VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ TVOŘENÝCH HYPERGRUPOU LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH OPERÁTORŮ V JACOBIHO TVARU
|
|
- Monika Valentová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ TVOŘENÝCH HYPERGRUPOU LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH OPERÁTORŮ V JACOBIHO TVARU Abstract. V práci jsou studovány hyperstruktury lineárních diferenciálních operátorů druhého řádu v Jacobiho tvaru pro konkrétní diferenciální rovnice. Tyto struktury jsou vstupní abecedou konstruovaných kvazi multiautomatů, jakožto aplikabilních struktur tvořících součást současné mezinárodní rozvíjené teorie multistruktur (nazývaných také hyperstrukturami). Dále jsou popsány specifické vlastnosti takovýchto konkrétních kvazi multiautomatů, které mohou sloužit jako prostředky pro modelování různých procesů, nebo být využity pro transfer jistého typu. V algebraické teorii jsou zkoumány různé koncepty automatů. V minulosti se automaty považovali za systémy, které mohou být použity pro přenos informací specifického typu. Automaty patří k systémům zahrnujícím modelování různých procesů. Tyto pojmy souvisejí s pojmy jako akce pologrup nebo grup na množině. V těchto případech jsou užívané termíny jako kvazi automaty nebo poloautomaty nebo jen jednoduché automaty bez výstupu, které jsou určitým zobecněním automatu Mealy typu. Připomeňme si, že automat Mealy typu je systém A = (A, X, Y, δ, λ), kde A, X, Y jsou neprázdné množiny a δ : A X A a λ : A X Y jsou funkce definované na A X. Množiny A, X, Y jsou množiny stavů, vstupů, výstupů,v daném pořadí. Funkce δ je tranzitní funkce, nebo také přechodová funkce a funkce λ je funkcí výstupní. Funkci automatu můžeme popsat následovně. Na vstup x X je aplikován stav a A automatu A. Jako následek toho přechází automat A do stavu δ(a, s) A a během této translace automat A odešle na výstup hodnotu λ(a, y) Y. Tedy tento koncept automatu je matematická interpretace reálného systému, který pracuje v diskrétním čase. Dále, když definice automatu zahrnuje rozšíření funkcí δ a λ (kartézský součin stavové množiny A a volné pologrupy slov nad vstupní abecedou X nebo výstupní abecedou Y, v daném pořadí) pak s přirozeným zobecněním, přejdeme k pojmu kvazi automat. Pro upřesnění; kvazi automat je systém A = (A, S, δ), který se skládá z neprázdné množiny A, libovolné pologrupy S a zobrazení δ: A S A takového, že δ(δ(a, r), s) = δ(a, rs) pro libovolné a A a r, s S. Toto je zřejmé zobecnění automatu bez výstupu; zejména každý automat bez výstupu A = (A, S, δ) je kvazi automat takový, že jeho vstupní pologrupa je volná. Jestliže vstupní pologrupa S kvazi automatu A = (A, S, δ) je kancelativní ( zkratitelná ) pologrupa, tj. pro libovolné r, s, t S, Key words and phrases. kvazi multiautomat, hypergrupa, diferenciální operátor, časová funkce. 38
2 VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 39 rt = st s = r, pak A = (A, S, δ) nazýváme poloautomat. Poznamenejme, že pojem kvazi automat byl zaveden S.Ginsburgem toho času pod termínem kvazi stroj, jako zobecnění automatu Mealyho typu. Zkoumání algebraických struktur zejména v nekomutativní algebře přirozeně vedlo k hyperstrukturám - také často nazývaným multistruktury. Jedna z hlavních motivací pro tento výzkum přišla z geometrie. Analýza geometrických struktur vedla k rozličným binárním hyperstukturám a to hlavně k pojmu spojnicového prostoru, který byl zkoumán Waltrem Prenowitzem, jenž společně s Jamesem Jantosciakem rozvinul některé části geometrie. Další motivace pro zkoumání hyperstruktur můžeme najít v chemii nebo nukleární fyzice. Připomeňme, že multistruktury nazývané také hyperstruktury patří k významné části moderní algebry. Zejména, hypergrupy (dříve nazývané také multigrupy) jsou vhodné zobecnění grup. Pojem hypergrupy zavedl v roce 1934, Fréderic Marty [16, 22] na 8. mezinárodním kongresu skandinávských matematiků. Teorie hyperstruktur a zejména teorie hypergrup, zasahuje několik oblastí matematiky. Zmíníme některé z nich: geometrie (deskriptivní, sférická, projektivní) uvedené v [14],grafy a hypergrafy, binární relace, uspořádané množiny a zejména svazy, uspořádané algebraické struktury, automaty, kryptografie, kódy, obecné systémy, umělá inteligence, polygroupy (aplikované v kombinatorice), pravděpodobnost, fuzzy množiny, některé další aplikace a speciální konstrukce. Uvedeme zde jen základní pojmy z této matematické teorie. Definice 1. Hypergrupoid je dvojice (H, ), kde H je neprázdná množina, binární hyperoperace je zobrazení kartézského součinu H H do systému všech neprázdných podmnožin množiny H (běžně označované P (H)). Hypergrupoid splňující axiom asociativity se nazývá polohypergrupa. Axiom asociativity: a (b c) = (a b) c pro každou trojici prvků a, b, c H (zde a M = m M a m pro každé a H, M, M H); Polohypergupa splňující axiom reprodukce se nazývá hypergrupa. Axiom reprodukce: a H = H = H a pro každé a H. Pro libovolné dvě neprázdné podmnožiny A, B množiny H definujeme jejich hypersoučin jako A B = {a b; a A, b B}. Podhypergrupoid hypergrupy (H, ) je dvojice (S, ), kde S S S H. Poznamenejme, že relace incidence neprázdných množin A, B, tedy A B, se v literatuře o hyperstrukturách obvykle označuje A B. Hypergrupa (H, ) se nazývá transpoziční hypergrupa nebo také spojnicový (nekomutativní) prostor, jestliže splňuje axiom transpozice: Pro každou čtveřici a, b, c, d H ze vztahu b \ a c/d plyne a d b c, kde množiny b \ a = {x H; a b x}, c/d = {x H; c x d} se nazývají levá a pravá extenze (někdy též levý a pravý zlomek).
3 40 V teorii o hypergrupách je prezentována jistá konstrukce kde na uspořádané komutativní grupě definujeme binární hyperoperaci pak z této grupy získáme komutativní hypergrupu. Uspořádanou grupou rozumíme trojici (G,, ), kde (G, ) je grupa a binární relace je uspořádání na G takové, že pro libovolnou trojici x, y, z G plyne z vlastnosti x y také x z y z, z x z y. V uspořádané grupě budeme symbolem [a) označovat hlavní konec generovaný prvkem a G, definovaný takto: [a) = {x G; a x}. Nyní uvedeme důležitý příklad hypergrupy determinované uspořádanou grupou (G,, ) (viz např. [1, 2, 4]). Pro každou dvojici prvků a, b G definujeme hyperoperaci na množině G takto: a b = [a b). Potom (G, ) je hypergrupa, která je komutativní, právě když grupa (G, ) je komutativní. Toto tvrzení bývá označováno v teorii hyperstruktur jako koncové lemma (např. [4, 28, 29], důkaz viz např. [2]). V jisté implicitní podobě je toto tvrzení již obsaženo v práci [34]. Ve spojení s binárními hyperstrukturami je uveden pojem multiautomatu, který je studován např. v práci [17]. Tyto speciální konstrukce tvořené vstupní hypergrupou, která je formována různými operátory (transformacemi operátorů reálných nebo komplexních funkcí, diferenciálními nebo integrálními operátory) představují předmět určitého zájmu. Použijeme jistý transfer od kvazi automatu se vstupní pologrupou do třídy kvazi multiautomatů (bez výstupu) tvořenými vstupní hypergrupou. Uvědomme si, že multiautomaty jsou akce polohypergrup nebo hypergrup na daném fázovém prostoru. Definice 2. [21] Kvazi multiautomat bez výstupu je trojice M = (H, S, δ) kde (H, ) je polohypergrupa, S je neprázdná množina a δ : H S S je tranzitní (přechodová) funkce splňující podmínku: 1) δ(b, δ(a, s)) δ(a b, s) pro všechna a, b H, s S ( podmínka obecné smíšené asociativity - GMAC (the Generalized Mixed Associativity Condition)). Množina S se nazývá stavová množina kvazi multiautomatu M, struktura (H, ) se nazývá vstupní (polo) hypergrupa kvazi multiautomatu M a δ je tranzitní funkce. Prvky množiny S se nazývají stavy, prvky množiny A se nazývají vstupní symboly (nebo také slova). Poznamenejme, že první, kdo začal v padesátých letech systematické studium vlastností globálních rovnic s odpovídající levou stranou, tj. y + p(x)y = 0, kde p C(I) byl profesor Otakar Borůvka.Pod označením C(I) (užívá se i označení C 0 (I)) budeme rozumět okruh všech spojitých funkcí na intervalu I R (kde R je interval reálných čísel) s obvyklým sčítáním a násobením funkcí. Analogicky okruh všech spojitých funkcí na intervalu I, které mají všechny derivace až do řádu k pro nějaké přirozené číslo k, budeme označovat C k (I). Symbolem C + (I) označíme podpolookruh okruhu C(I), tvořený všemi kladnými nenulovými spojitými funkcemi. V monografii [26], p. 229 je dokázáno, že pokud h je fáze a ϕ je rozptyl výše uvedené rovnice (srov. [26]), pak platí, že h a ϕ splňuje Abelovu funkcionální rovnici h(ϕ(x)) = h(x) + π sgn h. Rovnice v Jacobiho formě vedly ke zkoumání grup a hypergrup operátorů L(0, p), p C(I). Definujeme L(0, q)y = y + q(x)y. Otakar Borůvka našel kritérium globální ekvivalence pro diferenciální rovnice druhého řádu v Jacobiho tvaru, tj. y + q(x) y = 0, q C(I)
4 VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 41 Existuje cenná literatura, která je věnována této problematice z hlediska přístupu využívajícího klasické algebraické a geometrické struktury [24, 25, 26, 27, 28]. Konkrétní motivací pro zkoumání hypergrup tvořených lineárními diferenciálními operátory můžou být časové funkce [10, 11]. Časové funkce jsou zde zastoupeny konkrétními modelovacími funkcemi tvaru ϕ(t) = t n exp( λt) pro n = 2, 3. Uveďme některé příklady. Platí a ϕ (t) = (n λt)t n 1 exp( λt) ϕ (t) = ( λ 2 t 2 λnt + n(n 1))t n 2 exp( λt). Získáme diferenciální rovnici druhého řádu z rovnic uvedených výše ϕ(t) = t n exp( λt), n {2, 3,...}, λ R, tj. ϕ (t) + p(t)ϕ = 0 kde p(t) = ( λ 2 t 2 + 2λnt + n(n 1))t n 2, t 1, ) se vstupními podmínkami ϕ(1) = exp( λ), ϕ (1) = (n λ) exp( λ). Také diferenciální rovnice Gaussova pulsního signálu v(t) = a exp( 2πt 2 ).t 0, ) (cf. [33], p. 421) může být vyjádřena v Jacobiho formě tedy v (t) = 4aπt exp( 2πt 2 ), v (t) = 16aπ 2 t 2 v(t), v (t) 16aπt 2 v(t) = 0, t 0, ), s počáteční podmínkou v(0) = a, v (0) = 0. Uvedeme konkrétní příklad hyperstruktury a kvazi multiautomatu, které jsou tvořeny lineárními diferenciálními operátory Jacobiho tvaru. Tedy z výše uvedené diferenciální rovnice v (t) 16aπt 2 v(t) = 0, t 0, ) získáme operátor L(0, Ψ(a, t)) = d2 dt + 16aπt 2 Id, kde a R +. Tento diferenciální operátor odpovídá 2 levé straně diferenciální rovnice jejichž prostorem řešení je systém časových funkcí v(t) = a exp( 2πt 2 ). Věta 3. Nechť T = 0, ) je interval reálných čísel a JA 2 (T ) = { L (0, Ψ(a, t)) ; L(0, Ψ(a, t)) = d2 dt aπt2 Id }, je množina všech lineárních diferenciálních operátorů v Jacobiho tvaru - tj. L (0, Ψ(a, t)) (y) = y(t) + 16aπt 2, kde a R +. Jestliže L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t)) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t)) pro všechna L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) pak (JA 2 (T ),, ) je komutativní kvazi uspořádaná grupa. Poznámka 4. Uvádíme T místo intervalu I R používaného například v pracech [9, 10, 20, 21], jelikož zde se jedná o časovou funkci, která je definovaná pro t 0, ) = T.
5 42 Důkaz. Asociativita: Předpokládejme, že L (0, Ψ(a 0, t)), L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ), pak L (0, Ψ(a 0, t)) (L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 1 a 2, t)) = L (0, Ψ(a 0 a 1 a 2, t)) = (L (0, Ψ(a 0 a 1, t))) L (0, Ψ(a 2, t)) = (L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 1, t))) L (0, Ψ(a 2, t)). Neutrálním prvkem k prvku L (0, Ψ(a, t)) je prvek L (0, Ψ(1, t)) a inverzním prvkem je prvek L ( 0, Ψ( 1 a, t)). Uspořádání: Z definice relace plyne, že relace je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Tedy množina JA 2 (T ) je uspořádaná. Kvazi uspořádání množiny JA 2 (T ): Zbývá ověřit kvazi uspořádání množiny JA 2 (T ) s binární operací. Předpokládejme, že L (0, Ψ(a 0, t)), L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) a lineární diferenciální operátory splňují vlastnost L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t)) a L (0, Ψ(a 0, t)) je libovolný operátor. Pak z tohoto plyne proto Ψ(a 1, t) Ψ(a 2, t), pro všechna t 0, ), Ψ(a 0, t) Ψ(a 1, t) Ψ(a 0, t) Ψ(a 2, t) pro všechna t 0, ), L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 2, t)). Protože operace je komutativní nemusíme provádět výpočet z druhé strany a tedy (JA 2 (T ),, ) je komutativní kvazi uspořádaná grupa. Věta 5. Nechť T = 0, ) je interval reálných čísel, (JA 2 (T ),, ) je komutativní kvazi uspořádaná grupa. Jestliže definujeme na JA 2 (T ) hyperoperaci: L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t)) = {L (0, Ψ(b, t)) ; b R +, Ψ(a 1, t) Ψ(a 2, t) Ψ(b, t), t 0, )} pro všechna L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) pak (JA 2 (T ), )je komutativní hypergrupa (v souladu s [4] Větou 1) splňující transpoziční axiom, tedy je (JA 2 (T ), ) spojnicovým prostorem. Dále zkonstruujeme kvazi multiautomat se vstupní hypergrupou a množinou stavů, kterou tvoří lineární diferenciální operátory v Jacobiho tvaru pro konkrétní časovou funkci v(t) = a exp( 2πt 2 ). A následně popíšeme vlastnosti determinující tento konkrétní kvazi multiautomat. Věta 6. Nechť (R +, ) je hypergrupou, kde a R +. Hypergrupoid (R +, ) je hypergrupou splňující transpoziční axiom, struktura je tedy spojnicový prostor. Pak A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je kvazi multiautomat s množinou stavů JA 2 (T ) a zobrazením δ v : R + JA 2 (T ) JA 2 (T ) definovanou tímto způsobem δ v (a 1, L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t))
6 VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 43 Důkaz. Z věty 3.2 [32] plyne, že hypergrupoid (R +, ) s binární hyperoperací a 1 a 2 = [αa 1 + βa 2 ) [α,β] R + R + splňuje transpoziční axiom. Pak hypergrupa (R +, ) je spojnicový prostor. Ukažme, že struktura A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) splňuje podmínku GMAC (the Generalized Mixed Associativity Condition). Předpokládejme, že L (0, Ψ(a, t)) JA 2 (T ) a a 1, a 2 (R +, ) Výpočet levé strany: δ v (a 1, δ v (a 2, L (0, Ψ(a, t)))) = δ v (a 1, L (0, Ψ(a a 2, t))) = L (0, Ψ(a a 2 a 1, t)) Výpočet pravé strany: δ v (a 1 a 2, L (0, Ψ(a, t))) = δ v ( [α,β] R + R + [αa 1 βa 2 ), L (0, Ψ(a, t))) = {L (0, Ψ(a b, t)) ; α, β R + : αa 1 βa 2 b}. Pro α = β = 1 a dále b = a 1 a 2 máme L (0, Ψ(a b, t)) δ v (a 1 a 2, L (0, Ψ(a, t))) Struktura A v splňuje GMAC a je tedy kvazi multiautomatem. Definice 7. [21] Každý kvazi multiautomat A = (H, S, δ) je: Abelovský (nebo komutativní) když δ(s, x y) = δ(s, y x) pro všechny trojice [s, x, y] S H H, Cyklický když existuje stav s S takový že pro všechny stavy t S existuje prvek a H s vlastností δ(s, a) = t. Navíc jestliže množina všech generátorů A je přesně množina S pak kvazi multiautomat je silně souvislý. Lemma 8. Nechť T = 0, ) je interval reálných čísel. Pak kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je abelovský, cyklický a následně silně souvislý. Důkaz. Předpokládejme, že L (0, Ψ(a 1, t)) JA 2 (T ) a dále b, c R +. Pak b c = α R [α b c) a δ v : R + JA 2 (T ) JA 2 (T ) definujeme δ v (a 1, L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t)) Je evidentní že hyperoperace na R + je komutativní, tedy platí že δ v (L (0, Ψ(a, t)), b c) = δ v (L (0, Ψ(a, t)), c b) Potom kvazi multiautomat je abelovský (nebo komutativní). Nyní ukážeme, že struktura A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je cyklická a následně i silně souvislá. Předpokládejme, L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) a dále b, R +. Zobrazení δ v : R + JA 2 (T ) JA 2 (T ) definovanou tímto způsobem δ v (a 1, L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t)). Pak δ v (L (0, Ψ(a 1, t)), b) = L (0, Ψ(a 1 b, t)); pro a 1 = a2 b, máme ( δ v (L (0, Ψ(a 1, t)), b) = L (0, Ψ(a 1 b, t)) = L 0, Ψ( a ) 2 b b, t) = L (0, Ψ(a 2, t)). Tedy kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je cyklický.
7 44 Z výše uvedeného vyplývá, že kvazi multiautomat A v je silně souvislý. Tedy pro každou dvojici stavů L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) existuje vstupní symbol (slovo) b R + s vlastností δ v (b, L (0, Ψ(a 1, t))) = L (0, Ψ(a 2, t)). Definice 9. Kvazi multiautomat A = (H, S, δ) se nazývá transitivní, když je splněna následující podmínka: Pro všechna (s, t) S S existuje automorfismus ρ kvazi multiautomatu A (tj. ρ : S S je bijekce taková, že ρ(δ(s, x)) = δ(ρ(s), x) pro každé s S a každé x H). Lemma 10. Kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je transitivní, tj. automorfismus grupy Aut(A v ) na stavové množině JA 2 (T ) působí transitivně. Důkaz. Pro všechna r R + definujeme Λ r : A v A v jako Λ r (L (0, Ψ(a, t))) = L (0, Ψ(a r, t)). Zobrazení Λ r je evidentně bijektivní a pro všechny operátory L (0, Ψ(a, t)) JA 2 (T ) a všechna reálná čísla r R + máme δ v (λ r (L (0, Ψ(a, t))), b) = δ v (L (0, Ψ(a r, t)), b) = L (0, Ψ((a r) b, t)) = L (0, Ψ(a r b, t)) = λ r (L (0, Ψ(a b, t))) = λ r (δ v (L (0, Ψ(a, t)), b)) tedy Λ r Aut(A v ). Nyní, když L (0, Ψ(a, t)) JA 2 (T ), L (0, Ψ(b, t)) JA 2 (T ) jsou libovolné operátory, pak a, b R + a definujeme r = b a získáme r R+ a λ r (L (0, Ψ(a, t))) = L (0, Ψ(a r, t)) = L (0, Ψ(b, t)) Kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je transitivní. Lemma 11. Nechť tranzitivní kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je kvaziperfektní, právě tehdy když je silně souvislý. Poznámka 12. Výše bylo dokázáno, že A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je tranzitivní a silně spojitý kvazi multiautomat, a tedy kvazi multiautomat A v je kvaziperfektní. Pro úplnější informaci čtenáře je připojen poměrně rozsáhlý seznam literatury související se studovaným tématem. References [1] BERÁNEK, J., CHVALINA, J.: Invariantní podgrupy grup obyčejných lineárních diferenciálních operátorů druhého řádu, Acta Mathematica 13, Fac. Nat. Sci. Univ. Nitra (2010), p ISBN: [2] CHVALINA, J.: Funkcionální grafy, kvaziuspořádané množiny a komutativní hypergrupy, Masarykova Universita Brno ISBN [3] CHVALINA, J.: Infinite multiautomata with phase hypergroups of various operators. In 10th International Congress on Algebraic Hyperstructures and Applications, Brno (2008), p ISBN: [4] CHVALINA, J., CHVALINOVÁ, L.: Join spaces of linear differential operators of the second order. Folia FSN Universitatis Masarykiane Brunensis, Mathematica 13, Colloquium on Differential and Difference Equations, Brno (2002), p ISBN: [5] CHVALINA, J., MOUČKA, J.: Actions of join spaces of continuous functions on hypergroups of second-order linear differential operators, In 6th Workshop, Fac. of Civil Engin. Brno University of Technology, Brno (2003), p. 9. ISBN: [6] CHVALINA, J., MOUČKA, J., VÉMOLOVÁ, R.: Funktoriální přechod od kvaziautomatů k multiautomatům, Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, on CD ROM, University of Defence, Brno (2006), p. 8. ISBN:
8 VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 45 [7] CHVALINA, J., RAČKOVÁ, P.: Join spaces of smooth functions and their actions on transposition hypergroups of second order linear differential operators, In Aplimat Journal of Applied Math (2008), No. 1, p ISBN [8] CHVALINA, J., HOŠKOVÁ-MAYEROVÁ, Š.: General ω-hyperstructures and certain applications of those, Ratio Math. 23 (2012), p ISSN: [9] CHVALINA, J., KŘEHLÍK, Š.: Normal subhypergroups of hypergroups of ordinary linear second-order differential operators, South Bohemia Math. Letters Vol. 20 (2012), No. 1, p ISSN: [10] CHVALINA, J., KŘEHLÍK, Š.: Compactness of intervals of real numbers and the invertibility of certain hyperstructures, Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, University of Defence, Brno (2013). [11] CHVALINA, J., KŘEHLÍK, Š., NOVÁK, M.: Modelling of non-periodic impulses and the Mellin integral transformation. Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, University of Defence, Brno (2012), p ISBN: [12] CORSINI, P.: Prolegomena of Hypergroup Theory. Aviani Editore, Italy ISBN: [13] CORSINI, P., LEOREANU FOTEA, V.: Applications of Hyperstructures Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London ISBN: [14] DAVVAZ, B., LEOREANU FOTEA, V.: Hyperring theory and Applications. Hadronic Press, Palm Harbor, Fl. U.S.A ISBN: [15] DAVVAZ, B.: Polygroup Theory and Related Systems. World Scientific, New Jersey London Singapore Shanghai Hong Kong ISBN: [16] DRESHER, M., ORE, O.: Theory of multigroups. Amer. J. Math. 60 (1938), p [17] HOŠKOVÁ, Š., CHVALINA, J.: Discrete transformation hypergroups and transformation hypergroups with phase tolerance space. Discrete Math. 308 (2008), p ISSN: X. [18] JANTOSCIAK, J.: Transposition hypergroups: Noncommutative join spaces. J. of Algebra. Vol.187 (1997), p ISSN: [19] JANTOSCIAK, J.: Transposition in hypergroups. Sixt Internat. Congress on AHA, Democritus Univ. of Thrace Press, Greece, p ISBN: [20] KŘEHLÍK, Š.: Hypergroups of second-order differential operators in the Jacobi form and multi-quasiautomata. EEICT, Proc. 18th Conf. Vol. 3(2012), p ISBN: [21] KŘEHLÍK, Š.: Quasi automata formed by continuous function and by second order linear differential operators in the Jacobi form. EEICT, Proc. 19th Conf. Vol. 3(2013), p ISBN: [22] MARTY, F.: Sur une généralization de la notion de groupe. Huitie me congre s des mathématiciens scandinaves, Stockholm (1934), p [23] MESAROVIĆ, M.D. TAKAHARA, Y.: General System Theory. A Mathematical Foundations. Academic Press, New York ISBN: X. [24] NEUMAN, F.: Distribution of zeros of solutions of y = q(t)y in relation to their behavior in large. Studia Sci. Math. Hungar. Vol.8, (1973), p ISSM: [25] NEUMAN, F.: Global theory of ordinary linear differential homogeneous equations in the real domain. Math. Inst. Czechoslovakian Academy of Sciences, Branch Brno (1987), p. 50. [26] NEUMAN, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations. Academia - Praha, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht /Boston / London, ISBN [27] NEUMAN, F.: On a representations of linear differential equations. Mathematical and Computer Modelling Vol.52, (2010), p ISSN: [28] NOVÁK, M.: Potential of the Ends lemma to create ringlike hyperstructures from quasiordered (semi)hypergroups. South Bohemia Math. Letters Vol.17, No 1, (2009), p ISSN: [29] NOVÁK, M.: The notion of Ends lemma based hyperstructures. Aplimat Journal of Applied Math. Vol.3, (2010), p ISBN: [30] NOVÁK, M.: Some basic properties of EL-hyperstructures. European J. of Combinatorics Vol.34, (2013), p ISSN:
9 46 [31] PRENOWITZ, W., JANTOSCIAK, J.: Geometries and join spaces. J. Reine Angew. Math, Vol.257, (1972), p [32] RAČKOVÁ, P.: Hypergroups of symmetric relations. 10th Internat. Congress on Algebraic Hyperstructures and Appl. Proc. of Contributions Univ. of Defence Brno (2008), p ISBN [33] SIEBERT, W. McC.: Circuits, Signals, and Systems. The MIT Press, McGraw-Hill Book Company, New York- San Francisco Montreal Toronto, ISBN: [34] VOUGIOUKLIS, T.: Representations of hypergroups by generalized permutations. Algebra Universalis, Vol.29, (1992), p ISSN: [35] VOUGIOUKLIS, T.: Hyperstructures and their Representations. Monographs, Hadronic Press, Palm Harbor, Fl. U.S.A ISBN X. Department of Mathematics, FEEC, Brno University of Technology, Brno, Czech Republic address:
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VícePodklady pro habilitační řízení
Podklady pro habilitační řízení (Aplikovaná matematika) RNDr. Michal Novák, Ph.D. Obsah Autoevaluační kritéria 1 Přehled publikační činnosti 4 Uznání vědeckou komunitou 12 Pedagogická praxe 23 Vedení vědeckých
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Akce grupy Brno 2009 Lenka Macálková Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala zcela samostatně
VíceSTRUKTUROVANÉ MULTISYSTÉMY A MULTIAUTOMATY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF MATHEMATICS
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceProgram konference MITAV 2015 (Matematika, Informační Technologie a Aplikované Vědy)
Program konference MITAV 2015 (Matematika, Informační Technologie a Aplikované Vědy) Nad konferencí převzal záštitu primátor statutárního města Brna Ing. Petr Vokřál. Klub Univerzity obrany v Brně Šumavská
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
VíceJarní škola Kombinatorika na slovech. 31. května 6. června 2015 Rejvíz, Zlaté Hory
Jarní škola Kombinatorika na slovech 31. května 6. června 2015 Rejvíz, Zlaté Hory Program konference Pondělí 1.6. 09.00 09.15 Zahájení konference 09.15 10.15 Tomáš Hejda Tisíc tváří pozičních numeračních
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
VícePřevedení okrajové úlohy na sled
Převedení okrajové úlohy na sled úloh počátečních 1 Jiří Taufer Abstrakt Tento příspěvek je věnován řešení okrajových problémů pro soustavu okrajových obyčejných diferenciálních lineárních rovnic metodami,
VíceO TOPOLOGII NA OBJEKTU TYPU TŘÍDA
Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensis, Ser. C, 2008, no.12, pp. 7-15 7 O TOPOLOGII NA OBJEKTU TYPU TŘÍDA Jiří Havlík, Běla Šikulová Katedra matematiky a fyziky, Univerzita obrany Kounicova 65, 612 00 Brno,
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceMinkowského operace a jejich aplikace
KMA FAV ZČU Plzeň 1. února 2012 Obsah Aplikace Minkowského suma Minkowského rozdíl Minkowského součin v E 2 Minkowského součin kvaternionů Akce 22. 6. 1864-12. 1. 1909 Úvod Použití Rozmist ování (packing,
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 26. Deformace a věty izomorfismu grup In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 192--197.
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceLineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceKarta předmětu prezenční studium
Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 714-0513 Garantující institut: Garant předmětu: Vybrané kapitoly z matematiky (VKM) Katedra matematiky a deskriptivní geometrie doc. RNDr.
VíceMatematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami
5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si
VíceSeminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceZáklady algebraických specifikací
Základy algebraických specifikací Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 1/19 Příklad (Připomenutí) Řešení rovnice ax = b, a 0, probíhá stejně v Q, v R, v C, i v jakémkoli
VíceLineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008
Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceFakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická. Okruhy otázek pro státní závěrečné zkoušky. Bakalářské studium
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Okruhy otázek pro státní závěrečné zkoušky Bakalářské studium Informatika se zaměřením na vzdělávání Bc. Matematika: Funkce, její průběh a vlastnosti. Popisná
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
VícePřehled odborné činnosti Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie za r. 2007
Přehled odborné činnosti Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie za r. 2007 Personální obsazení ústavu: Profesor Josef Daněček, Josef Diblík Docenti Josef Dalík, Jiří Novotný, Václav Tryhuk, Jiří Vala
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
VíceMOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VícePetr Hájek and Fuzzy Logic in this Country
Institute of Computer Science Academy of Sciences of the Czech Republic ManyVal 2013, Prague Petr Hájek s books P. Vopěnka, P. Hájek: The Theory of Semisets. Academia Praha/North Holland Publishing Company,
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceTřída: VI. A6 Mgr. Pavla Hamříková VI. B6 RNDr. Karel Pohaněl Schváleno předmětovou komisí dne: Podpis: Šárka Richterková v. r.
MATURITNÍ TÉMATA Školní rok: 2016/2017 Ředitel školy: PhDr. Karel Goš Předmětová komise: Matematika a deskriptivní geometrie Předseda předmětové komise: Mgr. Šárka Richterková Předmět: Matematika Třída:
VícePoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
VíceŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických
Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
Vícey n+1 = g(x n, y n ),
Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice
VíceStatistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.
Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
VíceMEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE
MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE September 2017 (číslo 4) Ročník piaty ISSN 1339-3189 Kontakt: info@mladaveda.sk, tel.: +421 908 546 716, www.mladaveda.sk Fotografia na obálke: Altenberger
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VícePublikační a odborná činnost
Publikační a odborná činnost Knihy Binterová H., Fuchs E. (2004): Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště, Praha: Prometheus, ISBN 80-7196-294-5. Binterová H., Fuchs, E. (2006).
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
VíceCyklické grupy a grupy permutací
Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:
VíceRIGORÓZNÍ ŘÍZENÍ NA MATEMATICKÉ SEKCI PŘÍRODOVĚDECKÉ FAKULTY MASARYKOVY UNIVERZITY POŽADAVKY K RIGORÓZNÍM ZKOUŠKÁM
RIGORÓZNÍ ŘÍZENÍ NA MATEMATICKÉ SEKCI PŘÍRODOVĚDECKÉ FAKULTY MASARYKOVY UNIVERZITY POŽADAVKY K RIGORÓZNÍM ZKOUŠKÁM Státní rigorózní zkoušku uchazeč vykoná z jednoho oboru v souladu se zaměřením své rigorózní
Víceequations I. In Proceedings of 7th International Conference APLIMAT Bratislava, FME STU p ISBN
1. BAŠTINEC, J.; DIBLÍK, J. Oscillating and Positive Solutions of Linear Discrete Equations. In Winter conference on difference equations 2009. Homburg, TU München, Germany. 2009. p. 2-4. 2. BAŠTINEC,
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceAlternativní přístup k analýze vícefaktorových dat
Alternativní přístup k analýze vícefaktorových dat Kamila Fačevicová 1, Peter Filzmoser 2, Karel Hron 1 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého
VícePokyny pro autory. (Times, 14, tučně, kapitálky) (Times, 10, tučně, kurzívou) (Times, 10, normálně)
Pokyny pro autory Doporučujeme všem autorům, aby pro psaní článku použili předem definovaný vzor šablony pro autory, která je již upravena dle požadavků. Šablona pro psaní článků je pevně definovaná, zvolené
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
VíceMNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.
MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceAPLIKACE V ROBOTICE. 1. Úvod
Kvaternion 1 (2012), 3 8 3 O DIFERENCIÁLNÍCH ROVNICÍCH SE ZPOŽDĚNÍM APLIKACE V ROBOTICE PETR TOMÁŠEK Abstrakt. V tomto článku jsou prezentovány některé zajímavé kvalitativní vlastnosti řešení diferenciálních
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceJednoduché specifikace
Jednoduché specifikace Jiří Velebil: X01DML 10. prosince 2010: Jednoduché specifikace 1/19 Příklad (Připomenutí) Řešení rovnice ax = b, a 0, probíhá stejně v Q, v R, v C, i v jakémkoli Z p, p prvočíslo.
VíceFAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy
FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Teorie programovacích jazyků Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy Ak.rok: 2008/2009 Jiří Koutný Abstrakt Následující text je projektem do
VíceGymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceFibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceMODELOVÁNÍ V EPIDEMIOLOGII
MODELOVÁÍ V EPIDEMIOLOGII Radmila Stoklasová Klíčová slova: Epidemiologie, modelování, klasický epidemiologický model, analýza časových řad, sezónní dekompozice, Boxův Jenkinsovův model časové řady Key
Více1. Publikační činnost přehled publikací v následující skladbě
OBSAH BILANCE TVŮRČÍ ČINNOSTI AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ FLKŘ za období posledních 2 let, tj. Ing. Martin Hart, Ph.D. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VíceRELATIONAL DATA ANALYSIS
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO RELATIONAL DATA ANALYSIS RADIM BELOHLAVEK, JAN OUTRATA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM
VíceGoogle PageRank: Relevance webových
Google PageRank: Relevance webových stránek a problém vlastních čísel Bakalářská práce Studijní program: Studijní obory: Autor práce: Vedoucí práce: B1101 Matematika 7504R015 Matematika se zaměřením na
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jaroslav Kurzweil Diferenciální rovnice v ČSR v letech 1945-1985 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 32 (1987), No. 3, 138--145 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139898
VíceTEORIE GRAFŮ. Petr Kovář
TEORIE GRAFŮ Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita
VíceFI MU. Automaty nad nekonečnými slovy. Fakulta informatiky Masarykova univerzita. Učební text FI MU verze 1.0
Ð Û Å«Æ ±²³ µ ¹º»¼½¾ Ý FI MU Fakulta informatiky Masarykova univerzita Automaty nad nekonečnými slovy Mojmír Křetínský Učební text FI MU verze 1.0 Copyright c 2002, FI MU prosinec 2002 Obsah 1 Büchiho
VíceACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIV 1 Číslo 3, 006 Předpoklady Petriho sítí k modelování logistických
VícePermutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17
Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou
VíceAutomaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků
2 utomaty a gramatiky Roman Barták, KTML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na zopakování Víme, co je konečný automat = (Q,X,δ,q,F) Umíme konečné automaty charakterizovat (Myhill-)Nerodova
Více1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:
1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto
VíceFormální konceptuální analýza
moderní metoda analýzy dat 14. října 2011 Osnova Informatika 1 Informatika 2 3 4 Co je to informatika? Co je to informatika? Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes.
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek Poznámky k postgraduálnímu studiu matematiky učitelů škol 2. cyklu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 6, 363--366 Persistent
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Více