ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha

2 Předmluva Předkládaná učební pomůcka je určena studentům.roč. magisterského učebního programu nteligentní budovy zaměření elektrotechnické / informatické a tvoří vhodný doplněk vlastního učebního textu k usnadnění studia předmětu Elektrické světlo. Ve skriptu jsou v příkladech ukázány běžné postupy řešení základních světelně technických veličin i možnosti praktického využití jejich vzájemných souvislostí. V několika komplexnějších příkladech jsou výsledky výpočtů ověřeny energetickými bilancemi. Čtenář v publikaci nalezne i výpočty rozložení světelných toků bodových přímkových a obdélníkových typů svítidel a příklady ilustrující vliv mnohonásobných odrazů v interiérech. Na přípravě pomůcky a řešení jednotlivých příkladů a na zpracování pomůcky se podíleli : Prof. ng. Jiří Habel DrSc. ng. Tomáš Veselka ng. Marek Bálský ng. Rudolf Bayer a ng. Jan álešák. Předložená učební pomůcka není jistě bez nedostatků. Proto budeme všem čtenářům vděčni za veškeré jejich připomínky jak k obsahu tak i ke způsobu zpracování látky. V Praze v říjnu roku Autoři

3 Předmluva.... Rozlišení detailu Prostorový úhel Prostorový úhel Prostorový úhel Světelný tok sodíkové výbojky Určení světelného toku ze svítivosti zdroje Určení svítivosti ze světelného toku zdroje Jas povrchu tělesa Jas povrchu tělesa.... Jas povrchu tělesa ve tvaru válce.... Určení světlení z dopadlého toku na plošku Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu ntegrální činitele odrazu prostupu a pohlcení Osvětlenost v poli bodového zdroje Osvětlenost v poli bodového zdroje Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Výpočet světlenosti v poli přímkového typu Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typu Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvorem Řešení mnohonásobných odrazů v daném prostoru ve tvaru kvádru Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DALux Analýza zapínacího proud žárovek Analýza napájecího obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem Kompenzace účiníku v obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem... 69

4 . Rozlišení detailu Určete vzdálenost ze které lidské oko rozliší úsečku o délce mm při rozlišovací schopnosti oka. Řešení: Pro malé úhly zejména v oblasti minut lze přistupovat k problému zjednodušeně podle obr. b. Obr. a Obr. b Obr. Pozorovatel sleduje objekt o délce mm ze vzdálenosti l pod úhlem. [Při malých úhlech (cca do ) lze při řešení postupovat i podle obr. b.] Výpočet pro situaci na obr. a: 3 5 mm 5 mm 5 tg( 5') l m l tg( 5') tg( 5') Pro přepočet z minut na stupně resp. z minut na radiány lze použít vztahy 5' π ( ) ( ) ( 5 / 6) ; 5' Výpočet pro situaci na obr. b: 3 mm tg( ') l m l tg( ') V tomto případě se výsledky obou přístupů liší až na 7. desetinném místě. Pro přepočet z minut na stupně resp. z minut na radiány lze použít vztahy ' π 99 8 ( ) ( ) ( / 6) ; ' 4 rad 4 rad 3

5 . Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S ve tvaru koule o průměru d 3 cm pokud jej pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla pod úhlem β 3 podle obr.? Řešení: Obr. Svítidlo S ve tvaru koule o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá svislá osa o s svítidla se spojnicí středu svítidla S a bodu P. Prostorový úhel Ω pod nímž je z bodu P vidět svítící povrch svítidla obecného tvaru ze vzdálenosti l lze spočítat podle vztahu Ω A cos β (sr; m m) () l kde A je svítící povrch svítidla který pozoruje pozorovatel z bodu P β je úhel mezi svislou osou o s a spojnicí středu svítidla S a bodem P ( A cosβ ) je průmět svítícího povrchu svítidla do roviny kolmé k ose pohledu tj. ke spojnici bodu S a bodu P. Svítící povrch svítidla S ve tvaru koule vidí pozorovatel z jakéhokoliv směru (tj. pro jakýkoliv A cos β π d ] ležící v rovině kolmé k paprsku l. úhel β) jako kruh [o ploše ( ) 4 rovnice () pro hledaný prostorový úhel Ω pod nímž je z bodu P vidět kruhový zdroj S pak po A cosβ vyplývá dosazení za ( ) Ω A l cos β π d π 4 4 l sr ávěr: Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve vtaru koule pod prostorovým úhlem Ω 3-3 sr. 4

6 3. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S tvaru kruhu o průměru d 3 cm pokud jej pozorouje z bodu P ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla S a pod úhlem β 3 dle obr. 3? Řešení: Obr. 3 Svítidlo S ve tvaru kruhu o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá paprsek l s normálou N A k vyzařovací ploše svítidla. Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice () uvedené v příkladu do které se dosadí: l 5 m; A π d ; d 3 m; β 3 ; cosβ cos(3 ) ávěr: A β π d β π Ω 98-3 sr cos cos 3 cos3 l 4 l 4 5 Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve tvaru kruhu pod prostorovým úhlem Ω 98-3 sr. 5

7 4. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo tvaru válce s podstavou o průměru d 3 cm a výškou h 4 cm ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla pokud jej pozoruje z bodu P pod úhlem α 3 dle obr. 4? Obr. 4 Svítidlo S ve tvaru válce s podstavou o průměru d a výškou h se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá svislá osa o s svítidla S se spojnicí středu svítidla S a bodu P. Řešení: Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice () uvedené v příkladu kde součin ( A cos β ) představuje průmět povrchu válcové plochy roviny kolmé ke směru pohledu tj. k paprsku l. Povrch válce si lze rozdělit na dílčí plochy podle obr. 5 a to na kruh a obdélník. Obr. 5 pohledu pozorovatele P lze povrch svítidla S ve tvaru válce rozdělit na kruh A k pozorovaný pod úhlem β a na obdélník A o pozorovaný pod úhlem (9 -β) jak je naznačeno v pravé části obrázku. K získání celkového prostorového úhlu Ω dosadíme do obecného vztahu () úhel β a plochu A k úhel (9 -β) a plochu A o ávěr: ( 9 α ) π d cosα ( h d ) cos( 9 α ) + A cosα B cos Ω + l l 4 l l π 3 4 ( 4 3) cos( 9 3 ) cos sr Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S pod prostorovým úhlem Ω 94-3 sr.

8 5. Světelný tok sodíkové výbojky adání: Při uvažování fotopického vidění určete světelný tok sodíkové výbojky 5 W která vyzařuje na vlnové délce λ 555 nm zářivý tok e (λ) 8 W. 7 6 S v ě t e l n ý ú č i n e k z á ř e n í ( l m/ W ) K (λ) - skotopické vidění max. 7 lm /W při 57 nm 555 nm K (λ) K (λ) - - mezopické vidění vidění adaptační adaptační jas jas cd.m cd.m - - max. 756 lm/w při 53 nm K(λ) - fotopické vidění max. 683 lm /W při 555 nm K (λ) - mezopické vidění adaptační jas cd.m - max. 695 lm /W při 545 nm vlnová délka (nm) Obr. 6 ávislosti světelného účinku záření K(λ) normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém mezopickém a skotopickém vidění na vlnové délce viditelného záření. Řešení: Světelný tok (λ) odpovídající zářivému monofrekvenčnímu toku e (λ) při fotopickém vidění normálního fotometrického pozorovatele se stanoví jako součin zmíněného zářivého toku e (λ) a světelného účinku K(λ) záření ze vztahu ( λ) K( λ) ( λ) (lm; lm/w W) () e V daném případě e (λ) e (555) 8 W a tudíž K(λ) K(555) 683 lm W -. Po dosazení do vztahu () pro hledaný světelný tok (λ) vychází ávěr: ( λ) K( λ) ( λ) lm 546 lm e Světelný tok sodíkové výbojky o příkonu 5 W je 546 lm. 7

9 6. Určení světelného toku ze svítivosti zdroje adání: Stanovte světelný tok zdroje jehož průměrná svítivost do dolního poloprostoru je d 48 cd a do horního poloprostoru h 36 cd. Řešení: Svítivost γ bodového zdroje ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω.a to v souladu s definiční rovnicí svítivosti d γ (cd; lm sr) (3) dω kde dω je prostorový úhel jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezích uvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok d. Prostorový úhel Ω celého prostoru je roven 4π a prostorový úhel poloprostoru je π. Je-li průměrná svítivost d do dolního a h do horního poloprostoru stanoví se hledané světelné toky d a h do dolního a horního poloprostoru ze vztahu ávěř: Ω Ω + Ω 48 π + 36 π 5779 lm 58 lm Světelný tok zdroje je 58 lm. d d h h 7. Určení svítivosti ze světelného toku zdroje adání: Jaká je svítivost bodového zdroje světla který vyzařuje světelný tok 56 lm rovnoměrně do všech směrů v prostoru? Řešení: Svítivost γ bodového zdroje je definována vztahem (3) uvedeném v příkladu 6. Pokud je světelný tok rovnoměrně vyzařován do všech směrů (Ω 4π) je průměrná svítivost rovna poměru toku a prostorového úhlu Ω tj. ávěr: cd cd Ω 4π Průměrná svítivost uvažovaného bodového zdroje rovnoměrně vyzařujícího tok 56 lm do celého prostoru je cd. 8

10 8. Jas povrchu tělesa adání: Určete jas L povrchu tělesa ve tvaru koule o průměru d 3 cm které do všech směrů vyzařuje s konstantní svítivostí cd. Řešení: Obr. 7 Pozorovatel vidí z bodu P svítidlo tvaru koule o průměru d jako kruh o průměru d. Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se z bodového zdroje jehož svítivost ve směru osy svazku je γ platí obecný vztah γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ kde A je vyzařující plocha γ je úhel mezi normálou N A plochy A a osou svazku paprsků γ (viz obr. 8). Obr. 8 Náčrt průmětu (A cosγ) svítící plochy A do roviny kolmé ke směru svítivosti γ. Pokud pozorovatel P podle obr. 7 pozoruje svítidlo ve tvaru koule uvidí z jakéhokoliv úhlu γ (obr. 8) kruh o průměru d. V daném případě je tedy pro libovolný úhel γ průmět d A cos β π (5) 4 a hledaný jas L se při konstantní svítivost vypočte z rovnice ávěr: S π d π L 44 7cd m 45 cd m - Hledaný jas L povrchu tělesa ve tvaru koule je tedy 45 cd m. 9

11 9. Jas povrchu tělesa adání: Určete jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule o průměru d 3 cm ve směru k pozorovateli v bodě P (ve směru pod úhlem γ 3 od normály N A ) je-li svítivost tělesa ve sledovaném směru γ cd (viz obr. 9). Řešení: Obr. 9 Jas svítidla tvaru polokoule o průměru d hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ svírá normála N A kruhové podstavy svítící plochy polokoule a spojnice středu podstavy s bodem P. Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8 γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ Důležité je že ve jmenovateli vztahu (4) je průmět svítící plochy A zdroje do roviny kolmé ke směru pohledu pozorovatele tj. A cosγ. Pro daný případ je situace znázorněna na obr.. Obr. a Obr. b Obr. Polokulové svítidlo je z bodu P (obr. a) vidět ve tvaru znázorněném na obr. b. Plocha A představuje polovinu obsahu kruhu o průměru d tj. π d A 4 π d plocha A je pak rovna polovině kruhu pozorovaného pod úhlem γ tj. A cos. obr. je zřejmé že v daném případě je průmět ( cosβ ) k ose pohledu roven A svítící plochy A do roviny kolmé π d π d A cos γ A + A cosγ + (6) γ

12 Po dosazení do vztahu (6) pro hledanou hodnotu jasu vychází L γ γ A cosγ γ γ A + A π d π d cosγ π 3 4 π 3 cos cd m - ávěr: Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru polokoule se svítivostí γ cd v pozorovaném směru je 56 cd m -.. Jas povrchu tělesa ve tvaru válce adání: Určete jas povrchu svítícího tělesa ve tvaru válce s podstavou o průměru d 3 cm výškou h 4 cm a to ve směru pod úhlem γ 3 od osy o v válce za předpokladu že svítivost γ daného svítidla v uvažovaném směru je rovna γ cd (viz obr. ). Obr. Jas svítícího tělesa ve tvaru válce o průměru podstavy d a výšce h hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ se měří mezi normálou N A kruhové podstavy válce a spojnicí středu svítidla s bodem P. Přímka N A prochází středem válce a je kolmá k normále N A. Řešení: Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8 γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ

13 Obr. a Obr. b Obr. Svítící válec (obr. a) je z bodu P vidět ve tvaru znázorněném na obr. b. Pozorovanou svítící plochu lze rozdělit na svítící kruh podstavy A p pozorovaný pod úhlem γ jako plocha A a na plášť válce pozorovaný pod úhlem (9 -γ) jako plocha A obdélníku. obr. je zřejmé že v daném případě je průmět ( cosβ ) k ose pohledu roven A svítící plochy A do roviny kolmé π d A cosγ A + A cosγ + h d cosγ (7) 4 Po dosazení do vztahu (7) pro hledanou hodnotu jasu L γ vychází L γ γ A cosγ γ A + A π d 4 γ cosγ + h d cosγ cd m - π 3 cos cos3 4 ávěr:. Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru válce s danou svítivostí v pozorovaném směru je 85 cd m -

14 . Určení světlení z dopadlého toku na plošku adání: Určete světlení rovinné plošky A o obsahu S cm ze které vychází světelný tok lm (obr. 3). Řešení: Obr. 3 Plocha A vyzařuje tok. Světlení je definováno jako plošná hustota světelného toku d v vyzařovaného z plošky da podle výrazu M dv (lm m - ; lm m ) (8) da Pro průměrnou hodnotu světlení M plochy A vyzařující tok v pak platí M v (lm m - ; lm m ) (9) A Po dosazení do rovnice (9) pro hledané světelní M vychází M lm m - S ávěř: Hodnota světelní M zadané plošky A je lm m -. 3

15 . Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete světelný tok dopadlý z bodového zdroje na plochu A kruhového tvaru o průměru d 3 cm. droj světla vyzařuje rovnoměrně do všech směrů s konstantní svítivostí cd a je od plochy A umístěn ve vzdálenosti l 5 m (obr. 4). Dále určete osvětlenost plochy A. droj osvětluje plochu A ze směru pod úhlem β 3 měřeným od normály N A. Obr. 4 droj osvětluje kruhovou plochu A ze vzdálenosti l. Osa svazku paprsků dopadajících ze zdroje na plochu A svírá s normálou N A úhel β. Řešení: Svítivost γ svítidla bodového typu ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω. d γ (cd; lm sr) () dω kde dω je prostorový úhel jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezích uvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok d. Vyzáří-li zdroj do prostorového úhlu Ω světelný tok pak je průměrná svítivost s v mezích prostorového úhlu Ω rovna s (cd; lm sr) () Ω výrazu () vyplývá že vyzařuje-li zdroj do prostorového úhlu Ω s konstantní svítivostí s pak do prostorového úhlu Ω vyzáří světelný tok který se zjistí ze vztahu s Ω (lm; cd sr) () adaný zdroj vyzařuje s konstantní svítivostí do celého prostoru. Svítivost je tedy konstantní i v mezích prostorového úhlu Ω A pod kterým je z bodu vidět plocha A. Světelný tok A dopadající na plochu A v mezích prostorového úhlu Ω A (obr. 5) lze tedy vypočítat ze vztahu (lm; cd sr) (3) A Ω A 4

16 Obr. 5 bodu zdroje je osvětlovaná plocha A vidět pod prostorovým úhlem Ω A. Prostorový úhel Ω pod nímž je ze zdroje vidět plochu obecného tvaru ze vzdálenosti l lze spočítat podle vztahu A cosβ Ω (sr; m m) (4) l kde A je osvětlovaná plocha která je z bodu vidět pod prostorovým úhlem Ω A v daném případě A π d 4 β je úhel mezi spojnicí středu plochy A a zdrojem a normálou N A plochy A. Po dosazení do rovnice (4) pro prostorový úhel Ω A vychází Ω A π d π 3 A cos β cosβ cos sr l l 5 Dosadíme-li výsledek do vztahu (3) nalezneme již hledaný světelný tok A 9 79 A Ω A 3 98 lm Průměrná osvětlenost E A plochy A se pak vypočte z výrazu A A 98 EA 39 lx A π d π Stejná hodnota osvětlenosti E A se zjistí i dosazením do základního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ osvětlené svítidlem bodového typu γ E P ρ cos β cos3 36 lx l 5 ávěr: Světelný tok dopadající na plochu A má hodnotu A 98 lm a osvětlenost E plochy A hodnotu E A 39 lx. K hodnotě osvětlenosti plošky A v bodě P lze dospět výpočtem světelného toku A dopadajícího na plochu A a vztažením tohoto toku na plochu A nebo dosazením do základního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ. 5

17 3. Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu adání: Mějme kruhovou difúzně odrážející a propouštějící plochu A o průměru d m. ntegrální činitel odrazu plochy A je ρ 7 a integrální činitel prostupu materiálu τ. Na uvažovanou plochu A dopadá světelný tok 3 lm. Vypočítejte světelní M povrchu A do poloprostoru v němž je zdroj a M do druhého poloprostoru (obr. 6). Řešení: Obr. 6 droj osvětluje kruhovou plochu A o průměru d. Světlení M je obecně definováno vztahem (8) uvedeném v příkladu. Průměrná hodnota světlení M plochy A vyzařující (odrážející) tok V se zjistí ze vztahu (9). Dopadá-li na difúzně odrážející plochu A tok odráží se od jejího povrchu do poloprostoru v němž je zdroj světelný tok ρ. Obsah kruhové plochy A o průměru d se vypočte z výrazu d 4 o A π. Po dosazení do vztahu (9) pro světlení M vychází o ρ 3 7 M 67 lm m - A π d π 4 4 Tok p prošlý materiálem do poloprostoru se stanoví z rovnice p τ. Průměrné světlení M do poloprostoru je rovno poměru toku p a obsahu plochy A M p A τ 3 π d π lm m - ávěr: adaná plocha A po dopadu světelného toku 3 lm ze zdroje vykazuje do poloprostoru se zdrojem světlení M 67 lm m - při daném integrálním činiteli odrazu ρ plochy A a do opačného poloprostoru M 76 lm m - při daném integrálním činiteli prostupu τ materiálu plochy A. 6

18 4. ntegrální činitele odrazu prostupu a pohlcení adání: Mějme plochu A na kterou dopadá světelný tok lm. 7 % světelného toku se od plochy A odrazí a 3 lm látkou projde. Určete činitel pohlcení α materiálu plochy A. Řešení: Světelně technické vlastnosti látek charakterizují tři bezrozměrné integrální činitele: činitel odrazu ρ činitel prostupu τ a činitel pohlcení α. Tyto činitele určují jaká část dopadajícího světelného toku se odrazí projde látkou a je látkou pohlcena. Platí tedy ρ + τ + α (5) Pokud se podle zadání 7 % dopadajícího světelného toku odrazí je činitel odrazu ρ 7. Dále víme že látkou projde světelný tok τ 3 lm což je 3 % z dopadajícího světelného toku lm. Činitel prostupu je tedy τ 3. Činitel pohlcení α se pak stanoví dosazením do rovnice (5) z výrazu ávěr: α ρ τ ntegrální činitele odrazu ρ prostupu τ a pohlcení α určují jaká část světelného toku dopadající např. na danou plochu A se odrazí projde a je pohlcena materiálem plochy. Sledovaný materiál plochy A vykazuje tedy při integrálním činiteli odrazu ρ 7 hodnotu integrálního činitele prostupu τ 3 a hodnotu integrálního činitele pohlcení α 5. 7

19 5. Osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete osvětlenost E Pρh vodorovné srovnávací roviny ρ h v bodě P kterou zajistí jediný bodový zdroj. Rozložení svítivosti rotačně souměrně vyzařujícího zdroje vystihuje čára svítivosti jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) cos γ. Vztažná svítivost 5 cd h 3 m p 4 m (viz obr. 7). Obr. 7 Geometrické uspořádání zdroje a kontrolního bodu P ve vodorovné srovnávací rovině ρ h. V bodě P je vztyčena normála N ρh vodorovné srovnávací roviny ρ h (svislá čerchovaná čára). Řešení: Obr. 8 Bodový zdroj osvětluje plošku da v rovině ρ v okolí kontrolního bodu P. Ve směru ke kontrolnímu bodu P vykazuje zdroj svítivost γ. 8

20 Osvětluje-li se bodovým zdrojem ze vzdálenosti l ploška da tvořící okolí bodu P v rovině ρ a svírá-li normála N ρ roviny ρ úhel β s paprskem l lze odvodit pro osvětlenost E Pρ v bodě P roviny ρ bodovým zdrojem výraz E P ρ γ cos β (lx; cd m ) (6) l Křivka svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je v závislosti na úhlu γ f γ cos tj. pro hledanou svítivost γ platí vztah popsána funkcí ( ) γ γ ( γ ) γ (7) f cos Obr. 9 názornění průběhu charakteristické funkce f (γ) cos γ v polárních souřadnicích. Pro úhel γ vyplývá z obr. 7 vztah p 4 γ β arctg arctg h (8) Vzdálenost l se stanoví z rovnice l h + p m Svítivost γ uvažovaného zdroje ve směru pod úhlem γ 533 se zjistí ze vztahu ( cos( 53 3 )) cd cos γ 5 54 (9) γ Po dosazení do rovnice (6) pro osvětlenost E Pρh horizontální roviny ρ h v bodě P kdy β γ vychází ávěr: cosβ ( 53 3 ) 54 cos 5 γ E P ρ h 3 lx l Osvětlenost E Pρh vodorovné srovnávací roviny ρ h v bodě P ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem ( γ 54 cd) podle zadání je rovna E Pρh 3 lx. 9

21 6. Osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete osvětlenost E Pρv svislé srovnávací roviny ρ v kolmé k úsečce p v bodě P kterou zajistí jeden bodový zdroj. Rozložení svítivosti zdroje vystihuje čára svítivosti jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) cos γ. Vztažná svítivost 5 cd h 3 m p 4 m (viz obr. ). Řešení: Obr. Geometrické uspořádání zdroje a kontrolního bodu P ve vertiklání rovině ρ v. Pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecné roviny ρ platí vztah (6) z příkladu 5. Rozložení svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je i v tomto případě popsána charakteristickou funkcí f ( γ ) cos γ a tedy i rovnicí (9) z příkladu 5. Úhel γ se i v tomto případě stanoví z rovnice (8) tj. γ 533 a tudíž je shodná i svítivost ve směru pod úhlem γ tj. podle rovnice (9) γ 54 cd. Pro úhel β z obr. vyplývá h 3 β arctg arctg cos β 7999 p 4 Vzdálenost l kontrolního bodu P od zdroje se v souladu s obr. vypočte z rovnice l h + p m Nyní můžeme dosadit získané hodnoty do vztahu pro osvětlenost E Pρv vertikální roviny ρ v v bodě P ávěr: E P ρ v γ cos β l ( ) 54 cos 5 7 lx Osvětlenost E Pρv svislé roviny ρ v v bodě P ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem ( γ 54 cd) je rovna E Pρh 7 lx.

22 7. Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů adání: Určete světlení M a M obou stran rovinné plošky A o rozměrech x cm která se nachází v poli dvou bodových zdrojů a (obr. ) vyzařujících světelné toky a s konstantní svítivostí do celého prostoru. Výpočet proveďte za předpokladu že ploška A vykazuje:. oboustranně shodný rovnoměrně rozptylný odraz i prostup 9 lm.. integrální činitel odrazu ρ 5 integrální činitel prostupu τ 5. Při řešení uvažujte: h m p m p m β. Řešení: Obr. droje světla a osvětlují povrchy A a A plochy A jejíž normála svírá s vodorovnou rovinou úhel β. Průměrná hodnota světlení M povrchu plochy A který vyzařuje tok v je v souladu s rovnicemi (8) a (9) rovna poměru v A. Celkový tok v který v daném případě vyzařuje povrch A plochy A se skládá z toku:. [ρ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na A a odrazí se od povrchu A s činitelem odrazu ρ. [τ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na povrch A a prošlý (s činitelem prostupu τ) materiálem plochy A na povrch A. Pro tok v který povrch A vyzařuje platí tedy rovnice [ ( A) ] + ( ) [ ] ρ τ () v A

23 Celkový tok v který v daném případě vyzařuje povrch A plochy A se skládá z toku:. [ρ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na A a odrazí se od povrchu A s činitelem odrazu ρ. [τ A ] což je tok A dopadlý ze zdroje na povrch A a prošlý (s činitelem prostupu τ) materiálem plochy A na povrch A. Pro tok v který povrch A vyzařuje platí tedy rovnice v [ ( A) ] + τ ( A) [ ] ρ () výrazů () a () vyplývá že je nejprve třeba stanovit tok A dopadající ze zdroje na povrch A potažmo tok A dopadající ze zdroje na povrch A. Připomeňme že průměrná svítivost p bodového zdroje v mezích určitého prostorového úhlu Ω je rovna poměru světelného toku vyzářeného zdrojem do zmíněného úhlu Ω a velikostí tohoto prostorového úhlu tj. platí p (cd; lm sr) () Ω V daném případě každý zdroj vyzařuje tok 9 lm a svítivost obou zdrojů je stejná a konstantní do všech směrů celého prostoru [Ω 4π]. Svítivost zdroje resp. do libovolného směru prostoru se tedy v souladu s rovnicí () zjistí ze vztahu Ω cd 3 cd 4 π obecného vztahu () dále vyplývá že světelný tok který bodový zdroj vyzáří do prostorového úhlu Ω se stanoví jako součin průměrné (v mezích zmíněného Ω) svítivosti p zdroje a velikosti Ω p Ω (lm; cd sr) (3) Protože svítivost p 3 cd obou zdrojů a je shodná a konstantní do celého prostoru postačuje ke stanovení toků A resp. A zjistit prostorové úhly Ω a Ω pod nimiž je plocha A vidět z bodu resp. viz obr..

24 Obr. K výpočtu prostorových úhlů Ω a Ω. Prostorové úhly Ω a Ω lze vypočítat podle vztahů Ω A cosβ A cosβ ; Ω l l kde A A m h β arctg β arctg 6 57 p l p + h + 5 m h + β arctg β arctg + 65 p l p + h + m ( 5) ( 6 57 ) A cos β cos 3 Ω 3 97 sr l ( ) ( 65 ) A cos β cos 3 Ω 4 3 sr l 3

25 Při známé svítivosti obou zdrojů a vypočtených prostorových úhlech Ω a Ω lze již podle rovnice (3) stanovit světelné toky A a A vyzařované zdroji a do prostorových úhlů Ω a Ω. Po dosazení do výrazu (3) pro toky A a A vychází A Ω lm A Ω lm Obr. 3 Ke stanovení toků v a v vycházejících z povrchu A resp. povrchu A plochy A. Po dosazení toků A a A do rovnic () a () se již stanoví tok v vycházející z povrchu A a tok v vycházející z povrchu A. [ ( A) ] + τ ( A) [ ] [ 5 9] + [ 5 98] v ρ 6 lm v [ ( A) ] + τ ( A) [ ] [ ] [ 9] ρ 63 lm Hledané průměrné hodnoty světlení M a M se získají vztažením toků v a v na obsah plochy A ávěr: v 6 M 35 lm m - A v 63 M 35 lm m - S A Abychom mohli zjistit průměrné hodnoty světlení M obou stran rovinné plochy A v poli dvou světelných bodových zdrojů a s daným světelným tokem bylo nejprve třeba vypočítat svítivost zdrojů a určením prostorové úhly Ω resp. Ω pod kterými jsou povrchy A a A plochy A z bodových zdrojů resp. vidět. Poté již bylo možno vyřešit světelné toky A resp. A dopadající na povrch A resp. A plochy A. toků A a A pak byly stanoveny toky v resp. v vycházející z povrchů A resp. A a jejich vztažením ne velikost plochy A byly konečně určeny hledané hodnoty světlení M 35 lm m - a M 35 lm m - obou sledovaných povrchů. 4

26 8. Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici adání: Na fotometrické lavici byla vizuální metodou měřena svítivost světelného zdroje (obr. 4). Určete svítivost zdroje za předpokladu že je dáno:. svítivost normálu N 34 cd. vzdálenost normálu l N m 3. vzdálenost měřeného zdroje l 43 m. Obr. 4 Geometrické uspořádání zdrojů N a hranolu H na fotometrické lavici a znázornění pozice pozorovatele při vizuálním měření svítivosti přímým pozorováním. Pozorovatel změnou polohy fotometru (hranolu H) nastavuje stejný jas obou v okuláru sledovaných povrchů. Řešení: Po vyrovnání jasů stěn fotometrického hranolu pozorovatelem podle obr. 4 platí vztah N l N l Stačí tedy vyjádřit a dosadit N ln l cd 5

27 9. Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu adání: Určete průměrnou hladinu osvětlenosti E p srovnávací roviny ρ a rovnoměrnost r osvětlení v místnosti o půdorysu 8x5 m a výšce h 35 m. Místnost je osvětlena čtyřmi svítidly opatřenými rozptylným krytem ve tvaru koule. Umístění svítidel je zakótováno v obr. 5. Délka závěsu svítidel pod stropem je h z 8 m. Světelný tok každého svítidla je 7 lm vztažná svítivost 8 cd/klm. Průměr rozptylných krytů svítidel d z 5 m. Kontrolní body jsou na srovnávací rovině rozmístěny podle obr. 5. Srovnávací rovina ρ se nachází ve výšce 85 m nad podlahou. Obr. 5 Místnost o půdorysu 8x5 m je osvětlena čtyřmi zavěšenými (délka závěsu h z 8 m) svítidly (označeny červeně) s rozptylným krytem ve tvaru koule o průměru d z 5 m. Výška místnosti je h 35 m. Srovnávací rovina ρ se uvažuje ve výšce h 3 85 m. Osvětlenost se ověřuje v devíti kontrolních bodech (označeny zeleně). Řešení: Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E p a rovnoměrnost osvětlení r je potřeba nejprve spočítat osvětlenosti v jednotlivých měřicích bodech od všech čtyř svítidel tzn. spočítat osvětlenosti v daném bodě postupně pro jednotlivá svítidla a pak je sečíst. Osvětlenost v bodě P j vodorovné srovnávací roviny ρ od svítidla i (podle obr. 6) E ij cosγ ij (4) l γij ij kde ij je je svítivost ve směru γ podle obr. 6 l ij je vzdálenost bodu P j od zdroje i γ ij je úhel mezi normálou N ρ a úsečkou l ij. 6

28 Ke stanovení osvětlenosti ve vybraném kontrolním bodě P j bude tedy třeba určit vzdálenost l ij bodu P j od svítidla i a dále úhel γ ij mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij který je při daném uspořádání totožný s úhlem mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij podle obr. 6. Obr. 6 Svítidlo i osvětluje bod P j srovnávací roviny ρ. Jelikož jsou svítidla osazena rozptylnými kryty kulového tvaru uvažujme že svítivost svítidel bude do všech směrů konstantní a tudíž svítivost γ bude pro všechny úhly γ rovna vypočtené svítivosti vztažné (viz obr. 7). Obr. 7 Křivka svítivosti svítidla s ideálně rozptylným kulovým krytem. Byla zadána svítivost vztažená na klm. K získání aktuální svítivosti pro dané světelné zdroje se světleným tokem z 7 lm použijeme vztah ' cd γ (5) 7

29 Výška h (viz obr. 5) je pro kombinaci všech svítidel i a bodů P j srovnávací roviny ρ totožná. h d z h h h3 h hz + h m 3 kde h je výška místnosti podle zadání h je vzdálenost světelného středu svítidla od stropu (viz obr. 6) h 3 je výška srovnávací roviny (viz obr. 5) h z je délka závěsu svítidla (viz obr. 5) d z je průměr baňky svítidla (viz obr. 5). Pro výpočet úhlů γ ij a vzdáleností l ij dosadíme x ij y ij a z ij (viz obr. 6) do vztahů (6) l ij ij ij ij x + y + z (7) p xij + y ij ij γ ij arctg arctg (8) zij zij Hodnoty x ij a y ij lze odečíst z obr. 8. Obr. 8 Půdorys místnosti. elená čísla označují kontrolní body červená čísla vyznačují umístění svítidel. Při užití značení kontrolních bodů a svítidel dle obr. 8 vycházejí hodnoty vzdálenosti l j a úhlu γ j (svítidlo viz obr. 6) jak uvedeno v tab.. j - číslo bodu l j (m) γ j ( ) Tab. Vzdálenosti l j a úhly γ j jednotlivých kontrolních bodů P j od svítidla. Body P j jsou v tabulce umístěny dle obr. 8. 8

30 Po dosazení hodnot z tab. do vztahu (4) pro výpočet osvětlenosti E ij vychází hodnoty osvětleností sestavené do tab. j číslo bodu E j (lx) Tab. Hodnoty osvětlenosti E j srovnávací roviny v kontrolních bodech P j zajištěné svítidlem. Osvětlenosti v tab. zahrnují světelný tok pouze od svítidla. Podle obr. 8 jsou měřicí body P j a svítidla i rozmístěny symetricky. e symetrie plynou rovnosti osvětleností E (9) E3 E37 E49 E (3) E E38 E48 E (3) 3 E E39 E47 E (3) 4 E34 E6 E46 E (33) 5 E5 E35 E45 E (34) 6 E4 E36 E44 E (35) 7 E3 E9 E43 E (36) 8 E3 E8 E4 E (37) 9 E7 E33 E4 Pro výpočet celkových osvětleností v kontrolních bodech P j od všech svítidel lze tedy použít hodnoty z tab.. Pro každý bod P j platí vztah E j E j + E j + E3 j + E4 j (38) Např. pro výpočet osvětlenosti E v bodě P bude platit E + (39) E + E + E3 + E4 E + E3 + E7 E9 přičemž hodnoty E E 3 E 7 a E 9 jsou již spočteny v tab.. Výsledné celkové hodnoty osvětleností v kontrolních bodech jsou uvedeny v tab. 3. 9

31 j číslo bodu E j (lx) Tab. 3 Celkové osvětlenosti E j v kontrolních bodech P j srovnávací roviny. důvodu symetrie místnosti rozložení kontrolních bodů P j a svítidel i jsou některé hodnoty osvětleností shodné E E E E3 E7 E9 E E8 Průměrná hodnota osvětlenosti E P se stanoví z údajů v tab. 3 podle vztahu E j 4463 E j P 4959 lx (4) 9 9 Rovnoměrnost r lze získat ze vztahu ávěr: 9 min E j j 4 36 r 87 (4) E P Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E P srovnávací roviny ρ bylo nejprve třeba zjistit osvětlenosti E ij kontrolních bodů P j od jednotlivých svítidel i. Poté byly sečteny v daných kontrolních bodech P j osvětlenosti E j od všech čtyř svítidel i a jejich aritemtickým průměrem byla získána průměrná hladina osvětlenosti E P. Rovnoměrnost r byla určena poměrem nejmenší hodnoty získané osvětlenosti v kontrolním bodě E j a průměrné hladiny osvětlenosti E P. Pro osvětlení pracovních prostorů dle normy ČSN EN 464- je třeba navrhnout osvětlovací soustavu tak aby po celou dobu provozu soustavy v udržovacím období navrženém v projektu byla zajištěna udržovaná osvětlenost E m. Udržovaná osvětlenost je tedy hodnota místně průměrné osvětlenosti na daném povrchu pod kterou nesmí osvětlenost po dobu zvoleného cyklu údržby poklesnout. Hodnota udržované osvětlenosti E m se získá z hodnoty průměrné osvětlenosti E P vynásobením udržovacím činitelem z jehož hodnota závisí zejména na využití místnosti čistotě prostoru a na délce cyklu údržby a pohybuje se od 5 pro silně znečištěné prostory až po 8 a vyšší hodnoty pro velmi čisté místnosti s nižší roční dobou využití). Pokud by se uvažoval např. udržovací činitel z 7 (čistá místnost 3-letý cyklus údržby) bude v daném případě udržovaná osvětlenost rovna E m E z lx P Pozn. V souladu s normou ČSN EN 464- je v pracovních prostorech nezbytné splnit i řadu dalších požadavků zejména zabránit oslnění (UGR L ) a zajistit vhodné podání barev (index podání barev R a > 8). 3

32 . Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající z difúzně vyzařujícího svítidla bodového typu na stěny a na srovnávací rovinu místnosti ve tvaru kvádru o délce 8 m šířce 4 m výšce 35 m. Svítidlo je zapuštěno uprostřed stropu jeho vyzařovací plocha je v rovině stropu a jeho svítivost v kolmém směru je (cd). Dáno: - srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou; - výška h svítidla (i stropu) nad srovnávací rovinou je h m; - pro svítivost difúzně vyzařujícího svítidla platí výraz f ( γ ) cosγ. Řešení:. Výpočet světelného toku dopadajícího na srovnávací rovinu γ Obr. 9 Pro tok z daného bodového zdroje [ f ( γ ) cosγ plochy srovnávací roviny [obr. 9] platí vztah ] který dopadá na obdélník tvořící čtvrtinu a + a arctg b + a + b + b arctg a + b (lm; cd -) (4) kde c 8 4 m d 4 m poměrné rozměry a c h ; b d h rovnice (4) pak vychází

33 Tok 3 na celou srovnávací rovinu je čtyřnásobný tj (lm cd -) (4a). Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádru Obr. 3 Pro tok v dopadající z daného bodového zdroje [f (γ) cos γ] na obdélník umístěný podle obr. 3 v rovině rovnoběžné se směrem platí rovnice v a arctg a arctg (lm) (43) + b + b kde a c p b d p Podle vztahu (43) se vypočtou toky dopadající vždy na polovinu jak delší tak kratší ze stěny. Polovina delší stěny má rozměry c 4 m d h 4 m p m takže poměrné rozměry jsou: a c p 4 ; b d p 4. Na polovinu delší stěny dopadá tedy tok va který se vypočte podle rovnice (43) v a Na celou delší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný tj. v & 56 (43a) Polovina kratší stěny má rozměry c m d h 4 m p 4 m takže poměrné rozměry jsou: a c p 4 5; b d p Na polovinu kratší stěny dopadá tedy tok va který se vypočte podle rovnice (43) v a Na celou kratší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný tj. v & 6 (43b) Tok dopadající na obě delší a na obě kratší stěny tedy na všechny stěny je roven 3

34 ( ) ( ) Ověření výsledku výpočtu (lm cd -) (44) Vzhledem k tomu že na strop z uvažovaného svítidla nedopadá žádný tok pak součet toků dopadlých na srovnávací rovinu 3 a na stěny tzn (45) musí být roven toku sv vyzařovanému difúzním svítidlem. Mezi světlením M a jasem L difúzně vyzařující plochy platí známý vztah M π L (lm m - - cd m - ) (46) Jsou-li rozměry vyzařující plochy A vyz zanedbatelné v porovnání se vzdáleností od kontrolních bodů na srovnávací rovině (což je v daném případě splněno neboť jde o svítidlo bodového typu) pak je svítivost daného svítidla ve zvoleném vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše) rovna součinu jasu L a velikosti A vyz vyzařovací plochy L (cd; cd m - m ) (47) A vyz Tok sv vyzařovaný difúzně svítící plochou daného svítidla je roven součinu průměrné hodnoty světlení M a velikosti A vyz vyzařovací plochy svítidla tzn. sv M A vyz (lm lm m - m ) (48) Dosadí-li se do rovnice (48) vztahy (46) a (47) vychází pro hledaný tok sv že je roven součinu čísla π a svítivosti tedy sv M A π L A π (49) vyz vyz Porovnáním rovnic (45) a (49) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější vzájemné porovnání. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. 33

35 . Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající z daného svítidla Sv přímkového typu na stěny místnosti a na srovnávací rovinu. Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka c 8 m šířka d 4 m výška 35 m] je osvětlena jedním difúzně vyzařujícím svítidlem přímkového typu. Přímkový zdroj délky c 8 m je tvořen pěti v řadě za sebou osazenými svítidly se zářivkami x 58 W zapuštěnými ve stropě. Přímkový zdroj Sv je umístěn rovnoběžně s podélnou osou místnosti podle obr. 3. Obr. 3 V daném případě vyzařování svítidla přímkového typu popisují charakteristické funkce svítivosti π ( γ ) cos γ ; f ( α ) cosα f (5) δ Předpoklady: - srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou; - výška svítidla Sv (i stropu) nad srovnávací rovinou je h m ; - počítejte s obecnou hodnotou (cd m - ) svítivosti zdroje připadající na m jeho délky. Řešení:. Výpočet světelného toku dopadajícího na srovnávací rovinu Pro tok (½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu srovnávací roviny platí výraz ( ) a b a b h arctg + + a arctg arctgb + b + b + a kde ( ) a c h 8 ; b d h ( ) & Na celou srovnávací rovinu dopadá tok rovný dvojnásobku (½) tj. (5) ( ) (lm) (5) 34

36 . Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádru Pro tok v dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na jednu z delších stěn místnosti na obr. 3 platí vztah v p g arctg g g g + g + r arctg + ln + r + r + g + r (53) kde g c p 8 4; r h p 4 v & Na obě delší stěny tedy dopadá tok v (+) rovný dvojnásobku toku v tj. v( + ) v (lm) (54) Pro tok k3(½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu jedné z kratších stěn místnosti na obr. 3 platí vztah k 3 c arctg t + s arctg t s + s arctg t + s + t ln s t + t + s + t + t (55) kde t ( d ) c 8 5; s h c ( ) k. & Na jednu kratší stěnu dopadá dvojnásobek k & Na obě kratší stěny místnosti dopadá pak tok k(3+4) rovný dvojnásobku toku k3 tj. k ( 3 + 4) k (lm) (56) Na všechny stěny místnosti podle obr. 3 dopadá ze svítidla Sv přímkového typu tok který se stanoví sečtením dílčích výsledků z výrazů (54) a (56) ( ) 653 & (lm) 7 35

37 3. Ověření výsledku výpočtu Vzhledem k tomu že na strop místnosti nedopadá ze svítidla Sv žádný tok je celkový tok sv vyzářený zmíněným svítidlem roven ( ) sv ( ) sv & 537 (57) Pro difúzně vyzařující plochu A vyz svítidla s konstantním jasem L platí základní vztahy a to. pro světlení M: M π L (lm m - ; - cd m - ). pro svítivost ve vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše A vyz ): L A vyz (cd; cd m - m ) 3. pro tok sv vyzařovaný difúzně svítící plochou A vyz : sv M A π L A π vyz vyz (lm; lm m - m ; - cd m - m ; - cd) (58) V případě svítidla přímkového typu třeba do vztahu (58) pro tok sv za svítivost dosadit součin c svítivosti (cd m - ) a délky c 8 m takže rovnice pro tok sv má pak tvar sv π π c (59) 3 Porovnáním výsledků výrazů (57) a (59) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější ověření. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. K přiblížení představy o hodnotě svítivosti připadající na m délky vyzařovací plochy v příkladu uvažovaného svítidla přímkového typu: křivek svítivosti uváděných v katalozích zářivkových svítidel s rozložením svítivosti blízkým kosinusovému lze snadno zjistit že svítivost ( cd klm ) svítidla ve vztažném směru připadající na lm světelného toku zářivky bývá např. 3 cd klm. Uváží-li se že zářivka 58 W vyzařuje světelný tok přibližně 5 lm pak svítivost svítidla s jednou zářivkou 58 W ve vztažném směru bude cd. Délka svítidla se zářivkou 58 W (o délce 5 m) je cca 6 m a tudíž svítivost připadající na m délky takového svítidla přímkového typu bude přibližně 5 6 & 7 cd m tzn. orientačně 7 cd/m. 36

38 . Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník adání: Vypočtěte světelný tok který dopadá z difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu na obdélníkovou plochu BCDG kolmou ke směru vztažné svítivosti a umístěnou v rovině ρ podle obr. 3 a to ve vzdálenosti h G 4 m tak že kolmý průmět bodu do osvětlované roviny se ztotožňuje s vrcholem G obdélníku BCDG. Ve zvoleném pravoúhlém souřadnicovém systému x y z leží směr vztažné svítivosti ve směru osy z. Rovina ρ je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou x y. Ověřte současně možnost praktického využití přibližné metody řešení výpočtem hledaného toku z osvětleností několika dílčích ploch na které se osvětlovaný obdélník rozdělí. Řešení: Obr. 3 Pro svítivost γ difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu platí vztah. Přesný výpočet ( γ ) cosγ (cd; cd -) (6) γ f Pro tok který z bodového difúzně vyzařujícího zdroje dopadá na obdélník BCDG kolmý ke směru a umístěný podle obr. 3 platí rovnice a + a arctg b + a + b + b arctg a + b (lm; cd -) (6) kde c 8 4 m; d 4 m a poměrné rozměry a c h ; b d h 4 83 rovnice (6) vychází pro hledaný světelný tok vztah (lm; cd) (6) 37

39 Pozn. Pokud by vztažná svítivost uvažovaného svítidla byla rovna cd pak by průměrná osvětlenost E p celé plochy A 4 8 m obdélníku BCDG byla E p. Přibližné řešení ( 464) 8 & lx & A Rozdělme osvětlovaný obdélník BCDG např. na osm stejných dílčích ploch o rozměrech c m [ve směru osy x] a d m [ve směru osy y]. Obsah jednotlivých dílčích ploch je tedy stejný a je roven m. Ve středu každé dílčí plochy umístěme kontrolní bod P i [index i označuje pořadové číslo dílčí plochy]. Předpokládá se že osvětlenosti E i v kontrolních bodech P až P 8 jsou rovny průměrným hodnotám osvětlenosti v rámci každé dílčí plochy. Potom tok i dopadající na i-tou dílčí plochu je roven E A E E (lm; lx m ) (63) i i i i i Pro osvětlenost E Pρ bodovým zdrojem v bodě P obecně položené roviny ρ platí vztah γ E P ρ cosβ (lx; cd m ) (64) l kde γ je svítivost zdroje ve směru k bodu P tj. ve směru pod úhlem γ měřeném od směru vztažné svítivosti l je vzdálenost kontrolního bodu P od zdroje β je úhel sevřený normálou osvětlované roviny ρ se spojnicí bodu s bodem P. V daném případě leží osvětlovaný obdélník BCDG v rovině ρ kolmé ke směru vztažné svítivosti (obr. 3). Normála osvětlované roviny je tudíž rovnoběžná se směrem. toho vyplývá že úhel β γ. adané svítidlo bodového typu vyzařuje do všech směrů podle kosinusového zákona v souladu s rovnicí (6). Dosadíme-li uvedené skutečnosti do obecného vztahu (64) vychází pro osvětlenost E i v kontrolním bodě P i vztah E cos (lx; cd - m) (65) l i γ i i kde l i xi + yi + h xi + yi + 4 ; (x i y i h 4 m) souřadnice bodu P i (střed i-té dílčí plošky); γ i je úhel sevřený paprskem l i a směrem (obr. 3) pro který platí výraz xi + yi γ i arctg (rad) (66) h 38

40 P i x i (m) y i (m) l i γ i (rad) cos γ i cos γ i l P P P P P P P P i cos γ i 4685 li Tab. 4 Přehled dílčích výpočtů Hledaný světelný tok dopadající ze zdroje na obdélník BCDG je tedy přibližně roven cos γ i li 4685 (lm; cd) (67) Pozn. Pokud by vztažná svítivost uvažovaného svítidla byla rovna cd pak by průměrná osvětlenost E p celé plochy A 4 8 m obdélníku BCDG byla přibližně E p ( 4685) 8 ( ) & A 586 lx Porovnáním přibližného výsledku ve výrazu (67) s přesným výsledkem v rovnici (6) zjistíme že chyba přibližného řešení činí 9 % což je v daném případě plně vyhovující. volené rozdělení osvětlované plochy je tudíž pro praktický výpočet ve sledované situaci dostačující. Obdobné postupy většinou s jemnějším dělením se aplikují v počítačových programech. 39

41 3. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje adání: Difúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu o rozměrech c m d 6 m je zavěšeno ve výšce h m nad srovnávací rovinou. Svítící plocha svítidla je rovnoběžná se srovnávací rovinou. Srovnávací rovina leží v souřadnicové rovině x y. Kontrolní bod P leží v počátku souřadnicového systému. Průmět bodu P do roviny zdroje se ztotožňuje s vrcholem svítícího obdélníku. Jas difúzně svítícího obdélníku L konst 3 cd m. Poměrné rozměry obdélníku a c h 6; b d h 6 3. Vypočtěte osvětlenosti které svítící obdélník zajistí v bodě P ve všech třech souřadnicových rovinách. Řešení: A. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje L konst. přesnou metodou Pro průměty ε x ε y ε z světelného vektoru ε do souřadnicových os tj. pro osvětlenosti tří souřadnicových rovin v bodě P při zadaném geometrickém uspořádání platí odvozené vztahy: ε x L b arctgb arctg + a + a ε y L a arctg a arctg + b + b ε z L a b b a arctg + arctg + a + a + b + b Po dosazení vychází 3 3 ε x arctg 3 arctg 33 lx ε y arctg 6 arctg 6 lx ε z arctg + arctg lx 4

42 B. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Lkonst. metodou náhrady plošného zdroje jedním zdrojem bodovým Pro tok sv svítícího obdélníku L konst. platí sv M A π L A π neboť z výrazu L γ γ ( A cosγ ) plyne L A odkud L A L A. Pro svítivost γ bodového zdroje s ohledem na podmínku L konst. platí γ cosγ kde vztažná svítivost L A cd Předpokládáme-li že bodový zdroj je umístěn v geometrickém středu obdélníku pak bude úhel γ (mezi osou z a paprskem l spojujícím střed obdélníku a bod P) možno spočítat ze vztahu γ arctg 336 rad 8 5 cosγ 948. Vzdálenost l se spočte z rovnice l l m. Svítivost γ bodového zdroje ve směru paprsku l bude γ cosγ cd. Hledaná osvětlenost E P(xy) souřadnicové roviny xy v bodě P potom bude E P xy ( ) ( γ l ) cos ( 47 7 ) 948 β 436 lx Výsledek přesného výpočtu 49 lx takže chyba činí [( ) 49] 4 %. 4

43 C. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Lkonst. metodou náhrady čtyřmi bodovým zdrojem Svítící obdélník se rozdělí na 4 stejné části ( V). Svítivost každého dílčího zdroje ve směru normály ) V cd γ arctg ; cosγ ( l ) l 8 m cosγ cd γ E ) ( xy ) ( γ l ) cos ( ) 948 γ 948 P 77 lx γ arctg ; cosγ ( l ) l m cosγ cd γ E ( xy ) ( γ l ) cos ( 493 ) 948 γ 998 P 97 lx ) γ arctg ; cosγ ( l ) l 5 5 m γ cd γ E cos ( xy ) ( γ l ) cos ( ) 948 γ 893 P 86 lx V) γ arctg ; cosγ l V V ( l ) m V V 7 γ V V cosγ V cd E ( xy ) ( γ V lv ) cos V ( 5 7 ) 965 γ 965 P V 73 lx Součet osvětleností od dílčích zdrojů 434 lx Přesným výpočtem zjištěno 49 lx Chyba přibližného výpočtu při rozdělení svítící plochy obdélníku na 4 dílčí je % což je v daném případě plně vyhovující přesnost. 4

44 4. Výpočet světlenosti v poli přímkového typu adání: Svítidlo přímkového typu o délce m se zářivkou x36 W (335 lm) je zavěšeno ve výšce h m nad srovnávací rovinou ρ. a předpokladu že v příčné rovině π v podélné rovině δ i v nakloněných rovinách τ je rozložení svítivosti svítidla kosinusové a svítivost ve vztažném směru je rovna Řešení: cd klm tj. ( 335 ) 67 cd pro 335 lm vypočtěte v bodě P umístěném podle obrázku osvětlenost E Pρ roviny ρ δ. A. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu přesným výpočtem Obr. 33 Průmět bodu P na osu zdroje se ztotožňuje s koncem C zdroje (viz obr. 33). Kolmá vzdálenost bodu P v rovině ρ od podélné svislé roviny δ je p m. Určení vzdálenosti l Stanovení úhlu γ l + 36 m ( p ) ( ) 5 tg γ h γ arctg cosγ 8944 Svítivost γ celého svítidla pod úhlem γ v příčné rovině π pro lm je γ cosγ 8944 γ 79 cd lm 43

45 Svítivost γ na m délky svítidla je ( 79 ) 49 cd/m pro lm. γ Úhel α z pod kterým je z kontrolního bodu P vidět celé svítidlo délky m se určí ze vztahu ( ) rad [ sinα 47877; cos 888] α z arctg l z α z Průmět ε y výsledného světelného vektoru ε r do osy y se vypočte z rovnice ( l ) f ( α ) ε γ y z kde pro kosinusové rozdělení svítivosti v rovině π i v rovině δ ( α ) ( ) ( α + sinα cosα ) f z z Po dosazení f ( z ) 5 ( sinα z cosα ) 4546 Potom ( 49 36) lx z z α z. ε pro lm 6 lx pro 335 lm. y Hledaná osvětlenost E ε cos γ lx. Pρ y B. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu metodou rozdělení svítidla na čtyři dílčí zdroje Předpoklady: - svítivost je rovnoměrně rozdělena po délce svítidla přímkového typu - dílčí svítidla se umístí do geometrických středů jednotlivých částí - délka každého z dílčích svítidel je 3 m (jde o bodové zdroje). - vzdálenosti středů částí 3 a 4 od počátku přímky C jsou: 5 m; 45 m; 75 m; 5 m. - svítivost ve vztažném směru připadající na m délky svítidla pro 335 lm ( ) ( 335 ) ( ) cd/m - svítivost ve vztažném směru každého dílčího zdroje délky 3 m je rovna cd. Příspěvek E P ρ ( ) od dílčího zdroje k hledané osvětlenosti Vzdálenost l středu zdroje od bodu P l E Pρ ( + ) l m l Vzdálenost p bodu P od průmětu bodu do roviny ρ p m m p Úhel γ mezi paprskem l a vztažným směrem ( ) Svítivost γ ( p h) 468 rad cos 894 γ arctg cosγ cd β γ cos β cosγ γ. Pro rovinu ρ δ platí

46 Příspěvek od ( ) [ γ l ] cosγ [ ] 894 E 66 lx. ρ P. Příspěvek EP ρ ( ) od dílčího zdroje k hledané osvětlenosti E Pρ Vzdálenost l středu zdroje od bodu P l ( + ) l m l Vzdálenost p bodu P od průmětu bodu do roviny ρ p m m p Úhel γ mezi paprskem Svítivost γ l a vztažným směrem ( ) ( p h ) 553 rad cos arctg γ γ cos γ cd β γ cos β cosγ Pro rovinu ρ δ platí Příspěvek od E ρ γ 48 lx. ( ) [ γ l ] cos [ ] P 3. Příspěvek EP ρ ( 3 ) od dílčího zdroje 3 k hledané osvětlenosti E Pρ Vzdálenost l středu zdroje 3 3 od bodu P l 3 ( + ) l m l Vzdálenost p 3 bodu P od průmětu bodu do roviny ρ p + 75 p 5 m 3 3 Úhel γ mezi paprskem l 3 a vztažným směrem ( 3 ) 3 Svítivost γ ( p h ) 5586 rad cos 848 arctg γ γ cos γ cd β 3 γ cos β 3 3 cosγ 3 Pro rovinu ρ δ platí platí 848 Příspěvek od 3 E ρ γ 7 lx. ( ) [ γ l ] cos [ ] 848 P

47 4. Příspěvek E P ρ ( 4 ) od dílčího zdroje 4 k hledané osvětlenosti E Pρ Vzdálenost l středu zdroje 4 od bodu P l 4 ( + ) l m 4 l Vzdálenost p 4 bodu P od průmětu bodu 4 do roviny ρ p + 5 p 43 m 4 4 Úhel γ 4 mezi paprskem Svítivost γ l a vztažným směrem ( ) 4 4 ( p h ) 63 rad cos 83 arctg γ γ cos γ cd β 4 γ cos β 4 4 cosγ 4 Pro rovinu ρ δ platí platí 83 Příspěvek od 4 Hledaná osvětlenost E ρ γ 8 lx. ( ) [ γ l ] cos [ ] 83 P E Pρ je rovna součtu dílčích příspěvků E lx Pρ Přesným výpočtem byla zjištěna osvětlenost 98 lx. Chyba výpočtu při nahrazení svítidla čtyřmi dílčími bodovými zdroji je chyba ávěr: [( 9 9 8) 9 8] 44 % výsledků je patrno že pro zadané kosinusové rozdělení svítivosti svítidla přímkového typu jsou oba způsoby výpočtu prakticky plně srovnatelné. V počítačových programech se vesměs aplikují výpočty s bodovými svítícími prvky a svítidla přímkového typu se dělí většinou podstatně jemněji než naznačeno v přikladu. 46

48 5. Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající v mísnosti ve tvaru kvádru ze stropu který představuje difúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu na stěny místnosti a na srovnávací rovinu. Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka 8 m šířka 4 m výška 35 m] je osvětlena difúzně vyzařujícím stropem tedy svítidlem obdélníkového typu s konstantním jasem L ve všech směrech. Vyzařování svítidla obdélníkového typu v takovém případě (L konst.) popisují charakteristické funkce svítivosti: π ( γ ) cos γ ; f ( γ ) cosα f (68) δ Srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou. Výška stropu nad srovnávací rovinou je Řešení: h m. Pro tok dopadající ze stropu (který představuje difúzně vyzařující obdélníkový zdroj) na srovnávací rovinu platí rovnice a b Lh a + b arctg + b + a arctg a arctga b arctgb + + b + a ( + a )( + b ) ln (lm; cd m - m - -) (69) + a + b + kde a b značí poměrné rozměry: a c h; b d Pozn. Vzorec (69) je odvozen pro případ dvou obdélníků o rozměrech c d umístěných nad sebou v rovnoběžných rovinách ve vzdálenosti h. Jde tedy o kvádr v němž svíticí obdélník [o rozměrech c d] představuje strop a osvětlovaný obdélník srovnávací rovinu; výška stropu nad srovnávací rovinou je označena písmenem h. V daném případě jsou poměrné rozměry a b [vztažené k výšce h stropu nad srovnávací rovinou] rovny: a c h ; b d h Po dosazení do vztahu (69) pro tok vychází L L & L h Na srovnávací rovinu tedy ze stropu dopadá světelný tok L 4538 (lm) (7) 47

49 Pro tok v dopadající ze stropu (jako z difúzně vyzařujícího obdélníkového zdroje) na jednu z delších stěn místnosti platí vztah v ( a + b )( + a ) a ( + a + b ) a a Lh 4ab arctg + 4a arctga 4a + b arctg + a ln 4 b + b ( a + b )( + b ) b ( + a + b ) ( + a )( + b ) b ln ln + a + b kde jsou opět zavedeny poměrné rozměry obdélníků (lm; cd m - m - -) (7) a c h a b d h. Pozn. Rovnice (7) je odvozena pro situaci kdy svíticí a osvětlovaný obdélník leží ve vzájemně kolmých rovinách přičemž:. svítící a osvětlovaný obdélník mají jednu stranu shodné délky označenu písmenem c. druhý rozměr svítícího obdélníku je označen písmenem d 3. druhý rozměr osvětlovaného obdélníku je označen písmenem h. V případě že se počítá tok v dopadající na delší (8 m) stěnu [označenou ] místnosti mají svíticí a osvětlovaný obdélník společnou stranu c o délce 8 m a poměrné rozměry potom jsou: a ; b Po dosazení z rovnice (7) dostaneme ( 4) L L v & L Na obě delší stěny [označené a ] tedy dopadá tok v(+) rovný dvojnásobku toku v tj. v( + ) v L L (lm) (7) Pro výpočet toku v3 dopadajícího ze stropu (jako z difúzně vyzařujícího obdélníkového zdroje) na jednu z kratších stěn [označenou 3] místnosti se využije opět vztah (7) do kterého se ovšem oproti předchozímu případu dosadí vzájemně zaměněné poměrné rozměry tj. a ; b pro které pak z výrazu (7) vychází tok na kratší stěnu ( 4) L L v & 3 L Na obě kratší stěny [označené 3 a 4] místnosti dopadá pak tok v(3+4) rovný dvojnásobku toku v3 tj. v( 3 + 4) v3 L L L 775 (lm) (73) 48

50 Na všechny stěny uvažované místnosti dopadá z uvažovaného difúzně vyzařujícího stropu tok v který je roven součtu toků dopadajících na obě jak delší tak kratší stěny tj. ( ) v & L 5593 (lm) L Ověření výsledku výpočtu Celkový tok sv vyzařovaný difúzně svíticím stropem je roven součtu toků dopadlých na srovnávací rovinu a na stěny prostoru tj. ( ) sv L L ( ) sv & L L 53 (lm) (74) Strop místnosti je v daném případě difúzně vyzařující plochou pro kterou (kromě konstantního jasu L ve všech směrech) platí další základní vztahy a to. pro světlení M: M π L (lm m - ; - cd m - ) (75). pro tok sv vyzařovaný difúzně svítící plochou o velikosti A vyz : sv M A π L A vyz vyz (lm; lm m - m ; - cd m - m ) (76) toho vyplývá že světelný tok sv vyzařovaný difúzně svítícím stropem (o rozměrech 8x4 m) je podle předchozí rovnice (76) úměrný nejen jasu L ale i velikosti A vyz vyzařovací plochy tj. ( 8 4) sv π L Avyz L π L (77) Porovnáním výsledků výrazů (74) a (77) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou záměrně uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější porovnávání. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. 49

51 6. Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvorem adání: Vypočtěte světelný tok který vlivem mnohonásobných odrazů dopadne na vnitřní difúzní povrch A duté plochy s otvorem A. Dále zjistěte hodnotu toku A vycházejícího otvorem A za předpokladu že žádné mnohonásobné odrazy nevznikají a hodnotu téhož světelného toku při respektování vlivu mnohonásobných odrazů. Tyto dvě varianty porovnejte. Uvažujte že na vnitřní povrch plochy A dopadá počáteční tok. Dáno: - povrch duté plochy A má tvar půlkoule s poloměrem r otvoru A je r m; - činitel odrazu ρ vnitřního difúzního povrchu plochy A je ρ 7. Obr. 34 Povrch duté plochy A odráží difúzně s činitelem odrazu ρ. Řešení: Pozn. obecně je činitel vazby mezi plochou a plochou definován vztahem: ψ vyz ρ U difúzně odrážející duté plochy A s otvorem A se vyskytují dva činitele vazby a to: činitel vazby ψ A A ψ AA (mezi plochou A a otvorem A ) činitel vlastní vazby ψ ψ AA (plochy A samotné se sebou) pro které platí vztahy ψ +ψ AA 5 A A ψ ψ ψ AA AA Průběh procesu mnohonásobných odrazů v duté difúzní ploše je zřejmý z následující tabulky. sloupec sloupec sloupec 3 sloupec 4 d A ψ ψ ρ ρ ψ ρ z toku ve sl. z toku ve sl. z toku ve sl. na plochu A plocha A na plochu A vychází otvorem A dopadne tok odrazí tok znovu dopadne tok ρ ρ ψ ψ ρ ρ ρ 3 3 ψ ρ ψ ρ ρ ρ ψ ρ ψ ρ ρ ρ ψ ( ψ ) ρ ψ ρ ( ψ ) ψ ρ ψ ( ψ ) ψ ρ ψ ( ψ ) ψ ρ ( )

52 Výsledný tok dopadající na vnitřní difúzní povrch plochy A je ve sloupci tabulky (jako součet geometrické řady s kvocientem ψ ρ ) označen d γ kde γ je činitel mnohonásobných odrazů γ ψ ρ Tok A vycházející otvorem A je ve 4. sloupci tabulky (opět jako součet geometrické řady s kvocientem ψ ρ) a tudíž roven ρ ψ. ψ A A A AA AA ψ AA. ρ ρ ρ. ψ AA ( ψ ). ρ AA Odtud ekvivalentní činitel odrazu ρ e ρ e A ρ ψ AA ( ψ ) ρ AA Světelný tok bez odrazů který vychází otvorem A za předpokladu že nevznikají žádné mnohonásobné odrazy je roven bez odrazů ρ ψ 35 kde bez odrazů je tok vystupující otvorem A ρ je činitel odrazu je počáteční světelný tok dopadlý na vnitřní povrch A duté plochy. Světelný tok dopadající na plochu A při respektování mnohonásobných odrazů: Nejprve se vypočte činitel vazby: A π r ψ ψ AA A 4 π r Na plochu A dopadne tok: d 5 ψ.ρ Světelný tok A který vychází otvorem A za předpokladu že se respektuje vliv mnohonásobných odrazů v duté ploše s difúzním vnitřním povrchem A (součet 4. sloupce tabulky) se vypočte ze vztahu A ψ. ρ ( ψ ) ρ 538 Výstupní tok A při respektování mnohonásobných odrazů je tedy přibližně o 35 % vyšší než tok bez odrazů. 5

53 7. Řešení mnohonásobných odrazů v daném prostoru ve tvaru kvádru adání: Uvažte stejně jako v předchozím 5. příkladu místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka 8 m šířka 4 m výška 35 m] která je osvětlena difúzně vyzařujícím stropem tedy svítidlem obdélníkového typu s konstantním jasem L ve všech směrech a stanovte světelné toky které při respektování vlivu mnohonásobných odrazů dopadají na strop stěny a na srovnávací rovinu umístěnou 85 m nad podlahou. Počáteční světelné toky 3 dopadající v uvažovaném prostoru ze svíticího stropu na stěny a srovnávací rovinu byly stanoveny v předchozím 5. příkladu a jsou rovny: tok na všechny stěny v L 5593 lm ; Řešení: tok na srovnávací rovinu 3 L 4538 lm. Počáteční tok dopadající ze svítícího stropu zpět na strop je pochopitelně s ohledem na rovinný charakter stropu nulový. Uvažují-li se stěny jako jedna plocha lze pro řešení mnohonásobných odrazů v daném kvádru napsat tři rovnice o třech neznámých tocích 3 které na strop stěny a srovnávací rovinu dopadají po proběhnutí dostatečného počtu odrazů. ψ ρ ψ ρ [ + ψ ρ + ψ ] γ ρ (78) ψ ρ ψ ρ Předchozí soustavu rovnic lze upravit do tvaru ψ ρ ψ ρ γ ψ ρ γ ψ ρ γ (79) ψ ρ ψ ρ Pro determinant soustavy je pak možno odvodit vztah [ γ ρ ρ ρ ( ψ ψ ψ + ψ ψ ψ ) + ρ ( ρ ψ ψ + γ ρ ψ ) + D ψ + γ ρ ρ ψ (8) 3 3 ψ 3 ] Činitele vazby ψ ψ 3 ψ ψ 3 ψ 3 ψ 3 vyskytující se v soustavě rovnic (78) se vyjádří v závislosti na činiteli ψ 3 vazby mezi stropem a srovnávací rovinou (tj. pro dva obdélníky nad sebou). Vychází se při tom z geometrických souvislostí: ψ ; (8) 3 ψ 3 ψ 3 ψ ; ψ ψ 3 i z jednoduché energetické bilance: ψ + ψ 3 odkud 3 ψ ψ (8) 5

54 Pro činitele vazby ψ a ψ lze odvodit vztah: ψ A ψ A ( ψ ) ( ψ ) 3 A A kde m je index místnosti pro který platí výraz m ( c d ) [ hv ( c + d )] m 3 (83) h v je výpočtová výška tj. výška fiktivní roviny svítidel nad srovnávací rovinou. V daném případě leží fiktivní rovina v rovině stropu h v h m. Pro činitele γ mnohonásobných odrazů mezi jednotlivými plochami stěn platí γ ψ ρ (84) Činitel vlastní vazby ψ mezi stěnami vyplývá z energetické bilance ψ + ψ + ψ 3 ze které po dosazení již uvedené souvislosti ψ ψ 3 vychází pro činitele vazby ψ rovnice ψ ( ) ψ m ψ (85) 3 Po dosazení vztahu (83) do výrazu (85) a do výrazu (84) vychází pro činitele γ mnohonásobných odrazů výraz γ A ρ A ( ψ ) 3 ρ [ m ( ψ )] 3 (86) Pro c 8 m; d 4 m; h 4 m vychází index místnosti m a dále ψ ; ψ 3556; ψ ψ 55; ψ ; γ Po dosazení a vyřešení soustavy rovnic (79) vychází L ; L; L Předpokládají-li se činitele odrazu ρ 7 ; ρ 5 ; ρ3 vyzařují (včetně vlivu mnoho-násobných odrazů) sekundární zdroje (strop a stěny) toky: strop ρ L stěny ρ L těchto toků dopadnou na srovnávací rovinu toky ze stropu ρ ψ L 3 ρ ψ 3 3 ze stěn 6799 L Vlivem mnohonásobných odrazů dopadá tedy na srovnávací rovinu součet uvedených toků tj L 53

55 e známých toků dopadlých na srovnávací rovinu (o ploše A m ) lze již stanovit místně průměrnou osvětlenost a to jak její hodnotu celkovou E3 celk L L ( %) Pozn. tak její složku přímou L (7 %) E3 př L E3 odr L a složku odraženou L (98 %) Je zřejmé že odražená složka průměrné osvětlenosti tvoří v tomto případě 3 % z celkové průměrné osvětlenosti srovnávací roviny výsledků dále vyplývá i hodnota činitele využití η E pro výpočet osvětlenosti ( π 3) η E 3 zdrojů L L 64 kde M A π L A π L 3 ; přičemž zdrojů A m. Lze též určit celkový průměrný jas L stěn neboť stěny z toku na ně dopadlého odrážejí tok odkud ρ π M A L A L ρ ρ L 5 39 L π A π h ( c + d) π 4 ( 8 + 4) Pozn. výsledku vyplývá že např. pro průměrný jas L svítícího stropu L cd m - by celkový průměrný jas stěn činil L 48 cd m - ]. obdobné rovnice do které se dosadí počáteční tok 5593 L je možno vypočítat přímou složku L průměrného jasu stěn L ρ ρ L L π A π h ( c + d) π 4 ( 8 + 4) což v daném případě je cca 64 % z celkového či výsledného jasu L stěn. 54

56 8. Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DALux Výpočet osvětlenosti srovnávací roviny adání: S využitím programu DALux stanovte základní parametry osvětlovací soustavy v prostoru ve tvaru kvádru. Pro jednoduchost uvažujte srovnávací rovinu v úrovni podlahy. Řešení: Po zvolení položky Nový interiérový projekt (obr. 35) Obr. 35 případně po najetí myší na položku Projekt se přes pravé tlačítko dostaneme do nabídky Vložit novou místnost. 55

57 Ve vyvolaném dialogovém okně zadáme rozměry místnosti. Lze také přidávat body a tvarovat navrhovaný prostor (obr. 36). Body přidáváme přes pravé tlačítko myši v okně s grafickým naznačením místnosti. Obr. 36 Po definování místnosti můžeme v kartě Metody plánu údržby definovat činitel údržby. Pokud nezvolíme položku Úhrně ale Rozšířen pak je třeba posléze u svítidel definovat plán údržby v položce pracovat činitele údržby (obr. 37). Obr. 37 Definování ploch odraznosti je pod záložkou Plochy místnosti. Vložení svítidla lze provést jednoduše přetažením *.LDT souboru na položku DALuxového okna použitá svítidla. Polohu svítidla lze měnit při kliknutí na konkrétní svítidlo (nebo skupinu svítidel) s tím že v akčních záložkách můžeme editovat Pozice/rotace Montážní výška. 56

58 V levé části okna DALuxu (obr. 38) v posloupnosti stromu Projekt/Místnost je položka Uživatelská úroveň. Toto je standardně definovaná výpočtová plocha (srovnávací rovina) programu DALux. Je třeba nastavit její výšku a velikost okrajů od stěn. Při složitějších tvarech místností však nastává problém a DALux neumožňuje nastavit vzdálenost jednoho metru což je vzdálenost požadovaná normou. V takovém případě je třeba vložit výpočtovou plochu ručně. Obr. 38 Na záložce Objekty (nachází se vlevo dole) můžeme získat tělesa která se dají vložit do navrhované místnosti. Takto lze simulovat přirozené stavební prvky jako jsou schody výtahy podhledy okna dveře apod. Pokud již v návrhové dokumentaci objektu není zaznačeno přesné rozmístění pracovních pozic (například kancelářské stoly obráběcí místa atd.) navrhuje se celý prostor na konkrétní hladinu osvětlenosti požadovanou normou. 57

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNKY 1. Rovinný úhel α (rad) arcα a/r a'/l (pro malé, zorné, úhly) α a α a' a arcα / π α/36 (malým se rozumí r/a >3 až 5) r l. Prostorový úhel Ω S/r (sr) steradián, Ω 4π 1 spat

Více

8. NEJDŮLEŽITĚJŠÍ ZÁSADY OSVĚTLOVÁNÍ

8. NEJDŮLEŽITĚJŠÍ ZÁSADY OSVĚTLOVÁNÍ 8. NEJDŮLEŽITĚJŠÍ ZÁSADY OSVĚTLOVÁNÍ Cílem osvětlení určitého prostoru je vytvořit v něm v souladu s jeho určením co nejpříznivější podmínky pro požadovanou činnost lidí a pro vznik jejich zrakové pohody.

Více

Bezpečně osvětlený přechod pro chodce z pohledu řidiče.

Bezpečně osvětlený přechod pro chodce z pohledu řidiče. Bezpečně osvětlený přechod pro chodce z pohledu řidiče. Přechody pro chodce Bezpečné přechody vznikaly v průběhu let 2004-2006. Ne vždy se to podařilo. I když během této doby byl zjištěn kladný účinek

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE OPTIKA OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE - jeden z nejstarších oborů yziky - studium světla, zákonitostí jeho šíření a analýza dějů při vzájemném působení světla a látky SVĚTLO elektromagnetické vlnění λ = 380 790

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ. magisterský studijní program Inteligentní budovy ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ. magisterský studijní program Inteligentní budovy ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ magisterský studijní program Inteligentní budovy ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Prof. Ing. Jiří Habel, DrSc. Ing. Petr Žák, Ph.D. Praha 2009 Předmluva

Více

Gymnázium Havlíčkův Brod

Gymnázium Havlíčkův Brod Gymnázium Havlíčkův Brod Zákazník : Jiří Javůrek Vypracoval : ing. Petr Martinkovič Následující hodnoty vycházejí z přesných výpočtů kalibrovaných světelných zdrojů, svítidel a jejich rozmístění. V praxi

Více

telná technika Literatura: tlení,, vlastnosti oka, prostorový úhel Ing. Jana Lepší http://webs.zcu.cz/fel/kee/st/st.pdf

telná technika Literatura: tlení,, vlastnosti oka, prostorový úhel Ing. Jana Lepší http://webs.zcu.cz/fel/kee/st/st.pdf Světeln telná technika Literatura: Habel +kol.: Světelná technika a osvětlování - FCC Public Praha 1995 Ing. Jana Lepší Sokanský + kol.: ČSO Ostrava: http://www.csorsostrava.cz/index_publikace.htm http://www.csorsostrava.cz/index_sborniky.htm

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

V i s k o z i t a N e w t o n s k ý c h k a p a l i n

V i s k o z i t a N e w t o n s k ý c h k a p a l i n V i s k o z i t a N e w t o n s k ý c h k a p a l i n Ú k o l : Změřit dynamickou viskozitu destilované vody absolutní metodou a její závislost na teplotě relativní metodou. P o t ř e b y : Viz seznam

Více

Relux a výrobci svítidel nepřijímají žádnou odpovědnost za následné škody a škody, které vzniknou uživateli nebo třetím stranám.

Relux a výrobci svítidel nepřijímají žádnou odpovědnost za následné škody a škody, které vzniknou uživateli nebo třetím stranám. Kancelář Zákazník : Vypracoval : HELIOS GROUP s.r.o. - Marek Dupej projektu: Rozměry místnosti 4 x 3 m Následující hodnoty vycházejí z přesných výpočtů kalibrovaných světelných zdrojů, svítidel a jejich

Více

ZRAKOVÝ ORGÁN A PROCES VIDĚNÍ. Prof. Ing. Jiří Habel, DrSc. FEL ČVUT Praha

ZRAKOVÝ ORGÁN A PROCES VIDĚNÍ. Prof. Ing. Jiří Habel, DrSc. FEL ČVUT Praha ZRAKOVÝ ORGÁN A PROCES VIDĚNÍ Prof. Ing. Jiří Habel, DrSc. FEL ČVUT Praha prosinec 2014 1 ZRAKOVÝ ORGÁN A PROCES VIDĚNÍ PROCES VIDĚNÍ - 1. oko jako čidlo zraku zajistí nejen příjem informace přinášené

Více

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1 Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 124641 Soubor : ZŠ Dolní Bečva.wls Výkres : Půdní vestavba půdorys 2002.dwg Wils 6.3.12.4, Copyright (c) 200211, STR MS Software, www.astrasw.cz Stránka 2 Obsah Použitá

Více

4.1 Barva vlastnost zrakového vjemu

4.1 Barva vlastnost zrakového vjemu 4. ZÁKLAD NAUK O BARVĚ Předmětem nauky o barvě je objektivní hodnocení barvy světla různých světelných zdrojů i barvy pozorovaných předmětů. Jde o náročný úkol, neboť vnímání barev je složitý fyziologicko-psychický

Více

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky Úloha 6 02PRA2 Fyzikální praktikum II Ohniskové vzdálenosti čoček a zvětšení optických přístrojů Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky a principy optických přístrojů.

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

světelný tok -Φ [ lm ] (lumen) Světelný tok udává, kolik světla celkem vyzáří zdroj do všech směrů.

světelný tok -Φ [ lm ] (lumen) Světelný tok udává, kolik světla celkem vyzáří zdroj do všech směrů. Světeln telné veličiny iny a jejich jednotky Světeln telné veličiny iny a jejich jednotky, světeln telné vlastnosti látekl světelný tok -Φ [ lm ] (lumen) Světelný tok udává, kolik světla celkem vyzáří

Více

Relux a výrobci svítidel nepřijímají žádnou odpovědnost za následné škody a škody, které vzniknou uživateli nebo třetím stranám.

Relux a výrobci svítidel nepřijímají žádnou odpovědnost za následné škody a škody, které vzniknou uživateli nebo třetím stranám. Kancelář Zákazník : Vypracoval : HELIOS GROUP s.r.o. - Marek Dupej : 12.02.7 projektu: Rozměry místnosti 4 x 3 m Následující hodnoty vycházejí z přesných výpočtů kalibrovaných světelných zdrojů, svítidel

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Projektování automatizovaných systémů

Projektování automatizovaných systémů Projektování automatizovaných systémů Osvald Modrlák, Petr Školník, Jaroslav Semerád, Albín Dobeš, Frank Worlitz TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Fotometrie a radiometrie Důležitou částí kvantitativního popisu optického záření je určování jeho mohutnosti

Fotometrie a radiometrie Důležitou částí kvantitativního popisu optického záření je určování jeho mohutnosti Učbí txt k přášc UFY1 Fotomtri a raiomtri Fotomtri a raiomtri Důlžitou částí kvatitativího popisu optického září j určováí jho mohutosti B, jsou přímo měřitlé, a proto rgtických charaktristik. Samoté vktory

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování

Více

Obr. 1 Stavební hřebík. Hřebíky se zarážejí do dřeva ručně nebo přenosnými pneumatickými hřebíkovačkami.

Obr. 1 Stavební hřebík. Hřebíky se zarážejí do dřeva ručně nebo přenosnými pneumatickými hřebíkovačkami. cvičení Dřevěné konstrukce Hřebíkové spoje Základní pojmy. Návrh spojovacího prostředku Na hřebíkové spoje se nejčastěji používají ocelové stavební hřebíky s hladkým dříkem kruhového průřezu se zápustnou

Více

Měření odrazu světla

Měření odrazu světla Úloha č. 5 Měření odrazu světla Úkoly měření: 1. Proměřte velikost činitele odrazu světla pro různě barevné povrchy v areálu školy dvěma různými metodami. 2. Hodnoty naměřených průměrných činitelů odrazu

Více

Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin

Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úloha č. 2 Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úkoly měření: 1. Určete dynamickou viskozitu z měření doby pádu kuličky v kapalině (glycerinu, roztoku polysacharidu ve vodě) při laboratorní

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Otázky z kapitoly Stereometrie

Otázky z kapitoly Stereometrie Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Protokol o provedených výpočtech dle ČSN EN 12464-1:2011

Protokol o provedených výpočtech dle ČSN EN 12464-1:2011 Protokol o provedených výpočtech dle ČSN EN 12464-1:2011 Projekt Název OSTRAVA - REKONSTRUKCE TECHNOLOGIE OHŘEVU ÚT A TUV Popis 136V314000001 Datum 30.5.2014 Investor Společnost VĚZEŇSKÁ SLUŽBA ČR, VAZEBNÍ

Více

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Úkoly k měření Povinná část Měření

Více

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1 Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 124641 Soubor : Mektec Levné elektro.wls ELEKTROLUMEN, s.r.o., tel/fax: +420 642 2167005, www.ellumen.cz, email: ellumen@ellumen.cz Stránka 2 Obsah Použitá svítidla

Více

17. března 2000. Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický

17. března 2000. Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický Úloha č. 6 Ohniskové vzdálenosti a vady čoček, zvětšení optických přístrojů Václav Štěpán, sk. 5 17. března 2000 Pomůcky: Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický

Více

Protokol o provedených výpočtech.

Protokol o provedených výpočtech. Protokol o provedených výpočtech. Projekt Název LETIŠTĚ KARLOVY VARY, s.r.o. Popis VÝSTAVBA NOVÉHO OBJEKTU ZPS NA LKKV Poznámka Datum 30.4.2015 Adresa Investor Společnost Kontaktní osoba Adresa Telefon

Více

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1 Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 124641 Stavba : ZŠ Ostrov, Májová ulice Projekt : Zpracovatelská firma : EXX s.r.o. Most Zpracovatel : Jiří Bárdoš Soubor : Výpočet.wls Výkres : ZS_Majova_1NP_stavba.1.dwg

Více

10. PŘEDBĚŽNÝ VÝPOČET PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV

10. PŘEDBĚŽNÝ VÝPOČET PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV 10. PŘEDBĚŽNÝ VÝPOČET PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV Navrhování a projektování umělého osvětlení vnitřních či venkovních prostorů je spojeno s celou řadou světelně technických výpočtů. Jejich cílem je

Více

I Mechanika a molekulová fyzika

I Mechanika a molekulová fyzika Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č.: XVII Název: Studium otáčení tuhého tělesa Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12

Více

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

2.1 Vliv orientace budovy ke světovým stranám na její tepelnou bilanci

2.1 Vliv orientace budovy ke světovým stranám na její tepelnou bilanci 2.1 Vliv orientace budovy ke světovým stranám na její tepelnou bilanci Úloha 2.1.1 S přesností 45 určete orientaci budovy ke světovým stranám tak, aby tepelný zisk sluneční radiací okny o ploše A byl v

Více

Měření osvětlení. 1. Proměřte průměrnou osvětlenost v různých místnostech v areálu školy.

Měření osvětlení. 1. Proměřte průměrnou osvětlenost v různých místnostech v areálu školy. Úloha č. 4 Měření osvětlení Úkoly měření: 1. Proměřte průměrnou osvětlenost v různých místnostech v areálu školy. 2. Hodnoty naměřených průměrných osvětleností v měřených místnostech podle bodu 1 porovnejte

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

12 Prostup tepla povrchem s žebry

12 Prostup tepla povrchem s žebry 2 Prostup tepla povrchem s žebry Lenka Schreiberová, Oldřich Holeček Základní vztahy a definice V případech, kdy je třeba sdílet teplo z média s vysokým součinitelem přestupu tepla do média s nízkým součinitelem

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. . Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po

Více

ZÁKLADNÍ FOTOMETRICKÉ VELIČINY

ZÁKLADNÍ FOTOMETRICKÉ VELIČINY ZÁKLADNÍ FOTOMETRICKÉ VELIČINY Ing. Petr Žák VÝVOJ ČLOVĚKA vývoj člověka přizpůsobení okolnímu prostředí (adaptace) příjem informací o okolním prostředí smyslové orgány rozhraní pro příjem informací SMYSLOVÉ

Více

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

OPTIKA Fotometrie TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

OPTIKA Fotometrie TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. OPTIKA Fotometrie TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Fotometrie definuje a studuje veličiny charakterizující působení světelného záření na

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 9. 11. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 5 Pořadové číslo žáka: 19 Třída: 4.EA ÚLOHA:

Více

Provedení nevýrobních objektů v závislosti na konstrukčním řešení a požární odolnosti stavebních konstrukcí.

Provedení nevýrobních objektů v závislosti na konstrukčním řešení a požární odolnosti stavebních konstrukcí. Ústav územního rozvoje, Jakubské nám. 3, 658 34 Brno Tel.: +420542423111, www.uur.cz, e-mail: sekretariat@uur.cz LIMITY VYUŽITÍ ÚZEMÍ Dostupnost: http://www.uur.cz/default.asp?id=2591 4.5.201 NEVÝROBNÍ

Více

ENERGETICKÁ NÁROČNOST OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV

ENERGETICKÁ NÁROČNOST OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV ENERGETICKÁ NÁROČNOST OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV Ing. Petr Žák, Ph.D. Etna s.r.o., Mečislavova 2, Praha 4, zak@etna.cz Problematice energetické náročnosti a úspor elektrické energie je pozornost věnována již

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

SBÍRKA ÚLOH Z FYSIKY. Gymnázium F. X. Šaldy. pro přípravu k maturitní zkoušce, k přijímacím zkouškám do vysokých škol a k práci ve fysikálním semináři

SBÍRKA ÚLOH Z FYSIKY. Gymnázium F. X. Šaldy. pro přípravu k maturitní zkoušce, k přijímacím zkouškám do vysokých škol a k práci ve fysikálním semináři Gymnázium F. X. Šaldy PŘEDMĚTOVÁ KOMISE FYSIKY SBÍRKA ÚLOH Z FYSIKY pro přípravu k maturitní zkoušce, k přijímacím zkouškám do vysokých škol a k práci ve fysikálním semináři Sazba: Honsoft, 2006 2007.

Více

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015 Řešení testu b Fyzika I (Mechanika a olekulová fyzika) NOFY0 9. listopadu 05 Příklad Zadání: Kulička byla vystřelena vodorovně rychlostí 0 /s do válcové roury o průěru a koná pohyb naznačený na obrázku.

Více

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1-2011

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1-2011 Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 1246412011 Stavba : Věznice Projekt : Umělé Osvtělení č. 859.U2014 Zpracovatelská firma : SYVEL plus Zpracovatel : Filip Lerch Soubor : UOS 859.wls Výkres : 1901N0000102N.SV$

Více

Osvětlování a stínování

Osvětlování a stínování Osvětlování a stínování Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 21. dubna 2010 Obsah 1 Vlastnosti osvětlovacích modelů 2 Světelné zdroje a stíny 3 Phongův osvětlovací model 4 Stínování 5 Mlha Obsah 1 Vlastnosti

Více

Nauka o důlních škodách II. díl

Nauka o důlních škodách II. díl VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Hornicko geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví Ing. Václav Mikulenka, PhD. Nauka o důlních škodách II. díl Ostrava 2008 ISBN 978 80

Více

Projekt: prodejna Jednota spotřební družstvo - COOP Dačice

Projekt: prodejna Jednota spotřební družstvo - COOP Dačice Projekt: prodejna Jednota spotřební družstvo - COOP Dačice : LED lights consulting s.r.o., Golčova 485/1 148 00 Praha 4 Pobočka Pacov: Sídliště Míru 1067, Pacov 395 01 Bc. Podroužek Václav Tel: +420 777577661

Více

SEZNAM DOKUMENTACE: Textová část: Technická zpráva Výpis materiálu. Výkresy: č. měřítko název E-01 1:50 1.N.P. půdorysné schéma světelných rozvodů

SEZNAM DOKUMENTACE: Textová část: Technická zpráva Výpis materiálu. Výkresy: č. měřítko název E-01 1:50 1.N.P. půdorysné schéma světelných rozvodů SEZNAM DOKUMENTACE Textová část Technická zpráva Výpis materiálu Výkresy č. měřítko název E-01 150 1.N.P. půdorysné schéma světelných rozvodů TECHNICKÁ ZPRÁVA Všeobecné údaje Výchozí podklady stavební

Více

Materiály charakteristiky potř ebné pro navrhování

Materiály charakteristiky potř ebné pro navrhování 2 Materiály charakteristiky potřebné pro navrhování 2.1 Úvod Zdivo je vzhledem k velkému množství druhů a tvarů zdicích prvků (cihel, tvárnic) velmi různorodý stavební materiál s rozdílnými užitnými vlastnostmi,

Více

Optické měřicí 3D metody

Optické měřicí 3D metody Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Optické měřicí 3D metod Michal Pochmon Olomouc 212 Oponent: RNDr. Tomáš Rössler Ph.D. Publikace bla připravena v rámci projektu Investice do rozvoje

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření:.. 00 Úloha 4: Balmerova série vodíku Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek:. ročník,. kroužek, pondělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová

Více

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 1246412011 Soubor : 12083E04.wls Výkres : 12083E05.dwg Wils 6.4.0.1, Copyright (c) 212, ASTRA MS Software, www.astrasw.cz Stránka 2 Obsah Použitá svítidla 2 0.01 Úklidová

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3D MODELY TENZORU NAPJATOSTI 3D MODELS OF STRESS TENSOR

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3D MODELY TENZORU NAPJATOSTI 3D MODELS OF STRESS TENSOR VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMOBILNÍHO A DOPRAVNÍHO FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMOTIVE ENGINEERING 3D MODELY

Více

9. MĚŘENÍ TEPELNÉ VODIVOSTI

9. MĚŘENÍ TEPELNÉ VODIVOSTI Měřicí potřeby 9. MĚŘENÍ TEPELNÉ VODIVOSTI 1) střídavý zdroj s regulačním autotransformátorem 2) elektromagnetická míchačka 3) skleněná kádinka s olejem 4) zařízení k měření tepelné vodivosti se třemi

Více

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádné případě nenahrazuje tištěnou verzi

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádné případě nenahrazuje tištěnou verzi TP130 Ministerstvo dopravy a spojů České republiky odbor pozemních komunikací ODRAZKY PROTI ZVĚŘI Optické zařízení bránící zvěři ke vstupu na komunikaci TECHNICKÉ PODMÍNKY Schváleno MDS OPK č.j. 17647/00-120

Více

Měření zvětšení dalekohledu a ohniskové vzdálenosti objektivů 1. Cíl úlohy

Měření zvětšení dalekohledu a ohniskové vzdálenosti objektivů 1. Cíl úlohy Měření zvětšení dalekohledu a ohniskové vzdálenosti objektivů 1. Cíl úlohy 2. Úkoly Seznámení se základními prvky a stavbou teleskopických dalekohledů. A) Změřte ohniskovou vzdálenost předložených objektivů

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1

Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 12464-1 Výpočet umělého osvětlení dle ČSN EN 124641 Zpracovatelská firma : ELKOVO Čepelík Zpracovatel : Ing. Petr Niesig Soubor : Porovnání LED a T5 a T8 pro web.wls Wils 6.3.12.2, Copyright (c) 200211, ASTRA

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

8 b) POLARIMETRIE. nepolarizovaná vlna

8 b) POLARIMETRIE. nepolarizovaná vlna 1. TEORETICKÝ ÚVO Rotační polarizace Světlo má zároveň povahu vlnového i korpuskulárního záření. V optických jevech se světlo chová jako příčné vlnění, přičemž světelné kmity probíhají všemi směry a směr

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

Trivium z optiky 37. 6. Fotometrie

Trivium z optiky 37. 6. Fotometrie Trivium z optiky 37 6. Fotomtri V přdcházjící kapitol jsm uvdli, ž lktromagntické zářní (a tdy i světlo) přnáší nrgii. V této kapitol si ukážm, jakými vličinami j možno tnto přnos popsat a jak zohldnit

Více

6.1 Základní pojmy. 6.1.1 Zákonné měřicí jednotky.

6.1 Základní pojmy. 6.1.1 Zákonné měřicí jednotky. 6. Měření úhlů. 6.1 Základní pojmy 6.1.1 Zákonné měřicí jednotky. 6.1.2 Vodorovný úhel, směr. 6.1.3 Svislý úhel, zenitový úhel. 6.2 Teodolity 6.2.1 Součásti. 6.2.2 Čtecí pomůcky optickomechanických teodolitů.

Více

OPTICKÝ KUFŘÍK OA1 410.9973 Návody k pokusům

OPTICKÝ KUFŘÍK OA1 410.9973 Návody k pokusům OPTICKÝ KUFŘÍK OA 40.9973 Návody k pokusům Učitelská verze NÁVODY K POKUSŮM OPTIKA 2 NÁVODY K POKUSŮM OPTIKA SEZNAM POKUSŮ ŠÍŘENÍ SVĚTLA Přímočaré šíření světla (..) Stín a polostín (.2.) ODRAZ SVĚTLA

Více

9 Spřažené desky s profilovaným plechem v pozemních stavbách

9 Spřažené desky s profilovaným plechem v pozemních stavbách 9 Spřažené desky s profilovaným plechem v pozemních stavbách 9.1 Všeobecně 9.1.1 Rozsah platnosti Tato kapitola normy se zabývá spřaženými stropními deskami vybetonovanými do profilovaných plechů, které

Více

OTOPNÁ TĚLESA Rozdělení otopných těles 1. Lokální tělesa 2. Konvekční tělesa Článková otopná tělesa

OTOPNÁ TĚLESA Rozdělení otopných těles 1. Lokální tělesa 2. Konvekční tělesa Článková otopná tělesa OTOPNÁ TĚLESA Rozdělení otopných těles Stejně jako celé soustavy vytápění, tak i otopná tělesa dělíme na lokální tělesa a tělesa ústředního vytápění. Lokální tělesa přeměňují energii v teplo a toto předávají

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 6

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 6 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Přednáška 6 Pevnostní výpočet čelních ozubených kol Don t force it! Use a bigger hammer. ANONYM Kontrolní výpočet

Více

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Hodnocení kvality optických přístrojů III

Hodnocení kvality optických přístrojů III Hodnocení kvality optických přístrojů III Ronchiho test Potřeba testovat kvalitu optických přístrojů je stejně stará jako optické přístroje samy. Z počátečních přístupů typu pokus-omyl v polovině 18. století

Více

3.2. Elektrický proud v kovových vodičích

3.2. Elektrický proud v kovových vodičích 3.. Elektrický proud v kovových vodičích Kapitola 3.. byla bez výhrad věnována popisu elektrických nábojů v klidu, nyní se budeme zabývat pohybujícími se nabitými částicemi. 3... Základní pojmy Elektrický

Více

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM. STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M

Více

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, kladná a záporná, dělitelnost, osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Studie oslunění a denního osvětlení. půdní vestavba objektu Tusarova 32, Praha 7

Studie oslunění a denního osvětlení. půdní vestavba objektu Tusarova 32, Praha 7 Studie oslunění a denního osvětlení půdní vestavba objektu Tusarova 3, Praha 7 Vypracovali : Petr Polanecký, Martin Stárka Datum:. května 014 1 předmět studie Předmětem této studie je posouzení oslunění

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče

Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace

Více

Měření horizontálních a vertikálních úhlů Úhloměrné přístroje a jejich konstrukce Horizontace a centrace Přesnost a chyby v měření úhlů.

Měření horizontálních a vertikálních úhlů Úhloměrné přístroje a jejich konstrukce Horizontace a centrace Přesnost a chyby v měření úhlů. Měření horizontálních a vertikálních úhlů Úhloměrné přístroje a jejich konstrukce Horizontace a centrace Přesnost a chyby v měření úhlů Kartografie přednáška 10 Měření úhlů prostorovou polohu směru, vycházejícího

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní. Semestrální práce z Matematického Modelování

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní. Semestrální práce z Matematického Modelování Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní Semestrální práce z Matematického Modelování Dynamika pohybu rakety v 1D Vypracoval: Pavel Roud Obor: Technologie obrábění e mail:stu85@seznam.cz 1 1.Úvod...

Více