2. Funkce více proměnných (opakování z předch. semestru)
|
|
- Richard Prokop
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 2. Funkce více proměnných (opakování z předch. semestru) O.1. Pojem funkce více proměnných (Reálná) funkce r(reálných) proměnných je zobrazení, jehož vzory jsou uspořádané r-tice reálných čísel(značíme X=[x 1,x 2,...,x r ])aobrazy(značíme y) jsou reálná čísla. Funkční předpis má tvar y= f(x 1,x 2,...,x r )nebo y= f(x). Formální definice: Funkce r proměnných je zobrazení f podmnožiny A množiny R r (prostoru E r )domnožinyreálnýchčísel R (prostoru E 1 ). Množina všech r-tic, pro které existuje funkční hodnota funkce, je definiční obor funkce. Obor hodnot je množina všech funkčních hodnot funkce. O.2.MnožinyvE r,definičníoboryfunkcí Okolíbodu C = [c 1,c 2,...,c r ] E r jelibovolný r- rozměrný interval (c 1 ε;c 1 +ε) (c 2 ε;c 2 +ε)... (c r ε;c r +ε),kde ε >0. Mějmemnožinu M E r.bod C E r senazývá 1
2 2 (1) vnitřní bod množiny M, pokud je alespoň jedno jeho okolí obsaženo v množině M, (2) hraniční bod množiny M, pokud každé jeho okolí máneprázdnýprůniksmnožinou M,ijejímdoplňkem.(Doplněkmnožiny Mjeprostor E r bez množiny M). Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M. Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M. Poznámka:Prázdnámnožinaa E r majíjakohranici prázdnou množinu. Otevřené, uzavřené, omezené, kompaktní množiny Množina M E r senazývá (1) otevřená, jestliže neobsahuje žádný svůj hraniční bod, (2) uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body(celou svou hranici, (3) omezená, pokud je celá obsažena v okolí nějakého bodu, (4) kompaktní, pokud je uzavřená a omezená. Poznámka:Otevřenáauzavřenámnožinanejsou 2
3 3 opačné pojmy. Množina může být otevřená i uzavřená (prázdnámnožina,celýprostor E r ).Nemusíbýtaniotevřená ani uzavřená. Definiční obory funkcí dvou proměnných O.3. Grafy funkcí dvou proměnných. Jednoduché funkce dvou proměnných Graf je tvořen takovými body v prostoru, které mají souřadnice[x,y,f(x,y)].grafsimůžemepředstavitjako nějakou plochu umístěnou v trojrozměrném prostoru. Jednoduché funkce dvou proměnných Lineární funkce dvou proměnných je funkce daná předpisem f(x,y)=ax+by+c kde a,b,cjsoureálnékonstanty. Grafem lineární funkce dvou proměnných je rovina danárovnicí z= ax+by+cvprostoru. Kvadratická funkce dvou proměnných x, y je funkce daná předpisem f(x,y)=ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f kde a,b,c,d,e,fjsoureálnékonstanty. Homogennífunkcestupně k,pro k (0, ),jefunkce 3
4 4 splňující na svém definičním oboru vztah(zde homogenní funkci dvou proměnných) f(λx,λy)=λ k f(x,y) kde λjereálnákonstanta. Cobbova-Douglasova funkce je funkce daná předpisem f(x,y)=a x α y β kde A >0,α,βjsoukonstanty. Obvyklesepředpokládá,že0<α<1,0<β <1a x 0, y 0. ObecnáCobbova-Douglasovafunkce f(x,y)=ax α y β jehomogennístupně α+β. Obdobně jako v případě jedné proměnné se definují elementární funkce r proměnných. Jejich funkční předpis obsahuje výrazy pro základní funkce a symboly aritmetických operací, případně výrazy vzniklé složením základních funkcí. Poznámka:Stejnějakoufunkcejednéproměnnéhovoříme o spojitosti funkce více proměnných, pokud blízkým argumentům odpovídají blízké funkční hodnoty. Platí: Všechny elementární funkce r proměnných jsou spojité ve svém definičním oboru. O.4. Parciální derivace 4
5 Zúžení funkce je funkce, kde všechny proměnné kromě jedné považujeme za parametry(konstanty). Zúžení f funkce f na proměnnou x, resp. y popisuje chování funkce f pouze ve směru souřadnicové osy x,resp. y. Definice. Derivacefunkce f vzniklézúženímfunkce f najednuproměnnou x(resp. y)senazývá parciální derivace funkce f podle proměnné x(resp. y). Značíse f f (x,y)nebo x x. Parciální derivace funkce f(x, y) podle proměnné x vbodě C =[x o, y o ] D(f)seznačí 5 f x (x 0,y 0 )nebo f x (C). Derivací funkce f v bodě C rozumíme vektor, jehož složkami jsou hodnoty parciálních derivací v bodě C, tedy vektor f (C)= ( ) f f (C), x y (C). Poznámka:Derivacifunkcevdanémboděuvažujeme jen tehdy, pokud jsou parciální derivace podle všech proměnných v tomto bodě vlastní. O.5. Extrémy funkce f vzhledem k množině 5
6 6 M D(f) Funkce fmávbodě C M D(f) maximum vzhledem k množině M (označíme max X M f(x)=f(c)),platí-liprovšechna X Mnerovnost f(x) f(c). Funkce fmávbodě C M D(f) minimum vzhledem k množině M (označíme min X M f(x)=f(c)),platí-liprovšechna X Mnerovnost f(x) f(c). Extrémy funkce vzhledem k celému definičnímu oboru se nazývají globální extrémy(nebo pouze extrémy). Věta( zobecněná Weierstrassova). Funkce spojitá na neprázdné kompaktní množině nabývá vzhledem k této množině svého maxima a minima. O.6. Vázané extrémy funkcí dvou proměnných Vázané extrémy jsou extrémy funkce f vzhledem k množiněpopsanérovnicíg(x,y)=0,cožjemnožinabezvnitřních bodů. Rovnice g(x,y)=0senazývávazebnírovnice,množina všech řešení této rovnice(tj. množina, na které hledáme extrémy) se nazývá vazba. Vázané extrémy lze hledat užitím dále uvedených tří 6
7 7 metod;nekaždámetodajevšakvhodnáprořešeníkaždého příkladu. 1) dosazovací metoda 2) metoda jakobiánu 3) metoda Lagrangeových multiplikátorů Dosazovací metoda Dosazovací metodu je vhodné použít tehdy, lze-li z vazební rovnice jednoznačně vyjádřit proměnnou x nebo y, např. je-li množinou popsanou vazební rovnicí přímka, parabola atd. Principdosazovacímetodyjeten,žesezvazebnírovnice vyjádří jedna z proměnných a dosadí se do předpisu funkce, jejíž extrémy hledáme. Tím vznikne funkce jedné proměnné- její extrémy už nalézt umíme. Metoda jakobiánu Metodu jakobiánu je možno použít pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách- nejčastěji na kružnici, elipse. Princip metody spočívá v tom, že nalezneme podezřelé body užitím determinantu zvaného jakobián(viz dále), a protože existence extrémů je zaručena dle zobecněné Weierstrassovy věty, stačí porovnat funkční hodnoty v 7
8 8 podezřelých bodech a vybrat z nich největší(vázané maximum) a nejmenší(vázané minimum). Jakobián(ozn. J(x, y)) je determinant, který má pro funkce dvou proměnných tvar: f x J(x,y)= (x,y), f y (x,y) g x (x,y), g y (x,y). Podezřelébodyjsoubody,vekterýchje J(x,y)=0; tyto body současně musí splňovat vazební rovnici. Souřadnice podezřelých bodů dostaneme tedy řešením soustavy(většinou nelineárních) rovnic: J(x,y)=0 g(x,y)=0. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metodu Lagrangeových multiplikátorů je možno použít pouze pro hledání vázáných extrémů na kompaktních množinách. Její princip spočívá v tom, že podezřelé body hledáme jako body vazby, v nichž má tzv. Lagrangeova funkce(viz dále) parciální derivace podle obou proměnných rovny nule. Protože předpokládáme splnění předpokladů zobecněné Weierstrassovy věty, stačí pak pro nalezení vázaných 8
9 9 extrémů vybrat největší a nejmenší funkční hodnotu v těchto podezřelých bodech. Sestrojíme tzv. Lagrangeovu funkci(ozn. L): L(x,y)=f(x,y)+λ g(x,y), kde λ je zatím neznámá konstanta (tzv. Lagrangeův multiplikátor). Vypočítáme parciální derivace funkce L podle obou proměnných a položíme = 0; spolu s vazební rovnicí tvoří tyto rovnice soustavu tří(obvykle nelineárních) rovnic o třech neznámých x, y, λ. Jejím řešením obdržíme podezřelé body. O.7. Vázané extrémy funkcí více proměnných Při řešení ekonomických problémů sa často setkáme s úlohou nalézt extrémy nějaké funkce více proměnných při současném splnění dalších podmínek. Jedná se o hledánívázanýchextrémůfunkce f(x 1,...,x r )namnožině popsané několika vazebními rovnicemi g 1 (x 1,...,x r ) = 0,...,g s (x 1,...,x r )=0,přičemžvazebníchrovnicjeméně nežproměnných,tzn. s < r. Poznámka:Předpokládáme,žefunkce f, g 1,...,g s mají spojité parciální derivace. 9
10 10 K hledání vázaných extrémů slouží tři metody uvedené pro funkce dvou proměnných, avšak dosazovací metoda je příliš komplikovaná a nebudeme ji uvádět. Metoda jakobiánu Stejně jako pro funkce dvou proměnných je určena pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách, navíc musí být splněno, že počet vazebních rovnic jeo1menšínežpočetproměnných,tzn. s=r 1.Tento požadavekmávelmiprostýdůvod-jetřeba,abymatice tvořenáparciálnímiderivacemifunkcíf,g 1,...,g r 1 byla čtvercová, abychom mohli počítat determinant- jakobián (ozn. J(x 1,...,x r )nebozkráceně J(X)): J(X)= f f f x 1 (X) x 2 (X)... x r (X) g 1 g x 1 (X) 1 g x 2 (X)... 1 x r (X) g r 1 g x 1 (X) r 1 g x 2 (X)... r 1 x r (X) Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metoda Lagrangeových multiplikátorů je opět určena pouze pro hledání vázaných extrémů 10.
11 11 na kompaktních množinách; na rozdíl od metody jakobiánu je možno ji použít pro libovolný počet vazebních rovnic. Lagrangeova funkce má tvar: L(x 1,...,x r )=f(x 1,...,x r )+λ 1 g 1 (x 1,...,x r ) λ s g s (x 1,...,x r ),kdeλ 1,...,λ s jsouneznámékonstanty - Lagrangeovy multiplikátory. Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. O.8. Extrémy funkce uvnitř množiny Vevnitřníchbodech M D(f)budemehledatpodezřelé body podle následující věty, která je obdobná příslušné větě pro funkci jedné proměnné. Věta( nutná podmínka pro extrém uvnitř množiny). Jestližemáfunkce f vevnitřnímboděmnožiny M extrémvzhledemktétomnožině,pakjsouvtomtobodě parciální derivace funkce f podle všech proměnných rovny nule(pokud existují). Stejně jako u funkce jedné proměnné je tato podmínka pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující. O.9. Extrémy spojité funkce na kompaktních 11
12 12 množinách obsahujících vnitřní body Hledání extrémů na kompaktních množinách obsahujících vnitřní body je opět založeno na zobecněné Weierstrassově větě. Protože je podle této věty existence extrémů spojité funkce na kompaktní množině zaručena, stačí nalézt podezřelé body a vypočítat v nich funkční hodnoty. Podezřelé body budeme hledat zvlášť uvnitř množiny (podle nutné podmínky uvedené v předchozí podkapitole 4.8), zvlášť na hranici- jakožto vázané extrémy na hladkých částech hranice; dalšími hraničními podezřelými body budou ostré zlomy na hranici- hroty. Podezřelé body: 1) uvnitř množiny(parciální derivace podle všech proměnných=0) 2)nahranici a)nahladkýchčástech(bodypodezřelé z vázaných extrémů) b)hroty Ve všech podezřelých bodech vypočítáme funkční hodnoty- největší je maximum, nejmenší je minimum. O.10. Extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu Pojem konvexní mnohostěn nebudeme přesně vymezo- 12
13 13 vat-jednásenapř.okrychli,hranol,jehlanap.vtrojrozměrném prostoru, o čtverec, obdélník, lichoběžník, trojúhelník ap. v dvourozměrném prostoru(zde mnohoúhelník). Konvexní mnohostěn je kompaktní množina, lineární funkce je spojitá- jsou tedy splněny předpoklady zobecněné Weierstrassovy věty. Extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu je ale možné počítat jednodušším způsobem: Věta( extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu). Lineární funkce definovaná na konvexním mnohostěnu nabývá svého maxima a minima v některých z vrcholů. O.11. Druhé parc. derivace funkce dvou proměnných Připomeňme, že 2. derivaci funkce jedné proměnné získáme zderivováním 1. derivace. Parciální derivace 2. řádu U funkce dvou proměnných je situace trochu složitější, protože máme dvě parciální derivace. Pokud je obě znovu parciálně zderivujeme, získáme čtyři parciální derivace 2. řádu(dále jen 2. parciální derivace). 13
14 14 2.parciálníderivacefunkce fpodleproměnných xay je parciální derivace podle proměnné y stanovenázfunkce f x.vypočtemejitedytak,žefunkci f nejprvezderivujemepodle xapakpodle y.značíse x y (x,y),aplatí: x y = y ( ) f. x Podobně získáme ostatní tři 2. parciální derivace. Pořadí derivování Poznámka Pokudjsouvšechnydruhéparciálníderivace funkce f v okolí bodu[x, y] spojitými funkcemi, nezáleží při výpočtu druhé parciální derivace na pořadí derivování, tj. x y (x,y)= 2 f y x (x,y)(vizpředchozí příklad). Hessova matice Druhé parciální derivace zapisujeme dotzv.hessovymatice: H f = ( x, 2 x y y x, y 2 Podle předchozí poznámky je pro vhodné funkce Hessova matice symetrická podle hlavní diagonály. 14 ).
15 15 O.12. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Funkce má v bodě C lokální maximum(minimum), má-li tam maximum(minimum) vzhledem knějakémuokolíbodu C. Funkce musí být na příslušném okolí bodu C definovaná. Je tedy bod C určitě vnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-lifunkce f lokálníextrémvbodě C,vekterém existují všechny parciální derivace, jsou nutně všechny parciální derivace v tomto bodě nulové. Poznámka Nulovéhodnotyparciálníchderivacíjsou nutnou, ne však postačující podmínkou pro lokální extrém. Pokud v takovém bodě lokální extrém nenastává(a 2. parciální derivace jsou v okolí tohoto bodu spojité), říkáme, že v tomto bodě nastává sedlo dané funkce. Podezřelé body Podezřelé body(z lokálních extrémů) jsou tedy body, ve kterých je každá parciální derivace nulová(nebo neexistuje- takové příklady nebudeme počítat). Postačující podmínka lokálního extrému funkce 15
16 16 dvou proměnných Nechť ve vnitřním bodě C definičního oboru funkce f platí f x (C)=0, f y (C)=0 afunkcefmávokolíboducspojité2.parciálníderivace. (a) Pokud platí x y (C) x (C), 2 y x (C), y (C) 2 <0, nastávávbodě Csedlofunkce f. (b) Pokud platí x2(c) >0 a x y (C) x (C), 2 y x (C), y (C) 2 >0, nastávávbodě Clokálníminimumfunkce f. (c) Pokud platí x2(c) <0 a x y (C) x (C), 2 y x (C), y (C) 2 >0, nastávávbodě Clokálnímaximumfunkce f. 16
17 Poznámka Narozdílodglobálníchextrémůselokální extrémy neurčují výpočtem funkčních hodnot. Poznámka Vpřípadě,žedeterminantHessovymatice je v uvažovaném bodě C nulový, nelze použít postačující podmínku lokálního extrému, extrém může a nemusí v daném bodě nastat
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více2. Diferenciální počet funkcí více proměnných
1 2. Diferenciální počet funkcí více proměnných 2.1. Druhé parciální derivace funkce více proměnných Mějme reálnou funkci n reálných proměnných. Značme X=[x 1 x n ]f(x)=f(x 1 x n ). Parciální derivace
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceKapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VíceGlobální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008
10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceMatematika II Extrémy funkcí více promìnných
Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def.
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceOhraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je. Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů):
Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je matice 2. parc. derivací L vzhledem k λ λ r x x n v tomto pořadí: g 0 0 g x n g 0 0 2 g 2 x n g 0 0 r g x HB = r x n g g r 2 L 2 L. x 2 x x n g g x 2 r
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Více1 Funkce více proměnných
1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE PRINCIPY KLASIFIKACE pomocí diskriminačních funkcí funkcí,
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
Více