Syntetická geometrie I

Transkript

1 Podobnost Pedagogická fakulta

2 Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním bodem V nazýváme úhel >AVB. Polopřímky ÝÑ VA, ÝÑ VB nazýváme ramena úhlu a bod V vrchol úhlu. Úhel rozděluje rovinu na dvě množiny ohraničené rameny: Každé dva body množiny je možno spojit úsečkou, která leží v dané množině - množina vnitřních bodů úhlu Nelze Ò - množina vnějších bodů úhlu Pozn. konvexní (nekonvexní) úhel lze taky definovat pomocí průniku (sjednocení opačných) polorovin AVB a BVA.

3 Velikost úhlu Definice (Klasifikace úhlů podle velikosti) Úhel je nulový, když se jeho ramena překrývají a množina vnitřních bodů je prázdna. 0 o {0 plný, když se jeho ramena překrývají a množina vnitřních bodů je celá rovina, kromě ramena. 360 o {2π přímý, když jeho ramena tvorí přímku. 180 o {π pravý, když jeho zdvojení vytvoří přímý úhel (pozn. neříkali jsme co je to zdvojení úhlu). 90 o { π 2 ostrý, když je menší než pravý a větší než nulový. p0 o ; 90 o q{p0; π 2 q tupý, když je větší než pravý a menší než přímý. p90 o ; 180 o q{p π 2 ; πq dutý, když je větší než přímý a menší než plný. p180 o ; 360 o q{pπ; 2πq

4 Úhel Definice (Klasifikace dvojic úhlů) Dva úhly jsou vrcholové, jsou-li jejich ramena opačné polopřímky (α, β). vedlejší, když mají jedno rameno společné a druhé ramena jsou opačné polopřímky (α, γ). souhlasné, leží-li jedny ramena v přímce a druhé jsou rovnoběžné a souhlasně orientované (α, δ). střídavé, leží-li jedny ramena v přímce a druhé jsou rovnoběžné a opačně orientované (α, ɛ).

5 Úhly v Věta Součet vnitřních úhlů v je π. Důkaz Důkaz 1- stříhání papíru Důkaz 2 - Eukleides Důkaz 3 - Obtáčení

6 Úhly v 4 - O. Byrne, 1847, BOOK F PROP. XXXII. I. any fide (- THEOR. 33 ) of a triangle be produced, ^figl^ to the ^^^) fum of the two oppofte angles and ( the external the aiid ( '-^ ^qual internal and ^^^ ) three internal angles of every triangle taken together are equal to two right angles. Through the point / draw (pr. 3i-)- II Then (pr. 29.), and therefore (pr. 13.). J -dy Q. E. D.

7 Úhly v Věta Součet vnějších úhlů v je 2π. Důkaz důsledek předešlé věty

8 Úhly v Definice (Klasifikace podle úhlů) ostroúhlý, všechny vnitřní úhly jsou ostré. pravoúhlý, jeden vnitřní úhel je pravý. tupoúhlý, jeden vnitřní úhel je tupý.

9 Goniometrické funkce Goniometrické funkce definujeme pro α P p0, π 2 q synteticky pomocí pravoúhlého následovně: sin α protilehlá přepona cos α přilehlá přepona tg α protilehlá přilehlá cotg α přilehlá protilehlá

10 Goniometrické funkce - intermezzo s kružnicí Goniometrické funkce definujeme pro α P R synteticky pomocí jednotkové kružnice následovně: sin 2 α ` cos 2 α 1 tg α sin α cos α ; cotg α 1 tg α

11 Goniometrické funkce - intermezzo s kružnicí sinpπ αq sin α cospπ αq cos α sinp π 2 αq cos α cosp π 2 αq sin α tgp π 2 αq cotg α cotgp π 2 αq tg α

12 Výšky v Definice (Výška) Výška v trojúhelníku je úsečka, jejíž krajními body jsou vrchol a pata kolmice vedené z daného vrcholu k přímce určené ostatními dvěma vrcholy trojúhelníku.

13 Sinova věta Věta (Sinova) V libovolném ABC se stranami a, b, c a vnitřnímí úhly α, β, γ platí: a sin α b sin β c sin γ Důkaz sin α v c b sin β v c a sin α sin β a b

14 Osa úhlu v Věta (Osa úhlu) Osa úhlu dělí protilehlou stranu v poměru stran přilehlých. Důkaz b sin ϕ m sin ϕ 2 a sin ϕ n sin ϕ 2 a b n m

15 Podobná zobrazení Definice (Podobná zobrazení) Zobrazení f : ρ Ñ ρ se nazýva podobné zobrazení neboli podobnost, právě když existuje kladné číslo k tak, že pro libovolné dva různé body A, B P ρ a jejich obrazy A 1, B 1 platí A 1 B 1 k AB. Číslo k nazývame koeficient podobnosti. k 1 nevlastní podobnost (shodnost) k 1 vlastní podobnost přímá podobnost zachovává orientaci prostoru œñœ nepřímá podobnost nezachovává orientaci prostoru œñö

16 Podobná zobrazení Příklad (Přímá podobnost, k 1 2 )

17 Vlastnosti podobnosti Věta (Vlastnosti podobnosti) Podobnost 1 zachovává incidenci. 2 zachovává uspořádání. 3 zachovává dvojpoměr. 4 zachovává středy úseček (a dělicí poměr). 5 zachovává poměry úseček a velikosti úhlů. 6 NEzachovává délky úseček (a obsahy). Velikosti úhlů se zachovávají: sin α b1 v 1 c kb kv c b v c.

18 Věty o podobných Definice (Podobné útvary) Dva útvary P 1 a P 2 jsou si podobné P 1 P 2 právě tehdy, když existuje podobnost, která zobrazí P 1 na P 2. Věta (Podobné ) Dva trojúhelníky jsou si podobné, shodují-li se sss v poměrech odpovídajících si stran. sus v poměrech dvou stran a úhlu jimi sevřeném. uu ve dvou vnitřných úhlech. Ssu v poměru dvou stran a úhlu proti delší z nich.

19 Výšky v Věta (O výškách) Výšky v se protínají v právě jednom bodě, který nazýváme ortocentrum. Důkaz CB 1 B CA 1 A ñ CB 1 CA 1 AC 1 C AB 1 B ñ AC 1 AB 1 BA 1 A BC 1 C ñ BA 1 BC 1 užijeme Cevovu větu. CB CA AC AB BA BC

20 Skupiny podobných ů AC 1 C AB 1 B VC 1 B VB 1 C podle věty uu pα, π 2 q Dále platí: v c b v b c t.j. b : c 1 1 : v b a : b : c 1 v a : v c 1 v b : 1 v c

21 Skupiny podobných ů Ortický A 1 B 1 C 1 ABC AB 1 C 1 A 1 B 1 C A 1 BC 1 BCC 1 BAA 1 ñ BC BA BC 1 BA 1 podle sus ABC A 1 BC 1

22 Podobná zobrazení Věta (Grupa podobností) Všechna podobná zobrazení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz (Náznak) Uzavřenost: f 1 je podobnost s koeficientem k 1, f 2 je podobnost s koeficientem k 2. f 1 : AB Ñ A 1 B 1, f 2 : A 1 B 1 Ñ A 2 B 2. A 1 B 1 k 1 AB, A 2 B 2 k 2 A 1 B 1 a tedy A 2 B 2 k 1 k 2 AB. Složené zobrazení f 2 f 1 je podobnost s koeficientem k 1 k 2. Asociativita: pf 3 f 2 q f 1 f 3 pf 2 f 1 q. Neutrální prvek: Identita. Inverzní prvek: Podobnost s opačným koeficientem k 1.

23 Stejnolehlost Definice (Stejnolehlost, homotetie) Stejnolehlost se středem S a koeficientem 0 λ P R je zobrazení v rovině, které přiřadí každému bodu X S jeho obraz X 1 ležíci na přímce SX tak, že: ÝÝÑ SX 1 λ ÝÑ SX Bod S je samodružným bodem stejnolehlosti. Zn. HpS; λq. λ 1, Identita λ 1, Středová souměrnost λ ă 0, ÝÝÑ SX 1 má opačnou orientaci Stejnolehlost je podobnost s koeficientem k λ.

24 Věta Všechny stejnolehlosti se stejným středem tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz Podobně jak u podobnosti.

25 Skupiny podobných ů Příčkový S a S b S c ABC S b S a C HpC, 1 2 q : C Ñ C, A Ñ S b, B Ñ S a (např. podle sus) ABC S a S b S c HpT, 1 2 q : A Ñ S a, B Ñ S b, C Ñ S c (např. podle uu)

26 Skupiny podobných ů Příčkový S a S b S c ABC S b S a C HpC, 1 2 q : C Ñ C, A Ñ S b, B Ñ S a (např. podle sus) ABC S a S b S c HpT, 1 2 q : A Ñ S a, B Ñ S b, C Ñ S c (např. podle uu)