12. Funkce více proměnných
|
|
|
- Helena Bartošová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 12. Funkce více proměnných
2 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n.
3 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako f.a C te i / f.a/.a/ D lim i t!0 t
4 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako f.a C te i / f.a/.a/ D lim i t!0 i označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci i W i.x/:
5 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
6 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
7 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
8 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
9 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
10 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
11 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a L W R n! R je lineární zobrazení.
12 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a L W R n! R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f.a C h/ f.a/ L.h/ lim h!o jjhjj D 0:
13 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.1 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace) Necht L je diferenciál funkce f v bodě a 2 R n. Potom existují parciální derivace a pro každé h 2 R n : : n L.h 1 ; : : : ; h n 1.a/h 1 n.a/h n :
14 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.2 Má-li funkce f v bodě a 2 R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá.
15 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma 12.3 Necht f je reálná funkce n proměnných, I D. 1; ˇ1/. n; ˇn/ R n, a; b 2 I. Necht v každém bodě I existují parciální derivace f podle všech proměnných. Potom existují body 1 ; : : : ; n 2 I takové, že f.b/ f.a/ D i. i /.b i a i /:
16 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.4 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R @x n jsou spojité funkce v bodě a.
17 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.4 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R @x n jsou spojité funkce v bodě a. Potom má f v bodě a totální diferenciál.
18 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f.a C tv/ f.a/ D v f.a/ D lim : t!0 t
19 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f.a C tv/ f.a/ D v f.a/ D lim : t!0 t Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a f 0.a/ existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor : : : 2 R n n
20 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
21 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál
22 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.5 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Necht existuje f 0.a/.
23 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.5 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Necht existuje f 0.a/. Pak platí (i) f 0.a/.v/ D D v f.a/,
24 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.5 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Necht existuje f 0.a/. Pak platí (i) f 0.a/.v/ D D v f.a/, (ii) maxfd v f.a/i jjvjj D 1g D jjrf.a/jj.
25 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a L W R n! R k je lineární zobrazení.
26 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a L W R n! R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací zobrazení F v bodě a, jestliže platí jjf.a C h/ F.a/ L.h/jj lim h!o jjhjj D 0:
27 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.6 Necht F je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a 2 R n derivaci L. Potom je L 1.a/ : : 1.a/ : : : 1.a/ : : n.a/ n.a/ :
28 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.7 Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a F 0.a/ existuje. Potom F je spojité v a.
29 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.7 Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a F 0.a/ existuje. Potom F je spojité v a. Věta 12.8 Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n i, i D 1; : : : ; n, j D 1; : : : ; k, jsou spojité v a. Potom F 0.a/ existuje.
30 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma 12.9 Necht L W R n! R k je lineární zobrazení. Pak existuje C 2 R takové, že jjl.x/jj Cjjxjj pro každé x 2 R n.
31 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma 12.9 Necht L W R n! R k je lineární zobrazení. Pak existuje C 2 R takové, že jjl.x/jj Cjjxjj pro každé x 2 R n. Definice Normou lineárního zobrazení L W R n! R k rozumíme číslo jjl.x/jj jjljj D sup I x 2 R n ; x o : jjxjj
32 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma Necht f je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a f 0.a/ existuje. Potom existují C 2 R a ı 2 R, ı > 0, takové, že pro každé h 2 B.o; ı/ platí jjf.a C h/ f.a/jj Cjjhjj.
33 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma Necht f je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a f 0.a/ existuje. Potom existují C 2 R a ı 2 R, ı > 0, takové, že pro každé h 2 B.o; ı/ platí jjf.a C h/ f.a/jj Cjjhjj. Věta (derivace složeného zobrazení) Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a 2 R n a b D f.a/ 2 R k. Jestliže existují f 0.a/ a g 0.b/, pak existuje.g ı f / 0.a/ a platí.g ı f / 0.a/ D g 0.b/ ı f 0.a/.
34 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Důsledek (řetízkové pravidlo) Necht funkce f 1 ; : : : ; f k z R n do R mají v bodě a 2 R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b D.f 1.a/; : : : ; f k.a// totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h.x/ D g.f 1.x/; : : : ; f k.x//:
35 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Důsledek (řetízkové pravidlo) Necht funkce f 1 ; : : : ; f k z R n do R mají v bodě a 2 R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b D.f 1.a/; : : : ; f k.a// totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h.x/ D g.f 1.x/; : : : ; f k.x//: Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i 2 f1; : : : ; i.a/ D i.a/:
36 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta (o přírůstku funkce) Necht f je funkce z R n do R, která má diferenciál v každém bodě otevřené množiny G R n. Necht a; b 2 G a úsečka L spojující body a, b je obsažena v G, tj. L D f.1 t/a C tbi t 2 Œ0; 1g G.
37 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta (o přírůstku funkce) Necht f je funkce z R n do R, která má diferenciál v každém bodě otevřené množiny G R n. Necht a; b 2 G a úsečka L spojující body a, b je obsažena v G, tj. L D f.1 t/a C tbi t 2 Œ0; 1g G. Pak existuje 2 L takové, že f.b/ f.a/ D f 0./.b a/:
38 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Řekneme, že množina A R n je konvexní, jestliže pro každé dva body z A platí, že úsečka, která je spojuje, je obsažena v A.
39 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Řekneme, že množina A R n je konvexní, jestliže pro každé dva body z A platí, že úsečka, která je spojuje, je obsažena v A. Věta (věta o přírůstku vektorové funkce) Necht n; k 2 N, K 2 R, G R n je otevřená konvexní množina, f W G! R k je zobrazení mající derivaci v každém bodě G a necht supfjjf 0.x/jjI x 2 Gg K:
40 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Řekneme, že množina A R n je konvexní, jestliže pro každé dva body z A platí, že úsečka, která je spojuje, je obsažena v A. Věta (věta o přírůstku vektorové funkce) Necht n; k 2 N, K 2 R, G R n je otevřená konvexní množina, f W G! R k je zobrazení mající derivaci v každém bodě G a necht supfjjf 0.x/jjI x 2 Gg K: Pak f je lipschitzovské s konstantou K, tj. 8a; b 2 G W jjf.b/ f.a/jj Kjjb ajj:
41 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě a i.a/, pokud i j,
42 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě a značíme i D i.a/, pokud i j, 2.a/, pokud
43 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě i i.a/, pokud i j, f.a/, 2 i D j. Analogicky značíme parciální derivace vyšších řádů.
44 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě i i.a/, pokud i j, f.a/, 2 i D j. Analogicky značíme parciální derivace vyšších řádů. Definice Necht G R n je otevřená množina, f W G! R a p 2 N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. Množinu všech funkcí f W G! R třídy C p označujeme C p.g/ a klademe C 1.G/ D T 1 pd1 Cp.G/. O funkci g řekneme, že je třídy C p na G (p 2 N [ f1g), jestliže gj G 2 C p.g/.
45 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht G R n je otevřená množina, p 2 N [ f1g a f W G! R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže jeho složky f 1 ; : : : ; f k jsou třídy C p.
46 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht G R n je otevřená množina, p 2 N [ f1g a f W G! R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže jeho složky f 1 ; : : : ; f k jsou třídy C p. Věta Necht p 2 N [ f1g, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f W G! R k, gw H! R s jsou třídy C p a platí f.g/ H. Pak zobrazení g ı f je třídy C p.
47 12.2 Derivace vyšších řádů Věta Necht f je funkce z R n do R, a 2 R n, i; j 2 f1; : : : ; ng. Jestliže @x j mají totální diferenciál v a, 2 j.a/ i.a/:
48 12.2 Derivace vyšších řádů
49 12.2 Derivace vyšších řádů
50 12.2 Derivace vyšších řádů
51 12.2 Derivace vyšších řádů
52 12.2 Derivace vyšších řádů Důsledek Necht G R n je otevřená, f je třídy C p na G (p 2 N), a 2 G, W f1; : : : ; pg! f1; : : : ; pg je permutace i 1 ; : : : ; i p 2 f1; : : : ; ng. Potom p ip : : i1.a/ p i.p/ : : i.1/.a/
53 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht n; p 2 N. Zobrazení L W.R n / p! R k se nazývá p-lineární, jestliže u 7! L.v 1 ; : : : ; v i 1 ; u; v ic1 ; : : : ; v p / je lineární zobrazení z R n do R k pro každé i 2 f1; : : : ; pg, v 1 ; v 2 ; : : : ; v i 1 ; v ic1 ; : : : ; v p 2 R n. Množinu všech p-lineárních zobrazení z.r n / p do R k značíme L p.r n ; R k /.
54 12.2 Derivace vyšších řádů Lemma Necht L 2 L p.r n ; R k /. Potom existuje C 2 R takové, že 8.u 1 ; : : : ; u p / 2.R n / p W jjl.u 1 ; : : : ; u p /jj Cjju 1 jj jju p jj:
55 12.2 Derivace vyšších řádů Lemma Necht L 2 L p.r n ; R k /. Potom existuje C 2 R takové, že 8.u 1 ; : : : ; u p / 2.R n / p W jjl.u 1 ; : : : ; u p /jj Cjju 1 jj jju p jj: Definice Normou zobrazení L 2 L p.r n ; R k / rozumíme číslo jjljj D supfjjl.u 1 ; : : : ; u p /jji jju 1 jj 1; : : : ; jju p jj 1g:
56 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je zobrazení z R n do R k, které má na jistém okolí bodu a 2 R n (jednoznačně určenou derivaci f.p 1/.x/ 2 L p 1.R n ; R k /, která je řádu p 1. Derivací p-tého řádu zobrazení f v bodě a 2 R n budeme rozumět L 2 L p.r n ; R k / splňující jjf.p 1/.a C h/ f.p 1/.a/ L.h; ; : : : ; /jj lim h!o jjhjj D 0:
57 12.2 Derivace vyšších řádů Věta Necht f je funkce z R n do R a L 2 L p.r n ; R/ je p-tou derivací f v bodě a 2 R n. Potom mají všechny parciální derivace funkce f řádu p 1 totální diferenciál v bodě a a platí L.e i 1 ; : : : ; e i p f / i1 : : ip pro každé i 1 ; : : : ; i p 2 f1; : : : ; ng.
58 12.2 Derivace vyšších řádů Důsledek Necht f je zobrazení z R n do R k a f.p/.a/ existuje. Potom je f.p/.a/ symetrické zobrazení, tj. pokud W f1; : : : ; pg! f1; : : : ; pg je permutace, pak f.p/.a/.u 1 ; : : : ; u p / D f.p/.a/.u.1/ ; : : : ; u.p/ / pro každé u 1 ; : : : ; u p 2 R n.
59 12.2 Derivace vyšších řádů Věta Necht G R n je otevřená a f W G! R k je třídy C p na G. Potom f.p/.x/ existuje pro každé x 2 G.
60 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht pro a 2 R n existuje f.p/.a/, p 2 N [ f0g. Potom Taylorovým polynomem p-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f;a p.x/ D f.a/ C px jd1 œ 1 jš f.j/.a/. x a; : : : ; x a /: j krát
61 12.2 Derivace vyšších řádů Věta (Lagrangeův tvar zbytku) Necht G R n je otevřená konvexní množina, f 2 C pc1.g/ (p 2 N [ f0g), a 2 G, x 2 G. Potom existuje ležící na úsečce spojující body a, x takové, že œ f.x/ D T f;a 1 p.x/ C.p C 1/Š f.pc1/./. x a; : : : ; x a /:.pc1/ krát
62 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/
63 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/
64 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/
65 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/
66 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/
67 12.2 Derivace vyšších řádů Věta (Peanův tvar zbytku) Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C p (p 2 N) na jistém okolí bodu a 2 R n. Potom platí f.x/ Tp f;a.x/ lim D 0: x!a jjx ajj p
68 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
69 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
70 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
71 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
72 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
73 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
74 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
75 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
76 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí:
77 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/,
78 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0,
79 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/
80 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D 0.
81 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D 0. Označíme-li toto y jako '.x/, pak ' 2 C p.u/
82 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D 0. Označíme-li toto y jako '.x/, pak ' 2 C j.x; '.x// kde j 2 f1; : : : ; ng, x 2
83 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x, ỹ] 1-1 0y x0 1-1
84 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x, ỹ]
85 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x δ 1, ỹ + ξ 1 ] [ x, ỹ] [ x + δ 1, ỹ + ξ 1 ]
86 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x δ 1,ỹ ξ 1 ] -1 0 [ x δ 1,ỹ + ξ 1 ] [ x, ỹ] [ x + δ 1,ỹ ξ 1 ] [ x + δ 1,ỹ + ξ 1 ]
87 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích 2 0 [ x, ỹ]
88 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích y x0 1-1
89 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
90 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
91 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích
92 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí:
93 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/,
94 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o,
95 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o, 1 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ : : :: : 0: m 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ ˇ
96 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o, 1 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ : : :: : 0: m 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ ˇ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R m bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D o.
97 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o, 1 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ : : :: : 0: m 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ ˇ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R m bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D o. Označíme-li toto y jako '.x/, pak ' 2 C p.u/.
98 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Definice Necht.P; / je metrický prostor, M P, x 2 M a f je funkce z P do R splňující M D.f /. Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí 8y 2 MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 MW f.y/ f.x//:
99 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Definice Necht.P; / je metrický prostor, M P, x 2 M a f je funkce z P do R splňující M D.f /. Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí 8y 2 MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 MW f.y/ f.x//: Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině M.
100 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x//:
101 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x//: Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině M.
102 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ < f.x/.resp. 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ > f.x//:
103 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ < f.x/.resp. 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ > f.x//: Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M.
104 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ < f.x/.resp. 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ > f.x//: Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M. Symbol max M f (resp. min M f ) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině M nabývá (pokud taková hodnota existuje).
105 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta Necht.P; / je metrický prostor, M P je neprázdná kompaktní množina a f W M! R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima.
106 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta Necht.P; / je metrický prostor, M P je neprázdná kompaktní množina a f W M! R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima. Věta Necht G R n je otevřená, a 2 G, j 2 f1; : : : ; ng. Necht funkce f W G! R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G).
107 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta Necht.P; / je metrický prostor, M P je neprázdná kompaktní množina a f W M! R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima. Věta Necht G R n je otevřená, a 2 G, j 2 f1; : : : ; ng. Necht funkce f W G! R má v bodě a lokální extrém (vzhledem G). Pak j.a/ neexistuje nebo je rovna nule.
108 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Lemma Necht Q W R n! R je pozitivně definitní kvadratická forma. Potom existuje " 2 R, " > 0, takové, že 8h 2 R n W Q.h/ "jjhjj 2 :
109 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o.
110 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o. Potom platí: Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.
111 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o. Potom platí: Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima. Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima.
112 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o. Potom platí: Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima. Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima.
113 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (Lagrangeova věta o multiplikátorech) Necht m; n 2 N, m < n, G R n je otevřená množina, f ; g 1 ; : : : ; g m 2 C 1.G/, M D fz 2 GI g 1.z/ D 0; g 2.z/ D 0; : : : ; g m.z/ D 0g a bod Qz 2 M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M.
114 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (Lagrangeova věta o multiplikátorech) Necht m; n 2 N, m < n, G R n je otevřená množina, f ; g 1 ; : : : ; g m 2 C 1.G/, M D fz 2 GI g 1.z/ D 0; g 2.z/ D 0; : : : ; g m.z/ D 0g a bod Qz 2 M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory rg 1.Qz/; rg 2.Qz/; : : : ; rg m.qz/ jsou lineárně závislé,
115 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (Lagrangeova věta o multiplikátorech) Necht m; n 2 N, m < n, G R n je otevřená množina, f ; g 1 ; : : : ; g m 2 C 1.G/, M D fz 2 GI g 1.z/ D 0; g 2.z/ D 0; : : : ; g m.z/ D 0g a bod Qz 2 M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory rg 1.Qz/; rg 2.Qz/; : : : ; rg m.qz/ jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla 1 ; 2 ; : : : ; m 2 R splňující rf.qz/ C 1 rg 1.Qz/ C 2 rg 2.Qz/ C C m rg m.qz/ D o:
116 12.4 Extrémy funkcí více proměnných
117 12.4 Extrémy funkcí více proměnných
118 12.4 Extrémy funkcí více proměnných
119 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U,
120 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n,
121 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n, (iii) f 2 C 1.U/,
122 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n, (iii) f 2 C 1.U/, (iv) f 1 2 C 1.W /.
123 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n, (iii) f 2 C 1.U/, (iv) f 1 2 C 1.W /. Věta (o lokálním difeomorfismu) Necht f je zobrazení z R n do R n, které je třídy C 1 na jistém okolí V bodu a 2 R n a f 0.a/ je regulární. Pak existuje otevřená množina U V obsahující bod a taková, že zobrazení f j U je difeomorfismus na U.
124 12.5. Regulární zobrazení Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení f W G! R n je regulární, jestliže (i) f 2 C 1.G/,
125 12.5. Regulární zobrazení Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení f W G! R n je regulární, jestliže (i) f 2 C 1.G/, (ii) jacobián zobrazení f je nenulový v každém bodě množiny G.
126 12.5. Regulární zobrazení Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení f W G! R n je regulární, jestliže (i) f 2 C 1.G/, (ii) jacobián zobrazení f je nenulový v každém bodě množiny G. Věta Necht G R n je otevřená a f W G! R n je zobrazení. Pak f je difeomorfismus, právě když f je regulární a prosté.
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
Uzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Matematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)
11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
![Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),](/thumbs/62/47835194.jpg "Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),")
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
OBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
Bodová a stejnoměrná konvergence
Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Základní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
Matematika B 2. Úvodní informace
Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Spojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
Funkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
a = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
Časopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16
Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září 2010 1 / 16 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální
Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
![Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1](/thumbs/103/161289080.jpg "Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1")
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +