F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)

Transkript

1 11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně rovnicí F (x, y) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové že, pro x (x 0 δ, x 0 + δ) je F (x, f(x)) = 0 a graf funkce f prochází boem [x 0, y 0 ] (tj y 0 = f(x 0 )) Příkla 112 a) Rovnice 3x y + 2 = 0 přestavuje implicitní vyjáření jeiné funkce y = 3x + 2 b) Rovnice x 2 + y 2 = 1 přestavuje vojici funkcí y = ± 1 x 2 c) Rovnice xy xy = 0 určuje nekonečně mnoho funkcí y = f(x) s grafem ležícím v prvním nebo třetím kvarantu Věta 113 (o existenci implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je spojitá funkce na čtverci R = (x 0 a, x 0 + a) (y 0 a, y 0 + a) pro nějaké a > 0 (tj na okolí O a ([x 0, y 0 ]) v metrice ρ ) a nechť F (x 0, y 0 ) = 0 Dále přepokláejme, že F má na tomto čtverci parciální erivaci F y, která je spojitá v boě [x 0, y 0 ] a platí F y(x 0, y 0 ) 0 Pak existuje δ > 0 takové, že na intervalu (x 0 δ, x 0 + δ) je rovnicí F (x, y) = 0 implicitně efinována právě jena spojitá funkce y = f(x) procházející boem [x 0, y 0 ] Důkaz Na R 2 uvažujme metriku ρ a položme = F y(x 0, y 0 ) Pole přepoklau je 0 Protože F y je spojitá v boě [x 0, y 0 ] a existuje na R, k 2 existuje ε > 0 takové, že pro [x, y] O ε(x 0, y 0 ) = (x 0 ε, x 0 + ε) (y 0 ε, y 0 + ε) je F y(x, y) < 2, tj 1 1 F y(x 0, y 0 ) < 1 2 Označme Q = {g C( x 0 ε, x 0 + ε ) : g(x 0 ) = y 0, g(x) y 0 < ε x x 0 ε, x 0 + ε } Pro g Q tey platí g(x 0 ) = y 0, F (x 0, g(x 0 )) = F (x 0, y 0 ) = 0 Protože g i F jsou spojité, k ε > 0 existuje δ 1 > 0 takové, že pro kažé x x 0 δ 1, x 0 + δ 1 platí F (x, g(x)) g(x) y 0 < ε Položme δ = min{ε, δ 1 } a P = Q C( x 0 δ, x 0 + δ ) Množina P tey obsahuje funkce z Q, jejichž efiniční obor je zúžen na x 0 δ, x 0 + δ Definujme zobrazení T : P C( x 0 δ, x 0 + δ ) přepisem T (g)(x) = g(x) F (x, g(x)) ( ) Je-li funkce f pevným boem zobrazení T, pak f(x) = f(x) 1 F (x, f(x)) pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj F (x, f(x)) = 0 pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj f je spojitá funkce, která je na (x 0 δ, x 0 + δ) implicitně zaána rovnicí F (x, y) = 0 Existenci jeiné funkce f této vlastnosti okážeme pomocí Banachovy věty o pevném bou Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence ρ C Pak T (g)(x 0 ) = g(x 0 ) 1 F (x 0, g(x 0 )) = y 0 pro g P a íky ( ) také T (g)(x) y 0 < ε pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj T (g) P S využitím věty o stření honotě ostaneme ρ C (T (g), T (h)) = max = max = max T (g)(x) T (h)(x) = max F (x, g(x)) g(x) h(x) + g(x) h(x) F y(x, ξ)(g(x) h(x)) g(x) h(x) 1 F y(x, ξ), ke bo ξ leží mezi honotami g(x) a h(x), g, h P, tey ξ O ε (x 0, y 0 ) Pole ( ) tey je ρ C (T (g), T (h)) 1 2 což znamená, že T je kontrakce na P max g(x) h(x) = 1 2 ρ C(g, h), F (x, h(x)) Poznámka a) Vele spojité funkce může existovat i alší nespojitá funkce, např rovnice y(y 1) = 0 určuje na okolí bou [0, 0] spojitou funkci y(x) = 0, ale kromě ní také např nespojitou funkci { 0 pro x 0 y 1 (x) = nebo funkci y 2 (x) = χ(x) 1 pro x > 0 b) Pomínka F y(x 0, y 0 ) 0 je postačující pro existenci implicitní funkce, nikoliv nutnou, např rovnice x y 3 = 0 určuje v okolí bou [0, 0] funkci y = 3 x, ale přitom F y(0, 0) = 0 23

2 Věta 114 (o erivaci implicitní funkce) Nechť jsou splněny přepoklay věty 113 a F má na čtverci R spojité parciální erivace Pak má funkce f, která je implicitně určena v okolí bou [x 0, y 0 ] rovnicí F (x, y) = 0, erivaci v boě x 0 a platí f (x 0 ) = F x(x 0, y 0 ) F y(x 0, y 0 ) Iea ůkazu Nejprve je potřeba okázat existenci erivace, to není úplně snané Samotný vzorec pro výpočet erivace plyne z pravila pro erivování složené funkce: F (x, f(x)) = 0 / x F x(x, f(x)) 1 + F y(x, f(x))f (x) = 0 f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)) Dosaíme-li x = x 0, tak s využitím y 0 = f(x 0 ) ostaneme vzorec tvrzení Příkla 115 Určete rovnici tečny a normály ke křivce ané rovnicí x 3 + y 3 2xy = 0 v boě [1, 1] x + y 2 = 0 Poznámka a) Z příklau je zřejmé, že rovnice tečny v boě [x 0, y 0 ] ke grafu funkce y = f(x) určené implicitně rovnicí F (x, y) = 0 má tvar F x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0 ) = 0 b) Jsou-li splněny přepoklay věty 113 a F má navíc na R spojité ruhé parciální erivace, pak funkce y = f(x), která je v okolí bou [x 0, y 0 ] ána implicitně rovnicí F (x, y) = 0 má v boě x 0 ruhou erivaci a platí y (x 0 ) = F xx(x 0, y 0 )(F y(x 0, y 0 )) 2 2F xy(x 0, y 0 )F x(x 0, y 0 )F y(x 0, y 0 ) + F yy(x 0, y 0 )(F x(x 0, y 0 )) 2 (F y(x 0, y 0 )) 3 Jak je to ve vyšší imenzi? Definice 116 (implicitní funkce vou proměnných) Nechť F : R 3 R je funkce, [x 0, y 0, z 0 ] R 3 je takový bo, že F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Řekneme, že funkce z = f(x, y) je v okolí bou [x 0, y 0, z 0 ] zaána implicitně rovnicí F (x, y, z) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové že pro [x, y] (x 0 δ, x 0 + δ) (y 0 δ, y 0 + δ) je F (x, y, f(x, y)) = 0 a graf funkce f prochází boem [x 0, y 0, z 0 ] Věta 117 (o implicitní funkci vou proměnných a jejích parciálních erivacích) Nechť F : R 3 R je funkce spojitá na krychli K = (x 0 a, x 0 +a) (y 0 a, y 0 +a) (z 0 a, z 0 +a) pro nějaké a > 0, F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 a má ze erivaci F z, která je spojitá v boě [x 0, y 0, z 0 ], přičemž F (x 0, y 0, z 0 ) 0 Pak existuje číslo δ > 0 a jeiná spojitá funkce z = f(x, y), která je na (x 0 δ, x 0 + δ) (y 0 δ, y 0 + δ) ána implicitně rovnicí F (x, y, z) = 0 Jsou-li navíc na krychli K spojité parciální erivace F x, F y a F z, pak funkce z = f(x, y) má parciální erivace v boě [x 0, y 0 ] a platí f x(x 0, y 0 ) = F x(x 0, y 0, z 0 ) F z(x 0, y 0, z 0 ), f y(x 0, y 0 ) = F y(x 0, y 0, z 0 ) F z(x 0, y 0, z 0 ) Poznámka Z přechozí efinice a věty je již zřejmé, jak by vypaalo rozšíření na přípa implicitní funkce tří a více proměnných Definice 118 (m-funkce) Nechť f 1, f 2,, f m jsou funkce n proměnných takové, že D(f 1 ) D(f 2 ) D(f m ) Pak zobrazení F : R n R m ané přepisem [x 1, x 2,, x n ] F [f 1 (x 1, x 2, x n ), f 2 (x 1, x 2, x n ),, f m (x 1, x 2, x n )] nazveme m-funkcí n-proměnných Funkce f 1, f 2,, f m nazýváme složky F, množina D(F ) := m i=1 D(f i) se nazývá efiniční obor m-funkce F Poznámka a) Interpretujeme-li obraz bou X R n jako vektor v R m, pak m-funkci nazýváme také vektorovou funkcí a je-li m = n, tak vektorovým polem b) Lze snano ukázat, že F je spojitá v boě X 0 R n všechny funkce f 1,, f m jsou v tomto boě spojité Definice 119 (iferencovatelnosti m-funkce) Řekneme, že m-funkce F : R n R m je iferencovatelná v boě X 0 R n, jestliže kažá z funkcí f 1, f 2,, f m je iferencovatelná v tomto boě Zobrazení F (X 0 ) : R n R m ané přepisem [h 1, h 2,, h n ] [f 1 (X 0 ), f 2 (X 0 ),, f m (X 0 )] se nazývá totální iferenciál m-funkce F v boě X 0 m-funkce F se nazývá iferencovatelná na M D(F ), je-li iferencovatelná v kažém boě z M 24

3 Poznámka Totální iferenciál F (X 0 ) je lineární zobrazení z R n o R m určené maticí tj platí F (X 0 ) = f 1 f 1 f 2 f 2 f m f 1 f 2 f m f m f 1 (X 0 ) h 1 f 2 (X 0 ) = F h 2 (X 0 ) f m (X 0 ) h n (X 0 ), Matice F (X 0 ) se nazývá Jacobiova 5 matice m-funkce F v boě X 0 Je-li n = m, pak se eterminant Jacobiho matice m-funkce F v boě X 0 nazývá Jacobián, bueme značit J F (X 0 ) nebo stručně J(X 0 ) Věta 1110 (o Jacobiově matici složeného zobrazení) Nechť G : R n R m je m-funkce iferencovatelná v boě X 0 R n a F : R m R p je p-funkce iferencovatelná v boě Y 0 = G (X 0 ) R m Pak složené zobrazení H = F G : R n R p je iferencovatelná p-funkce a pro jeho Jacobiovu matici platí Důkaz Pole efinice p-funkce H máme a pole věty 91 platí h i (x 1, x 2,, x n ) = H (X 0 ) = F (Y 0 ) G (X 0 ) }{{}}{{}}{{} p n p m m n h i (x 1, x 2,, x n ) = f i (g 1 (x 1, x 2,, x n ), g 2 (x 1, x 2,, x n ),, g m (x 1, x 2,, x n )) p pro i = 1, 2,, p, j = 1, 2,, n f i k ( g1 (x 1, x 2,, x n ), g 2 (x 1, x 2,, x n ),, g m (x 1, x 2,, x n ) ) k (x 1, x 2,, x n ) Věta 1111 (o lokální inverzi) Nechť F : R n R n je iferencovatelná n-funkce v boě X 0 R n a Y 0 = F (X 0 ) Je-li F (X 0 ) regulární (tj et(f (X 0 )) 0), pak existuje okolí O(X 0 ), v němž je F prostá, a tey existuje inverzní n-funkce F 1 : F (O(X 0 )) R n Tato inverzní n-funkce je iferencovatelná v boě Y 0 a pro její Jacobiovu matici platí (F 1 ) (Y 0 ) = (F (X 0 )) 1 a otu J F 1(Y 0 ) = Iea ůkazu Poku F (X 0 ) = Y 0, tak na O(X 0 ) platí F (X) Y 0 + F (X 0 ; X X 0 ) 1 J F (X 0 ) Lineární zobrazení na pravé straně přibližné rovnosti je prosté, právě kyž je Jacobiova matice F (X 0 ) regulární, a intuitivně, prostá bue na aném okolí i samotná n-funkce F Jacobiova matice ientického zobrazení F 1 F, F 1 F (x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) je jenotková matice E Pole věty 1110 pak platí E = (F 1 ) (F (x 0 1, x 0 2,, x 0 n)) F (x 0 1, x 0 2,, x 0 n), z čehož plyne okazovaný vztah Uvažujme nyní soustavu rovnic g 1 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, g m (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, ( ) 5 Carl Gustav Jacob Jacobi , Němec 25

4 m-funkci y 1 = f 1 (x 1, x 2,, x n ), y 2 = f 2 (x 1, x 2,, x n ), y m = f m (x 1, x 2,, x n ), ( ) bo [X 0, Y 0 ] = [x 0 1, x 0 2,, x 0 n, y 0 1, y 0 2,, y 0 m] R n+m, který vyhovuje soustavě ( ) a nechť δ > 0 Řekneme, že m-funkce ( ) je ána na okolí O δ (X 0 ) implicitně soustavou ( ), jestliže pro kažé X O δ (X 0 ) platí g 1 (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0, g m (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0 Věta 1112 (o existenci implicitní m-funkce a její Jacobiově matici) Nechť G = [g 1, g 2,, g m ] : R n+m R m je spojitá m-funkce v okolí O a ([X 0, Y 0 ]) pro nějaké a > 0 (okolí bereme opět v metrice ρ ), přičemž bo [X 0, Y 0 ] vyhovuje soustavě G (X, Y ) = O = [0, 0,, 0] (tj soustavě ( )), a nechť všechny prvky matice 1 1 y 1 y 2 1 y m 2 2 G Y y = 1 y 2 2 y m m y 1 m y 2 existují v O a ([X 0, Y 0 ]), jsou spojité v boě [X 0, Y 0 ] a platí et(g Y (X 0, Y 0 )) 0 Pak existuje okolí O δ (X 0 ) R n, na kterém je soustavou G (X, Y ) = O = [0, 0,, 0] implicitně ána jeiná spojitá m-funkce Y = F (X) = [f 1 (X), f 2 (X),, f m (X)] (tj m-funkce ve tvaru ( )) Jsou-li navíc spojité všechny prvky matice G X x = 1 2 a všechny prvky matice G Y m m m y m m v O a([x 0, Y 0 ]), pak F je iferencovatelná v X 0 a pro její Jacobiovu matici platí F (X 0 ) = (G Y (X 0, Y 0 )) 1 G X(X 0, Y 0 ) Iea ůkazu Označíme-li = et(g y(x 0, Y 0 )) a bueme-li s maticemi G y a G x manipulovat stejně jako s erivacemi F y a F x v ůkazu věty 113, tak zjistíme, že tento ůkaz lze přepsat i pro maticový přípa Poznámka První část věty vlastně říká, za jakých pomínek lze ze soustavy ( ) vyjářit m-tici ( ) (poku to je, tak to ještě neznamená, že je to početně jenouché) Příkla 1113 Najěte bo, v jehož okolí vyjařuje soustava x 2 +y 2 +u 2 +v 2 = 2, xu+yv+e uv = 0 implicitně 2-funkci u = u(x, y), v = v(x, y) a určete její Jacobiovu matici v tomto boě Dosazením ověříme, že soustavě vyhovuje např bo [x 0, y 0, u 0, v 0 ] = [ 1, 0, 1, 0] Dále máme G [x,y] 2x 2y =, G 2u 2v u v [u,v] = x + v e uv y + u e uv Otu a tey F = (G [u,v] ) 1 = 1 2uy + 2u 2 e uv 2xv 2v 2 e uv et(g [u,v] ) = 2uy + 2u2 e uv 2xv 2v 2 e uv 1 y + u e uv 2v 2uy + 2u 2 e uv 2xv 2v 2 e uv x v e uv 2u 2xy + 2xu e uv 2uv 2y 2 + 2yu e uv 2v 2 F (1, 0) = 1 2 2x 2 2xv e uv +2u = xy 2yv e uv +2uv 26

5 12 Vázané extrémy Definice 121 (lokálního extrému vzhleem k množině) Nechť f : R n R je funkce a M D(f) je nějaká neprázná množina Řekneme, že funkce f má v boě X 0 M lokální minimum (resp maximum) vzhleem k množině M, jestliže existuje okolí O(X 0 ) takové, že pro X M O(X 0 ) platí f(x 0 ) f(x) (resp f(x 0 ) f(x 0 )) Jsou-li nerovnosti pro X X 0 ostré, mluvíme o ostrých lokálních extrémech vzhleem k M V této kapitole bueme uvažovat přípa, ky množina M je zaána soustavou g 1 (x 1, x 2,, x n ) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n ) = 0, g m (x 1, x 2,, x n ) = 0, ke 1 m < n ( ) V tomto přípaě se místo termínu lokální extrém vzhleem k M používá termínu lokální extrém vázaný pomínkami ( ) nebo stručně vázaný lokální extrém Věta 122 (metoa Lagrangeových multiplikátorů, nutná pomínka pro existenci vázaného lokálního extrému) Nechť funkce f, g 1,, g m : R n R (1 m < n) mají spojité parciální erivace v otevřené množině U R n a nechť v kažém boě množiny U má Jacobiova matice G m-funkce G = [g 1, g 2,, g m ] honost m Dále, nechť M U je množina všech boů X = [x 1, x 2,, x n ], které vyhovují rovnicím ( ) Má-li f v boě X 0 M vázaný lokální extrém, pak existují reálná čísla λ 1, λ 2,, λ m (Lagrangeovy multiplikátory) tak, že jsou splněny rovnosti f (X 0 ) λ k k (X 0 ) = 0, j = 1, 2,, n ( ) Větu lze okázat vícero způsoby, jeen z nich využívá větu o lokální inverzi (viz věta 1111) Definice 123 (stacionárního bou funkce na M) Bo X 0 M, pro který existují Lagranegeovy multiplikátory λ 1,, λ m tak, že platí ( ), se nazývá stacionární bo funkce f na M Poznámka Věta 122 vlastně ává návo, jak stacionární boy nalézt Sestrojí se Lagrangeova funkce L(x 1, x 2,, x n, λ 1, λ 2,, λ m ) = f(x 1, x 2,, x n ) Položíme-li její graient roven nulovému vektoru, ostaneme právě vztahy ( ) λ k g k (x 1, x 2,, x n ) Věta 124 (postačující pomínky pro existenci vázaného lokálního extrému) Nechť S je stacionární bo funkce f na M, Λ S = [λ S 1, λ S 2,, λ S m] jsou Lagrangeovy multiplikátory příslušné bou S, funkce f, g 1, g 2,, g m mají spojité ruhé parciální erivace v boě S a nějakém jeho okolí a Jacobiova matice G (S) má honost m Je-li 2 L(S, Λ S ) (i) pozitivně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální minimum (ii) negativně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální maximum Důkaz Přepoklay věty jsou takové, že pozitivní efinitnost 2 L(S, Λ S ) zaručuje existenci (volného) lokálního minima Lagrangeovy funkce L v boě S při pevném Λ = Λ S, tj existuje okolí O(S), na kterém platí L(S, Λ S ) < L(X, Λ S ), tj f(s) + λ S k g k (S) < f(x) + λ S k g k (X) f(s) < f(x) + λ S k g k (X) Uveená nerovnost platí i pro boy X z množiny M, na které je g k (X) = 0, k = 1, 2,, m a tey pro tyto boy platí F (S) < F (X) To však znamená, že funkce má v S ostré lokální minimum vázané pomínkami ( ) Analogicky by se ukázalo pro maximum Poznámka Pozor, je-li 2 L(S, Λ S ) inefinitní, tak to (na rozíl o volných lokálních extrémů) neznamená, že v S není vázaný lokální extrém Pro existenci vázaných lokálních extrémů stačí, kyž 2 L(S, Λ S ) je PDF nebo NDF pro všechny vektory h = (h 1, h 2,, h n ) kolmé k vektorům g k (S), k = 1, 2,, m) Je-li tey 2 L(S, Λ S ) inefinitní, lze ále postupovat takto: Ze soustavy g 1 (S) = 0, 27

6 g 2 (S) = 0, g m (S) = 0, tj ze soustavy h 1 0 G h 2 (S) = 0, h n 0 lze jenoznačně vyjářit m přírůstků h i (protože G (S) má honost m) jako lineární formy zbývajících přírůstků (lineární forma n-proměnných je funkce typu a 1 x 1 + a 2 x a n x n, ke a i R, i = 1, 2,, n) Dosazením takto vyjářených přírůstků o 2 L(S, Λ S ) ostaneme novou kvaratickou formu n m proměnných, označme ji např Φ Potom platí: Je-li Φ a) pozitivně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální minimum, b) negativně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální maximum, c) inefinitní, pak v S nenastává vázaný lokální extrém Příkla 125 Vyšetřete vázané extrémy funkce f(x, y) = xy vzhleem k množině x + y = 1 28