Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je. Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů):

Transkript

1 Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je matice 2. parc. derivací L vzhledem k λ λ r x x n v tomto pořadí: g 0 0 g x n g g 2 x n g 0 0 r g x HB = r x n g g r 2 L 2 L. x 2 x x n g g x 2 r 2 L x 2 x 2 2 L x 2 x n g g x n r 2 L x n x n 2 L x 2 n Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů): g 0 0 g x 2 g g 2 x 2 D 2 = g 0 0 r g r x 2 g g r 2 L 2 L x 2 x x 2 g x 2 2 L x 2 g r x 2 2 L x 2 2

2 2 D 3 = g 0 0 r g r x 2 g g r 2 L 2 L x 2 x x 2 g g x 2 r 2 L x 2 x 2 2 L x 2 2 g x 3 2 L x 3 2 L x 3 x 2 g r x 3 g g g g 2 x 2 g 2 x 3 g 2 x 2 x 3 g r x 3 2 L x 3 2 L x 2 x 3 2 L x 2 3 D n = HB. Pokud mají všechny determinanty počínaje D 2 v podezřelém bodě C shodné znaménko a to ( ) r f má v tomto bodě lokální vázané minimum. Pokud v podezřelém bodě C determinaty střídají znaménko počínaje ( ) r+ f má v tomto bodě lokální vázané maximum.

3 3 2.5 Kvazikonvexní kvazikonkávní funkce Funkce f se nazývá kvazikonvexní resp. kvazikonkávní pokud pro každé reálné číslo k je množina {X; f(x) k} resp. {X; f(x) k} konvexní. Platí: Funkce f je kvazikonvexní resp. kvazikonkávní pokud pro každou dvojici bodů x y a t (0 ) platí: f(x) f(y) f(tx + ( t)y) f(x) resp. f(x) f(y) f(tx + ( t)y) f(y). Fce f se nazývá ryze kvazikonvexní resp. r. kvazikonkávní pokud pro každou dvojici bodů x y a t (0 ) platí: f(x) f(y) f(tx + ( t)y) < f(x) resp.f(x) f(y) f(tx + ( t)y) > f(y). Platí: Funkce f je kvazikonvexní právě když f je kvazikonkávní. Nechť f má spojité 2. parc. derivace.

4 4 Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) fce f: f f 0 x n f 2 f x 2 x x n HB f = f 2 f x 2 x 2 2 f. x 2 x n f x n x n 2 f x 2 n Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů): f f 0 x 2 f B 2 = 2 f 2 f x 2 x x 2 B 3 = f x 2 0 f f x 2 f x 3 B n = HB f. x 2 f x 2 x 2 x 3 x 2 2 f x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 f x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 3 Označme K = {[x x n ] R n ; x x n > 0}. Pokud jsou všechny determinanty záporné v K f je v K ryze kvazikonvexní. Pokud determinaty střídají znaménko v K počínaje + f je v K ryze kvazikonkávní.

5 5 Platí: Pokud f je v K ryze kvazikonkávní pak je v N = {[x x n ] R n ; x x n 0} kvazikonkávní. Příklady kvazikonkávních funkcí: lineární funkce (ne ryze) Cobb-Douglasova (produkční) funkce f(x y) = Ax a y b a b (0 ) A > 0 CES produkční funkce f(x y) = A(tx a + ( t)y a ) a 0 a < A > 0 t (0 ) f(x) = x 2 x > 0 f(x y) = (x + a)(y + b) x y a b > 0. Platí: (Ryze) konkávní fce je (ryze) kvazikonkávní opačná implikace neplatí (např. y = x 2 x > 0). Platí: Pokud je funkce ryze kvazikonkávní (ryze kvazikonvexní) v konvexní množině M pak v bodě podezřelém z lokálního extrému nastává absolutní maximum (minimum) vzhledem k M. Platí: Pokud je funkce ryze kvazikonkávní (ryze kvazikonvexní) na konvexní vazbě M pak v bodě podezřelém z vázaného extrému nastává absolutní vázané maximum (minimum).

6 6 Homogenní funkce Funkce n proměnných f se nazývá homogenní stupně r pokud pro libovolné reálné číslo j platí: f(jx.. jx n ) = j r f(x.. x n ). Pokud r = f je lineárně homogenní. Např. Cobb-Douglasova (produkční) funkce f(x y) = Ax a y b je homogenní stupně a + b CES je lineárně homogenní. Chain rule Mějme funkci n proměnných F a funkce jedné proměnné f.. f n označme g(x) = F (f (x) f n (x)). Pak platí g (x) = F (f (x)) f (x) F x n (f n (x)) f n(x). Označíme-li h (x) = dh dx f i(x) = x i lze psát symbolicky: dg dx = F dx dx F x n dx n dx. Je-li n = jde o derivaci složené funkce.

7 Indiferenční analýza Mějme užitkovou funkci U(x y) x y > 0 U x U y > 0. Indiferenční křivka pro hodnotu U 0 je graf množiny {[x y] R 2 ; U(x y) = U 0 }. Platí: Pokud uvažujeme indif. křivku za graf funkce y proměnné x pak U(x y) = U 0 du dx = 0 Chain rule: U x dx dx + U y dy dx = 0 dy U dx = x Sklon indiferenční křivky neboli mezní míra substituce (ve spotřebě) x za y (MRSc) je dy dx = dy dx. Platí: U y Z předpokladů U x U dy > 0 plyne že y dx indiferenční křivky jsou klesající.. 7 < 0 tedy Pokud BH U > 0 U je ryze kvazikonkávní a indif. křivky konvexní. Tudíž M RSc je klesající. MRSc = dy U dx = x = MUx kde MUx resp. MUy U MUy y jsou funkce mezního užitku vzhledem k x resp. y.

8 8 P a P b = Rozpočtové omezení je vazební rovnice P x x+p y y = I kde P x resp. P y je cena statku x resp. y I je důchod spotřebitele. Sklon linie rozpočtu neboli mezní míra substituce ve směně (MRSe) je P x P y. Platí: Optimum spotřebitele neboli vázané maximum nastává pokud MRSc = MRSe. Přebytek spotřebitele je rozdíl mezi celkovým užitkem který přinese množství statku a jeho tržní hodnotou. Problém nejnižších nákladů Mějme funkci celkových nákladů C(a b) = ap a + bp b při vazební podmínce Q(a b) = Q 0 kde Q je hladká produkční funkce s kladnými parciálními derivacemi vše pro a b > 0. Platí: (Lze odvodit jako v předch. odstavci.) Vázané minimum nastává pokud Q a Q b = MRT Sab= mezní míra technické substituce a za b.

9 2.6. Kuhn-Tuckerovy podmínky (Optimalizace) Platí: Nechť v bodě C = [c.. c n ] je maximum funkce f vzhledem k množině dané nerovnicemi g (x.. x n ) 0.. g k (x.. x n ) 0 x 0.. x n 0. Sestavme Kuhn-Tucker-Lagrangian: L = f + λ g λ k g k. Potom platí Kuhn-Tuckerovy podmínky: L 0 x j 0 x j L = 0 pro j =.. n x j x j L λ j 0 λ j 0 λ j L λ j = 0 pro j =.. k. Pro minimalizaci stačí maximalizovat f. Předpokládejme že f a všechny vazební funkce g j j =.. k mají spojité druhé parciální derivace v množině N dané podmínkami x 0.. x n 0. Platí: Pokud f a všechny vazební funkce jsou konkávní v množině N pak bod splňující K-T podmínky je bodem maxima. Připomeňme že lineární a ryze konkávní funkce jsou konkávní. 9

10 0 Platí: Pokud f a všechny vazební funkce jsou kvazikonkávní v množině N pak bod splňující K-T podmínky ve kterém je alespoň jedna parciální derivace f nenulová je bodem maxima.