I. STEJNOSMĚ RNÉ OBVODY

Transkript

1 Řešené příklady s komentářem Ing. Vítězslav Stýskala, leden 000 Katedra obecné elektrotechniky FEI, VŠB-Technická univerzita Ostrava stýskala, 000 Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS díl A I. STEJNOSMĚ NÉ OBVODY! V obvodu dle schématu jsou zapojeny dva reálné zdroje napětí a spotřebič. Je dáno: U i1 + - i - a) U 10 i1. I U 0 c) b) i. I I d) 1 U. I U i1 4 V, U i 6 V, i1 3 Ω, i Ω, 55 Ω. Obr. č. 1 " První zdroj má svorkové napětí naprázdno U 10 { je to napětí na svorkách při stavu naprázdno ( I 0 > i. I 0 ) a je v rovnováze s elektromotorickým napětím E. Tato napětí však působí proti sobě U 0 - E } a vnitřní odpor i1, druhý zdroj obdobně U 0 a i. Výpočtem určete: a) Jak velké bude výsledné svorkové napětí U (na svorkách spotřebiče), spojíme-li oba zdroje do série dle schématu na obr. č. 1a) a jak velký proud I poteče obvodem se spotřebičem. b) Jak se změní velikosti výsledného napětí a proudu obvodem pro případ, kdy dojde, např. omylem, k opačnému zapojení druhého zdroje, viz. obr. č. 1b), resp. c) prvního, viz. obr. č. 1c). d) Jak se změní velikost výsledného napětí zdrojů v obvodu a proudu obvodem pro případ, kdy dojde omylem k opačnému zapojení obou zdrojů, viz. obr. č. 1d). Ř E Š E N Í Prvky jsou v obvodu řazeny sériově, tzn. proud I je v každém místě obvodu stejné hodnoty - konstantní velikosti! a) Dle II. K. Z. určíme napěťovou rovnici (tzn. že, výsledné svorkové napětí dané zdroji je rovno součtu úbytků napětí na spotřebiči a vnitřních odporech zdrojů). 1

2 U 10 + U 0 - i1. I - i. I -. I 0 > I 0,5 A a pro celkové svorkové napětí (úbytek napětí vlivem proudu I ) na spotřebiči platí vztah U. I 7,5 V Výsledné svorkové napětí U má hodnotu 7,5 V a obvodem teče proud I o velikosti 0,5 A. b) Dle II. K.Z. určíme opět rovnici (dle změněné pozice druhého zdroje). Předpokládáme, že proud poteče stejným směrem jako v a). U 10 - U 0 - i1. I - i. I -. I 0, dosazením I 0,3 A a U. I 16,5 V Výsledné svorkové napětí U je nižší než v a), má hodnotu 16,5 V a obvodem teče z těchto důvodů nižší proud I o velikosti 0,3 A (projevil se zde vliv zapojení zdroje U i ) c) Pro případ, že je v obvodu změněna polarita prvního zdroje (U i1 > U i ), bude směr proudu opačný a symbolizuje to i jeho záporné znaménko při výpočtu (při předpokladu, že je směr proudu volen podle stejných kritérií jako v a) a b)). Opačná pak bude i polarita výsledného svorkového napětí na svorkách spotřebiče. - U 10 + U 0 + i1. I + i. I +. I 0, dosazením I - 0,3 A a U. I - 16,5 V d) Pro případ, kdy jsou oba zdroje zapojeny opačně než v případě a) a stejný předpokládaný směr proudu, budou velikosti výsledného svorkového napětí a proudu stejné jako v a), avšak opačné polarity a směru. - U 10 - U 0 + i1. I + i. I +. I 0, dosazením I - 0,5 A a U. I - 7,5 V " Pozn. V případě rovnosti vnitřních napětí zdrojů (U i1 U i ) a budou-li zdroje zapojeny proti sobě, budou proud I obvodem i výsledné napětí U nulový. (U 10 - U 0 ) + i1. I + i. I +. I 0 > 0 + i1. I + i. I +. I 0 > I 0 A a U. I 0 V # $ Zdroj stejnosměrného napětí U z napájí složený obvod dle schématu na obr. č.. Je dáno Ω, Ω, 5 Ω a U z 4 V. I 3 U 3 a x I c 6 b 1 P 7 I I 7 Obr. č.

3 Výpočtem určete: a) proudy I 1, I, I 3, I 7 b) výsledný odpor obvodu v c) napětí U 3, výkon P a celkový výkon P c ŘEŠENÍ Obvod obsahuje jeden zdroj a smíšenou kombinaci rezistorů. Proto postupně po krocích zjednodušujeme obvod dle pravidel pro slučování rezistorů, s cílem určení výsledného odporu v. 1. krok 1, Ω (sériové řazení) Další, klasický postup zjednodušování nebude úspěšný, neboť je třeba transfigurovat (ekvivalentně zaměnit) trojúhelníkový obvod na hvězdu a - b - c, viz. obr. č. 3, pomocí transfiguračních vzorců, kde. krok a a 5 4 c y b c 6 b Obr. č. 3 a ,48 Ω b ,714 Ω c ,857 Ω 3

4 I 3 3 a 5 a x I I 1 c c y b b 1,7 + - Obr. č. 4 Provedenou transfigurací se nezmění odpory mezi uzly a, b, c a tím ani poměry v obvodu! 3. krok Sloučení 1,7 a b a současně obdobně a také 1,7,b 1,7 + b ,714 35,714 Ω 3,a 3 + a ,48 11,48 Ω,c + c 0 +,857,857 Ω 4. krok Sloučení 3,a,,c 3,a //,c (paralelní řazení - symbolický zápis) a s využitím odvozeného praktického vztahu 3,9,, c 3,a,c 3a + c 7,619Ω b) Celkový výsledný odpor zapojení je cílem postupného zjednodušování, tzn.. 5. krok (poslední) v 3,a,,c + 1,7 7, ,619 Ω a) Proud I 1 je proudem do obvodu ze zdroje napětí. Určí se dle Ohmova zákona (O.Z.) z hodnot výsledného odporu zapojení a napětí zdroje. U 4 I Z 1 0,638A V 37,619 Vztahy pro proudy I a I 3 v jednotlivých větvích určíme ze schématu po transfiguraci, kde I Ux,y,,c Ux,y 3,a Napětí U x,y, je úbytek napětí (vlivem proudu I 1 ) v meziobvodu (mezi uzly x a y) a určí se dvěma možnými způsoby aplikací O.Z.. I 3 1 U x,y 3,a,,c. I 1 7,619. 0,638 4,861 V 4

5 nebo aplikací II.K.Z.. U z - U 1,7 - U x,y 0 > U x,y U z - U 1,7 U z - 1,7. I (30.0,638) 4,861 V. U x,y 4,861 Dosazením I 0,13A,c,857 Ux,y 4,861 a I 3 0, 45 A. 11,48 3,a Pro tyto výpočty lze aplikovat také I. K. Z. pro uzel x, neboť platí I 1 - I - I 3 0 > I 3 I 1 - I 0,638-0,13 0,45 A Proud I 7 je totožný (je ve stejné větvi) s proudem I 1 a tudíž platí, že I 7 I 1 0,639 A, lze jej také určit aplikací I. K.Z. pro uzel y I 3 + I - I 7 0 > I 7 0,45 + 0,13 0,639 A c) Úbytek napětí U 3 na rezistoru 3 (vlivem protékajícího proudu I 3 ) U 3 3. I ,638 6,38 V, průtokem proudu I rezistorem, vznikne na něm výkon P.I 0.0,13 0,907 W. Celkový činný výkon P c, dodaný zdrojem do obvodu, lze určit několika způsoby ze známých obvodových veličin 1 P c U z. I ,31 W P c v. I 1 37, ,31 W 3 P c U Z / v 4 / 37,619 15,31 W v případě, že jsou výpočtem již určeny výkony proudů na jednotlivých rezistorech, pak platí vztah 4 P c Σ P II. STŘ ÍDAVÉ OBVODY Jednofázové! Tři spotřebiče tvořené prvky, L, C, jsou zapojeny podle schématu na obr. č. 5 a připojeny k jednofázovému zdroji napětí 35 V 45 0 o frekvenci f 50 Hz. Je dáno: 1 4 Ω, L 1 9,55 mh, C 1061 µf, 4 Ω, 3 5 Ω, L 3 19,1 mh, C K 93,177µF Určete: 1. a) U 1, U, U 3 b) charakter jednotlivých spotřebičů a celkového zapojení c) velikosti výkonů proudu na jednotlivých spotřebičích P 1, Q 1, S 1, P, Q, S, P 3, Q 3, S 3 a celkové výkony odebírané ze zdroje celým zapojením d) fázový posuv ϕ mezi celkovým proudem I a napájecím napětím.. a) I 1, I, I 3, I b) charakter celkového zapojení spotřebičů ke zdroji c) velikosti výkonů proudu na jednotlivých spotřebičích P 1, Q 1, S 1, P, Q, S, P 3, Q 3, S 3 a celkové výkony 5

6 celého zapojení odebírané ze zdroje d) fázový posuv ϕ mezi celkovým proudem obvodem I a napájecím napětím. 3. Jak se změní obvodové veličiny, charakter, výkony a fázový posuv ϕ, připojíme-li ke třetímu spotřebiči do série navíc induktor L 3? 4. Jak se změní celkové obvodové veličiny, charakter celkového zapojení a celkové výkony, připojíme-li k předešlému zapojení spotřebičů (v bodě 3.) paralelně kapacitor C K, tj. na svorky zdroje? 5. Nakreslete v příslušném měřítku fázorové diagramy U a I pro všechna zapojení. 1 L 1 3 C U 1 U U 3 I ~ Schéma zapojení 1. Obr. č. 5 ŘEŠENÍ 1. a) Jednotlivé úbytky napětí vlivem protékajícího proudu I (proud obvodem I je v každém místě obvodu stejný!, jeho směr je možné zvolit libovolně neexistuje polarita zdroje) a příslušné impedance. Pro násobení je vhodnější verzorový symbolický tvar zápisu fázorů. U 1 Z 1. I 5 36, V 81,87 0 (17,677 + j13,744) V kde Z jx L 1 + j(.π.f.l 1 ) (4 + j3) Ω 5 Ω 36,87 0 a proud I / Z 5 A 45 0 (proud I obsahuje jen činnou složku), % # kde Z je celková impedance všech spotřebičů v sériovém zapojení, viz. níže. 1 Z - jx C - j (4 - j3) Ω 5 Ω - 36,87 0 π f C Z j0 (5 + j0) Ω 5 Ω 0 0 Z Z 1 + Z + Z 3 (4 + j3) + (4 - j3) + (5+ j0) (13 + j0) Ω 13 Ω 0 0 % obdobně určíme i ostatní úbytky napětí na spotřebičích, tj U Z. I 5-36, V 8,13 0 (13,743 + j17,677) V U 3 Z 3. I V 45 0 (88,388 + j88,388) V 6

7 & Kontrolu správnosti výpočtu lze provést užitím II. K. Z. pro daný obvod. Σ U 0, U 1 + U + U 3-0 (z důvodů operace sčítání fázorů, je nutné i fázor U z převést z verzorového do složkového symbolického tvaru) 345 V 45 0 (9,809 + j9,809) V a dosazením (17,677 + j13,744) + (13,744 + j17,677) + (88,388 + j88,388) - (9, j9,809) (0 + j0) V 0 V 0 0 > v y h o v u j e b) Charakter zapojení se určuje zpravidla z tvarů impedance, srovnáním reálné a imaginární části symbolického zápisu. Z 1 (4 + j3) Ω > odporově ( > 0) induktívní (X > 0), zkráceně charakter -L Z (4 - j3) Ω > odporově ( 3 > 0) kapacitní (X < 0), zkráceně charakter -C Z 3 (5 + j0) Ω > odporový ( > 0) - (X 0), zkráceně charakter " V ostatních zde neuvedených, mohou nastat ještě případy Z (0 + jx L ) Ω > - ( 0) induktívní (X > 0), zkráceně charakter L Z (0 - jx C ) Ω > - ( 0) kapacitní (X < 0), zkráceně charakter C Celkový charakter zapojení spotřebičů dle 1., určíme obdobně Z (13 + j0) Ω > odporový (tento případ je stavem sériového obvodu -L-C v rezonanci, kde platí Im { Z } 0, kdy jx L jx C ). c) K určení velikosti jednotlivých výkonů proudu, lze použít vztah pro určení fázoru zdánlivého výkonu S. Jeho následným rozložením na složkový tvar lze určit pak jednotlivé velikosti výkonů odpovídající složkám fázoru S, neboť platí S U. I * > P + jq, kde I * je fázor proudu komplexně sdružený ke komplexnímu, tj. má opačné znaménko imaginární části, resp. opačné znaménko počáteční fáze fázoru proudu I. Jednotlivé fázory zdánlivých výkonů spotřebičů jsou tvořeny součinem fázorů příslušného úbytku napětí na nich a proudu. S 1 U 1. I * 15 81, VA 36,87 0 (500 + j1875) VA P W, Q var (induktívní), S VA S U. I * 15 8, VA - 36,87 0 (500 - j1875) VA P 500 W, Q var (kapacitní), S 315 VA S 3 U 3. I * VA 0 0 (315 - j0) VA P W, Q 3 0 var, S 315 VA S. I * VA 0 0 (815 + j0) VA P 815 W, Q 0 var, S 815 VA " Pozn. Jednotlivé i celkové velikosti výkonů lze určit i jako Σ P a ΣQ, celkový zdánlivý S P + Q, nebo jako velikost fázoru ze vztahu S S 1 + S + S 3 7

8 d) Fázový posuv ϕ mezi fázory napětí a proudu se určí jako rozdíl jejich počátečních fází ϕ ψ U - ψ I, dále také jako ϕ arctg X/ nebo ϕ arccos P/S a podobně. ϕ ψ U - ψ I ϕ arctg X/ arctg ϕ arccos P/S arccos Při paralelním řazení jednotlivých spotřebičů je napětí na jejich svorkách stejné, rovné napětí zdroje! I 3 3 I C a I 1 1 L 1 I ~ Schéma zapojení. Obr. č. 6 a) Pro proudy v uzlu a platí dle I. K. Z. vztah I - I 1 - I - I 3 0 > I I 1 + I + I 3 I 1. Y 1 / Z 1 65A 8,13 0 (64,347 + j9,193) A ( byly-li při předchozích výpočtech určeny jednotlivé impedance spotřebičů, lze je použít, v opačném případě použít vztah pro určení admitance Y G + j(b C - B L ), kde G 1/, B C 1/(-jX C ) j.π.f.c, B L 1/jX L -j/.π.f.l ) I. Y / Z 65 A 81,87 0 (9,193 + j64,347) A I 3. Y 3 / Z 3 65 A 45 0 (45,96 + j45,96) A I I 1 + I + I 3 (64,347 + j9,193) + (9,193+ j64,347) + ( j45,96) (119,50 - j119,50) A 169,001 A 45 0 Pozn. Celkový proud má mnohem větší velikost než v 1. vlivem proudů ve větvích., počáteční fáze jeho fázoru je v tomto případě shodná s poč. fází v 1., tj. obsahuje jen činnou složku. V obecném případě je však celkový charakter zapojení jiný než v 1.. b) K určení charakteru celkového zapojení je nutné určit za použití aplikace Ohmova zákona celkovou impedanci Z. 8

9 Z 1,93 Ω 0 0 (1,93 + j0) Ω > odporový charakter ( > 0, X 0)! I v tomto případě se jedná o případ rezonance, neboť pro zapojení platí, že Im { Y } 0, tj. jb C jb L, kde celková admitance obvodu Y 1/Z G + j(b C - B L ). c) Jednotlivé výkony lze určit např. z fázorů zdánlivých výkonů obdobně jako v 1c). * S 1. I , VA 36,87 0 (16899,997 + j1675,03) VA P ,997 W, Q ,03 var, S VA S. I * , VA - 36,87 0 (16899,997 - j1675,03) VA P 16899,997 W, Q ,03 var, S 115 VA * S 3. I VA 0 0 (115 + j0) VA P W, Q 3 0 var, S VA S. I * , ,35 VA 0 0 (5495,35 + j0) VA P 5405,35 W, Q 0 var, S 5495,35 VA Pozn. Výkony jsou v důsledků větších proudů mnohem větší než v 1. d) Fázový posuv ϕ ψ U - ψ I Hledané obvodové veličiny se změní, neboť se změní impedance třetího spotřebiče Z 3, celková impedance obvodu Z a vlivem toho i proud obvodem I. Z j(.π.f.l 3 ) (5 + j6) Ω 7,81 Ω 50,19 0 Z Z 1 + Z + Z 3 Změna velikosti i charakteru! (charakter odporově-induktívní) (13 + j6) Ω 14,318 Ω 4,78 0 d) Změna velikosti i charakteru! (celkový charakter odporově-induktívní) I Z' 35,688 A 0, 0 (1,99 + j7,845) A 14,318 4,78 Změna velikosti i charakteru! (proud má činnou i jalovou složku induktívního char.) a) Úbytky na jednotlivých spotřebičích i kontrola obdobně jako v 1. a). U 1 U U 3 Z 1. I 5 36,869 0.,698 0, 0 113,49 V 57,09 0 (61,663 + j95,77) V Z. I 5-36,869 0.,698 0, 0 113,49 V - 16,65 0 (108,73 - j3,517) V Z 3. I 7,81 50,19 0.,698 0, 0 177,7 V 70,39 0 (59,495 + j166,989) V Kontrola (musí platit rovnost fázorů napětí v uzavřeném obvodě dle i. K.Z.) Σ U 0, U 1 + U + U 3-0 9

10 (61,663 + j95,7) + (108,73 - j3,517) + (59,495 + j166,989) - (9,809 + j9,809) (0,078 + j0,14) V 0 V 0 0 > v y h o v u j e c) Výkony se určí obdobně jako v 1. c) určením fázorů jednotlivých zdánlivých výkonů a jejich rozložením. S 1 U 1. I * 575,996 VA 36,87 0 (060,794 + j1545,6) VA P 1 060,794 W, Q ,6 var (induktívní), S 1 575,996 VA U. I * 575,996 VA - 36,87 0 (060,794 - j1545,6) VA P 060,794 W, Q ,6 var (kapacitní), S 575,996 VA S S 3 U 3. I * 575,996 VA - 36,87 0 (060,794 - j1545,6) VA P 3 060,794 W, Q ,6 var (induktívní), S 3 575,996 VA S. I * 7376,85 VA 4,78 0 (6697,617 + j3091,897) VA P 6697,617 W, Q 3091,897 var (induktívní), S 7376,85 VA d) Fázový posuv ϕ mezi fázory napětí a proudu I ϕ ψ U - ψ I , 0 4,78 0 Pozn. Fázový posuv leží v intervalu ϕ (0 0, ), tzn. že fázor napětí předbíhá fázor proudu ve směru +ω. Je to v souladu s předchozim závěrem, že celkové zapojení spotřebičů je odporově-induktívního charakteru 4. Náhradní zjednodušující schéma paralelního spojení spotřebičů znázorňuje situaci pro řešení. Zapojení spotřebičů z 3. je nahrazeno výslednou impedanci Z + jx odporově - induktívního charakteru. I' L d I K C K I'' ~ Schéma zapojení 4. a) Jednotlivé proudy ve větvích lze určit několika způsoby. Pro uzel d platí vztah dle I. K.Z.. I - I - I K 0 > I I + I K 10

11 ' 35 I,698 A 0, 0 (1,99 + j7,845) A ' Z 14,318 4,78 1 Z K 0 - j π f C K (0 - j34,16) Ω 34,16 Ω I K U Z Z K 9,514 A (- 6,77 + j6,77) A a dosazením I I + I K (1,99 + j7,845) + (- 6,77 + j6,77) (14,57 + j14,57) A 0,607 A 45 0 Jiný možný způsob výpočtu proudů pomocí admitancí. Platí: I. Y ,069-4,78 0,46 A 0, 0 Kde admitance obvodu Y Z 1 0,069 S - 4,78 0 (0,067 - j0,089) S G + j(b C - B L ) I K. Y K , ,514 A 135 0, kde Y K 0,097 S 90 0 (0 + j0,097) S I. Y 0,38 A 45 0 Y Y + Y K (0,067 - j0,089) + (0 + j0,097) (0,067 - j0,00037) (0,067 - j0) S 0,067 S 90 0 Z výsledků vyplývá, že celkový proud ze zdroje I má menší velikost než I ve 3.. Je to způsobeno tzv. kompenzací induktívní složky proudu kapacitní složkou (jalový proud v daném úseku periody je opačného orientace) pomocí kapacitoru C K. Po úplné kompenzaci by byl proud I ve fázi s napětím zdroje. Celý spotřebič se pak chová jako rezistor. Přívodními vodiči teče pouze činná složka proudu, přenášející potřebný činný výkon P. c) Celkový výkon S. I * , ,75 VA 0 0 (6697,7 + j0) VA P 6697,7 W, Q 0 var, S 6697,7 VA 5. Fázorové diagramy, jsou grafickým znázorněním poměrů v el. obvodě. Jsou vhodné k rychlému a přehlednému určení fázorů veličin, jejich počátečních fází a fázových posuvů mezi nimi, dále ke grafickému řešení a ke kontrole výsledků numerických výpočtů veličin ve střídavých obvodech. Fázory, např. U a I se zpravidla zakreslují ve vhodném měřítku do Gaussovy komplexní roviny (+1,+j) s tím, že za vztažnou osu (0 0 ) je zpravidla považována osa +1 (+e). Měřítko proudů m I se volí zpravidla jiné než měřítko napětí m U. Kladný směr měření počátečních fází fázorů ψ i fázových posuvů fázorů ϕ je zpravidla proti směru otáčení hodinových ručiček, tj. ve směru otáčení soustavy fázorů (+ω). Pro sériové zapojení se zpravidla zakresluje v pořadí jako první fázor proudu (u obecného řešení úlohy je pokládán zpravidla do vztažné osy +e). Dále se postupně zakreslí fázory napětí podle výsledků, nebo se zakreslí pomocí znalosti poměrů ve střídavých obvodech s ideálními -L-C prvky, viz. 1.a

12 m I : 1cm 5A, m U : 1cm 3,5V I m +j + ω U 1 I U 3 ϕ 0 81,87 U +e 0 8, Sériové ad 1. +j I m + ω U' 3 U' 1 ϕ 4,78 70,39 57,09 0, I +e 0-16, U' Sériové ad 3. m I : 1cm 5 A, m U : 1cm 3,5 V 1

13 Pro paralelní zapojení se zpravidla zakresluje v pořadí jako první fázor napětí (u obecného řešení úlohy je pokládán zpravidla do vztažné osy +e). Dále se postupně zakreslují fázory proudů podle výsledků, nebo se zakreslí pomocí znalosti poměrů ve střídavých obvodech s ideálními -L-C prvky, viz.. a 4. (kompenzace). m I : 1cm 10 A, m U : 1cm 3,5 V I m I +j + ω I ϕ 0 I ,87 I 1 8,13 +e + 1 Paralelně ad 13

14 I m + ω +j ϕ 0 I'' I K 135 I' 0, +e Paralelně - kompenzace ad 4. m I : 1cm 5 A, m U : 1cm 3,5 V U smíšeného zapojení je volba prvního zakresleného fázoru závislá na celkovém zapojení a respektuje použitou metodu výpočtu, např. postupného zjednodušování zapojení obvodu. 14