Je-li A L(U, V), pak v 1,..., v n U a α 1,..., α n R platí. A(α 1 v α n v n ) = α 1 A(v 1 ) α n A(v n )

Transkript

1 LA. cvičení lineární zobrazení, bilineární formy Lukáš Pospíšil, Lineární zobrazení a báze Připomeňme si z předešlého cvičení poslední větu: Věta.. Je-li A L(U, V), pak v,..., v n U a α,..., α n R platí A(α v +... α n v n ) = α A(v ) α n A(v n ) a využijme ji pro řešení následujícího příkladu Příklad.. Necht je dáno zobrazení A : R 3 R takové, ˇze A([,, ) = [, A([,, ) = [, A([,, ) = [, Určete obraz A([,, ) a takové x R 3, aby A(x) = [3,. Všimněme si, ˇze zadání příkladu vlastně popisuje obrazy vektorů báze - jelikoˇz e e e 3 def = [,, def = [,, def = [,, je bází vektorového prostoru R 3. Vyuˇzijme předešlé věty - stačí nalézt souřadnice vektoru [,, v bázi {e, e, e 3 } a tyto souřadnice budou i koeficienty obrazu v lineární kombinaci obrazů báze. Nalezněme souřadnice vektoru [,, v bázi {e, e, e 3 } [,, = α [,, + α [,, + α 3 [,, tato rovnice generuje soustavu ()

2 jejíž řešení je [α, α, α 3 = [,,. Vyuˇzitím předešlé věty pak získáme: A([,, ) = A(e + ( )e + e 3 ) = A(e ) + ( )A(e ) + A(e 3 ) = = [, + ( )[, + [, = [, 3 Poznámka: Nikde však není řečeno, ˇze v zadání musíme mít definovány obrazy báze. V takovém případě nepracujeme se souřadnicemi v bázi, ale pouze s koeficienty lineární kombinace. Viz další řešení. Zbývá nalézt takové x R 3, aby A(x) = [3,. Vektor [3, lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů, pro které máme dle zadání definováno lineární zobrazení. Jinak řečeno, hledáme koeficienty lineární kombinace Tato rovnice opět generuje soustavu [3, = α [, + α [, + α 3 [, [ 3 která má však parametrické řešení [α, α, α 3 = [ 4 t, 7 + t, t, t R. Poznámka: Vzpomeňme na motivační příklad z minulého cvičení - bodu na mapě odpovídá nekonečně mnoho bodů v prostoru. Konkrétně tyto body leˇzí na přímce vodorovné s osou z (a při našem zobrazení z-ovou souřadnici zahodíme). Pro získání originálu opět pouˇzijeme naší oblíbenou větu: [3, = ( 4 t)[, + (7 + t)[, + t[, = ( 4 t)a(e ) + (7 + t)a(e ) + ta(e 3 ) = = A(( 4 t)e +(7+t)e +te 3 ) = A(( 4 t)[,, +(7+t)[,, +t[,, ) = A([ 4, 3+t, 7+3t) Tedy na vektor [3, se zobrazí všechny vektory (libovolný vektor) z mnoˇziny {x R 3 : x = [ 4, 3 + t, 7 + 3t, t R} Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení Definice.. Necht je dáno lineární zobrazení A : U V (nebo-li A L(U, V)). Jádrem lineárního zobrazení rozumíme množinu N (A) = {u U : A(u) = o} Oborem hodnot lineárního zobrazení rozumíme mnoˇzinu H(A) = {v V : u UA(u) = v} ()

3 Věta.. Zákon zachováni dimenze. Platí (důkaz, předpokládám byl uveden na přednášce) dimn (A) + dimh (A) = dim U, }{{}}{{} :=d (A) :=h (A) kde := d (A) označuje defekt matice a := h (A) definujeme, jako hodnost zobrazení. Poznámka: Jinak řečeno - jádrem lineárního zobrazení je množina vektorů, které se zobrazí na nulový vektor. A obor hodnot je množina vektorů, ke kterým existuje nějaký originál (tedy existuje vektor, který se na tento vektor zobrazí) - obor hodnot je množina obrazů, které lze získat zobrazením nějakého originálu. Následují dva příklady, které jsou jen pro zájemce. V našem případě budeme určovat jádro a obor hodnot zobrazení podle výše uvedené věty. Příklad.. Nalezněte jádro a obor hodnot zobrazení A([,, ) = [, A([,, ) = [, A([,, ) = [, S jádrem jistě nebude problém - hledáme takové vektory R 3, které se zobrazí na nulový vektor R (tedy o = [, ). Jinak řečeno - hledáme takové v R 3, pro které A(v) = [, Vyjádříme nulový polynom prvního stupně jako lineární kombinaci obrazů, které jiˇz máme. Tedy potřebujeme nalézt koeficienty lineární kombinace [, = α [, + α [, + α 3 [, Tato rovnice generuje soustavu (porovnáním jednotlivých sloˇzek) [ která má řešení [α, α, α 3 = [t, t, t, t R. Pouˇzitím obvyklé věty [, = t.[, +.[, +.[, = t.a([,, )+( t).a([,, )+t.a([,, ) = A(t[,, +( t)[,, +t Tedy jádrem zobrazení je mnoˇzina N (A) = {v = [, t, t, t R} (3)

4 Dále nás zajímá obor hodnot - tedy množina vektorů R, ke kterým existuje originál - tedy vektor R 3. Vezměme tedy nějaký vektor v R a ukaˇzme, ˇze tento vektro je obrazem nějakého originálu. Pokud se nám to obecně nepovede (tj. existuje-li vektor R, který nelze získat daným lineárním zobrazením vektoru R 3 ), pak obor hodnot omezíme pouze na ty vektory R, které jsou obrazem. A to bude obor hodnot. Tedy vektor v R jest v = [v, v a vyjádřeme ho jako lineární kombinaci vektorů, pro které známe originály. Nebo-li hledáme koeficienty lineární kombinace [v, v = α [, + α [, + α 3 [, Porovnáním jednotlivých sloˇzek získáme soustavu [ v v Poznámka: Čtenář si jistě všiml, ˇze se vlastně jedná o stejnou soustavu jako v předešlém případě, akorát zde nehledáme jádro - proto pravou stranou není nulový vektor. Doporučuji pro srovnání cvičení č. 7 a ověřování zda daná mnoˇzina jest bází či nikoliv. Postupovali jsme dle definice, první bod generoval soustavu s nulovou pravou stranou a druhý bod soustavu s parametrickou pravou stranou. V tomto případě děláme de-facto to samé. Řešením soustavy je [α, α, α 3 = [v + t, t + v v, t. Dále budeme postupovat uˇzitím naší oblíbené věty: v = [v, v = α [, + α [, + α 3 [, = (v + t)[, + (t + v v )[, + t[, = = (v +t)a([,, )+(t+v v )A([,, )+ta([,, ) = A([ v +v +3t, 3t+v v, t) Tedy A([ v + v + 3t, 3t + v v, t) = [v, v tj. pro vektory určitého patvaru existují obrazy. Důleˇzité však je, ˇze pokud máme zadán obraz, pak umíme nalézt odpovídající originál - sice nejednoznačně (s libovolnou volbou t R), ale to nevadí. V kaˇzdém případě kaˇzdý obraz má svůj originál, proto H(A) = R Příklad..3 Necht je dáno lineární zobrazení D : P P definované předpisem Určete jádro, obor hodnot. P(ax + bx + c) = ax + b (4)

5 S jádrem jistě nebude problém - hledáme takové polynomy druhého stupně, které se zobrazí na nulový polynom prvního stupně (tedy o = x + = ). Jinak řečeno - hledáme takové p P, pro které D(p) = Podíváme se nejdříve na obrazy vektorů báze E (spočteme jej dle předpisu zobrazení podle zadání) D() = D(x) = D(x ) = x A vyjádříme nulový polynom prvního stupně jako lineární kombinaci těhto obrazů. K tomu samozřejmě potřebujeme nalézt koeficienty lineární kombinace x + = α () + α () + α 3 (x) Tato rovnice generuje soustavu (porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x) která má řešení [α, α, α 3 = [t,,, t R. Pouˇzitím obvyklé věty [ = t.() +.() +.(x) = t.d() +.D(x) +.D(x ) = D(t) Tedy jádrem zobrazení je mnoˇzina N (D) = {p(x) = t, t R} Poznámka: Očividně - v předpisu zobrazení se tak nějak vytratil koeficient u mocniny x, tj. cokoliv co bude mít koeficienty a = b = je v jádru zobrazení. Dále nás zajímá obor hodnot - tedy mnoˇzina polynomů prvního stupně, ke kterým existuje originál - tedy polynom druhého stupně. Vezměme tedy nějaký obecný polynom prvního stupně a ukaˇzme, ˇze tento polynom je obrazem nějakého originálu. Pokud se nám to obecně nepovede (tj. existuje-li polynom prvního stupně, který nelze získat daným lineárním zobrazením polynomu druhého stupně), pak obor hodnot omezíme pouze na ty polynomy prvního stupně, které jsou obrazem. A to bude obor hodnot. Tedy obecný polynom prvního stupně jest p(x) = a x + b A nalezněme lineární kombinaci obrazů vektorů báze D() = D(x) = D(x ) = x (5)

6 která popisuje tento vektor. Nebo-li hledáme koeficienty lineární kombinace a x + b = α () + α () + α 3 (x) Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin zíkáme soustavu [ b a Poznámka: Čtenář si jistě všiml, že se vlastně jedná o stejnou soustavu jako v předešlém případě, akorát zde nehledáme jádro - proto pravou stranou není nulový vektor. Doporučuji pro srovnání cvičení č. 7 a ověřování zda daná mnoˇzina jest bází či nikoliv. Postupovali jsme dle definice, první bod generoval soustavu s nulovou pravou stranou a druhý bod soustavu s parametrickou pravou stranou. V tomto případě děláme de-facto to samé. Řešením soustavy je [α, α, α 3 = [t, b, a. Dále budeme postupovat uˇzitím naší oblíbené věty: p(x) = a x + b = α () + α () + α 3 (x) = t() + b () + a (x) = = t() + b () + a (x) = td() + b D(x) + a D(x ) = D(t + b x + a x ) Vidíme, ˇze t+b x+ a x je libovolný polynom druhého stupně, tedy ke kaˇzdému polynomu druhého stupně existuje obraz, kaˇzdý polynom prvního stupně má svůj vzor. Tedy H(D) = P Příklad..4 Nalezněte jádro, obor hodnot, defekt a hodnost zobrazení A : P R 3. Podle věty... A( x) = [,, A( + x) = [,, Nejdříve si vypočteme nulového prostoru hledáme jako lineární kombinaci obrazů báze, tj. hledáme α, α R. Tudíˇz musí platit α [,, + α [,, = [,,. r + r r 3 r r 3 r Odtud vydíme, ˇze α = α =. Nulový prostor obsahuje stejné lineární kombinace vzorů. Ze zákona zachování dimenze víme, ˇze N (A) = { ( x) + ( + x) P } = {o}. h(a) = n d(a = dimp da = =. Zároveň je i obor hodnot prostorem <<,, >, <,, >>, odtud máme i bázi H(A): F := ((,, ), (,, )). (6)

7 3 Matice lineárního zobrazení Definice 3.. Necht A L(U, V) E = (e,..., e m ) je báze U F = (f,..., f n ) je báze V Pak maticí lineárního zobrazení rozumíme kde [A(e ) F jsou sloupcové vektory. A k čemu je to dobré? Věta 3..3 Platí [A E,F = [[A(e ) F,..., [A(e m ) F u U : [A(u) F = [A E,F [u E Poznámka: Pokud někomu není jasno - přeložím předešlou větu do lidštějšího jazyka: Souřadnice obrazu lze získát součinem matice lineárního zobrazení a vektoru souřadnic originálu (vzhledem k odpovídajícím bázím). Následuje pár příkladů, které nebyly probrány na cvičení (také tento druh příkladů není vyžadován u zkoušky, ale pozornému čtenáři pochopí nahlédnout do dané látky), oproti domu DOPORUČUJI podívat se na přednášky přednášejícího, na část, kde jsou probírány matice lineárního zobrazení Poznámka: Vzpomeňme na motivační příklad s mapou a zahazováním souřadnic. Platilo: [ x y = [. Jelikož jsme volili standartní báze E = ([,,, [,,, [,, ), F = ([,, [, ), pak souřadnice vektorů v odpovídajících bázich jsou rovny složkám těchto vektorů. A obrazy vektorů báze E jsou (připomeňme - volíme mírku : a poslední souřadnici zahodíme) A([,, ) = [, A([,, ) = [. A([,, ) = [, což jsou přesně sloupce kouzelné matice. Haluz? Nikoliv. Vektorů máme jistě všichni už dost, uved me si příklad pro polynomy. x y z (7)

8 Příklad 3..5 Necht je dáno lineární zobrazení D : P P definované předpisem P(ax + bx + c) = ax + b Sestavte matici lineárního zobrazení vzhledem k bázím E = (, x, x ) F = (x +, x ) Co s tím? Budeme postupovat podle definice, matici lineárního zobrazení sestavíme [D E,F = [[D(e ) F, [D(e ) F, [D(e 3 ) F Tedy musíme nalézt [D(e ) F, [D(e ) F, [D(e 3 ) F - to jsou souřadnice obrazů vektorů báze E v bázi F. Tak pomalu tedy - nejdříve se podíváme na D(e ), D(e ), D(e 3 ), tedy obrazy báze E: D() = D(x) = D(x ) = x Fajn. Dále je nutno nalézt souřadnice těchto obrazů v bázi F, tj. hledáme [D(e ) F, [D(e ) F, [D(e 3 ) F. Pro [D(e ) F budeme hledat koeficienty lineární kombinace tedy řešit soustavu D(e ) = α f + α f = α (x + ) + α (x ) S řešením počkejme ještě na moment. Pro [D(e ) F a [D(e 3 ) F budeme obdobně řešit soustavy = β (x + ) + β (x ) x = γ (x + ) + γ (x ) Poznámka: Bylo nutno rozlišit souřadnice rozdílných vektorů, proto jsem si dovolil pouˇzít i jiná písmenka řecké abecedy. Ano, mohl jsem pouˇzít α a připsat k němu jen další koeficient, nicméně by vznikl celkem slušný guláš. A to nemáme rádi. Takˇze de-facto je nutno řešit tři soustavy: = α (x + ) + α (x ) = β (x + ) + β (x ) x = γ (x + ) + γ (x ) Všimněme si, ˇze rovnice budou generovat soustavy se stejnou maticí. My, jelikoˇz máme spoustu zkušenstí s řešením soustav pomocí Gaussovy eliminační metody, si dovolíme tyto soustavy vyřešit jednou Gaussovkou najednou - řešíme soustavu s větším počtem pravých stran. Sestavme porovnáním jednotlivých mocnin rozšířenou matici soustavy se třemi pravými stranami [ (8)

9 Poznámka: První řádek odpovídá koeficientům u x a druhý koeficientům u x. První sloupec pravé strany je pravá strana první soustavy, druhý sloupec je pravá strana druhé soustavy a analogicky třetí sloupec pravé strany je pravá strana třetí soustavy. Úlet. Po úpravě na jednotkovou matici na levé straně (Gauss-Jordan - nechce se mi řešit zpětná substituce) získáme [ Získáváme pro jednotlivé pravé strany jednotlivá řešení: α = α = β = β = γ = γ = Tedy po dosazení (všimněme si ještě, ˇze v definici se hovoří o sloupcových vektorech) [ [ [D(e ) F =, [D(e ) F =, [D(e ) F = Tedy Hotovo. [ [ [D E,F =, Příklad 3..6 Vyuˇzitím matice z předešlého příkladu nalezněte souřadnice obrazu vzhledem k bázi F. D(x x + 3) Tak pokud bychom neměli naši úˇzasnou matici, tak bychom postupovali takto: dle předpisu zobrazení D zjistíme, ˇze D(x x + 3) = x a spočteme souřadnice polynomu x vzhledem k bázi F, takˇze zase řešíme soustavu hotovo. My však vyuˇzijeme toho, ˇze báze E je velice příjemná (mnohem příjemnější neˇz F ). Souřadnice polynomu x x + 3 v této bázu jsou Skutečně [x x + 3 E = [3,, x x + 3 = 3e + ( )e + e 3 Vyuˇzijeme věty která následovala hned po definici matice lineárního zobrazení: u U : [A(u) F = [A E,F [u E (9)

10 Tedy v našem případě [D(x x + 3) F = [D E,F [x x + 3 E Násobit matici a vektor snad není problém: [ A je to. Poznámka: Pokud bychom postupovali prvním spůsobem, dostali bychom stejné řešení. To se dá lehce ověřit: 3 = [ D(x x + 3) = x = f + f =.(x + ) +.(x ) Ano, uznávám, v tomto případě by byla soustava pro hledání koeficientů této lineární kombinace velice snadná. Ale jsou i případy, kdy není.. a navíc, proč řešit soustavu, kterou jsme jiˇz tolikrát řešili při sestavování matice soustavy? Příklad 3..7 Vyuˇzitím matice z předešlého příkladu nalezněte originál p P 3, pokud D(p) = x +. Podle definice matice lineárního zobrazení platí [D(p) F = [D E,F [p E V této rovnici známe matici [D E,F a také lze dopočítat [D(p) F - souřadnice obrazu v bázi E. Tak to udělejme - nalezněme α, α R v lineární kombinaci tedy po dosazení D(p) = α f + α f x + = α (x + ) + α (x ) Určitě není předkvapením, ˇze řešením je α =, α =. Tedy [ [D(p) F = Vrat me se k původní rovnici a dosad me [ [D(p) F = [D E,F [p E [ = [p E ()

11 Jedinou neznámou v této rovnici jsou souřadnice hledaného vektoru v bázi E. Řešme soustavu pomocí Gaussovy eliminační metody: [ Úpravou na schodový tvar získáme [ A po zpětné substituci můžeme konstatovat, že [p E = [t,,, t R. Akorát v zadání po nás nechtějí ˇzádné souřadnice, našim úkolem bylo spočíst přímo daný vektor. Tak dosad me souřadnice do lineární kombinace báze: p = te + e + e 3 = t + x + x, t R Tot vše k hledání a využití matice lineárního zobrazení. 4 Bilineární formy Definice 4..3 Zobrazení B : V V R, kde V je reálný vektorový prostor se nazývá bilineární forma, jestliˇze u, v, w V, α R:. B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w). B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) 3. B(αu, v) = αb(u, v) 4. B(u, αv) = αb(u, v) Bilineární forma můˇze být navíc symetrická, pokud u, v V : B(u, v) = B(v, u) symetrická, pokud u, v V : B(u, v) = B(v, u) Dokazování, zda dané zobrazení je bilineární forma či nikoliv, probíhá obdobně jako u lineárního zobrazení - prostě dle definice ověříme: že se jedná o zobrazení V V R a že jsou splněny všechny 4 vlastnosti případně lze rozhodnout ověřením, zda je bilineární forma symetrická či antisymetrická Tedy ukažme si pouze jeden ilustrativní příklad. ()

12 Příklad 4..8 Rozhodněte, zda zobrazení B : R R R definované předpisem B([u, u, [v, v ) = u v + u v Poznámka: Jedná se o skalární součin dvou dvoudimenzionálních vektorů. Ale to jste jistě poznali. Toˇz ověříme ty čtyři věci nahoře (tedy dle definice ověřme čtyři vlastnosti bilineárních forem): Budeme ověřovat vlastnosti pro libovolné dvou dimenzionální vektory, proto zadefinujme u = [u, u v = [v, v w = [w, w L = B(u + v, w) = B([u + v, u + v, [w, w ) = (u + v )w + (u + v )w P = B(u, w) + B(v, w) = u w + u w + v w + v w L = P L = B(u, v + w) = B([u, u, [v + w, v + w ) = u (v + w ) + u (v + w ) P = B(u, v) + B(u, w) = u v + u v + u w + u w L = P L = B(αu, v) = B([αu, αu, [v, v ) = αu v + αu v P = αb(u, v) = α(u v + u v ) L = P L = B(u, αv) = B([u, u, [αv, αv ) = αu v + αu v P = αb(u, v) = α(u v + u v ) L = P Navíc tato bilineární forma je symetrická, jelikoˇz B([u, u, [v, v ) = u v + u v = v u + v u = B([v, v, [u, u ) ()

13 5 Symetrická a antisymetrická část bilineární formy Připomeňme si z minulého cvičení, že bilineární forma B : V V R se nazývá symetrická, pokud u, v V : B(u, v) = B(v, u) antisymetrická, pokud u, v V : B(u, v) = B(v, u) Vtip je v tom, že i když daná bilineární forma není symetrická nebo antisymetrická, dá se rozložit na součet symetrické a antisymetrické části, tj. kde B S (u, v) je symetrická část B A (u, v) je antisymetrická část. B(u, v) = B S (u, v) + B A (u, v) Navíc platí B S (u, v) = (B(u, v) + B(v, u)) B A (u, v) = (B(u, v) B(v, u)) Příklad 5..9 Rozhodněte, zda bilineární forma B : R R R definována B([x, x, [y, y ) = x y + x y je symetrická či antisymetrická, případně nalezněte symetrickou a antisymetrickou část. Pokud má být B symetrická, pak musí platit x, y R : B(x, y) = B(y, x). Tak se na to podívejme pořádně: B(x, y) = B([x, x, [y, y ) = x y + x y B(y, x) = y x + y x Očividně B(x, y) B(y, x) a B(x, y) B(y, x) proto B není symetrická a není antisymetrická. Tak hurá na ty části. Budeme postupovat dle Navíc platí ve vyše uvedené Větě. Symetrickou část získáme B S (x, y) = (B(x, y) + B(y, x)) = (x y + x y + y x + y x ) = Antisymetrickou část získáme = (3x y + 3x y ) = 3 (x y + x y ) B A (x, y) = (B(x, y) B(y, x)) = (x y + x y y x y x ) = Hotovo. Nic komplikovaného v tom není. = (x y x y ) (3)

14 6 Matice bilineární formy Definice 6..4 Necht E = (e,..., e n ) je báze vektorového prostoru V a B je bilineární forma nad tímto vektorovým prostorem. Maticí bilineární formy B nazýváme matici [B E = (B(e i, e j )) Poznámka: Co to zase je? Autor této definice chtěl říci, že matici bilineární formy sestrojíme tak, že na pozici i, j (tedy i-tý řádek a j-tý sloupec) zapíšeme číslo, které nám vyplivne B(e i, e j )). Opět hodně řečí a přitom tak jednoduchá věc. Příklad 6.. Sestavte matici bilineární formy B : R R R s předpisem B([x, x, [y, y ) = x y + x y Nejdříve zvolíme nějakou překnou bázi vektorového prostoru V = R. Co takhle standartní? e = [, e = [,, E = (e, e ) A podíváme se (zkonstruujeme dle definice B) obrazy kombinací bázových vektorů: B(e, e ) = B([,, [, ) =.. +. = B(e, e ) = B([,, [, ) =.. +. = B(e, e ) = B([,, [, ) =.. +. = B(e, e ) = B([,, [, ) =.. +. = Dále uˇz jen stačí zkonstruovat matici bilineární formy - na pozici i, j zapíšeme B(e i, e j ) [B E = [ Věta 6..4 Necht B je bilineární forma nad V E je báze V [B E je matice formy B vzhledem k bázi E Pak u, v V : B(u, v) = [u T E[B E [v E (4)

15 Poznámka: Tedy zde máme opět nějaký ten důvod, proč vůbec konstruujeme matici bilineární formy. Doporučuji čtenáři porovnat s maticí lineárního zobrazení. Příklad 6.. Vyuˇzijte matici z předešlého příkladu pro nalezení B(u, v), pokud u v def = [, def = [ 3, Pokud chceme vyuˇzít předešlou větu, potřebujeme souřadnice vektorů u, v v bázi E. Jelikoˇz jsme šikovně volili standartní bázi, pak [u E = [, [v E = [ 3, a ted to celé dosadíme B(u, v) = [u T E[B E [v E = [, [ [ 3 = 6 A skutečně, pokud bychom se vykašlali na celou matici bilineárníformy a postupovali podle definice bilineární formy B získali bychom B([,, [ 3, ) =.. +.( 3) = 6 Poznámka: Pozorný čtenář si jistě všiml drobnou nepřesnost kolem transponování vektorů souřadnic. Ano, vektor souřadnic by měl být sloupcový vektor. Ale tak já jsem to tak nějako dosadil, aby dané násobení mělo smysl. Příklad 6.. Bilineární forma B na R 3 vzhledem k uspořádané bázi E (kanonické) je určena vztahem B( x, y) = 3x y + x y 5x y 3 + x y + x y 3 + x 3 y x 3 y Určete matici této bilineární formy vzhledem k bázi E a dále určete B( u, v) a B( v, u), u = (,, 3) E a v = (,, 3) E. Matici bilineární formy si můˇzeme napsat přímo podle souřadnic, protoˇze ji určujeme podle uspořádané báze. B = 3 5 Vypočteme B( u, v) a B( v, u) B( u, v) = [u T E[B E [v E = [,, = [6,, 3 =. (5)

16 a B( v, u) = [v T E[B E [u E = [,, Můˇzeme provést zkoušku přímým dosazením 3 = [9,, 8 3 =. B( u, v) = =. B( v, u) = =. Odtud také vidíme, ˇze daná forma není symetrická, tj. B( u, v) 6B( u, v). Příklad 6..3 Bilineární forma B na R 3 vzhledem k uspořádané bázi E (kanonické) je určena matici této bilineární formy vzhledem k bázi E. Rozloˇzte ji na její symetrickou a antisymetrickou část. B = Potřebujeme B T, kterou uˇz umíme nalézt. Takˇze B T = 4 3 První nalezneme symetrickou BE S část matice B v kanonické bázi. BE S = 5 (B E + BE) T =. 3 Antisymetrickou BE A část matice B v kanonické bázi. BE S = (B E BE) T = B E BE S =. 7 Reference [ Z. Dostál, Lineární algebra, skriptum, Ostrava [ V. Vondrák, LA -. přednáška, prezentace [3 V. Vondrák, LA -. cvičení (6)