2. Diferenciální počet funkcí více proměnných

Transkript

1 1 2. Diferenciální počet funkcí více proměnných 2.1. Druhé parciální derivace funkce více proměnných Mějme reálnou funkci n reálných proměnných. Značme X=[x 1 x n ]f(x)=f(x 1 x n ). Parciální derivace 2. řádu 2.parciálníderivacefunkce fpodleproměnných x i a x j jeparciálníderivacepodleproměnné x j stanovenázfunkce.vypočtemejitedytakžefunkci x i fnejprvezderivujemepodle x i apakpodle x j : Pořadí derivování x i x j = x j ( ). x i Poznámka Pokudjsouvšechnydruhéparciálníderivacefunkce fvokolíbodu Xspojitýmifunkceminezáleží při výpočtu druhé parciální derivace na pořadí derivování tj. (X)= (X). x j x i x i x j Hessova matice

2 2 Druhé parciální derivace zapisujeme do tzv. Hessovy matice: x 1 1 H f = x 2 2 n. Podle předchozí poznámky je pro vhodné funkce Hessova matice symetrická podle hlavní diagonály Konvexní konkávní funkce Množina M je konvexní pokud s každými dvěma body body xyobsahujeikaždýbod tx+(1 t)ypro t (01). Funkce f je(ryze) konvexní rep. konkávní na konvexní množině M D(f)pokudprokaždé xy Mt (01) platí: (<) f(tx+(1 t)y) tf(x)+(1 t)f(y) (>) resp. f(tx+(1 t)y) tf(x)+(1 t)f(y). Platí: Funkce je v konvexní množině M ryze konvexní resp. ryze konkávní jakmile je Hessova matice pozitivně resp. negativně definitní ve všech bodech M.

3 3 Je-li v nějakém bodě otevřené konvexní množiny M lokální minimum(maximum) dané funkce jde zárověň o (globální absolutní) minimum(maximum) vzhledem k M Volné extrémy funkcí více proměnných Funkce má v bodě C lokální maximum(minimum) má-li tam maximum(minimum) vzhledem knějakémuokolíbodu C.Funkcemusíbýtnapříslušném okolíbodu Cdefinovaná.Jetedybod Curčitěvnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-lifunkce flokálníextrémvbodě Cvekterémexistují všechny parciální derivace jsou nutně všechny parciální derivace v tomto bodě nulové. Poznámka Nulovéhodnotyparciálníchderivacíjsou nutnou ne však postačující podmínkou pro lokální extrém. Pokud v takovém bodě lokální extrém nenastává(a 2. parciální derivace jsou v okolí tohoto bodu spojité) říkámeževtomtoboděnastávásedlodanéfunkce. Podezřelé body Podezřelé body(z lokálních extrémů) jsou tedy body ve kterých je každá parciální derivace nulová(nebo nee-

4 4 xistuje- takové příklady nebudeme počítat). Postačující podmínka lokálního extrému Nechť ve vnitřním bodě C definičního oboru funkce f platíprovšechna i=12n x i (C)=0 afunkcefmávokolíboducspojité2.parciálníderivace. (a) Pokud je Hessova matice H(C) indefinitní v bodě Cmáfunkce fsedlo. (b) Pokud je Hessova matice H(C) pozitivně definitnímávbodě Cfunkce flokálníminimum. (c) Pokud je Hessova matice H(C) negativně definitnímávbodě Cfunkce flokálnímaximum. Poznámka VpřípaděžedeterminantHessovymatice je v uvažovaném bodě C nulový nelze použít postačující podmínku lokálního extrému extrém může a nemusí v daném bodě nastat. Poznámka Je-li H(X)pozitivně(negativně)definitní provšechna X zkonvexnímnožiny Mjdeoabsolutní extrémvzhledemkm Vázané extrémy funkcí více proměnných

5 5 Vázané extrémy jsou extrémy funkce f(n proměnných) vzhledem k množině popsané rovnicemi g 1 (X)=0 g 2 (X)=0. g r (X)=0 r < n. Rovnice g i (X)=0senazývajívazebnírovnicemnožina všech řešení této soustavy rovnic(tj. množina na které hledáme extrémy) se nazývá vazba. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Její princip spočívá v tom že podezřelé body hledáme jako body vazby v nichž má tzv. Lagrangeova funkce(viz dále) parciální derivace podle všech proměnných rovny nule. Sestrojíme tzv. Lagrangeovu funkci(ozn. L): L(λ 1 λ r x 1 x n )= = f(x 1 x n )+λ 1 g 1 (x 1 x n )++λ n g r (x 1 x n ) kde λ 1 λ r jsouzatímneznámékonstanty (tzv. Lagrangeovy multiplikátory). Vypočítáme parciální derivace funkce L podle všech proměnných a položíme = 0; spolu s vazebními rovnicemi tvoří tyto rovnice soustavu n + r(obvykle nelineárních). Jejím řešením obdržíme podezřelé body. Platí:Má-lifunkce L(x 1 x n )(nproměnných)lokální minimum(maximum)vbodě[c 1 c n ]pakmávtomto bodě funkce f vázané lokální minimum(maximum).

6 6 Ohraničená Hessova matice( bordered hessian ) je matice2.parc.derivací Lvzhledemkλ 1 λ r x 1 x n v tomto pořadí: g g 1 g g 2 g 0 0 r g x HB= 1 r g 1 g r. x 1 1 g 1 g r g 1 g r n Sestrojíme posloupnost determinantů(minorů): g g 1 g g 2 D 2 = g 0 0 r g r g 1 g r x 1 1 g 1 g r 2

7 g 0 0 r g r D 3 = g 1 g r x 1 1 g 1 g r 2 g 1 g r D n = HB. g 1 g 1 g 1 g 2 g 2 g 2 g r 3 PokudmajívšechnydeterminantypočínajeD r+1 vpodezřelémbodě C shodnéznaménkoato( 1) r f má v tomto bodě lokální vázané minimum. Pokud v podezřelém bodě C determinaty střídají znaménko počínaje D r+1 =( 1) r+1 fmávtomtobodělokálnívázanémaximum Kvazikonvexní kvazikonkávní funkce Funkce f se nazývá kvazikonvexní resp. kvazikonkávní pokud pro každé reálné číslo k je množina {X;f(X) k} resp. {X;f(X) k}konvexní.

8 8 Platí: Funkce f je kvazikonvexní(kvazikonkávní) pokud prokaždoudvojicibodů xyat (01)platí: f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) f(x) resp.f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) f(y). Fce f se nazývá ryze kvazikonvexní resp. r.kvazikonkávnípokudprokaždoudvojicibodů xya t (01)platí: f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) < f(x) resp.f(x) f(y) f(tx+(1 t)y) > f(y). Platí: Funkce f je kvazikonvexní právě když f je kvazikonkávní. Nechť f má spojité 2. parc. derivace. Ohraničená Hessova matice( bordered hessian ) fce f: 0 x 1 1 HB f = x 2. n Sestrojíme posloupnost determinantů(minorů): 0 B 2 = x 1 1 2

9 B 3 = 0 B n = HB f Označme K= {[x 1 x n ] R n ;x 1 x n >0}.Pokud jsouvšechnydeterminantyzápornévk f jevkryze kvazikonvexní. Pokud determinaty střídají znaménko v Kpočínaje+1 fjevkryzekvazikonkávní. Např. lineární funkce Cobb-Douglasova funkce je kvazikonkávní. Platí:(Ryze) konkávní fce je(ryze) kvazikonkávní opačná implikace neplatí. Platí: Pokud je funkce ryze kvazikonkávní (kvazikonvexní) v konvexní množině M pak v bodě podezřelém z lokálního extrému nastává absolutní vázané maximum (minimum)vzhledemkm. Platí: Pokud je funkce ryze kvazikonkávní (kvazikonvexní) na konvexní vazbě M pak v bodě podezřelém z vázaného extrému nastává absolutní vázané maximum (minimum). 9