III. Semestrální práce

Transkript

1 Licenční studium GALILEO STATISTICKÁ ANALÝZA DAT III. Semestrální práce 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT Ing. Marek Bilko listopad, 2015

2 OBSAH 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT 3 ÚLOHA 1. POROVNÁNÍ DVOU REGRESNÍCH PŘÍMEK U JEDNODUCHÉHO LINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU ) Zadání ) Data ) Výpočet... 4 I. Řešení dat získaných z HRC měřením ) Návrh lineárního modelu ) Prvotní statistická analýza dat ) Regresní diagnostika ) Analýza ostatních reziduí ) Grafy vlivných bodů ) Graf vlivných bodů ) Konstrukce zpřesněného modelu ) Zpřesněný model má tedy tvar: ) Závěr: II. Řešení dat získaných z HRC_početně ) Návrh lineárního modelu ) Prvotní statistická analýza dat ) Regresní diagnostika ) Konstrukce zpřesněného modelu ) Závěr: III. Řešení dat získaných HRC_měřením a HRC_početně ) Zpřesněný model má tedy tvar: ) Řešení ) Závěr: ÚLOHA 2. URČENÍ STUPNĚ POLYNOMU METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ ) Zadání ) Data ) Řešení ) Dílčí závěr: ) Závěr: ÚLOHA 3. VALIDACE NOVÉ ANALYTICKÉ METODY ) Zadání ) Data ) Řešení: ) Dílčí závěr vysvětlení grafů ) Odhady parametrů a testování významnosti ) Závěr: ÚLOHA 4. VÍCEROZMĚRNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL ) Zadání ) Data ) Návrh lineárního regresního modelu ) Model má tvar ) Závěr: LITERATURA Stránka 2 z 35

3 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT ÚLOHA 1. POROVNÁNÍ DVOU REGRESNÍCH PŘÍMEK U JEDNODUCHÉHO LINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU (Včetně testování úseku a směrnice, s vyšetřením vlivných bodů a jejich event. odstraněním, posouzením míry spolehlivosti navrženého modelu). Test shodnosti dvou (nebo i více) přímek, test jejich paralelity a spolehlivého úseku. 1) Zadání Úkolem je porovnání dvou regresních křivek u jednoduchého lineárního modelu na hodnotu tvrdosti (HRC - ). Jedná se o lineární modely vytvořené z hodnot uhlíkového ekvivalentu (Ceq) oceli určené na železniční dvojkolí. První křivka regresního modelu byla získaná měřením a druhá výpočtem dle americké normy ASTM A255. Uhlíkový ekvivalent Ceq je ve své podstatě lineární funkcí (lineární transformací) chemického složení, vycházející z hm. obsahů 7 prvků (C, Mn, Cr, Mo, V, Cu, Ni) a počítá se podle vzorce: Ceq = C + Mn + Cr+Mo+V Cu+Ni, odkud lze po úpravě dostat (1) 15 Ceq = 1.00 C Mn (Cr + Mo + V) (Cu + Ni) (2) kde je Ceq - uhlíkový ekvivalent [hm. %], Me - (C, Mn, Cr, Mo, V, Cu, Ni) prvky chemické analýzy v oceli [hm. %]. Ze vztahu (3) lze zjistit, že největší vliv, váhu na Ceq má hm. obsah C a pětinovou váhu pak prvky Cr, Mo, V, a asi šestinovou váhu má Mn. 2) Data V prvním kroku byla data potřebná k analýze setříděná do přehledné tabulky. V dalším kroku, pomocí tabulkového procesoru MS Office Excel, bylo provedeno grafické zpracování dat a základní porovnání dvou lineárních regresních křivek. Cílem bylo odhalit a porovnat případné rozdíly. Analyzováno bylo celkem dat (n = 20) ze dvou parametrů a za níže uvedených kritérií. Stránka 3 z 35

4 TAVBA CEQ HRC_ MĚŘENÍ HRC_ POČETNĚ T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Obr. 1: Grafické porovnání dvou lineárních křivek regresních modelů. 3) Výpočet Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. V Ý S T U P ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : Počet bodů, n : 20 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : Kvantil rozd. Chi-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : Stránka 4 z 35

5 I. ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH Z HRC MĚŘENÍM 4) Návrh lineárního modelu Y = β 0 + β 1 x 5) Prvotní statistická analýza dat Poloha a proměnlivost proměnných parametrů se posuzuje vždy z průměrné hodnoty a směrodatné odchylky. PROMĚNNÉ ANALÝZA DAT: Proměnná Průměr Směrodatná odchylka Kor.koef. Významnost y x ODHAD PARAMETRŮ: Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 jehlad. výz. B[ 0] Akceptována B[ 1] Akceptována STATISTICKÁ REGRESNÍ ANALÝZA: Vícenásobný korelační koeficient, R : Koeficient determinace, R^2 : Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : Střední kvadratická chyba predikce, MEP : Akaikeho informační kritérium, AIC : Hodnota párového korelačního koeficientu má výrazně nízkou hladinu, což ukazuje, navržený regresní model není významný Predikovaný koeficient determinace R 2 p ukazuje na predikční schopnost modelu, vysvětlovací schopnost je však velmi nízká. Kvadratická chyba predikce MPE a Aikaikeho informační kritérium AIC jsou užívany k rozlišení mezi několika navrženými modely, přičemž za optimální se považuje model, pro který je hodnota MPE a AIC minimální hodnoty. Stránka 5 z 35

6 6) Regresní diagnostika Obr. 2: Graf regresního modelu Obr. 3: Graf predikce reziduí ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUI Bod Měřená Predikovaná Směrodatná Klasické Relativní hodnota hodnota odchylka reziduum reziduum i yexp,i yvyp,i s(yvyp,i) ei eri Reziduální součet čtverců RSC : Průměr absolutní hodnota reziduí, Me : Průměr relativních reziduí, Mer : Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) : Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) : Odhad šikmosti reziduí, g1(e) : Stránka 6 z 35

7 Odhad špičatosti reziduí, g2(e) : ) Analýza ostatních reziduí INDIKACE VLIVNÝCH BODŮ Bod Standardizované Jackknife Predikované Diagonální reziduum reziduum reziduum prvky i es[i] ej[i] ep[i] H[i,i] * * VĚROHODNOSTI VZDÁLENOSTI: Bod i LD(b)[i] LD(s^2)[i] LD(b,s^2)[i] Stránka 7 z 35

8 ) Grafy vlivných bodů Obr. 4: Graf predikovaných reziduí Obr. 5: Pregibonův graf Obr. 6: Williamsův graf Obr. 7: McCullon-Meeterův graf Obr. 8: L-R graf Stránka 8 z 35

9 Obr. 9: Indexový graf Andrews Obr. 10: Indexový graf normálního rozdělení Obr. 11: Indexový graf prvky matice Rankitové grafy Obr. 12: Rankitový graf normalizovaná rezidua Obr. 13: Rankitový graf Andrews Stránka 9 z 35

10 Obr. 14: Rankitový graf predikovaná rezidua Obr. 15: Rankitový grafjackknife rezidua TESTOVÁNÍ REGRESNÍHO TRIPLETU (DATA + MODEL + METODA): Fisherův-Snedocorův test významnosti regrese,f : Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) : Závěr: Navržený model není přijat jako významný Spočtená hladina významnosti : Scottovo kriterium multikolinearity, M : Závěr: Navržený model je korektní. Cook-Weisberg v test heteroskedasticity, Sf : Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : Závěr: Rezidua vykazují heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti : Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) : Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) : Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti : Waldův test autokorelace, Wa : Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti : Znamenkový test, Dt : Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) : Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti : Stránka 10 z 35

11 9) Graf vlivných bodů Obr. 16: Autokorelační graf Obr. 17: Graf heteroskedascity 10) Konstrukce zpřesněného modelu Po odstranění vlivných bodů 16 a 7 identifikovaných v grafech byly nalezeny odhady nových parametrů u zpřesněného modelu. Parametr Odhad Směrodatná Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. význam. B[ 0] Akceptována B[ 1] Akceptována ) Zpřesněný model má tedy tvar: Y = x Vícenásobný korelační koeficient, R : Koeficient determinace, R^2 : Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : Střední kvadratická chyba predikce, MEP : Akaikeho informační kritérium, AIC : ) Závěr: Po odstranění vlivných bodů došlo ke zpřesnění regresního modelu. Koeficient determinace tedy vysvětlovací schopnost modelu se nepatrně zvýšil, nicméně z pohledu statistiky lze konstatovat, že model je sice lepší, ale má malou vysvětlovací schopnost. Stránka 11 z 35

12 Použitý software: Adstat MS Office Excel. V Ý S T U P II. ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH Z HRC_POČETNĚ 13) Návrh lineárního modelu Y = β 0 + β 1 x 14) Prvotní statistická analýza dat Poloha a proměnlivost proměnných parametrů se posuzuje vždy z průměrné hodnoty a směrodatné odchylky. PROMĚNNÉ ANALÝZA DAT: Proměnná Průměr Směrodatná odchylka Kor.koef. Významnost y x ODHAD PARAMETRŮ: Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 jehlad. význam. B[0] Zamítnuta B[1] Zamítnuta STATISTICKÁ REGRESNÍ ANALÝZA: Vícenásobný korelační koeficient, R : Koeficient determinace, R^2 : Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : Střední kvadratická chyba predikce, MEP : Akaikeho informační kritérium, AIC : Hodnota párového korelačního koeficientu má výrazně nízkou hladinu, což ukazuje, navržený regresní model není významný Predikovaný koeficient determinace R 2 p ukazuje na predikční schopnost modelu, vysvětlovací schopnost je však velmi nízká. Kvadratická chyba predikce MPE a Aikaikeho informační kritérium AIC jsou užívaný k rozlišení mezi několika navrženými modely, přičemž za optimální se považuje model, pro který je hodnota MPE a AIC minimální hodnoty. Stránka 12 z 35

13 15) Regresní diagnostika Obr. 18: Regresní model Obr. 19: Graf predikce rezidua ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUI Bod Mřená Predikovaná Směrodatná Klasické Relativní hodnota hodnota odchylka reziduum reziduum i yexp,i yvyp,i s(yvyp,i) ei eri Reziduální součet čtverců RSC : Průměr absolutní hodnota reziduí, Me : Průměr relativních reziduí, Me,r : Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) : Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) : Odhad šikmosti reziduí, g1(e) : Odhad špičatosti reziduí, g2(e) : Stránka 13 z 35

14 ANALÝZA OSTATNÍCH REZIDUÍ INDIKACE VLIVNÝCH BODŮ Bod Standardizované Jackknife Predikované Diagonální reziduum reziduum reziduum prvky i es[i] ej[i] ep[i] H[i,i] VĚROHODNOSTI VZDÁLENOSTI Bod i LD(b)[i] LD(s^2)[i] LD(b,s^2)[i] Stránka 14 z 35

15 Grafy vlivných bodů Obr. 20: Graf predikovaných reziduí Obr. 21: Pregibonův graf Obr. 22: Williamsův graf Obr. 23: McCulloh-Meetergův graf Obr. 24: L-R graf Stránka 15 z 35

16 Obr. 25: Graf index-anderews Obr. 26:Graf index normalizovaná rezidua Obr. 27: Graf index prvky hat-matice Rankitové grafy Obr. 28:Rankitový graf normalizovaná rezidua Obr. 29: Rankitový graf Andrews Stránka 16 z 35

17 Obr. 30: Rankitový graf predikovaná rezidua Obr. 31: Rankitový graf Jacknife rezidua TESTOVÁNÍ REGRESNÍHO TRIPLETU (DATA + MODEL + METODA): Fisherův-Snedocorův test významnosti regrese,f : Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) : Závěr: Navržený model není přijat jako významný Spočtená hladina významnosti : Scottovo kriterium multikolinearity, M : Závěr: Navržený model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity, Sf : Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : Závěr: Rezidua vykazujˇ heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti : Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) : Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) : Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti : Waldův test autokorelace, Wa : Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti : Znaménkový test, Dt : Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) : Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti : Stránka 17 z 35

18 Graf vlivných bodů Obr. 32: Autokorelační graf Obr. 33: Graf heteroskedasticity 16) Konstrukce zpřesněného modelu Důkladnou analýzou grafů byly identifikovány dva vlivné body. Jednalo se o jeden extrém bod č. 13 (bude odstraněn) a druhý bod s charakterem odlehlé hodnoty je bod č. 10. Po odstranění vlivného bodu, který byl v grafech identifikovaný, byly nalezeny odhady nových parametrů u zpřesněného modelu. Parametr Odhad Směrodatná Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 odchylka t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. význam. B[ 0] Zamítnuta B[ 1] Zamítnuta Zpřesněný model má tedy tvar: Y = ( ) ( ) STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY REGRESE Vícenásobný korelační koeficient, R : Koeficient determinace, R^2 : Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : Střední kvadratická chyba predikce, MEP : Akaikeho informační kritérium, AIC : ) Závěr: Po odstranění vlivných bodů došlo ke zpřesnění regresního modelu. Koeficient determinace, tedy vysvětlovací schopnost modelu, se nepatrně zvýšil a nyní je navržený model přesnější. Stránka 18 z 35

19 III. ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH HRC_MĚŘENÍM A HRC_POČETNĚ Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. 18) Zpřesněný model má tedy tvar: Y = β 0 + β 1 x PŘEDBĚŽNÁ ANALÝZA DAT ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : Počet bodů, n : 20 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : Navržený model: Y=β0+ β1 x ODHADY PARAMETRŮ A TESTY VÝZNAMNOSTI Parametr Odhad Směrodatná Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 odchylka t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. význam. B[ 0] Zamítnuta B[ 1] Akceptována Stránka 19 z 35

20 Obr. 34: Graf regresního modelu HRC_M Obr. 35: Graf regresního modelu HRC_P Obr. 36: Graf regresního modelu HRC_M+ HRC_P Obr. 37: Graf predikce rezidua pro HRC_M+ HRC_P 19) Řešení K testování shody přímek se nyní použije kritérium Fch ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUÍ Reziduální součet čtverců, RSC : Průměr absolutních hodnot reziduí, Me : Průměr relativních reziduí, Mer : Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) : Odhad směrodatné odchylky reziduií, g1(e) : Odhad špičatosti reziduí, g2(e) : Počet bodů, n : 40 Počet parametrů, m : 2 HRC_M : HRC_P : HRC_M + RHC_P : Stránka 20 z 35

21 F CH = F CH = (RSC1,2 RSCR2 RSC2) (N 2m) (RSC1 + RSCR2) (m) ( ) (20 2 2) ( ) (2) F CH = ) Závěr: V hodnocení výsledku regresní analýzy lze vyjádřit závěr, že mezi oběma metodami je rozdíl statisticky významný. Je zřejmé, že metoda početní tedy na základě chemického složení není přesná, a proto lze výsledky získané právě touto metodou brát jen velmi opatrně. Stránka 21 z 35

22 ÚLOHA 2. URČENÍ STUPNĚ POLYNOMU METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Metodou MNČ a RH křivky závislosti (porovnání obou metod vede k odstranění multikolinearity, testování statistické významnosti nalezených parametrů, vyšetření regresního tripletu metodou regresní diagnostiky, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání K analýze byla vybrána data z měření meteo-stanice dvou dnů 48-hodinového cyklu v Třineckých železárnách, a.s. z měsíce září K testování byla vybrána data teploty a tlaku nasycené páry, tyto proměnné faktory můžou mít jistou souvislost s průběhem ochlazování ocelových odlitků. Pro testování statistické významnosti nalezených parametrů a porovnání obou metod MNČ a RH křivkové závislosti. Úkolem daného postupu je odstranění multikolinearity, testování vyšetření regresního tripletu metodou regresní diagnostiky, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik. 2) Data X = teplota [ C] Y = tlak vodní páry X Y X Y X Y X Y Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika Stránka 22 z 35

23 3) Řešení V Ý S T U P ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Analýza vlivných bodů pomocí diagnostiky grafů. V dalším kroku určit stupeň polynomu s odhalením nejlepších odhadů, následované odhadem parametrů metodou racionálních hodností. V posledním kroku diagnostika vlivných bodů pomocí diagnostických grafů. ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : Počet bodů, n : 40 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : Obr. 38: Williamsův graf Obr. 39: Pregibonův graf Stránka 23 z 35

24 Obr. 40:L-R graf Studiem výše uvedených grafů byl identifikován jako vlivný bod číslo 31, 32, 40. Proto budou tyto vlivné body z datového souboru odstraněny a následně provedena analýza. Určení stupně polynomu a nalezení nejlepších odhadů ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : E-34 Transformace : polynom stupeň polynomu :1-6 Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : Počet bodů, n : 40 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : K určení stupně polynomu porovnáváme v tabulce uvedené statistické charakteristiky pro stupně Stupeň polynomu (m) MEP R 2 p AIC Stránka 24 z 35

25 Obr. 41: Graf průběhu změn hodnot MEP, R 2 p a AIC 4) Dílčí závěr: Testováním byly odhaleny dvě možná řešení. Minimální stupeň polynomu pro nejjednodušší model je pro polynom m = 1, nejtěsnějšího proložení bylo dosaženo u polynomu m = 5-tého stupně. Tabulka stupně polynomu m = 1 Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 jehlad. výz. B[0] Zamítnuta B[1] Zamítnuta Y = ( ) ( ) Obr. 42:Regresní graf V tabulkách jsou uvedeny hodnoty odhadů parametrů j a testů významnosti. Lze tedy konstatovat, že tyto nalezené hodnoty parametrů jsou statistický významné. Proto, není nutné hledat hodnotu omezení P. Je, tedy žádoucí použít metodu nejmenších čtverců. Stránka 25 z 35

26 Tabulka stupně polynomu m = 5 Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. výz. B[ 0] Akceptována B[ 1] Akceptována B[ 2] Akceptována B[ 3] Akceptována B[ 4] Akceptována B[ 5] Akceptována Y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Obr. 43:L-R graf 5) Závěr: Zvolením stupně polynomu m = 1 je získán základní jednoduchý model. Ale podstatou této úlohy je získat model s co možná nejtěsnějším proložením, které je dosažitelné. Bylo zapotřebí provést celkem pět stupňů polynomů m = 5. Stránka 26 z 35

27 ÚLOHA 3. VALIDACE NOVÉ ANALYTICKÉ METODY (Vyšetření regresního tripletu testujte a diskutujte statistickou významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání V metalurgii při výrobě oceli dochází ve výrobním toku k jejímu znečištění nekovovými vměstky. Tyto nekovové částice velmi malých rozměrů způsobují zhoršení kvalitativních vlastností, které mohou být zdrojem vad materiálu. Pro lepší a kvalitnější materiál s eliminací těchto nedostatků slouží normované metodiky odhalující tyto vměstky, čímž se zajistí garance kvality. Úkolem, je vyšetřit, která ze dvou metod stanovování mikročistoty oceli je účinnější. Jedná se o normovanou metodiku DIN a metodiku EN aplikované na cementačních ocelích. 2) Data X = DIN Y = EN X y 12,4 3,7 0,12 0,3 0, ,8 1,38 0,3 0,45 0,3 0,46 0,5 2, ,2 0, ,03 Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. 3) Řešení: V Ý S T U P ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Analýza vlivných bodů pomocí diagnostiky grafů. V dalším kroku určit stupeň polynomu s odhalením nejlepších odhadů, následované odhadem parametrů metodou racionálních hodností. V posledním kroku diagnostika vlivných bodů pomocí diagnostických grafů. Stránka 27 z 35

28 ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : Počet bodů, n : 11 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : Obr. 44: Graf predikovaných reziduí Obr. 45: McCulloh-Meterův graf Obr. 46:L-R graf 4) Dílčí závěr vysvětlení grafů V grafech byl identifikován jeden vlivný bod (4), který ovšem odstraňovat nebudeme pro malý počet dat. Dále byl pomocí grafu odhalen jeden odlehlý bod (1). Stránka 28 z 35

29 5) Odhady parametrů a testování významnosti Tabulka stupně polynomu m = 1 Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. výz. B[0] Zamítnuta B[1] Zamítnuta Navržený model bude ve tvaru: Y = ( ) ( ) Testování úseku Jestliže interval spolehlivosti úseku obsahuje nulu, lze úsek považovat za nulový. b 0 t 1 α 2(n m) D(b 0 ) β0 b 0 + t α 1 D(b 0 ) 2(n m) β β Závěr testování úseku: Interval spolehlivosti úseku obsahuje 0, lze úsek považovat za nulový. Testování směrnice Jestliže interval spolehlivosti směrnice obsahuje jedničku, lze úsek považovat za jednotkovou b 1 t α 1 D(b 1 ) β1 b 1 + t α 1 D(b 1 ) 2(n m) 2(n m) β β Závěr testování směrnice: Interval spolehlivosti směrnice neobsahuje 1, směrnici považujeme za nulovou. STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY REGRESE Vícenásobný korelační koeficient, R : Koeficient determinace, R^2 : Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : Střední kvadratická chyba predikce, MEP : Akaikeho informační kritérium, AIC : Interval spolehlivosti směrnice D = R 2 = 96.7 %, což je vysoká vysvětlovací schopnost modelu. MEP a AIC jsou kritériem pro rozhodování se mezi několika modely. Přičemž za optimální model lze považovat takový, který má minimální hodnoty MEP a AIC, ale maximální hodnotu R 2 p. Stránka 29 z 35

30 Obr. 47: Graf regresního modelu 6) Závěr: Závěrem lze konstatovat, že interval spolehlivosti obsahuje 0, metoda je zatížená systematickou chybou. Interval spolehlivosti směrnice neobsahuje jedničku, metoda podhodnocuje a také nadhodnocuje. Nová metoda stanovení nekovových vměstků v oceli je neúspěšně validována. Stránka 30 z 35

31 ÚLOHA 4. VÍCEROZMĚRNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL (Vyšetřením regresního tripletu nalezněte nejlepší model, využijte regresní diagnostiku a pomocí parciálních regresních a parciálních grafů diskutujte významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl).(vyšetření regresního tripletu testujte a diskutujte statistickou významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání Při zavádění nových prvků technologie výroby oceli je nutno tyto změny otestovat v praxi. Následně z výsledků různých analytických metod rozhodnout, zda změna technologie má pozitivní nebo negativní dopad na čistotu oceli, která je úzce spojená s kvalitativními vlastnostmi konečných výrobku. Výběr několika taveb, kde bylo aplikováno testování nového vápníkem plněného profilu vstřelovaného do lázně oceli v závěru jejího zpracování. Bude testována signifikace množství profilu, rychlost podáváni, obsah Ca v oceli a obsah Al v oceli na sumární hustotu nekovových vměstků. Cílem testování je zjistit míru jejich významnosti a navrhovaného vícerozměrného lineárního modelu. 2) Data TAVBA PROF_CA RYCH_PROF m/s HUST_INC 1/cm 2 INC_O INC_Al INC_Ca OC_AL OC_CA T ,027 0,0012 T ,03 0,0014 T ,024 0,0012 T ,036 0,0021 T ,024 0,0018 T ,028 0,0012 T ,038 0,0021 T ,033 0,0017 T ,027 0,0021 T ,031 0,0024 T ,033 0,0017 T ,034 0,0024 Stránka 31 z 35

32 3) Návrh lineárního regresního modelu Y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 ZÁKLADNÍ ANALÝZY Item Value Rows Value Dependent Variable HUST_INC_1_cm2 Rows Processed 12 Number Ind. Variables 4 Rows Filtered Out 0 Weight Variable None Rows with X's Missing 0 R² 0,5766 Rows with Weight Missing 0 Adj R² 0,3346 Rows with Y Missing 0 Coefficient of Variation 0,0998 Rows Used in Estimation 12 Mean Square Error ,3 Sum of Weights 12,000 Square Root of MSE 559,5939 Ave Abs Pct Error 5,945 Completion Status Normal Completion REGRESSION COEFFICIENTS T-TESTS Regression Standard Standard- T-Statistic Reject Power Independent Coefficient Error ized to Test Prob H0 at of Test Variable b(i) Sb(i) Coefficient H0: β(i)=0 Level 5,0%? at 5,0% Intercept 4468, ,757 0,0000 2,185 0,0651 No 0,4701 OC_Al 33101, ,33 0,2192 0,730 0,4891 No 0,0973 OC_Ca 93947, ,3 0,0618 0,206 0,8428 No 0,0537 PROF_CA -112, , ,4521-1,704 0,1321 No 0,3140 RYCH_PROF_m_s 792, ,9425 0,4578 1,741 0,1252 No 0,3252 Standard Variable Count Mean Deviation Minimum Maximum OC_Al 12 0, , ,024 0,038 OC_Ca 12 0, , ,0012 0,0024 PROF_CA 12 14,75 2, RYCH_PROF_m_s 12 2, , ,5 HUST_INC_1_cm , , , ,556 4) Model má tvar HUST_INC_1_cm2 = 4468, , * OC_Al , * OC_Ca - 112, * PROF_CA + 792, * RYCH_PROF_m_s Stránka 32 z 35

33 Obr. 48:Pravděpodobnostní graf Obr. 49: Bodový graf 5) Závěr: Aplikaci vícerozměrné lineární regrese na datech experimentálního charakteru zkoumající vliv čtyř parametrů (hliníku v oceli, vápníku v oceli, množství vstřelovaného vápníku do taveniny a rychlost jeho vstřelování) nemají ze statistického pohledu významnost) na regresand. Hustota vměstků je tedy ovlivněna jinou/jinými proměnnými které zde nejsou uvedeny. LITERATURA [1] Meloun, M., Militký, J., Hill, M., Statistická analýza vícerozměrných dat v příkladech, Academia, Praha, 2012, ISBN [2] Kupka, K., Statistické řízení jakosti, TriloByte, Pardubice, [3] Meloun, M., Militký, J., Kompendium statistického zpracování dat, Academia, Praha, 2012, ISBN [4] Adstat 2.0 uživatelský manuál, Trilobite statistical software, TRILOBYTE, s.r.o., Pardubice, Stránka 33 z 35

34 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1: Grafické porovnání dvou lineárních křivek regresních modelů Obr. 2: Graf regresního modelu... 6 Obr. 3: Graf predikce reziduí... 6 Obr. 4: Graf predikovaných reziduí... 8 Obr. 5: Pregibonův graf... 8 Obr. 6: Williamsův graf... 8 Obr. 7: McCullon-Meeterův graf... 8 Obr. 8: L-R graf... 8 Obr. 9: Indexový graf Andrews... 9 Obr. 10: Indexový graf normálního rozdělení... 9 Obr. 11: Indexový graf prvky matice... 9 Obr. 12: Rankitový graf normalizovaná rezidua... 9 Obr. 13: Rankitový graf Andrews... 9 Obr. 14: Rankitový graf predikovaná rezidua Obr. 15: Rankitový grafjackknife rezidua Obr. 16: Autokorelační graf Obr. 17: Graf heteroskedascity Obr. 18: Regresní model Obr. 19: Graf predikce rezidua Obr. 20: Graf predikovaných reziduí Obr. 21: Pregibonův graf Obr. 22: Williamsův graf Obr. 23: McCulloh-Meetergův graf Obr. 24: L-R graf Obr. 25: Graf index-anderews Obr. 26:Graf index normalizovaná rezidua Obr. 27: Graf index prvky hat-matice Obr. 28:Rankitový graf normalizovaná rezidua Obr. 29: Rankitový graf Andrews Obr. 30: Rankitový graf predikovaná rezidua Obr. 31: Rankitový graf Jacknife rezidua Obr. 32: Autokorelační graf Obr. 33: Graf heteroskedasticity Obr. 34: Graf regresního modelu HRC_M Obr. 35: Graf regresního modelu HRC_P Obr. 36: Graf regresního modelu HRC_M+ HRC_P Obr. 37: Graf predikce rezidua pro HRC_M+ HRC_P Obr. 38: Williamsův graf Obr. 39: Pregibonův graf Obr. 40:L-R graf Obr. 41: Graf průběhu změn hodnot MEP, R 2 p a AIC Obr. 42:Regresní graf Obr. 43:L-R graf Obr. 44: Graf predikovaných reziduí Obr. 45: McCulloh-Meterův graf Obr. 46:L-R graf Obr. 47: Graf regresního modelu Obr. 48:Pravděpodobnostní graf Stránka 34 z 35

35 Obr. 49: Bodový graf Stránka 35 z 35