Mřížkové kódování. Ivan Pravda

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Mřížkové kódování. Ivan Pravda"

Transkript

1 Mřížkové kódování Ivan Pravda

2 Autor: Ivan Pravda Název díla: Mřížkové kódování Zpracoval(a): České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Kontaktní adresa: Technická 2, Praha 6 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

3 VYSVĚTLIVKY Definice Zajímavost Poznámka Příklad Shrnutí Výhody Nevýhody

4 ANOTACE Modul se podrobně věnuje problematice a významu kódování v současných telekomunikačních sítích. Modul zahrnuje popis konvolučních kódů a vysvětlení principu jejich vlastností. Dále je zde uvedena problematika paralelního zřetězení související s implementací moderních typů kódovacích předpisů známých dnes jak tzv. TURBO kódy a zmíněny možnosti detekce prvků přenášené informační posloupnosti. CÍLE Student má možnost se podrobněji seznámit s problematikou kódování využívaného napříč různými typy telekomunikačních sítí. Výklad je v modulu podrobněji věnován konvolučním kódům v návaznosti na jejich možné paralelní zřetězení, které je promítnuto do implementace moderních TURBO kódů. Student zde najde popis a definici konvolučních kódů, chování kodérů a dekodérů příslušných kódů. V neposlední řadě jsou zde uvedeny možnosti a navržena možná řešení pro detekci jednotlivých prvků přenášené informační posloupnosti, tzv. tvrdé a měkké rozhodování. LITERATURA [1] Vlček, K.: Komprese a kódová zabezpečení v multimediálních komunikacích (2.vydání). Nakladatelství BEN technická literatura, Praha str. ISBN [2] Dobeš, J.; Žalud, V.: Moderní radiotechnika (1.vydání). Nakladatelství BEN technická literatura, Praha str. ISBN [3] Schlegel, Ch.: Trellis Coding. IEEE Press, New York p. ISBN [4] Adámek, J.: Kódování. Státní nakladatelství technické literatury (SNTL), Praha str. [5] Adámek, J.: Foundations od Coding: Theory and Applications of Error-Correcting Codes With an Introduction to Cryptography and Information Theory. John Wiley & Sons, Inc p. ISBN

5 Obsah 1 Konvoluční kódy Vlastnosti konvolučního kódování Rozdíl v popisu konvolučních kódů a kodérů Definice konvolučního kódu Definice kodéru konvolučního kódu Popisy chování konvolučního kodéru Minimální kódová vzdálenost konvolučního kódu Dekódování konvolučního kódu Konvoluční kódy řešitelné pomocí syndromu Tvrdé a měkké rozhodování Kódování konvolučního WA-kódu Dekódování a oprava chyb u WA-kódu Kodér WA-kódu Dekódování konvolučního WA-kódu Srovnání účinnosti Hammingova kódu a WA-kódu pro TV TURBO kódy Paralelní zřetězení Rekurzivní kodér Kodér TURBO kódu Dekódování Dekodér TURBO kódu Výkonnost TURBO kódu Závěrečný test... 44

6 1 Konvoluční kódy 1.1 Vlastnosti konvolučního kódování Obecně lze říci, že hlavním účelem zavádění různých typů kódů a kódovacích schémat, je zvýšení spolehlivosti přenosu informací nezávisle na metodách jeho zabezpečení (parita, cyklické kódy), což ve svém důsledku přináší podstatné zvýšení pravděpodobnosti bezchybného rozpoznání přijatého signálového prvku. Kodéry lze v zásadě rozdělit na dvě kategorie. První kategorii kodérů lze označit jako tzv. zdroje zpráv bez paměti. Toto označení vychází z rozboru činnosti kodérů. Jako zdroje zpráv bez paměti jsou označovány ty kodéry, které vždy, když je na jejich vstup přivedena informační posloupnost, se na jejich výstupu objeví kódová posloupnost. Jinými slovy řečeno, n-tice kódové posloupnosti je závislá POUZE na k-tici aktuální (právě zpracovávané) informační posloupnosti. Druhá kategorie kodérů je označována jako tzv. zdroje zpráv s pamětí. Do této kategorie spadají i konvoluční kodéry. Konvoluční kódy jsou předpisem pro kódový systém, který generuje kódová slova na základě obsahu rámce několika vstupních slov. To, jakým způsobem bude zakódována určitá informační posloupnost, tedy závisí nejenom na aktuální vstupní informační posloupnosti, ale také na m předchozích informačních slovech. Konvoluční kódy lze popsat pomocí generujících polynomů a generujících matic. Ze znalosti generujících polynomů, resp. generujících matic, lze odvodit postupy dekódování, které umožňují provádět vlastní opravu chyb. Nejznámějším postupem je tzv. Viterbiho algoritmus. Základní vlastností konvolučních kódů je LINEARITA. Tuto vlastnost je možné matematicky popsat pomocí následující relace v( x) = K u( x). Pro předpis kódování K, má-li splňovat požadavky exaktní řešitelnosti, pak musí platit, že: 1. Kód K je lineární, tj. K u( x) + u ( x) = K u( x) + K u ( x) a K t u( x) = t Ku( x). 2. Kód K je časově invariantní (stálý, neměnný), tzn. že časové zpoždění o k kroků na vstupu kodéru vyvolá odpovídající časové zpoždění o n kroků

7 na výstupu kodéru. Časová zpoždění jsou vyjádřena pomocí polynomů k k K x u( x) = x K u( x). 3. Kód K nevyžaduje zdroj s pamětí, jestliže je kódové slovo závislé pouze na aktuální k-tici informační posloupnosti a nikoliv na k-ticích, které byly na vstupu v době vytvoření předešlých kódových slov. V souvislosti s bodem 2., ve kterém je popisována podmínka časové invariantnosti, to znamená, že změna k symbolů informačního slova u na vstupu kodéru způsobí pouze změnu prvních n symbolů kódové zprávy na výstupu kodéru. 7

8 1.2 Rozdíl v popisu konvolučních kódů a kodérů Při popisu konvolučního kódování se často směšují definice pojmů konvoluční kód a konvoluční kodér. Pojmy konvoluční kód a konvoluční kodér jsou sice v úzkém vztahu, ale jsou to zároveň rozdílné pojmy. Abychom zabránili tomuto směšování, je nezbytné, abychom porozuměli rozdílům mezi příbuznými pojmy: konvoluční kodér, operace konvolučního kódování a konvoluční kód. Kodér je součástka nebo stroj, operace kódování je prováděna kodérem. Objekty, které jsou kódovány, jsou informační posloupnosti a odpovídající výstupy jsou kódové posloupnosti. Konečně pak konvoluční kód je soubor kódových posloupností, které odpovídají všem možným informačním posloupnostem. V souhrnu to znamená, že konvoluční kodér specifikuje strukturu obvodového zapojení a konvoluční kód pak udává strukturu kódových posloupností. Definice konvolučního kodéru, které lze nalézt v literatuře, se liší podle stupně zobecnění. Existují dvě úrovně matematická a obvodově realizační. Je zde však také i otázka pořadí, v nichž jsou pojmy kód a kodér definovány. V literatuře se opět objevují dva přístupy. První přístup definuje nejdříve pojem kód, a to jako k-rozměrný podprostor n-rozměrného vektorového prostoru nad vhodným tělesem, pojem kodér pak definuje jako matici o rozměrech n k, jejíž řádky jsou tvořeny bází kódu. Druhý přístup definuje pojem kodér jako lineární sekvenční obvod LSC (Linear Sequential Circuit) s k-vstupy a n-výstupy a pojem kód jako soubor výstupních posloupností generovaných kodérem pro všechny možné vstupní posloupnosti. Dle prvního přístupu je kód řádkem v generující matici kodéru, dle druhého přístupu realizuje LSC zobrazení mezi k-rozměrným a n-rozměrným vektorovým prostorem, jehož obrazovým souborem je kód. Srovnáním obou těchto přístupů zjistíme, že oba popisují totéž, i když v různém pořadí. 8

9 1.3 Definice konvolučního kódu Předpis pro konvoluční kódování K je vyjádřen linearitou a časovou invariantností. Podmínka, popisovaná jako zdroj zpráv bez paměti, pro konvoluční kódy NEPLATÍ. Na základě těchto poznatků je možné vyslovit nejobecnější definici konvolučního kódu. Nechť F je konečné těles. Jako konvoluční (n, k)-kód je míněn takový předpis K, který přiřazuje pro každý mnohočlen u(x) nad tělesem F mnohočlen K[u(x)], který je lineární a časově invariantní. Definice může být popsána také zapojením kodéru konvolučního kódu. Takový popis je pak ekvivalentní popisu pomocí tzv. generujícího polynomu. Konvoluční kodér může být tvořen ze dvou klopných obvodů posuvného registru, ze tří obvodů pro sčítání MODULO 2 a z dvoubitové výstupní vyrovnávací paměti, která v každém kroku, ve kterém kodér přijímá jeden bit informačního slova, vysílá dva bity kódového slova. Mezi vstupním a výstupním slovem je lineární vztah. Ke zpracování jsou použity pouze lineární prvky. Kodér konvolučního (2, 1)-kódu s g(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 5 Časová invariance obvodu se projevuje tím, že je-li před vstupní informační slovo zařazena jedna prodleva, tzn. jedna nula navíc, projeví se to na výstupu kodéru dvěma nulami před odpovídajícím kódovým slovem. Zadaný kodér realizuje konvoluční (2, 1)-kód. Na začátku pozorování je v posuvném registru nulový obsah. Odezva na symbol 1 na vstupu kodéru je kombinace symbolů 11 na výstupu kodéru. Při prvním posuvu je odezvou rovněž kombinace symbolů 11. Při druhém posuvu je odezva na výstupu kodéru kombinací symbolů 01. Při třetím posuvu jsou v posuvném registru již pouze symboly 0. Použijeme-li pro zápis mnohočlenů, můžeme předchozí operace zapsat následovně K[1] = = 1 + x + x 2 + x 3 + x 5. Platí časová invariantnost K[01] = , K[001] = , atd. Linearitu 9

10 kódu je možné ověřit tím, že vytvoříme rozklad slova 101 = a platí K[101] = K[1] + K[001] = Konvoluční kodéry jsou nejčastěji realizovány posuvnými registry s odlišnou rychlostí posuvu (viz následující obrázek). V jednom kroku, ve kterém je vytvořeno kódové slovo, dojde k posuvu na vstupu kodéru o k bitů informačního slova, ale na výstupu kodéru bude posuv o n bitů kódového slova. Obecné blokové schéma konvolučního kodéru Přepínač na vstupu kodéru slouží k převodu sériové bitové posloupnosti na vstupní paralelní kombinaci u t a přepínač na výstupu kodéru převádí kombinaci v t zpět na sériovou bitovou posloupnost. Významným parametrem konvolučních kódů je tzv. omezující délka (Constraint Length), která udává, kolik k-tic zdrojových symbolů ovlivňuje jednu n-tici kódových symbolů, respektive kolik n- tic kódových symbolů je ovlivňováno jednou k-ticí zdrojových symbolů. Kódový poměr je pak vyjadřován podílem k/n. 10

11 1.4 Definice kodéru konvolučního kódu Kodér je stroj, který přijímá k-tice u i jako vstupy v čase i a vytváří n-tice v i jako výstupy rovněž v čase i. Stroj má paměť tj. n-tice v i je výslednicí působení nejen k-tice u i, ale také informací obsažených v k-ticích u j, kde j i. Závislost kódové posloupnosti na zdrojové posloupnosti popisuje generující matice. Jako příklad kodéru konvolučního kódu je zadán následující kodér. Generující posloupnost kódu vypočítáme přivedením 1 na vstup. Výsledkem je posloupnost , které odpovídá generující mnohočlen g( x) = 1+ x+ x + x + x. Z generujících mnohočlenů je sestavena generující matice. V případě, že generujících mnohočlenů je více, jsou napsány pod sebou bez posunutí a tvoří blok o stejné délce. Další pokračování generující matice je vytvořeno s ohledem na počet výstupních bitů kódového slova v jednom kroku kódování. V tomto případě jsou v každém kroku vytvářeny dva bity, posunutí dalšího pokračování bude tedy o dvě pozice doprava. Generující matice má tedy tvar: G = Generující matice není ukončena, protože konvoluční kódy nemají blokovou strukturu. Pro zachycení zdrojové posloupnosti jsou většinou rozměry matice nepraktické. Pro výpočet kódových slov jsou výhodnější vyjádření pomocí mnohočlenů. Názornou grafickou možností popisu je tzv. mřížkový diagram (trellis diagram). Mřížkový diagram je grafickým znázorněním, které je ekvivalentní úplnému kódovému stromu, ale má sloučené shodné stavy. Pro kodér z předchozího příkladu je mřížkový diagram znázorněn na následujícím obrázku. Jednotlivé posloupnosti stavů jsou nazývány pojmem cesta (path). Nechť zdrojová posloupnost je Kódová posloupnost je Kodér je na počátku zprávy v nulovém stavu. Začátku zprávy odpovídá prvních pět kroků (0 až 4) v levé části obrázku. Pravá část obrázku ukazuje konec zakódované zprávy. Zdrojová posloupnost byla doplněna o nuly, které se nazývají pojmem 11

12 konec zprávy (tail of the message). Kódová posloupnost pokračuje tak, aby se kodér dostal po odeslání zdrojových bitů zpět do nulového stavu. Počet připojených nul je k(k-1). Výstupní kódová posloupnost je tedy Začátek a konec zprávy konvolučního kodéru (2, 1)-kódu s generujícím mnohočlenem g(x) = 1 + x + x 2 + x 4 + x 5 12

13 1.5 Popisy chování konvolučního kodéru Popis pomocí tabulky V následující tabulce se ukážeme odezvu na posloupnost u = [u 0 ; u 1 ; u 2 ] = [1;0;0] pro kodér podle obrázku 1 uvedeného v kapitole 3. Výstup za prvým registrem typu D je označen u t-1, výstup za druhým registrem u t-2. Ve výchozím klidovém stavu jsou oba registry vynulovány (ve sloupcích B a C tabulky jsou nuly) a na vstup přichází hodnota u 0 =1 (sloupec A tabulky), což odpovídá řádku 2 tabulky. Odezvou budou jedničky ve sloupcích F a G, tedy v 0 1 =1; v 0 2 =1. V následném stavu přejdeme podle hodnot v řádku 2 sloupců D a E u t-1 =1 a u t-2 = 0 a vstupní hodnotu u 1 = 0 do řádku 5 tabulky, kde se uvedená kombinace vyskytuje ve sloupcích A, B, C. Odezvou bude ve sloupcích F a G v 1 1 =1; v 1 2 =0. Obdobně získáme přechodem do řádku 3 hodnoty v 2 1 =1; v 2 2 =1. Tím jsme obdrželi dílčí výstupní posloupnosti v 1 = [1;1;1], v2= [1;0;1] a multiplexováním, tj. proložením bit po bitu obdržíme výstupní posloupnost v = [1;1;1;0;1;1]. Popis chování konvolučního kodéru pomocí tabulky Zdrojové Výchozí stav Následný stav Výstup bity A B C D E F G u t u t-1 u t-2 u t-1 u t-2 v 1 v Popis pomocí stavového diagramu Další možností pro popis funkce konvolučního kodéru je stavový diagram, který je opět pro stejný příklad z obrázku 1 uvedeného v kapitole 3. Stavy S 0, S 1, S 2, S 3, jsou stavy kodéru a odpovídají kombinacím u t-1 a u t-2 na výstupu registrů [0;0],[0;1],[1;0],[1;1]. Každý příchod vstupního bitu způsobí přechod do nového stavu. Stavový diagram má 2k větví vycházejících z každého stavu, každá větev je označena vstupními/výstupními hodnotami u t /v 1 v 2. Každá větev odpovídá jednomu řádku dle předchozí tabulky. 13

14 Stavový diagram konvolučního kodéru Popis pomocí mřížkového diagramu Znázorněním stavového diagramu v závislosti na čase dojdeme k reprezentaci tzv. mřížkovým diagramem (viz následující obrázek). Odtud také pochází název mřížkový kód resp. trellis kód. Větev je popsána vstupními/výstupními hodnotami kodéru stejně jako větve ve stavovém diagramu. Cesta zvýrazněná čárkovanou čarou odpovídá příkladu vstupní posloupnosti u = [1;0;0], pro kterou se prochází sledem stavů z počátečního S 0 přes S 2 a S 1 zpět do výchozího stavu S 0. Cesta zvýrazněná plnou čarou je příklad pro vstupní sekvenci u = [0;1;1;0;0]. Odpovídající výstupní posloupnost je pak v = [0;0;1;1;0;1;0;1;1;1]. Všechny uvedené způsoby popisu chování konvolučního kodéru jsou ekvivalentní, nicméně znázornění pomocí mřížkového diagramu je názorné s ohledem na přiblížení průběhu dekódování konvolučního kódu. 14

15 Mřížkový diagram konvolučního kodéru 15

16 1.6 Minimální kódová vzdálenost konvolučního kódu Konvoluční kódy jsou lineární, proto platí, že minimální kódová vzdálenost je rovna nejmenší Hammingově vzdálenosti nenulového kódového slova. Kódovým slovem je ovšem celá posloupnost, minimální kódová vzdálenost je rovna nejmenší Hammingově vzdálenosti nenulové kódové posloupnosti, která začíná a končí nulou. Tato minimální kódová vzdálenost je nazývána jako volná kódová vzdálenost a bývá označována d free. U jednoduchých kodérů můžeme tuto posloupnost stanovit přímo z grafického zobrazení. Hledaná kódová cesta v předchozím obrázku je vyjádřena kódovou posloupností Minimální kódová vzdálenost je tedy d free = 5 (kódová posloupnost obsahuje pět jedniček). Z toho můžeme poznat, že kód opravuje až dvojnásobné chyby v kódové posloupnosti. 16

17 1.7 Dekódování konvolučního kódu U konvolučních kódů není možné při dekódování zprávy stanovit dekódování deterministicky. Pracuje se pouze s nejpravděpodobnějším předpokladem toho, jaká zpráva byla vyslána. Zpráva s poruchou obsahuje chybu. I v této situaci jsme tedy pracovali s nejpravděpodobnějším řešením, když jsme stanovovali informační slova dekódováním. Pro nalezení nejpravděpodobnějšího odhadu slouží u konvolučních kódů tzv. Viterbiho algoritmus. Je to však jen jeden z několika možných způsobů dekódování konvolučního kódu odvozený již v roce Princip Viterbiho algoritmu je založen na vyhledávání nejmenší Hammingovy vzdálenosti dekódované posloupnosti od posloupnosti přijaté. Obrázek uvedený v kapitole 4 ukazuje všechny cesty, se kterými konvoluční kodér pracuje. Cesta, kterou hledáme, bude postupně zkoumána podle tohoto kritéria. Souhrn všech kroků této cesty se nazývá přijatá cesta. Předpokládejme nyní, že jsme ji určili pro každý stav mřížkového diagramu. Porovnáním kódových vzdáleností přijatých cest můžeme určit nejpravděpodobnější cestu, a tím i zdrojovou posloupnost pro daný časový úsek. Po příjmu dalších kódových n-tic se však může situace změnit. Rozhodnutí je proto potvrzeno až na konci zprávy. Po přijetí celé zprávy má být kodér v nulovém stavu. Jeho přijatá cesta určuje hledanou posloupnost. Je-li zdrojová posloupnost zakódována do posloupnosti kodérem konvolučního (2, 1)-kódu s generujícím polynomem g( x) = 1+ x+ x + x + x, pak při přenosu došlo ke dvěma chybám. Přijata byla totiž posloupnost Při určování nejpravděpodobnější cesty bude nyní použit Viterbiho algoritmus. Pro znázornění postupu řešení je použit mřížkový diagram. V následujícím obrázku jsou v mřížkovém diagramu plnou čarou znázorněny přijaté cesty a přerušovanou čarou zamítnuté cesty, a to v každém kroku řešení. Výrazně zesílenou čarou je vyznačen výsledný odhad. 17

18 Znázornění činnosti Viterbiho algoritmu U každého stavu jsou vyznačeny minimální vzdálenosti v daném okamžiku dekódování. Cestě s minimální vzdáleností odpovídá správná posloupnost zdrojových znaků Obě chyby jsou tedy opraveny. Viterbiho algoritmus poskytuje nejpravděpodobnější odhad vyslané zprávy až po přijetí celé zprávy. Zdlouhavost vyhodnocování cesty s minimální vzdáleností může způsobovat neúměrně velká zpoždění zprávy. U dlouhých posloupností vznikají velké nároky na kapacitu paměti, do které se ukládá pro každý stav cesta s minimální vzdáleností. 18

19 1.8 Konvoluční kódy řešitelné pomocí syndromu Nevýhodou Viterbiho algoritmu je jeho náročnost na počet numerických operací. Počet operací potřebný k dekódování L-znakové zdrojové posloupnosti je roven ( 1) L 2 k K. Proto se Viterbiho algoritmu používá pro dekódování kódů s relativně krátkými omezujícími délkami. Pro ilustraci je možné uvést, že při omezující délce K=7 konvolučního kódu je obvodová náročnost přibližně 8000 hradel. Závislost počtu operací na omezující délce K je exponenciální. Největší omezující délka, pro kterou bylo vytvořeno zapojení v podobě podpůrné paralelně pracující výpočetní jednotky, byla K=10. Nicméně velkých volných vzdáleností je možné dosáhnout jen při velkých omezujících délkách. Proto jsou pro dekódování kódů s velkými omezujícími délkami používány algoritmy, jejichž závislost je na omezující délce konstantní, a jsou označovány jako tzv. sekvenční algoritmy. Sekvenční algoritmus vychází ze známé pravděpodobnosti p chyby každého kódového symbolu. Vzdálenost cesty je pak v každém i-tém kroku přibližně rovna součinu i n p. Odhad cesty je volen ten, jehož kódová n-tice má nejmenší Hammingovu vzdálenost. Pro správnou funkci sekvenčního algoritmu je důležité správně zvolit práh rozhodování. Při malém prahu se dekodér neustále vrací zpět a při velkém prahu je špatná cesta detekována příliš pozdě. Nejpoužívanější sekvenční algoritmus je Fanoův algoritmus. Výčet konvolučních kódů, jejichž kodéry a dekodéry jsou snadno obvodově řešitelné, není příliš rozsáhlý. Řešení pro opravy vícenásobných chyb jsou velmi náročná. Většina z účinných konvolučních kódů byla objevena pomocí počítačové simulace. V dalším textu bude nejdříve popsána obecná třída konvolučních kódů, které jsou schopny opravovat jednoduché chyby. Na příkladu aplikace pak budou následovat experimentální výsledky, které ukazují, že kódy této třídy jsou účinné i při výskytu shlukových chyb. Třída konvolučních kódů, které opravují jednoduché chyby, nese název Wynerovy-Ashovy kódy (WA-kódy). Vlastnostmi jsou blízké Hammingovým kódům. Pro každé kladné m existuje Wyner-Ashův ((m+1)2 m, (m+1)(2 m 1))-kód. Kód je definován pomocí tzv. kontrolní matice H Hammingova (2 m 1, 2 m 1 m)-kódu. To je kontrolní matice m (2 m 1), ve které je každý ze sloupců nenulový. Sestavme tedy následující matici. Řádky jsou definovány jako soustava 1 (2 m -1) matic P 1 T,, P m T. Nechť P 0 T je řádkový vektor, jehož všechny (2 m -1) prvky jsou jedničky. Potom úplná kontrolní matice Wynerova-Ashova kódu má následující tvar: 19

20 H T P T T P1 0 P T T T P2 0 P1 0 P T = P T Pm T Pm 0 Zkrácená kontrolní matice je pak zapisována jako: T P T T P1 0 P T T T H = P2 0 P1 0 P T T T T Pm 0 Pm 1 0 Pm P0 1 Minimální vzdálenost Wynerova-Ashova kódu je d=3, a to znamená, že se jedná o konvoluční kód, který opravuje jednu chybu. 20

21 1.9 Tvrdé a měkké rozhodování V digitálních přijímačích většinou nemá výstupní signál demodulátoru vlivem šumu a interferencí zřetelnou podobu diskrétního binárního signálu, nýbrž spíše připomíná spojitý náhodný signál. Proto za demodulátorem následuje tzv. rozhodovací obvod, který rozhoduje, jakou logickou úroveň má demodulovaný signál v aktuálním bitovém intervalu. Tento obvod může vlastní proces rozhodování implementovat dvojí způsobem. Tvrdé rozhodování HD (Hard Decision), zvané též rozhodování bit po bitu, realizuje rozhodovací proces za pomoci prahového detektoru, který může být implementován např. jako napěťový komparátor. Jeho výstup je jednoznačně buď logická 1 (log 1), nebo logická 0 (log 0), a to podle toho zda úroveň vyhodnocovaného bitu je nad nebo pod jeho specifikovanou rozhodovací úrovní. Prahový detektor, obecně rozhodovací obvod, tedy kvantuje demodulovaný signál pouze do dvou hladin, tzn. binárně. Výstup rozhodovacího obvodu je následně přiveden na kanálový dekodér, který musí být uzpůsoben pro tento tvrdý vstup HI (Hard Input). Odhadnutý vzorek se poté ihned eliminuje a přistupuje se k odhadu vzorku následujícího. Tvrdé rozhodování má velkou výhodu v relativně jednoduché implementaci. Bohužel se při jeho aplikaci nevyužívají dva důležité typy informace, které v sobě demodulovaný signál nese. Nebere se v úvahu jednak kvalita zpracovávaného signálu, tj. jeho skutečná velikost, resp. energie, apod. Kromě toho se nevyužívá určitý typ korelace mezi po sobě následujícími symboly, kterou v sobě může obsahovat již vysílaný signál a k níž může dále přispívat i radiový kanál. Tím se ztrácí určité množství kontextuální (související) informace. Oba výše uvedené faktory ve svých důsledcích snižují věrohodnost rozhodovacího procesu. Měkké rozhodování SD (Soft Decision), zvané též rozhodování po kódových slovech, provádí opět rozhodovací obvod. Ten však oproti předchozímu typu rozhodovacího procesu kvantuje vzorky výstupního signálu demodulátoru nikoliv binárně, nýbrž do více kvantizačních úrovní než dvou. Předpokládejme, že je demodulovaný signál polární, to znamená, že úrovni log 1 odpovídá například napětí +1 V a úrovni log 0 následně napětí -1 V. V praxi se u takových binárních signálů často vystačí s tříbitovým kvantováním, poskytujícím množinu celkem osmi kvantizačních úrovní, označených čísly (-4, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4). Tato čísla reprezentují tzv. spolehlivostní faktor (reliability factor), resp. spolehlivostní metriku (reliability metric), poskytující přídavné 21

22 informace (side information, likelihood information, log-likelihood ratios) o amplitudě a případně i o dalších důležitých vlastnostech zpracovávaného bitu resp. symbolu. Čím vyšší je absolutní hodnota spolehlivostního faktoru, tím vyšší je i míra jistoty, že daný bit zaujímá uvažovanou aktuální pozici. Tedy např. hodnoty +4 resp. -4 poskytují vysokou míru důvěry, že úroveň bitu je +1 V resp. -1 V, kdežto např. při hodnotách +2 resp. -2 je důvěra v hodnotu bitu +1 V resp. -1 V podstatně nižší. Druhým přídavným činitelem uplatňujícím se při měkkém rozhodování je kontextuální (související) informace. Ta může být využita spolu se spolehlivostním faktorem různými způsoby, např. pro zvýšení věrohodnosti příjmu přijímaných bitů, resp. symbolů. Dokonalejší metoda dekódování s měkkým rozhodováním aplikuje jako metriku Euklidovu vzdálenost a díky tomu bere v úvahu nejen prostou velikost (amplitudu) jednotlivých bitů přijatého kódového slova, nýbrž i jejich poměr signál/šum. Ve výše uvedeném příkladu bylo uvažováno tříbitové, tj. osmiúrovňové kvantování výstupu demodulátoru. Některé systémy však aplikují mnohem dokonalejší téměř optimální kvantování do podstatně většího počtu úrovní. Tak například v buňkovém systému GSM se uplatňuje osmibitové kvantování výstupu demodulátoru do 256 úrovní. Výstup rozhodovacího obvodu potom přináší velice detailní přídavnou informaci o kvalitě zpracovávaného bitu resp. symbolu. Využití měkkého rozhodování je snadné u konvolučních kódů. Naproti tomu u blokových kódů je implementace této techniky obtížnější, i když vývoj z posledních let naznačuje, že principy měkkého rozhodování bude možné úspěšně aplikovat i zde. Měkké rozhodování přináší výrazné zlepšení tzv. kódového zisku, a to zejména při malých poměrech odstupu signálu od šumu. V kanálech se šumem AWGN je to o cca 2 až 3 db, v kanálech postižených navíc únikem vedoucím ke shlukům chyb potom dokonce o 4 až 6 db. 22

23 1.10 Kódování konvolučního WA-kódu Jak vyplývá z předchozích kapitol, jsou kontrolní bity konvolučních kódů vytvářeny jak vzhledem k informačním k bitům právě přenášeného bloku, tak k informačním bitům N-1 předcházejících bloků. Skupinu N bloků použitých k vytvoření zabezpečujících kontrolních bitů označujeme skupinovou délkou bloku. Při kódování se kontrolní bity přenášeného bloku vytvářejí ve vztahu k informačním bitům všech bloků obsažených ve skupině. Toto rozdělení konvolučního kódu na části zprávy je zavedeno kvůli snadnějšímu technickému řešení kodéru a dekodéru. Při dekódování se dekódované slovo vytváří ve vztahu k informačním bitům právě přenášeného kódového slova a kontrolním bitům celé skupiny. Takto uspořádané kódování a dekódování se nazývá kanálové kódování a kanálové dekódování. V praxi používaným kódem je Wynerův-Ashův konvoluční kód (WA-kód). Uspořádání WA-kódu tedy představuje konvoluční (n, k)-kód, který pro p = 1, 2, 3, vyhovuje podmínkám definovaným následujícími rovnicemi: počet bitů výsledného zabezpečeného slova je n = 2p, počet informačních bitů v bloku je k = 2p 1 = n 1, délka skupiny zabezpečovaných bloků je N = p + 1. Každému kódovému slovu o n bitech tedy přísluší jeden kontrolní bit pro celou skupinovou délku o N = p + 1 slovech. Kontrolní bit se vytváří funkcí XOR z vybraných informačních bitů bloku. Princip vytváření WA-kódu: a) kódování, b) dekódování 23

24 Při použití konvolučního kódu je zřejmé, že dekódovaná informace bude k dispozici až po dokončení přenosu skupiny bitů, ze kterých jsou vytvářeny kontrolní bity. Dekódované slovo je tedy možné získat až po uplynutí dopravního zpoždění, které vzniká při sériovém přenosu zprávy. 24

25 1.11 Dekódování a oprava chyb u WA-kódu Příklad konvolučního (8,7)-kódu ukazuje, že řádky vybraných pozic předcházejících N-1 kódových slov skupiny určuje ve dvojkové reprezentaci číslo odpovídající poloze informačních bitů v N-tém slově skupiny. Toho se využívá při dekódování. Při dekódování se vypočítávají bity syndromu na základě porovnání přijatých kontrolních bitů a kontrolních bitů odvozených z přijatých informačních bitů jednotlivých N kódových slov skupiny. Odvození probíhá podle stejných pravidel jako na straně vysílání zprávy. Pokud nevznikne během přenosu chyba, oba kontrolní bity souhlasí a syndrom odpovídá hodnotě 0. Nastane-li ovšem během přenosu chyba, kontrolní bity pak nesouhlasí a syndrom odpovídá hodnotě 1. Syndrom tedy lokalizuje přesnou polohu chyby ve dvojkovém vyjádření zprávy. Tato vlastnost vyplývá z konstrukce konvolučního kódu, neboť přijatý kontrolní bit je vytvářen funkcí XOR s ohledem na polohu informačních bitů v jednotlivých kódových slovech. V kódových slovech (posloupnostech) následujících za právě dekódovanou kódovou posloupností se příslušný kontrolní bit vytváří z chybně přenesené výchozí posloupnosti. V takovém případě bude chyba například v poloze prvního informačního bitu indikována nesouhlasem kontrolních bitů a lokalizována trojicí syndromů 100, neboť chyba v poloze prvního informačního bitu ovlivní kontrolní bit pouze následující kódové posloupnosti. Chyba v poloze druhého informačního bitu by ovlivnila pouze kontrolní bit druhého kódového slova. Projeví se tedy syndromem 010, atd. Jako ilustrace výše uvedených skutečností je uveden jednoduchý příklad pro N=4 (viz následující obrázek). Konvoluční kód o N kódových slovech V příkladu ilustrovaném na předchozím obrázku vyžaduje detekce a korekce jedné chyby celkem čtyř kontrolních bitů ve skupině bloků N=4, který má celkem 32 bitů (z toho 28 bitů je informačních). Teoretické omezení WA-kódu je na jednotlivou chybu ve 32 symbolech zprávy. Je zřejmé, že kód nevyžaduje zvláštní zabezpečování přenosu kontrolních bitů, neboť detekuje i chybu v kontrolním 25

26 bitu. Takovému případu odpovídá skupina syndromů tvořená symboly 1000, v nichž 1 signalizuje chybu v bloku 000 nultou polohu chybného bitu v kódové posloupnosti. Wynerův-Ashův konvoluční (8,7)-kód je využit např. ke zlepšení kvality televizního vysílání podle normy PAL. S ohledem na vysoké přenosové rychlosti se v této aplikaci předpokládá demultiplexování sériového PCM kódu. Přenos kontrolních bitů se provádí formou společného osmibitového slova kontrolních bitů. Kontrolní slovo obsahuje 2 4 bity pro dva informační bloky. Tímto uspořádáním se výrazně sníží šířka pásma výsledného multiplexovaného signálu, která by byla nutná, pokud by byla slova přenášena jako osmibitová. Vzorkovací kmitočet f vz = 13,3 MHz se zvýší pouze na hodnotu (15/14) 13,3 = 14,25 MHz. Hodnota zaváděné redundance je přitom pouze 1/15 = 0,07. Přitom je možné dosáhnout opravy jedné chyby v posloupnosti patnácti kódových slov. 26

27 1.12 Kodér WA-kódu Princip uspořádání vlastního kodéru blokového WA-kódu, který pracuje podle pravidel uvedených v předchozí kapitole, je znázorněn na následujícím obrázku. Posloupnost informačních bitů paralelního přenosového kanálu zaplní postupně sedmibitový posuvný registr PR. V posuvném registru jsou ukládány informační bity téže váhy ze sedmi po sobě následujících slov. Pro každý takový informační blok jsou provedeny operace logickou funkcí XOR a je uložen kontrolní bit S do paměťového obvodu P, jehož výstup je zpracováván operací logické funkce XOR s bitem, který vznikl jako kontrolní bit následujícího informačního slova. Skupinové schéma zapojení kodéru konvolučního (8,7)-kódu Tak je postupně vytvořen výsledný kontrolní bit, aniž je nutné vytvářet simultánní bloky celé skupiny N. Přitom je však nutné, aby paměťové obvody pracovaly rychlostí, která je rovna 1/7 rychlosti výstupních informačních bitů. Úplné uspořádání kodéru WA-kódu využívá pro čtyři nejvýznamnější bity kodéry z následujícího obrázku. 27

28 Skupinové schéma úplného kodéru WA-kódu V nezabezpečovaných kanálech, které jsou tvořeny nižšími čtyřmi bity, jsou zařazeny pouze posuvné registry pro vyrovnání časového zpoždění. Součástí úplného uspořádání kodéru je obvod pro vytváření sériového toku dat, který provádí multiplexování informačních a kontrolních bitů do formátu, v němž jsou všechny kontrolní bity dvou bloků seřazeny do osmibitového slova. Multiplexní obvod vytváří zprávu popsaného uspořádání na základě sdružení bitů informačních (MSB (Most Significant Bit) + LSB (Least Significant Bit)) a kontrolních bitů jednotlivých paralelních kanálů sdružených do společného osmibitového kontrolního slova. Výstupní paralelně-sériový převodník vytváří výslednou zabezpečenou zprávu v sériovém tvaru. 28

29 1.13 Dekódování konvolučního WA-kódu Dekódování konvolučního (8,7)-kódu spočívá ve vytvoření syndromů pro korekci chyb v kódové zprávě. Dekodér proto obsahuje základní Wynerův-Ashův kodér, který má za úkol generovat kontrolní bity zprávy na přijímací straně. Výstup tohoto kodéru se porovnává s příslušným přeneseným kontrolním bitem. Kontrolní bity se na přijímací straně ukládají postupně do N-členného posuvného registru PR. Výpočet bitů syndromu je zřejmý z následujícího obrázku. Při výpočtu je použit čítač, který vytváří dvojková čísla 001 až 111 rychlostí shodnou s rychlostí posuvu posuvného registru ve funkci vyrovnávací paměti. Obvody s logickou funkcí XOR vytvářejí logickou hodnotu 1 v případě neshody hodnoty syndromu a výstupu dvojkového čítače. Je-li současně detekována chyba ve skupině bloků, je první syndromový bit nastaven na hodnotu 1, je na výstupu logického obvodu součinu H 1 korekční signál v hodnotě 1. Tím je zajištěna oprava chyby v posloupnosti přenášené zprávy. Aby byl opravován správný bit zprávy obvodem H 2 a logickou funkcí XOR, je nutné, aby procházející zpráva byla zpožděna přídavným posuvným registrem, který zpozdí zprávu právě o dvacet jedna taktů zdroje synchronizace. Teprve potom je opravován právě chybný symbol. Schéma zapojení dekodéru Wynerova-Ashova (8,7)-kódu v jednom kanále V zapojení obvodu dekodéru je použito zapojení kodéru WA-kódu. V předchozím obrázku je nakreslen jako blok v místě vstupu přijaté zprávy. Skupinové schéma dekodéru pro všechny přenosové kanály je na následujícím obrázku. Zpráva vstupuje prostřednictvím sériově-paralelního převodníku do 29

30 obvodu demultiplexoru, ve kterém jsou nejdříve vytvořeny paralelní kanály informačních bitů. Skupinové schéma Wynerova-Ashova dekodéru (8,7)-kódu Každý ze zabezpečovaných kanálů bitů MSB obsahuje vlastní Wynerův-Ashův dekodér. Blok zpracování kontrolních bitů vytváří jednotlivé kontrolní bity ze složeného kontrolního slova. V nezabezpečovaných kanálech bitů LSB se provádí přídavným časovým zpožděním vyrovnávání skupiny příslušných bitů MSB a LSB. 30

31 1.14 Srovnání účinnosti Hammingova kódu a WA-kódu pro TV Použití blokových a konvolučních kódů, které umožňují detekci a opravu jednotlivých chyb, a po použití prokladu i krátkých skupinových chyb, je velmi často požadováno proto, že neodstraněné chyby způsobují po zpracování přijatého TV signálu rozsáhlé poškození tohoto signálu. Tento jev je možné vysvětlit tím, že před vlastním přenosem je signál podroben kompresi, aby nebylo nutné rozšiřovat šířku pásma TV kanálu. Zpráva podrobená kompresi tak obsahuje podstatně více informací, tj. je výrazně omezena redundance bitů a symbolů v přenášeném signálu (zprávě). Výskytem chyb je tedy přenášený komprimovaný signál poškozován mnohem více. V příjmu digitálního TV signálu se při dostatečném pokrytí území uvažuje jen malá pravděpodobnost výskytu chyby. Pro takové případy platí experimentální 2 vztah pc = β p, kde p c udává pravděpodobnost chyby v bitu p. Činitel β je přitom možné považovat za kritérium kvality pro hodnocení kódů. Pro n 1 Hammingův kód je činitel kvality kódu β H =, pro konvoluční WA-kód je 2 n (2N 1) 1 βwa =. 2 Odvození přechozích vztahů uvádí s velmi pečlivě provedenými experimentálními zkouškami prováděnými britskou BBC literární prameny [4] a [5]. Platí, že kvalitnější zabezpečovací kód se vyznačuje nižší hodnotou činitele β. Oba typy kódů jsou pro srovnání uvedeny v následující tabulce. Je zde také uvedeno i množství zaváděné redundance. Srovnání účinnosti Hammingova a WA-kódu pro TV Hammingův kód Wynerův-Ashův kód Typ Činitel Délka Činitel Redundance Typ (n,k) Redundance (n,k) β H N β WA (7,4) 0,429 3 (2,1) 2 0,500 2,5 (15,11) 0,267 7 (4,3) 3 0,250 9,5 (31,26) 0, (8,7) 4 0,125 27,5 (63,57) 0, (16,15) 5 0,063 71,5 Podle údajů uvedených v tabulce je možné konstatovat, že při zhruba stejné hodnotě redundance je Hammingovým kódem dosaženo lepšího činitele β. Realizace Hammingova kódu je však obvodově složitější. Pro účely použití při zabezpečení TV kanálu jsou vhodné Hammingův (31,26)-kód a Wynerův-Ashův (8,7)-kód. Z těchto dvou možností byl BBC doporučen Wynerův-Ashův (8,7)- 31

32 kód, a to nejen z hlediska jednodušší implementace, ale také proto, že má vhodnější vlastnosti při ochraně zpráv před vlivem skupinových chyb. Obojí vyplývá z kontextu výše uvedených zkoušek. Z výsledků provedených zkoušek dále vyplynulo, že vliv opravy skupinové chyby výrazněji ovlivňuje kvalitu obrazu než oprava chyb jednotlivých. Experimentální výsledky jsou dokladem o vhodnosti řešení a o dostatečné účinnosti implementačně relativně jednoduchého WA-kódu pro aplikaci v přenosových kanálech PCM s chybovostí do hodnoty Při přenosu nebo záznamu TV obrazu jsou nejčastější chyby skupinové, postihující najednou několik symbolů přenášené zprávy. Vysoká přenosová rychlost v digitální televizi však dovoluje aplikovat pouze implementačně jednoduché zabezpečovací kódy. Wynerův-Ashův kód vykazuje přijatelnou míru obvodové složitosti a přitom zajišťuje v dostatečné míře opravu jak u jednotlivých, tak u skupinových chyb. 32

33 2 TURBO kódy 2.1 Paralelní zřetězení Před uvedením TURBO kódů byly nároky na vysokou účinnost potlačení chyb v informačním kanálu řešitelné například konvolučním kódem s velkou hodnotou omezující délky kódu (tzv. délka kódového omezení). Podmínkou zde však byla velká délka vnitřní paměti kodéru konvolučního kódu. Dekódování takového konvolučního kódu bylo velmi komplikované. V roce 1993 byly poprvé popsány tzv. TURBO kódy. Dnes patří TURBO kódy k nejvýznamnějším objevům v teorii kódování. Jejich vlastnosti je řadí k nejdůležitějším efektivně použitelným kódům. TURBO kódy se stávají nejvážnějšími kandidáty nových průmyslových standardů pro připravované systémy v oblasti bezdrátového přenosu informace. TURBO kódy jsou vytvářeny jako paralelně zřetězené konvoluční kódy. Kodéry i dekodéry jsou tvořeny zřetězením dvou nebo více modulů. Moduly dekodérů jsou nazývány SISO (Soft-Input Soft-Output). Moduly SISO jsou propojeny rovněž navzájem několika bloky na proklad (Interleaver) a zpětný proklad (Deinterleaver) informace ve zprávě. Moduly dekodéru spolupracují podle interaktivního algoritmu, při kterém dochází k výměně dílčích výsledků dekódování mezi jednotlivými SISO moduly. Dekodér je v tomto uspořádání schopen se přiblížit, při dlouhých posloupnostech prokladu informace, hodnotám velmi blízkým limitní kapacitě kanálu. V dalších kapitolách bude vysvětlen základní princip TURBO kódů včetně řízení vlastností kódu, analýzy a zlepšování mezních parametrů návrhu základních kodérů a bloku prokladu informace ve zprávě. Základem účinnosti dekodéru je tzv. algoritmus interaktivního dekódování. Další principy zřetězení a použití prokladu, které zahrnuje sériové a hybridní zřetězení dekodérů je uváděno v souvislosti s typickými hodnotami využití limitních hodnot kapacity informačního kanálu. TURBO kódy jsou intenzivně zkoumány v souvislosti s použitím komunikace s omezeným výkonem zdroje zpráv (Space Communication). Téměř hotov je nový standard pro kódování telemetrických spojů. Doporučení pro CCSDS (Consultative Committee for Space Data Systems), pro ATM (Asynchronous Transfer Mode) i pro bezdrátové aplikace, pro kanály s velkým únikem, s digitálním satelitním přenosem a pro další aplikace digitálních komunikací jsou ve velmi pokročilém stádiu příprav. TURBO kódy představují novou třídu kódů pro kódové zabezpečení, jejichž dekódování je řešeno praktickou implementací. Srovnání vlastností bude v dalším textu provedeno v souvislosti s kodérem a dekodérem konvolučního kódu. Konvoluční kód může být realizován například kodérem s poměrem r = ½ s omezující délkou (Constraint Length) K = 3, která označuje celkový počet bitů informační zprávy zpracovávaných do výstupní kódové zprávy. 33

34 Pro popis kodéru konvolučního kódu je možné použít vstupní posloupnosti u a posloupností, které se podílí na výstupní kódové posloupnosti v (1) a v (2). V časovém okamžiku i se vstupní informační bit u i rozkládá na dva prvky uložené ve vnitřní paměti kodéru: u i-1 a u i-2. Popis zachycuje posloupnost hodnot, ze kterých jsou vytvářeny hodnoty výstupní. S ohledem na to, že se jedná o popis nekauzálního systému, je výhodnější používat pro popis vstupní posloupnosti mnohočlenu u(d), a pro popis výstupní posloupnosti mnohočlenu v(d), kde D je proměnná v obrazovém definičním oboru. Konvoluční kodér s poměrem r = 1/2 a s délkou kódového omezení K = 3 Generující matici kodéru konvolučního kódu dle předchozího obrázku je potom možné zapsat jako: (1) ( 2 ) 2 2 G( D) = g ( D ) g ( D ), G( D) = 1+ D 1+ D + D. Kódovou posloupnost v(d) odpovídající vstupní posloupnosti u(d) je možné (1) ( 2 ) zapsat jako u( D) G( D) = u( D) g ( D) u( D) g ( D). Stejná kódová (1) posloupnost vzniká také tehdy, je-li u'( D) = u( D) g ( D), přitom (1) udgd ( ) ( ) = udg ( ) ( DG ) R ( D), kde GR( D) 1 g g ( D) ( D) (2) = (1). Generující matice G R (D) se nazývá rekurzivní generující matice RGM (Recursive Generating Matrix). 34

35 2.2 Rekurzivní kodér Kodér konvolučního kódu pracující podle rekurzivní matice je označován jako kodér RSC (Recursive Systematic Convolutional encoder). Kódy mohou být konstruovány pomocí této rekurzivní matice jako systematické, u kterých je neměnné umístění kontrolních bitů v kódové posloupnosti. Systematický konvoluční kód má stejnou volnou kódovou vzdálenost jako konvoluční kód s nerekurzivní generující maticí v uspořádání dle obrázku z předchozí kapitoly. Uspořádání RSC kodéru rekurzivního systematického konvolučního kódu je na následujícím obrázku. RSC kodér 35

36 2.3 Kodér TURBO kódu TURBO kódy jsou kódovány paralelně zřetězenými kodéry RSC kódů. Kodéry jsou odděleny blokem prokladu dat. Příklad kodéru TURBO kódu je na následujícím obrázku. Zde jsou paralelně zřetězeny dva identické 1/2 RSC kodéry. Příklad kodéru TURBO kódu Horní kodér přijímá informační posloupnost přímo, zatímco spodní kodér přijímá data upravená v bloku prokladu podle funkce permutace α. Proklad je pseudonáhodný, to znamená, že symbol v poloze i je transformován do polohy α(i) podle předem daných, ale přesto náhodných pravidel. Blok prokladu pracuje na daném úseku posloupnosti symbolů. Dochází k výměně L bitů v jedné dávce zpracování, to znamená, že TURBO kódy jsou ve skutečnosti blokové kódy. Protože oba kodéry jsou systematické a pracují se stejnými symboly (přestože jsou tyto symboly přeházené permutací), je zřejmé, že může být odeslána pouze jedna kódová zpráva a přesto je možné ji dekódovat. Výsledný systematický kód je obvykle výstupem horního kodéru, zatímco systematický kód spodního kodéru není přenášen. Nicméně kontrolní symboly (bity) obou kodérů přenášeny jsou. Celkový kódový poměr dvou paralelně zřetězených systematických kódů s poměrem 1/2 je r = 1/3. Kódový poměr se může zlepšit tzv. zúžením (puncturing), což je proces vypuštění některých kontrolních bitů. Kódový poměr TURBO kódů je zpravidla zlepšen na 36

37 r = 1/2 tím, že jsou přenášeny pouze liché kontrolní bity horního kodéru a sudé kontrolní bity spodního kodéru (spolu se všemi informačními bity z horního kodéru). 37

38 2.4 Dekódování Dekodér konvolučního kódu pracuje tak, že hledá nejpravděpodobnější posloupnosti bitů v kódové posloupnosti, která je porušena chybami. Tzv. Viterbiho algoritmus řeší tento úkol s nejvyšší mírou pravděpodobnosti. { [ ]} mˆ = arg max P m y m Symbol ˆm představuje posloupnost bitů, která je získána z přijaté posloupnosti y. Rovnice je řešena například pomocí Viterbiho algoritmu. Je tím získána maximálně pravděpodobná přijatá posloupnost ML (Maximal Likelihood). U konvolučních kódů je možné získat řešení ML posloupnosti použitím předcházející rovnice, která je řešitelná Viterbiho algoritmem. Složitost tohoto algoritmu je úměrná hodnotě O(2 L ), kde L je velikost datového rámce (velikost bloku prokladu). Pro příliš velkou složitost výpočtu ML posloupnosti je u TURBO kódů využito suboptimálního řešení, které vyžaduje mnohem menší složitost výpočtu. Dobré výsledky poskytuje řešení následující soustavy rovnic Λ = (1) i log P mi = 1 y, y, z P mi = 0 y, y, z (0) (1) (2) (0) (1) (2) a Λ = (2) i log P m i = 1 y, y, z P m i = 0 y, y, z (0) (1) (2) (0) (1) (2), kde y (0) jsou přijaté informační bity, y (1) jsou přijaté kontrolní bity prvního kodéru a y (2) jsou přijaté kontrolní bity druhého kodéru. Vlnovka nad veličinou představuje hodnotu s prokladem, to znamená, že ỹ je hodnota odpovídající prokladu hodnoty y. Symbol Λ je aposteriorní logaritmický nejpravděpodobnější poměr LLR (Log-Likelihood Ratio) a z je tzv. extrinzická informace. Extrinzická informace je ve vztahu k LLR dle následujících rovnic: z =Λ y z a z =Λ y z. (1) (1) (0) (2) i i i i (2) (2) (0) (1) i i i i Soustava posledních čtyř rovnic je řešitelná iterativním postupem, který je naznačen v blokovém schématu dekodéru TURBO kódu v následující kapitole. Dekodér 1 určuje řešení Λ (1) (2) a dekodér 2 řeší Λ. Každým z dekodérů prochází informace ke druhému dekodéru a v něm dochází ke zlepšování aposteriorní pravděpodobnosti použitím informace odvozené v předcházejícím dekodéru. Konečného zlepšení přijatých dat zprávy je dosaženo po potřebném počtu iterací výpočtu. Výstup informace je vyveden obvykle z druhého dekodéru. 38

39 2.5 Dekodér TURBO kódu Algoritmus aposteriorní pravděpodobnosti LLR je možné vypočítat přímo pomocí tzv. MAP (Maximum A Posteriori) algoritmu. Výpočet však má velmi vysokou složitost a je citlivý k vyjádření čísel s konečnou přesností. Tyto problémy se zmírnily prováděním algoritmu v logaritmickém vyjádření veličin. Výsledný algoritmus je označovaný názvem Log-MAP algoritmus. Tyto algoritmy jsou sestaveny ze dvou Viterbiho algoritmů: jeden je prováděn v dopředné rekurzi a druhý ve zpětnovazební rekurzi (princip viz následující obrázek). Složitost Log-MAP algoritmu je tedy asi dvojnásobná ve srovnání s Viterbiho algoritmem. TURBO dekodér Blok prokladu informace ve zprávě je možné obecně znázornit jako paměťovou matici, do které se zapisuje po řádcích, a ze které se čte informace po sloupcích (příklad činnosti bloku prokladu viz následující obrázek). 39

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace Kódováni dat Před zpracováním dat například v počítači je třeba znaky převést do tvaru, kterému počítač rozumí, tj. přiřadit jim určité kombinace bitů. Tomuto převodu se říká kódování. Kód je předpis pro

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

VY_32_INOVACE_E 15 03

VY_32_INOVACE_E 15 03 Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory

Více

Informace, kódování a redundance

Informace, kódování a redundance Informace, kódování a redundance INFORMACE = fakt nebo poznatek, který snižuje neurčitost našeho poznání (entropii) DATA (jednotné číslo ÚDAJ) = kódovaná zpráva INFORAMCE = DATA + jejich INTERPRETACE (jak

Více

Kódování signálu. Problémy při návrhu linkové úrovně. Úvod do počítačových sítí. Linková úroveň

Kódování signálu. Problémy při návrhu linkové úrovně. Úvod do počítačových sítí. Linková úroveň Kódování signálu Obecné schema Kódování NRZ (bez návratu k nule) NRZ L NRZ S, NRZ - M Kódování RZ (s návratem k nule) Kódování dvojí fází Manchester (přímý, nepřímý) Diferenciální Manchester 25.10.2006

Více

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry 18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry Digitální voltmetry Základním obvodem digitálních voltmetrů je A/D

Více

25. DIGITÁLNÍ TELEVIZNÍ SIGNÁL A KABELOVÁ TELEVIZE

25. DIGITÁLNÍ TELEVIZNÍ SIGNÁL A KABELOVÁ TELEVIZE 25. DIGITÁLNÍ TELEVIZNÍ SIGNÁL A KABELOVÁ TELEVIZE Digitalizace obrazu a komprese dat. Uveďte bitovou rychlost nekomprimovaného číslicového TV signálu a jakou šířku vysílacího pásma by s dolním částečně

Více

Základní komunikační řetězec

Základní komunikační řetězec STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA NA PROSEKU EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Základní komunikační řetězec PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

Sekvenční logické obvody

Sekvenční logické obvody Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory

Více

Digitální modulace. Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206

Digitální modulace. Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206 EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206 Modulace analogových modulací modulační i

Více

íta ové sít baseband narrowband broadband

íta ové sít baseband narrowband broadband Každý signál (diskrétní i analogový) vyžaduje pro přenos určitou šířku pásma: základní pásmo baseband pro přenos signálu s jednou frekvencí (není transponován do jiné frekvence) typicky LAN úzké pásmo

Více

9. PRINCIPY VÍCENÁSOBNÉHO VYUŽITÍ PŘENOSOVÝCH CEST

9. PRINCIPY VÍCENÁSOBNÉHO VYUŽITÍ PŘENOSOVÝCH CEST 9. PRINCIPY VÍCENÁSOBNÉHO VYUŽITÍ PŘENOSOVÝCH CEST Modulace tvoří základ bezdrátového přenosu informací na velkou vzdálenost. V minulosti se ji využívalo v telekomunikacích při vícenásobném využití přenosových

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám Demonstrační cvičení 5 INP Princip kódování, pojmy Tady potřebujeme informaci zabezpečit, utajit apod. zpráva 000 111 000 0 1 0... kodér dekodér

Více

Analogově-číslicové převodníky ( A/D )

Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Převodníky analogového signálu v číslicový (zkráceně převodník N/ Č nebo A/D jsou povětšině založeny buď na principu transformace napětí na jinou fyzikální veličinu

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

Architektury počítačů a procesorů

Architektury počítačů a procesorů Kapitola 3 Architektury počítačů a procesorů 3.1 Von Neumannova (a harvardská) architektura Von Neumann 1. počítač se skládá z funkčních jednotek - paměť, řadič, aritmetická jednotka, vstupní a výstupní

Více

4. Co je to modulace, základní typy modulací, co je to vícestavová fázová modulace, použití. Znázorněte modulaci, která využívá 4 amplitud a 4 fází.

4. Co je to modulace, základní typy modulací, co je to vícestavová fázová modulace, použití. Znázorněte modulaci, která využívá 4 amplitud a 4 fází. Písemná práce z Úvodu do počítačových sítí 1. Je dán kanál bez šumu s šířkou pásma 10kHz. Pro přenos číslicového signálu lze použít 8 napěťových úrovní. a. Jaká je maximální baudová rychlost? b. Jaká je

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Zesilovače. Ing. M. Bešta

Zesilovače. Ing. M. Bešta ZESILOVAČ Zesilovač je elektrický čtyřpól, na jehož vstupní svorky přivádíme signál, který chceme zesílit. Je to tedy elektronické zařízení, které zesiluje elektrický signál. Zesilovač mění amplitudu zesilovaného

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích

PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích Část 2 Osnova Metody detekce chybovosti Pravděpodobnost chyby ve zprávě Parita Kontrolní blokový součet (pseudosoučet) Redundantní cyklické kódy Jiný způsob

Více

Disková pole (RAID) 1

Disková pole (RAID) 1 Disková pole (RAID) 1 Architektury RAID Základní myšlenka: snaha o zpracování dat paralelně. Pozice diskové paměti v klasickém personálním počítači vyhovuje pro aplikace s jedním uživatelem. Řešení: data

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

popsat princip činnosti základních zapojení čidel napětí a proudu samostatně změřit zadanou úlohu

popsat princip činnosti základních zapojení čidel napětí a proudu samostatně změřit zadanou úlohu 9. Čidla napětí a proudu Čas ke studiu: 15 minut Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět popsat princip činnosti základních zapojení čidel napětí a proudu samostatně změřit zadanou úlohu Výklad

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci Kapitola 4 Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci 4.1 Polyadické číselné soustavy a jejich vlastnosti Polyadické soustavy jsou určeny přirozeným číslem z, kterému se říká základ nebo báze dané

Více

Seriové ATA, principy, vlastnosti

Seriové ATA, principy, vlastnosti Seriové ATA, principy, vlastnosti Snahy o zvyšování rychlosti v komunikaci s periferními zařízeními jsou velmi problematicky naplnitelné jedním z omezujících faktorů je fyzická konstrukce rozhraní a kabelů.

Více

Spojité regulátory Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012. Spojité regulátory. Jednoduché regulátory

Spojité regulátory Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012. Spojité regulátory. Jednoduché regulátory Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory

Více

12 Metody snižování barevného prostoru

12 Metody snižování barevného prostoru 12 Metody snižování barevného prostoru Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro snižování barevného rozsahu pro rastrové obrázky. Postupně zde jsou vysvětleny důvody k použití těchto algoritmů

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Architektura počítačů

Architektura počítačů Architektura počítačů Studijní materiál pro předmět Architektury počítačů Ing. Petr Olivka katedra informatiky FEI VŠB-TU Ostrava email: petr.olivka@vsb.cz Ostrava, 2010 1 1 Architektura počítačů Pojem

Více

Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek

Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek Z čeho vycházíme = Vycházíme z Von Neumannovy architektury = Celý počítač se tak skládá z pěti koncepčních bloků: = Operační paměť = Programový řadič = Aritmeticko-logická

Více

Vrstvy periferních rozhraní

Vrstvy periferních rozhraní Vrstvy periferních rozhraní Cíl přednášky Prezentovat, jak postupovat při analýze konkrétního rozhraní. Vysvětlit pojem vrstvy periferních rozhraní. Ukázat způsob využití tohoto pojmu na rozhraní RS 232.

Více

Analogové modulace. Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206

Analogové modulace. Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206 EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Analogové modulace PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Podpora kvality výuky informačních a telekomunikačních technologií ITTEL CZ.2.17/3.1.00/36206 Modulace Co je to modulace?

Více

Teorie úlohy: Operační zesilovač je elektronický obvod, který se využívá v měřící, výpočetní a regulační technice. Má napěťové zesílení alespoň A u

Teorie úlohy: Operační zesilovač je elektronický obvod, který se využívá v měřící, výpočetní a regulační technice. Má napěťové zesílení alespoň A u Fyzikální praktikum č.: 7 Datum: 7.4.2005 Vypracoval: Tomáš Henych Název: Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití Teorie úlohy: Operační zesilovač je elektronický obvod, který se využívá v měřící,

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita V.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol Téma V.2.1 Logické obvody Kapitola 35 PL Měření posuvného

Více

5. A/Č převodník s postupnou aproximací

5. A/Č převodník s postupnou aproximací 5. A/Č převodník s postupnou aproximací Otázky k úloze domácí příprava a) Máte sebou USB flash-disc? b) Z jakých obvodů se v principu skládá převodník s postupnou aproximací? c) Proč je v zapojení použit

Více

... sekvenční výstupy. Obr. 1: Obecné schéma stavového automatu

... sekvenční výstupy. Obr. 1: Obecné schéma stavového automatu Předmět Ústav Úloha č. 10 BDIO - Digitální obvody Ústav mikroelektroniky Komplexní příklad - návrh řídicí logiky pro jednoduchý nápojový automat, kombinační + sekvenční logika (stavové automaty) Student

Více

Inovace tohoto kurzu byla spolufinancována z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky.

Inovace tohoto kurzu byla spolufinancována z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky. Inovace tohoto kurzu byla spolufinancována z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky. Projekt ESF OP VK reg.č. CZ.1.07/2.2.00/28.0209 Elektronické opory a e-learning pro obory výpočtového

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Základní principy přeměny analogového signálu na digitální

Základní principy přeměny analogového signálu na digitální Základní y přeměny analogového signálu na digitální Pro přenos analogového signálu digitálním systémem, je potřeba analogový signál digitalizovat. Digitalizace je uskutečňována pomocí A/D převodníků. V

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Strukturované programování

1 Strukturované programování Projekt OP VK Inovace studijních oborů zajišťovaných katedrami PřF UHK Registrační číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0118 1 Cíl Seznámení s principy strukturovaného programování, s blokovou strukturou programů,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Registry a čítače část 2

Registry a čítače část 2 Registry a čítače část 2 Vypracoval SOU Ohradní Vladimír Jelínek Aktualizace září 2012 Úvod Registry a čítače jsou častým stavebním blokem v číslicových systémech. Jsou založeny na funkci synchronních

Více

Title: IX 6 11:27 (1 of 6)

Title: IX 6 11:27 (1 of 6) PŘEVODNÍKY ANALOGOVÝCH A ČÍSLICOVÝCH SIGNÁLŮ Převodníky umožňující transformaci číslicově vyjádřené informace na analogové napětí a naopak zaujímají v řídícím systému klíčové postavení. Značná část měřených

Více

MODERNIZACE VÝUKY PŘEDMĚTU ELEKTRICKÁ MĚŘENÍ

MODERNIZACE VÝUKY PŘEDMĚTU ELEKTRICKÁ MĚŘENÍ Projekt: MODERNIZCE VÝUK PŘEDMĚTU ELEKTRICKÁ MĚŘENÍ Úloha: Měření kombinačních logických funkcí kombinační logický obvod XOR neboli EXLUSIV OR Obor: Elektrikář slaboproud Ročník: 3. Zpracoval: Ing. Jiří

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Petr

Více

Signál v čase a jeho spektrum

Signál v čase a jeho spektrum Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě

Více

ednáška a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda

ednáška a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda 2.předn ednáška Telefonní kanál a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda Telekomunikační signály a kanály - Při přenosu všech druhů telekomunikačních signálů je nutné řešit vztah

Více

Přejímka jedním výběrem

Přejímka jedním výběrem Přejímka jedním výběrem Menu: QCExpert Přejímka Jedním výběrem Statistická přejímka jedním výběrem slouží k rozhodnutí, zda dané množství nějakých výrobků vyhovuje našim požadavkům na kvalitu, která je

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Sylabus kurzu Elektronika

Sylabus kurzu Elektronika Sylabus kurzu Elektronika 5. ledna 2004 1 Analogová část Tato část je zaměřena zejména na elektronické prvky a zapojení v analogových obvodech. 1.1 Pasivní elektronické prvky Rezistor, kondenzátor, cívka-

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol

Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol CZ.1.07/1.5.00/34.0452 Číslo projektu Číslo materiálu Název školy CZ.1.07/1.5.00/34.0452 OV_1_36_měření DVB-C s

Více

PROFILOVÁ ČÁST MATURITNÍ ZKOUŠKY 2013 v oboru: 26-46-M/001 OBRAZOVÁ A ZVUKOVÁ TECHNIKA TECHNICKÉ ZAMĚŘENÍ

PROFILOVÁ ČÁST MATURITNÍ ZKOUŠKY 2013 v oboru: 26-46-M/001 OBRAZOVÁ A ZVUKOVÁ TECHNIKA TECHNICKÉ ZAMĚŘENÍ PROFILOVÁ ČÁST MATURITNÍ ZKOUŠKY 2013 v oboru: 26-46-M/001 OBRAZOVÁ A ZVUKOVÁ TECHNIKA TECHNICKÉ ZAMĚŘENÍ Ředitel školy vyhlašuje v souladu s 79 odst. 3 zákona č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním,

Více

Základy logického řízení

Základy logického řízení Základy logického řízení 11/2007 Ing. Jan Vaňuš, doc.ing.václav Vrána,CSc. Úvod Řízení = cílené působení řídicího systému na řízený objekt je členěno na automatické a ruční. Automatickéřízení je děleno

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 DOLOVÁNÍ V DATECH (DATA MINING) OBJEVUJE SE JIŽ OD 60. LET 20. ST. S ROZVOJEM POČÍTAČOVÉ TECHNIKY DEFINICE PROCES VÝBĚRU, PROHLEDÁVÁNÍ A MODELOVÁNÍ

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Popis programu EnicomD

Popis programu EnicomD Popis programu EnicomD Pomocí programu ENICOM D lze konfigurovat výstup RS 232 přijímačů Rx1 DIN/DATA a Rx1 DATA (přidělovat textové řetězce k jednotlivým vysílačům resp. tlačítkům a nastavovat parametry

Více

Paměti. Paměť je zařízení, které slouží k ukládání programů a dat, s nimiž počítač pracuje

Paměti. Paměť je zařízení, které slouží k ukládání programů a dat, s nimiž počítač pracuje Paměti Paměť je zařízení, které slouží k ukládání programů a dat, s nimiž počítač pracuje Paměti počítače lze rozdělit do tří základních skupin: registry paměťová místa na čipu procesoru jsou používány

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Rozšiřující desce s dalšími paralelními porty Rozšiřující desce s motorkem Elektrickém zapojení Principu činnosti Způsobu programování

Rozšiřující desce s dalšími paralelními porty Rozšiřující desce s motorkem Elektrickém zapojení Principu činnosti Způsobu programování 8. Rozšiřující deska Evb_IO a Evb_Motor Čas ke studiu: 2-3 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete něco vědět o Výklad Rozšiřující desce s dalšími paralelními porty Rozšiřující desce s motorkem

Více

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Kód výstupu:

Více

Obrazovkový monitor. Antonín Daněk. semestrální práce předmětu Elektrotechnika pro informatiky. Téma č. 7: princip, blokově základní obvody

Obrazovkový monitor. Antonín Daněk. semestrální práce předmětu Elektrotechnika pro informatiky. Téma č. 7: princip, blokově základní obvody Obrazovkový monitor semestrální práce předmětu Elektrotechnika pro informatiky Antonín Daněk Téma č. 7: princip, blokově základní obvody Základní princip proud elektronů Jedná se o vakuovou elektronku.

Více

1 SENZORY V MECHATRONICKÝCH SOUSTAVÁCH

1 SENZORY V MECHATRONICKÝCH SOUSTAVÁCH 1 V MECHATRONICKÝCH SOUSTAVÁCH Senzor - důležitá součást většiny moderních elektronických zařízení. Účel: Zjišťovat přítomnost různých fyzikálních, většinou neelektrických veličin, a umožnit další zpracování

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata? Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Obsah DÍL 1. Předmluva 11

Obsah DÍL 1. Předmluva 11 DÍL 1 Předmluva 11 KAPITOLA 1 1 Minulost a současnost automatizace 13 1.1 Vybrané základní pojmy 14 1.2 Účel a důvody automatizace 21 1.3 Automatizace a kybernetika 23 Kontrolní otázky 25 Literatura 26

Více

Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr

Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr. Zadání: A. Na předloženém kompenzovaném vstupní děliči k nf milivoltmetru se vstupní impedancí Z vst = MΩ 25 pf, pro dělící poměry :2,

Více

Číslicové obvody základní pojmy

Číslicové obvody základní pojmy Číslicové obvody základní pojmy V číslicové technice se pracuje s fyzikálními veličinami, které lze popsat při určité míře zjednodušení dvěma stavy. Logické stavy binární proměnné nabývají dvou stavů:

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Semestrální práce z předmětu X37CAD (CAD pro vysokofrekvenční techniku)

Semestrální práce z předmětu X37CAD (CAD pro vysokofrekvenční techniku) NÁVRH ÚZKOPÁSMOVÉHO ZESILOVAČE Semestrální práce z předmětu X37CAD (CAD pro vysokofrekvenční techniku) Číslo zadání 32 Jméno: Kontakt: Jan Hlídek hlidej1@feld.cvut.cz ( hlidek@centrum.cz ) ZADÁNÍ: Návrh

Více

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 1.3 2/14

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 1.3 2/14 ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 1.3 2/14 Co je vhodné vědět, než si vybereme programovací jazyk a začneme programovat roboty. 1 / 14 0:40 1.3. Vliv hardware počítače na programování Vliv

Více

3.cvičen. ení. Ing. Bc. Ivan Pravda

3.cvičen. ení. Ing. Bc. Ivan Pravda 3.cvičen ení Úvod do laboratorních měřm ěření Základní měření PCM 1.řádu - měření zkreslení Ing. Bc. Ivan Pravda Měření útlumového zkreslení - Útlumové zkreslení vyjadřuje frekvenční závislost útlumu telefonního

Více

Mikroprocesorová technika (BMPT)

Mikroprocesorová technika (BMPT) Mikroprocesorová technika (BMPT) Přednáška č. 10 Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. Obsah přednášky Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Dekadická, binární, hexadecimální

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu

1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu 1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu Cíle kapitoly: Cílem úlohy je ověřit teoretické znalosti při provozu dvou a více transformátorů paralelně. Dalším úkolem bude změřit

Více