Mřížkové kódování. Ivan Pravda

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Mřížkové kódování. Ivan Pravda"

Transkript

1 Mřížkové kódování Ivan Pravda

2 Autor: Ivan Pravda Název díla: Mřížkové kódování Zpracoval(a): České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Kontaktní adresa: Technická 2, Praha 6 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

3 VYSVĚTLIVKY Definice Zajímavost Poznámka Příklad Shrnutí Výhody Nevýhody

4 ANOTACE Modul se podrobně věnuje problematice a významu kódování v současných telekomunikačních sítích. Modul zahrnuje popis konvolučních kódů a vysvětlení principu jejich vlastností. Dále je zde uvedena problematika paralelního zřetězení související s implementací moderních typů kódovacích předpisů známých dnes jak tzv. TURBO kódy a zmíněny možnosti detekce prvků přenášené informační posloupnosti. CÍLE Student má možnost se podrobněji seznámit s problematikou kódování využívaného napříč různými typy telekomunikačních sítí. Výklad je v modulu podrobněji věnován konvolučním kódům v návaznosti na jejich možné paralelní zřetězení, které je promítnuto do implementace moderních TURBO kódů. Student zde najde popis a definici konvolučních kódů, chování kodérů a dekodérů příslušných kódů. V neposlední řadě jsou zde uvedeny možnosti a navržena možná řešení pro detekci jednotlivých prvků přenášené informační posloupnosti, tzv. tvrdé a měkké rozhodování. LITERATURA [1] Vlček, K.: Komprese a kódová zabezpečení v multimediálních komunikacích (2.vydání). Nakladatelství BEN technická literatura, Praha str. ISBN [2] Dobeš, J.; Žalud, V.: Moderní radiotechnika (1.vydání). Nakladatelství BEN technická literatura, Praha str. ISBN [3] Schlegel, Ch.: Trellis Coding. IEEE Press, New York p. ISBN [4] Adámek, J.: Kódování. Státní nakladatelství technické literatury (SNTL), Praha str. [5] Adámek, J.: Foundations od Coding: Theory and Applications of Error-Correcting Codes With an Introduction to Cryptography and Information Theory. John Wiley & Sons, Inc p. ISBN

5 Obsah 1 Konvoluční kódy Vlastnosti konvolučního kódování Rozdíl v popisu konvolučních kódů a kodérů Definice konvolučního kódu Definice kodéru konvolučního kódu Popisy chování konvolučního kodéru Minimální kódová vzdálenost konvolučního kódu Dekódování konvolučního kódu Konvoluční kódy řešitelné pomocí syndromu Tvrdé a měkké rozhodování Kódování konvolučního WA-kódu Dekódování a oprava chyb u WA-kódu Kodér WA-kódu Dekódování konvolučního WA-kódu Srovnání účinnosti Hammingova kódu a WA-kódu pro TV TURBO kódy Paralelní zřetězení Rekurzivní kodér Kodér TURBO kódu Dekódování Dekodér TURBO kódu Výkonnost TURBO kódu Závěrečný test... 44

6 1 Konvoluční kódy 1.1 Vlastnosti konvolučního kódování Obecně lze říci, že hlavním účelem zavádění různých typů kódů a kódovacích schémat, je zvýšení spolehlivosti přenosu informací nezávisle na metodách jeho zabezpečení (parita, cyklické kódy), což ve svém důsledku přináší podstatné zvýšení pravděpodobnosti bezchybného rozpoznání přijatého signálového prvku. Kodéry lze v zásadě rozdělit na dvě kategorie. První kategorii kodérů lze označit jako tzv. zdroje zpráv bez paměti. Toto označení vychází z rozboru činnosti kodérů. Jako zdroje zpráv bez paměti jsou označovány ty kodéry, které vždy, když je na jejich vstup přivedena informační posloupnost, se na jejich výstupu objeví kódová posloupnost. Jinými slovy řečeno, n-tice kódové posloupnosti je závislá POUZE na k-tici aktuální (právě zpracovávané) informační posloupnosti. Druhá kategorie kodérů je označována jako tzv. zdroje zpráv s pamětí. Do této kategorie spadají i konvoluční kodéry. Konvoluční kódy jsou předpisem pro kódový systém, který generuje kódová slova na základě obsahu rámce několika vstupních slov. To, jakým způsobem bude zakódována určitá informační posloupnost, tedy závisí nejenom na aktuální vstupní informační posloupnosti, ale také na m předchozích informačních slovech. Konvoluční kódy lze popsat pomocí generujících polynomů a generujících matic. Ze znalosti generujících polynomů, resp. generujících matic, lze odvodit postupy dekódování, které umožňují provádět vlastní opravu chyb. Nejznámějším postupem je tzv. Viterbiho algoritmus. Základní vlastností konvolučních kódů je LINEARITA. Tuto vlastnost je možné matematicky popsat pomocí následující relace v( x) = K u( x). Pro předpis kódování K, má-li splňovat požadavky exaktní řešitelnosti, pak musí platit, že: 1. Kód K je lineární, tj. K u( x) + u ( x) = K u( x) + K u ( x) a K t u( x) = t Ku( x). 2. Kód K je časově invariantní (stálý, neměnný), tzn. že časové zpoždění o k kroků na vstupu kodéru vyvolá odpovídající časové zpoždění o n kroků

7 na výstupu kodéru. Časová zpoždění jsou vyjádřena pomocí polynomů k k K x u( x) = x K u( x). 3. Kód K nevyžaduje zdroj s pamětí, jestliže je kódové slovo závislé pouze na aktuální k-tici informační posloupnosti a nikoliv na k-ticích, které byly na vstupu v době vytvoření předešlých kódových slov. V souvislosti s bodem 2., ve kterém je popisována podmínka časové invariantnosti, to znamená, že změna k symbolů informačního slova u na vstupu kodéru způsobí pouze změnu prvních n symbolů kódové zprávy na výstupu kodéru. 7

8 1.2 Rozdíl v popisu konvolučních kódů a kodérů Při popisu konvolučního kódování se často směšují definice pojmů konvoluční kód a konvoluční kodér. Pojmy konvoluční kód a konvoluční kodér jsou sice v úzkém vztahu, ale jsou to zároveň rozdílné pojmy. Abychom zabránili tomuto směšování, je nezbytné, abychom porozuměli rozdílům mezi příbuznými pojmy: konvoluční kodér, operace konvolučního kódování a konvoluční kód. Kodér je součástka nebo stroj, operace kódování je prováděna kodérem. Objekty, které jsou kódovány, jsou informační posloupnosti a odpovídající výstupy jsou kódové posloupnosti. Konečně pak konvoluční kód je soubor kódových posloupností, které odpovídají všem možným informačním posloupnostem. V souhrnu to znamená, že konvoluční kodér specifikuje strukturu obvodového zapojení a konvoluční kód pak udává strukturu kódových posloupností. Definice konvolučního kodéru, které lze nalézt v literatuře, se liší podle stupně zobecnění. Existují dvě úrovně matematická a obvodově realizační. Je zde však také i otázka pořadí, v nichž jsou pojmy kód a kodér definovány. V literatuře se opět objevují dva přístupy. První přístup definuje nejdříve pojem kód, a to jako k-rozměrný podprostor n-rozměrného vektorového prostoru nad vhodným tělesem, pojem kodér pak definuje jako matici o rozměrech n k, jejíž řádky jsou tvořeny bází kódu. Druhý přístup definuje pojem kodér jako lineární sekvenční obvod LSC (Linear Sequential Circuit) s k-vstupy a n-výstupy a pojem kód jako soubor výstupních posloupností generovaných kodérem pro všechny možné vstupní posloupnosti. Dle prvního přístupu je kód řádkem v generující matici kodéru, dle druhého přístupu realizuje LSC zobrazení mezi k-rozměrným a n-rozměrným vektorovým prostorem, jehož obrazovým souborem je kód. Srovnáním obou těchto přístupů zjistíme, že oba popisují totéž, i když v různém pořadí. 8

9 1.3 Definice konvolučního kódu Předpis pro konvoluční kódování K je vyjádřen linearitou a časovou invariantností. Podmínka, popisovaná jako zdroj zpráv bez paměti, pro konvoluční kódy NEPLATÍ. Na základě těchto poznatků je možné vyslovit nejobecnější definici konvolučního kódu. Nechť F je konečné těles. Jako konvoluční (n, k)-kód je míněn takový předpis K, který přiřazuje pro každý mnohočlen u(x) nad tělesem F mnohočlen K[u(x)], který je lineární a časově invariantní. Definice může být popsána také zapojením kodéru konvolučního kódu. Takový popis je pak ekvivalentní popisu pomocí tzv. generujícího polynomu. Konvoluční kodér může být tvořen ze dvou klopných obvodů posuvného registru, ze tří obvodů pro sčítání MODULO 2 a z dvoubitové výstupní vyrovnávací paměti, která v každém kroku, ve kterém kodér přijímá jeden bit informačního slova, vysílá dva bity kódového slova. Mezi vstupním a výstupním slovem je lineární vztah. Ke zpracování jsou použity pouze lineární prvky. Kodér konvolučního (2, 1)-kódu s g(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 5 Časová invariance obvodu se projevuje tím, že je-li před vstupní informační slovo zařazena jedna prodleva, tzn. jedna nula navíc, projeví se to na výstupu kodéru dvěma nulami před odpovídajícím kódovým slovem. Zadaný kodér realizuje konvoluční (2, 1)-kód. Na začátku pozorování je v posuvném registru nulový obsah. Odezva na symbol 1 na vstupu kodéru je kombinace symbolů 11 na výstupu kodéru. Při prvním posuvu je odezvou rovněž kombinace symbolů 11. Při druhém posuvu je odezva na výstupu kodéru kombinací symbolů 01. Při třetím posuvu jsou v posuvném registru již pouze symboly 0. Použijeme-li pro zápis mnohočlenů, můžeme předchozí operace zapsat následovně K[1] = = 1 + x + x 2 + x 3 + x 5. Platí časová invariantnost K[01] = , K[001] = , atd. Linearitu 9

10 kódu je možné ověřit tím, že vytvoříme rozklad slova 101 = a platí K[101] = K[1] + K[001] = Konvoluční kodéry jsou nejčastěji realizovány posuvnými registry s odlišnou rychlostí posuvu (viz následující obrázek). V jednom kroku, ve kterém je vytvořeno kódové slovo, dojde k posuvu na vstupu kodéru o k bitů informačního slova, ale na výstupu kodéru bude posuv o n bitů kódového slova. Obecné blokové schéma konvolučního kodéru Přepínač na vstupu kodéru slouží k převodu sériové bitové posloupnosti na vstupní paralelní kombinaci u t a přepínač na výstupu kodéru převádí kombinaci v t zpět na sériovou bitovou posloupnost. Významným parametrem konvolučních kódů je tzv. omezující délka (Constraint Length), která udává, kolik k-tic zdrojových symbolů ovlivňuje jednu n-tici kódových symbolů, respektive kolik n- tic kódových symbolů je ovlivňováno jednou k-ticí zdrojových symbolů. Kódový poměr je pak vyjadřován podílem k/n. 10

11 1.4 Definice kodéru konvolučního kódu Kodér je stroj, který přijímá k-tice u i jako vstupy v čase i a vytváří n-tice v i jako výstupy rovněž v čase i. Stroj má paměť tj. n-tice v i je výslednicí působení nejen k-tice u i, ale také informací obsažených v k-ticích u j, kde j i. Závislost kódové posloupnosti na zdrojové posloupnosti popisuje generující matice. Jako příklad kodéru konvolučního kódu je zadán následující kodér. Generující posloupnost kódu vypočítáme přivedením 1 na vstup. Výsledkem je posloupnost , které odpovídá generující mnohočlen g( x) = 1+ x+ x + x + x. Z generujících mnohočlenů je sestavena generující matice. V případě, že generujících mnohočlenů je více, jsou napsány pod sebou bez posunutí a tvoří blok o stejné délce. Další pokračování generující matice je vytvořeno s ohledem na počet výstupních bitů kódového slova v jednom kroku kódování. V tomto případě jsou v každém kroku vytvářeny dva bity, posunutí dalšího pokračování bude tedy o dvě pozice doprava. Generující matice má tedy tvar: G = Generující matice není ukončena, protože konvoluční kódy nemají blokovou strukturu. Pro zachycení zdrojové posloupnosti jsou většinou rozměry matice nepraktické. Pro výpočet kódových slov jsou výhodnější vyjádření pomocí mnohočlenů. Názornou grafickou možností popisu je tzv. mřížkový diagram (trellis diagram). Mřížkový diagram je grafickým znázorněním, které je ekvivalentní úplnému kódovému stromu, ale má sloučené shodné stavy. Pro kodér z předchozího příkladu je mřížkový diagram znázorněn na následujícím obrázku. Jednotlivé posloupnosti stavů jsou nazývány pojmem cesta (path). Nechť zdrojová posloupnost je Kódová posloupnost je Kodér je na počátku zprávy v nulovém stavu. Začátku zprávy odpovídá prvních pět kroků (0 až 4) v levé části obrázku. Pravá část obrázku ukazuje konec zakódované zprávy. Zdrojová posloupnost byla doplněna o nuly, které se nazývají pojmem 11

12 konec zprávy (tail of the message). Kódová posloupnost pokračuje tak, aby se kodér dostal po odeslání zdrojových bitů zpět do nulového stavu. Počet připojených nul je k(k-1). Výstupní kódová posloupnost je tedy Začátek a konec zprávy konvolučního kodéru (2, 1)-kódu s generujícím mnohočlenem g(x) = 1 + x + x 2 + x 4 + x 5 12

13 1.5 Popisy chování konvolučního kodéru Popis pomocí tabulky V následující tabulce se ukážeme odezvu na posloupnost u = [u 0 ; u 1 ; u 2 ] = [1;0;0] pro kodér podle obrázku 1 uvedeného v kapitole 3. Výstup za prvým registrem typu D je označen u t-1, výstup za druhým registrem u t-2. Ve výchozím klidovém stavu jsou oba registry vynulovány (ve sloupcích B a C tabulky jsou nuly) a na vstup přichází hodnota u 0 =1 (sloupec A tabulky), což odpovídá řádku 2 tabulky. Odezvou budou jedničky ve sloupcích F a G, tedy v 0 1 =1; v 0 2 =1. V následném stavu přejdeme podle hodnot v řádku 2 sloupců D a E u t-1 =1 a u t-2 = 0 a vstupní hodnotu u 1 = 0 do řádku 5 tabulky, kde se uvedená kombinace vyskytuje ve sloupcích A, B, C. Odezvou bude ve sloupcích F a G v 1 1 =1; v 1 2 =0. Obdobně získáme přechodem do řádku 3 hodnoty v 2 1 =1; v 2 2 =1. Tím jsme obdrželi dílčí výstupní posloupnosti v 1 = [1;1;1], v2= [1;0;1] a multiplexováním, tj. proložením bit po bitu obdržíme výstupní posloupnost v = [1;1;1;0;1;1]. Popis chování konvolučního kodéru pomocí tabulky Zdrojové Výchozí stav Následný stav Výstup bity A B C D E F G u t u t-1 u t-2 u t-1 u t-2 v 1 v Popis pomocí stavového diagramu Další možností pro popis funkce konvolučního kodéru je stavový diagram, který je opět pro stejný příklad z obrázku 1 uvedeného v kapitole 3. Stavy S 0, S 1, S 2, S 3, jsou stavy kodéru a odpovídají kombinacím u t-1 a u t-2 na výstupu registrů [0;0],[0;1],[1;0],[1;1]. Každý příchod vstupního bitu způsobí přechod do nového stavu. Stavový diagram má 2k větví vycházejících z každého stavu, každá větev je označena vstupními/výstupními hodnotami u t /v 1 v 2. Každá větev odpovídá jednomu řádku dle předchozí tabulky. 13

14 Stavový diagram konvolučního kodéru Popis pomocí mřížkového diagramu Znázorněním stavového diagramu v závislosti na čase dojdeme k reprezentaci tzv. mřížkovým diagramem (viz následující obrázek). Odtud také pochází název mřížkový kód resp. trellis kód. Větev je popsána vstupními/výstupními hodnotami kodéru stejně jako větve ve stavovém diagramu. Cesta zvýrazněná čárkovanou čarou odpovídá příkladu vstupní posloupnosti u = [1;0;0], pro kterou se prochází sledem stavů z počátečního S 0 přes S 2 a S 1 zpět do výchozího stavu S 0. Cesta zvýrazněná plnou čarou je příklad pro vstupní sekvenci u = [0;1;1;0;0]. Odpovídající výstupní posloupnost je pak v = [0;0;1;1;0;1;0;1;1;1]. Všechny uvedené způsoby popisu chování konvolučního kodéru jsou ekvivalentní, nicméně znázornění pomocí mřížkového diagramu je názorné s ohledem na přiblížení průběhu dekódování konvolučního kódu. 14

15 Mřížkový diagram konvolučního kodéru 15

16 1.6 Minimální kódová vzdálenost konvolučního kódu Konvoluční kódy jsou lineární, proto platí, že minimální kódová vzdálenost je rovna nejmenší Hammingově vzdálenosti nenulového kódového slova. Kódovým slovem je ovšem celá posloupnost, minimální kódová vzdálenost je rovna nejmenší Hammingově vzdálenosti nenulové kódové posloupnosti, která začíná a končí nulou. Tato minimální kódová vzdálenost je nazývána jako volná kódová vzdálenost a bývá označována d free. U jednoduchých kodérů můžeme tuto posloupnost stanovit přímo z grafického zobrazení. Hledaná kódová cesta v předchozím obrázku je vyjádřena kódovou posloupností Minimální kódová vzdálenost je tedy d free = 5 (kódová posloupnost obsahuje pět jedniček). Z toho můžeme poznat, že kód opravuje až dvojnásobné chyby v kódové posloupnosti. 16

17 1.7 Dekódování konvolučního kódu U konvolučních kódů není možné při dekódování zprávy stanovit dekódování deterministicky. Pracuje se pouze s nejpravděpodobnějším předpokladem toho, jaká zpráva byla vyslána. Zpráva s poruchou obsahuje chybu. I v této situaci jsme tedy pracovali s nejpravděpodobnějším řešením, když jsme stanovovali informační slova dekódováním. Pro nalezení nejpravděpodobnějšího odhadu slouží u konvolučních kódů tzv. Viterbiho algoritmus. Je to však jen jeden z několika možných způsobů dekódování konvolučního kódu odvozený již v roce Princip Viterbiho algoritmu je založen na vyhledávání nejmenší Hammingovy vzdálenosti dekódované posloupnosti od posloupnosti přijaté. Obrázek uvedený v kapitole 4 ukazuje všechny cesty, se kterými konvoluční kodér pracuje. Cesta, kterou hledáme, bude postupně zkoumána podle tohoto kritéria. Souhrn všech kroků této cesty se nazývá přijatá cesta. Předpokládejme nyní, že jsme ji určili pro každý stav mřížkového diagramu. Porovnáním kódových vzdáleností přijatých cest můžeme určit nejpravděpodobnější cestu, a tím i zdrojovou posloupnost pro daný časový úsek. Po příjmu dalších kódových n-tic se však může situace změnit. Rozhodnutí je proto potvrzeno až na konci zprávy. Po přijetí celé zprávy má být kodér v nulovém stavu. Jeho přijatá cesta určuje hledanou posloupnost. Je-li zdrojová posloupnost zakódována do posloupnosti kodérem konvolučního (2, 1)-kódu s generujícím polynomem g( x) = 1+ x+ x + x + x, pak při přenosu došlo ke dvěma chybám. Přijata byla totiž posloupnost Při určování nejpravděpodobnější cesty bude nyní použit Viterbiho algoritmus. Pro znázornění postupu řešení je použit mřížkový diagram. V následujícím obrázku jsou v mřížkovém diagramu plnou čarou znázorněny přijaté cesty a přerušovanou čarou zamítnuté cesty, a to v každém kroku řešení. Výrazně zesílenou čarou je vyznačen výsledný odhad. 17

18 Znázornění činnosti Viterbiho algoritmu U každého stavu jsou vyznačeny minimální vzdálenosti v daném okamžiku dekódování. Cestě s minimální vzdáleností odpovídá správná posloupnost zdrojových znaků Obě chyby jsou tedy opraveny. Viterbiho algoritmus poskytuje nejpravděpodobnější odhad vyslané zprávy až po přijetí celé zprávy. Zdlouhavost vyhodnocování cesty s minimální vzdáleností může způsobovat neúměrně velká zpoždění zprávy. U dlouhých posloupností vznikají velké nároky na kapacitu paměti, do které se ukládá pro každý stav cesta s minimální vzdáleností. 18

19 1.8 Konvoluční kódy řešitelné pomocí syndromu Nevýhodou Viterbiho algoritmu je jeho náročnost na počet numerických operací. Počet operací potřebný k dekódování L-znakové zdrojové posloupnosti je roven ( 1) L 2 k K. Proto se Viterbiho algoritmu používá pro dekódování kódů s relativně krátkými omezujícími délkami. Pro ilustraci je možné uvést, že při omezující délce K=7 konvolučního kódu je obvodová náročnost přibližně 8000 hradel. Závislost počtu operací na omezující délce K je exponenciální. Největší omezující délka, pro kterou bylo vytvořeno zapojení v podobě podpůrné paralelně pracující výpočetní jednotky, byla K=10. Nicméně velkých volných vzdáleností je možné dosáhnout jen při velkých omezujících délkách. Proto jsou pro dekódování kódů s velkými omezujícími délkami používány algoritmy, jejichž závislost je na omezující délce konstantní, a jsou označovány jako tzv. sekvenční algoritmy. Sekvenční algoritmus vychází ze známé pravděpodobnosti p chyby každého kódového symbolu. Vzdálenost cesty je pak v každém i-tém kroku přibližně rovna součinu i n p. Odhad cesty je volen ten, jehož kódová n-tice má nejmenší Hammingovu vzdálenost. Pro správnou funkci sekvenčního algoritmu je důležité správně zvolit práh rozhodování. Při malém prahu se dekodér neustále vrací zpět a při velkém prahu je špatná cesta detekována příliš pozdě. Nejpoužívanější sekvenční algoritmus je Fanoův algoritmus. Výčet konvolučních kódů, jejichž kodéry a dekodéry jsou snadno obvodově řešitelné, není příliš rozsáhlý. Řešení pro opravy vícenásobných chyb jsou velmi náročná. Většina z účinných konvolučních kódů byla objevena pomocí počítačové simulace. V dalším textu bude nejdříve popsána obecná třída konvolučních kódů, které jsou schopny opravovat jednoduché chyby. Na příkladu aplikace pak budou následovat experimentální výsledky, které ukazují, že kódy této třídy jsou účinné i při výskytu shlukových chyb. Třída konvolučních kódů, které opravují jednoduché chyby, nese název Wynerovy-Ashovy kódy (WA-kódy). Vlastnostmi jsou blízké Hammingovým kódům. Pro každé kladné m existuje Wyner-Ashův ((m+1)2 m, (m+1)(2 m 1))-kód. Kód je definován pomocí tzv. kontrolní matice H Hammingova (2 m 1, 2 m 1 m)-kódu. To je kontrolní matice m (2 m 1), ve které je každý ze sloupců nenulový. Sestavme tedy následující matici. Řádky jsou definovány jako soustava 1 (2 m -1) matic P 1 T,, P m T. Nechť P 0 T je řádkový vektor, jehož všechny (2 m -1) prvky jsou jedničky. Potom úplná kontrolní matice Wynerova-Ashova kódu má následující tvar: 19

20 H T P T T P1 0 P T T T P2 0 P1 0 P T = P T Pm T Pm 0 Zkrácená kontrolní matice je pak zapisována jako: T P T T P1 0 P T T T H = P2 0 P1 0 P T T T T Pm 0 Pm 1 0 Pm P0 1 Minimální vzdálenost Wynerova-Ashova kódu je d=3, a to znamená, že se jedná o konvoluční kód, který opravuje jednu chybu. 20

21 1.9 Tvrdé a měkké rozhodování V digitálních přijímačích většinou nemá výstupní signál demodulátoru vlivem šumu a interferencí zřetelnou podobu diskrétního binárního signálu, nýbrž spíše připomíná spojitý náhodný signál. Proto za demodulátorem následuje tzv. rozhodovací obvod, který rozhoduje, jakou logickou úroveň má demodulovaný signál v aktuálním bitovém intervalu. Tento obvod může vlastní proces rozhodování implementovat dvojí způsobem. Tvrdé rozhodování HD (Hard Decision), zvané též rozhodování bit po bitu, realizuje rozhodovací proces za pomoci prahového detektoru, který může být implementován např. jako napěťový komparátor. Jeho výstup je jednoznačně buď logická 1 (log 1), nebo logická 0 (log 0), a to podle toho zda úroveň vyhodnocovaného bitu je nad nebo pod jeho specifikovanou rozhodovací úrovní. Prahový detektor, obecně rozhodovací obvod, tedy kvantuje demodulovaný signál pouze do dvou hladin, tzn. binárně. Výstup rozhodovacího obvodu je následně přiveden na kanálový dekodér, který musí být uzpůsoben pro tento tvrdý vstup HI (Hard Input). Odhadnutý vzorek se poté ihned eliminuje a přistupuje se k odhadu vzorku následujícího. Tvrdé rozhodování má velkou výhodu v relativně jednoduché implementaci. Bohužel se při jeho aplikaci nevyužívají dva důležité typy informace, které v sobě demodulovaný signál nese. Nebere se v úvahu jednak kvalita zpracovávaného signálu, tj. jeho skutečná velikost, resp. energie, apod. Kromě toho se nevyužívá určitý typ korelace mezi po sobě následujícími symboly, kterou v sobě může obsahovat již vysílaný signál a k níž může dále přispívat i radiový kanál. Tím se ztrácí určité množství kontextuální (související) informace. Oba výše uvedené faktory ve svých důsledcích snižují věrohodnost rozhodovacího procesu. Měkké rozhodování SD (Soft Decision), zvané též rozhodování po kódových slovech, provádí opět rozhodovací obvod. Ten však oproti předchozímu typu rozhodovacího procesu kvantuje vzorky výstupního signálu demodulátoru nikoliv binárně, nýbrž do více kvantizačních úrovní než dvou. Předpokládejme, že je demodulovaný signál polární, to znamená, že úrovni log 1 odpovídá například napětí +1 V a úrovni log 0 následně napětí -1 V. V praxi se u takových binárních signálů často vystačí s tříbitovým kvantováním, poskytujícím množinu celkem osmi kvantizačních úrovní, označených čísly (-4, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4). Tato čísla reprezentují tzv. spolehlivostní faktor (reliability factor), resp. spolehlivostní metriku (reliability metric), poskytující přídavné 21

22 informace (side information, likelihood information, log-likelihood ratios) o amplitudě a případně i o dalších důležitých vlastnostech zpracovávaného bitu resp. symbolu. Čím vyšší je absolutní hodnota spolehlivostního faktoru, tím vyšší je i míra jistoty, že daný bit zaujímá uvažovanou aktuální pozici. Tedy např. hodnoty +4 resp. -4 poskytují vysokou míru důvěry, že úroveň bitu je +1 V resp. -1 V, kdežto např. při hodnotách +2 resp. -2 je důvěra v hodnotu bitu +1 V resp. -1 V podstatně nižší. Druhým přídavným činitelem uplatňujícím se při měkkém rozhodování je kontextuální (související) informace. Ta může být využita spolu se spolehlivostním faktorem různými způsoby, např. pro zvýšení věrohodnosti příjmu přijímaných bitů, resp. symbolů. Dokonalejší metoda dekódování s měkkým rozhodováním aplikuje jako metriku Euklidovu vzdálenost a díky tomu bere v úvahu nejen prostou velikost (amplitudu) jednotlivých bitů přijatého kódového slova, nýbrž i jejich poměr signál/šum. Ve výše uvedeném příkladu bylo uvažováno tříbitové, tj. osmiúrovňové kvantování výstupu demodulátoru. Některé systémy však aplikují mnohem dokonalejší téměř optimální kvantování do podstatně většího počtu úrovní. Tak například v buňkovém systému GSM se uplatňuje osmibitové kvantování výstupu demodulátoru do 256 úrovní. Výstup rozhodovacího obvodu potom přináší velice detailní přídavnou informaci o kvalitě zpracovávaného bitu resp. symbolu. Využití měkkého rozhodování je snadné u konvolučních kódů. Naproti tomu u blokových kódů je implementace této techniky obtížnější, i když vývoj z posledních let naznačuje, že principy měkkého rozhodování bude možné úspěšně aplikovat i zde. Měkké rozhodování přináší výrazné zlepšení tzv. kódového zisku, a to zejména při malých poměrech odstupu signálu od šumu. V kanálech se šumem AWGN je to o cca 2 až 3 db, v kanálech postižených navíc únikem vedoucím ke shlukům chyb potom dokonce o 4 až 6 db. 22

23 1.10 Kódování konvolučního WA-kódu Jak vyplývá z předchozích kapitol, jsou kontrolní bity konvolučních kódů vytvářeny jak vzhledem k informačním k bitům právě přenášeného bloku, tak k informačním bitům N-1 předcházejících bloků. Skupinu N bloků použitých k vytvoření zabezpečujících kontrolních bitů označujeme skupinovou délkou bloku. Při kódování se kontrolní bity přenášeného bloku vytvářejí ve vztahu k informačním bitům všech bloků obsažených ve skupině. Toto rozdělení konvolučního kódu na části zprávy je zavedeno kvůli snadnějšímu technickému řešení kodéru a dekodéru. Při dekódování se dekódované slovo vytváří ve vztahu k informačním bitům právě přenášeného kódového slova a kontrolním bitům celé skupiny. Takto uspořádané kódování a dekódování se nazývá kanálové kódování a kanálové dekódování. V praxi používaným kódem je Wynerův-Ashův konvoluční kód (WA-kód). Uspořádání WA-kódu tedy představuje konvoluční (n, k)-kód, který pro p = 1, 2, 3, vyhovuje podmínkám definovaným následujícími rovnicemi: počet bitů výsledného zabezpečeného slova je n = 2p, počet informačních bitů v bloku je k = 2p 1 = n 1, délka skupiny zabezpečovaných bloků je N = p + 1. Každému kódovému slovu o n bitech tedy přísluší jeden kontrolní bit pro celou skupinovou délku o N = p + 1 slovech. Kontrolní bit se vytváří funkcí XOR z vybraných informačních bitů bloku. Princip vytváření WA-kódu: a) kódování, b) dekódování 23

24 Při použití konvolučního kódu je zřejmé, že dekódovaná informace bude k dispozici až po dokončení přenosu skupiny bitů, ze kterých jsou vytvářeny kontrolní bity. Dekódované slovo je tedy možné získat až po uplynutí dopravního zpoždění, které vzniká při sériovém přenosu zprávy. 24

25 1.11 Dekódování a oprava chyb u WA-kódu Příklad konvolučního (8,7)-kódu ukazuje, že řádky vybraných pozic předcházejících N-1 kódových slov skupiny určuje ve dvojkové reprezentaci číslo odpovídající poloze informačních bitů v N-tém slově skupiny. Toho se využívá při dekódování. Při dekódování se vypočítávají bity syndromu na základě porovnání přijatých kontrolních bitů a kontrolních bitů odvozených z přijatých informačních bitů jednotlivých N kódových slov skupiny. Odvození probíhá podle stejných pravidel jako na straně vysílání zprávy. Pokud nevznikne během přenosu chyba, oba kontrolní bity souhlasí a syndrom odpovídá hodnotě 0. Nastane-li ovšem během přenosu chyba, kontrolní bity pak nesouhlasí a syndrom odpovídá hodnotě 1. Syndrom tedy lokalizuje přesnou polohu chyby ve dvojkovém vyjádření zprávy. Tato vlastnost vyplývá z konstrukce konvolučního kódu, neboť přijatý kontrolní bit je vytvářen funkcí XOR s ohledem na polohu informačních bitů v jednotlivých kódových slovech. V kódových slovech (posloupnostech) následujících za právě dekódovanou kódovou posloupností se příslušný kontrolní bit vytváří z chybně přenesené výchozí posloupnosti. V takovém případě bude chyba například v poloze prvního informačního bitu indikována nesouhlasem kontrolních bitů a lokalizována trojicí syndromů 100, neboť chyba v poloze prvního informačního bitu ovlivní kontrolní bit pouze následující kódové posloupnosti. Chyba v poloze druhého informačního bitu by ovlivnila pouze kontrolní bit druhého kódového slova. Projeví se tedy syndromem 010, atd. Jako ilustrace výše uvedených skutečností je uveden jednoduchý příklad pro N=4 (viz následující obrázek). Konvoluční kód o N kódových slovech V příkladu ilustrovaném na předchozím obrázku vyžaduje detekce a korekce jedné chyby celkem čtyř kontrolních bitů ve skupině bloků N=4, který má celkem 32 bitů (z toho 28 bitů je informačních). Teoretické omezení WA-kódu je na jednotlivou chybu ve 32 symbolech zprávy. Je zřejmé, že kód nevyžaduje zvláštní zabezpečování přenosu kontrolních bitů, neboť detekuje i chybu v kontrolním 25

26 bitu. Takovému případu odpovídá skupina syndromů tvořená symboly 1000, v nichž 1 signalizuje chybu v bloku 000 nultou polohu chybného bitu v kódové posloupnosti. Wynerův-Ashův konvoluční (8,7)-kód je využit např. ke zlepšení kvality televizního vysílání podle normy PAL. S ohledem na vysoké přenosové rychlosti se v této aplikaci předpokládá demultiplexování sériového PCM kódu. Přenos kontrolních bitů se provádí formou společného osmibitového slova kontrolních bitů. Kontrolní slovo obsahuje 2 4 bity pro dva informační bloky. Tímto uspořádáním se výrazně sníží šířka pásma výsledného multiplexovaného signálu, která by byla nutná, pokud by byla slova přenášena jako osmibitová. Vzorkovací kmitočet f vz = 13,3 MHz se zvýší pouze na hodnotu (15/14) 13,3 = 14,25 MHz. Hodnota zaváděné redundance je přitom pouze 1/15 = 0,07. Přitom je možné dosáhnout opravy jedné chyby v posloupnosti patnácti kódových slov. 26

27 1.12 Kodér WA-kódu Princip uspořádání vlastního kodéru blokového WA-kódu, který pracuje podle pravidel uvedených v předchozí kapitole, je znázorněn na následujícím obrázku. Posloupnost informačních bitů paralelního přenosového kanálu zaplní postupně sedmibitový posuvný registr PR. V posuvném registru jsou ukládány informační bity téže váhy ze sedmi po sobě následujících slov. Pro každý takový informační blok jsou provedeny operace logickou funkcí XOR a je uložen kontrolní bit S do paměťového obvodu P, jehož výstup je zpracováván operací logické funkce XOR s bitem, který vznikl jako kontrolní bit následujícího informačního slova. Skupinové schéma zapojení kodéru konvolučního (8,7)-kódu Tak je postupně vytvořen výsledný kontrolní bit, aniž je nutné vytvářet simultánní bloky celé skupiny N. Přitom je však nutné, aby paměťové obvody pracovaly rychlostí, která je rovna 1/7 rychlosti výstupních informačních bitů. Úplné uspořádání kodéru WA-kódu využívá pro čtyři nejvýznamnější bity kodéry z následujícího obrázku. 27

28 Skupinové schéma úplného kodéru WA-kódu V nezabezpečovaných kanálech, které jsou tvořeny nižšími čtyřmi bity, jsou zařazeny pouze posuvné registry pro vyrovnání časového zpoždění. Součástí úplného uspořádání kodéru je obvod pro vytváření sériového toku dat, který provádí multiplexování informačních a kontrolních bitů do formátu, v němž jsou všechny kontrolní bity dvou bloků seřazeny do osmibitového slova. Multiplexní obvod vytváří zprávu popsaného uspořádání na základě sdružení bitů informačních (MSB (Most Significant Bit) + LSB (Least Significant Bit)) a kontrolních bitů jednotlivých paralelních kanálů sdružených do společného osmibitového kontrolního slova. Výstupní paralelně-sériový převodník vytváří výslednou zabezpečenou zprávu v sériovém tvaru. 28

29 1.13 Dekódování konvolučního WA-kódu Dekódování konvolučního (8,7)-kódu spočívá ve vytvoření syndromů pro korekci chyb v kódové zprávě. Dekodér proto obsahuje základní Wynerův-Ashův kodér, který má za úkol generovat kontrolní bity zprávy na přijímací straně. Výstup tohoto kodéru se porovnává s příslušným přeneseným kontrolním bitem. Kontrolní bity se na přijímací straně ukládají postupně do N-členného posuvného registru PR. Výpočet bitů syndromu je zřejmý z následujícího obrázku. Při výpočtu je použit čítač, který vytváří dvojková čísla 001 až 111 rychlostí shodnou s rychlostí posuvu posuvného registru ve funkci vyrovnávací paměti. Obvody s logickou funkcí XOR vytvářejí logickou hodnotu 1 v případě neshody hodnoty syndromu a výstupu dvojkového čítače. Je-li současně detekována chyba ve skupině bloků, je první syndromový bit nastaven na hodnotu 1, je na výstupu logického obvodu součinu H 1 korekční signál v hodnotě 1. Tím je zajištěna oprava chyby v posloupnosti přenášené zprávy. Aby byl opravován správný bit zprávy obvodem H 2 a logickou funkcí XOR, je nutné, aby procházející zpráva byla zpožděna přídavným posuvným registrem, který zpozdí zprávu právě o dvacet jedna taktů zdroje synchronizace. Teprve potom je opravován právě chybný symbol. Schéma zapojení dekodéru Wynerova-Ashova (8,7)-kódu v jednom kanále V zapojení obvodu dekodéru je použito zapojení kodéru WA-kódu. V předchozím obrázku je nakreslen jako blok v místě vstupu přijaté zprávy. Skupinové schéma dekodéru pro všechny přenosové kanály je na následujícím obrázku. Zpráva vstupuje prostřednictvím sériově-paralelního převodníku do 29

30 obvodu demultiplexoru, ve kterém jsou nejdříve vytvořeny paralelní kanály informačních bitů. Skupinové schéma Wynerova-Ashova dekodéru (8,7)-kódu Každý ze zabezpečovaných kanálů bitů MSB obsahuje vlastní Wynerův-Ashův dekodér. Blok zpracování kontrolních bitů vytváří jednotlivé kontrolní bity ze složeného kontrolního slova. V nezabezpečovaných kanálech bitů LSB se provádí přídavným časovým zpožděním vyrovnávání skupiny příslušných bitů MSB a LSB. 30

31 1.14 Srovnání účinnosti Hammingova kódu a WA-kódu pro TV Použití blokových a konvolučních kódů, které umožňují detekci a opravu jednotlivých chyb, a po použití prokladu i krátkých skupinových chyb, je velmi často požadováno proto, že neodstraněné chyby způsobují po zpracování přijatého TV signálu rozsáhlé poškození tohoto signálu. Tento jev je možné vysvětlit tím, že před vlastním přenosem je signál podroben kompresi, aby nebylo nutné rozšiřovat šířku pásma TV kanálu. Zpráva podrobená kompresi tak obsahuje podstatně více informací, tj. je výrazně omezena redundance bitů a symbolů v přenášeném signálu (zprávě). Výskytem chyb je tedy přenášený komprimovaný signál poškozován mnohem více. V příjmu digitálního TV signálu se při dostatečném pokrytí území uvažuje jen malá pravděpodobnost výskytu chyby. Pro takové případy platí experimentální 2 vztah pc = β p, kde p c udává pravděpodobnost chyby v bitu p. Činitel β je přitom možné považovat za kritérium kvality pro hodnocení kódů. Pro n 1 Hammingův kód je činitel kvality kódu β H =, pro konvoluční WA-kód je 2 n (2N 1) 1 βwa =. 2 Odvození přechozích vztahů uvádí s velmi pečlivě provedenými experimentálními zkouškami prováděnými britskou BBC literární prameny [4] a [5]. Platí, že kvalitnější zabezpečovací kód se vyznačuje nižší hodnotou činitele β. Oba typy kódů jsou pro srovnání uvedeny v následující tabulce. Je zde také uvedeno i množství zaváděné redundance. Srovnání účinnosti Hammingova a WA-kódu pro TV Hammingův kód Wynerův-Ashův kód Typ Činitel Délka Činitel Redundance Typ (n,k) Redundance (n,k) β H N β WA (7,4) 0,429 3 (2,1) 2 0,500 2,5 (15,11) 0,267 7 (4,3) 3 0,250 9,5 (31,26) 0, (8,7) 4 0,125 27,5 (63,57) 0, (16,15) 5 0,063 71,5 Podle údajů uvedených v tabulce je možné konstatovat, že při zhruba stejné hodnotě redundance je Hammingovým kódem dosaženo lepšího činitele β. Realizace Hammingova kódu je však obvodově složitější. Pro účely použití při zabezpečení TV kanálu jsou vhodné Hammingův (31,26)-kód a Wynerův-Ashův (8,7)-kód. Z těchto dvou možností byl BBC doporučen Wynerův-Ashův (8,7)- 31

32 kód, a to nejen z hlediska jednodušší implementace, ale také proto, že má vhodnější vlastnosti při ochraně zpráv před vlivem skupinových chyb. Obojí vyplývá z kontextu výše uvedených zkoušek. Z výsledků provedených zkoušek dále vyplynulo, že vliv opravy skupinové chyby výrazněji ovlivňuje kvalitu obrazu než oprava chyb jednotlivých. Experimentální výsledky jsou dokladem o vhodnosti řešení a o dostatečné účinnosti implementačně relativně jednoduchého WA-kódu pro aplikaci v přenosových kanálech PCM s chybovostí do hodnoty Při přenosu nebo záznamu TV obrazu jsou nejčastější chyby skupinové, postihující najednou několik symbolů přenášené zprávy. Vysoká přenosová rychlost v digitální televizi však dovoluje aplikovat pouze implementačně jednoduché zabezpečovací kódy. Wynerův-Ashův kód vykazuje přijatelnou míru obvodové složitosti a přitom zajišťuje v dostatečné míře opravu jak u jednotlivých, tak u skupinových chyb. 32

33 2 TURBO kódy 2.1 Paralelní zřetězení Před uvedením TURBO kódů byly nároky na vysokou účinnost potlačení chyb v informačním kanálu řešitelné například konvolučním kódem s velkou hodnotou omezující délky kódu (tzv. délka kódového omezení). Podmínkou zde však byla velká délka vnitřní paměti kodéru konvolučního kódu. Dekódování takového konvolučního kódu bylo velmi komplikované. V roce 1993 byly poprvé popsány tzv. TURBO kódy. Dnes patří TURBO kódy k nejvýznamnějším objevům v teorii kódování. Jejich vlastnosti je řadí k nejdůležitějším efektivně použitelným kódům. TURBO kódy se stávají nejvážnějšími kandidáty nových průmyslových standardů pro připravované systémy v oblasti bezdrátového přenosu informace. TURBO kódy jsou vytvářeny jako paralelně zřetězené konvoluční kódy. Kodéry i dekodéry jsou tvořeny zřetězením dvou nebo více modulů. Moduly dekodérů jsou nazývány SISO (Soft-Input Soft-Output). Moduly SISO jsou propojeny rovněž navzájem několika bloky na proklad (Interleaver) a zpětný proklad (Deinterleaver) informace ve zprávě. Moduly dekodéru spolupracují podle interaktivního algoritmu, při kterém dochází k výměně dílčích výsledků dekódování mezi jednotlivými SISO moduly. Dekodér je v tomto uspořádání schopen se přiblížit, při dlouhých posloupnostech prokladu informace, hodnotám velmi blízkým limitní kapacitě kanálu. V dalších kapitolách bude vysvětlen základní princip TURBO kódů včetně řízení vlastností kódu, analýzy a zlepšování mezních parametrů návrhu základních kodérů a bloku prokladu informace ve zprávě. Základem účinnosti dekodéru je tzv. algoritmus interaktivního dekódování. Další principy zřetězení a použití prokladu, které zahrnuje sériové a hybridní zřetězení dekodérů je uváděno v souvislosti s typickými hodnotami využití limitních hodnot kapacity informačního kanálu. TURBO kódy jsou intenzivně zkoumány v souvislosti s použitím komunikace s omezeným výkonem zdroje zpráv (Space Communication). Téměř hotov je nový standard pro kódování telemetrických spojů. Doporučení pro CCSDS (Consultative Committee for Space Data Systems), pro ATM (Asynchronous Transfer Mode) i pro bezdrátové aplikace, pro kanály s velkým únikem, s digitálním satelitním přenosem a pro další aplikace digitálních komunikací jsou ve velmi pokročilém stádiu příprav. TURBO kódy představují novou třídu kódů pro kódové zabezpečení, jejichž dekódování je řešeno praktickou implementací. Srovnání vlastností bude v dalším textu provedeno v souvislosti s kodérem a dekodérem konvolučního kódu. Konvoluční kód může být realizován například kodérem s poměrem r = ½ s omezující délkou (Constraint Length) K = 3, která označuje celkový počet bitů informační zprávy zpracovávaných do výstupní kódové zprávy. 33

34 Pro popis kodéru konvolučního kódu je možné použít vstupní posloupnosti u a posloupností, které se podílí na výstupní kódové posloupnosti v (1) a v (2). V časovém okamžiku i se vstupní informační bit u i rozkládá na dva prvky uložené ve vnitřní paměti kodéru: u i-1 a u i-2. Popis zachycuje posloupnost hodnot, ze kterých jsou vytvářeny hodnoty výstupní. S ohledem na to, že se jedná o popis nekauzálního systému, je výhodnější používat pro popis vstupní posloupnosti mnohočlenu u(d), a pro popis výstupní posloupnosti mnohočlenu v(d), kde D je proměnná v obrazovém definičním oboru. Konvoluční kodér s poměrem r = 1/2 a s délkou kódového omezení K = 3 Generující matici kodéru konvolučního kódu dle předchozího obrázku je potom možné zapsat jako: (1) ( 2 ) 2 2 G( D) = g ( D ) g ( D ), G( D) = 1+ D 1+ D + D. Kódovou posloupnost v(d) odpovídající vstupní posloupnosti u(d) je možné (1) ( 2 ) zapsat jako u( D) G( D) = u( D) g ( D) u( D) g ( D). Stejná kódová (1) posloupnost vzniká také tehdy, je-li u'( D) = u( D) g ( D), přitom (1) udgd ( ) ( ) = udg ( ) ( DG ) R ( D), kde GR( D) 1 g g ( D) ( D) (2) = (1). Generující matice G R (D) se nazývá rekurzivní generující matice RGM (Recursive Generating Matrix). 34

35 2.2 Rekurzivní kodér Kodér konvolučního kódu pracující podle rekurzivní matice je označován jako kodér RSC (Recursive Systematic Convolutional encoder). Kódy mohou být konstruovány pomocí této rekurzivní matice jako systematické, u kterých je neměnné umístění kontrolních bitů v kódové posloupnosti. Systematický konvoluční kód má stejnou volnou kódovou vzdálenost jako konvoluční kód s nerekurzivní generující maticí v uspořádání dle obrázku z předchozí kapitoly. Uspořádání RSC kodéru rekurzivního systematického konvolučního kódu je na následujícím obrázku. RSC kodér 35

36 2.3 Kodér TURBO kódu TURBO kódy jsou kódovány paralelně zřetězenými kodéry RSC kódů. Kodéry jsou odděleny blokem prokladu dat. Příklad kodéru TURBO kódu je na následujícím obrázku. Zde jsou paralelně zřetězeny dva identické 1/2 RSC kodéry. Příklad kodéru TURBO kódu Horní kodér přijímá informační posloupnost přímo, zatímco spodní kodér přijímá data upravená v bloku prokladu podle funkce permutace α. Proklad je pseudonáhodný, to znamená, že symbol v poloze i je transformován do polohy α(i) podle předem daných, ale přesto náhodných pravidel. Blok prokladu pracuje na daném úseku posloupnosti symbolů. Dochází k výměně L bitů v jedné dávce zpracování, to znamená, že TURBO kódy jsou ve skutečnosti blokové kódy. Protože oba kodéry jsou systematické a pracují se stejnými symboly (přestože jsou tyto symboly přeházené permutací), je zřejmé, že může být odeslána pouze jedna kódová zpráva a přesto je možné ji dekódovat. Výsledný systematický kód je obvykle výstupem horního kodéru, zatímco systematický kód spodního kodéru není přenášen. Nicméně kontrolní symboly (bity) obou kodérů přenášeny jsou. Celkový kódový poměr dvou paralelně zřetězených systematických kódů s poměrem 1/2 je r = 1/3. Kódový poměr se může zlepšit tzv. zúžením (puncturing), což je proces vypuštění některých kontrolních bitů. Kódový poměr TURBO kódů je zpravidla zlepšen na 36

37 r = 1/2 tím, že jsou přenášeny pouze liché kontrolní bity horního kodéru a sudé kontrolní bity spodního kodéru (spolu se všemi informačními bity z horního kodéru). 37

38 2.4 Dekódování Dekodér konvolučního kódu pracuje tak, že hledá nejpravděpodobnější posloupnosti bitů v kódové posloupnosti, která je porušena chybami. Tzv. Viterbiho algoritmus řeší tento úkol s nejvyšší mírou pravděpodobnosti. { [ ]} mˆ = arg max P m y m Symbol ˆm představuje posloupnost bitů, která je získána z přijaté posloupnosti y. Rovnice je řešena například pomocí Viterbiho algoritmu. Je tím získána maximálně pravděpodobná přijatá posloupnost ML (Maximal Likelihood). U konvolučních kódů je možné získat řešení ML posloupnosti použitím předcházející rovnice, která je řešitelná Viterbiho algoritmem. Složitost tohoto algoritmu je úměrná hodnotě O(2 L ), kde L je velikost datového rámce (velikost bloku prokladu). Pro příliš velkou složitost výpočtu ML posloupnosti je u TURBO kódů využito suboptimálního řešení, které vyžaduje mnohem menší složitost výpočtu. Dobré výsledky poskytuje řešení následující soustavy rovnic Λ = (1) i log P mi = 1 y, y, z P mi = 0 y, y, z (0) (1) (2) (0) (1) (2) a Λ = (2) i log P m i = 1 y, y, z P m i = 0 y, y, z (0) (1) (2) (0) (1) (2), kde y (0) jsou přijaté informační bity, y (1) jsou přijaté kontrolní bity prvního kodéru a y (2) jsou přijaté kontrolní bity druhého kodéru. Vlnovka nad veličinou představuje hodnotu s prokladem, to znamená, že ỹ je hodnota odpovídající prokladu hodnoty y. Symbol Λ je aposteriorní logaritmický nejpravděpodobnější poměr LLR (Log-Likelihood Ratio) a z je tzv. extrinzická informace. Extrinzická informace je ve vztahu k LLR dle následujících rovnic: z =Λ y z a z =Λ y z. (1) (1) (0) (2) i i i i (2) (2) (0) (1) i i i i Soustava posledních čtyř rovnic je řešitelná iterativním postupem, který je naznačen v blokovém schématu dekodéru TURBO kódu v následující kapitole. Dekodér 1 určuje řešení Λ (1) (2) a dekodér 2 řeší Λ. Každým z dekodérů prochází informace ke druhému dekodéru a v něm dochází ke zlepšování aposteriorní pravděpodobnosti použitím informace odvozené v předcházejícím dekodéru. Konečného zlepšení přijatých dat zprávy je dosaženo po potřebném počtu iterací výpočtu. Výstup informace je vyveden obvykle z druhého dekodéru. 38

39 2.5 Dekodér TURBO kódu Algoritmus aposteriorní pravděpodobnosti LLR je možné vypočítat přímo pomocí tzv. MAP (Maximum A Posteriori) algoritmu. Výpočet však má velmi vysokou složitost a je citlivý k vyjádření čísel s konečnou přesností. Tyto problémy se zmírnily prováděním algoritmu v logaritmickém vyjádření veličin. Výsledný algoritmus je označovaný názvem Log-MAP algoritmus. Tyto algoritmy jsou sestaveny ze dvou Viterbiho algoritmů: jeden je prováděn v dopředné rekurzi a druhý ve zpětnovazební rekurzi (princip viz následující obrázek). Složitost Log-MAP algoritmu je tedy asi dvojnásobná ve srovnání s Viterbiho algoritmem. TURBO dekodér Blok prokladu informace ve zprávě je možné obecně znázornit jako paměťovou matici, do které se zapisuje po řádcích, a ze které se čte informace po sloupcích (příklad činnosti bloku prokladu viz následující obrázek). 39

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

4. Co je to modulace, základní typy modulací, co je to vícestavová fázová modulace, použití. Znázorněte modulaci, která využívá 4 amplitud a 4 fází.

4. Co je to modulace, základní typy modulací, co je to vícestavová fázová modulace, použití. Znázorněte modulaci, která využívá 4 amplitud a 4 fází. Písemná práce z Úvodu do počítačových sítí 1. Je dán kanál bez šumu s šířkou pásma 10kHz. Pro přenos číslicového signálu lze použít 8 napěťových úrovní. a. Jaká je maximální baudová rychlost? b. Jaká je

Více

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám Demonstrační cvičení 5 INP Princip kódování, pojmy Tady potřebujeme informaci zabezpečit, utajit apod. zpráva 000 111 000 0 1 0... kodér dekodér

Více

Kódování signálu. Problémy při návrhu linkové úrovně. Úvod do počítačových sítí. Linková úroveň

Kódování signálu. Problémy při návrhu linkové úrovně. Úvod do počítačových sítí. Linková úroveň Kódování signálu Obecné schema Kódování NRZ (bez návratu k nule) NRZ L NRZ S, NRZ - M Kódování RZ (s návratem k nule) Kódování dvojí fází Manchester (přímý, nepřímý) Diferenciální Manchester 25.10.2006

Více

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry 18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry Digitální voltmetry Základním obvodem digitálních voltmetrů je A/D

Více

PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích

PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích Část 2 Osnova Metody detekce chybovosti Pravděpodobnost chyby ve zprávě Parita Kontrolní blokový součet (pseudosoučet) Redundantní cyklické kódy Jiný způsob

Více

ednáška a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda

ednáška a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda 2.předn ednáška Telefonní kanál a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda Telekomunikační signály a kanály - Při přenosu všech druhů telekomunikačních signálů je nutné řešit vztah

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Title: IX 6 11:27 (1 of 6)

Title: IX 6 11:27 (1 of 6) PŘEVODNÍKY ANALOGOVÝCH A ČÍSLICOVÝCH SIGNÁLŮ Převodníky umožňující transformaci číslicově vyjádřené informace na analogové napětí a naopak zaujímají v řídícím systému klíčové postavení. Značná část měřených

Více

Analogově-číslicové převodníky ( A/D )

Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Převodníky analogového signálu v číslicový (zkráceně převodník N/ Č nebo A/D jsou povětšině založeny buď na principu transformace napětí na jinou fyzikální veličinu

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Číslicové obvody základní pojmy

Číslicové obvody základní pojmy Číslicové obvody základní pojmy V číslicové technice se pracuje s fyzikálními veličinami, které lze popsat při určité míře zjednodušení dvěma stavy. Logické stavy binární proměnné nabývají dvou stavů:

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Základní principy přeměny analogového signálu na digitální

Základní principy přeměny analogového signálu na digitální Základní y přeměny analogového signálu na digitální Pro přenos analogového signálu digitálním systémem, je potřeba analogový signál digitalizovat. Digitalizace je uskutečňována pomocí A/D převodníků. V

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Vývojové diagramy 1/7

Vývojové diagramy 1/7 Vývojové diagramy 1/7 2 Vývojové diagramy Vývojový diagram je symbolický algoritmický jazyk, který se používá pro názorné zobrazení algoritmu zpracování informací a případnou stručnou publikaci programů.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr

Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr. Zadání: A. Na předloženém kompenzovaném vstupní děliči k nf milivoltmetru se vstupní impedancí Z vst = MΩ 25 pf, pro dělící poměry :2,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 1.3 2/14

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 1.3 2/14 ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 1.3 2/14 Co je vhodné vědět, než si vybereme programovací jazyk a začneme programovat roboty. 1 / 14 0:40 1.3. Vliv hardware počítače na programování Vliv

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Hierarchický databázový model

Hierarchický databázový model 12. Základy relačních databází Když před desítkami let doktor E. F. Codd zavedl pojem relační databáze, pohlíželo se na tabulky jako na relace, se kterými se daly provádět různé operace. Z matematického

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Zobrazení dat Cíl kapitoly:

Zobrazení dat Cíl kapitoly: Zobrazení dat Cíl kapitoly: Cílem této kapitoly je sezn{mit čten{ře se způsoby z{pisu dat (čísel, znaků, řetězců) v počítači. Proto jsou zde postupně vysvětleny číselné soustavy, způsoby kódov{ní české

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Mikrokontroléry. Doplňující text pro POS K. D. 2001

Mikrokontroléry. Doplňující text pro POS K. D. 2001 Mikrokontroléry Doplňující text pro POS K. D. 2001 Úvod Mikrokontroléry, jinak též označované jako jednočipové mikropočítače, obsahují v jediném pouzdře všechny podstatné části mikropočítače: Řadič a aritmetickou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií Komprese měřených dat v 0.1 Liberec 2007 Viktor Bubla Obsah 1 Proč komprimace? 2 2 Filosofie základních komprimačních

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Architektury počítačů a procesorů

Architektury počítačů a procesorů Kapitola 3 Architektury počítačů a procesorů 3.1 Von Neumannova (a harvardská) architektura Von Neumann 1. počítač se skládá z funkčních jednotek - paměť, řadič, aritmetická jednotka, vstupní a výstupní

Více

Moderní technologie linek. Zvyšování přenosové kapacity Zvyšování přenosové spolehlivosti xdsl Technologie TDMA Technologie FDMA

Moderní technologie linek. Zvyšování přenosové kapacity Zvyšování přenosové spolehlivosti xdsl Technologie TDMA Technologie FDMA Moderní technologie linek Zvyšování přenosové kapacity Zvyšování přenosové spolehlivosti xdsl Technologie TDMA Technologie FDMA Zvyšování přenosové kapacity Cílem je dosáhnout maximum fyzikálních možností

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Učební texty : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 2. ročník Mgr. M. Novotný, F. Novák: Matýskova matematika 4.,5.,6.díl

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

Úloha D - Signál a šum v RFID

Úloha D - Signál a šum v RFID 1. Zadání: Úloha D - Signál a šum v RFID Změřte úrovně užitečného signálu a šumu v přenosovém řetězci systému RFID v závislosti na čtecí vzdálenosti. Zjistěte maximální čtecí vzdálenost daného RFID transpondéru.

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

BI-JPO (Jednotky počítače) Cvičení

BI-JPO (Jednotky počítače) Cvičení BI-JPO (Jednotky počítače) Cvičení Ing. Pavel Kubalík, Ph.D., 2010 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

Více

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT pro kombinované a distanční studium Jana Šarmanová Ostrava 2003 Jana Šarmanová, 2003 Fakulta

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. výstup

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. výstup ELEKTONIKA I N V E S T I C E D O O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í 1. Usměrňování a vyhlazování střídavého a. jednocestné usměrnění Do obvodu střídavého proudu sériově připojíme diodu. Prochází jí proud

Více

Měření závislosti přenosové rychlosti na vložném útlumu

Měření závislosti přenosové rychlosti na vložném útlumu Měření závislosti přenosové rychlosti na vložném útlumu Úvod Výrazným činitelem, který upravuje maximální přenosovou rychlost, je vzdálenost mezi dvěma bezdrátově komunikujícími body. Tato vzdálenost je

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Bezdrátový přenos signálu v reálné aplikaci na letadle.

Bezdrátový přenos signálu v reálné aplikaci na letadle. Bezdrátový přenos signálu v reálné aplikaci na letadle. Jakub Nečásek TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

Teorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku

Teorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku Teorie Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Seznámení s problematikou a obsahem studovaného předmětu. Základní pojmy z Teorie, jednotka, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Kód.

Více

Popis programu EnicomD

Popis programu EnicomD Popis programu EnicomD Pomocí programu ENICOM D lze konfigurovat výstup RS 232 přijímačů Rx1 DIN/DATA a Rx1 DATA (přidělovat textové řetězce k jednotlivým vysílačům resp. tlačítkům a nastavovat parametry

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Projekt Využití ICT ve výuce na gymnáziích, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0030. MS Excel

Projekt Využití ICT ve výuce na gymnáziích, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0030. MS Excel Masarykovo gymnázium Příbor, příspěvková organizace Jičínská 528, Příbor Projekt Využití ICT ve výuce na gymnáziích, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0030 MS Excel Metodický materiál pro základní

Více

Architektura počítačů

Architektura počítačů Architektura počítačů Studijní materiál pro předmět Architektury počítačů Ing. Petr Olivka katedra informatiky FEI VŠB-TU Ostrava email: petr.olivka@vsb.cz Ostrava, 2010 1 1 Architektura počítačů Pojem

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

EXTRAPOLACE INTENZITNÍCH KŘIVEK PRO ÚČELY MODELOVÁNÍ SRÁŽKOODTOKOVÉHO PROCESU

EXTRAPOLACE INTENZITNÍCH KŘIVEK PRO ÚČELY MODELOVÁNÍ SRÁŽKOODTOKOVÉHO PROCESU EXTRAPOLACE INTENZITNÍCH KŘIVEK PRO ÚČELY MODELOVÁNÍ SRÁŽKOODTOKOVÉHO PROCESU P. Ježík Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav vodního hospodářství krajiny, Žižkova 17, 602 00 Brno Abstrakt

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Data a datové typy 1 / 28 Obsah přednášky Základní datové typy Celá čísla Reálná čísla Znaky 2 / 28 Organizace dat Výběr vhodné datvé struktry různá paměťová náročnost různá

Více

A7B36SI2 Tematický okruh SI11 Revidoval: Martin Kvetko

A7B36SI2 Tematický okruh SI11 Revidoval: Martin Kvetko Obsah Kvalita SW, jak zajistit kvalitu SW a jak ji ověřit Zabezpečení kvality, techniky řízení kvality SW. Potřeba kultivovat kvalitu, Cena za jakost Procesy pro řízení kvality, harmonogram řízení kvality

Více

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha 1. 9. 2011 Úvod náhodné procesy

Více

Profilová část maturitní zkoušky 2013/2014

Profilová část maturitní zkoušky 2013/2014 Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2 751 52 Přerov Profilová část maturitní zkoušky 2013/2014 TEMATICKÉ OKRUHY A HODNOTÍCÍ KRITÉRIA Studijní obor: 78-42-M/01 Technické lyceum Předmět: TECHNIKA

Více

Účinky měničů na elektrickou síť

Účinky měničů na elektrickou síť Účinky měničů na elektrickou síť Výkonová elektronika - přednášky Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace didaktických metod a inovace výuky technických předmětů. Definice pojmů podle normy ČSN

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Datové typy a struktury

Datové typy a struktury atové typy a struktury Jednoduché datové typy oolean = logická hodnota (true / false) K uložení stačí 1 bit často celé slovo (1 byte) haracter = znak Pro 8-bitový SII kód stačí 1 byte (256 možností) Pro

Více

Webové stránky. 16. Obrázky na webových stránkách, optimalizace GIF. Datum vytvoření: 12. 1. 2013. str ánk y. Vytvořil: Petr Lerch. www.isspolygr.

Webové stránky. 16. Obrázky na webových stránkách, optimalizace GIF. Datum vytvoření: 12. 1. 2013. str ánk y. Vytvořil: Petr Lerch. www.isspolygr. Webové stránky 16. Vytvořil: Petr Lerch www.isspolygr.cz Datum vytvoření: 12. 1. 2013 Webové Strana: 1/6 Škola Ročník Název projektu Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tématická oblast Název DUM

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu

1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu 1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu Cíle kapitoly: Cílem úlohy je ověřit teoretické znalosti při provozu dvou a více transformátorů paralelně. Dalším úkolem bude změřit

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Učební osnova předmětu ELEKTRONICKÁ ZAŘÍZENÍ

Učební osnova předmětu ELEKTRONICKÁ ZAŘÍZENÍ Učební osnova předmětu ELEKTRONICKÁ ZAŘÍZENÍ Obor vzdělání: 26-41-M/01 Elektrotechnika, zaměření slaboproud Forma vzdělávání: denní studium Ročník kde se předmět vyučuje: čtvrtý Počet týdenních vyučovacích

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Základní pojmy. Multimédia. Multimédia a interaktivita

Základní pojmy. Multimédia. Multimédia a interaktivita Základní pojmy Multimédia Jedná se o sloučení pohyblivého obrazu, přinejmenším v televizní kvalitě, s vysokou kvalitou zvuku a počítačem, jako řídícím systémem. Jako multimediální systém se označuje souhrn

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Transformátor trojfázový

Transformátor trojfázový Transformátor trojfázový distribuční transformátory přenášejí elektricky výkon ve všech 3 fázích v praxi lze použít: a) 3 jednofázové transformátory větší spotřeba materiálu v záloze stačí jeden transformátor

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

6. Transportní vrstva

6. Transportní vrstva 6. Transportní vrstva Studijní cíl Představíme si funkci transportní vrstvy. Podrobněji popíšeme protokoly TCP a UDP. Doba nutná k nastudování 3 hodiny Transportní vrstva Transportní vrstva odpovídá v

Více

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac 1/31 PLÁN PŘEDNÁŠKY

Více