UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.21) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smk@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 2 Monotónnost funkce. Lokální etrém Vztah mezi směrnicí tečn v bodě (f ( )) a monotónností funkce v bodě Jestliže tečna funkce f() v bodě roste (f ( ) > ), pak roste v bodě i funkce f(). Jestliže tečna funkce f() v bodě klesá (f ( ) < ), pak klesá v bodě i funkce f(). Jestliže je tečna funkce f() v bodě konstantní (f ( ) = ), pak se v bodě mění nebo nemění monotónnost funkce f(). f() 1 2 f() 1 1 f() f() 4

3 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 3 Změna monotónnosti v bodech, kde funkce f() není definovaná V bodech, kde funkce f() není definovaná, se mění nebo nemění monotónnost funkce f(). = 1 = 1/ = 2 = 1/ 2 = tan = cot π π π π VĚTA (Vztah mezi monotónností v bodě a monotónností na intervalu). Funkce je rostoucí na otevřeném intervalu právě tehd, kdž je rostoucí v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je klesající na otevřeném intervalu právě tehd, kdž je klesající v každém bodě tohoto intervalu.

4 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 4 VĚTA (Vztah mezi derivací funkce na intervalu a monotónností na intervalu). Nechť má funkce f() derivaci na otevřeném intervalu (má derivaci v každém bodě intervalu). Pak jestližef () > pro každézintervalu, pak jef() na intervalu rostoucí jestližef () < pro každézintervalu, pak jef() na intervalu klesající DEFINICE (Lokální etrém - lokální maimum a minimum). Nechť je funkce f() v bodě definovaná. Řekneme, že funkce má v tomto bodě lokální maimum, jestliže pro každé z rzího okolí bodu platí f( ) f() lokální minimum, jestliže pro každé z rzího okolí bodu platí f( ) f()

5 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 5 VĚTA (Vztah mezi lokálními etrém v bodě a derivací v bodě ). Nechť má funkce f() v bodě lokální etrém a nechť eistuje derivace funkce v bodě f ( ). Pak f ( ) =. DEFINICE (Stacionární bod). Bod, pro který platí, že f ( ) =, se nazývá stacionární bod. (Je to tzv. podezřelý bod z etrému - bude nebo nebude zde lokální etrém.)

6 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 6 Postup při zjišťování monotónnosti funkce = f() a etrémů funkce Vpočítáme derivaci funkce = f () Vpočítáme, v jakých bodech je derivace rovna nule - stacionární bod. (Jsou to bod, kde se může měnit monotónnost, ted zde funkce může mít lokální etrém.) = Pokud je = zlomek, vpočítáme i nulové bod jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí i na znaménku jmenovatele!!! Vpočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná. (Jsou to bod, kde se může měnit monotónnost.)

7 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 7 Nalezené bod vznačíme na číselné ose. (Bod, kde f() není definovaná budou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů. Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do derivace. Kdž vjde kladné číslo, v celém intervalu funkce roste, kdž vjde záporné číslo, v celém intervalu funkce klesá. V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde monotónnost, má funkce lokální etrém. Změna + na je maimum. Změna na + je minimum. Kdž má funkce v bodě etrém, jeho souřadnice na funkci jsou[,f( )]. Ted -ovou souřadnici vpočítáme dosazením do předpisu funkce, čímž vpočítáme funkční hodnotu v bodě.

8 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 8 Konvenost, konkávnost. Inflení bod DEFINICE (Konvenost, konkávnost ). Funkce f() má v bodě derivaci. Pak je konvení v bodě, jestliže pro všechna z rzího okolí bodu leží graf funkce f() nad tečnou sestrojenou ke grafu funkce f() v bodě. Ted f() > f ( ) ( )+f( ) konkávní v bodě, jestliže pro všechna z rzího okolí bodu leží graf funkce f() pod tečnou sestrojenou ke grafu funkce f() v bodě. Ted f() < f ( ) ( )+f( ) f() f() f() f()

9 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 9 konvení (konkávní) na otevřeném intervalu, jestliže je konvení (konkávní) v každém jeho bodě VĚTA (Vztah konvenosti a konkávnosti s druhou derivací v bodě ) Nechť má funkce f() druhou derivaci v bodě. Je-li f ( ) >, pak je funkce f() konvení v bodě f ( ) <, pak je funkce f() konkávní v bodě VĚTA (Vztah konvenosti a konkávnosti s druhou derivací na intervalu) Nechť má funkce f() druhou derivaci na otevřeném intervalu. Je-li f () > pro každé z intervalu, pak je funkce f() konvení na intervalu f () < pro každé z intervalu, pak je funkce f() konkávní na intervalu

10 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 1 DEFINICE (Inflení bod) Bod na funkci, ve kterém eistuje ke grafu funkce právě jedna tečna a graf funkce v něm přechází z konveit do konkávit (nebo naopak), tj. z jedné stran tečn na druhou, se nazývá inflení bod. Funkce f() může mít inflení bod v takovém bodě, kde f ( ) = f() f() f ( ) neeistuje f()

11 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 11 Postup při zjišťování konvenosti, konkávnosti a infleních bodů funkce f() Vpočítáme druhou derivaci funkce = f () Vpočítáme, v jakých bodech je druhá derivace rovna nule. (Jsou to bod, kde se může měnit konvenost na konkávnost (nebo naopak), ted zde funkce může mít inflení bod.) Pokud je = = zlomek, vpočítáme i nulové bod jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí i na znaménku jmenovatele!!! Vpočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná. (Jsou to bod, kde se může měnit konvenost na konkávnost (nebo naopak).)

12 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 12 Nalezené bod vznačíme na číselné ose. (Bod, kde f() není definovaná budou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů. Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do druhé derivace. Kdž vjde kladné číslo, v celém intervalu je funkce konvení, kdž vjde záporné číslo, v celém intervalu je funkce konkávní. V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde konvenost na konkávnost (nebo naopak), má funkce inflení bod. Kdž je inflení bod funkce, jeho souřadnice na funkci jsou [,f( )]. Ted -ovou souřadnici vpočítáme dosazením do předpisu funkce, čímž vpočítáme funkční hodnotu v bodě.

13 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 13 Asmptot funkce DEFINICE (Asmptota funkce). Asmptota funkce je přímka, ke které se funkce f() nekonečně blíží. = = = : = : = : = 1 : = : = 1 se směrnicí - přímka, která je lineární funkce = a+b. Může být pouze v nevlastních bodech ±. bez směrnice - přímka kolmá na osu, ted to není funkce. Může být pouze v bodech nespojitosti - většinou v bodech, kde funkce není definovaná.

14 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 14 VĚTA (Asmptota se směrnicí). Přímka, která je lineární funkce = a+b, je asmptota se směrnicí grafu funkce f() v nebo v, právě kdž a = lim f() R, b = lim (f() a ) R nebo f() a = lim R, b = lim (f() a ) R VĚTA (Asmptota bez směrnice). Přímka =, která je kolmá na osu, je asmptota bez směrnice grafu funkce f(), právě kdž v bodě, ve kterém f() není definovaná, nastane alespoň jeden z případů: lim f() =, lim f() =, lim + f() =, lim + f() =

15 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 15 Průběh funkce Ze zadaného předpisu funkce = f() postupně počítáme různé vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme její graf. Postup při všetřování průběhu funkce = f() Definiční obor Znaménko funkce, neboli kde je funkce nad osou a kde je pod osou, neboli kde je funkce kladná a kde záporná. Průsečík s osou a osou Parita - sudá, lichá, ani jedno, obojí Monotónnost a lokální etrém - pomocí první derivace Konvenost, konkávnost a inflení bod - pomocí druhé derivace Asmptot se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit Graf

16 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 16 Příklad. Všetřete průběh funkce: 1. = 3 3 Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. Definiční obor: D(f) = R Znaménko funkce (f() > kladná, f() < záporná): 3 3 > 3 3 < (3 2 ) > (3 2 ) < ( 3 )( 3+) > ( 3 )( 3+) < Nulové bod:, 3, Kladná: (, 3) (, 3) Záporná: ( 3,) ( 3, ) 3

17 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 17 Průsečík s osou ( = ), průsečík s osou ( = ): = = = 3 3 = 3 3 = (3 2 ) = = ( 3 )( 3+) S osou : [,],[ 3,],[ 3,] S osou : [,] Parita - sudá (f() = f( )), lichá (f() = f( )), ani jedno, obojí f() = 3 3 f() = 3 3 f( ) = 3( ) ( ) 3 [f( )] = [ 3+ 3] f( ) = 3 ( 3 ) = 3+ 3 f( ) = 3 3 f() f( ) f() = f( ) Není sudá, je lichá.

18 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 18 Monotónnost a lokální etrém - pomocí první derivace = (3 3 ) = (3) ( 3 ) = 3() 3 2 = Nulové bod: 1, 1 = = 3(1 2 ) = 3(1 )(1+) = ց ր ց Roste: ( 1,1) Klesá: (, 1) (1, ) V bodě = 1 je lokální minimum a v bodě = 1 je lokální maimum. Lokální minimim: f( 1) = 3 ( 1) ( 1) 3 = 2. Souřadnice [ 1, 2]. Lokální maimum: f(1) = = 2. Souřadnice [1,2].

19 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 19 Konvenost, konkávnost a inflení bod - pomocí druhé derivace = (3 3 2 ) = (3) (3 2 ) = 3( 2 ) = 3 2 = 6 Nulové bod: Konvení: (,) Konkávní: (, ) + = 6 = = Inflení bod je =. Inflení bod: f() = 3 3 =. Souřadnice [,].

20 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 2 Asmptot se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit se směrnicí = a+b : a = lim = lim = lim f() = = = lim 2 = : a = lim = = lim = lim f() = = = = lim 2 = a / R Asmptota v neeistuje. a / R Asmptota v neeistuje. Ani v jednom případě nemá smsl počítat b.

21 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 21 bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f() není definovaná Graf Definiční obor funkce D(f) = R. Nejsou bod, kde bchom hledali asmptotu. Asmptot bez směrnice neeistují

22 MT MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 22 Cvičení = = = 2 2 1