Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n."

Transkript

1 Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004

2 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005

3 Největší životní umění je neoptimalizovat konstantní funkce. Předmluva Tato skripta jsou určena pro posluchače bakalářského a magisterského studia odborné matematiky a matematické ekonomie. Svým rozsahem odpovídají přednášené látce v předmětu Matematické programování a pokrývají i část předmětu Optimalizace. Učební text vznikl na základě přednášek autora na Přírodovědecké fakultě MU Brno v letech Text byl připraven sázecím systémem TEX ve formátu LATEX 2ε. Brno, říjen 2005 Autor iii

4

5 Obsah 1 Úvod Základní pojmy Základní pojmy z konvexní analýzy a teorie optimalizace Základní pojmy z numerické minimalizace Konvexní množiny Základní pojmy Oddělování konvexních množin Krajní body konvexních množin Kombinatorické a topologické vlastnosti konvexních množin Cvičení Konvexní funkce Základní vlastnosti konvexních funkcí Kriteria konvexnosti diferencovatelných funkcí Spojitost a směrová derivace konvexních funkcí Další vlastnosti konvexních funkcí Subgradient a subdiferenciál Fenchelova transformace Systémy konvexních a afinních nerovností Cvičení Nutné a dostatečné podmínky optimality Extrémy konvexních funkcí Lagrangeův princip Dualita v úlohách matematického programování Závislost řešení úlohy matematického programování na parametrech Cvičení v

6 Kapitola 1 Úvod 1.1 Základní pojmy Nechť X R n a f : X R. V celém textu se budeme zabývat hledáním bodu množiny X, ve kterém funkce f nabývá svého minima resp. maxima na X, v některých případech pro nás tento bod nebude podstatný, nýbrž budeme pouze hledat hodnotu f = inf x X f(x) (resp. f = supx X f(x)). Celou problematiku budeme nejdříve studovat z teoretického pohledu, budeme hledat nutné a postačující podmínky pro to, aby bod x X byl bodem minima funkce f na X (úlohu hledání maxima funkce f nebudeme až na vyjímky v kapitole o dualitě vyšetřovat, neboť hledání maxima funkce f je ekvivalentní hledání minima funkce f), ve druhé části textu budou tyto teoretické poznatky využity při konstrukci numerických metod minimalizace. Základní minimalizační úlohu budeme zapisovat ve tvaru f(x) min, x X. (1.1) Funkci f budeme nazývat cílovou funkcí (jiná terminologie je účinková resp. účelová funkce), množinu X nazýváme přípustnou množinou, body x X budeme nazývat přípustnými body nebo přípustnými řešeními a číslo f = inf x X f(x) nazýváme hodnotou úlohy (1.1) (je-li X =, klademe f = ). Definice 1.1. Bod x X nazveme bodem globálního minima nebo také řešením úlohy (1.1), jestliže f(x ) f(x) pro všechna x X. Bod x X nazveme bodem lokálního minima nebo také lokálním řešením úlohy (1.1)), jestliže existuje okolí O ε (x ) = {x R n : x x < ε} bodu x takové, že f(x ) f(x) pro každé x X O ε (x ). Jsou-li výše uvedené nerovnosti ostré pro x x, mluvíme o ostrých globálních resp. lokálních minimech. Nyní připomeňme základní tvrzení týkající se nutných a postačujících podmínek pro existenci globálního, resp. lokálního, minima funkce f na X. Důkazy těchto tvrzení je možno nalézt např. v [6, 13]. 1

7 Věta 1.2. ( Weierstrassova věta). Nechť X R n je kompaktní (tj. uzavřená a ohraničená) a f je spojitá na X. Pak existují body globálního minima a maxima funkce f na X. Hledáme-li pouze řešení úlohy (1.1) (tj. body maxima nás nezajímají), můžeme předpoklady Věty 1.2 poněkud zeslabit. Věta 1.3. Nechť X R n je kompaktní a f je zdola polospojitá na X (t.j. pro každé x 0 X a každou posloupnost x n X, pro níž x n x 0 platí lim inf f(x n ) f(x 0 )). Pak existuje globální řešení úlohy (1.1). Věta 1.4. Nechť f : R n R je diferencovatelná v bodě x 0 a x 0 je lokálním extrémem funkce f. Pak f (x 0 ) = x 1 f(x 0 ). x n f(x 0 ) = 0. Věta 1.5. Nechť f je dvakrát spojitě diferencovatelná na R n, f (x 0 ) = 0 a (symetrická) matice ( f 2 ) n f (x 0 ) = (x 0 ) x i x j i,j=1 je pozitivně definitní. Pak x 0 je bodem ostrého lokálního minima funkce f. Věta 1.6. Nechť X R n je kompaktní a f je spojitá na X. Pak f nabývá svého minima a maxima na X ve stacionárním bodě ležícím uvnitř X nebo v některém hraničním bodě množiny X. Z předchozích vět by se mohlo zdát, že je již vybudován dostatečně silný teoretický aparát k rozpracování numerických metod řešení úlohy (1.1) (exaktní analytické řešení této úlohy lze v praktických případech nalézt jen zřídka). Z pohledu numerických metod však již pouhé hledání stacionárních bodů funkce může být obtížným numerickým problémem, který je často obtéžnější, než numerické zvládnutí přímých minimalizačních metod. Tyto metody vyžadují teoretický základ, který je poněkud odlišný od obsahu vět a v tomto textu je prezentován v kapitole IV. 1.2 Základní pojmy z konvexní analýzy a teorie optimalizace Ve druhé a třetí kapitole tohoto textu budeme věnovat pozornost základům konvexní analýzy, kde budeme studovat základní vlastnosti konvexních množin a konvexních funkcí. Připomeňme, že množina X R n se nazývá konvexní, jestliže pro každé x 1, x 2 X a každé λ [0, 1] je λx 1 +(1 λ)x 2 X. 2

8 Je-li X R n konvexní, řekneme, že funkce f : X R je konvexní na X, jestliže f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ), pro každé x 1, x 2 X a každé λ [0, 1]. Následující věta zdůvodňuje důležitost konvexních funkcí v extremálních úlohách. Věta 1.7. Nechť (1.1) je konvexní úloha, tj. X je konvexní a f je konvexní na X. Je-li x lokální řešení úlohy (1.1), pak je i jejím globálním řešením. Důkaz. Je-li x lokálním řešením, existuje ε-ové okolí O ε (x ) bodu x takové, že f(x ) f(x) pro x O ε (x ) X. Nyní nechť x X, x x je libovolné. ε Zvolme λ = min{ x x, 1}. Pak pro x = λx + (1 λ)x je x x ε, tedy f(x ) f( x) λf(x)+(1 λ)f(x ) a odtud snadnou úpravou f(x ) f(x). Další tvrzení charakterizující význačnost konvexních funkcí v extremálních úlohách jsou uvedena v kapitolách III. a IV. S některými pojmy z teorie optimalizace se již čtenář setkal v kursu lineárního programování. Zde se zavádí pojem duální úlohy, studuje se souvislost této úlohy s původní, primární, úlohou, byl zde prezentován i praktický výpočetní algoritmus pro řešení úlohy lineárního programování. V kapitole IV. tohoto textu věnované teoretickým základům řešení extremálních úloh typu (1.1) uvedeme tvrzení která jsou zobecněním vět z předchozího odstavce, zavedeme pojem duální úlohy k obecné úloze matematického programování a ukážeme, že mezi těmito úlohami je podobný vztah jeko mezi primární a duální úlohou v lineárním programování. Tato tvrzení představují teoretický aparát řešení extremálních úloh. Tyto teoretické poznatky jsou pak využity ke konstrukci numerických metod řešení extremálních úloh, které jsou obsahem kapitol VI. a VII. 1.3 Základní pojmy z numerické minimalizace Numerické metody řešení úlohy (1.1) je možno rozdělit zhruba do dvou skupin. Jednodušší případ, kdy X = R n (tzv. nepodmíněná minimalizace), je probírán v VI. kapitole, v následující VII. kapitole je studován složitější případ X R n (tzv. podmíněná minimalizace). Pro oba případy je společné schéma postupu. Je dán bod x 0 X (tzv. počáteční aproximace) a konstruuje se posloupnost {x k } zadaná předpisem x k+1 = x k + α k h k, (1.2) kde α k R + je tzv. délka k-tého kroku, h k je směr k-tého kroku. Jednotlivé numerické metody se liší způsobem výběru směru h k a délky α k k-tého 3

9 kroku. Přirozeným požadavkem, jehož splnění při konstrukci posloupnosti {x k } požadujeme, je lim f(x k) = f = inf f(x). k x X Libovolná posloupnost {x k }, x k X, mající tuto vlasnost se nazývá minimalizující posloupnost úlohy (1.1). Hlavními problémy, které studujeme v souvislosti s jednotlivými numerickými metodami jsou předpoklady na funkci f a množinu X, za kterých je posloupnost {x k } zadaná vztahem (1.2) při daném výběru směru h k a délky α k k-tého kroku vskutku minimalizující posloupností, vyšetřuje se konvergence této posloupnosti, popřípadě rychlost této konvergence. Poznamenejme ještě, že důležitým případem výběru délky kroku α k je tzv. jednorozměrná minimalizace, kdy α k se vybírá podle pravidla f(x k + α k h k ) = min α>0 f(x k + αh k ). Numerickým metodám jednorozměrné minimalizace je věnována V. kapitola. 4

10 Kapitola 2 Konvexní množiny V této kapitole jsou uvedeny základní vlastnosti konvexních množin, zhruba v rozsahu potřebném k výkladu teorie konvexního programování a zejména teorie duality v matematickém programování. Nejdůležitější částí kapitoly je odstavec o oddělování konvexních množin, neboť jeho výsledky tvoří základ konvexního programování. Naopak, výsledky odstavce týkajícího se kombinatorických a topologických vlastností konvexních množin nejsou v dalším textu bezprostředně využity, protože jsou však součásti většiny standardních textů věnovaných konvexní analýze, je zde uveden alespoň přehled nejdůležitějších výsledků z této oblasti. 2.1 Základní pojmy Definice 2.1. Nechť X R n. Množina X se nazývá konvexní, jestliže pro všechna x 1, x 2 X a pro každé λ [0, 1] je λx 1 + (1 λ)x 2 X, tj. s libovolnými dvěma body x 1, x 2 X leží v X celá úsečka spojující tyto dva body. Přímo z definice konvexní množiny plynou následující jednoduchá tvrzení. Věta 2.2. (i) Nechť I je libovolná indexová množina a množiny X i jsou konvexní pro každé i I. Pak je množina i I X i konvexní. (ii) Nechť X 1,..., X m jsou konvexní množiny, α 1,..., α m R. Pak množina α 1 X α m X m := { x R n : x = } α i x i, x i X i. je také konvexní. K vyšetřování vlastností konvexních množin zaveďme následující pojmy. 5

11 Definice 2.3. Množina X R n se nazývá: (i) kužel, jestliže pro každé x X a pro každé λ [0, ) je λx X, (ii) konvexní kužel, jestliže je současně konvexní množinou i kuželem. (iii) affinní, jestliže pro každé x 1, x 2 X a pro každé λ R je λx 1 + (1 λ)x 2 X, tj. X s libovolnými dvěma body obsahuje i celou přímku určenou těmito dvěma body. Dále budeme používat následující terminologii pro lineární kombinaci bodů z R n. Definice 2.4. Nechť x 1,..., x m R n. Lineární kombinace λ 1 x 1 + +λ m x m se nazývá (i) konvexní, je-li λ i 0 a m k=1 λ i = 1, (ii) nezáporná, je-li λ i 0 pro všechna i = 1... m, (iii) afinní, je-li m k=1 λ i = 1. Budeme rovněž používat pojem konvexního (kuželového, afinního) obalu množiny, což je nejmenší (vzhledem k inkluzi) konvexní (kuželová, afinní) množina obsahující danou množinu. Definice 2.5. Nechť X R n. (i) Průnik všech konvexních množin obsahujících množinu X se nazývá konvexní obal množiny X a značí se conv X. (ii) Průnik všech konvexních kuželů obsahujících X se nazývá kuželový (kónický) obal množiny X a značí se cone X. (iii) Průnik všech afinních množin obsahujících X se nazývá afinní obal množiny X a značí se aff X (iv) Zaměření afinního prostoru aff X nazýváme lineární obal množiny X a značíme Lin X, dim X označuje dimenzi prostoru Lin X. Všimněme si, že je-li X = {x 1,..., x m } R n, pak podle předchozí definice Lin X není množina všech lineárních kombinací prvků x 1,..., x m, nýbrž lineárních kombinací prvků x 2 x 1,..., x m x 1. Tato definice lineárního obalu, lišící se od definice obvykle používané v lineární algebře, nám umožní jednodušší formulaci vlastností konvexních množin. Dále připomeňme, že je-li x 0 aff X libovolný, je Lin X = {x = x x 0, x aff X}, a že každý afinní prostor můžeme popsat pomocí řešení jistého systému nehomogenních lineárních rovnic tvaru Ax = b, kde x R n, b R m a A je matice typu m n. Odtud zejména vidíme, že libovolná afinní množina je uzavřená. Věta 2.6. Nechť X R n. Je-li X konvexní množina (konvexní kužel, affinní prostor), pak libovolná konvexní (nezáporná, afinní) kombinace prvků z X je opět prvkem množiny X. 6

12 Důkaz. Dokážeme pouze tvrzení pro konvexní kombinace, důkaz zbývajících dvou tvrzení je analogický. Pro m = 2 je tvrzení totožné s definicí konvexní množiny. Pro m > 2 postupujeme indukcí. Nechť tedy x = m+1 λ ix i je konvexní kombinace bodů x 1,...., x m+1 X. Je-li λ m+1 = 1, tj. λ 1 = = λ m = 0, je tvrzení triviální a pro λ m+1 < 1 platí x = (1 λ m+1 ) Podle indukčního předpokladu je x := m X. λ i 1 λ m+1 x i + λ m+1 x m+1. λ i 1 λ m+1 x i X a tedy i x Následující věta popisuje obaly množiny X pomocí lineárních kombinací bodů této množiny. Věta 2.7. Nechť X R n. Platí conv X = { x = cone X = { x = aff X = { x = λ i x i : x 1,..., x m X, λ 1,..., λ m 0, λ i x i : x 1,..., x m X, λ i 0 }, λ i x i : x 1,..., x m X, λ i = 1 }, λ i = 1 }, tj. conv X (cone X, aff X) je roven množině všech konvexních (nezáporných, afinních) kombinací prvků z X. Důkaz. Tvrzení opět dokážeme pouze pro konvexní obal, důkaz dalších dvou tvrzení je analogický. Označme Z množinu stojící na pravé straně dokazované množinové rovnosti. Dokážeme inkluze Z conv X, Z conv X. : Množina Z je konvexní. Vskutku, jsou-li z 1, z 2 Z, tj. z 1 = α i x i, z 2 = k β i y i, kde x i, y i X, α i, β i 0, m α i = 1 = k β i a λ [0, 1], pak z = λz 1 + (1 λ)z 2 = λα i x i + k (1 λ)β i y i Z, neboť λα i, (1 λ)β i 0 a λ m α i+(1 λ) k β i = 1. Protože evidentně X Z, platí conv X conv Z = Z. 7

13 : Nechť Y je libovolná konvexní množina, taková, že X Y. Podle věty 2.6 je libovolná konvexní kombinace prvků z Y prvkem Y, což spolu s inkluzí X Y implikuje Z Y. Protože Y X byla libovolná, conv X = Y Z, tj. conv X Z. Y X V předchozí větě jsme popsali obaly množiny X R n pomocí příslušných lineárních kombinací bodů této množin. Věta však neudává žádnou informaci o maximálním počtu bodů, jejichž lineární kombinace je třeba brát v úvahu. Upřesnění předchozí věty v tomto směru je obsahem následujících dvou tvrzení. Věta 2.8. Nechť X R n a x cone X je libovolné. Pak existují body x 1,..., x n X, λ 1,..., λ n 0 taková, že x = λ 1 x 1 + +λ n x n, tj. libovolný bod kónického obalu množiny X lze vyjádřit pomocí nezáporné kombinace nejvýše n bodů x 1,..., x n množiny X. Důkaz. Nechť x cone X. Pak podle Věty 2.7 existuje m N, x 1,..., x m X a λ 1,..., λ m 0 taková, že x = m λ ix i. Jsou-li body x 1,..., x m lineárně nezávislé, pak m n a tvrzení věty platí. Jsou-li tyto body lineárně závislé, existují µ 1,..., µ m R tak, že m µ ix i = 0 a alespoň jedno z čísel µ je kladné. Nechť α R je libovolné, pak x = λ i x i α µ i x i = (λ i αµ i )x i. Je-li α = min µi >0 λ i µ i, pak je λ i αµ i 0 pro každé i {1,..., m} a alespoň pro jeden index i je λ i αµ i = 0, tj. x je nezáporná kombinace nejvýše m 1 bodů. Je-li m 1 = n, je důkaz dokončen, jinak celou konstrukci opakujeme dokud nedostaneme x jako nezápornou kombinaci nejvýše n bodů. Věta 2.9. Nechť X R n, x conv X je libovolné. Pak existují body x 1,..., x n+1 X a λ 1,..., λ n+1 [0, 1], n+1 λ i = 1 taková, že x = λ 1 x λ n+1 x n+1, tj. libovolný bod množiny conv X lze vyjádřit jako konvexní kombinaci nejvýše n + 1 bodů množiny X. Důkaz. Nechť A R n+1 je množina vektorů tvaru A = {[x, 1] : x X}. Není obtížné ověřit, že y = [x, 1] cone A, právě když x conv X. Nyní tvrzení plyne bezprostředně z Věty

14 Příklad (i) Dokažte následující tvrzení: Množina X je konvexní právě tehdy, když λx + µx = (λ + µ)x pro každé λ, µ 0. Řešení. Tvrzení je triviální, pokud λ = 0 = µ. Můžeme tedy předpokládat, že λ + µ > 0. Implikace : Nechť a λx + µx, tj. existují x 1, x 2 X taková, že [ λ a = λx 1 + µx 2 = (λ + µ) λ + µ x 1 + µ ] λ + µ x 2 = (λ + µ)x, kde x = λ λ+µ x 1 + µ λ+µ x 2 X, neboť X je konvexní, tedy a (λ + µ)x. Naopak, je-li a (λ + µ)x, tj. existuje x X takové, že a = (λ + µ)x = λx + µx, pak a λx + µx. Implikace : Nechť x 1, x 2 X, λ [0, 1]. Pak λx 1 + (1 λ)x 2 λx + (1 λ)x = (λ + 1 λ)x = X, tedy X je konvexní. (ii) Nechť A = {[x, y] : y 1 + x 2 } {[0, 0]}. Určete conv A, cone A. Řešení. Přímým výpočtem lze ověřit, že přímky y = ±2x jsou tečnami k parabole y = 1 + x 2 v bodech [±1, 2]. Protože množina A 1 = {[x, y] : y 1 + x 2 } je konvexní (intuitivně je to zřejmé, exaktně to plyne z konvexnosti funkce 1+x 2, viz [8, Věta 6.25 a Důsledek 6.27]). Body, které jsou v conv A A jsou vnitřní body úseček spojujících bod [0, 0] s body grafu [x, 1+x 2 ], x 1, odtud conv A = {[x, y], x [ 1, 1], y 2 x } {[x, y], x > 1, y 1 + x 2 } (nakreslete si obrázek). Podobně cone A = {[x, y], y 2 x }. Věta Nechť X R n je kompaktní. Pak její konvexní obal conv X je také kompaktní. Důkaz. Definujme množinu Λ := { n+1 λ = (λ 1,..., λ n+1 ) R n+1 : λ i 0, λ i = 1 }, Y := Λ X n+1 R (n+1)2 a dále definujme zobrazení F : Y R n předpisem (λ, x 1,..., x n+1 ) F (λ 1 x λ n+1 x n+1 ). Protože zobrazení F je lineární, je spojité. Množina Y je kompaktní v R 2n+2 (je kartézským součinem kompaktních množin) a F (Y ) = conv X. Protože spojitý obraz kompaktní množiny je kompaktní množina, viz [7], je i conv X kompaktní. 9

15 Nyní se dostáváme k důležitému pojmu z konvexní analýzy, pojmu relativního vnitřku množiny v R n. Jako ilustrační příklad uvažujme úsečku v R 2. Vnitřek této množiny (v obvyklé euklidovské metrice prostoru R 2 ) je prázdná množina, tj. žádný bod úsečky není jejím vnitřním bodem. Intuitivně je však zřejmé, že by bylo rozumné považovat vnitřní body úsečky za vnitřní body množiny. Touto úvahou je motivována následující definice. Definice Nechť X R n. Bod x X se nazývá relativně vnitřním bodem množiny X, jestliže existuje okolí O(x) bodu x tak, že O(x) aff X X. Množina reletivně vnitřních bodů množiny X se nazývá relativní vnitřek množiny X a značí se ri X. Množina X ri X (kde X je uzávěr X) se nazývá relativní hranice množiny X a značí se r X. Následující věta obsahuje důležité tvrzení týkajících se konvexních množin (někdy bývá dokonce nazýváno Základní věta teorie konvexních množin ) a je použito v důkazech řady dalších tvrzení v konvexní analýze. Věta Je-li X R n neprázdná a konvexní, pak je ri X neprázdná. Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že 0 X, v opačném případě celý postup aplikujeme na množinu Y = {y = x x 0 ; x X} = X x 0, kde x 0 X libovolný, neboť pak platí 0 Y. Pak aff X = Lin X a nechť {x 1,..., x m } je maximální lineárně nezávislý systém bodů množiny X. Označme Λ = {λ R n : λ i > 0, m λ i < 1} a definujme zobrazení F : R m R n následujícím předpisem λ = (λ 1,..., λ m ) Nechť λ Λ je libovolné, pak F λ 1 x λ m x m. F (λ) = λ 1 x λ m x m + (1 λ i ) 0, tedy F ( Λ) conv X = X a současně F ( Λ) Lin {x 1,..., x m } = aff X. Zobrazení F i F 1 jsou lineární a tedy i spojité. Poněvadž Λ je otevřená v R n, je F ( Λ) otevřená v aff X. Nechť y F ( Λ) je libovolný, pak existuje okolí O(y) tak, že O(y) aff X F ( Λ), tedy y ri X. Při důkazech vlastností relativních vnitřků konvexních množin je užitečné následující tvrzení. Věta Nechť X R n je konvexní, x ri X, y X. Pak pro každé λ (0, 1] je (1 λ)y + λx ri X. 10

16 Důkaz. Označme z = λx+(1 λ)y. Podle definice z ri X právě tehdy, když pro každou posloupnost z k aff X, z k z, platí z k X pro dostatečně velká k. Nechť tedy z k aff X je libovolná a z k z. Protože y X, existuje posloupnost y k X tak, že y k y. Nechť x k X jsou taková, že z k = λx k + (1 λ)y k, tj. úsečka x k z k je bodem y k dělena v poměru λ. Lze ukázat, že x k = λx + (λ 1)(y k y) + z k z. λ Pak x k aff X, x k x. Odtud x k X pro dostatečně velká k (neboť x ri X) a tedy i z k = λx k + (1 λ)y k X pro dostatečně velká k N. Jako přímý důsledek dostáváme toto tvrzení. Důsledek Je-li X R n konvexní, pak i ri X je konvexní. Na závěr tohoto odstavce uveďme bez důkazu (ten je poměrně jednoduchou technickou záležitostí) následujcí tvrzení, které budeme často potřebovat. Věta Nechť X R n je konvexní. Pak ri X = ri X a X = ri X. Množina X je také konvexní a aff X = aff X. Příklad (i) Nechť A = (αx + βy ), (α,β) P kde P R 2 + = {[x, y] : x, y > 0} je konvexní množina. Jsou-li X, Y konvexní, je A konvexní. Dokažte. Řešení. Nechť a 1, a 2 A, λ [0, 1]. Pak existují (α 1, β 1 ), (α 2, β 2 ) P a x 1, x 2 X, y 1, y 2 Y taková, že a 1 = α 1 x 1 + β 1 y 1, a 2 = α 2 x 2 + β 2 y 2. Pak tedy a =λa 1 + (1 λ)a 2 = λ(α 1 x 1 + β 1 y 1 ) + (1 λ)(α 2 x 2 + β 2 y 2 ) = =λα 1 x 1 + (1 λ)α 2 x 2 + λβ 1 y 1 + (1 λ)β 2 y 2, a λα 1 X + (1 λ)x + λβ 1 Y + (1 λ)β 2 Y =[λα 1 + (1 λ)α 2 ]X + [λβ 1 + (1 λ)β 2 ]Y =αx + βy X. (předch. příklad) = (konvexnost P) = (ii) Dokažte množinovou rovnost conv X + conv Y = conv (X + Y ). 11

17 Řešení. K důkazu množinové rovnosti dokážeme dvojici inkluzí: : X + Y conv X + conv Z, odtud conv (X + Y ) conv (conv X + conv Y ) = conv X + conv Y, nebot množina conv X + conv Y je podle Věty 2.2 konvexní. : Nechť a conv X + conv Y, tj. existují x conv X, z conv Z taková, že a = x + y. Odtud n+1 n+1 a = λ i x i + µ i y i = n+1 n+1 λ i (x i + y j )µ j. Protože x i + y j X + Y, n+1 j=1 µ j(x i + y j ) =: w i conv (X + Y ), odtud j=1 n+1 λ i w i conv (conv (X + Y )) = conv (X + Y ). (iii) Dokažte implikaci: X R n je otevřená conv X je otevřená. Řešení. Nechť x conv X, tj. podle Caratheodoryho věty existují body x 1,..., x n+1 X a λ 1,..., λ n+1 0, n+1 λ i = 1 taková, že x = n+1 λ ix i. Protože X je otevřená, existuje ε > 0 takové, že O ε (x i ) = {x : x x i < ε} X pro i = 1,..., n + 1. Položme O( x) = n+1 λ io ε (x i ). Pak O( x) = {x : x x < ε} ( dokažte sami, např indukcí vzhledem k dimenzi n) je hledané okolí x, které je celé obsaženo v conv X. 2.2 Oddělování konvexních množin Věty o oddělitelnosti konvexních množin jsou, jak uvidíme v kapitole 4, teoretickým základem konvexního programování. Definice Množiny X 1, X 2 R n se nazývají (i) oddělitelné, existuje-li 0 p R n a tak, že p, x 1 p, x 2 pro každé x 1 X 1, x 2 X 2. (2.1) (ii) vlastně oddělitelné, pokud jsou oddělitelné a existují x 1 X 1, x 2 X 2 a β R tak, že p, x 1 > p, x 2. (iii) silně oddělitelné, jestliže inf p, x 1 > β > sup p, x 2. x 1 X 1 x 2 X 2 12

18 Nadrovina H p,β := {x R n : p, x = β} se potom nazývá oddělující nadrovinou množin X 1, X 2. Důležitým nástrojem při důkazu vět o oddělitelnosti konvexních množin je pojem projekce bodu na množinu. Kromě toho je tento pojem důležitý i při konstrukci numerických metod nepodmíněné minimalizace, viz. Kapitola VI. Definice Nechť X R n, a R n. Bod x X nazveme projekcí bodu a na množinu X, značíme Π X (a), jestliže Π X (a) a x a pro každé x X. Základní vlastnosti projekce bodu na množinu jsou shrnuty v následujícím tvrzení. Lemma Nechť X R n je uzavřená a konvexní. Pak pro každé a X existuje jediná projekce Π X (a) X a pro každé x X platí Π X (a) a, x Π X (a) 0, (2.2) Π X (a) a, x a Π X (a) a 2 0. (2.3) Důkaz. Projekce bodu x na množinu X je řešením úlohy f(x) = x a min, x X. Položme Y = X {x R n : x a R}, kde R je dostatečně velké reálné čislo. Pak Y je kompaktní a podle Weierstassovy věty (Věta 1.2) existuje minimum funkce f na Y a snadno se vidí, že je rovno minimu f na X, tedy projekce bodu na množinu existuje. Označme x = Π X (a), pak vzhledem ke konvexnosti množiny X pro libovolné x X, λ (0, 1] platí x a 2 λx + (1 λ)x a 2 = x a + λ(x x ) 2 = = x a + λ(x x ), x a + λ(x x ) = = x a 2 + 2λ x a, x x + λ 2 x x, odtud vydělením λ (0, 1] dostaneme 0 2 x a, x x + λ x x. Limitním přechodem pro λ 0+ dostaneme x a, x x 0, což je první z požadovaných tvrzení v (2.2). Druhá nerovnost v (2.3) plyne z (2.2) přidáním členů ±a v druhé složce skalárního součinu a následnou elementární úpravou. 13

19 Pomocí vlastností projekce bodu na konvexní množinu můžeme nyní snadno dokázat následující nutnou a postačující podmínku pro silnou oddělitelnost konvexních množin. Věta Konvexní množiny X 1, X 2 R n jsou silně oddělitelné právě tehdy, když vzdálenost množin ρ(x 1, X 2 ) = inf x 1 x 2 > 0. x 1 X 1,x 2 X 2 Důkaz. Implikace : Nechť X 1, X 2 jsou silně oddělitelné (nikoliv nutně konvexní), pak využitím Cauchyovy nerovnosti 0 < ε := inf p, x 1 sup p, x 2 = inf p, x 1 x 2 x 1 X 1 x 2 X 2 (x 1,x 2 ) X 1 X 2 inf p x 1 x 2 = p ρ(x 1, X 2 ), (x 1,x 2 ) X 1 X 2 a tedy ρ(x 1, X 2 ) ε p > 0. Implikace : Nechť X 1, X 2 jsou konvexní, a ρ(x 1, X 2 ) > 0. Označme X = X 1 X 2, snadno lze ověřit, že tato množina je konvexní a uzavřená (viz věty 2.2 a 2.16). Protože ρ(x 1, X 2 ) > 0 a 0 X je p = Π X (0) 0. Ukážeme, že p je hledaný normálový vektor oddělující nadroviny. Z nerovnosti (2.3) v Lemmatu 2.20 plyne (volbou a = 0)) p, x p 2 > 0 pro každé x X. Odtud p, x 1 x 2 = p, x 1 p, x 2 p 2, a tedy inf p, x 1 sup p, x 2 p 2 > 0. x 1 X 1 x 2 X 2 Nyní lze vzít β (sup x2 X 2 p, x 2, inf x1 X 1 p, x 1 ) libovolné a H p,β je oddělující nadrovina množin X 1, X 2. Z teorie metrických prostorů je známo, že je-li (P, ρ) metrický prostor a A, B P jsou uzavřené a disjunktní, X 2 je ohraničená (a tedy i kompaktní), pak je ρ(x 1, X 2 ) > 0. Tato skutečnost a Věta implokují následující tvrzení. Důsledek Nechť X 1, X 2 R n jsou konvexní a disjunktní, X 1 uzavřená, X 2 kompaktní. Pak jsou X 1, X 2 silně oddělitelné. Jiným důležitým pojmem z teorie konvexních množin je pojem opěrné nadroviny. Definice Nechť X R n, a X = X int X. Nadrovina H p,β se nazývá (i) opěrná nadrovina množiny X v bodě a, jestliže p, x β = p, a pro každé x X. 14

20 (ii) vlastní opěrná nadrovina, je-li opěrná nadrovina a existuje x X takové, že p, x > β. Věta Nechť X R n je konvexní a a X. Pak v tomto bodě existuje vlastní opěrná nadrovina této množiny. Je-li navíc a r X, existuje v a vlastní opěrná nadrovina množiny X. Důkaz. Důkaz provedeme pro existenci vlastní opěrné nadroviny v relativně hraniční bodě. Normálový vektor opěrné nadroviny sestrojíme takto. Zvolme a r X libovolný. Z vlastností množiny r X existuje a k aff X, a k X, a k a. Položme p k = Π X(a k ) a k Π X (a k ) a k. Pak p k = 1, p k Lin X. Protože množina {x : x = 1} je kompaktní, můžeme z posloupnosti {p k } vybrat konvergentní podposloupnost. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že p k p, kde p = 1 a p Lin X. Ukážeme, že p je hledaný normálový vektor vlastní opěrné nadroviny množiny X v bodě a. Z nerovnosti (2.3) v Lemmatu 2.20 plyne, že p k, x p k, a k > 0 pro každé x X. Limitním přechodem pro k dostáváme p, x p, a =: β, pro každé x X. Tím jsme ukázali, že H p,β je opěrná nadrovina. Ještě zbývá dokázat, že jde o vlastní opěrnou nadrovinu. Podle Věty 2.13 existuje x 1 ri X. Položme x = x 1 + ɛp pro nějaké ɛ > 0 dostatečně malé. Protože p Lin X (neboť p k Lin X a Lin X je uzavřená množina), je x aff X. Z definice ri X je pro ε > 0 dostatečně malé také x X. Přímým výpočtem pak p, x = p, x 1 + εp = p, x 1 + ε p 2 > β. Nejdůležitějším výsledkem o oddělitelnosti konvexních množin je následující tvrzení. Věta Konvexní množiny X 1, X 2 R n jsou vlastně oddělitelné právě tehdy, když ri X 1 ri X 2 =. Důkaz. : Položme X := ri X 1 ri X 2. Pak X je konvexní a 0not X (ověřte sami!). Jsou možné dva případy: 0 X, nebo 0 X X r X. V prvním případě jsou podle Věty (2.21) množiny {0} a X silně oddělitelné a tato oddělující nadrovina odděluje i X 1 a X 2. V druhém případě z Věty 2.24 plyne existence vlastní opěrné nadroviny k X v bodě 0 a lze ukázat, že tato nadrovina vlastně odděluje X 1 a X 2. : Předpokládejme sporem, že X 1, X 2 jsou vlastně oddělitelné a existuje x ri X 1 ri X 2. Z definice vlastní oddělitelné nadroviny existují x 1 X 1, x 2 X 2 takové, že p, x 1 > p, x 2. Položme x 1 = x + α( x 1 x) X 1, x 2 = x + α( x 2 x) X 2. Pak x 1 aff X 1, x 2 aff X 2, a tedy x 1 X 1, x 2 X 2 pro α > 0 dostatečně malé. Současně ale p, x 1 p, ṽ 2 = p, α( x 2 x) α( x 1 x) = = α p, x 1 x 2 < 0, 15

21 spor. Na závěr tohoto odstavce připomeňme, jak lze věty o oddělitelnosti konvexních množin využít ke studiu úloh lineárního programování. Věta (Farkas - Minkonwski) Nechť A je m n matice, b R m. Pak je právě jeden z následujících systémů rovnic a nerovnic řešitelný. Ax = b, x 0, (2.4) A T y 0, y, b < 0. Důkaz. Předpokládejme, že x R n a y R m jsou současně řešení obou systémů, pak 0 > y, b = y, Ax = A T y, x 0, což je spor. Předpokládejme nyní, že systém (2.4) není řeitelný a označme a 1,..., a n sloupcové vektory tvořící matici A. Pak vektor b cone {a 1,..., a n }. Protože cone {a 1,..., a n } je uzavřená množina, jsou b a cone {a 1,..., a n } silně oddělitelné a nechť y je normálový vektor oddělující nadroviny, tj. y, z > y, b pro všechna z cone {a 1,..., a n }, tedy pro všechna x R n, x 0 je y, Ax = A T y, z > y, b. Dosadíme-li do poslední rovnosti x = 0, dostáváme 0 > y, b a nechámeli všechny složky vektoru x konvergovat do, platí nerovnost pouze, je-li A T y 0. Jako důsledek Farkas-Minkovského věty dostáváme toto tvrzení. Věta Nechť A je matice m n a b R m. Pak existuje řešení právě jedné z následujících úloh Ax b, x R n ; (2.5) A T y = 0, y, b < 0, y 0. (2.6) Důkaz. Nechť Ã = (A, b) je m (n + 1) matice, b = ( 0 1) R n+1 (here 0 R n ), x = ( x λ) R n+1 (with λ R) a uvažujme systémy ekvivalentní systémům z tvrzení věty: Ã x > 0, x, b < 0 (2.7) Ã T y = b, y 0. (2.8) Pak (2.5) je ekvivalnetní (2.8), (2.6) je ekvivalentní (2.7) a tvrzení o existenci právě jednoho z řešení systémů (2.5), (2.6) plyne z Věty Nakonec jestě připomeňme jedno tvrzení z teorie lineárního programování, které lze snadno dokázat z předchozích vět. 16

22 Věta Je-li v úloze lineárního programování c, x min, x X, kde X = {x R n, Ax b}, přičemž A je matice m n, b R m, přípustná množina X neprázdná a f(x) = c, x je zdola ohraničená na X, pak je úloha řešitelná. Důkaz. Předpokládejme, že úloha není řešitelná a označme α = inf x X c, x (toto infimum existuje, protože minimalizovaná funkce f(x) = c, x je zdola ohraničená na X.) Pak neexistuje řešení úlohy Ax b, c, x α, která je ekvivalentní systému ( A c T ) x ( ) b. α Podle předpokladu věty existují y R m, λ R tak, že ( y λ) je řešením systému ( A T c )( ) y = 0, λ který je ekvivalentní systému ( ) y T ( ) b < 0, λ α A T y = λc, y, b > λα, y, λ 0. ( ) y 0, λ Tedy pro libovolné x X platí λ c, x = A T y, x = y, Ax y, b > λα, tj. λ > 0 a což je spor. Cvičení inf c, x 1 y, b > α, x X λ 1. Nechť jsou dány množiny X = {[x, y] R 2 : y 1 + x 2 }, Y = {[x, y] R 2 : x αy 2 }. Určete pro jaké hodnoty parametru α jsou množiny X, Y oddělitelné. 2. Nechť X, Y jsou oddělitelné množiny, int X 1. Pak X, Y jsou vlastně oddělitelné. Dokažte. 3. Nechť X, Y R n. Množiny {λx + (1 λ)y }, y Y λ 1 y Y λ 1 {λx + (1 λ)y } se nazývají stín resp. polostín X na Y (zdůvodněte geometricky si tuto terminologii). Dokažte, že za předpokladu konvexnosti X a Y jsou tyto množiny konvexní. 17

23 2.3 Krajní body konvexních množin Definice Nechť X R n je konvexní množina. Bod x X nazveme krajním (jiný termín je extremální) bodem množiny X, jestliže jej nelze vyjádřit ve tvaru x = λx 1 + (1 λ)x 2, pro žádné x 1, x 2 X, λ (0, 1). (2.9) Množinu všech krajních bodů množiny X značíme E(X). Bod x X je tedy krajním bodem, jestliže neleží uvnitř žádné úsečky, jejíž krajní body jsou prvky množiny X. Např. krajními body konvexního mnohoúhelníka jsou jeho vrcholy, krajními body kruhu jsou body hraniční kružnice apod. Ke studiu množiny krajních bodů konvexní množiny budeme potřebovat následující dvě tvrzení. Zaveďme potřebné označení: Nechť x R n, polopřímku procházející bodem x se směrovým vektorem h R n budeme značit l + x,h, tedy l + x,h = {y Rn : y = x + ht, t 0}. Opačnou polopřímku budeme značit l x,h a l x,h = l + x,h l x,h je přímka určená bodem x a směrem h. Věta Nechť X je neohraničená uzavřená konvexní množina. Pak (i) Pro libovolný x 0 X existuje 0 h R n takový, že l + x 0,h X. (ii) Jestliže l + x X pro nějaké x 0,h 0 X a h R n, pak l + x,h X pro každé x X. Důkaz. (i) Nechť x 0 X je libovolné. Z neohraničenosti množiny X plyne existence posloupnosti x k X takové, že x k. Nechť α 0 je libovolné. Položme h k = x k x 0 x k x 0, λ α k = x k x 0, x k = λ k x k + (1 λ k )x 0. Protože h k = 1, můžeme z posloupnosti {h k } vybrat konvergentní podposloupnost. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že h k h. Pro dostatečně velká k je λ k [0, 1] (jelikož x k ), a tedy vzhledem ke konvexnosti X je x k X. Současně x k = x 0 + λ k (x k x 0 ) = x 0 + αh k a tedy x k x 0 + αh X, neboť množina X je uzavřená. Protože α 0 bylo libovolné, je první část věty dokázána. (ii) Nechť l + x 0,h X a x X je libovolné. Pro α 0 a k N položme x k = x 0 + (αk)h, x k = 1 k x k + (1 1 k )x. Pak x k l + x 0,h X a z konvexnosti X je i x k X. Současně x k = x + 1 k (x 0 x) = x+αh+ 1 k (x 0 x). Tedy x k x+αh a vzhledem k uzavřenosti X máme x+αh X, tj. l + x,h X. Lemma Nechť X R n je uzavřená a konvexní množina, x r X je relativně hraniční bod množiny X, H = H p,β je vlastní opěrná nadrovina množiny X v bodě x, tj. p, x β = p, x, pro každé x X, (2.10) p, x > β pro některé x X. (2.11) Položme X = X H p,β. Pak E(X ) E(X) a dim X < dim X. 18

24 Důkaz. Předpokládejme, že existuje x E(X ) a současně x E(X), tj. x můžeme vyjádřit ve tvaru (2.9) Pak z (2.10) plyne β = p, x = λ p, x 1 + (1 λ) p, x 2 λβ + (1 λ)β = β. Odtud plyne p, x 1 = p, x 2 = β, tj. x 1, x 2 X H = X. Tento vztah však spolu s (2.9) dává x E(X ), což je spor. K důkazu druhé části tvrzení lemmatu označme M = aff X, M = aff X. Pak M M, M H a také X X, X H. Připusťme, že M = M. Pak X M = M H, to znamená, že p, x = β pro každé x X, což je spor s se skutečností, že H je vlastní opěrná nadrovina v bodě x. Tedy M M, což znamená, že i Lin X Lin X a tedy dim Lin X < dim Lin X, což bylo třeba dokázat. Následující věta udává kriterium existence krajních bodů konvexní množiny. Věta Nechť X R n je uzavřená konvexní množina. Pak E(X) právě když X neobsahuje žádnou přímku, tj. pro každé x X a každé h R n je l x,h X. Důkaz. : Důkaz první implikace provedeme sporem. Nechť je tedy E(X) neprázdná, tj. existuje x E(X), a existuje x 0 X a 0 h tak, že l x0,h X. Pak podle Věty 2.30 l + x,h X a l x,h X, speciálně x 1 = x + h X, x 2 = x h X a x = 1 2 (x 1 + x 2 ), tedy x E(X). : Důkaz druhé implikace provedem indukcí vzhledem dim X. Je-li dim X = 0, je X = {x} jednoprvková a E(X) = {x}. Předpokádejme, že tvrzení je již dokázáno pro dim X < m. Protože X neobsahuje žádnou přímku, je r X (ověřte sami) a nechť X je množina z Lemmatu Protože dim X < m, vzhledem k indukčnímu předpokladu je E(X ), inkluze E(X ) E(X) nyní dává požadované tvrzení. Vztah mezi množinami X a E(X) v případě konvexní a kompkatní množiny popisuje následující věta. Věta Nechť X R n je konvexní a kompaktní. Pak X = conv E(X). Důkaz. Vzhledem ke konvexnosti množiny X evidentně conv E(X) X, stačí tedy dokázat opačnou inkluzi. Budeme opět postupovat indukcí vzhledem k dimenzi množiny X. Je-li dim X = 0, je tvrzení triviální. Předpokládejme, že tvrzení je již dokázáno pro dim X < m. Nechť x r X je libovolné (r X ze stejného důvodu jako v předchozí větě) a uvažujme množinu X z Lemmatu Tato množina je kompaktní a konvexní, tedy podle indukčního předpokladu X = conv E(X ), specielně x conv E(X ) conv E(X) a protože x bylo libovolné, je i r X E(X). Vezměme nyní x ri X libovolné a nechť h Lin X. Pak přímka l x,h leží v aff X a její průsečík s relativní hranicí množiny X je dvouprvková množina {x 1, x 2 }. Tedy l x,h X = conv {x 1, x 2 }. Odtud dostáváme x conv {x 1, x 2 } conv (r X) conv (conv E(X)) = conv E(X), tj. ri X E(X) a celkem tedy X = r X ri X conv E(X). 2.4 Kombinatorické a topologické vlastnosti konvexních množin V tomto odstavci si uvedeme dvě tvrzení z teorie konvexních množin, která sice nemají bezprostřední souvislost s optimalizačními úvahami z dalších kapitol, jsou však z teoretického i historického hlediska důležitá. 19

25 Nejprve dokažme jedno pomocné tvrzení z lineární algebry. Připomeňme, že body x 1,..., x m R n se nazývají afinně závislé, jestliže existují λ 1,...,λ m R, ne všechna současně rovna nule taková, že m λ i = 0 a m λ ix i = 0. Lemma Body x 1,..., x m R n jsou afinně závislé, právě když body x 2 x 1,..., x m x 1 jsou lineárně závislé. Důkaz. : Nechť jsou body x 1,..., x m afinně závislé, tj. existují λ 1,..., λ m tak, že m λ i = 0 a m λ ix i = 0, přičemž ne všechna λ 1,..., λ m jsou nulová. Pak 0 = λ i x i x 1 m λ i = λ i (x i x 1 ), tj. x i x 1, i = 2,..., m jsou lineárně závislé. : Je-li m i=2 µ i(x i x 1 ) = 0 a ne všechna µ i jsou nulová, položme λ 1 = m i=2 µ i, λ i = µ i, i = 2,..., m. Pak m λ i = 0, m λ ix i = 0 a ne všechna λ i jsou nulová, takže body x 1,, x n jsou afinně závislé. Věta (Hellyova věta) Nechť m n + 1, X 1,..., X m R n jsou konvexní a každá (n + 1)-tice z těchto množin má neprázdný průnik. Pak i I X i. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí vzhledem k m. Je-li m = n + 1, tvrzení zřejmě platí. Nechť tvrzení platí pro m a m + 1 > n + 1. Dále nechť y 1 X 2 X m+1, y 2 X 1 X 3 X m+1,..., y m+1 X 1 X m přičemž podle indukčního předpokladu jsou všechny tyto průniky neprázdné, tj. taková y i existují. Protože m > n, jsou y 1,..., y m+1 afinně závislé, tedy existují c 1,..., c m+1, taková, že m+1 c iy i = 0 a m+1 c i = 0, kde alespoň jedno c i > 0. Položme x = c c i>0 iy i c c, x = i>0 i c c i<0 iy i c c. i<0 i Pak x x = 0, tj. x = x. Jestliže je c k 0 pro nějaké k {1, }, pak je x konvexní kombinací bodů y 1,..., y k 1, y k+1,..., y m, z nichž každý leží v množině X k. Tedy i x X k. Je-li c k > 0, z téhož důvodu x X k, tj. i v tomto případě x X k. Protože k {1,..., m + 1} bylo libovolné, x m+1 X i. Tím je tvrzení dokázáno. Poznámka (i) S Hellyovou větou se můžeme ve středoškolské matematice setkat v této elementární modifikaci (která však umožňuje formulaci řady velmi zajímavých příkladů, viz. [11, 3] ). Jsou-li K 1,..., K m, m 3, konvexní mnohoúhelníky v rovině, přičemž každá trojice těchto mnohoúhelníků má neprázdný průnik, pak existuje x 0 m K i. (ii) Uvažujeme-li nekonečný systém konvexních množin, tvrzení Hellyovy věty obecně neplatí. Stačí uvažovat systém množin K i = {(x, y) R 2 x i, y R} pro i N. Platí však toto modifikované tvrzení, viz. např. [21, str. 118]. 20

26 Věta Nechť K = {K i, i I} je systém (obecně nekonečný) konvexních a kompaktních množin v R n. Má-li libovolný (n + 1)-prvkový podsystém systému K neprázdný průnik, pak i I K i. Nyní uveďme základní topologické vlastnosti konvexních množin. Nechť X R n je konvexní množina a předpokládejme, že v sobě obsahuje jednotkovou kouli se středem v počátku B n = {x R n : x 1} a označme S n 1 jednotkovou sféru, tj. hranici B n. Definujme tzv. hraniční zobrazení b : X S n 1 předpisem b(x) = x x. Připomeňme, že zobrazení mezi dvěma metrickými (topologickými) prostory nazveme homeomorfismem, jestliže toto zobrazení i zobrazení k němu inverzní (o němž se předpokládá, že existuje) jsou spojitá. Lemma Hraniční zobrazení b je homeomorfismem mezi X a S n 1. Důkaz. Nejprve si všimněme, že b je navyájem jednoznačné zobrazení. Vskutku, je-li x S n 1, nechť ω R je největší číslo, pro něž ωx X. Pak ωx je hraniční bod množiny X (v opačném případě se dostáváme do sporu s definicí čísla ω) a tento bod je jediným hraničním bodem X, který je skalárním násobkem x S n 1. Protože y 1 pro každý hraniční bod X a euklidovská norma je spojité zobrazení, dostáváme spojitost zobrazení b. Spojitost zobrazení b 1 plyne z faktu, že inverzní zobrazení k zobrazení zobrazujícímu kompaktní množinu na kompaktní množinu je spojité. Věta Nechť X R n je konvexní, kompaktní a dim X = n. Pak X je homeomorfní jednotkové kouli B n = {x R n : x 1} v R n. Důkaz. Protože dim X = n, je podle Věty 2.13 int X, tj. X obsahuje kouli v R n o dostatečně malém poloměru. Vzhledem k tomu, že posunutí a skalární násobení nenulovou konstantou jsou homeomorfismy v R n, bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že X obsahuje jednotkovou kouli B n. Homeomorfismus f : B n X nyní definujme pomocí hraničního zobrazení takto: { b f(x) = 1 (x/ x ) pro x 0 0 pro x = 0. Ověření skutečnosti, že toto zobrazení je vskutku homeomorfismus přenecháme čtenáři jako cvičení. Poznámka Předchozí věty nám vlasně říkají, že libovolná konvexní množina obsahující ve svém vnitřku počátek definuje normu na R n, která je ekvivalentní obvyklé euklidovské normě. Tuto normu lze definovat vztahem x X = inf{α R + : α 1 x X}. Na závěr tohoto odstavce uveďme jedno důležité tvrzení týkající se spojitých zobrazení konvexních a kompaktních množin. Uvedeme jej zde bez důkazu, protože ten vyžaduje zavedení řady nových pojmů (především z algebraické topologie), které přesahují rámec toho textu. Elemenární metodu důkazu (technicky však poměrně komplikovanou), založenou na tzv. Spernerově kombinatorickém lemmatu lze nalézt např. v [21]. 21

27 Věta (Brouwerova věta o pevném bodu). Nechť X R n je konvexní a kompaktní množina f : X X je spojité zobrazení. Pak má f alespoň jeden pevný bod, tj existuje x 0 X, pro něž f(x 0 ) = x 0. Poznámka V předchozích odstavcích jsou uvedeny pouze základní vlasnosti konvexních množin. Zcela stranou zůstaly například tzv. polární množiny ke konvexním množinám a některé další důležité pojmy z konvexní analýzy. Obsáhlé pojednání věnované dalším vlasnostem konvexních množin lze nalézt v [20]. 2.5 Cvičení 1. Nechť A, B jsou konvexní. Rozhodněte, zda platí conv (A B) = λ [0,1] (λa + (1 λ)b). 2. Nechť A R n je konvexní. Rozhodněte, zda platí ri λx = λ ri X pro každé λ R. 3. Dokažte tuto modifikaci Caratheodoryho věty: Nechť x conv X. Pak existují x 1,..., x n X a λ 1,..., λ n 0, n λ i = 1 (tj. o jedno méně než v klasické Caratheodoryho větě) taková, že x = n λ ix i. 4. Nechť X 1,..., x m R n jsou libovolné množiny. Dokažte následující identity ( m ) ( m ) conv X i = conv X i, aff X i = aff X i, ale cone X i = cone ( m X i ). 5. Nechť X 1, X 2 R n jsou libovolné, přičemž sup p, x 1 = inf p, x 2 x 1 X x 2 X 2 pro každé p R n. Pak conv X 1 = conv X 2. Dokažte. 6. Nechť X, Y R n. Definujme X Y = λ [0,1] {λx + (1 λ)y }. Jsou-li X, Y konvexní, je i X Y konvexní. Dokažte. 7. Nechť K 1, K 2 jsou konvexní kužely. Pak K 1 K 2 = K 1 K 2. Dokažte. 8. Nechť X R n je konvexní. Pak platí aff (ri X) = aff X. Dokažte. 9. Nechť X R n. Množina X := {y R n : y, x 1 pro každé x X} se nazývá sdružená (někdy také duální, konjugovaná) k množině X. Dokažte tato tvrzení: 22

28 (i) Pro libovolnou X R n je X = conv (X {0}). (ii) Je-li X kužel v R n, pak X := {y R n : y, x = 0 pro každé x X} 10. Dokažte, že pro konvexní množinu X R n je projekce X tzv. neexpanzivní zobrazení, tj. X (x) X (y) x y pro všechna x, y R n. 11. Dokažte, že pro konvexní množinu X R n platí toto tvrzení: dim X = n právě když int X. 12. Nechť X R n je uzavřená. Dokažte toto tvrzení: X je konvexní právě když existuje λ (0, 1) takové, že λx+(1 λ)y X pro každé x, y X, tj. s každými dvěma body z X leží v X i bod, který dělí úsečku určenou body x, y v poměru λ. 23

29 24

30 Kapitola 3 Konvexní funkce Konvexní funkce hrají klíčovou roli v teorii optimalizace, neboť v praktických úlohách je většina minimalizovaných funkcí právě konvexní (resp. konkávní v případě maximalizace). Tato kapitola obsahuje souhrn základních vlastností konvexních funkcí v rozsahu prezentovaném ve standardních monografiích věnovaných matematickému programování. 3.1 Základní vlastnosti konvexních funkcí Definice 3.1. Nechť X R n je konvexní množina, funkce f : X R se nazývá (i) konvexní na X, je-li pro všechna x 1, x 2 X a každé λ [0, 1] f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ); (3.1) (ii) ostře konvexní na X, platí-li pro každé λ (0, 1) a x 1 x 2 ve vztahu (3.1) ostrá nerovnost; (iii) silně konvexní na X s konstantou silné konvexnosti ϑ > 0, je-li f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) (3.2) ϑλ(1 λ) x 1 x 2 2. Poznámka 3.2. (i) V některých monografiích věnovaných konvexní analýze, viz. např. [20, 21], se často vyšetřuje konvexnost funkcí, které mohou nabývat i nevlastních hodnot ±, tj. funkcí f : X [, ]. Definiční vztah pro toto obecnější pojetí konvexních funkcí je stejný jako (3.1), přičemž se používá obvyklé konvence pro počítání s nevlastními hodnotami (např. + a = pro a R, a = pro a > 0, a = pro a < 0, atd.). Tato zobecněná definice je výhodná při studiu některých speciálních vlastností konvexních funkcí, v tomto textu se však až na malé výjimky omezíme na funkce nabývající pouze konečných hodnot. (ii) Jako příklady konvexních funkcí uveďme např. funkce f(x) = c, x, f(x) = x 4 = x, x 2, f(x) = x 2. Je zřejmé, že lineární funkce f(x) = 25

31 c, x je konvexní na R n, není však ostře konvexní ani silně konvexní, neboť v definičním vztahu (3.1) platí vždy rovnost. Důkaz konvexnosti funkce f(x) = x 2 stejně jako rozdíl mezi silnou a ostrou konvexností uvedeme později. Rovněž ukážeme, že funkce f(x) = x 4 není silně konvexní na množinách obsahujících počátek, tj. bod x = 0. Základní vztah, který umožňuje řadu vlastností konvexních množin z předchozí kapitoly využít ke studiu konvexních funkcí uvádí následující věta. Věta 3.3. Nechť X R n je konvexní a f : X R. Funkce f je konvexní na X právě tehdy, když její epigraf (nadgraf) je konvexní množina. epi f = {[x, β] R n+1 : x X, β f(x)} Důkaz. : Nechť [x 1, β 1 ], [x 2, β 2 ] epi f, tj. β 1 f(x 1 ), β 2 f(x 2 ) a nechť λ [0, 1]. Pak a platí λ[x 1, β 1 ] + (1 λ)[x 2, β 2 ] = [λx 1 + (1 λ)x 2, λβ 1 + (1 λ)β 2 ] λβ 1 + (1 λ)β 2 λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) f(λx 1 + (1 λ)x 2 ), tj. λ[x 1, β 1 ] + (1 λ)[x 2, β 2 ] epi f, což znamená, že epi f je konvexní množina. : Nechť x 1, x 2 X, λ [0, 1], pak [x 1, f(x 1 )], [x 2, f(x 2 )] epi f což je konvexní množina, tedy λ[x 1, f(x 1 )] + (1 λ)[x 2, f(x 2 )] = [λx 1 + (1 λ)x 2, λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 )], je prvkem epi f, tj. tedy f je konvexní. λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) f(λx 1 + (1 λ)x 2 ), Dříve než začneme studovat základní vlastnosti konvexních funkcí, uvedeme tvrzení, která motivují vyšetřování konvexních funkcí z hlediska jejich extremálních vlastností. Věta 3.4. Nechť funkce f je konvexní na konvexní množině X R n. Pak: (i) Libovolné lokální minimum funkce f na X je i globálním minimem. (ii) Množina bodů X, v nichž funkce f nabývá na X svého minima je konvexní. Je-li navíc funkce f na X ostře konvexní, je tato množina nejvýše jednoprvková. 26

32 (iii) je-li funkce f diferencovatelná na X a x X jej jejím stacionárním bodem, tj. f (x ) = 0, pak x je bodem globálního minima f na X. Důkaz. (i) Nechť x je lokálním minimem f na X, tj. existuje ε > 0 takové, že f(x) f(x ) pro x spňující x x ε. Nechť nyní x X je libovolné. Je-li x x ε, není co dokazovat, předpokladejme tedy, že x x > ε. Označme ˆx bod, který je průsečíkem úsečky spojující x a x se sférou x x = ε, tj. pro λ = 1/ x x platí ˆx = λx + (1 λ)x. Pak ˆx x = ε, a tedy f(x ) f(ˆx) = f(λx + (1 λ)x ) λf(x) + (1 λ)f(x ). Otud f(x) f(x ), což znamená, že x je bodem gobálního minima funkce f na X. (ii) Jestliže funkce f nenabývá svého minima na X, je tvrzení triviální, neboť prázdná množina je konvexní. jestliže existují x 1, x 2 X taková, že f(x 1 ) = f(x 2 ) = f inf x X f(x), pak pro libovolné λ [0, 1] f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) = f. (3.3) Z definice f je zřejmé, že v (3.3) musí platiti rovnost, což dokazuje tvrzení o konvexnosti množiny bodů, v nichž je nabyto minima. Je-li f navíc f ostře konvexní, rovnost v (3.3) nastane pro λ (0, 1) pouze je-li x 1 = x 2. (iii) Z definice diferencovatelnosti funkce f plyne, že pro x, x X a λ (0, 1] platí f(λx+(1 λ)x ) = f(x +λ(x x )) = f (x ), λ(x x ) α(λ x x ), (3.4) kde funkce α splňuje lim λ 0 α(λ x x )/λ = 0. Současně, z konvexnosti f plyne f(λx + (1 λ)x ) λf(x) + (1 λ)f(x ). Kombinací tohoto vztahu s (3.4) (a využitím, že f (x ) = 0) dostáváme f(x) f(x ) 1 λ [f(x + λ(x x )) f(x )] = = 1 λ [ f (x ), λ(x x ) + α(λ(x x )] = α(λ(x x )). λ Limitním přechodem λ 0+ dostáváme požadované tvrzení. Následující dvě věty jsou uvedeny bez důkazu. První plyne téměř bezprostředně z definice konvexní funkce a druhou lze dokázat stejným způsobem jako Větu 2.6 z předchozí kapitole věnované konvexním množinám. Věta 3.5. Nechť X R n je konvexní, f 1,..., f m : X R jsou konvexní na X a α 1,..., α m 0. Pak funkce α 1 f α m f m je konvexní na X. 27

33 Věta 3.6. (Jensenova nerovnost). Nechť množina X R n je konvexní, f : X R je konvexní funkce, x 1,..., x m X, λ 1,..., λ m 0 a m λ i = 1. Pak platí ( m ) f λ i x i λ i f(x i ). (3.5) Je-li funkce f navíc ostře konvexní a λ i (0, 1), i = 1,..., m, pak rovnost v (3.5) nastane právě když x 1 = = x m. Důkaz. V důkazu tohoto tvrzení postupujeme podobně jako v případě Věty 2.6 matematickou indukcí, proto přeskočíme některé detaily. Jeli m = 2, je dokazovaná nerovnost nerovností z definice konvexní funkce. Předpokládejme, že tvrzení platí pro m > 2. Pak za předpokladu λ m+1 1 (jinak je tvrzení triviální) f(λ 1 x λ m x m + λ m+1 ) = f ( (1 λ m+1 ) [ λ 1 x 1 1 λ m λ mx m ] ) + λm+1 x m+1 1 λ m+1 f((1 λ m+1 ) x + λ m+1 x m+1 ) (1 λ m+1 )f( x) + λ m+1 f(x m+1 ) λ 1 f(x 1 ) +... λ m f(x m ) + λ m+1 f(x m+1 ), kde x = λ 1x 1 1 λ m λmxm 1 λ m+1. Nyní dokážeme zbývající část tvrzení týkající se ostré konvexity a rovnosti v (3.5). Je-li x 1 = = x m =: x, pak evidentně f(λ 1 x λ m x m ) = f ( x = ( ) m ) λ i = f(x) = f(x) λ i = λ i f(x) = λ i f(x i ) Opačnou implikaci dokážeme opět indukcí. Pro m = 2 a λ i (0, 1), λ 1 + λ 2 = 1, rovnost f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) může nastat pouze, když x 1 = x 2 (viz definice ostré konvexity). Předpokládejme, že tvrzení platí pro m N a nechť f (m+1 m+1 ) λ i x i = 28 λ i f(x i ), (3.6)

34 kde λ 1,..., λ m+1 (0, 1). Označme x = m λ 1 1 λ m+1 x i. Pak platí f(λ 1 x λ m x m + λ m+1 x m+1 ) = = f((1 λ m+1 ) x + λ m+1 x m+1 ) (1 λ m+1 )f ( λ 1 λ m ) x x m +λm+1 f(x m+1 ) 1 λ m+1 1 λ m+1 λ 1 f(x 1 ) + + λ m f(x m ) + λ m+1 f(x m+1 ), což vzhledem k (3.6) znamená, že obě nerovnosti v předchozím výpočtu se realizují jako rovnosti. První z nich implikuje x = x m+1 (definice ostré konvexity) a druhá implikuje x 1 = = x m (indukční předpoklad), což celkem dává x 1 = = x m = x m+1. Jako důsledek předchozí věty dostáváme řadu středoškolských nerovností, viz [11], zejména nerovnost mezi algebraickým a geometrickým průměrem m-tic kladných čísel. Z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné je známo, že funkce ln x je konvexní na (0, ) (neboť ( ln x) = 1 > 0, x 2 viz [8, str. 125]), tedy pro libovolná x 1,..., x m > 0 a λ 1,..., λ m 0 taková, že m λ i = 1 platí ( m ) ( m ) ln λ i x i λ i ln x i = ln, odtud x λ i i λ i x i x λ 1 1 xλn n (3.7) (v některé literatuře bývá termín Jensenova nerovnost používán právě pro tuto nerovnost). Zejména, je-li λ i = 1/m, i = 1,..., m, dostáváme nerovnost x x m m m x 1... x m, což je známá nerovnost mezi algebraickým a geometrickým průměrem (tzv. AG-nerovnost). Později ukážeme, že funkce ln x je ostře konvexní a tento fakt implikuje, že v rovnost v poslední nerovnosti nastane právě když x 1 = = x m. Věta 3.7. Nechť X R n je konvexní, I je libovolná indexová množina, f i : X R jsou konvexní pro i I a pro x X je množina {f i (x), i I} shora ohraničená. Pak je funkce konvexní na X. f(x) = sup f i (x) i I 29

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Věnováno RNDr. Milanu Prágerovi, CSc., k jeho 85. narozeninám

Věnováno RNDr. Milanu Prágerovi, CSc., k jeho 85. narozeninám Součet úhlů ve čtyřstěnu Věnováno RNDr. Milanu Prágerovi, CSc., k jeho 85. narozeninám Jan Brandts, Apo Cihangir, Amsterdam, Michal Křížek, Praha Kolik je součet úhlů v rovinném trojúhelníku? Odpověd je

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Minimalizace nehladké funkce Minimization of nonsmooth function

Minimalizace nehladké funkce Minimization of nonsmooth function VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Minimalizace nehladké funkce Minimization of nonsmooth function 2009 Martin Hasal Místopřísežné prohlášení

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více