M - Planimetrie pro studijní obory

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M - Planimetrie pro studijní obory"

Transkript

1 M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Planimetrie Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie). Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme: Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme: Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Úsečka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme AB = 20 cm Pozn.: Platí, že AB ¹ BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme: nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pc Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. 1 z 55

3 Zapisujeme: ABC nebo pc Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme: Zapisujeme: Úhel může být: nulový (velikost 0 ) = a kosý (velikost 0 < a < 180 ) pravý (velikost 90 ) 2 z 55

4 přímý (velikost 180 ) plný (velikost 360 ) Jiné dělení: úhel konvexní (velikost 0 < a < 180 ) úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180 < a < 360 ) Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost) 3 z 55

5 2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180 ) 3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost) 4. Dvojice úhlů výplňkových 4 z 55

6 5. Dvojice úhlů doplňkových 6. Dvojice úhlů styčných Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. 5 z 55

7 Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu. Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.v a obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec: 6 z 55

8 S = s.( s - a).( s - b).( s - c) a + b + c s = 2 Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené B. Ostroúhlý trojúhelník trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník 7 z 55

9 trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90 a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c 2 = a 2 + b 2 (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: protilehlá a sin a = = přepona c protilehlá tg a = = přilehlá a b D. Tupoúhlý trojúhelník přilehlá b cosa = = přepona c přilehlá b cotga = = protilehlá a má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník 8 z 55

10 má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60 má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120 je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.ö3/2 II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník 9 z 55

11 má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky AC = e, BD = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360 Pozn.: Různoběžník B. Rovnoběžník čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a. v a každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90 úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a 2 nebo také S = u 2 /2 10 z 55

12 úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.ö2 b) obdélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180 úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.v a nebo také S = u 1.u 2/2 lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník 11 z 55

13 má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce S = ( a + c). 2 v a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen lze mu opsat kružnici b) pravoúhlý lichoběžník 12 z 55

14 má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám D. Deltoid má dvě a dvě strany shodné úhlopříčky jsou na sebe kolmé nestejně dlouhé strany svírají stejné úhly je osově souměrný - má 1 osu souměrnosti obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = e. f / 2 Jiné dělení a) Čtyřúhelník konvexní b) Čtyřúhelník nekonvexní 13 z 55

15 III. Pravidelný pětiúhelník má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka IV. Pravidelný šestiúhelník má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120 lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka V. Pravidelný osmiúhelník má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy: 14 z 55

16 Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(s; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou). 2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 15 z 55

17 Tečna je vždy kolmá na poloměr. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice. Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: S = p.r 2 nebo S = p.d 2 /4 Kruhový oblouk 16 z 55

18 Pro délku kruhového oblouku a platí: p.r a =.a 180 nebo p.d a =.a 360 Soustředné kružnice Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stejný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar. Pro obsah kruhové výseče S platí: 2 p.r S =. a 360 nebo 2 p.d S =. a 1440 Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar. 17 z 55

19 Mezikruží Rovinný útvar. Obsah mezikruží: S = p. (r r 1 2) ± Shodnost trojúhelníků, důkazy Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí. Shodnost rozlišujeme: 1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí) 2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) 18 z 55

20 Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení. Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss. Pro každé dva trojúhelníky ABC, A B C platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus: Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. Věta usu: 19 z 55

21 Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Věta Ssu: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich. Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů: 1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty. 2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme. Důkazové úlohy: 20 z 55

22 Příklad 1: Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC. Řešení: AC = CD.. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka BC = CE.. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka AC = BC.. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka... (1) Z uvedených tří vlastností vyplývá, že CD = CE... (2) úhel g = 60.. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka úhel DCB = g + 60 úhel ACE = g + 60 Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že úhel DCB = úhel ACE... (3) Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus. CBD Příklad 2: Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí PQ = UV Řešení: 21 z 55

23 D BCE je shodný s D ABF (Ssu) Odtud vyplývá, že: EC = FB = UV = PQ Závěr: PQ = UV CBD ± Shodnost trojúhelníků - procvičovací důkazové úlohy 1. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že CQ = BT Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(s; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí MN = PQ, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC Je dána kružnice k(s; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t 1, t 2 a označte jejich dotykové body T 1 a T 2. Dokažte, že PT 1 = PT 2 a úhel SPT 1 = úhel SPT Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly z 55

24 ± Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: a = k. a b = k. b c = k. c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti. Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné. Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné Důkazové úlohy: Příklad 1: Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A B C jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad 2: Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz: 23 z 55

25 Vnitřní úhly při vrcholech A, A mají velikost 90 a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) AB = AC... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B = A C... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B AB = A C AC = k Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD Výpočtové úlohy: Příklad 3: Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : zakreslen jako trojúhelník A B C o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka. Řešení: A B = 3,2 cm B C = 4,8 cm A C = 5,4 cm k = 1 : AB =? [cm] BC =? [cm] AC =? [cm] AB = (1/k). A B AB = 3, cm = cm = 1,6 km BC = 4, cm = cm = 2,4 km AC = 5, cm = cm = 2,7 km Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km. ± Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1. Jsou dány trojúhelníky ABC a A B C a platí: a = 6 b = 8 c = 9 a = 5 b = 6 2/3 c = 7 1/2 Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné. Jsou podobné z 55

26 2. Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy. 1 : Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62 a 42. Určete vzdálenost obou tyčí. 46,3 m 4. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy. 12,12 m 5. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany FG. 2,86 cm 6. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c a výšky v, v. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c : v Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký. 350 m 8. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. k 9. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A B C, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. k Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a = 2,5 b = 7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 a = 5 b = 13,9 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 Nejsou podobné z 55

27 12. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů? 62,1 m 13. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany MK. 8,4 cm 14. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = 11/6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 a = 5/2 b = 11/4 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 Jsou podobné ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a 2 = c. c a 26 z 55

28 b 2 = c. c b Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a 2 + b 2 = c. c a + c. c b = c. (c a + c b) = c. c = c 2 Platí také věta obrácená: CBD Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c 2 = a 2 + b 2, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2 Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. 2 c = a + b 2 = = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady z 55

29 cm m ,9 cm ,06 cm 9. 0,6 cm ,4 m cm ,78 cm 28 z 55

30 ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty 1. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: c a, c b. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v c b ca = v Þ v 2 = c. c a Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v c a cb = v Þ v 2 = a b c. c b Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše. 2. Věta o odvěsně 29 z 55

31 Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: c b b = Þ b 2 = cb c b c. Rovněž by se dalo vyjádřit: c a a = Þ a 2 = ca c a c. Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = Zvolíme-li x = v, c a = 2, c b = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí c a + c b = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 30 z 55

32 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = Zvolíme-li x = a, c a = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v 2 = c a. c b neboli v = c. c a b Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r 1. Pak má platit: 2 2 r r 1 = 2 r r = 1. r 2 Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah 31 z 55

33 a = b c x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 3 = x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: 2 a x = b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x = a neboli b = a a b a x 32 z 55

34 ± Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 2. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,61 3. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,32 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,61 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,24 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, z 55

35 9. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö12. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 2, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö15. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö14. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, z 55

36 ± Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d 2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 2. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b ± Výpočty rovinných útvarů Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady ,32 cm ,18 cm 35 z 55

37 ,, ,2 m Není zavlažováno 61,81 m 2, třetí strana pole je 33,94 m ,08 m 2, 800 cm 2 36 z 55

38 m ,5 cm b) krát z 55

39 cm z 55

40 ,9 % m Nemohou ,8 % trojúhelníků 39 z 55

41 ,14 cm cm 40 z 55

42 Kč ABD o = 24 cm; S = 41,6 cm cm BC = 10 cm, obsah je 54 cm Ne 41 z 55

43 ,9 cm cm Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC na obrázku. Oba obsahy jsou shodné z 55

44 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm m m cm dlaždic cm 2 43 z 55

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Geometrie

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2014

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Metodika. doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. -

Metodika. doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. - Pořadové číslo III-2-M-III- 1-8.r. III-2-M-III- 2-8.r. Název materiálu ČTYŘÚHELNÍKY A JEJICH VLASTNOSTI ROVNOBĚŽNÍKY Autor Použitá literatura a zdroje 2003. ISBN 80-7196-129-9. ISBN 978-80-7358-083-4.

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01)

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01) ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Geometrie v rovině 2

Geometrie v rovině 2 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ Poznámka autora Následující studijní materiál slouží jako pomůcka

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: Název sady DUM: Název a adresa školy: Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura:

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Pavlína

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více