POHYB SOUSTAVY TĚLES SPOJENÝCH VLÁKNEM. 1. Posuvný pohyb soustavy těles spojených vláknem

Transkript

1 POHYB SOUSTAVY TĚLES SPOJENÝCH VLÁKNEM Studijní text pro řešitele FO kat C Radmila Horáková Úvod Studium pohybu soustavy těles spojených vláknem rozdělíme v následujícím textuna3části: 1 Tělesa konají posuvný pohyb hmotnost kladek a vláken zanedbáme 2 Některá nebo všechna tělesa soustavy konají rotační pohyb zanedbáme hmotnost kladek a vláken 3 Tělesa konají rotační nebo posuvný pohyb ale hmotnost kladek nelze zanedbat Ve všech případech se jedná pouze o pečlivý zápis pohybových rovnic pro jednotlivá tělesa soustavy Nejčastější chybou které se studenti při řešení těchto úloh dopouštějí je snaha sestavit jednu pohybovou rovnici pro všechna tělesa Výpočet zrychlení soustavy pomocí jedné rovnice může být v některých případech správný ale jedna rovnice neumožňuje určit např tahové síly ve vláknech Problematiku úloh všech tří výše uvedených částí předvedeme přímo na úlohách 1 Posuvný pohyb soustavy těles spojených vláknem Příklad 1 Tři kostky jsou taženy po hladkém vodorovném stole silou 60 N Najděte tahové síly T 1 a T 2 vevláknechzapředpokladuže m 1 =10kg m 2 =20kg m 3 = 30kg(obr1) Řešení: Napíšeme pohybové rovnice pro všechna tři tělesa: am 3 = F T 2 (1) am 2 = T 2 T 1 (2) am 1 = T 1 (3) Sečtenímrovnic(1)(2)a(3)vyloučímesíly T 1 a T 2 aurčímeobecnězrychlení soustavy: F a= m 1 + m 2 + m 3 1

2 Provýpočetsíly T 1 dosadímezazrychlenídorovnice(3): T 1 = F m 1 m 1 + m 2 + m 3 =10N Prourčenísíly T 2 dosadímezazrychlenídorovnice(1): m 1 + m 2 T 2 = F =30N m 1 + m 2 + m 3 Tahovésílyvevláknechmajívelikost10Na30N m1 Obr2 T F t T Obr1 m 1 m 2 m m 2 3 T1 T 2 F F G Příklad 2 Tělesoohmotnosti m 1 =050kgjeuváděnodopohybupovodorovnérovině tělesemohmotnosti m 2 =10kgkteréjekněmupřipojenovláknemvedeným přes kladku(obr 2) Součinitel smykového tření mezi tělesem a vodorovnou rovinou je f = 0 2 Určete zrychlení soustavy a sílu napínající vlákno Hmotnost kladky a vlákna zanedbáme Řešení Napíšeme pohybové rovnice pro obě tělesa: m 1 a = T F t (4) kde F t = m 1 gf m 2 a = m 2 g T (5) Řešením soustavy rovnic(4) a(5) určíme zrychlení a tahovou sílu vlákna: a=g m 2 m 1 f m 1 + m 2 =59m s 2 2

3 T= m 1 m 2 g 1+f m 1 + m 2 =39N Zrychlenísoustavyje59m s 2 tahovásílavevlákněje39n 2 Rotační pohyb v soustavě těles spojených vláknem Problematiku objasníme opět přímo na řešení úloh Příklad 3 Soustavatělesspojenýchvláknemjetvořenakvádremohmotnosti m 1 který kloužepovodorovnéroviněaválcemohmotnosti m 2 apoloměru rnaněmž je navinuto vlákno vedené přes pevnou kladku a připevněné ke kvádru(obr 3) Když je válec vypuštěn padá a vlákno se odvíjí Určete velikost zrychlení kvádru zrychlení válce a tahovou sílu vlákna jesliže součinitel smykového tření mezi kvádrem a vodorovnou rovinou je f a jestliže hmotnost pevné kladky a vlákna zanedbáme Řešení Těžiště válce koná rovnoměrně zrychlený pohyb a válec současně rotuje kolem osy souměrnosti procházející těžištěm Za předpokladu že by kvádr byl v klidu označmezrychleníválce a 2 Vdůsledkupohybuválcesebudepohybovatikvádr sezrychlením a 1 Připohybuoboutělessebudeválecpohybovatsezrychlením ovelikosti a=a 1 + a 2 Napíšemepohybovérovniceproobětělesa: m 1 a 1 = T fm 1 g (6) m 2 (a 1 + a 2 ) = m 2 g T (7) Platí rovněž pohybová rovnice pro rotační pohyb: Jε=Tr (8) kde J= mr2 2 ε= a 2 r Dosazením do rovnice(8) dostaneme: m 2 a 2 =2T Řešením rovnic(6)(7) a(8a) dostaneme hledané vztahy: (8a) T= g m 1m 2 (1+f) 3m 1 + m 2 a 1 = g m 2 3fm 1 3m 1 + m 2 3

4 Zrychlení válce je tedy: a 2 =2g m 1(1+f) 3m 1 + m 2 a=a 1 + a 2 = g m 1(2 f)+m 2 3m 1 + m 2 m 1 T F tobr3 β Obr4 m T 2 m 1 m 2 F G Příklad 4 Kolemtuhéhoválceohmotnosti m 1 =50kgapoloměru r=0075mjeomotánatenkápáska(obr4)páskajevedenapřeslehkoupevnoukladkunakonci kladkyjezavěšenotělesoohmotnosti m 2 =10kgUrčetesílunapínajícípásku a zrychlení těžiště válce Předpokládejte že se válec pohybuje bez klouzání a žeúhelnakloněnérovinyje β=30 Hmotnostkladkyipáskyzanedbejte Řešení Napíšeme pohybové rovnice pro válec i těleso: m 1 a 1 = m 1 gsinβ T F t (9) m 2 a 2 =2m 2 a 1 T m 2 g (10) Zrychlení a 1 hmotnéhostředuválcejepolovičnívzhledemkezrychlení a 2 bodu naobvoduválce(sezrychlením a 2 sepohybujetakétělesoohmotnosti m 2 ) F t jesílatřenímeziválcemanakloněnourovinou Napíšeme pohybovou rovnici pro rotující těleso vzhledem k ose jdoucí středem válce: Jε=F t r Tr kde ε= a 1 r (11) 4

5 Do rovnice(11) dosadíme za moment setrvačnosti a úhlové zrychlení po úpravě obdržíme rovnici: 1 2 m 1a 1 = F t T (11a) Řešením soustavy rovnic(9)(10) a(11a) obdržíme hledané vztahy: a 1 =2g m 1sinβ 2m 2 3m 1 +8m 2 =043m s 2 T= gm 1 m 2 4sinβ+3 3m 1 +8m 2 =11N Zrychleníhmotnéhostředuválceje043m s 2 tahovásílamávelikost11n 3 Pohyb soustavy těles včetně rotace kladek Budeme-li uvažovat rotační pohyb kladky použijeme pohybovou rovnici pro rotační pohyb: Jε=M Kladku považujeme většinou za homogenní válec který má moment setrvačnostivzhledemkosejdoucístředempodstav mr2 2 Příklad 5 Určete zrychlení soustavy a tahové síly ve vláknu soustavy těles spojených vláknem podle obr 5 Součinitel smykového tření mezi tělesem a podložkou je f=02kladkupovažujemezahomogenníválecopoloměru r=010ma hmotnosti m 2 =050kgTělesonapodložcemáhmotnost m 1 =10kgtěleso zavěšenénadruhémkoncivláknamáhmotnost m 3 =20kg Řešení Napíšeme pohybové rovnice pro všechna tři tělesa: Pohybová rovnice kladky je: m 1 a = T 1 fm 1 g (12) m 3 a = m 3 g T 2 (13) Jε=M (14) kde J= m 2r 2 ε= a 2 r Otáčeníkladkyseprojevízměnoutahuvevlákně Výsledný moment sil působících na kladku vzhledem ke směru její rotace je M= T 2 r T 1 r 5

6 Dosadíme do rovnice(14) a po úpravě dostaneme vztah: 1 2 m 2a=T 2 T 1 (14a) Řešením rovnic(12)(13) a(14a) vyjádříme hledané veličiny: m 3 fm 1 a=2g =54m s 2 2m 1 + m 2 +2m 3 T 1 = m 1 g 2m 3(1+f)+fm 2 2m 1 + m 2 +2m 3 =74N T 2 = m 3 g 2m 1(1+f)+m 2 2m 1 + m 2 +2m 3 =87N Soustavasepohybujesezrychlením54m s 2 tahovésílyjsou74na87n Obr m 5 Obr 6 1 T 1 T 1 m 2 m 1 m 2 F t T 2 m 3 m3 F G Příklad 6 Plnýhomogenníválecopoloměru r 1 aohmotnosti m 1 jetaženpovodorovné roviněvláknemjdoucímpřeskladkuohmotnosti m 2 Nadruhémkoncivlákna jezavěšenozávažíohmotnosti m 3 (obr6)ramenovalivéhoodporumezi vláknemapodložkouje ξkladkuopoloměru r 2 = r 1 /2považujtezahomogenní válec tření v ložisku kladky zanedbejte Určete zrychlení pohybu dané soustavy tahové síly ve vlákně a velikost síly tření Řešení: Napíšeme pohybové rovnice pro jednotlivá tělesa: m 3 a=m 3 g T 2 J 2 ε 2 = T 2 r 2 T 1 r 2 kde J 2 = m 2r ε 2 = a r 2 6

7 Pro rotační pohyb válce platí: m 1 a=t 1 F t J 1 ε 1 = F t r 1 ξm 1 g kde J 1 = m 1r ε 1 = a r 1 Po dosazení a úpravě dostaneme čtyři rovnice pro čtyři neznámé veličiny: m 1 a = 2(F t ξ r 1 m 1 g) (15) m 1 a = T 1 F t (16) m 2 a = 2(T 2 T 1 ) (17) m 3 a = m 3 g T 2 (18) Řešením soustavy rovnic(15)(16)(17) a(18) určíme vztahy pro hledané veličiny: m 3 ξ m r 1 a = 2g 1 3m 1 + m 2 +2m 3 m 1 (3+ 2ξ )+m r 2 T 2 = m 3 g 1 3m 1 + m 2 +2m 3 m 3 (3+ 2ξ )+ ξ m r 1 r 2 1 T 1 = m 1 g 3m 1 + m 2 +2m 3 m 3 + ξ (2m r 1 + m 2 +2m 3 ) F t = m 1 g 1 3m 1 + m 2 +2m 3 7

8 Úlohy pro samostatné řešení 1Dvětělesaohmotnostech m 1 =165kgam 2 =330kgspojenátyčíozanedbatelnéhmotnostispočívajínanakloněnéroviněoúhlusklonu β=30 Tělesakloužouponakloněnérovinětakžetělesoohmotnosti m 2 vlečetěleso ohmotnosti m 1 (obr7)součinitelsmykovéhotřenímezipodložkouatělesem omenšíhmotnostije f 1 =0226mezipodložkouatělesemovětšíhmotnosti f 2 =0113VypočtětesílunapínajícíspojovacítyčazrychlenísoustavyJak se změní výsledky zaměníme-li pořadí těles? (362m s 2 ;106Ntyčjenamáhánatahem;pozměněpořadíopět362m s 2 ; 106 N tyč je namáhána tlakem) 2Válecdélky10mopoloměru0025mmáhmotnost60kgBlízkopodstav válce jsou namotány šňůry jejichž konce jsou připojeny k háčkům na stropě Válec nejprve držíme ve vodorovné poloze tak aby šňůry byly přesně svislé a potom jej uvolníme Určete sílu napínající šňůry při roztáčení a vypočtěte zrychlení těžiště válce(obr 8) (každášňůra10n;65m s 2 ) Obr7 Obr8 m 1 m 2 β 8