4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
|
|
- Vojtěch Beránek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis: Funkce f je zobrazení, které každému prvku x přiřazuje nejvýše jedno reálné číslo y f: y = f(x) Rozhodni, zda jde o funkci: A = {[3,0],[-3,0],[-2,-1],[0,3],[-2,0]} B = {[π,0],[-π,π],[-2,-1],[-1,-2]} C = {[0,0],[-1,-1],[-2,-2],[1,1]} D = {[-1,1],[-2,2],[2,-2],[-1,-2]} Kartézská soustava souřadnic: Zakresli body: A [3,2], B[0,-4], C[1,1], D[-5,-5], E[3,-1], F[-4,0], G[1/4,-1], H[3,1] Graf funkce: je v kartézské soustavě souřadnic množina všech bodů roviny [x,f(x)] na vodorovnou osu x se nanáší proměnná x na svislou osu y se nanáší funkční hodnoty f(x)=y Rozhodni, které z grafů jsou funkce:
2 Funkce - úvod 2/27 Určení funkce: 1. Rovnicí: f: y = x-2 2. Grafem 3. Tabulkou x y Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]} Funkční hodnota: f(x) Je dána funkce f: y = 2x+3 Vypočti funkční hodnoty: Vypočti hodnoty x: f ( 3 ) = f ( ) = 3 f ( -1) = f ( ) = 1 f ( 0 ) = f ( ) = 5 f ( 2 ) = f ( ) = -3 f (-4) = f ( ) = 0 Definiční obor funkce: D(f) množina všech reálných čísel, pro které je fce definována (které můžeme za x dosadit) Obor hodnot funkce: H(f) množina všech reálných čísel y, která jsou danou funkcí přiřazena prvkům jejího def. oboru Urči, zda se jedná o funkci a napiš definiční obor a obor hodnot:
3 Funkce - úvod 3/27 Načrtni grafy funkcí, které mají D(f): a) D(f) = R - {1} b) D(f) = <-3;8> c) D(f) = (0; 5) Načrtni grafy funkcí, které mají H(f): a) H(f) = R - {1} b) H(f) = <-3;8> c) H(f) = (0; 5) Monotónnost funkce: Funkce f je rostoucí, jestliže platí x 1, x2 R : x1 < x2 y1 < y2 Funkce f je klesající, jestliže platí x1, x2 R : x1 < x2 y1 > y2 Funkce f je konstantní, jestliže platí x 1, x2 R : y1 = y2 rostoucí klesající konstantní
4 4/27 LINEÁRNÍ FUNKCE Základní pojmy: Lineární funkce, konstantní funkce, monotónnost funkce, přímá úměrnost Opakování: Funkce, graf Lineární funkce: Každá funkce daná rovnicí y = ax + b, kde a, b R. Grafem každé lineární funkce je přímka. K sestrojení grafu funkce stačí znát 2 body. 1. a = 0, b 0... y = b 2. a 0, b = 0... y = ax konstantní funkce přímá úměrnost 3. a > 0 4. a < 0 rostoucí funkce klesající funkce
5 Lineární funkce 5/27 Příklady: 1. Sestrojte graf funkce, urči D, H a) y = 2x, x ( 3, 2 1 b) y = x, x 2,7) 2 c) y = 2x + 1, x (, 0 2. Určete, zda body [ 1,3 ], B[ 0,5 ], C[ 1,4] d) y = 5x 2, x 2, e) y = 5, x 1,6) f) y = 2, x 2, ) A leží na grafu funkce f : y = x Urči průsečíky s osou x a y: a) b) f1 : y = 4x + 1 f : y = x 1 2 c) f : y 3x 3 = d) f4 : y = 2 4. Napište rovnici přímé úměrnosti, jejíž graf prochází bodem: a) A[3,-2] b) B[1, 1 / 2 ] c) C[-5,-2] 5. Určete rovnice funkce, jejíž graf prochází body: A 1,3, B 2, 1 a) [ ] [ ] b) A [ 2, 4 ], B[ 5,7] c) A [ 3,5 ], B[ 1,0] d) A[ 4, 4 ], B[ 5, 5] 6. Pro lineární funkci f platí f (-2) = 2 a f (3) = -1. Hodnota f (1) je rovna: A/ - B/ C/ D/ E/ Lineární funkce f nabývá pro x = -2 hodnoty -14, pro x = 5 hodnoty 14. Hodnoty 28 nabývá pro: A/ x = 12 B/ x = C/ x = 14 D/ x = E/ x = Určete rovnice funkcí znázorněných grafy na obrázku. f3 f1 f 2
6 Lineární funkce 6/27 9. Na kterém obrázku je graf funkce, která je pro x < 0 dána předpisem y = -x a pro x 0 předpisem y = 0? 10. Je dána funkce y= -3x. Její graf posuneme o jednu jednotku délky ve směru kladné poloosy x. Získáme tak graf funkce. A/ y = -3x+1 B/ y = -3x+1 C/ y = -3x+3 D/ y = x+3 E/ y = x Graf lineární funkce f prochází body K [ 3, 2], L [ 1, 4]. a) Sestavte předpis pro funkci f. b) Zjistěte, zda bod M[6, 1 / 2 ] leží na grafu funkce f. c) Určete průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic. d) Určete, pro které hodnoty nezávislé proměnné jsou hodnoty funkce f větší než Pro lineární funkci f: y = -2x + 5 určete: a) f(5), f(2), f(0), f(-3). b) hodnoty proměnné x 1, x 2, pro něž je f(x 1 ) = 1, f(x 2 ) = -8. c) souřadnice průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami x, y.
7 7/27 LINEÁRNÍ ROVNICE, NEROVNICE Základní pojmy: Lineární rovnice, lineární nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Opakování: Lineární funkce, řešení základních rovnic, graf funkce, úpravy výrazů Lineární rovnice: rovnice ax + b = 0, kde a, b R, a 0, x je neznámá lineární se nazývají i další rovnice, které lze na rovnici ve tvaru ax + b = 0 převést množina všech řešení (obor pravdivosti) P (např. P={6}) nebo K (např. K={6}) Ekvivalentní úpravy: výměna levé a pravé strany rovnice přičtení (odečtení) téhož čísla k oběma stranám rovnice vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem Řešení rovnice: členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu Možné výsledky řešení: rovnice má 1 řešení: ( 5x - 4) -x = 2(x+4) P = { } rovnice má nekonečně mnoho řešení: ( 5x - 4) -x = -4(1- x) P = rovnice nemá řešení: -x - ( 4-5x) = 4(-2+ x) P = { } Příklad:
8 Lineární rovnice, nerovnice 8/27 Speciální rovnice: rovnice se zlomky - obě strany vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem lomených výrazů 2( x 4) 3x (2x 3) + = 7 P = { 49} rovnice s desetinnými čísly vynásobit a přejít na počítání s přirozenými čísly P = { 2} 0,8(3x 5) 0,5(2x 8) = 2 + 0, 4x neznámá ve jmenovateli vynásobíme obě strany rovnice nejmenším společným jmenovatelem s neznámou určíme podmínky řešitelnosti 3 + 4x 3 x 1 = P = R { 0, 1} 2 x + x x x + 1 rovnice v součinovém tvaru - součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule ( x 2).( x + 5) = 0 P= ( x rovnice v podílovém tvaru - zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů se rovná nule 2).( x + 5) = 0 x + 4 P=
9 Lineární rovnice, nerovnice 9/27 Lineární nerovnice: nerovnice ax + b < 0 (ax+b > 0, ax+b 0, ax+b 0), kde a, b R, a 0, x je neznámá platí ekvivalentní úpravy pro řešení rovnic při násobení obou stran rovnice záporným výrazem je nutno obrátit znak nerovnosti množina všech řešení (obor pravdivosti) P, K (např. P = (6, ) nebo K = (6, )) Možné výsledky řešení: neomezený interval: -(5x - 4) + x < -2(x + 4) P = (6, ) množina všech čísel z D: (5x - 4) - x < 4(2 + x) P = R rovnice nemá řešení: (5x - 4) - x > 4(2 + x) P = { } Příklad:... P = { 1,2,3,4 }
10 10/27 LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE, NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Základní pojmy: Lineární funkce, rovnice a nerovnice s abs. hodnotou Opakování: Lineární funkce, rovnice a nerovnice Definice absolutní hodnoty Lineární funkce s absolutní hodnotou: určíme nulový bod - intervaly a řešíme samostatně v jednotlivých intervalech výsledek je sjednocení obou řešení Je-li v úloze více absolutních hodnot, zvýší se počet nulových bodů a tím i počet intervalů v tabulce. Pro x 0 je x = x Pro x 0 je x = -x f: y = x g: y = x -2 h: y = x-3 f: y = x + s získáme posunutím grafu funkce y = x o s jednotek nahoru po ose y. f: y = x - t získáme posunutím grafu funkce y = x o t jednotek doprava po ose x.
11 Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 11/27 Příklad: y = 2 x Příklad: y = x + 2 x Příklad: y = x 3 x x
12 Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 12/27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou: jednoduché rovnice řešíme pomocí definice abs. hodnoty Příklad: x 2 = 3 P = P = P = P = P = P = rovnice s více abs. hodnotami vyřešíme v jednotlivých intervalech a ověříme, zda výsledek padne do daného intervalu obor pravdivosti je sjednocení daných výsledků Příklad: x 4 = 3x 2 nulový bod... x=4 P = Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: řešíme jako rovnice obor pravdivosti je sjednocení daných intervalů Příklad: x 2 3 x 4 < 3x 2 P= P=
13 13/27 SOUSTAVY ROVNIC Základní pojmy: Soustavy rovnic o 2 a více neznámých Opakování: Řešení rovnic, úpravy výrazů, grafy lin. fcí Soustavy 2 rovnic o 2 neznámých:, kde a 1,a 2,b 1,b 2,c 1, c 2 jsou R, x, y je neznámá množina všech řešení uspořádaná dvojice P (např. P={[6,4]}) Metody řešení: dosazovací metoda P={[1,2]} sčítací metoda P = {[1,-2]}
14 Soustavy rovnic 14/27 srovnávací metoda P = {[1,2]} x + 3y = 7 x = x + y = 1 x = grafické řešení vyjádřit rovnice ve tvaru y = kx + q
15 Soustavy rovnic 15/27 Možné výsledky řešení: uspořádaná dvojice: 2x + y = 3 2x y = 3 P = {[, ]} nekonečně mnoho řešení: 2x y = 3 4x + 2y = 6 (0.x = 0) P ={[x, y] RxR; y = 2x + 3} soustava nemá řešení: (0.x = c) 4x + 2y = 6 8x 4y = 4 P = { }
16 Soustavy rovnic 16/27 Soustavy lineárních rovnic o 3 neznámých: Dosazovací metoda (z jedné rovnice vyjádříme neznámou, dosadíme do zbylých dvou) a potom řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2 x = 1 y 2z P = {[1,2,-2]} Sčítací metoda (Vybereme libovolné dvě rovnice a eliminujeme z nich jednu neznámou, poté vybereme jiné dvě rovnice a eliminujeme stejnou neznámou. Pak řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.) x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2 x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = - 4 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2
17 17/27 SOUSTAVY NEROVNIC Základní pojmy: Soustavy nerovnic o 1 neznámé Součinový a podílový tvar Opakování: Řešení rovnic, nerovnice, množinové operace, úpravy výrazů 2 základní typy úloh: řešíme 2 nerovnice o 1 neznámé výsledek průnik 2 intervalů Znázorníme graficky: součin 2 výrazů stanovíme podmínky, kdy je součin + či (nulové body) podílový tvar řešíme stejně, nesmíme zapomenout na podmínky řešitelnosti!!!
18 18/27 Základní pojmy: Kvadratická rovnice, diskriminant KVADRATICKÁ ROVNICE Rozklad kvadratického trojčlenu na součin Opakování: Kvadratická funkce, řešení základních rovnic, graf funkce, úpravy výrazů, vzorce pro 2. mocninu Kvadratická rovnice: rovnice, kde a, b, c R, a 0, x je neznámá Řešení rovnice: členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu Řešení po úpravě kvadratické rovnice: tvar, b = 0 ryze kvadratická rovnice (kořeny opačná čísla) př. P = {3,-3} tvar, c = 0 kvadratická rovnice bez absolutního členu (jeden z kořenů je roven 0) př. P = {0,9} tvar dvojnásobný kořen př. P = {-3 } tvar úplná kvadratická rovnice, řešení pomocí vzorce diskriminant: (vzorec použitelný pro každou kvadratickou rovnici) D = b 2-4ac D = 0 D > 0 D < 0 jeden dvojnásobný kořen dva kořeny v R rovnice nemá řešení P = {x 1,x 2 } př.
19 19/27 KVADRATICKÁ FUNKCE Základní pojmy: Kvadratická funkce, parabola, vrchol paraboly Opakování: Funkce, graf Kvadratická funkce: Každá funkce daná rovnicí y = ax 2 + bx + c, kde a 0, a,b,c R. Grafem každé kvadratické funkce je parabola. K sestrojení grafu funkce určíme vrchol, průsečíky s osami. ax 2... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen a > 0 konvexní funkce a < 0 konkávní funkce y = x 2 y = - x 2 Graf funkce y = x 2 + n V [0, n] Graf funkce y = (x-m) 2 V [m, 0] posun po ose y posun po ose x y = x 2-2 y = (x+1) 2 V [0, -2] V [-1, 0] Každá kvadratická funkce lze upravit na tvar: y = ax 2 + bx + c = a(x-m) 2 + n Vrchol paraboly: V [m, n]
20 Kvadratická funkce 20/27 Určete vrchol paraboly Přiřaďte funkce ke grafům: Graf funkce y = (x - m) 2 + n V [m, n] posun po ose x i y Y = ( x - 4 ) 2-2 V [4, -2] Zjištění vrcholu paraboly: doplnění na čtverec y = a( x m ) 2 + n y = x 2 + 4x + 3 = (x 2 + 4x ) = =( x + 2) 2 1 V[-2, -1]
21 Kvadratická funkce 21/27 1) Určete vrchol paraboly a) f(x) = x 2 + 2x + 1= b) f(x) = x 2 + 4x + 5= c) f(x) = -x 2-4x = d) f(x) = -2x 2 + 4x + 1= e) f(x) =2 x 2 + 2x + 4= f) f(x) = 3x 2 +6x + 3= g) f(x) = x 2 +6x + 10= h) f(x) = -x 2 +x 2,25= i) f(x) = 5x 2-10x + 9= j) f(x) = 3+2x-x 2 = k) f(x) = 2x 2-8x + 14= 2) Oborem hodnot funkce f: y = (1 x) (1 + x) + 2x je interval: A/ (-, 0) B/ (-,2 > C/ <0, ) D/< -1, ) E/ <-2, ) 3) Největší hodnota funkce f: y = (5 + x) (3 - x) -1 je: A/ 13 B/ 14 C/ 15 D/16 E/ 17
22 Kvadratická funkce 22/27 4) Funkce f: y = -x 2 + 4x + 1 je: A/ rostoucí v intervalu (, 5 > a klesající v intervalu ( 5, ) B/ klesající v intervalu (,5> a rostoucí v intervalu < 5, ) C/ rostoucí v intervalu (,2> a klesající v intervalu < 2, ) D/ klesající v intervalu (,2> a rostoucí v intervalu < 2, ) 5) Průsečíky grafu funkce f: y = x 2-2x - 2 s osami souřadnic jsou body: B/[ 1,0 ], [ 1+ 3,0 ], [ 0,2 C/[ ] ] 1 3,0, [ 0,1] D/ [ 1 3,0 ], [ 1+ 3,0 ], [ 0, 2] E/ [ 1 3,0 ], [ 1+ 3,0 ], [ 0, 2] A/ [ 1,0 ], [ 0,2] 6) Graf funkce f: y = x(4-x) je na obrázku: 7) Kvadratické funkce f, jejímž grafem je parabola s vrcholem V [ 0, 5] a pro niž platí f(-2) = -3, je dána předpisem: A/ f: y = x B/ f: y = -x C/ f: y = -2x D/ f: y = 2x E/ f: y = -2x ) Je dána funkce g : y = 4x x, x 4,1 ) a) Sestroj její graf. b) Určete obor hodnot H, funkce g. c) Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce g s osami souřadnic. d) Určete, pro která reálná čísla x platí g(x) 3. 9) a) Napište předpis pro kvadratickou funkci f, jejíž graf protíná osy souřadnic v bodech [0,-5], [-1,0], [5,0]. b) Napište předpis pro kvadratickou funkci g, jejíž graf je souměrný s grafem funkce f z bodu a) podle: α) osy x β) osy y γ)počátku soustavy souřadnic 2 10) Do funkčního předpisu y = x * 4x * 5 dosaďte na místa hvězdiček všemi možnými způsoby znaménka + a -. Pro každý získaný předpis určete vrchol a průsečíky s osami souřadnic paraboly, která je grafem příslušné funkce; parabolu načrtněte.
23 23/27 KVADRATICKÁ NEROVNICE Př. x 2-5x Početní způsob: Grafický způsob: x 2-5x + 6 > 0 K= Př. -x 2 +4x - 4 < 0 Početní způsob: Grafický způsob: -x 2 +4x - 4 > 0 K= -x 2 +4x K= Př. x 2 + 6x +10 < 0 Početní způsob: Grafický způsob: x 2 + 6x +10 > 0 K=
24 24/27 IRACIONÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy: Iracionální rovnice, podmínky řešitelnosti, zkouška Opakování: Kvadratická rovnice, úprava rovnic, vzorce pro 2. mocninu Iracionální rovnice: rovnice, ve které se vyskytuje odmocnina z výrazů obsahujících neznámou - nutné podmínky řeší se odstraňováním odmocnin (umocňováním) ve výrazech s neznámou (neekvivalentní úprava) -nutná zkouška Využijeme vzorce pro druhou mocninu: Řešení rovnice s 1 odmocninou: Podmínky: výraz s odmocninou převedeme na 1 stranu rovnice umocníme obě strany výrazu rovnici dořešíme a provedeme zkoušku Zk: P(14) = Příklady:
25 Iracionální rovnice 25/27 Řešení rovnice s 2 odmocninami: x 1 + x + 4 = 5 Podmínky: ( x 1 = 5 x 1) 2 = (5 x + 4 / 2 x + 4) 2 kvůli jednoduchosti necháme na každé straně rovnice 1 odmocninu a umocníme podle vzorce ( a b) 2 = x 1 = x x + 4 výraz s odmocninou převedeme na 1 stranu rovnice 30 = 10. x + 4 / : ( 10) 3 = x / opět umocníme, rovnici dořešíme, zjistíme, zda řešení padne do def. oboru, a provedeme zkoušku Příklady: x x + 7 = 4 10 x + x 10 = 2
26 26/27 ROVNICE S PARAMETREM Základní pojmy: Parametr, řešení rovnice s parametrem, diskuse Opakování: Rovnice, úprava rovnic Příklady: 6a - ax + 3x = 11 x -2 - ax + 1 = a - 1
27 Rovnice s parametrem 27/27 x 2 + ax + 9 = 0 x 2 + 4ax - a = 0 ax a = x (x - 5)(a - 3) = 2x x 2 + ax + 1 = 0
ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.
1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Více4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
VíceM - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceKvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceM - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceVztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
VíceEXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VíceUčební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Více2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VíceKVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
Více10. Polynomy a racionálně lomenné funkce
10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu
Více( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceKVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
VíceMatematika - Tercie Matematika tercie Výchovné a vzdělávací strategie Učivo ŠVP výstupy
- Tercie Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo
VíceObsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
Více4 Algebraické rovnice a nerovnice
Algebraické rovnice a nerovnice Matematika je stenografie abstraktního myšlení. Je-li používána správně, nenechává prostor žádné neurčitosti ani nepřesné interpretaci. (Louis de Broglie). Základní pojmy
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Matematický seminář Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Matematický seminář Obsah Přehled použité symboliky 4 Základní pojmy matematické logiky a teorie množin 5. Elementy matematické logiky.........................
VíceVzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Obor vzdělávací oblasti: Seminář z matematiky. Ročník: 7. Poznámky
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Obor vzdělávací oblasti: Seminář z matematiky Ročník: 7. Výstupy - kompetence Učivo Průřezová témata,přesahy, a další poznámky - převádí jednotky délky, času,
Více( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
VíceŘešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Více1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
VíceSoustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
Více1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet
Pomůcka pro cvičení:. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet Průběh funkce balíček: plots Při vyšetřování průběhu funkce využijte dosavadních příkazů z Maple, které znáte. Nové příkazy budou postupně
VíceIRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceMaturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008 1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY 2 2 2 3 3 3 a ± b ; a b ; a ± b ; a ± b 1.1. rozklad výrazů na součin: vytýkání, užití vzorců: ( ) ( ) 1.2. určování definičního
VíceGymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceFunkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceMatematická analýza III.
4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi.
VíceVýrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
Více2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
VícePředpokládané znalosti ze středoškolské matematiky. Pokuste se rozhodnout o pravdivosti následujících výroků a formulujte jejich negace.
Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky 1. Matematická logika Výroky, složené výroky: konjunkce (, a zároveň ), disjukce (, nebo), negace výroků ( před nebo čárka nad označením výroku), implikace
Více(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
Více2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
Více4. Lineární nerovnice a jejich soustavy
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
VíceVariace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
VíceFunkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Více9.2.5 Sčítání pravděpodobností I
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava
VíceMONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)
11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice
Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost III/2 ICT INOVACE Matematika 1. ročník Lineární funkce, rovnice a nerovnice Datum vytvoření: říjen 2012 Třída: 1. A, 2. C Autor: PaedDr. Jan Wild Klíčová
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Více2.8.10 Rovnice s neznámou pod odmocninou a parametrem
.8.10 Rovnie s neznámou pod odmoninou a parametrem Předpoklady: 806, 808 Budeme postupovat stejně jako v předhozíh hodináh. Nejdříve si zopakujeme obený postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou
Více= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
VíceProfilová část maturitní zkoušky 2015/2016
Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2 751 52 Přerov Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016 TEMATICKÉ OKRUHY A HODNOTÍCÍ KRITÉRIA Studijní obor: 78-42-M/01 Technické lyceum Předmět: MATEMATIKA
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
VíceTvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení
VíceAUTORKA Barbora Sýkorová
ČÍSLO SADY III/2 AUTORKA Barbora Sýkorová NÁZEV SADY: Číslo a proměnná číselné označení DUM NÁZEV DATUM OVĚŘENÍ DUM TŘÍDA ANOTACE PLNĚNÉ VÝSTUPY KLÍČOVÁ SLOVA FORMÁT (pdf,, ) 1 Pracovní list číselné výrazy
VíceKód uchazeče ID:... Varianta: 14
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
VíceTen objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.
@001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme
VíceRozklad na parciální zlomky
Rozklad na parciální zlomky Lenka Přibylová 23. června 2009 Obsah + 3 2.... 3 + 2 2 + 4 2.... 13 + 2 + 1 ( 1)( 2.... 24 + 2) + 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1
Vícederivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého
VíceFunkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceČíselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana 1 (celkem 7) Číselné soustavy
Číselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana (celkem 7) Polyadické - zobrazené mnohočlenem desítková soustava 3 2 532 = 5 + 3 + 2 + Číselné soustavy Číslice tvořící zápis čísla jsou vlastně
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
VíceMongeova projekce - řezy hranatých těles
Mongeova projekce - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Mongeova projekce - řezy hranatých těles 1 / 73 Obsah 1 Zobrazení těles v základní poloze 2 Řez hranolu rovinou Osová afinita Sestrojení
VíceKvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VíceKapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
VíceLokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
VíceMATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň
MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3
VíceOrientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceKVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceMatice. Význačné matice. Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců:
Matice Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců: aa 11 aa 12 aa 1nn aa 21 aa 22 aa 2nn AA = aa mm1 aa mm2 aa mmmm Označení matic obvykle velkými písmeny
VíceDualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE Tento dokument
Více2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem
.8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto
VíceStřední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1../34.2 Šablona: III/2 Přírodovědné předměty
Více37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
VícePřehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ
Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři
VíceFunkce. Obsah. Stránka 799
Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické
Více