Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Transkript

1 Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem znčíme rovinu. Konstnty,, e jsou po řdě velikost hlvní poloosy, velikost vedlejší poloosy excentricit hyperoly. Pltí pro ně vzth: e = +. Body A, B jsou vrcholy hyperoly, ody E, F nzýváme ohnisk hyperoly. Střed úsečky EF je středem hyperoly S. Přímky p, q zveme symptoty hyperoly. Oě procházejí středem hyperoly S nemjí s hyperolou žádný společný od. Jejich směrnice jsou (u hyperoly n orázku výše) resp. (u hyperoly n orázku níže). Hyperol, jejíž střed S je totožný s počátkem soustvy souřdnic jejíž hlvní os je totožná x y s osou x, má rovnici: 1, kde je velikost hlvní poloosy hyperoly, velikost vedlejší poloosy hyperoly. Tento přípd je vyorzen n orázku nhoře. Zde konkrétně =, =, e = 1, S = [; ], E = [ 1 ; ], F = [ 1 ; ], A = [ ; ], B = [; ]. Přímk p je dán rovnicí x y =, přímk q je dán rovnicí x + y =.

2 Hyperol, jejíž střed S je totožný s počátkem soustvy souřdnic jejíž hlvní os je totožná x y s osou y, má rovnici: 1, kde je velikost hlvní poloosy hyperoly, velikost vedlejší poloosy hyperoly. Tento přípd je vyorzen n orázku níže. Zde konkrétně =, =, e = 1, S = [; ], E = [; 1 ], F = [; 1 ], A = [; ], B = [; ]. Přímk p je dán rovnicí x y =, přímk q je dán rovnicí x + y =. Hyperol se středem S = [m; n], jejíž hlvní os je rovnoěžná s osou x má rovnici: x m y n 1 kde je velikost hlvní poloosy hyperoly, velikost vedlejší poloosy hyperoly. Hyperol se středem S = [m; n], jejíž hlvní os je rovnoěžná s osou y má rovnici: x m y n 1 kde je velikost hlvní poloosy hyperoly, velikost vedlejší poloosy hyperoly. Výše uvedené čtyři rovnice zveme osové rovnice hyperoly. Př. 1. Zjistěte velikosti poloos souřdnice středu ohnisek hyperoly H. Dále npište oecné rovnice symptot této hyperoly. H: 9x 16y 9x 96y 95

3 Řešení: Rovnici uprvíme n osový tvr (viz příkld 7). Z oecné rovnice lze totiž rozeznt pouze fkt, že se jedná o hyperolu. 9x 16y 9x 96y 95 Přerovnáme. 9x 9x 16y 96y 95 Vytkneme. 9 x 1x16y 6y 95 Doplníme. 1x 516y 6y x Slíme y 576 x 5 y x Vydělíme zkrátíme S = [5; ], = 8, = 6, hlvní os rovnoěžná s osou x Nyní určíme výstřednost elipsy ze vzthu: e = +. Výstřednost e = 1. Jestliže je hlvní os hyperoly rovnoěžná s osou x, udou mít ohnisk stejné y ové souřdnice jko střed S hyperoly. Tedy E = [x 1 ; ], F = [x ; ]. X ové souřdnice ohnisek dopočítáme sndno, víme totiž, že ohnisk mjí od středu S vzdálenost rovnu e. x 1 = 5 1 = 5 x = = 15 Ohnisk mjí tedy souřdnice E = [ 5; ], F = [1; ]. Nyní přikročíme k určení rovnic symptot hyperoly. K tomu potřeujeme znát jejich liovolný od (tím je od S) jejich směrové vektory (resp. směrnice k). Směrnice symptot určíme ze vzthu k. 6 k 8 Asymptot 1 ude mít rovnici: y x q. Koeficient q vypočítáme doszením souřdnic středu S = [5; ] hyperoly. 7 5 q q 1 : 7 y x Tuto rovnici převedeme do oecného tvru: 1 : x y 7 = Asymptot ude mít rovnici: y x q. Koeficient q vypočítáme doszením souřdnic středu S = [5; ] hyperoly. 5 q q : y x Tuto rovnici vyjádříme v oecném tvru: : x + y =

4 Vzájemná poloh přímky hyperoly Vzájemnou polohu přímky hyperoly zjišťujeme řešením soustvy jejich rovnic. Postupujeme vždy tk, že z rovnice přímky doszujeme do rovnice hyperoly. Přímku, která má s hyperolou společné ody, zveme sečnou hyperoly. Přímku, která má s hyperolou jeden společný od, zveme ) tečnou hyperoly, pkliže není rovnoěžná s žádnou z symptot hyperoly, ) symptotickou sečnou hyperoly, je-li rovnoěžná s některou z symptot hyperoly. Přímku, která nemá s hyperolou společný od není její symptotou, zveme nesečnou hyperoly. y sečn nesečn x symptotická sečn tečn Př. 11. Zjistěte vzájemnou polohu přímky 1x y = hyperoly x y = 6. Řešení: Z rovnice přímky vyjádříme npř. proměnnou y dosdíme ji do rovnice hyperoly. 1x y = 1 y x 1 x x x x x x 1x 6x x 1x 6x x 6x 16 x 1x x x = 5 y 5 6

5 Přímk hyperol mjí jeden společný od [5; 6]. Čistě teoreticky se tedy může jednt o tečnu či symptotickou sečnu hyperoly. Jk si mezi nimi vyrt? Jednoduše. Zjistíme velikost hlvní vedlejší poloosy hyperoly porovnáme směrnici zdné přímky se směrnicí symptot. Rovnici hyperoly nejdříve uprvíme n osový tvr. Dostneme rovnici: x y 1 =, = 8, S = [; ], hlvní os hyperoly je totožná s osou x Směrnice symptot této hyperoly k. Směrnice zdné přímky k. Přímk je tedy tečnou hyperoly s odem dotyku T = [5; 6]. Pozn. Dospějeme-li při řešení soustvy rovnic přímky hyperoly ke kvdrtické rovnici, můžou nstt pouze tyto tři možnosti: přímk je tečn, sečn či nesečn hyperoly. V přípdě, že ychom dospěli k lineární rovnici, jednlo y se o symptotickou sečnu. Kdyy nám vyšel nějký nesmysl (npř. 5 = pod.), jednlo y se přímo o symptotu hyperoly. Př. Již víme, že npříkld přímk y = x + 5 ude symptotickou sečnou dné hyperoly, jelikož její směrnice k =. Zkusíme dosdit do rovnice hyperoly uvidíme, co se stne. x y = 6 x (x + 5) = 6 x (x + x + 5) = 6 x = 89 Toto je lineární rovnice, přímk je symptotickou sečnou hyperoly x y 5 Průsečík přímky s hyperolou P 1 ; 1. Př. Již víme, že přímk y = x je symptotou dné hyperoly, jelikož její směrnice k = prochází odem S = [; ]. Zkusíme dosdit uvidíme. x y = 6 x (x) = 6 x x = 6 = 6 to je nesmysl Pozn. Všimněte si, že u zdné hyperoly pltí nerovnost <. To y se u elipsy stát nemohlo. N závěr pro úplnost dodávám rovnice tečen k hyperole (v tomto textu jsme je nepoužili). HYPERBOLA TEČNA s odem dotyku T = [x ; y ] x m y n x mx m y n y n 1 x m y n x mx m y n y n 1 1 1

6 Prol Prol je množin všech odů roviny, které mjí od dného odu F roviny dné přímky d roviny, která neprochází odem F, stejnou vzdálenost. Prol je nestředová kuželosečk. Zkráceně: Prol = {X ; FX = v(d;x); F d }; kde symolem znčíme rovinu. Bod F se nzývá ohnisko proly, přímk d řídící přímk proly. Přímk o vedená ohniskem F kolmo k řídící přímce d se zve os proly. Vzdálenost ohnisk F od řídící přímky d se nzývá prmetr proly, p = FD, kde od D je průsečík přímek o d. Vrchol V proly je střed úsečky FD. Prol s prmetrem p, která má vrchol v počátku soustvy souřdnic ohnisko n ose x, má rovnici: y = px (leží-li ohnisko n kldné poloose x viz or. níže) y = px (leží-li ohnisko n záporné poloose x) Prol s prmetrem p, která má vrchol v počátku soustvy souřdnic ohnisko n ose y, má rovnici: x = py (leží-li ohnisko n kldné poloose y) x = py (leží-li ohnisko n záporné poloose y) Prol s prmetrem p, která má vrchol V = [m; n] jejíž os je rovnoěžná s osou x, má rovnici: I. (y n) = p(x m) (leží-li ohnisko nprvo od vrcholu V ) II. (y n) = p(x m) (leží-li ohnisko nlevo od vrcholu V ) Prol s prmetrem p, která má vrchol V = [m; n] jejíž os je rovnoěžná s osou y, má rovnici: III. (x m) = p(y n) (leží-li ohnisko nd vrcholem V ) IV. (x m) = p(y n) (leží-li ohnisko pod vrcholem V ). Tyto rovnice oznčujeme jko vrcholové tvry rovnice proly (viz přehled n konci textu). Př. 1. Npište rovnici proly rovnici řídící přímky proly, jestliže: ) vrchol V = [ ; 1], prol prochází odem A = [; ] má osu rovnoěžnou s osou y, ) vrchol V = [; ], ohnisko F = [; ], 7 c) prol prochází ody A = ;, B = ;, C = 1; 7.

7 Řešení: ) Má-li mít prol osu rovnoěžnou s osou y, ude mít rovnici uď (x + ) = p(y 1) neo (x + ) = p(y 1). Jestliže má prol procházet odem A, jehož y ová souřdnice je větší než 1 (tj. od A leží výš než vrchol proly ), musí mít logicky rovnici (x + ) = p(y 1) (typ III.). Prmetr p určíme, když do této rovnice dosdíme souřdnice odu A. ( + ) = p( 1) p = 1 Prol má rovnici (x + ) = (y 1). p Řídící přímk proly III. typu má rovnici y n resp. p y n (viz přehled n konci textu). 1 Prmetr proly p = 1, n = 1. Řídící přímk d proly má tedy rovnici y. y x d... ) V = [; ], F = [; ] Vrchol i ohnisko leží ve stejné výšce. Prol ude tedy nležto jelikož ohnisko leží vlevo od vrcholu, ude mít rovnici: (y ) = p(x ) (II. typ). Zývá dořešit prmetr p. Pro ten pltí: p = VF = 6. Prol má tedy rovnici: (y ) = 1(x ). Řídící přímk proly II. typu má rovnici p x m resp.. p x m p = 6, m = Rovnice řídící přímky je x 6 =.

8 7 1 c) A = ;, B = ;, C = 1; 7. Nejdřív si ody A, B, C zkreslíme do krtézské soustvy souřdnic. Když se tk n orázek vprvo zdíváme, připdjí v úvhu dvě možnosti: 1) prol tvru kopečku s vrcholem někde v I. kvdrntu (typ IV.) ) prol nležto s vrcholem někde ve III. kvdrntu (typ I.) d1) Prol má rovnici (x m) = p(y n). Body A, B, C leží n této prole, čili jejich souřdnice musejí vyhovovt rovnici proly. Po jejich doszení održíme rovnice o třech neznámých m, n, p. m p, 5 n A: B: m p, 5 n C: 1 m p 7 n Nejdřív odečteme druhou rovnici od první. m m p,5 n p, 5 n m 16 8m m 7 p p 8m 16 8p p = m Teď odečteme třetí rovnici od druhé. m 1 m p,5 n p 7 n 16 8m m 1 m m p np 1 p np 1m m 15 p p m 1 15 Pořád se jedná o týž prmetr p, tkže je dáme do rovnosti. m 1 m m m 6 = m Dopočítáme prmetr p. p = m = 1 Z liovolné rovnice dopočítáme n. m p, 5 n 9, 5 n 9 7 n n = 1 Prol má rovnici (x ) = (y 1). p Řídící přímk proly typu IV. má rovnici y n resp.. p y n p = 1, n = 1 Řídící přímk d 1 má rovnici y 1,5 =.

9 d) Prol má rovnici (y n) = p(x m). Body A, B, C leží n této prole, čili jejich souřdnice musejí vyhovovt rovnici proly. Po jejich doszení održíme rovnice o třech neznámých m, n, p.,5 n p m A: B:,5 n p m C: 7 n p1 m Postupovt udeme úplně stejně jko v prvním přípdě. Nejdřív odečteme druhou rovnici od první.,5 n,5 n p m p m 1,5 7n n,5 n n pm 8p pm 1 8n 8p p = n 1,5 Teď odečteme třetí rovnici od druhé.,5 n 7 n p m p 1 m,5 n n 9 1n n 8p pm p pm 8,75 15n 1 p p 1,5n, 875 Pořád se jedná o týž prmetr p, tkže je dáme do rovnosti. n 1,5 1,5 n,875,5n,75 n = 6,75 Dopočítáme prmetr p. p = n 1,5 = 5,5 Z liovolné rovnice dopočítáme m.,5 n p m 1,565 1,5m m = Prol má rovnici 7 y 1,565 = 1, x. 168 Řídící přímk proly I. typu má rovnici p x m resp.. p x m p = 5,5 = ; m = Řídící přímk d má rovnici x =, čili x. 8

10 Př. 1. Určete všechny prmetry proly y + 6x + 8y + =. Řešení: Rovnici uprvíme n vrcholový tvr. y + 6x + 8y + = y + 8y = 6x Přičteme co je tře. y + 8y + 16 = 6x + 16 Vlevo slíme, vprvo sečteme vytkneme. y 6x Z vrcholové rovnice přímo plyne: V = [ ; ], p =, prol ude nležto s ohniskem F = [x; ] vlevo od vrcholu. p p = x =,5 ohnisko F = [,5; ] Řídící přímk d je rovnoěžná s osou y, její rovnice má tvr x =. Leží vprvo od proly. p = + 1,5 d: x + 1,5 = Vzájemná poloh přímky proly Vzájemnou polohu přímky proly zjišťujeme řešením soustvy jejich rovnic. Přímku, která má s prolou společné ody, zveme sečnou proly. Přímku, která má s prolou jeden společný od, zveme ) tečnou proly, pkliže není rovnoěžná s osou proly, ) symptotickou sečnou proly, pkliže je rovnoěžná s osou proly. Přímku, která nemá s prolou společný od, nzýváme nesečnou proly. PARABOLA TEČNA s odem dotyku T = [x ; y ] y = px yy px px y = px yy px px x = py xx py py x = py xx py py (y n) = p(x m) y n y n px m px m (y n) = p(x m) y n y n px m px m (x m) = p(y n) x mx m py n py n (x m) = p(y n) x mx m py n py n Př. 1. Určete vzájemnou polohu přímky y = proly y = x. Řešení: Řešíme soustvu jejich rovnic. Postupujeme stejně jko u osttních kuželoseček. y = y = Dosdíme do rovnice proly. y = x 9 9 = x x = 9 Prol přímk mjí jeden společný od [ ; ]. Přímk tedy může ýt uď tečnou neo symptotickou sečnou proly. Vrchol proly má souřdnice V = [; ], osou proly je

11 tudíž přímo os x. Vzhledem k tomu, že přímk y = je rovnoěžná s osou x, je tedy symptotickou sečnou proly. Pozn. Podoně jko u hyperoly přímky, i zde pltí: dospějeme-li při řešení soustvy rovnic přímky proly k lineární rovnici, je přímk utomticky symptotickou sečnou proly. Př. 15. Bodem M = [; 1] veďte tečnu k prole (y + 1) = x. Prol má vrchol V = [; 1], její os je rovnoěžná s osou x, p = 1, ohnisko proly má souřdnice F = [,5; 1]. Zřejmě od M je vnějším odem proly lze jím vést tečny k prole. Ty udou mít rovnice y 1 y 1 x x, kde T = [x ; y ] je odem dotyku tečny s prolou. Bod M je odem tečny, jeho souřdnice musí vyhovovt rovnici tečny. 1 1 y 1 x y 1 x x y T je odem proly, jeho souřdnice musí vyhovovt rovnici proly. (y + 1) = x Z x dosdíme výrz y. (y + 1) = ( y ) y y 1 y 8 y y 7 D =, D y 1 Pro oě y dopočítáme x. 6 x y 1 1 Získli jsme dv ody dotyku: T 6 ;1, 6 ;1 1 T. Jejich souřdnice dosdíme zpět do rovnice tečny získáme rovnice tečen t 1 t : t 1 : y 11 1 x 6 y 1 x 6 y y x 6 x y

12 t : y 11 1 x 6 y 1 x 6 y y x 6 x y Pro ilustrci je celá situce znázorněn n orázku nhoře (od T 1 se n orázek nevešel). Prolický přehled: I. II. III. IV.