (t λ 1 ) beze zbytku, je p A(t) t λ 1 opět mnohočlen, stupně n 1 p A (t) lze tedy rozložit: p A (t) = a n (t λ 1 ) r1 (t λ 2 ) r 2 (t λ k ) r k, kde λ 1,, λ k jsou navzájem různá komplexní čísla a r r k = n Číslo r i se nazývá násobnost kořene λ i Pozorování 1220 Nechť p A (t) = det(a ti n ) Potom lze p A (t) vyjádřit jako: Platí: i a n = ( 1) n ii a 0 = λ r 1 1 λ r 2 2 λ r k k = det(a) p A (t) = a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 iii a n 1 = ( 1) n 1 (λ 1 r 1 + λ 2 r λ k r k ) = ( 1) n 1 ((A) 11 + (A) (A) nn ) Důkaz i Veškerá ( t) se vyskytují na diagonále a existuje pouze jeden způsob, jak je vybrat ii Po dosazení t = 0 : p A (0) = det(a) = λ r 1 1 λ r k k iii t (n 1) lze ze součinu (t λ 1 ) r 1 (t λ k ) r k získat n způsoby; každý dává λi Navíc, z definice determinantu, t n 1 lze získat pouze ze součinu odpovídajícímu identitě: (t (A) 11 ) (t (A) nn ) (není možné uhnout z diagonály) 16
17 Tvrzení 1221 Matice A C n n je diagonizovatelná, právě když pro každé vlastní číslo λ i platí: dim(ker(a λ i I n )) = r i Důkaz Matice A je diagonizovatelná, právě když existuje báze v C n složená z vlastních vektorů Pro vektory v prostoru Ker(A λ i I n ) platí: (A λ i I n )x = 0, a tedy Ax = λ i x Z takto získaných vektorů složíme regulární matici R a potom AR = RD Poznámka 1222 Existují matice, které nejsou diagonizovatelné Například: ( ) Tato matice má jedno vlastní číslo ( λ = 1) násobnosti 2 Pokud by byla diagonizovatelná, 1 0 musela by být podobná matici D = Potom: A = R DR = I 2 a dostáváme spor Definice 1223 Nechť λ C, k N Jordanova buňka J k (λ) je čtvercová matice řádu k následujícího tvaru: λ λ J k (λ) = λ Definice 1224 Matice J C n n je v Jordanově normální formě, pokud je v blokově diagonálním tvaru a bloky na diagonále jsou Jordanovy buňky: J k1 (λ 1 ) J = J km (λ m ) Věta 1225 Každá matice A C n n je podobná matici v Jordanově normální formě Důkaz Bez důkazu Definice 1226 Nechť A C n n Matici A H, pro níž platí (A H ) ij = a ji, nazýváme hermitovskou transpozicí matice A Pozorování 1227 (AB) H = B H A H, pokud je operace definována Důkaz (AB) H ij = (AB) ji = n k=1 A jk B ki = n k=1 A jk B ki = n k=1 B H ika H kj = (B H A H ) ij 17
18 Pozorování 1228 Standardní skalární součin na C n je možno zapsat jako: n x y = x i y i = y H x i=1 Pozorování 1229 Je-li matice A složena z vektorů ortonormální báze C n (vůči standardnímu skalárnímu součinu), tak platí: A H A = I n Definice 1230 Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární, pokud A H A = I n Definice 1231 Komplexní čtvercová matice A se nazývá hermitovská, pokud A H = A Poznámka 1232 Hermitovské matice představují komplexní analogii reálných symetrických matic Uvědomme si navíc, že na diagonále hermitovské matice jsou reálná čísla Věta 1233 Nechť A je hermitovská matice Potom: i všechna její vlastní čísla jsou reálná, a ii existuje unitární matice R taková, že R 1 AR je diagonální Důkaz Větu dokážeme indukcí podle řádu matice n Označme A n = A Buď λ vlastní číslo A (jeho existence plyne ze základní věty algebry) a x příslušný normovaný vlastní vektor, x = 1 Doplníme x na ortonormální bázi C n a z těchto vektorů sestavíme unitární matici P n = (x ) Potom platí: (P H n A n P n ) H = P H H n A } {{ n (P H } n ) H = P H n A n P n, } {{ } =A n =P n a tedy matice P H n A n P n je hermitovská Jelikož první sloupec součinu A n P n je λ-násobek x, platí, že: λ 0 0 P H n A n P n = 0 A, n 1 0 kde A n 1 je hermitovská a λ je reálné Z indukce, pro A n 1 existuje unitární matice R n 1 taková, že Rn 1A n 1 R n 1 = D n 1 Položme: S n := 0 R n
19 Tato matice je unitární a její sloupce tvoří ortonormální bázi C n Vezměme dále R n := P n S n P n je unitární (jelikož tak byla sestavena) I matice R n je unitární, jelikož R H n R n = (P n S n ) H (P n S n ) = S H n P H n P n S n = I n Zbývá ověřit, že Rn 1 A n R n = D n : 2 R H n A n R n = S H n P H n A n P n S n λ = 0 R H n 1 0 A n 1 0 R n λ 0 0 = 0 D = D n n 1 0 Pozorování 1234 Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem konečné dimenze a X = {x 1,, x n } je jeho libovolná ortonormální báze Potom: n u, v V : u v = u x i x i v = [v] H X[u] X i=1 Důkaz u = n i=1 α i x i, α i = u x i = ([u] X ) i, v = n i=1 β i x i, β i = v x i = ([v] X ) i, β i = x i v Dále: n n α i x i β i x i = n α i β i x i x j i=1 i=1 = i,j=1 n i=1 α i β i (X je ortonormální báze) Tvrzení 1235 Nechť V je vektorový prostor konečné dimenze se skalárním součinem, X = {x 1,, x n } je jeho ortonormální báze a f : V V je lineární zobrazení Pak platí, že f zachovává skalární součin, tj f(u) f(v) = u v, právě když [f] XX je unitární Důkaz f(u) f(v) = [f(v)] H X[f(u)] X (Pozorování 1234) = ([f] XX [v] X ) H [f] XX [u] X = [v] H X[f] H XX[f] XX [u] X 2 Uvědomme si, že pro každou unitární matici R platí: R 1 = R H 19
20 13 Pozitivně definitní matice Pozorování 131 Nechť V = C n je prostor se skalárním součinem Potom existuje matice E taková, že u, v V : u v = v H Eu Důkaz Vezmeme kanonickou bázi C n : {e 1,, e n } Potom: a tedy lze vzít (E) ij = e i e j n n n u v = u i e i v j e j = u i v j e i e j i=1 j=1 i,j=1 Poznámka 132 Pro standardní skalární součin u v = n i=1 v i u i máme E = I n Pozorování 133 Matice E je hermitovská Definice 134 Splňuje-li hermitovská matice A C n n vlastnost, že x C n \ {0} : x H Ax > 0, tak potom se nazývá pozitivně definitní Věta 135 Pro hermitovskou matice A jsou následující podmínky ekvivalentní: i A je pozitivně definitní ii A má všechny vlastní čísla kladná iii Existuje regulární matice U taková, že A = U H U Důkaz 1 = 2: Nechť x je vlastní vektor k vlastnímu číslu λ Potom: Ax = λx = x H Ax = x H λx = λx H x A je pozitivně definitní, a tedy x H Ax > 0 Jelikož výsledkem výrazu x H x je vždy kladné číslo, musejí i vlastní čísla matice A být kladná 2 = 3: Jelikož A je hermitovská, existuje unitární matice R taková, že A = R H DR, kde D je diagonální matice s kladnou diagonálou (viz 1233) Vezmu: (D) ii i = j ( D) ij = 0 i j Potom U = DR je regulární (jelikož jak D, tak R jsou regulární) a U H U = ( DR) H DR = R H D H DR = R H DR = A 3 = 1: x H Ax = x H U H Ux = (Ux) H Ux > 0, kde vektor x je netriviální, U je regulární a tedy Ux je netriviální 20
21 Definice 136 Nechť matice A je pozitivně definitní a nechť U je trojúhelníková matice s kladnou diagonálou taková, že U H U = A Tento rozklad pozitivně definitní matice se nazývá Choleského rozklad Tvrzení 137 Pro pozitivně definitní matici A existuje právě jedna trojúhelníková matice s kladnou diagonálou U taková, že A = U H U Důkaz Důkaz provedeme sestavením algoritmu, jehož vstupem je hermitovská matice a výstupem její Choleského rozklad nebo tvrzení, že daná matice není positivně definitní Pro i := 1,, n proveď: (U) ii := a ii i 1 k=1 u ki u ki Pokud u ii = 0 nebo u ii R, stop: A není positivně definitní Pro j := (i + 1),, n proveď: u ij := 1 i 1 (a ij u ki u kj ) u ii k=1 Tvrzení 138 (Rekurentní podmínka na test pozitivní definitnosti) Bloková matice ( ) α a H A = a à je pozitivně definitní, právě když α > 0 a à 1 α aah je pozitivně definitní Důkaz = : Nechť x C n je libovolný netriviální vektor Potom x H Ax = ( ( x 1 x H) α a H ) ( ) x1 a à x = ( ( ) αx 1 + x H, x 1 a H + x HÃ) x 1 x = αx 1 x 1 + x 1 x H a + x 1 a H x + x Hà x 1 α x H aa H x + 1 α x H aa H x = x H (à 1 2 aah ) x + ( αx α x H a)( αx α a H x) První člen nezáporný; je kladný, je-li vektor x netriviální Druhý člen představuje součin komplexně sdružených čísel a je tedy také nezáporný Alespoň jedna z těchto dvou nerovností ovšem musí být ostrá 21
22 = : A je pozitivně definitní, x H Ax > 0 pro všechny netriviální x a tedy speciálně pro e 1 : e H 1 Ae 1 = α > 0 Nechť x C n 1 je libovolný vektor Zvolíme x 1 := 1 α ah ṽx a ( ) x1 položíme x := Potom x 0 < x H Ax = x H (Ã 1 2 aah ) x + ( αx α x H a)( αx α a H x), (už spočteno dříve) kde druhý člen po dosazení x 1 je roven nule a první člen tedy musí být kladný Tvrzení 139 (Jakobiho podmínka) Hermitovská matice A C n n je pozitivně definitní právě tehdy, když mají matice A n, A n 1,, A 1 kladný determinant, kde A i značí matici vzniklou z A vymazáním posledních n i řádků a sloupců Poznámka 1310 Z výpočetního hlediska není tento test efektivní 22
23 14 Kvadratické formy Definice 141 Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K a f : V V K splňuje: α K, u, v V : f(αu, v) = αf(u, v) u, u, v V : f(u + u, v) = f(u, v) + f(u, v) α K, u, v V : f(u, αv) = αf(u, v) u, v, v V : f(u, v + v ) = f(u, v) + f(u, v ) Pak se f nazývá bilineární forma na V Definice 142 Bilineární forma f je symetrická, platí-li: u, v V : f(u, v) = f(v, u) Definice 143 Zobrazení g : V K se nazývá kvadratická forma, pokud g(u) = f(u, u) pro nějakou bilineární formu f Poznámka 144 Proč se kvadratická forma jmenuje kvadratická? g(αu) = f(αu, αu) = α 2 f(u, u) = α 2 g(u) Definice 145 Je-li V prostor konečné dimenze nad K a X = {v 1,, v n } je jeho báze, tak pro bilineární formu f : V V K definujeme matici B formy f vzhledem k bázi X: b i,j := f(v i, v j ) Definice 146 Maticí kvadratické formy g rozumíme matici symetrické formy f, která formu g vytvořuje Poznámka 147 Vytvořující bilineární forma f musí být symetrická, abychom získali jednoznačně definovanou matici kvadratické formy Pozorování 148 Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K, X = {v 1,, v n } je jeho konečná báze, g : V K kvadratická forma a B je její matice vzhledem k bázi X Potom g(u) = [u] XB[u] X Důkaz [u] X = (α 1,, α n ), neboli u = n i=1 α i v i Potom: n n n n g(u) = f(u, u) = f( α i v i, α j v j ) = α i α j f(v i, v j ) = [u] XB[u] X i=1 j=1 i=1 j=1 23
24 Definice 149 Analytické vyjádření bilineární formy f : V V K vůči konečné bázi X je polynom: n n f(u, v) = b ij x i y j, i=1 j=1 kde x i a y j jsou souřadnice vektorů u a v vůči bázi X Podobně, pro kvadratickou formu: n n g(u) = a ij x i x j, i=1 j=1 kde a ij = 2b ij b ij i j i = j Poznámka 1410 Přechod od analytického vyjádření k matici je snadný, ale pouze v tělesech s charakteristikou větší než 2 Pozorování 1411 Nechť g : V K je kvadratická forma a B je její matice vůči bázi X Potom B = [id] Y X B [id] Y X je matice téže formy vůči bázi Y Důkaz g(u) = [u] XB[u] X = ([id] Y X [u] X ) B[id] Y X [u] Y = [u] Y [id] Y XB[id] Y X [u] Y } {{ } B Věta 1412 (Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem) Nechť V je prostor konečné dimenze nad R a g : V R je kvadratická forma Potom existuje báze X prostoru V taková, že matice B formy g vůči bázi X je diagonální a b ii { 1; 0; 1} Navíc, počet kladných a počet záporných prvků na diagonále nezávisí na volbě X a je pro všechny báze stejný Důkaz Dokážeme nejprve existenci báze, která splňuje výše uvedené podmínky Nechť X 0 je libovolná báze prostoru V a B 0 je reálná symetrická matice Potom existuje unitární matice R taková, že R 1 BR = D = R B 0 R Čili, je-li matice R matice přechodu od X 1 k X 0, potom je matice formy g vůču X 1 diagonální (D) Definujme diagonální matici D následovně: d ii d ii 0 d ii = 1 d ii = 0 Potom D = D B D, kde B je hledaná matice formy g Platí: 1 d ii > 0 b ii = 1 d ii < 0 0 d ii = 0 24
25 Pokud použijeme D jako matici přechodu od X 2 k X 1, tak potom X 2 je hledaná báze Dokažme nyní druhou část věty, tj že počet kladných a záporných prvků na diagonále nezávisí na volbě báze Nechť X = {v 1,, v n } a Y = {w 1,, w n } jsou dvě různé báze prostoru X takové, že příslušné matice formy g jsou tvaru: Potom: i Počty nul se rovnají Platí B = [id] XY B [id] XY, čili rank(b) = rank(b ) Dále: ii Počty jedniček se rovnají (#0 v B) = n rank(b) = n rank(b ) = (#0 v B ) Definujme n g = rank(b) = #1 + # 1 Víme, že g(u) = x x 2 r x 2 r+1 x 2 n g, pokud [u] X = (x 1,, x n ) Tedy r = #1 v B Podobně: g(u) = y y 2 s y 2 s+1 y 2 n g, pokud [u] Y = (y 1,, y n ) Tedy s = #1 v B Nechť dále, pro spor r s, bez újmy na obecnosti, r > s Vezmu netriviální vektor z z span({v 1,, v r }) span({w s+1,, w n }) Takový vektor z určitě existuje, jelikož dim(span({v 1,, v r })) + dim(span({w s+1,, w n })) = r + r s > n = dim(v ) Potom ale > 0 pokud některá z prvních r souřadnic [z] X je netriviální a zbytek jsou nuly, g(z) = 0 prvních s souřadnic [z] Y je nulových Dostali jsme spor Definice 1413 Nechť X je báze prostoru V taková, že matice B formy g vůči bázi X je diagonální a b ii { 1; 0; 1} Potom trojici (# 1, #0, #1) nazýváme signatura formy 25
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceTEORIE MATIC. Tomáš Vondra
TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................
VíceKapitola 1. Tenzorový součin matic
Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceLineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina
1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceOperace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vícep, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí).
Kapitola 10 Determinanty Začneme pomocnou definicí Definice 101 Vzájemně jednoznačné zobrazení p : X X nazýváme permutace na množině X Je-li p permutace na množině X, pak inverzní zobrazení p 1 : X X nazýváme
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceLineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VícePřímé metody výpočtu charakteristických čísel matic
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Brno 2007 Roman Melichar Prohlašuji,
VíceMaticový a tenzorový počet
Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VícePoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMatice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
Více2. Matice, soustavy lineárních rovnic
Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceOptimalizace. Elektronická skripta předmětu A4B33OPT. Toto je verze ze dne 28. ledna 2016. Katedra kybernetiky Fakulta elektrotechnická
Optimalizace Elektronická skripta předmětu A4B33OPT. Text je průběhu semestru doplňován a vylepšován. Toto je verze ze dne 28. ledna 2016. Tomáš Werner Katedra kybernetiky Fakulta elektrotechnická České
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceGymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky
VíceSOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
VícePřepsal Petr Baudiš v ak. roce 2004/2005
Přepsal Petr Baudiš v ak roce 2004/2005 IfIamgivenaformula,andIamignorantofitsmeaning,itcannotteachmeanythingButif Ialreadyknowit,whatdoestheformulateachme? ST AUGUSTINE c 2004/2005 Jiří Fiala, Petr Baudiš
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
Vícepozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly
060221 1 1 060221 1.1 Permutace Definice 1. Permuntací množiny {1, 2,, n} rozumíme zobranení p: {1, 2,, n} {1, 2,, n}, které je prosté a na. zápis permutace tabulkou: x 1 2 3 4 5 6 p(x) 4 1 3 2 6 5 zkrácený
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceEduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí.
Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. V roce 2012 se na katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze konala Matematická fotosoutěž. Vítězný snímek týkající se právě lineární
Více