Speciální prostory Příklady na konstrukce prostorů 2. KONSTRUKCE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 2. Příklady
|
|
|
- Dagmar Nováková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2. KONSTRUKCE Příklady Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2008
2 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie. Dvoubodový topologický prostor, který není ani diskrétní ani indiskrétní, se někdy nazývá Sierpińského prostor. Ukažte, že jsou právě dva Sierpińského prostory na {0, 1} a že jsou homeomorfní. 3 Ukažte, že supremum obou prostorů Sierpińského je indiskrétní prostor a jejich infimum je diskrétní prostor. (Najděte dvě topologie i na množině R, jejichž supremum je indiskrétní topologie a jejich infimum je diskrétní topologie.) 4 Existuje nekonstantní spojitá funkce Sierpińského prostoru do R? 5 Ukažte, že pro každou otevřenou množinu G v topologickém prostoru X existuje spojité zobrazení X do Sierpińského prostoru S takové, že G je vzor otevřené množiny v S. Ze dvou Sierpińského topologií na dvoubodové množině {0, 1} vybereme tu, která má za otevřenou množinu bod 0. Tento prostor budeme značit symbolem S 2.
3 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie. Dvoubodový topologický prostor, který není ani diskrétní ani indiskrétní, se někdy nazývá Sierpińského prostor. Ukažte, že jsou právě dva Sierpińského prostory na {0, 1} a že jsou homeomorfní. 3 Ukažte, že supremum obou prostorů Sierpińského je indiskrétní prostor a jejich infimum je diskrétní prostor. (Najděte dvě topologie i na množině R, jejichž supremum je indiskrétní topologie a jejich infimum je diskrétní topologie.) 4 Existuje nekonstantní spojitá funkce Sierpińského prostoru do R? 5 Ukažte, že pro každou otevřenou množinu G v topologickém prostoru X existuje spojité zobrazení X do Sierpińského prostoru S takové, že G je vzor otevřené množiny v S. Ze dvou Sierpińského topologií na dvoubodové množině {0, 1} vybereme tu, která má za otevřenou množinu bod 0. Tento prostor budeme značit symbolem S 2.
4 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie. Dvoubodový topologický prostor, který není ani diskrétní ani indiskrétní, se někdy nazývá Sierpińského prostor. Ukažte, že jsou právě dva Sierpińského prostory na {0, 1} a že jsou homeomorfní. 3 Ukažte, že supremum obou prostorů Sierpińského je indiskrétní prostor a jejich infimum je diskrétní prostor. (Najděte dvě topologie i na množině R, jejichž supremum je indiskrétní topologie a jejich infimum je diskrétní topologie.) 4 Existuje nekonstantní spojitá funkce Sierpińského prostoru do R? 5 Ukažte, že pro každou otevřenou množinu G v topologickém prostoru X existuje spojité zobrazení X do Sierpińského prostoru S takové, že G je vzor otevřené množiny v S. Ze dvou Sierpińského topologií na dvoubodové množině {0, 1} vybereme tu, která má za otevřenou množinu bod 0. Tento prostor budeme značit symbolem S 2.
5 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie. Dvoubodový topologický prostor, který není ani diskrétní ani indiskrétní, se někdy nazývá Sierpińského prostor. Ukažte, že jsou právě dva Sierpińského prostory na {0, 1} a že jsou homeomorfní. 3 Ukažte, že supremum obou prostorů Sierpińského je indiskrétní prostor a jejich infimum je diskrétní prostor. (Najděte dvě topologie i na množině R, jejichž supremum je indiskrétní topologie a jejich infimum je diskrétní topologie.) 4 Existuje nekonstantní spojitá funkce Sierpińského prostoru do R? 5 Ukažte, že pro každou otevřenou množinu G v topologickém prostoru X existuje spojité zobrazení X do Sierpińského prostoru S takové, že G je vzor otevřené množiny v S. Ze dvou Sierpińského topologií na dvoubodové množině {0, 1} vybereme tu, která má za otevřenou množinu bod 0. Tento prostor budeme značit symbolem S 2.
6 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie. Dvoubodový topologický prostor, který není ani diskrétní ani indiskrétní, se někdy nazývá Sierpińského prostor. Ukažte, že jsou právě dva Sierpińského prostory na {0, 1} a že jsou homeomorfní. 3 Ukažte, že supremum obou prostorů Sierpińského je indiskrétní prostor a jejich infimum je diskrétní prostor. (Najděte dvě topologie i na množině R, jejichž supremum je indiskrétní topologie a jejich infimum je diskrétní topologie.) 4 Existuje nekonstantní spojitá funkce Sierpińského prostoru do R? 5 Ukažte, že pro každou otevřenou množinu G v topologickém prostoru X existuje spojité zobrazení X do Sierpińského prostoru S takové, že G je vzor otevřené množiny v S. Ze dvou Sierpińského topologií na dvoubodové množině {0, 1} vybereme tu, která má za otevřenou množinu bod 0. Tento prostor budeme značit symbolem S 2.
7 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie. Dvoubodový topologický prostor, který není ani diskrétní ani indiskrétní, se někdy nazývá Sierpińského prostor. Ukažte, že jsou právě dva Sierpińského prostory na {0, 1} a že jsou homeomorfní. 3 Ukažte, že supremum obou prostorů Sierpińského je indiskrétní prostor a jejich infimum je diskrétní prostor. (Najděte dvě topologie i na množině R, jejichž supremum je indiskrétní topologie a jejich infimum je diskrétní topologie.) 4 Existuje nekonstantní spojitá funkce Sierpińského prostoru do R? 5 Ukažte, že pro každou otevřenou množinu G v topologickém prostoru X existuje spojité zobrazení X do Sierpińského prostoru S takové, že G je vzor otevřené množiny v S. Ze dvou Sierpińského topologií na dvoubodové množině {0, 1} vybereme tu, která má za otevřenou množinu bod 0. Tento prostor budeme značit symbolem S 2.
8 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
9 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
10 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
11 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
12 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
13 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
14 DEFINICE () GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny intervaly tvaru [a, b) se nazývá Sorgenfreyova přímka. Označme Sorgenfreyovu přímku pro tuto část symbolem S. (Stejný název se používá, berou-li se všechny intervaly tvaru (a, b], ale pokud nebude řečeno jinak, bude Sorgenfreyova přímka mít topologii určenou intervaly otevřenými nahoru.) 1 S je separabilní, ale nemá spočetnou otevřenou bázi, takže není metrizovatelný ani uspořádatelný. 2 Každý bod S má spočetnou bázi okolí. 3 S je 0-dimenzionální. 4 V S platí Baireova věta (průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin je neprázdný). 5 Popište spojité reálné funkce na S. Často se tyto funkce nazývají shora (nebo zprava) polospojité. 6 Součin S S má nespočetný uzavřený diskrétní podprostor {( x, x); x S} (takový podprostor nemůže existovat v S).
15 DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny otevřené intervaly a navíc jednobodové množiny iracionálních čísel se nazývá Michaelova přímka. Označíme pro tuto chvíli Michaelovu přímku symbolem M. M není separabilní, nemá tedy spočetnou otevřenou bázi. Každý bod M má spočetnou bázi okolí. M je 0-dimenzionální. M není metrizovatelný ani uspořádatelný.
16 DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny otevřené intervaly a navíc jednobodové množiny iracionálních čísel se nazývá Michaelova přímka. Označíme pro tuto chvíli Michaelovu přímku symbolem M. M není separabilní, nemá tedy spočetnou otevřenou bázi. Každý bod M má spočetnou bázi okolí. M je 0-dimenzionální. M není metrizovatelný ani uspořádatelný.
17 DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny otevřené intervaly a navíc jednobodové množiny iracionálních čísel se nazývá Michaelova přímka. Označíme pro tuto chvíli Michaelovu přímku symbolem M. M není separabilní, nemá tedy spočetnou otevřenou bázi. Každý bod M má spočetnou bázi okolí. M je 0-dimenzionální. M není metrizovatelný ani uspořádatelný.
18 DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny otevřené intervaly a navíc jednobodové množiny iracionálních čísel se nazývá Michaelova přímka. Označíme pro tuto chvíli Michaelovu přímku symbolem M. M není separabilní, nemá tedy spočetnou otevřenou bázi. Každý bod M má spočetnou bázi okolí. M je 0-dimenzionální. M není metrizovatelný ani uspořádatelný.
19 DEFINICE (Michaelova přímka) GO-prostor na množině reálných čísel mající za otevřenou bázi všechny otevřené intervaly a navíc jednobodové množiny iracionálních čísel se nazývá Michaelova přímka. Označíme pro tuto chvíli Michaelovu přímku symbolem M. M není separabilní, nemá tedy spočetnou otevřenou bázi. Každý bod M má spočetnou bázi okolí. M je 0-dimenzionální. M není metrizovatelný ani uspořádatelný.
20 Podprostory Součiny Kvocienty Diskrétní podprostory 1 Najděte spočetný diskrétní uzavřený podprostor R. Lze najít diskrétní nespočetný podprostor R? Jaké jsou otevřené diskrétní podprostory R? 2 Vějíř a ježek mají uzavřené spočetné diskrétní podprostory. 3 Každý prostor X vytvořený ultrafiltrem má uzavřený diskrétní prostor mohutnosti X. Najděte na každé množině filtr s prázdným průnikem tak, že v jím určeném prostoru je každý uzavřený diskrétní prostor konečný. Obsahuje takový prostor nekonečný diskrétní podprostor? 4 Každý diskrétní podprostor nekonečného hrubého T 1 -prostoru je konečný.
21 Podprostory Součiny Kvocienty Diskrétní podprostory 1 Najděte spočetný diskrétní uzavřený podprostor R. Lze najít diskrétní nespočetný podprostor R? Jaké jsou otevřené diskrétní podprostory R? 2 Vějíř a ježek mají uzavřené spočetné diskrétní podprostory. 3 Každý prostor X vytvořený ultrafiltrem má uzavřený diskrétní prostor mohutnosti X. Najděte na každé množině filtr s prázdným průnikem tak, že v jím určeném prostoru je každý uzavřený diskrétní prostor konečný. Obsahuje takový prostor nekonečný diskrétní podprostor? 4 Každý diskrétní podprostor nekonečného hrubého T 1 -prostoru je konečný.
22 Podprostory Součiny Kvocienty Diskrétní podprostory 1 Najděte spočetný diskrétní uzavřený podprostor R. Lze najít diskrétní nespočetný podprostor R? Jaké jsou otevřené diskrétní podprostory R? 2 Vějíř a ježek mají uzavřené spočetné diskrétní podprostory. 3 Každý prostor X vytvořený ultrafiltrem má uzavřený diskrétní prostor mohutnosti X. Najděte na každé množině filtr s prázdným průnikem tak, že v jím určeném prostoru je každý uzavřený diskrétní prostor konečný. Obsahuje takový prostor nekonečný diskrétní podprostor? 4 Každý diskrétní podprostor nekonečného hrubého T 1 -prostoru je konečný.
23 Podprostory Součiny Kvocienty Diskrétní podprostory 1 Najděte spočetný diskrétní uzavřený podprostor R. Lze najít diskrétní nespočetný podprostor R? Jaké jsou otevřené diskrétní podprostory R? 2 Vějíř a ježek mají uzavřené spočetné diskrétní podprostory. 3 Každý prostor X vytvořený ultrafiltrem má uzavřený diskrétní prostor mohutnosti X. Najděte na každé množině filtr s prázdným průnikem tak, že v jím určeném prostoru je každý uzavřený diskrétní prostor konečný. Obsahuje takový prostor nekonečný diskrétní podprostor? 4 Každý diskrétní podprostor nekonečného hrubého T 1 -prostoru je konečný.
24 Podprostory Součiny Kvocienty Příklady součinů 1 Ukažte, že n-dimenzionální euklidovský prostor je homeomorfní s R n. 2 Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru posloupností přirozených čísel s Baireovou metrikou (tj. vzdálenost dvou různých posloupností je 1/n, kde n je první index, ve kterém se hodnoty posloupností liší). Zobecněte na spočetnou mocninu libovolného diskrétního prostoru. Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru iracionálních čísel? 3 Necht ξ, η jsou dva různé volné ultrafiltry na N. Ukažte, že diagonála {(n, n); n N} je uzavřený diskrétní podprostor v součinu N ξ N η. 4 Najděte všechny otevřené množiny v součinu dvou prostorů Sierpińského. 5 Použijeme-li značení z ordinálních čísel, je číslo n diskrétní prostor o n bodech {0, 1,..., n 1}. Ukažte, že prostory 2 ω a 3 ω jsou homeomorfní (obecněji, 2 ω a n ω, n N, jsou homeomorfní). Mohou tyto prostory být homeomorfní i s N ω?
25 Podprostory Součiny Kvocienty Příklady součinů 1 Ukažte, že n-dimenzionální euklidovský prostor je homeomorfní s R n. 2 Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru posloupností přirozených čísel s Baireovou metrikou (tj. vzdálenost dvou různých posloupností je 1/n, kde n je první index, ve kterém se hodnoty posloupností liší). Zobecněte na spočetnou mocninu libovolného diskrétního prostoru. Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru iracionálních čísel? 3 Necht ξ, η jsou dva různé volné ultrafiltry na N. Ukažte, že diagonála {(n, n); n N} je uzavřený diskrétní podprostor v součinu N ξ N η. 4 Najděte všechny otevřené množiny v součinu dvou prostorů Sierpińského. 5 Použijeme-li značení z ordinálních čísel, je číslo n diskrétní prostor o n bodech {0, 1,..., n 1}. Ukažte, že prostory 2 ω a 3 ω jsou homeomorfní (obecněji, 2 ω a n ω, n N, jsou homeomorfní). Mohou tyto prostory být homeomorfní i s N ω?
26 Podprostory Součiny Kvocienty Příklady součinů 1 Ukažte, že n-dimenzionální euklidovský prostor je homeomorfní s R n. 2 Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru posloupností přirozených čísel s Baireovou metrikou (tj. vzdálenost dvou různých posloupností je 1/n, kde n je první index, ve kterém se hodnoty posloupností liší). Zobecněte na spočetnou mocninu libovolného diskrétního prostoru. Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru iracionálních čísel? 3 Necht ξ, η jsou dva různé volné ultrafiltry na N. Ukažte, že diagonála {(n, n); n N} je uzavřený diskrétní podprostor v součinu N ξ N η. 4 Najděte všechny otevřené množiny v součinu dvou prostorů Sierpińského. 5 Použijeme-li značení z ordinálních čísel, je číslo n diskrétní prostor o n bodech {0, 1,..., n 1}. Ukažte, že prostory 2 ω a 3 ω jsou homeomorfní (obecněji, 2 ω a n ω, n N, jsou homeomorfní). Mohou tyto prostory být homeomorfní i s N ω?
27 Podprostory Součiny Kvocienty Příklady součinů 1 Ukažte, že n-dimenzionální euklidovský prostor je homeomorfní s R n. 2 Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru posloupností přirozených čísel s Baireovou metrikou (tj. vzdálenost dvou různých posloupností je 1/n, kde n je první index, ve kterém se hodnoty posloupností liší). Zobecněte na spočetnou mocninu libovolného diskrétního prostoru. Ukažte, že N N je homeomorfní prostoru iracionálních čísel? 3 Necht ξ, η jsou dva různé volné ultrafiltry na N. Ukažte, že diagonála {(n, n); n N} je uzavřený diskrétní podprostor v součinu N ξ N η. 4 Najděte všechny otevřené množiny v součinu dvou prostorů Sierpińského. 5 Použijeme-li značení z ordinálních čísel, je číslo n diskrétní prostor o n bodech {0, 1,..., n 1}. Ukažte, že prostory 2 ω a 3 ω jsou homeomorfní (obecněji, 2 ω a n ω, n N, jsou homeomorfní). Mohou tyto prostory být homeomorfní i s N ω?
28 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Každý topologický prostor X je slabě vytvořen množinou C(X, S 2 ), kde S 2 je Sierpińského prostor. To znamená, že X lze vnořit do součinu X S κ 2, kde X je indiskrétní prostor na nosné množině X a κ = C(X, S 2 ) (lze brát jen část ta zobrazení z C(X, S 2 ), která rozlišují body a uzavřené množiny v X ). Pokud C(X, S 2 ) rozlišuje body X, lze vynechat indiskrétní prostor X. 2 Každý 0-dimenzionální prostor X je slabě vytvořen množinou C(X, 2), kde 2 je dvoubodový diskrétní prostor. To znamená, že X lze vnořit do součinu X 2 κ, kde X je indiskrétní prostor na nosné množině X a κ = C(X, 2) (lze brát jen část ta zobrazení z C(X, 2), která rozlišují body a uzavřené množiny v X ). Pokud C(X, 2) rozlišuje body X, lze vynechat indiskrétní prostor X. 3 Jaké prostory budou slabě vytvořeny zobrazeními do N?
29 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Každý topologický prostor X je slabě vytvořen množinou C(X, S 2 ), kde S 2 je Sierpińského prostor. To znamená, že X lze vnořit do součinu X S κ 2, kde X je indiskrétní prostor na nosné množině X a κ = C(X, S 2 ) (lze brát jen část ta zobrazení z C(X, S 2 ), která rozlišují body a uzavřené množiny v X ). Pokud C(X, S 2 ) rozlišuje body X, lze vynechat indiskrétní prostor X. 2 Každý 0-dimenzionální prostor X je slabě vytvořen množinou C(X, 2), kde 2 je dvoubodový diskrétní prostor. To znamená, že X lze vnořit do součinu X 2 κ, kde X je indiskrétní prostor na nosné množině X a κ = C(X, 2) (lze brát jen část ta zobrazení z C(X, 2), která rozlišují body a uzavřené množiny v X ). Pokud C(X, 2) rozlišuje body X, lze vynechat indiskrétní prostor X. 3 Jaké prostory budou slabě vytvořeny zobrazeními do N?
30 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Každý topologický prostor X je slabě vytvořen množinou C(X, S 2 ), kde S 2 je Sierpińského prostor. To znamená, že X lze vnořit do součinu X S κ 2, kde X je indiskrétní prostor na nosné množině X a κ = C(X, S 2 ) (lze brát jen část ta zobrazení z C(X, S 2 ), která rozlišují body a uzavřené množiny v X ). Pokud C(X, S 2 ) rozlišuje body X, lze vynechat indiskrétní prostor X. 2 Každý 0-dimenzionální prostor X je slabě vytvořen množinou C(X, 2), kde 2 je dvoubodový diskrétní prostor. To znamená, že X lze vnořit do součinu X 2 κ, kde X je indiskrétní prostor na nosné množině X a κ = C(X, 2) (lze brát jen část ta zobrazení z C(X, 2), která rozlišují body a uzavřené množiny v X ). Pokud C(X, 2) rozlišuje body X, lze vynechat indiskrétní prostor X. 3 Jaké prostory budou slabě vytvořeny zobrazeními do N?
31 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Je-li (X, d) pseudometrický prostor a ( X, d) jím určený metrický prostor, je zobrazení {x [x]} jak slabě, tak silně vytvářející (a tedy je kvocientové. Toto zobrazení je otevřené i uzavřené. 2 Každá projekce neprázdného součinu prostorů na souřadnicový podprostor je otevřené zobrazení (a tedy kvocientové). Projekce roviny na přímku není uzavřené zobrazení. 3 Projekce čtverce [0, 1] [0, 1] na interval [0, 1] je uzavřené i otevřené zobrazení. 4 Retrakce R na [0, 1], která zobrazí body větší než 1 na bod 1 a body menší než 0 na bod 0, je uzavřené, ale nikoli otevřené zobrazení. 5 Spojitá funkce f : [ 1, ) [ 1, 1], která je identita na [ 1, 1] a je rovna x 2k na intervalu [2k 1, 2k + 1], k N, je retrakcí [ 1, ) na [ 1, 1], která není ani uzavřená ani otevřená.
32 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Je-li (X, d) pseudometrický prostor a ( X, d) jím určený metrický prostor, je zobrazení {x [x]} jak slabě, tak silně vytvářející (a tedy je kvocientové. Toto zobrazení je otevřené i uzavřené. 2 Každá projekce neprázdného součinu prostorů na souřadnicový podprostor je otevřené zobrazení (a tedy kvocientové). Projekce roviny na přímku není uzavřené zobrazení. 3 Projekce čtverce [0, 1] [0, 1] na interval [0, 1] je uzavřené i otevřené zobrazení. 4 Retrakce R na [0, 1], která zobrazí body větší než 1 na bod 1 a body menší než 0 na bod 0, je uzavřené, ale nikoli otevřené zobrazení. 5 Spojitá funkce f : [ 1, ) [ 1, 1], která je identita na [ 1, 1] a je rovna x 2k na intervalu [2k 1, 2k + 1], k N, je retrakcí [ 1, ) na [ 1, 1], která není ani uzavřená ani otevřená.
33 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Je-li (X, d) pseudometrický prostor a ( X, d) jím určený metrický prostor, je zobrazení {x [x]} jak slabě, tak silně vytvářející (a tedy je kvocientové. Toto zobrazení je otevřené i uzavřené. 2 Každá projekce neprázdného součinu prostorů na souřadnicový podprostor je otevřené zobrazení (a tedy kvocientové). Projekce roviny na přímku není uzavřené zobrazení. 3 Projekce čtverce [0, 1] [0, 1] na interval [0, 1] je uzavřené i otevřené zobrazení. 4 Retrakce R na [0, 1], která zobrazí body větší než 1 na bod 1 a body menší než 0 na bod 0, je uzavřené, ale nikoli otevřené zobrazení. 5 Spojitá funkce f : [ 1, ) [ 1, 1], která je identita na [ 1, 1] a je rovna x 2k na intervalu [2k 1, 2k + 1], k N, je retrakcí [ 1, ) na [ 1, 1], která není ani uzavřená ani otevřená.
34 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Je-li (X, d) pseudometrický prostor a ( X, d) jím určený metrický prostor, je zobrazení {x [x]} jak slabě, tak silně vytvářející (a tedy je kvocientové. Toto zobrazení je otevřené i uzavřené. 2 Každá projekce neprázdného součinu prostorů na souřadnicový podprostor je otevřené zobrazení (a tedy kvocientové). Projekce roviny na přímku není uzavřené zobrazení. 3 Projekce čtverce [0, 1] [0, 1] na interval [0, 1] je uzavřené i otevřené zobrazení. 4 Retrakce R na [0, 1], která zobrazí body větší než 1 na bod 1 a body menší než 0 na bod 0, je uzavřené, ale nikoli otevřené zobrazení. 5 Spojitá funkce f : [ 1, ) [ 1, 1], která je identita na [ 1, 1] a je rovna x 2k na intervalu [2k 1, 2k + 1], k N, je retrakcí [ 1, ) na [ 1, 1], která není ani uzavřená ani otevřená.
35 Podprostory Součiny Kvocienty 1 Je-li (X, d) pseudometrický prostor a ( X, d) jím určený metrický prostor, je zobrazení {x [x]} jak slabě, tak silně vytvářející (a tedy je kvocientové. Toto zobrazení je otevřené i uzavřené. 2 Každá projekce neprázdného součinu prostorů na souřadnicový podprostor je otevřené zobrazení (a tedy kvocientové). Projekce roviny na přímku není uzavřené zobrazení. 3 Projekce čtverce [0, 1] [0, 1] na interval [0, 1] je uzavřené i otevřené zobrazení. 4 Retrakce R na [0, 1], která zobrazí body větší než 1 na bod 1 a body menší než 0 na bod 0, je uzavřené, ale nikoli otevřené zobrazení. 5 Spojitá funkce f : [ 1, ) [ 1, 1], která je identita na [ 1, 1] a je rovna x 2k na intervalu [2k 1, 2k + 1], k N, je retrakcí [ 1, ) na [ 1, 1], která není ani uzavřená ani otevřená.
Kompaktnost Kompaktifikace Prostory funkcí 4. KOMPAKTNOST. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 4. Kompaktnost
4. KOMPAKTNOST Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2008 4. bez oddělovacích axiómů Je-li S S pokrytím množiny X, říká se často, že S je podpokrytí nebo že je pokrytím vybraným z S. Relaci zjemnění
OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15. Literatura: Je možno užívat knihy od Engelkinga, Kelleyho, Nagaty, Dugundjiho,...
OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Literatura: Je možno užívat knihy od Engelkinga, Kelleyho, Nagaty, Dugundjiho,... 1. Pojem topologického prostoru Historie: Maurice Fréchet (1906) definoval metrické
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
METRICKÉ PROSTORY. Konvergence čehosi k čemusi. Začíná se to zašnodrchávat
METRICKÉ PROSTORY V praxi se nelze obejít bez aproximací, zvláště v případech, kdy se řešení úlohy hledá numericky. Pak je důležité mít k dispozici pojem konvergence. Konvergence čehosi k čemusi. Začíná
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny
![K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny](/thumbs/102/155153373.jpg "K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny")
FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište
K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
A VLASTNOST BODU SPOJITOSTI
DĚDIČNĚ BAIREOVY PROSTORY A VLASTNOST BODU SPOJITOSTI Ondřej Kalenda Vedoucí diplomové práce: RNDr. Petr HOLICKÝ, CSc. Katedra matematické analýzy MFF UK Praha, 1995 Typeset by AMS-TEX 2 Prohlašuji, že
Úvod do funkcionální analýzy
Úvod do funkcionální analýzy Ladislav Lukšan Ústav informatiky AV ČR, Pod vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8 Technická universita v Liberci, Hálkova 6, 461 17 Liberec Tento text byl použit jako podklad
Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Metrické prostory a kompaktnost
Metrické prostory a kompaktnost David Hruška Abstrakt. Příspěvek shrnuje vybrané základní poznatky o metrických prostorech. Jeho závěrečná část je věnována kompaktnosti a jejím aplikacím. V reálném světě,
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Matematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
a = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
Úlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
Posloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
OBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Úvod do denotační sémantiky a teorie kategorií
Úvod do denotační sémantiky a teorie kategorií Obsah 1 Uspořádání a svazy 5 1.1 Uspořádané množiny......................... 5 1.2 Úplné svazy.............................. 8 1.3 Monotónní zobrazení.........................
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:
KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová
To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
BANACHOVY PROSTORY. V podstatě se budeme zabývat prostory funkcí. Například to bude prostor (množina) spojitých funkcí na intervalu [0, 1].
![BANACHOVY PROSTORY. V podstatě se budeme zabývat prostory funkcí. Například to bude prostor (množina) spojitých funkcí na intervalu [0, 1].](/thumbs/94/119969543.jpg "BANACHOVY PROSTORY. V podstatě se budeme zabývat prostory funkcí. Například to bude prostor (množina) spojitých funkcí na intervalu [0, 1].")
BANACHOVY PROSTORY V podstatě se budeme zabývat prostory funkcí. Například to bude prostor (množina) spojitých funkcí na intervalu [0, 1]. Ukáže se, že řada vlastností platí pro řadu podobných prostorů.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že
![N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že](/thumbs/88/115751012.jpg "N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že")
Jak rozeznáváme nekonečné množiny. Nejprve něco o zobrazeních: Nášvýkladbudezaložennaintuitivnípředstavězobrazení f: A Bjakoněčeho,cokaždému prvku a Apřiřazujenějakýprvek f(a) B. Mějmezobrazení f: A B.Řekneme,že
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
![x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.](/thumbs/83/87395437.jpg "x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.")
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Integrování na varietách cvičení
Integrování na varietách cvičení 0. OPAKOVÁNÍ: 1. Uvažujte systém podmnožin množiny X σ splňující: i., X σ ii. sjednocení lib. dvou množin ze σ patří do systému σ iii. průnik libovolného potu množin ze
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Součiny Fréchetovských prostorů
Diplomová práce Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Součiny Fréchetovských prostorů Miroslav Olšák Katedra algebry Vedoucí práce: prof. RNDr. Simon Petr, DrSc. Studijní program: Matematika
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
0. Úvodní poznámky. pro i=1,2,...,s;říkáme,žetentořetězspojujebody a,b(v P),je-li a M 0, b M s a M i P pro
0. Úvodní poznámky Předpokládám znalost běžných základních pojmů z teorie metrických prostorů, jako je pojem uzávěru, otevřené množiny, souvislého prostoru apod. Většinu z nich včetně jejich základních
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL
PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Topologie. 18. května Motivace Topologický prostor Spojitá zobrazení Podprostory, součiny Axiomy oddělitelnosti 6
Topologie Lukáš Vokřínek 18. května 2013 Obsah 1. Motivace 1 2. Topologický prostor 1 3. Spojitá zobrazení 3 4. Podprostory, součiny 5 5. Axiomy oddělitelnosti 6 6. Kompaktní prostory 8 7. Souvislost 12
[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
![[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...](/thumbs/13/23926.jpg "[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...")
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.