Úhly a jejich vlastnosti

Transkript

1 Úhly a jejich vlastnosti Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění. Definice: Úhel je část roviny omezená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Konvexní úhel Nekonvexní úhel Je velmi důležité si uvědomit, že úhel nejsou pouze ta dvě ramena, nýbrž celá plocha, kterou ty dvě ramena svírají. Úhel se tedy skládá ze dvou ramen, které úhel ohraničují, z vrcholu úhlu, z něhož ty polopřímky vycházejí a z plochy, kterou vymezují ramena úhlu. Máme-li úhel ABC, ramena úhlu jsou AB a BC a vrchol je B. Úhly si rozdělíme do dvou základních skupin Úhly konvexní tento úhel má méně než 180 stupňů, označujeme ho znakem. Úhly nekonvexní tento úhel má více než 180 stupňů, označujeme ho znakem. Úhel může mít buď kladnou nebo zápornou orientaci. U kladné orientace postupujeme proti směru hodinových ručiček a v záporném po směru hodinových ručiček. Takže při zápisu úhlu ABC je jako první zmíněna polopřímka AB a jako druhá polopřímka BC. V kladném směru se koukneme na polopřímku AB a postupujeme dále proti směru

2 hodinových ručiček. V našem příkladu nahoře by nám vyšel první obrázek, konvexní úhel. Kdybychom si určili záporný směr, dostali bychom úhel nekonvexní, tedy druhý obrázek. Osa úhlu Každý úhel má svou osu, což je přímka, která prochází vrcholem úhlu a daný úhel půlí. Definice: Osou úhlu nazýváme množinu právě těch bodů úhlu, které mají od obou ramen úhlu stejnou vzdálenost Sestrojit osu úhlu není žádný problém, bude stačit pouze kružítko, pravítko a propiska, v lepším případě tužka (ale všichni víme, že není nad to rýsovat propiskou). Nejprve narýsujeme libovolně velkou kružnici se středem ve vrcholu úhlu, u kterého chceme osu udělat. Tato kružnice protne ramena úhlu vždy v jednom bodě, dejme tomu M a N. Poté vezmeme do kružítka opět libovolnou vzdálenost (klidně stejnou, ale nesmí to být malý poloměr, dále pochopíte proč) a uděláte stejně velké kružnice postupně se středem v M a poté se středem v N. Tam, kde se kružnice protnou, se nachází jeden bod osy (O). Druhý bod osy se nachází ve vrcholu úhlu (V). Skrze tyto body povedete přímku a máte osu.

3 Druhy úhlů Nulový úhel - je úhel, jehož ramena leží na sobě. Mezi rameny není nic. Ostrý úhel - je úhel menší než pravý úhel. Pravý úhel - je polovina přímého úhlu. Všimněte si na obrázku, že pravý úhel se označuje tečkou v obloučku. Tupý úhel - je větší než pravý úhel. Přímý úhel - je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky. Plný úhel -je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina kolem nich. Kosý úhel - je úhel, který není nulový, pravý, přímý nebo plný. Dutý úhel - je úhel, který je menší než přímý úhel. Velikost úhlu Stejně jako můžeme změřit délku úsečky, můžeme také změřit velikost úhlu. Ta se měří buďto v klasické stupňové míře, kterou určitě znáte nebo v obloukové míře. Stupňová míra Stupňová míra je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 90 dílků, které se nazývají stupně. Stupeň (značí se ) se dále dělí na minuty (značí se ) a vteřiny (značí se ). Jeden stupeň má 60 minut a jedna minuta má šedesát vteřin. 1 = 60 1 = 60 1 = 3600

4 Oblouková míra Oblouková míra už je trochu horší na představivost, protože se zde počítá s radiány, které nemají absolutní hodnotu. Radián je jednotka soustavy SI užívaná při měření rovinného úhlu. Používá se pro něj značka rad. Plný úhel má 2π radiánů to je 360 stupňů. Vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou lze tedy zapsat jako 1 = π/180 rad. Radiánu se používá především v technických disciplínách, jako jsou například fyzika nebo elektrotechnika. V běžné praxi se velikosti úhlů udávají většinou ve stupních. Při udávání velikosti úhlu v obloukové míře se značka rad zpravidla vynechává. Dvojice úhlů Některé specifické dvojice úhlů mají různé vlastnosti, o kterých je dobré vědět. Vrcholové úhly Jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vedlejší úhly Jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

5 Souhlasné úhly Jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly Jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné. Operace s úhly Sčítání úhlů Vezmete jeden úhel, přenesete ho k druhému tak, aby měly jedno společné rameno a výsledný úhel tvoří ramena, která mají ty dva úhly různá. V tomto příkladu je znázorněn součet α + β. Společné rameno polopřímka AC a různá ramena polopřímky AB a AD. Výsledek je úhel BAD.

6 Odčítání úhlů U odečítání to funguje velice podobně, akorát jeden úhel nepřenesete vně druhého úhlu, ale dovnitř úhlu. Poté od většího úhlu odečtete průnik těch dvou úhlů a máte rozdíl. Obrázek znázorňuje rozdíl α β. Červená část pak opět zvýrazňuje výsledný úhel.