4.2.4 Orientovaný úhel I

Transkript

1 44 Orientovaný úhel I Předpoklady: 3508 Definice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel) Nevýhody této definice: Nevíme, jaký úhel máme na mysli (Růžový konvexní nebo žlutý nekonvexní?) Když chceme pomocí úhlu popsat otáčení, nevíme, co popisujeme (Točí se nahoru nebo dolu?) Orientovaný úhel je uspořádaná dvojice polopřímek (V,V ) se společným počátkem V Píšeme: V (V - počáteční rameno, V - koncové rameno, V = vrchol) Úhel vznikne otočením polopřímky Dále budeme vždy značit počáteční rameno modře, konečné červeně Směr otáčení bude vyznačen šipkou Pokud máme jednoznačně nakreslit V = 30, musíme vědět, co je kladný a co záporný směr otáčení Za kladné považujeme otáčení proti směru hodinových ručiček Za záporné považujeme otáčení po směru hodinových ručiček 1

2 Př 1: Na obrázku je nakreslen trojúhelník Urči velikost orientovaných úhlů: a) b) c) d) a) Otáčíme po směru hodinových ručiček = c) Otáčíme po směru hodinových ručiček = 90 b) Otáčíme proti směru hodinových ručiček = d) Otáčíme proti směru hodinových ručiček = Poznámka: V celém zbytku hodiny budeme pod trojúhelníkem rozumět trojúhelník z předchozího příkladu Existují i jiné způsoby jak otočit polopřímku do polopřímky : = 3 = 390

3 = 750 Podobných možností je evidentně nekonečně mnoho zdá se, že jsme přešli z bláta do louže Zkusíme najít systém v získaných hodnotách Postřeh: Z obrázku je vidět, že kladné hodnoty se liší vždy o jednu otáčku (3 ) Seřadíme hodnoty podle velikosti: = Všechna ta čísla jsou správně! Liší se o násobky 3, tedy o násobky celých otáček (když se otočíme o celou otáčku, ocitneme se na stejném místě) Nejhezčí hodnota 30 (nejmenší kladné číslo) = základní velikost orientovaného úhlu Základní velikostí úhlu nazýváme velikost α, pro kterou platí α 0;3 ) Př : Zformuluj větu o základní velikosti úhlu V v obloukové míře Převedeme krajní body intervalu: 3 = π rad Základní velikostí úhlu nazýváme velikost α, pro kterou platí α 0;π ) Úhel se dá zapsat nekonečně mnoho čísly (velikostmi úhlu) Všechny velikosti úhlů se navzájem liší o násobek 30 Velikostí orientovaného úhlu V, jehož základní velikostí je α, se nazývá každé čísloα + k 3, kde k Z Př 3: Zformuluj větu o všech velikostech orientovaného úhlu V v obloukové míře K základní velikosti přidáváme násobky jedné otáčky 3 = π rad Velikostí orientovaného úhlu V, jehož základní velikostí je α, se nazývá každé čísloα + k π, kde k Z 3

4 Př 4: Napiš základní a tři další velikosti úhlu v trojúhelníku = 0 není základní velikostí (hodnota je záporná) připočteme = základní velikost 300 0;3 ) Další hodnoty získáme připočtením nebo odečtením 3 : = 0, 3 = 40 Př 5: Napiš základní a tři další velikosti úhlu v trojúhelníku Vše vyjádři v obloukové míře π = 90 = π není základní velikostí (je záporná) připočteme π π 4 3 π + π 3 + π = = π - základní velikost 0; ) π π Další hodnoty získáme připočtením nebo odečtením π : π 5 π = π, 3 7 π + π = π Př : Napiš základní a tři další velikosti úhlu v trojúhelníku Vše vyjádři v obloukové míře π = 30 = π není základní velikostí (je záporná) připočteme π π 1 11 π + π 11 + π = = π - základní velikost 0; ) π π 4

5 Další hodnoty získáme připočtením nebo odečtením π : π 13 π = π, 11 3 π + π = π Pedagogická poznámka: Před následujícím příkladem synchronizuji třídu, aby všichni dělali to samé Př 7: Rozhodni, které z následujících čísel jsou velikosti úhlu β = 3 a) 90 b) 1740 c) 490 d) 1500 a) Pokud je úhel 90 velikostí úhlu β musí platit: 90 = 3 + k 3 Upravíme: 90 3 = k 3 rozdíl 90 3 by měl být násobek = 3 90 je velikost úhlu β b) Má platit 1740 = 3 + k 3 rozdíl by měl být násobek = = 3, není velikost úhlu β 3 c) Má platit 490 = 3 + k 3 rozdíl by měl být násobek = 1 1 = 490 je velikost úhlu β 3 d) Má platit 1500 = 3 + k 3 rozdíl by měl být násobek = = 5, není velikost úhlu β 3 Pedagogická poznámka: Někteří studenti mají pochyby o tom, zda by v bodě d) neměli kvůli zápornému znaménku úhlu 1500 neměli tuto hodnotu k číslu 3 přičítat Těm, kteří nejsou spokojení s tím, že záporná hodnota není z matematického hlediska důvod k jinému chování, píšu rovnici: = = Pedagogická poznámka: Následující příklad je z algoritmického hlediska shodný s předchozím Nevidím to jako závadu, studenti se učí jak se vyrovnat se zlomky a obloukovou mírou 5

6 Př 8: 5 Rozhodni, které z následujících čísel jsou velikosti úhlu α = π a) π b) π c) π d) 175 π a) Pokud je úhel 9 π základní velikostí úhlu α musí platit: 9 π = 5 π + k π Upravíme: 9 π 5 π = k π rozdíl 9 π 5 π by měl být násobek π π π = π = 4π = π 9 π je velikost úhlu α b) Má platit 131 π = 5 π + k π rozdíl 131 π 5 π by měl být násobek π π π = π = 1π k π 131 π není velikost úhlu α c) Má platit 57 π = 5 π + k π rozdíl 57 π 5 π by měl být násobek π π π = π = 4π = 1 π 57 π je velikost úhlu α d) Má platit π = π + k π rozdíl π π by měl být násobek π π π = π = 30π = 15 π π je velikost úhlu α Shrnutí: Orientovaný úhel má nekonečně mnoho velikostí, které se liší o násobky π