ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha

2 Předmluva Předkládaná učební pomůcka je určena studentům.roč. magisterského učebního programu nteligentní budovy zaměření elektrotechnické / informatické a tvoří vhodný doplněk vlastního učebního textu k usnadnění studia předmětu Elektrické světlo. Ve skriptu jsou v příkladech ukázány běžné postupy řešení základních světelně technických veličin i možnosti praktického využití jejich vzájemných souvislostí. V několika komplexnějších příkladech jsou výsledky výpočtů ověřeny energetickými bilancemi. Čtenář v publikaci nalezne i výpočty rozložení světelných toků bodových přímkových a obdélníkových typů svítidel a příklady ilustrující vliv mnohonásobných odrazů v interiérech. Na přípravě pomůcky a řešení jednotlivých příkladů a na zpracování pomůcky se podíleli : Prof. ng. Jiří Habel DrSc. ng. Tomáš Veselka ng. Marek Bálský ng. Rudolf Bayer a ng. Jan álešák. Předložená učební pomůcka není jistě bez nedostatků. Proto budeme všem čtenářům vděčni za veškeré jejich připomínky jak k obsahu tak i ke způsobu zpracování látky. V Praze v říjnu roku Autoři

3 Předmluva.... Rozlišení detailu Prostorový úhel Prostorový úhel Prostorový úhel Světelný tok sodíkové výbojky Určení světelného toku ze svítivosti zdroje Určení svítivosti ze světelného toku zdroje Jas povrchu tělesa Jas povrchu tělesa.... Jas povrchu tělesa ve tvaru válce.... Určení světlení z dopadlého toku na plošku Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu ntegrální činitele odrazu prostupu a pohlcení Osvětlenost v poli bodového zdroje Osvětlenost v poli bodového zdroje Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Výpočet světlenosti v poli přímkového typu Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typu Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvorem Řešení mnohonásobných odrazů v daném prostoru ve tvaru kvádru Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DALux Analýza zapínacího proud žárovek Analýza napájecího obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem Kompenzace účiníku v obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem... 69

4 . Rozlišení detailu Určete vzdálenost ze které lidské oko rozliší úsečku o délce mm při rozlišovací schopnosti oka. Řešení: Pro malé úhly zejména v oblasti minut lze přistupovat k problému zjednodušeně podle obr. b. Obr. a Obr. b Obr. Pozorovatel sleduje objekt o délce mm ze vzdálenosti l pod úhlem. [Při malých úhlech (cca do ) lze při řešení postupovat i podle obr. b.] Výpočet pro situaci na obr. a: 3 5 mm 5 mm 5 tg( 5') l m l tg( 5') tg( 5') Pro přepočet z minut na stupně resp. z minut na radiány lze použít vztahy 5' π ( ) ( ) ( 5 / 6) ; 5' Výpočet pro situaci na obr. b: 3 mm tg( ') l m l tg( ') V tomto případě se výsledky obou přístupů liší až na 7. desetinném místě. Pro přepočet z minut na stupně resp. z minut na radiány lze použít vztahy ' π 99 8 ( ) ( ) ( / 6) ; ' 4 rad 4 rad 3

5 . Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S ve tvaru koule o průměru d 3 cm pokud jej pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla pod úhlem β 3 podle obr.? Řešení: Obr. Svítidlo S ve tvaru koule o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá svislá osa o s svítidla se spojnicí středu svítidla S a bodu P. Prostorový úhel Ω pod nímž je z bodu P vidět svítící povrch svítidla obecného tvaru ze vzdálenosti l lze spočítat podle vztahu Ω A cos β (sr; m m) () l kde A je svítící povrch svítidla který pozoruje pozorovatel z bodu P β je úhel mezi svislou osou o s a spojnicí středu svítidla S a bodem P ( A cosβ ) je průmět svítícího povrchu svítidla do roviny kolmé k ose pohledu tj. ke spojnici bodu S a bodu P. Svítící povrch svítidla S ve tvaru koule vidí pozorovatel z jakéhokoliv směru (tj. pro jakýkoliv A cos β π d ] ležící v rovině kolmé k paprsku l. úhel β) jako kruh [o ploše ( ) 4 rovnice () pro hledaný prostorový úhel Ω pod nímž je z bodu P vidět kruhový zdroj S pak po A cosβ vyplývá dosazení za ( ) Ω A l cos β π d π 4 4 l sr ávěr: Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve vtaru koule pod prostorovým úhlem Ω 3-3 sr. 4

6 3. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S tvaru kruhu o průměru d 3 cm pokud jej pozorouje z bodu P ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla S a pod úhlem β 3 dle obr. 3? Řešení: Obr. 3 Svítidlo S ve tvaru kruhu o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá paprsek l s normálou N A k vyzařovací ploše svítidla. Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice () uvedené v příkladu do které se dosadí: l 5 m; A π d ; d 3 m; β 3 ; cosβ cos(3 ) ávěr: A β π d β π Ω 98-3 sr cos cos 3 cos3 l 4 l 4 5 Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve tvaru kruhu pod prostorovým úhlem Ω 98-3 sr. 5

7 4. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo tvaru válce s podstavou o průměru d 3 cm a výškou h 4 cm ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla pokud jej pozoruje z bodu P pod úhlem α 3 dle obr. 4? Obr. 4 Svítidlo S ve tvaru válce s podstavou o průměru d a výškou h se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá svislá osa o s svítidla S se spojnicí středu svítidla S a bodu P. Řešení: Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice () uvedené v příkladu kde součin ( A cos β ) představuje průmět povrchu válcové plochy roviny kolmé ke směru pohledu tj. k paprsku l. Povrch válce si lze rozdělit na dílčí plochy podle obr. 5 a to na kruh a obdélník. Obr. 5 pohledu pozorovatele P lze povrch svítidla S ve tvaru válce rozdělit na kruh A k pozorovaný pod úhlem β a na obdélník A o pozorovaný pod úhlem (9 -β) jak je naznačeno v pravé části obrázku. K získání celkového prostorového úhlu Ω dosadíme do obecného vztahu () úhel β a plochu A k úhel (9 -β) a plochu A o ávěr: ( 9 α ) π d cosα ( h d ) cos( 9 α ) + A cosα B cos Ω + l l 4 l l π 3 4 ( 4 3) cos( 9 3 ) cos sr Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S pod prostorovým úhlem Ω 94-3 sr.

8 5. Světelný tok sodíkové výbojky adání: Při uvažování fotopického vidění určete světelný tok sodíkové výbojky 5 W která vyzařuje na vlnové délce λ 555 nm zářivý tok e (λ) 8 W. 7 6 S v ě t e l n ý ú č i n e k z á ř e n í ( l m/ W ) K (λ) - skotopické vidění max. 7 lm /W při 57 nm 555 nm K (λ) K (λ) - - mezopické vidění vidění adaptační adaptační jas jas cd.m cd.m - - max. 756 lm/w při 53 nm K(λ) - fotopické vidění max. 683 lm /W při 555 nm K (λ) - mezopické vidění adaptační jas cd.m - max. 695 lm /W při 545 nm vlnová délka (nm) Obr. 6 ávislosti světelného účinku záření K(λ) normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém mezopickém a skotopickém vidění na vlnové délce viditelného záření. Řešení: Světelný tok (λ) odpovídající zářivému monofrekvenčnímu toku e (λ) při fotopickém vidění normálního fotometrického pozorovatele se stanoví jako součin zmíněného zářivého toku e (λ) a světelného účinku K(λ) záření ze vztahu ( λ) K( λ) ( λ) (lm; lm/w W) () e V daném případě e (λ) e (555) 8 W a tudíž K(λ) K(555) 683 lm W -. Po dosazení do vztahu () pro hledaný světelný tok (λ) vychází ávěr: ( λ) K( λ) ( λ) lm 546 lm e Světelný tok sodíkové výbojky o příkonu 5 W je 546 lm. 7

9 6. Určení světelného toku ze svítivosti zdroje adání: Stanovte světelný tok zdroje jehož průměrná svítivost do dolního poloprostoru je d 48 cd a do horního poloprostoru h 36 cd. Řešení: Svítivost γ bodového zdroje ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω.a to v souladu s definiční rovnicí svítivosti d γ (cd; lm sr) (3) dω kde dω je prostorový úhel jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezích uvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok d. Prostorový úhel Ω celého prostoru je roven 4π a prostorový úhel poloprostoru je π. Je-li průměrná svítivost d do dolního a h do horního poloprostoru stanoví se hledané světelné toky d a h do dolního a horního poloprostoru ze vztahu ávěř: Ω Ω + Ω 48 π + 36 π 5779 lm 58 lm Světelný tok zdroje je 58 lm. d d h h 7. Určení svítivosti ze světelného toku zdroje adání: Jaká je svítivost bodového zdroje světla který vyzařuje světelný tok 56 lm rovnoměrně do všech směrů v prostoru? Řešení: Svítivost γ bodového zdroje je definována vztahem (3) uvedeném v příkladu 6. Pokud je světelný tok rovnoměrně vyzařován do všech směrů (Ω 4π) je průměrná svítivost rovna poměru toku a prostorového úhlu Ω tj. ávěr: cd cd Ω 4π Průměrná svítivost uvažovaného bodového zdroje rovnoměrně vyzařujícího tok 56 lm do celého prostoru je cd. 8

10 8. Jas povrchu tělesa adání: Určete jas L povrchu tělesa ve tvaru koule o průměru d 3 cm které do všech směrů vyzařuje s konstantní svítivostí cd. Řešení: Obr. 7 Pozorovatel vidí z bodu P svítidlo tvaru koule o průměru d jako kruh o průměru d. Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se z bodového zdroje jehož svítivost ve směru osy svazku je γ platí obecný vztah γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ kde A je vyzařující plocha γ je úhel mezi normálou N A plochy A a osou svazku paprsků γ (viz obr. 8). Obr. 8 Náčrt průmětu (A cosγ) svítící plochy A do roviny kolmé ke směru svítivosti γ. Pokud pozorovatel P podle obr. 7 pozoruje svítidlo ve tvaru koule uvidí z jakéhokoliv úhlu γ (obr. 8) kruh o průměru d. V daném případě je tedy pro libovolný úhel γ průmět d A cos β π (5) 4 a hledaný jas L se při konstantní svítivost vypočte z rovnice ávěr: S π d π L 44 7cd m 45 cd m - Hledaný jas L povrchu tělesa ve tvaru koule je tedy 45 cd m. 9

11 9. Jas povrchu tělesa adání: Určete jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule o průměru d 3 cm ve směru k pozorovateli v bodě P (ve směru pod úhlem γ 3 od normály N A ) je-li svítivost tělesa ve sledovaném směru γ cd (viz obr. 9). Řešení: Obr. 9 Jas svítidla tvaru polokoule o průměru d hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ svírá normála N A kruhové podstavy svítící plochy polokoule a spojnice středu podstavy s bodem P. Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8 γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ Důležité je že ve jmenovateli vztahu (4) je průmět svítící plochy A zdroje do roviny kolmé ke směru pohledu pozorovatele tj. A cosγ. Pro daný případ je situace znázorněna na obr.. Obr. a Obr. b Obr. Polokulové svítidlo je z bodu P (obr. a) vidět ve tvaru znázorněném na obr. b. Plocha A představuje polovinu obsahu kruhu o průměru d tj. π d A 4 π d plocha A je pak rovna polovině kruhu pozorovaného pod úhlem γ tj. A cos. obr. je zřejmé že v daném případě je průmět ( cosβ ) k ose pohledu roven A svítící plochy A do roviny kolmé π d π d A cos γ A + A cosγ + (6) γ

12 Po dosazení do vztahu (6) pro hledanou hodnotu jasu vychází L γ γ A cosγ γ γ A + A π d π d cosγ π 3 4 π 3 cos cd m - ávěr: Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru polokoule se svítivostí γ cd v pozorovaném směru je 56 cd m -.. Jas povrchu tělesa ve tvaru válce adání: Určete jas povrchu svítícího tělesa ve tvaru válce s podstavou o průměru d 3 cm výškou h 4 cm a to ve směru pod úhlem γ 3 od osy o v válce za předpokladu že svítivost γ daného svítidla v uvažovaném směru je rovna γ cd (viz obr. ). Obr. Jas svítícího tělesa ve tvaru válce o průměru podstavy d a výšce h hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ se měří mezi normálou N A kruhové podstavy válce a spojnicí středu svítidla s bodem P. Přímka N A prochází středem válce a je kolmá k normále N A. Řešení: Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8 γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ

13 Obr. a Obr. b Obr. Svítící válec (obr. a) je z bodu P vidět ve tvaru znázorněném na obr. b. Pozorovanou svítící plochu lze rozdělit na svítící kruh podstavy A p pozorovaný pod úhlem γ jako plocha A a na plášť válce pozorovaný pod úhlem (9 -γ) jako plocha A obdélníku. obr. je zřejmé že v daném případě je průmět ( cosβ ) k ose pohledu roven A svítící plochy A do roviny kolmé π d A cosγ A + A cosγ + h d cosγ (7) 4 Po dosazení do vztahu (7) pro hledanou hodnotu jasu L γ vychází L γ γ A cosγ γ A + A π d 4 γ cosγ + h d cosγ cd m - π 3 cos cos3 4 ávěr:. Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru válce s danou svítivostí v pozorovaném směru je 85 cd m -

14 . Určení světlení z dopadlého toku na plošku adání: Určete světlení rovinné plošky A o obsahu S cm ze které vychází světelný tok lm (obr. 3). Řešení: Obr. 3 Plocha A vyzařuje tok. Světlení je definováno jako plošná hustota světelného toku d v vyzařovaného z plošky da podle výrazu M dv (lm m - ; lm m ) (8) da Pro průměrnou hodnotu světlení M plochy A vyzařující tok v pak platí M v (lm m - ; lm m ) (9) A Po dosazení do rovnice (9) pro hledané světelní M vychází M lm m - S ávěř: Hodnota světelní M zadané plošky A je lm m -. 3

15 . Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete světelný tok dopadlý z bodového zdroje na plochu A kruhového tvaru o průměru d 3 cm. droj světla vyzařuje rovnoměrně do všech směrů s konstantní svítivostí cd a je od plochy A umístěn ve vzdálenosti l 5 m (obr. 4). Dále určete osvětlenost plochy A. droj osvětluje plochu A ze směru pod úhlem β 3 měřeným od normály N A. Obr. 4 droj osvětluje kruhovou plochu A ze vzdálenosti l. Osa svazku paprsků dopadajících ze zdroje na plochu A svírá s normálou N A úhel β. Řešení: Svítivost γ svítidla bodového typu ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω. d γ (cd; lm sr) () dω kde dω je prostorový úhel jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezích uvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok d. Vyzáří-li zdroj do prostorového úhlu Ω světelný tok pak je průměrná svítivost s v mezích prostorového úhlu Ω rovna s (cd; lm sr) () Ω výrazu () vyplývá že vyzařuje-li zdroj do prostorového úhlu Ω s konstantní svítivostí s pak do prostorového úhlu Ω vyzáří světelný tok který se zjistí ze vztahu s Ω (lm; cd sr) () adaný zdroj vyzařuje s konstantní svítivostí do celého prostoru. Svítivost je tedy konstantní i v mezích prostorového úhlu Ω A pod kterým je z bodu vidět plocha A. Světelný tok A dopadající na plochu A v mezích prostorového úhlu Ω A (obr. 5) lze tedy vypočítat ze vztahu (lm; cd sr) (3) A Ω A 4

16 Obr. 5 bodu zdroje je osvětlovaná plocha A vidět pod prostorovým úhlem Ω A. Prostorový úhel Ω pod nímž je ze zdroje vidět plochu obecného tvaru ze vzdálenosti l lze spočítat podle vztahu A cosβ Ω (sr; m m) (4) l kde A je osvětlovaná plocha která je z bodu vidět pod prostorovým úhlem Ω A v daném případě A π d 4 β je úhel mezi spojnicí středu plochy A a zdrojem a normálou N A plochy A. Po dosazení do rovnice (4) pro prostorový úhel Ω A vychází Ω A π d π 3 A cos β cosβ cos sr l l 5 Dosadíme-li výsledek do vztahu (3) nalezneme již hledaný světelný tok A 9 79 A Ω A 3 98 lm Průměrná osvětlenost E A plochy A se pak vypočte z výrazu A A 98 EA 39 lx A π d π Stejná hodnota osvětlenosti E A se zjistí i dosazením do základního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ osvětlené svítidlem bodového typu γ E P ρ cos β cos3 36 lx l 5 ávěr: Světelný tok dopadající na plochu A má hodnotu A 98 lm a osvětlenost E plochy A hodnotu E A 39 lx. K hodnotě osvětlenosti plošky A v bodě P lze dospět výpočtem světelného toku A dopadajícího na plochu A a vztažením tohoto toku na plochu A nebo dosazením do základního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ. 5

17 3. Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu adání: Mějme kruhovou difúzně odrážející a propouštějící plochu A o průměru d m. ntegrální činitel odrazu plochy A je ρ 7 a integrální činitel prostupu materiálu τ. Na uvažovanou plochu A dopadá světelný tok 3 lm. Vypočítejte světelní M povrchu A do poloprostoru v němž je zdroj a M do druhého poloprostoru (obr. 6). Řešení: Obr. 6 droj osvětluje kruhovou plochu A o průměru d. Světlení M je obecně definováno vztahem (8) uvedeném v příkladu. Průměrná hodnota světlení M plochy A vyzařující (odrážející) tok V se zjistí ze vztahu (9). Dopadá-li na difúzně odrážející plochu A tok odráží se od jejího povrchu do poloprostoru v němž je zdroj světelný tok ρ. Obsah kruhové plochy A o průměru d se vypočte z výrazu d 4 o A π. Po dosazení do vztahu (9) pro světlení M vychází o ρ 3 7 M 67 lm m - A π d π 4 4 Tok p prošlý materiálem do poloprostoru se stanoví z rovnice p τ. Průměrné světlení M do poloprostoru je rovno poměru toku p a obsahu plochy A M p A τ 3 π d π lm m - ávěr: adaná plocha A po dopadu světelného toku 3 lm ze zdroje vykazuje do poloprostoru se zdrojem světlení M 67 lm m - při daném integrálním činiteli odrazu ρ plochy A a do opačného poloprostoru M 76 lm m - při daném integrálním činiteli prostupu τ materiálu plochy A. 6

18 4. ntegrální činitele odrazu prostupu a pohlcení adání: Mějme plochu A na kterou dopadá světelný tok lm. 7 % světelného toku se od plochy A odrazí a 3 lm látkou projde. Určete činitel pohlcení α materiálu plochy A. Řešení: Světelně technické vlastnosti látek charakterizují tři bezrozměrné integrální činitele: činitel odrazu ρ činitel prostupu τ a činitel pohlcení α. Tyto činitele určují jaká část dopadajícího světelného toku se odrazí projde látkou a je látkou pohlcena. Platí tedy ρ + τ + α (5) Pokud se podle zadání 7 % dopadajícího světelného toku odrazí je činitel odrazu ρ 7. Dále víme že látkou projde světelný tok τ 3 lm což je 3 % z dopadajícího světelného toku lm. Činitel prostupu je tedy τ 3. Činitel pohlcení α se pak stanoví dosazením do rovnice (5) z výrazu ávěr: α ρ τ ntegrální činitele odrazu ρ prostupu τ a pohlcení α určují jaká část světelného toku dopadající např. na danou plochu A se odrazí projde a je pohlcena materiálem plochy. Sledovaný materiál plochy A vykazuje tedy při integrálním činiteli odrazu ρ 7 hodnotu integrálního činitele prostupu τ 3 a hodnotu integrálního činitele pohlcení α 5. 7

19 5. Osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete osvětlenost E Pρh vodorovné srovnávací roviny ρ h v bodě P kterou zajistí jediný bodový zdroj. Rozložení svítivosti rotačně souměrně vyzařujícího zdroje vystihuje čára svítivosti jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) cos γ. Vztažná svítivost 5 cd h 3 m p 4 m (viz obr. 7). Obr. 7 Geometrické uspořádání zdroje a kontrolního bodu P ve vodorovné srovnávací rovině ρ h. V bodě P je vztyčena normála N ρh vodorovné srovnávací roviny ρ h (svislá čerchovaná čára). Řešení: Obr. 8 Bodový zdroj osvětluje plošku da v rovině ρ v okolí kontrolního bodu P. Ve směru ke kontrolnímu bodu P vykazuje zdroj svítivost γ. 8

20 Osvětluje-li se bodovým zdrojem ze vzdálenosti l ploška da tvořící okolí bodu P v rovině ρ a svírá-li normála N ρ roviny ρ úhel β s paprskem l lze odvodit pro osvětlenost E Pρ v bodě P roviny ρ bodovým zdrojem výraz E P ρ γ cos β (lx; cd m ) (6) l Křivka svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je v závislosti na úhlu γ f γ cos tj. pro hledanou svítivost γ platí vztah popsána funkcí ( ) γ γ ( γ ) γ (7) f cos Obr. 9 názornění průběhu charakteristické funkce f (γ) cos γ v polárních souřadnicích. Pro úhel γ vyplývá z obr. 7 vztah p 4 γ β arctg arctg h (8) Vzdálenost l se stanoví z rovnice l h + p m Svítivost γ uvažovaného zdroje ve směru pod úhlem γ 533 se zjistí ze vztahu ( cos( 53 3 )) cd cos γ 5 54 (9) γ Po dosazení do rovnice (6) pro osvětlenost E Pρh horizontální roviny ρ h v bodě P kdy β γ vychází ávěr: cosβ ( 53 3 ) 54 cos 5 γ E P ρ h 3 lx l Osvětlenost E Pρh vodorovné srovnávací roviny ρ h v bodě P ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem ( γ 54 cd) podle zadání je rovna E Pρh 3 lx. 9

21 6. Osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete osvětlenost E Pρv svislé srovnávací roviny ρ v kolmé k úsečce p v bodě P kterou zajistí jeden bodový zdroj. Rozložení svítivosti zdroje vystihuje čára svítivosti jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) cos γ. Vztažná svítivost 5 cd h 3 m p 4 m (viz obr. ). Řešení: Obr. Geometrické uspořádání zdroje a kontrolního bodu P ve vertiklání rovině ρ v. Pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecné roviny ρ platí vztah (6) z příkladu 5. Rozložení svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je i v tomto případě popsána charakteristickou funkcí f ( γ ) cos γ a tedy i rovnicí (9) z příkladu 5. Úhel γ se i v tomto případě stanoví z rovnice (8) tj. γ 533 a tudíž je shodná i svítivost ve směru pod úhlem γ tj. podle rovnice (9) γ 54 cd. Pro úhel β z obr. vyplývá h 3 β arctg arctg cos β 7999 p 4 Vzdálenost l kontrolního bodu P od zdroje se v souladu s obr. vypočte z rovnice l h + p m Nyní můžeme dosadit získané hodnoty do vztahu pro osvětlenost E Pρv vertikální roviny ρ v v bodě P ávěr: E P ρ v γ cos β l ( ) 54 cos 5 7 lx Osvětlenost E Pρv svislé roviny ρ v v bodě P ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem ( γ 54 cd) je rovna E Pρh 7 lx.

22 7. Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů adání: Určete světlení M a M obou stran rovinné plošky A o rozměrech x cm která se nachází v poli dvou bodových zdrojů a (obr. ) vyzařujících světelné toky a s konstantní svítivostí do celého prostoru. Výpočet proveďte za předpokladu že ploška A vykazuje:. oboustranně shodný rovnoměrně rozptylný odraz i prostup 9 lm.. integrální činitel odrazu ρ 5 integrální činitel prostupu τ 5. Při řešení uvažujte: h m p m p m β. Řešení: Obr. droje světla a osvětlují povrchy A a A plochy A jejíž normála svírá s vodorovnou rovinou úhel β. Průměrná hodnota světlení M povrchu plochy A který vyzařuje tok v je v souladu s rovnicemi (8) a (9) rovna poměru v A. Celkový tok v který v daném případě vyzařuje povrch A plochy A se skládá z toku:. [ρ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na A a odrazí se od povrchu A s činitelem odrazu ρ. [τ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na povrch A a prošlý (s činitelem prostupu τ) materiálem plochy A na povrch A. Pro tok v který povrch A vyzařuje platí tedy rovnice [ ( A) ] + ( ) [ ] ρ τ () v A

23 Celkový tok v který v daném případě vyzařuje povrch A plochy A se skládá z toku:. [ρ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na A a odrazí se od povrchu A s činitelem odrazu ρ. [τ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na povrch A a prošlý (s činitelem prostupu τ) materiálem plochy A na povrch A. Pro tok v který povrch A vyzařuje platí tedy rovnice v [ ( A) ] + τ ( A) [ ] ρ () výrazů () a () vyplývá že je nejprve třeba stanovit tok A dopadající ze zdroje na povrch A potažmo tok A dopadající ze zdroje na povrch A. Připomeňme že průměrná svítivost p bodového zdroje v mezích určitého prostorového úhlu Ω je rovna poměru světelného toku vyzářeného zdrojem do zmíněného úhlu Ω a velikostí tohoto prostorového úhlu tj. platí p (cd; lm sr) () Ω V daném případě každý zdroj vyzařuje tok 9 lm a svítivost obou zdrojů je stejná a konstantní do všech směrů celého prostoru [Ω 4π]. Svítivost zdroje resp. do libovolného směru prostoru se tedy v souladu s rovnicí () zjistí ze vztahu Ω cd 3 cd 4 π obecného vztahu () dále vyplývá že světelný tok který bodový zdroj vyzáří do prostorového úhlu Ω se stanoví jako součin průměrné (v mezích zmíněného Ω) svítivosti p zdroje a velikosti Ω p Ω (lm; cd sr) (3) Protože svítivost p 3 cd obou zdrojů a je shodná a konstantní do celého prostoru postačuje ke stanovení toků A resp. A zjistit prostorové úhly Ω a Ω pod nimiž je plocha A vidět z bodu resp. viz obr..

24 Obr. K výpočtu prostorových úhlů Ω a Ω. Prostorové úhly Ω a Ω lze vypočítat podle vztahů Ω A cosβ A cosβ ; Ω l l kde A A m h β arctg β arctg 6 57 p l p + h + 5 m h + β arctg β arctg + 65 p l p + h + m ( 5) ( 6 57 ) A cos β cos 3 Ω 3 97 sr l ( ) ( 65 ) A cos β cos 3 Ω 4 3 sr l 3

25 Při známé svítivosti obou zdrojů a vypočtených prostorových úhlech Ω a Ω lze již podle rovnice (3) stanovit světelné toky A a A vyzařované zdroji a do prostorových úhlů Ω a Ω. Po dosazení do výrazu (3) pro toky A a A vychází A Ω lm A Ω lm Obr. 3 Ke stanovení toků v a v vycházejících z povrchu A resp. povrchu A plochy A. Po dosazení toků A a A do rovnic () a () se již stanoví tok v vycházející z povrchu A a tok v vycházející z povrchu A. [ ( A) ] + τ ( A) [ ] [ 5 9] + [ 5 98] v ρ 6 lm v [ ( A) ] + τ ( A) [ ] [ ] [ 9] ρ 63 lm Hledané průměrné hodnoty světlení M a M se získají vztažením toků v a v na obsah plochy A ávěr: v 6 M 35 lm m - A v 63 M 35 lm m - S A Abychom mohli zjistit průměrné hodnoty světlení M obou stran rovinné plochy A v poli dvou světelných bodových zdrojů a s daným světelným tokem bylo nejprve třeba vypočítat svítivost zdrojů a určením prostorové úhly Ω resp. Ω pod kterými jsou povrchy A a A plochy A z bodových zdrojů resp. vidět. Poté již bylo možno vyřešit světelné toky A resp. A dopadající na povrch A resp. A plochy A. toků A a A pak byly stanoveny toky v resp. v vycházející z povrchů A resp. A a jejich vztažením ne velikost plochy A byly konečně určeny hledané hodnoty světlení M 35 lm m - a M 35 lm m - obou sledovaných povrchů. 4

26 8. Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici adání: Na fotometrické lavici byla vizuální metodou měřena svítivost světelného zdroje (obr. 4). Určete svítivost zdroje za předpokladu že je dáno:. svítivost normálu N 34 cd. vzdálenost normálu l N m 3. vzdálenost měřeného zdroje l 43 m. Obr. 4 Geometrické uspořádání zdrojů N a hranolu H na fotometrické lavici a znázornění pozice pozorovatele při vizuálním měření svítivosti přímým pozorováním. Pozorovatel změnou polohy fotometru (hranolu H) nastavuje stejný jas obou v okuláru sledovaných povrchů. Řešení: Po vyrovnání jasů stěn fotometrického hranolu pozorovatelem podle obr. 4 platí vztah N l N l Stačí tedy vyjádřit a dosadit N ln l cd 5

27 9. Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu adání: Určete průměrnou hladinu osvětlenosti E p srovnávací roviny ρ a rovnoměrnost r osvětlení v místnosti o půdorysu 8x5 m a výšce h 35 m. Místnost je osvětlena čtyřmi svítidly opatřenými rozptylným krytem ve tvaru koule. Umístění svítidel je zakótováno v obr. 5. Délka závěsu svítidel pod stropem je h z 8 m. Světelný tok každého svítidla je 7 lm vztažná svítivost 8 cd/klm. Průměr rozptylných krytů svítidel d z 5 m. Kontrolní body jsou na srovnávací rovině rozmístěny podle obr. 5. Srovnávací rovina ρ se nachází ve výšce 85 m nad podlahou. Obr. 5 Místnost o půdorysu 8x5 m je osvětlena čtyřmi zavěšenými (délka závěsu h z 8 m) svítidly (označeny červeně) s rozptylným krytem ve tvaru koule o průměru d z 5 m. Výška místnosti je h 35 m. Srovnávací rovina ρ se uvažuje ve výšce h 3 85 m. Osvětlenost se ověřuje v devíti kontrolních bodech (označeny zeleně). Řešení: Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E p a rovnoměrnost osvětlení r je potřeba nejprve spočítat osvětlenosti v jednotlivých měřicích bodech od všech čtyř svítidel tzn. spočítat osvětlenosti v daném bodě postupně pro jednotlivá svítidla a pak je sečíst. Osvětlenost v bodě P j vodorovné srovnávací roviny ρ od svítidla i (podle obr. 6) E ij cosγ ij (4) l γij ij kde ij je je svítivost ve směru γ podle obr. 6 l ij je vzdálenost bodu P j od zdroje i γ ij je úhel mezi normálou N ρ a úsečkou l ij. 6

28 Ke stanovení osvětlenosti ve vybraném kontrolním bodě P j bude tedy třeba určit vzdálenost l ij bodu P j od svítidla i a dále úhel γ ij mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij který je při daném uspořádání totožný s úhlem mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij podle obr. 6. Obr. 6 Svítidlo i osvětluje bod P j srovnávací roviny ρ. Jelikož jsou svítidla osazena rozptylnými kryty kulového tvaru uvažujme že svítivost svítidel bude do všech směrů konstantní a tudíž svítivost γ bude pro všechny úhly γ rovna vypočtené svítivosti vztažné (viz obr. 7). Obr. 7 Křivka svítivosti svítidla s ideálně rozptylným kulovým krytem. Byla zadána svítivost vztažená na klm. K získání aktuální svítivosti pro dané světelné zdroje se světleným tokem z 7 lm použijeme vztah ' cd γ (5) 7

29 Výška h (viz obr. 5) je pro kombinaci všech svítidel i a bodů P j srovnávací roviny ρ totožná. h d z h h h3 h hz + h m 3 kde h je výška místnosti podle zadání h je vzdálenost světelného středu svítidla od stropu (viz obr. 6) h 3 je výška srovnávací roviny (viz obr. 5) h z je délka závěsu svítidla (viz obr. 5) d z je průměr baňky svítidla (viz obr. 5). Pro výpočet úhlů γ ij a vzdáleností l ij dosadíme x ij y ij a z ij (viz obr. 6) do vztahů (6) l ij ij ij ij x + y + z (7) p xij + y ij ij γ ij arctg arctg (8) zij zij Hodnoty x ij a y ij lze odečíst z obr. 8. Obr. 8 Půdorys místnosti. elená čísla označují kontrolní body červená čísla vyznačují umístění svítidel. Při užití značení kontrolních bodů a svítidel dle obr. 8 vycházejí hodnoty vzdálenosti l j a úhlu γ j (svítidlo viz obr. 6) jak uvedeno v tab.. j - číslo bodu l j (m) γ j ( ) Tab. Vzdálenosti l j a úhly γ j jednotlivých kontrolních bodů P j od svítidla. Body P j jsou v tabulce umístěny dle obr. 8. 8

30 Po dosazení hodnot z tab. do vztahu (4) pro výpočet osvětlenosti E ij vychází hodnoty osvětleností sestavené do tab. j číslo bodu E j (lx) Tab. Hodnoty osvětlenosti E j srovnávací roviny v kontrolních bodech P j zajištěné svítidlem. Osvětlenosti v tab. zahrnují světelný tok pouze od svítidla. Podle obr. 8 jsou měřicí body P j a svítidla i rozmístěny symetricky. e symetrie plynou rovnosti osvětleností E (9) E3 E37 E49 E (3) E E38 E48 E (3) 3 E E39 E47 E (3) 4 E34 E6 E46 E (33) 5 E5 E35 E45 E (34) 6 E4 E36 E44 E (35) 7 E3 E9 E43 E (36) 8 E3 E8 E4 E (37) 9 E7 E33 E4 Pro výpočet celkových osvětleností v kontrolních bodech P j od všech svítidel lze tedy použít hodnoty z tab.. Pro každý bod P j platí vztah E j E j + E j + E3 j + E4 j (38) Např. pro výpočet osvětlenosti E v bodě P bude platit E + (39) E + E + E3 + E4 E + E3 + E7 E9 přičemž hodnoty E E 3 E 7 a E 9 jsou již spočteny v tab.. Výsledné celkové hodnoty osvětleností v kontrolních bodech jsou uvedeny v tab. 3. 9

31 j číslo bodu E j (lx) Tab. 3 Celkové osvětlenosti E j v kontrolních bodech P j srovnávací roviny. důvodu symetrie místnosti rozložení kontrolních bodů P j a svítidel i jsou některé hodnoty osvětleností shodné E E E E3 E7 E9 E E8 Průměrná hodnota osvětlenosti E P se stanoví z údajů v tab. 3 podle vztahu E j 4463 E j P 4959 lx (4) 9 9 Rovnoměrnost r lze získat ze vztahu ávěr: 9 min E j j 4 36 r 87 (4) E P Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E P srovnávací roviny ρ bylo nejprve třeba zjistit osvětlenosti E ij kontrolních bodů P j od jednotlivých svítidel i. Poté byly sečteny v daných kontrolních bodech P j osvětlenosti E j od všech čtyř svítidel i a jejich aritemtickým průměrem byla získána průměrná hladina osvětlenosti E P. Rovnoměrnost r byla určena poměrem nejmenší hodnoty získané osvětlenosti v kontrolním bodě E j a průměrné hladiny osvětlenosti E P. Pro osvětlení pracovních prostorů dle normy ČSN EN 464- je třeba navrhnout osvětlovací soustavu tak aby po celou dobu provozu soustavy v udržovacím období navrženém v projektu byla zajištěna udržovaná osvětlenost E m. Udržovaná osvětlenost je tedy hodnota místně průměrné osvětlenosti na daném povrchu pod kterou nesmí osvětlenost po dobu zvoleného cyklu údržby poklesnout. Hodnota udržované osvětlenosti E m se získá z hodnoty průměrné osvětlenosti E P vynásobením udržovacím činitelem z jehož hodnota závisí zejména na využití místnosti čistotě prostoru a na délce cyklu údržby a pohybuje se od 5 pro silně znečištěné prostory až po 8 a vyšší hodnoty pro velmi čisté místnosti s nižší roční dobou využití). Pokud by se uvažoval např. udržovací činitel z 7 (čistá místnost 3-letý cyklus údržby) bude v daném případě udržovaná osvětlenost rovna E m E z lx P Pozn. V souladu s normou ČSN EN 464- je v pracovních prostorech nezbytné splnit i řadu dalších požadavků zejména zabránit oslnění (UGR L ) a zajistit vhodné podání barev (index podání barev R a > 8). 3

32 . Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající z difúzně vyzařujícího svítidla bodového typu na stěny a na srovnávací rovinu místnosti ve tvaru kvádru o délce 8 m šířce 4 m výšce 35 m. Svítidlo je zapuštěno uprostřed stropu jeho vyzařovací plocha je v rovině stropu a jeho svítivost v kolmém směru je (cd). Dáno: - srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou; - výška h svítidla (i stropu) nad srovnávací rovinou je h m; - pro svítivost difúzně vyzařujícího svítidla platí výraz f ( γ ) cosγ. Řešení:. Výpočet světelného toku dopadajícího na srovnávací rovinu γ Obr. 9 Pro tok z daného bodového zdroje [ f ( γ ) cosγ plochy srovnávací roviny [obr. 9] platí vztah ] který dopadá na obdélník tvořící čtvrtinu a + a arctg b + a + b + b arctg a + b (lm; cd -) (4) kde c 8 4 m d 4 m poměrné rozměry a c h ; b d h rovnice (4) pak vychází

33 Tok 3 na celou srovnávací rovinu je čtyřnásobný tj (lm cd -) (4a). Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádru Obr. 3 Pro tok v dopadající z daného bodového zdroje [f (γ) cos γ] na obdélník umístěný podle obr. 3 v rovině rovnoběžné se směrem platí rovnice v a arctg a arctg (lm) (43) + b + b kde a c p b d p Podle vztahu (43) se vypočtou toky dopadající vždy na polovinu jak delší tak kratší ze stěny. Polovina delší stěny má rozměry c 4 m d h 4 m p m takže poměrné rozměry jsou: a c p 4 ; b d p 4. Na polovinu delší stěny dopadá tedy tok va který se vypočte podle rovnice (43) v a Na celou delší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný tj. v & 56 (43a) Polovina kratší stěny má rozměry c m d h 4 m p 4 m takže poměrné rozměry jsou: a c p 4 5; b d p Na polovinu kratší stěny dopadá tedy tok va který se vypočte podle rovnice (43) v a Na celou kratší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný tj. v & 6 (43b) Tok dopadající na obě delší a na obě kratší stěny tedy na všechny stěny je roven 3

34 ( ) ( ) Ověření výsledku výpočtu (lm cd -) (44) Vzhledem k tomu že na strop z uvažovaného svítidla nedopadá žádný tok pak součet toků dopadlých na srovnávací rovinu 3 a na stěny tzn (45) musí být roven toku sv vyzařovanému difúzním svítidlem. Mezi světlením M a jasem L difúzně vyzařující plochy platí známý vztah M π L (lm m - - cd m - ) (46) Jsou-li rozměry vyzařující plochy A vyz zanedbatelné v porovnání se vzdáleností od kontrolních bodů na srovnávací rovině (což je v daném případě splněno neboť jde o svítidlo bodového typu) pak je svítivost daného svítidla ve zvoleném vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše) rovna součinu jasu L a velikosti A vyz vyzařovací plochy L (cd; cd m - m ) (47) A vyz Tok sv vyzařovaný difúzně svítící plochou daného svítidla je roven součinu průměrné hodnoty světlení M a velikosti A vyz vyzařovací plochy svítidla tzn. sv M A vyz (lm lm m - m ) (48) Dosadí-li se do rovnice (48) vztahy (46) a (47) vychází pro hledaný tok sv že je roven součinu čísla π a svítivosti tedy sv M A π L A π (49) vyz vyz Porovnáním rovnic (45) a (49) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější vzájemné porovnání. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. 33

35 . Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající z daného svítidla Sv přímkového typu na stěny místnosti a na srovnávací rovinu. Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka c 8 m šířka d 4 m výška 35 m] je osvětlena jedním difúzně vyzařujícím svítidlem přímkového typu. Přímkový zdroj délky c 8 m je tvořen pěti v řadě za sebou osazenými svítidly se zářivkami x 58 W zapuštěnými ve stropě. Přímkový zdroj Sv je umístěn rovnoběžně s podélnou osou místnosti podle obr. 3. Obr. 3 V daném případě vyzařování svítidla přímkového typu popisují charakteristické funkce svítivosti π ( γ ) cos γ ; f ( α ) cosα f (5) δ Předpoklady: - srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou; - výška svítidla Sv (i stropu) nad srovnávací rovinou je h m ; - počítejte s obecnou hodnotou (cd m - ) svítivosti zdroje připadající na m jeho délky. Řešení:. Výpočet světelného toku dopadajícího na srovnávací rovinu Pro tok (½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu srovnávací roviny platí výraz ( ) a b a b h arctg + + a arctg arctgb + b + b + a kde ( ) a c h 8 ; b d h ( ) & Na celou srovnávací rovinu dopadá tok rovný dvojnásobku (½) tj. (5) ( ) (lm) (5) 34

36 . Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádru Pro tok v dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na jednu z delších stěn místnosti na obr. 3 platí vztah v p g arctg g g g + g + r arctg + ln + r + r + g + r (53) kde g c p 8 4; r h p 4 v & Na obě delší stěny tedy dopadá tok v (+) rovný dvojnásobku toku v tj. v( + ) v (lm) (54) Pro tok k3(½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu jedné z kratších stěn místnosti na obr. 3 platí vztah k 3 c arctg t + s arctg t s + s arctg t + s + t ln s t + t + s + t + t (55) kde t ( d ) c 8 5; s h c ( ) k. & Na jednu kratší stěnu dopadá dvojnásobek k & Na obě kratší stěny místnosti dopadá pak tok k(3+4) rovný dvojnásobku toku k3 tj. k ( 3 + 4) k (lm) (56) Na všechny stěny místnosti podle obr. 3 dopadá ze svítidla Sv přímkového typu tok který se stanoví sečtením dílčích výsledků z výrazů (54) a (56) ( ) 653 & (lm) 7 35

37 3. Ověření výsledku výpočtu Vzhledem k tomu že na strop místnosti nedopadá ze svítidla Sv žádný tok je celkový tok sv vyzářený zmíněným svítidlem roven ( ) sv ( ) sv & 537 (57) Pro difúzně vyzařující plochu A vyz svítidla s konstantním jasem L platí základní vztahy a to. pro světlení M: M π L (lm m - ; - cd m - ). pro svítivost ve vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše A vyz ): L A vyz (cd; cd m - m ) 3. pro tok sv vyzařovaný difúzně svítící plochou A vyz : sv M A π L A π vyz vyz (lm; lm m - m ; - cd m - m ; - cd) (58) V případě svítidla přímkového typu třeba do vztahu (58) pro tok sv za svítivost dosadit součin c svítivosti (cd m - ) a délky c 8 m takže rovnice pro tok sv má pak tvar sv π π c (59) 3 Porovnáním výsledků výrazů (57) a (59) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější ověření. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. K přiblížení představy o hodnotě svítivosti připadající na m délky vyzařovací plochy v příkladu uvažovaného svítidla přímkového typu: křivek svítivosti uváděných v katalozích zářivkových svítidel s rozložením svítivosti blízkým kosinusovému lze snadno zjistit že svítivost ( cd klm ) svítidla ve vztažném směru připadající na lm světelného toku zářivky bývá např. 3 cd klm. Uváží-li se že zářivka 58 W vyzařuje světelný tok přibližně 5 lm pak svítivost svítidla s jednou zářivkou 58 W ve vztažném směru bude cd. Délka svítidla se zářivkou 58 W (o délce 5 m) je cca 6 m a tudíž svítivost připadající na m délky takového svítidla přímkového typu bude přibližně 5 6 & 7 cd m tzn. orientačně 7 cd/m. 36

38 . Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník adání: Vypočtěte světelný tok který dopadá z difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu na obdélníkovou plochu BCDG kolmou ke směru vztažné svítivosti a umístěnou v rovině ρ podle obr. 3 a to ve vzdálenosti h G 4 m tak že kolmý průmět bodu do osvětlované roviny se ztotožňuje s vrcholem G obdélníku BCDG. Ve zvoleném pravoúhlém souřadnicovém systému x y z leží směr vztažné svítivosti ve směru osy z. Rovina ρ je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou x y. Ověřte současně možnost praktického využití přibližné metody řešení výpočtem hledaného toku z osvětleností několika dílčích ploch na které se osvětlovaný obdélník rozdělí. Řešení: Obr. 3 Pro svítivost γ difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu platí vztah. Přesný výpočet ( γ ) cosγ (cd; cd -) (6) γ f Pro tok který z bodového difúzně vyzařujícího zdroje dopadá na obdélník BCDG kolmý ke směru a umístěný podle obr. 3 platí rovnice a + a arctg b + a + b + b arctg a + b (lm; cd -) (6) kde c 8 4 m; d 4 m a poměrné rozměry a c h ; b d h 4 83 rovnice (6) vychází pro hledaný světelný tok vztah (lm; cd) (6) 37

39 Pozn. Pokud by vztažná svítivost uvažovaného svítidla byla rovna cd pak by průměrná osvětlenost E p celé plochy A 4 8 m obdélníku BCDG byla E p. Přibližné řešení ( 464) 8 & lx & A Rozdělme osvětlovaný obdélník BCDG např. na osm stejných dílčích ploch o rozměrech c m [ve směru osy x] a d m [ve směru osy y]. Obsah jednotlivých dílčích ploch je tedy stejný a je roven m. Ve středu každé dílčí plochy umístěme kontrolní bod P i [index i označuje pořadové číslo dílčí plochy]. Předpokládá se že osvětlenosti E i v kontrolních bodech P až P 8 jsou rovny průměrným hodnotám osvětlenosti v rámci každé dílčí plochy. Potom tok i dopadající na i-tou dílčí plochu je roven E A E E (lm; lx m ) (63) i i i i i Pro osvětlenost E Pρ bodovým zdrojem v bodě P obecně položené roviny ρ platí vztah γ E P ρ cosβ (lx; cd m ) (64) l kde γ je svítivost zdroje ve směru k bodu P tj. ve směru pod úhlem γ měřeném od směru vztažné svítivosti l je vzdálenost kontrolního bodu P od zdroje β je úhel sevřený normálou osvětlované roviny ρ se spojnicí bodu s bodem P. V daném případě leží osvětlovaný obdélník BCDG v rovině ρ kolmé ke směru vztažné svítivosti (obr. 3). Normála osvětlované roviny je tudíž rovnoběžná se směrem. toho vyplývá že úhel β γ. adané svítidlo bodového typu vyzařuje do všech směrů podle kosinusového zákona v souladu s rovnicí (6). Dosadíme-li uvedené skutečnosti do obecného vztahu (64) vychází pro osvětlenost E i v kontrolním bodě P i vztah E cos (lx; cd - m) (65) l i γ i i kde l i xi + yi + h xi + yi + 4 ; (x i y i h 4 m) souřadnice bodu P i (střed i-té dílčí plošky); γ i je úhel sevřený paprskem l i a směrem (obr. 3) pro který platí výraz xi + yi γ i arctg (rad) (66) h 38

40 P i x i (m) y i (m) l i γ i (rad) cos γ i cos γ i l P P P P P P P P i cos γ i 4685 li Tab. 4 Přehled dílčích výpočtů Hledaný světelný tok dopadající ze zdroje na obdélník BCDG je tedy přibližně roven cos γ i li 4685 (lm; cd) (67) Pozn. Pokud by vztažná svítivost uvažovaného svítidla byla rovna cd pak by průměrná osvětlenost E p celé plochy A 4 8 m obdélníku BCDG byla přibližně E p ( 4685) 8 ( ) & A 586 lx Porovnáním přibližného výsledku ve výrazu (67) s přesným výsledkem v rovnici (6) zjistíme že chyba přibližného řešení činí 9 % což je v daném případě plně vyhovující. volené rozdělení osvětlované plochy je tudíž pro praktický výpočet ve sledované situaci dostačující. Obdobné postupy většinou s jemnějším dělením se aplikují v počítačových programech. 39

41 3. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje adání: Difúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu o rozměrech c m d 6 m je zavěšeno ve výšce h m nad srovnávací rovinou. Svítící plocha svítidla je rovnoběžná se srovnávací rovinou. Srovnávací rovina leží v souřadnicové rovině x y. Kontrolní bod P leží v počátku souřadnicového systému. Průmět bodu P do roviny zdroje se ztotožňuje s vrcholem svítícího obdélníku. Jas difúzně svítícího obdélníku L konst 3 cd m. Poměrné rozměry obdélníku a c h 6; b d h 6 3. Vypočtěte osvětlenosti které svítící obdélník zajistí v bodě P ve všech třech souřadnicových rovinách. Řešení: A. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje L konst. přesnou metodou Pro průměty ε x ε y ε z světelného vektoru ε do souřadnicových os tj. pro osvětlenosti tří souřadnicových rovin v bodě P při zadaném geometrickém uspořádání platí odvozené vztahy: ε x L b arctgb arctg + a + a ε y L a arctg a arctg + b + b ε z L a b b a arctg + arctg + a + a + b + b Po dosazení vychází 3 3 ε x arctg 3 arctg 33 lx ε y arctg 6 arctg 6 lx ε z arctg + arctg lx 4

42 B. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Lkonst. metodou náhrady plošného zdroje jedním zdrojem bodovým Pro tok sv svítícího obdélníku L konst. platí sv M A π L A π neboť z výrazu L γ γ ( A cosγ ) plyne L A odkud L A L A. Pro svítivost γ bodového zdroje s ohledem na podmínku L konst. platí γ cosγ kde vztažná svítivost L A cd Předpokládáme-li že bodový zdroj je umístěn v geometrickém středu obdélníku pak bude úhel γ (mezi osou z a paprskem l spojujícím střed obdélníku a bod P) možno spočítat ze vztahu γ arctg 336 rad 8 5 cosγ 948. Vzdálenost l se spočte z rovnice l l m. Svítivost γ bodového zdroje ve směru paprsku l bude γ cosγ cd. Hledaná osvětlenost E P(xy) souřadnicové roviny xy v bodě P potom bude E P xy ( ) ( γ l ) cos ( 47 7 ) 948 β 436 lx Výsledek přesného výpočtu 49 lx takže chyba činí [( ) 49] 4 %. 4

43 C. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Lkonst. metodou náhrady čtyřmi bodovým zdrojem Svítící obdélník se rozdělí na 4 stejné části ( V). Svítivost každého dílčího zdroje ve směru normály ) V cd γ arctg ; cosγ ( l ) l 8 m cosγ cd γ E ) ( xy ) ( γ l ) cos ( ) 948 γ 948 P 77 lx γ arctg ; cosγ ( l ) l m cosγ cd γ E ( xy ) ( γ l ) cos ( 493 ) 948 γ 998 P 97 lx ) γ arctg ; cosγ ( l ) l 5 5 m γ cd γ E cos ( xy ) ( γ l ) cos ( ) 948 γ 893 P 86 lx V) γ arctg ; cosγ l V V ( l ) m V V 7 γ V V cosγ V cd E ( xy ) ( γ V lv ) cos V ( 5 7 ) 965 γ 965 P V 73 lx Součet osvětleností od dílčích zdrojů 434 lx Přesným výpočtem zjištěno 49 lx Chyba přibližného výpočtu při rozdělení svítící plochy obdélníku na 4 dílčí je % což je v daném případě plně vyhovující přesnost. 4

44 4. Výpočet světlenosti v poli přímkového typu adání: Svítidlo přímkového typu o délce m se zářivkou x36 W (335 lm) je zavěšeno ve výšce h m nad srovnávací rovinou ρ. a předpokladu že v příčné rovině π v podélné rovině δ i v nakloněných rovinách τ je rozložení svítivosti svítidla kosinusové a svítivost ve vztažném směru je rovna Řešení: cd klm tj. ( 335 ) 67 cd pro 335 lm vypočtěte v bodě P umístěném podle obrázku osvětlenost E Pρ roviny ρ δ. A. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu přesným výpočtem Obr. 33 Průmět bodu P na osu zdroje se ztotožňuje s koncem C zdroje (viz obr. 33). Kolmá vzdálenost bodu P v rovině ρ od podélné svislé roviny δ je p m. Určení vzdálenosti l Stanovení úhlu γ l + 36 m ( p ) ( ) 5 tg γ h γ arctg cosγ 8944 Svítivost γ celého svítidla pod úhlem γ v příčné rovině π pro lm je γ cosγ 8944 γ 79 cd lm 43

45 Svítivost γ na m délky svítidla je ( 79 ) 49 cd/m pro lm. γ Úhel α z pod kterým je z kontrolního bodu P vidět celé svítidlo délky m se určí ze vztahu ( ) rad [ sinα 47877; cos 888] α z arctg l z α z Průmět ε y výsledného světelného vektoru ε r do osy y se vypočte z rovnice ( l ) f ( α ) ε γ y z kde pro kosinusové rozdělení svítivosti v rovině π i v rovině δ ( α ) ( ) ( α + sinα cosα ) f z z Po dosazení f ( z ) 5 ( sinα z cosα ) 4546 Potom ( 49 36) lx z z α z. ε pro lm 6 lx pro 335 lm. y Hledaná osvětlenost E ε cos γ lx. Pρ y B. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu metodou rozdělení svítidla na čtyři dílčí zdroje Předpoklady: - svítivost je rovnoměrně rozdělena po délce svítidla přímkového typu - dílčí svítidla se umístí do geometrických středů jednotlivých částí - délka každého z dílčích svítidel je 3 m (jde o bodové zdroje). - vzdálenosti středů částí 3 a 4 od počátku přímky C jsou: 5 m; 45 m; 75 m; 5 m. - svítivost ve vztažném směru připadající na m délky svítidla pro 335 lm ( ) ( 335 ) ( ) cd/m - svítivost ve vztažném směru každého dílčího zdroje délky 3 m je rovna cd. Příspěvek E P ρ ( ) od dílčího zdroje k hledané osvětlenosti Vzdálenost l středu zdroje od bodu P l E Pρ ( + ) l m l Vzdálenost p bodu P od průmětu bodu do roviny ρ p m m p Úhel γ mezi paprskem l a vztažným směrem ( ) Svítivost γ ( p h) 468 rad cos 894 γ arctg cosγ cd β γ cos β cosγ γ. Pro rovinu ρ δ platí

46 Příspěvek od ( ) [ γ l ] cosγ [ ] 894 E 66 lx. ρ P. Příspěvek EP ρ ( ) od dílčího zdroje k hledané osvětlenosti E Pρ Vzdálenost l středu zdroje od bodu P l ( + ) l m l Vzdálenost p bodu P od průmětu bodu do roviny ρ p m m p Úhel γ mezi paprskem Svítivost γ l a vztažným směrem ( ) ( p h ) 553 rad cos arctg γ γ cos γ cd β γ cos β cosγ Pro rovinu ρ δ platí Příspěvek od E ρ γ 48 lx. ( ) [ γ l ] cos [ ] P 3. Příspěvek EP ρ ( 3 ) od dílčího zdroje 3 k hledané osvětlenosti E Pρ Vzdálenost l středu zdroje 3 3 od bodu P l 3 ( + ) l m l Vzdálenost p 3 bodu P od průmětu bodu do roviny ρ p + 75 p 5 m 3 3 Úhel γ mezi paprskem l 3 a vztažným směrem ( 3 ) 3 Svítivost γ ( p h ) 5586 rad cos 848 arctg γ γ cos γ cd β 3 γ cos β 3 3 cosγ 3 Pro rovinu ρ δ platí platí 848 Příspěvek od 3 E ρ γ 7 lx. ( ) [ γ l ] cos [ ] 848 P

47 4. Příspěvek E P ρ ( 4 ) od dílčího zdroje 4 k hledané osvětlenosti E Pρ Vzdálenost l středu zdroje 4 od bodu P l 4 ( + ) l m 4 l Vzdálenost p 4 bodu P od průmětu bodu 4 do roviny ρ p + 5 p 43 m 4 4 Úhel γ 4 mezi paprskem Svítivost γ l a vztažným směrem ( ) 4 4 ( p h ) 63 rad cos 83 arctg γ γ cos γ cd β 4 γ cos β 4 4 cosγ 4 Pro rovinu ρ δ platí platí 83 Příspěvek od 4 Hledaná osvětlenost E ρ γ 8 lx. ( ) [ γ l ] cos [ ] 83 P E Pρ je rovna součtu dílčích příspěvků E lx Pρ Přesným výpočtem byla zjištěna osvětlenost 98 lx. Chyba výpočtu při nahrazení svítidla čtyřmi dílčími bodovými zdroji je chyba ávěr: [( 9 9 8) 9 8] 44 % výsledků je patrno že pro zadané kosinusové rozdělení svítivosti svítidla přímkového typu jsou oba způsoby výpočtu prakticky plně srovnatelné. V počítačových programech se vesměs aplikují výpočty s bodovými svítícími prvky a svítidla přímkového typu se dělí většinou podstatně jemněji než naznačeno v přikladu. 46

48 5. Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající v mísnosti ve tvaru kvádru ze stropu který představuje difúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu na stěny místnosti a na srovnávací rovinu. Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka 8 m šířka 4 m výška 35 m] je osvětlena difúzně vyzařujícím stropem tedy svítidlem obdélníkového typu s konstantním jasem L ve všech směrech. Vyzařování svítidla obdélníkového typu v takovém případě (L konst.) popisují charakteristické funkce svítivosti: π ( γ ) cos γ ; f ( γ ) cosα f (68) δ Srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou. Výška stropu nad srovnávací rovinou je Řešení: h m. Pro tok dopadající ze stropu (který představuje difúzně vyzařující obdélníkový zdroj) na srovnávací rovinu platí rovnice a b Lh a + b arctg + b + a arctg a arctga b arctgb + + b + a ( + a )( + b ) ln (lm; cd m - m - -) (69) + a + b + kde a b značí poměrné rozměry: a c h; b d Pozn. Vzorec (69) je odvozen pro případ dvou obdélníků o rozměrech c d umístěných nad sebou v rovnoběžných rovinách ve vzdálenosti h. Jde tedy o kvádr v němž svíticí obdélník [o rozměrech c d] představuje strop a osvětlovaný obdélník srovnávací rovinu; výška stropu nad srovnávací rovinou je označena písmenem h. V daném případě jsou poměrné rozměry a b [vztažené k výšce h stropu nad srovnávací rovinou] rovny: a c h ; b d h Po dosazení do vztahu (69) pro tok vychází L L & L h Na srovnávací rovinu tedy ze stropu dopadá světelný tok L 4538 (lm) (7) 47

49 Pro tok v dopadající ze stropu (jako z difúzně vyzařujícího obdélníkového zdroje) na jednu z delších stěn místnosti platí vztah v ( a + b )( + a ) a ( + a + b ) a a Lh 4ab arctg + 4a arctga 4a + b arctg + a ln 4 b + b ( a + b )( + b ) b ( + a + b ) ( + a )( + b ) b ln ln + a + b kde jsou opět zavedeny poměrné rozměry obdélníků (lm; cd m - m - -) (7) a c h a b d h. Pozn. Rovnice (7) je odvozena pro situaci kdy svíticí a osvětlovaný obdélník leží ve vzájemně kolmých rovinách přičemž:. svítící a osvětlovaný obdélník mají jednu stranu shodné délky označenu písmenem c. druhý rozměr svítícího obdélníku je označen písmenem d 3. druhý rozměr osvětlovaného obdélníku je označen písmenem h. V případě že se počítá tok v dopadající na delší (8 m) stěnu [označenou ] místnosti mají svíticí a osvětlovaný obdélník společnou stranu c o délce 8 m a poměrné rozměry potom jsou: a ; b Po dosazení z rovnice (7) dostaneme ( 4) L L v & L Na obě delší stěny [označené a ] tedy dopadá tok v(+) rovný dvojnásobku toku v tj. v( + ) v L L (lm) (7) Pro výpočet toku v3 dopadajícího ze stropu (jako z difúzně vyzařujícího obdélníkového zdroje) na jednu z kratších stěn [označenou 3] místnosti se využije opět vztah (7) do kterého se ovšem oproti předchozímu případu dosadí vzájemně zaměněné poměrné rozměry tj. a ; b pro které pak z výrazu (7) vychází tok na kratší stěnu ( 4) L L v & 3 L Na obě kratší stěny [označené 3 a 4] místnosti dopadá pak tok v(3+4) rovný dvojnásobku toku v3 tj. v( 3 + 4) v3 L L L 775 (lm) (73) 48

50 Na všechny stěny uvažované místnosti dopadá z uvažovaného difúzně vyzařujícího stropu tok v který je roven součtu toků dopadajících na obě jak delší tak kratší stěny tj. ( ) v & L 5593 (lm) L Ověření výsledku výpočtu Celkový tok sv vyzařovaný difúzně svíticím stropem je roven součtu toků dopadlých na srovnávací rovinu a na stěny prostoru tj. ( ) sv L L ( ) sv & L L 53 (lm) (74) Strop místnosti je v daném případě difúzně vyzařující plochou pro kterou (kromě konstantního jasu L ve všech směrech) platí další základní vztahy a to. pro světlení M: M π L (lm m - ; - cd m - ) (75). pro tok sv vyzařovaný difúzně svítící plochou o velikosti A vyz : sv M A π L A vyz vyz (lm; lm m - m ; - cd m - m ) (76) toho vyplývá že světelný tok sv vyzařovaný difúzně svítícím stropem (o rozměrech 8x4 m) je podle předchozí rovnice (76) úměrný nejen jasu L ale i velikosti A vyz vyzařovací plochy tj. ( 8 4) sv π L Avyz L π L (77) Porovnáním výsledků výrazů (74) a (77) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou záměrně uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější porovnávání. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. 49

51 6. Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvorem adání: Vypočtěte světelný tok který vlivem mnohonásobných odrazů dopadne na vnitřní difúzní povrch A duté plochy s otvorem A. Dále zjistěte hodnotu toku A vycházejícího otvorem A za předpokladu že žádné mnohonásobné odrazy nevznikají a hodnotu téhož světelného toku při respektování vlivu mnohonásobných odrazů. Tyto dvě varianty porovnejte. Uvažujte že na vnitřní povrch plochy A dopadá počáteční tok. Dáno: - povrch duté plochy A má tvar půlkoule s poloměrem r otvoru A je r m; - činitel odrazu ρ vnitřního difúzního povrchu plochy A je ρ 7. Obr. 34 Povrch duté plochy A odráží difúzně s činitelem odrazu ρ. Řešení: Pozn. obecně je činitel vazby mezi plochou a plochou definován vztahem: ψ vyz ρ U difúzně odrážející duté plochy A s otvorem A se vyskytují dva činitele vazby a to: činitel vazby ψ A A ψ AA (mezi plochou A a otvorem A ) činitel vlastní vazby ψ ψ AA (plochy A samotné se sebou) pro které platí vztahy ψ +ψ AA 5 A A ψ ψ ψ AA AA Průběh procesu mnohonásobných odrazů v duté difúzní ploše je zřejmý z následující tabulky. sloupec sloupec sloupec 3 sloupec 4 d A ψ ψ ρ ρ ψ ρ z toku ve sl. z toku ve sl. z toku ve sl. na plochu A plocha A na plochu A vychází otvorem A dopadne tok odrazí tok znovu dopadne tok ρ ρ ψ ψ ρ ρ ρ 3 3 ψ ρ ψ ρ ρ ρ ψ ρ ψ ρ ρ ρ ψ ( ψ ) ρ ψ ρ ( ψ ) ψ ρ ψ ( ψ ) ψ ρ ψ ( ψ ) ψ ρ ( )

52 Výsledný tok dopadající na vnitřní difúzní povrch plochy A je ve sloupci tabulky (jako součet geometrické řady s kvocientem ψ ρ ) označen d γ kde γ je činitel mnohonásobných odrazů γ ψ ρ Tok A vycházející otvorem A je ve 4. sloupci tabulky (opět jako součet geometrické řady s kvocientem ψ ρ) a tudíž roven ρ ψ. ψ A A A AA AA ψ AA. ρ ρ ρ. ψ AA ( ψ ). ρ AA Odtud ekvivalentní činitel odrazu ρ e ρ e A ρ ψ AA ( ψ ) ρ AA Světelný tok bez odrazů který vychází otvorem A za předpokladu že nevznikají žádné mnohonásobné odrazy je roven bez odrazů ρ ψ 35 kde bez odrazů je tok vystupující otvorem A ρ je činitel odrazu je počáteční světelný tok dopadlý na vnitřní povrch A duté plochy. Světelný tok dopadající na plochu A při respektování mnohonásobných odrazů: Nejprve se vypočte činitel vazby: A π r ψ ψ AA A 4 π r Na plochu A dopadne tok: d 5 ψ.ρ Světelný tok A který vychází otvorem A za předpokladu že se respektuje vliv mnohonásobných odrazů v duté ploše s difúzním vnitřním povrchem A (součet 4. sloupce tabulky) se vypočte ze vztahu A ψ. ρ ( ψ ) ρ 538 Výstupní tok A při respektování mnohonásobných odrazů je tedy přibližně o 35 % vyšší než tok bez odrazů. 5

53 7. Řešení mnohonásobných odrazů v daném prostoru ve tvaru kvádru adání: Uvažte stejně jako v předchozím 5. příkladu místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka 8 m šířka 4 m výška 35 m] která je osvětlena difúzně vyzařujícím stropem tedy svítidlem obdélníkového typu s konstantním jasem L ve všech směrech a stanovte světelné toky které při respektování vlivu mnohonásobných odrazů dopadají na strop stěny a na srovnávací rovinu umístěnou 85 m nad podlahou. Počáteční světelné toky 3 dopadající v uvažovaném prostoru ze svíticího stropu na stěny a srovnávací rovinu byly stanoveny v předchozím 5. příkladu a jsou rovny: tok na všechny stěny v L 5593 lm ; Řešení: tok na srovnávací rovinu 3 L 4538 lm. Počáteční tok dopadající ze svítícího stropu zpět na strop je pochopitelně s ohledem na rovinný charakter stropu nulový. Uvažují-li se stěny jako jedna plocha lze pro řešení mnohonásobných odrazů v daném kvádru napsat tři rovnice o třech neznámých tocích 3 které na strop stěny a srovnávací rovinu dopadají po proběhnutí dostatečného počtu odrazů. ψ ρ ψ ρ [ + ψ ρ + ψ ] γ ρ (78) ψ ρ ψ ρ Předchozí soustavu rovnic lze upravit do tvaru ψ ρ ψ ρ γ ψ ρ γ ψ ρ γ (79) ψ ρ ψ ρ Pro determinant soustavy je pak možno odvodit vztah [ γ ρ ρ ρ ( ψ ψ ψ + ψ ψ ψ ) + ρ ( ρ ψ ψ + γ ρ ψ ) + D ψ + γ ρ ρ ψ (8) 3 3 ψ 3 ] Činitele vazby ψ ψ 3 ψ ψ 3 ψ 3 ψ 3 vyskytující se v soustavě rovnic (78) se vyjádří v závislosti na činiteli ψ 3 vazby mezi stropem a srovnávací rovinou (tj. pro dva obdélníky nad sebou). Vychází se při tom z geometrických souvislostí: ψ ; (8) 3 ψ 3 ψ 3 ψ ; ψ ψ 3 i z jednoduché energetické bilance: ψ + ψ 3 odkud 3 ψ ψ (8) 5

54 Pro činitele vazby ψ a ψ lze odvodit vztah: ψ A ψ A ( ψ ) ( ψ ) 3 A A kde m je index místnosti pro který platí výraz m ( c d ) [ hv ( c + d )] m 3 (83) h v je výpočtová výška tj. výška fiktivní roviny svítidel nad srovnávací rovinou. V daném případě leží fiktivní rovina v rovině stropu h v h m. Pro činitele γ mnohonásobných odrazů mezi jednotlivými plochami stěn platí γ ψ ρ (84) Činitel vlastní vazby ψ mezi stěnami vyplývá z energetické bilance ψ + ψ + ψ 3 ze které po dosazení již uvedené souvislosti ψ ψ 3 vychází pro činitele vazby ψ rovnice ψ ( ) ψ m ψ (85) 3 Po dosazení vztahu (83) do výrazu (85) a do výrazu (84) vychází pro činitele γ mnohonásobných odrazů výraz γ A ρ A ( ψ ) 3 ρ [ m ( ψ )] 3 (86) Pro c 8 m; d 4 m; h 4 m vychází index místnosti m a dále ψ ; ψ 3556; ψ ψ 55; ψ ; γ Po dosazení a vyřešení soustavy rovnic (79) vychází L ; L; L Předpokládají-li se činitele odrazu ρ 7 ; ρ 5 ; ρ3 vyzařují (včetně vlivu mnoho-násobných odrazů) sekundární zdroje (strop a stěny) toky: strop ρ L stěny ρ L těchto toků dopadnou na srovnávací rovinu toky ze stropu ρ ψ L 3 ρ ψ 3 3 ze stěn 6799 L Vlivem mnohonásobných odrazů dopadá tedy na srovnávací rovinu součet uvedených toků tj L 53

55 e známých toků dopadlých na srovnávací rovinu (o ploše A m ) lze již stanovit místně průměrnou osvětlenost a to jak její hodnotu celkovou E3 celk L L ( %) Pozn. tak její složku přímou L (7 %) E3 př L E3 odr L a složku odraženou L (98 %) Je zřejmé že odražená složka průměrné osvětlenosti tvoří v tomto případě 3 % z celkové průměrné osvětlenosti srovnávací roviny výsledků dále vyplývá i hodnota činitele využití η E pro výpočet osvětlenosti ( π 3) η E 3 zdrojů L L 64 kde M A π L A π L 3 ; přičemž zdrojů A m. Lze též určit celkový průměrný jas L stěn neboť stěny z toku na ně dopadlého odrážejí tok odkud ρ π M A L A L ρ ρ L 5 39 L π A π h ( c + d) π 4 ( 8 + 4) Pozn. výsledku vyplývá že např. pro průměrný jas L svítícího stropu L cd m - by celkový průměrný jas stěn činil L 48 cd m - ]. obdobné rovnice do které se dosadí počáteční tok 5593 L je možno vypočítat přímou složku L průměrného jasu stěn L ρ ρ L L π A π h ( c + d) π 4 ( 8 + 4) což v daném případě je cca 64 % z celkového či výsledného jasu L stěn. 54

56 8. Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DALux Výpočet osvětlenosti srovnávací roviny adání: S využitím programu DALux stanovte základní parametry osvětlovací soustavy v prostoru ve tvaru kvádru. Pro jednoduchost uvažujte srovnávací rovinu v úrovni podlahy. Řešení: Po zvolení položky Nový interiérový projekt (obr. 35) Obr. 35 případně po najetí myší na položku Projekt se přes pravé tlačítko dostaneme do nabídky Vložit novou místnost. 55

57 Ve vyvolaném dialogovém okně zadáme rozměry místnosti. Lze také přidávat body a tvarovat navrhovaný prostor (obr. 36). Body přidáváme přes pravé tlačítko myši v okně s grafickým naznačením místnosti. Obr. 36 Po definování místnosti můžeme v kartě Metody plánu údržby definovat činitel údržby. Pokud nezvolíme položku Úhrně ale Rozšířen pak je třeba posléze u svítidel definovat plán údržby v položce pracovat činitele údržby (obr. 37). Obr. 37 Definování ploch odraznosti je pod záložkou Plochy místnosti. Vložení svítidla lze provést jednoduše přetažením *.LDT souboru na položku DALuxového okna použitá svítidla. Polohu svítidla lze měnit při kliknutí na konkrétní svítidlo (nebo skupinu svítidel) s tím že v akčních záložkách můžeme editovat Pozice/rotace Montážní výška. 56

58 V levé části okna DALuxu (obr. 38) v posloupnosti stromu Projekt/Místnost je položka Uživatelská úroveň. Toto je standardně definovaná výpočtová plocha (srovnávací rovina) programu DALux. Je třeba nastavit její výšku a velikost okrajů od stěn. Při složitějších tvarech místností však nastává problém a DALux neumožňuje nastavit vzdálenost jednoho metru což je vzdálenost požadovaná normou. V takovém případě je třeba vložit výpočtovou plochu ručně. Obr. 38 Na záložce Objekty (nachází se vlevo dole) můžeme získat tělesa která se dají vložit do navrhované místnosti. Takto lze simulovat přirozené stavební prvky jako jsou schody výtahy podhledy okna dveře apod. Pokud již v návrhové dokumentaci objektu není zaznačeno přesné rozmístění pracovních pozic (například kancelářské stoly obráběcí místa atd.) navrhuje se celý prostor na konkrétní hladinu osvětlenosti požadovanou normou. 57

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Víceúčelová sportovní hala v areálu ZŠ Ratibořická

Víceúčelová sportovní hala v areálu ZŠ Ratibořická Poradenská a projekční činnost, certifikované měření v oblasti osvětlení www.envispot.cz Víceúčelová sportovní hala v areálu ZŠ Ratibořická ul. Jívanská 647/10, 193 21 Praha 9 Posudek k výpočtům přístupu

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Zadavatel: KRONEN LABE spol. s r. o. Tylova 410/24, 400 04 Trmice

Zadavatel: KRONEN LABE spol. s r. o. Tylova 410/24, 400 04 Trmice ÚSTAV TECHNIK Y A ŘÍZENÍ V ÝROBY Ústav techniky a řízení výroby Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Na Okraji 11 Tel.: +42 475 285 511 96 Ústí nad Labem Fax: +42 475 285 566 Internet: www.utrv.ujep.cz

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

Měření umělého osvětlení

Měření umělého osvětlení Zpracovatelská firma: LED lighting s.r.o. Viničná 26 900 26 Slovenský Grob Slovenská republika Náměstí republiky Název stavby Sereď Slovenská republika Počet stran 4 Počet příloh 2 Datum měření 23.11.2011

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

Tvorba technická dokumentace

Tvorba technická dokumentace Tvorba technická dokumentace Základy zobrazování na technických výkresech Zobrazování na technických výkresech se provádí dle normy ČSN 01 3121. Promítací metoda - je soubor pravidel, pro dvourozměrné

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Daniela Bošová-DANCON IČ: 68856849, Na Dlouhém lánu 430/26, 160 00 Praha 6

Daniela Bošová-DANCON IČ: 68856849, Na Dlouhém lánu 430/26, 160 00 Praha 6 Daniela Bošová-DANCON IČ: 68856849, Na Dlouhém lánu 430/26, 160 00 Praha 6 Rezidence AURUM Na pláni, Praha 5 - Smíchov STUDIE PROSLUNĚNÍ A DENNÍHO OSVĚTLENÍ Vypracovala: Ing. Daniela Bošová, Ph.D. Spolupráce:

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

1.1 Oslunění vnitřního prostoru

1.1 Oslunění vnitřního prostoru 1.1 Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1 Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den

Více

Protokol č. V- 213/09

Protokol č. V- 213/09 Protokol č. V- 213/09 Stanovení součinitele prostupu tepla U, lineárního činitele Ψ a teplotního činitele vnitřního povrchu f R,si podle ČSN EN ISO 10077-1, 2 ; ČSN EN ISO 10211-1, -2, a ČSN 73 0540 Předmět

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM Pozorně se podívejte na obrázky. Kterou rukou si nevěsta maluje rty? Na které straně cesty je automobil ve zpětném zrcátku? Zrcadla jsou vyleštěné, zpravidla kovové plochy

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 VY_32_INOVACE_DUM.M.17 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: duben 2012 Matematika a její aplikace Klíčová slova: Třída: Anotace: Zlomky,

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň 5.2.1. Matematika pro 2. stupeň Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6., 8. a 9. ročníku 4 hodiny

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

rekreační objekt dvůr Buchov orientační výpočet potřeby tepla na vytápění stručná průvodní zpráva

rekreační objekt dvůr Buchov orientační výpočet potřeby tepla na vytápění stručná průvodní zpráva rekreační objekt dvůr Buchov orientační výpočet potřeby tepla na vytápění stručná průvodní zpráva Jiří Novák činnost technických poradců v oblasti stavebnictví květen 2006 Obsah Obsah...1 Zadavatel...2

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 3. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 1000, užívá a zapisuje vztah rovnosti a

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Výkon střídavého proudu, účiník

Výkon střídavého proudu, účiník ng. Jaromír Tyrbach Výkon střídavého proudu, účiník odle toho, kterého prvku obvodu se výkon týká, rozlišujeme u střídavých obvodů výkon činný, jalový a zdánlivý. Ve střídavých obvodech se neustále mění

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení PROBLÉMY STABILITY 9. cvičení S pojmem ztráty stability tvaru prvku se posluchač zřejmě již setkal v teorii pružnosti při studiu prutů namáhaných osovým tlakem (viz obr.). Problematika je však obecnější

Více

VÝPOČET TEPELNÝCH ZTRÁT

VÝPOČET TEPELNÝCH ZTRÁT VÝPOČET TEPELNÝCH ZTRÁT A. Potřebné údaje pro výpočet tepelných ztrát A.1 Výpočtová vnitřní teplota θ int,i [ C] normová hodnota z tab.3 určená podle typu a účelu místnosti A.2 Výpočtová venkovní teplota

Více

Zrak II. - Slepá skvrna, zrakové iluze a klamy

Zrak II. - Slepá skvrna, zrakové iluze a klamy I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Pracovní list č. 18 Zrak II. - Slepá skvrna, zrakové

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 15. ZÁŘÍ 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY ) NOSNÍKY ZTÍŽENÉ OBECNOU SOUSTVOU SIL Obecný postup při matematickém řešení reakcí

Více

EKONOMICKÉ A EKOLOGICKÉ OSVĚTLENÍ LOGISTICKÝCH PROVOZŮ

EKONOMICKÉ A EKOLOGICKÉ OSVĚTLENÍ LOGISTICKÝCH PROVOZŮ EKONOMICKÉ A EKOLOGICKÉ OSVĚTLENÍ LOGISTICKÝCH PROVOZŮ PŘEDSTAVENÍ SPOLEČNOSTI Ekosvětlo s.r.o. je specialista na systémy osvětlení průmyslových a logistických hal, sportovišť, veřejného osvětlení, osvětlení

Více

2. Pro každou naměřenou charakteristiku (při daném magnetickém poli) určete hodnotu kritického

2. Pro každou naměřenou charakteristiku (při daném magnetickém poli) určete hodnotu kritického 1 Pracovní úkol 1. Změřte V-A charakteristiky magnetronu při konstantním magnetickém poli. Rozsah napětí na magnetronu volte 0-200 V (s minimálním krokem 0.1-0.3 V v oblasti skoku). Proměřte 10-15 charakteristik

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

(dle vyhl. č. 78/2013 Sb. o energetické náročnosti budovy)

(dle vyhl. č. 78/2013 Sb. o energetické náročnosti budovy) [PENB] PRŮKAZ ENERGETICKÉ NÁROČNOSTI BUDOVY (dle vyhl. č. 78/2013 Sb. o energetické náročnosti budovy) Objekt: Bytový dům Adresa: V přístavu 1585 170 00 Praha Holešovice kraj Hlavní město Praha Majitel:

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Základní přehled. Dalekohled přístroj, který nám při pohledu do něj přiblíží daný předmět tolikrát, kolik činí jeho zvětšení.

Základní přehled. Dalekohled přístroj, který nám při pohledu do něj přiblíží daný předmět tolikrát, kolik činí jeho zvětšení. Základní přehled Dalekohled přístroj, který nám při pohledu do něj přiblíží daný předmět tolikrát, kolik činí jeho zvětšení. Reflektor zrcadlový dalekohled, používající ke zobrazení dvou (primárního a

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

R8.1 Zobrazovací rovnice čočky

R8.1 Zobrazovací rovnice čočky Fyzika pro střední školy II 69 R8 Z O B R A Z E N Í Z R C A D L E M A Č O Č K O U R8.1 Zobrazovací rovnice čočky V kap. 8.2 je ke konstrukci chodu světelných paprsků při zobrazování tenkou čočkou použit

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

PODKLADY PRO DIMENZOVÁNÍ NOSNÉHO BEDNĚNÍ PODLAH A REGÁLŮ Z DESEK OSB/3 Sterling

PODKLADY PRO DIMENZOVÁNÍ NOSNÉHO BEDNĚNÍ PODLAH A REGÁLŮ Z DESEK OSB/3 Sterling PODKLADY PRO DIMENZOVÁNÍ NOSNÉHO BEDNĚNÍ PODLAH A REGÁLŮ Z DESEK OSB/3 Sterling Objednavatel: M.T.A., spol. s r.o., Pod Pekárnami 7, 190 00 Praha 9 Zpracoval: Ing. Bohumil Koželouh, CSc. znalec v oboru

Více

Název: Odraz a lom světla

Název: Odraz a lom světla Název: Odraz a lom světla Autor: Mgr. Petr Majer Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika, Informatika) Tematický celek: Optika Ročník:

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Osvětlení atrií a poslucháren v nové budově FA ČVUT v Praze. Petr Žák, Ladislav Tikovský, Etna s.r.o.

Osvětlení atrií a poslucháren v nové budově FA ČVUT v Praze. Petr Žák, Ladislav Tikovský, Etna s.r.o. Osvětlení atrií a poslucháren v nové budově FA ČVUT v Praze Petr Žák, Ladislav Tikovský, Etna s.r.o. 1 Architektonický návrh: Ing. Arch. Alena Šrámková Ing.arch. Tomáš Koumar Ing. Arch. Lukáš Ehl Návrh

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Požadavky na osvětlování denním osvětlením v pracovním (a komunálním) prostředí

Požadavky na osvětlování denním osvětlením v pracovním (a komunálním) prostředí Požadavky na osvětlování denním osvětlením v pracovním (a komunálním) prostředí doc. Ing. Jan Kaňka, Ph.D. ČVUT Praha fakulta stavební ooakanka@centrum.cz Normy na denní osvětlení ČSN 730580-1 Denní osvětlení

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Ing. Petr Žák, Ph.D., ČVUT FEL ČVUT FEL

Ing. Petr Žák, Ph.D., ČVUT FEL ČVUT FEL Ing. Petr Žák, Ph.D., Vývoj veřejného osvětlení Impulsy pro změny ve veřejném osvětlení 70. léta 20. st. - energetická krize vysokotlaké sodíkové výbojky; 80. léta 20. st. - světelné znečištění optické

Více

Posudek budovy - ZŠ Hrádek n. Nisou

Posudek budovy - ZŠ Hrádek n. Nisou Posudek budovy - ZŠ Hrádek n. Nisou 1. Základní popis typ výstavby: pavilónový typ montovaný skelet technologie MS 71 rok výstavby: cca. 1986 počet podlaží: o 3 budovy: Pavilon MVD 3, Pavilon S4, spojovací

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu,

Více

Magnety a magnetické vlastnosti látek

Magnety a magnetické vlastnosti látek 144 Mládež a fyzika Magnety a magnetické vlastnosti látek v experimentálních úlohách Mezinárodní fyzikální olympiády Jan Kříž, Bohumil Vybíral, Ivo Volf Ústřední komise Fyzikální olympiády, Přírodovědecká

Více

n =, kde n je počet podlaží. ψ 0 je redukční

n =, kde n je počet podlaží. ψ 0 je redukční Užitné zatížení Činnost lidí Je nahrazeno plošným a bodovým zatížením. Referenční hodnota 1 rok s pravděpodobností překročení 0,98 Zatížení stropů Velikost zatížení je dána v závislosti na druhu stavby

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ HORŠOVSKÝ TÝN ALLPLAN. verze 2005 CAD SYSTÉM PRO OBOR POZEMNÍ STAVITELSTVÍ VELIKOST VÝKRESŮ, SKLÁDÁNÍ

STŘEDNÍ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ HORŠOVSKÝ TÝN ALLPLAN. verze 2005 CAD SYSTÉM PRO OBOR POZEMNÍ STAVITELSTVÍ VELIKOST VÝKRESŮ, SKLÁDÁNÍ STŘEDNÍ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ HORŠOVSKÝ TÝN ALLPLAN verze 005 CAD SYSTÉM PRO OBOR POZEMNÍ STAVITELSTVÍ VELIKOST VÝKRESŮ, SKLÁDÁNÍ ŠKOLNÍ ROK 005/006 SOŠ a SOU H. Týn, Ing. Bohumil Veit Zobrazování

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP SKETCHUP SketchUp je program pro tvorbu trojrozměrných modelů. Je to jednoduchý, intuitivní a silný nástroj pro modelování. Není žádný problém

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Proč funguje Clemův motor

Proč funguje Clemův motor - 1 - Proč funguje Clemův motor Princip - výpočet - konstrukce (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2004 Tento článek si klade za cíl odhalit podstatu funkce Clemova motoru, provést základní výpočty a navrhnout

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

Prezentace vysvětluje pojem tepelné ztráty a základním způsobem popisuje řešení

Prezentace vysvětluje pojem tepelné ztráty a základním způsobem popisuje řešení Označení materiálu: Název materiálu: Tematická oblast: Anotace: Očekávaný výstup: zvládne Klíčová slova: Metodika: Obor: Ročník: 1. Autor: VY_32_INOVACE_ZMAJA_VYTAPENI_09 Tepelné ztráty Vytápění 1. ročník

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více