Goniometrie základní pojmy

Transkript

1 teorie řešené úlohy cvičení test nápověda Goniometrie základní pojmy íš, že pro úhly v geodézii se místo šedesátinného dělení používá častěji dělení setinné, v němž je plný úhel rozdělen na 00 gradů? obloukovou lampu významně zdokonalil český vynálezce František Křižík (87 9)? jednotkovou kružnici najdeme i na pražském orloji? Naučíš se pracovat s orientovanými úhly. určit velikost úhlu pomocí obloukové míry. převádět stupně na radiány a naopak. íce informací

2 S pojmem úhel jste se setkali již v geometrii na základní škole, většina z vás tento pojem zná a umí s ním intuitivně pracovat. Například víte, že velikost úhlu můžeme měřit ve stupních, pravý úhel má 90 atd. Přesto však přesná matematická definice úhlu není úplně jednoduchá a skrývá v sobě jistá úskalí. S popisem úhlu a jeho některými vlastnostmi jsme se seznámili také v tématu Planimetrie (Základní planimetrické pojmy a poznatky). Obvykle je úhel definován následovně: zapamatujeme si Úhel (značíme ) je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami, které mají společný počátek. Polopřímky a nazýváme ramena úhlu, bod nazýváme vrchol úhlu. English Terms goniometry / goniometrie angle / úhel arm of angle / rameno úhlu vertex of angle / vrchol úhlu anticlockwise direction / proti směru hodinových ručiček clockwise direction / po směru hodinových ručiček radian / radián arc / oblouk length of an arc of a circle / délka kruhového oblouku unit circle / jednotková kružnice perigon / plný úhel Pozor! Uvědomte si zejména, že: úhel nejsou pouze dvě ramena a, nýbrž část roviny mezi oběma rameny. bez dalšího vysvětlení ale není zřejmé, kterou část roviny máme na mysli, protože polopřímky a vymezují dva různé úhly konvexní úhel (obr. a) a nekonvexní úhel (obr. b). obr. a obr. b Orientovaný úhel a jeho velikost další matematice, ale zejména fyzice a technických aplikacích, však s předchozí definicí úhlu nevystačíme. Zkoumáme-li například otáčení těles, pohyb bodu po kružnici, vlnění atd., je obvykle důležité, zda se pohybujeme z bodu do bodu nebo naopak. Není tedy důležitý jen samotný pohyb mezi body a, ale svou roli hraje také jeho orientace. Z těchto důvodů označujeme jednu polohu (jedno z ramen úhlu) jako počáteční rameno a druhé z ramen nazveme ramenem koncovým. Tak vzniká pojem orientovaný úhel. zapamatujeme si Uspořádaná dvojice polopřímek, se nazývá orientovaný úhel, značíme. Polopřímku nazveme počátečním ramenem, polopřímku označujeme jako koncové rameno a bod se nazývá vrchol orientovaného úhlu. 2 teorie íce informací

3 souladu s fyzikální interpretací (počáteční a koncový stav nějakého tělesa) si lze orientovaný úhel představit jako počáteční a koncovou polohu polopřímky, která se otáčí kolem vrcholu.. Otáčíme-li polopřímku proti směru hodinových ručiček, mluvíme o kladném směru otáčení, zatímco při otáčení po směru hodinových ručiček budeme mluvit o záporném směru otáčení (obr. 2). obr. 2 + Na obr. vidíme, že polopřímka může přejít do polohy buď v kladném směru (otočením o úhel α), nebo v záporném směru (otočením o úhel 60 - α). α obr. 60 α To ale není všechno. Zvolíme-li třeba kladný směr otáčení, pak polopřímku můžeme otočit kolem vrcholu z její počáteční polohy do koncové polohy nekonečně mnoha způsoby, jak naznačuje obr.. α 60 + α α obr. Z obr. je patrné, že zatímco velikost úhlu (vyjádřená ve stupních) je číslo z intervalu 0, 60), velikost orientovaného úhlu může být libovolně velké (kladné i záporné) číslo. Přesto ale vidíme, že orientované úhly na obr. mají něco společného, a to je úhel α. To nás přivádí k definici základní velikosti orientovaného úhlu: zapamatujeme si Základní velikostí orientovaného úhlu β rozumíme velikost úhlu α, pro který platí:. β = α + k 60, k, 2. α 0, 60 ). teorie 2 íce informací

4 Přestože nám připadá měření úhlů ve stupňové míře přirozené a názorné, existuje i jiný způsob, jak měřit velikosti úhlů. Ten vychází z myšlenky měřit velikost úhlu pomocí délky kruhového oblouku, proto hovoříme o obloukové míře. Základní jednotkou obloukové míry je radián. Radián je nejběžněji užívaná jednotka velikosti úhlu nejen v matematice, ale zejména v aplikacích v přírodních vědách. Důvodem je skutečnost, že užití radiánů dovoluje velmi jednoduché formulace řady matematických tvrzení. O této skutečnosti se přesvědčíme v následujících kapitolách. zapamatujeme si Radián je středový úhel, kterému přísluší na kružnici oblouk délky poloměru. Radiány budeme označovat zkratkou rad. Obvykle se pracuje s tzv. jednotkovou kružnicí, tj. kružnicí, jejíž poloměr má délku. Úhel o velikosti rad je vyznačen na obr. 5 jde o úhel, který na jednotkové kružnici vytíná oblouk jednotkové délky. rad obr. 5 zniká přirozená otázka: kolik radiánů má celá kružnice? Hledáme tedy vzájemný vztah mezi stupni a radiány. Ze základní školy víme, že délka kružnice s poloměrem r je rovna 2r, a tedy délka kružnice s poloměrem je 2. Z definice radiánu tedy vyplývá, že 60 (plný úhel) je rovno 2 radiánů. Tak dostáváme základní vztah, který nám umožňuje převádět stupně na radiány a naopak. zapamatujeme si 60 = 2rad 2 = rad = rad rad = = = 57, Nejčastěji užívané velikosti úhlů vyjádřené ve stupních a radiánech jsou v následující tabulce: stupně radiány Poznámka: Při zápisech velikostí úhlů v radiánech obvykle vynecháváme značku rad (zapisujeme jen číselnou hodnotu velikosti). teorie íce informací

5 Převodní vztahy mezi stupni a radiány jsou vyjádřeny na obr ,7,6,5,,8,9,,2 2,0, 2,,0 2,2 0,9 2, 0,8 2, ,7 5 2, ,6 6 2, ,5 2, , 2, , 2, ,2, ,, 80 0 = 60 0 = 2,2 6, , 6, 200 0, 6,0, ,9, ,8, , , ,6,9 5,5,0 5 5, 7, 5,,2,,,5,6,7,8,9 5,0 5, 5,2 5 obr. 6 2 Podobně jako v případě, kdy velikost orientovaného úhlu vyjadřujeme ve stupních, zavedeme základní velikost orientovaného úhlu měřeného v radiánech: zapamatujeme si Základní velikostí orientovaného úhlu β rozumíme velikost úhlu α, pro který platí:. β = α + k 2, k, 2. α 0, 2). souvislosti Goniometrie je slovo řeckého původu (gónia = úhel, metró = měřím) a označuje oblast matematiky, která se zabývá goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens. Její důležitou součástí je trigonometrie, která se věnuje užití těchto funkcí při řešení různých úloh o trojúhelnících. 5 teorie íce informací

6 Příklad Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) 000 b) c) řešení a) 000 Číslo 000 je větší než 60, tj. odečteme = 60 Číslo 60 je větší než 60, tj. odečteme 60.. krok = 280 < 60 Základní velikost úhlu 000 je úhel 280. b) Číslo je menší než 0, tj. přičteme = -90 Číslo -90 je menší než 0, tj. přičteme 60.. krok = krok Číslo -570 je menší než 0, tj. přičteme 60. c) Číslo je veliké, a proto použít analogický postup jako v bodech a) a b) je zde z časových důvodů nemožné. Pro základní velikost úhlu platí: = α + k 60 Odtud plyne: α = k 60. krok Hodnotu k vypočteme dělením čísla číslem krok ,7 60 = 6. krok Odtud plyne, že k = 2 (tj. největší celé číslo menší než číslo 2,7... ). 7. krok Tedy α = = 270. Základní velikost úhlu je úhel krok = krok Číslo -20 je menší než 0, tj. přičteme krok = 50 Základní velikost úhlu je úhel řešené úlohy íce informací

7 Příklad 2 Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) 7 rad 5 b) - rad c) 7 rad řešení a) 7 rad Číslo 7 je větší než 2, tj. odečteme = 5 Číslo 5 je větší než 2, tj. odečteme 2.. krok 5-2 = 5. krok Číslo je větší než 2, tj. odečteme krok -2=< 2 Základní velikost úhlu 7 rad je úhel rad. 5 b) - rad Číslo 5 - je menší než 0, tj. přičteme =-. c) 7 rad Číslo 7 je veliké, a proto použít analogický postup jako v bodech a) a b) je zde z časových důvodů nešikovné. Pro základní velikost úhlu platí: 7 = α + k 2 Odtud plyne: α = 7 - k 2. krok Hodnotu k vypočteme dělením čísla 7 číslem krok 7 2 = 6,5 6. krok Odtud plyne, že k = 6 (tj. největší celé číslo menší než číslo 6,5). 7. krok Tedy α = = Základní velikost úhlu 7 rad je úhel rad. Číslo 7 - je menší než 0, tj. přičteme 2.. krok = 5 Základní velikost úhlu - rad je úhel rad. 7 řešené úlohy 2 íce informací

8 Příklad elikosti úhlů ve stupních vyjádřete v radiánech: a) 0 b) 20 c) 67 0 řešení a) 0 Použijeme vztah = rad. 80 Pro úhel 0 tedy platí: 0 0,698 rad = 2 0 = 0 rad = rad = 0,698 rad 80 9 b) 20 Použijeme vztah: = rad 80 2 Pro úhel 20 tedy platí: 20 = 20 rad = rad = 2,09rad ,09rad = c) 67 0 Nejprve vyjádříme úhel 67 0 desetinným číslem = 67,5 Nyní použijeme vztah = rad. 80. krok Pro úhel 67,5 tedy platí: 67,5 = 67,5 rad = rad =,78 rad ,5,78 rad = 8 řešené úlohy íce informací

9 Příklad elikosti úhlů v radiánech vyjádřete ve stupních: a) 7 rad b) rad c) 2 rad 5 řešení a) 7 rad 80 Použijeme vztah rad =. Pro úhel rad tedy platí: rad = = 5 7 rad 5 = b) rad 80 Použijeme vztah rad =. 80 Pro úhel rad tedy platí: rad = = 5 rad = 5 c) 2 rad 5 80 Použijeme vztah rad =. Pro úhel rad tedy platí: rad = = rad = řešené úlohy íce informací

10 Příklad 5 ypočtěte vzdálenost v na zemském povrchu mezi obratníkem Raka (2 27 s. š.) a obratníkem Kozoroha (2 27 j. š.), víte-li, že poloměr Země je 6 00 km. řešení Nejprve si celou situaci schematicky znázorníme na obrázku: Rak rovník α 600 Kozoroh Nyní vypočítáme velikost středového úhlu α: α = = 6 5 = 6,9 Z vlastností kružnice o poloměru r plyne, že délka kruhového oblouku, který přísluší středovému úhlu, se vypočte ze vztahu r. 80. krok Odtud po dosazení plyne: v = 6, = 529 km 80 zdálenost na zemském povrchu mezi obratníkem Raka a obratníkem Kozoroha je přibližně 5 29 km. 0 řešené úlohy 5 íce informací

11 Cvičení Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) b) c) -82 výsledek/řešení Cvičení 2 Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) 2 rad 2 výsledek/řešení b) 6 rad 5 c) 29 - rad 2 Cvičení elikosti úhlů ve stupních vyjádřete v radiánech: a) 255 b) -270 c) výsledek/řešení Cvičení elikosti úhlů v radiánech vyjádřete ve stupních: výsledek/řešení a) 7 rad 5 9 b) - rad 2 c) 8 rad Cvičení 5 The hands of a clock show 0:5. Express the obtuse angle formed by the hour and minute hands in the radian measure. výsledek/řešení cvičení íce informací

12 Matematika pro střední školy Tematický celek: Goniometrie a trigonometrie edoucí projektu: doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc. utoři: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc. Mgr. Šárka Gergelitsová (modely v programu GeoGebra) Mgr. Jitka Schovancová (interaktivní cvičení) utor metodiky: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc. Odborná spolupráce: Mgr. Michaela Petrová, Mgr. Růžena Písková, Mgr. Jitka Schovancová, PhDr. Irena lachynská Odborná redakce: Mgr. Miroslava Nováková Grafická úprava, sazba a ilustrace: Marek Novotný Redakce obrazové části: Dagmar Metlická Koordinátorka e-produkce: Tereza Šitancová Softwarový vývoj: Ing. Jaroslav Svoboda utoři a zdroje obrazového materiálu: uvedeno níže Součástí flexibooku je následující autorsky chráněný materiál texty, vyobrazení (fotografie, ilustrace, schémata aj.), rozšiřující multimediální materiál (video, audio) a programy třetích stran (pro další rozšíření funkcí programu). Zdroje tohoto materiálu jsou popsány v následující části tohoto dokumentu, materiál je níže rozčleněn podle typu (audio, video, animace, ). Způsob značení položek v tabulkách: Obr 007_00 Nakladatelství Fraus / Petr ítek Obr typ objektu (ni, ud, Dok, Obr, id, ) 007 strana v i-učebnici 00 pořadí objektu na stránce, směr značení směr značení zleva doprava dolů (nejprve jsou uvedeny objekty, které jsou součástí stránky) Nakladatelství Fraus / Petr ítek autor objektu Fotografie, grafy a mapy S-Obr 00_00 Shutterstock / N.Minton, 20 S-Obr 00_00 Shutterstock / leonello calvetti, 20 Obr 000_000 Nakladatelství Fraus / Olga Matulová; Shutterstock / Chuhail, íce informací

13 Dokumenty a pracovní aktivity Dok 006_00 Nakladatelství Fraus Dok 007_00 Nakladatelství Fraus Dok 008_00 Nakladatelství Fraus Dok 009_00 Nakladatelství Fraus Dok 00_00 Nakladatelství Fraus Dok 0_00 Nakladatelství Fraus Dok 0_002 Nakladatelství Fraus Dok 0_00 Nakladatelství Fraus Dok 0_00 Nakladatelství Fraus Dok 0_005 Nakladatelství Fraus Dále jsou uvedeny materiály umístěné v samostatné vrstvě citace Fraus. Tyto materiály, označované též jako internetové zdroje a citace, jsou-li u daného titulu využity a nejedná-li se o citace z jiných titulů Nakladatelství Fraus, poskytuje prodávající bezplatně. Jedná se o programy a data, které lze podle sdělení jejich autorů, které měl prodávající k dispozici v době vzniku matrice, pro účely školního vyučování užít volně. Prodávající do těchto programů a dat nijak nezasáhl, pouze zprostředkovává jejich získání. dále uvedených tabulkách je pro každý z programů či datových souborů uveden internetový odkaz, případně jiný zdroj (např. název CD s volně šířeným softwarem), kde se daný program či datový soubor v době vzniku instalačního datového balíčku nalézal nebo kde ho bylo možno v té době získat. Na daném internetovém odkazu nebo v uvedeném zdroji mohou být uvedeny další podrobnosti o možnosti využití nebo šíření programu či datového souboru. Dále se jedná o citace ve smyslu, odst. () autorského zákona č. 2/2000 Sb., v takovém případě je v tabulce vždy uveden zdroj a autor citovaného autorského díla. GeoGebra / doplňkové materiály Dok 00_00 GeoGebra Dok 005_00 GeoGebra ydalo Nakladatelství Fraus, Edvarda eneše 72, 0 00 Plzeň ýhrada práv: šechna práva vyhrazena. Reprodukce a rozšiřování díla nebo jeho částí jakýmkoliv způsobem jsou bez písemného souhlasu nakladatele zakázány, s výjimkou případů zákonem výslovně povolených.. vydání Copyright: Fraus, Plzeň 20 íce informací