1 vod V nebesk mechanice asto studujeme pohyby elativn mal ch t les v adi- ln m gavita n m poli osamocen ho t lesa s mnohon sobn v t hmotnost. Nejv t

Transkript

1 POHYB T LESA PO ELIPTICK TRAJEKTORII V RADI LN M GRAVITA N M POLI Obsah Studijn text po e itele FO a ostatn z jemce o fyziku P emysl ediv a Ivo Volf { VFO Hadec K lov 1 vod 2 2 Geometie elipsy 4 3 Kepleovy z kony 8 4 Mechanick enegie t lesa na eliptick tajektoii 11 5 V po et ozm eliptick tajektoie a doby ob hu z okam it ho pohybov ho stavu t lesa 14 6 asov p b h pohybu po eliptick tajektoii. Kepleova ovnice 17 7 Modelov n pohybu t lesa po eliptick tajektoii 19 Liteatua 22 V sledky loh 23 1

2 1 vod V nebesk mechanice asto studujeme pohyby elativn mal ch t les v adi- ln m gavita n m poli osamocen ho t lesa s mnohon sobn v t hmotnost. Nejv t planeta Slune n soustavy { Jupite { m hmotnost 1 050k t men ne Slunce. Hmotnosti ostatn ch planet, planetek, komet a meteo jsou v poovn n s hmotnost Slunce zcela nepatn. Hmotnost M s ce je p ibli n 81k t men ne hmotnost Zem. N kte velk m s ce ostatn ch planet maj sice hmotnosti sovnateln s M s cem Zem, ale v poovn n s hmotnostmi planet, kolem kte ch ob haj, jsou tak nepatn. Um l kosmick t lesa vyslan do vesm u lov kem v tomto sovn n p edstavuj jen nepatn znka hmoty. Pohyb mal ho t lesa v gavita n m poli osamocen ho t lesa s mnohon sobn v t hmotnost m eme nejsn ze vy et it ve vzta n soustav, jej po- tek le ve st edu velk ho t lesa a sou adnicov osy sm uj ke vzd len m hv zd m. P itom dos hneme dosti p esn ch v sledk, budeme-li tuto vzta nou soustavu pova ovat za ineci ln (co ve skute nosti nen nikdy p esn spln no) a zanedb me-li gavita n p soben v ech vzd len ch velk ch t les a jin ch mal ch t les, kte se sou asn nach zej v okol. Velk kosmick t lesa hv zdy a planety maj kulov tva. Gavita n pole v okol takov ho t lesa je stejn, jako kdyby se cel jeho hmota nach zela v jeho st edu. m Je-li M hmotnost cent ln ho t lesa, m F hmotnost ob haj c ho mal ho t lesa a g M jeho vzd lenost od st edu cent ln ho t lesa (ob. 1), p sob na mal t leso p ita liv gavita n s la o velikosti F g = { Mm 2 ; (1) Ob. 1 kde { = 6;674 10?11 N m 2 kg?2 je gavita n konstanta. V pvn m o n ku st edn koly jste studovali pohyb v adi ln m gavita n m poli, kte se uskute oval po ide ln k ivce po ku nici. Gavita n s la ud lovala ob haj c mu t lesu dost ediv zychlen a d st l velikosti. Z ovnosti Mm F g = { = ma d = m v2 2 = m4p2 T 2 (2) jste odvodili vztahy po v po et velikosti ychlosti v, doby ob hu T a polom u 2

3 tajektoie : v = { M ; T = 4p 2 3 { M ; = 3 { MT 2 4p 2 (3) Podm nka F d = F g = konst: neb v u p iozen ch ob nic Slunce i planet p esn spln na a jej spln n u um l ch kosmick ch t les je obt n, nebo to vy aduje velkou p esnost p i ud len ychlosti i p i nastaven polom u tajektoie. Poto se v t ina p iozen ch i um l ch t les pohybuje kolem cent ln ho t lesa po jin peiodicky se opakuj c tajektoii po elipse. lohy 1. Mezin odn kosmick stanice ISS se pohybuje ve v ce 380 km nad Zem. Vypo tejte jej ychlost a dobu ob hu. Zemi pova ujte za homogenn kouli o polom u R z = km a hmotnosti M z = 6; kg: 2. V jak v ce nad ovn kem se nach zej stacion n du ice, jejich doba ob hu je hv zdn den : = s? Polom ovn ku je km. 3. Zem se pohybuje okolo Slunce po p ibli n kuhov tajektoii. St edn vzd lenost Zem od Slunce je 1 AU : = 1; m a jeden ok m p ibli n 3; s. Vypo tejte z t chto daj hmotnost Slunce. 3

4 2 Geometie elipsy Budete-li cht t ychle zobazit elipsu, pou ijte kapesn sv tilnu, jej sv teln tok je omezen ota n ku elovou plochou. Sv t te-li kolmo na st nu, je osv tlen plocha ohani ena ku nic. Nakl n n m osy sv teln ho ku ele dost v me st le pot hlej elipsy, pak v jedn poloze paabolu a potom n sleduj hypeboly (ob. 2). h p C a b k e 1 e 2 A a F 1 e S F 2 B Ob. 2 D Ob. 3 Zaxujte sv tilnu v poloze, kdy je osv tlen plocha ohani ena elipsou, obkeslete si elipsu na pap a vyst ihn te ji. P elo en m se m ete p esv d it, e je symetick podle dvou os AB a CD, kte jsou navz jem kolm a pot naj se ve st edu elipsy S (ob. 3). Del hlavn osa o d lce 2a spojuje hlavn vcholy A, B, kat vedlej osa o d lce 2b spojuje vedlej vcholy C, D. Vezmeme-li do ku tka d lku hlavn poloosy a a z vedlej ho vcholu p etneme hlavn osu, dostaneme ohniska elipsy F 1, F 2. Jejich vzd lenost e od st edu elipsy se naz v v st ednost (excenticita) elipsy. Plat a 2 = b 2 + e 2 ; e = p a 2? b 2 : (4) Pod l " = e se naz v seln v st ednost (numeick excenticita) elipsy. a Sou et vzd lenost kte hokoliv bodu elipsy od ohnisek F 1, F 2 je oven d lce hlavn osy. Z toho vych z bodov konstukce elipsy podle ob. 4. Zvol me-li na hlavn ose bod X 1 a sestoj me oblouky o polom ech jax 1 j a jbx 1 j se st edy v ohnisk ch elipsy, dostaneme bod X a dal t i body soum n sdu en k bodu X podle os a st edu elipsy. Zvolme po tek soustavy sou adnic ve st edu elipsy a osy x a y v hlavn a vedlej ose elipsy. Pak po libovoln bod X = [x; y] elipsy plat jf 1 Xj + jf 2 Xj = p (x + e) 2 + y 2 + p (x? e) 2 + y 2 = 2a : 4

5 Umocn n m t to ovnosti a algebaickou pavou dostaneme p (x + e)2 + y 2p (x? e) 2 + y 2 = 2a 2? (x 2 + y 2 + e 2 ) a dal m umocn n m a pavou dojdeme ke vztahu (a 2? e 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2? e 2 ) ; kte m eme upavit na ovnici elipsy v osov poloze: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (5) A y C X X 1 F 1 S F 2 x B H A a % 1 b C K2 0 % 2 K 1 S K 0 1 B K 2 Ob. 4 D D Ob. 5 Oblouky elipsy v okol vchol m eme nahadit oblouky oskula n ch ku nic, jejich st edy K 1, K 2 nalezneme jednoduchou konstukc podle ob. 5. Z podobnosti toj heln k 4ASC 4HAK 1 4K 2 CH u me polom y oskula n ch ku nic % 1 a % 2 : % 1 b = b a = a % 2 ; % 1 = b2 a ; % 2 = a2 b : (6) Elipsu v osov poloze m eme z skat tak z ku nice o polom u a, jestli e sou adnice y bod zmen me v pom u b : a (ob. 6). Zaveden m excentick anom lie E dojdeme k paametick m ovnic m elipsy v osov poloze: x = a cos E ; y = b sin E ; E 2 h0; 2p) : (7) 5

6 y C 0 C b X 0 X A a S E B x D D 0 P i popisu pohybu hmotn ho bodu v adi ln m gavita n m poli asto vol me po tek sou adnicov soustavy v ohnisku a pou v me pol n sou adnice ; '. Zvol me-li p l v ohnisku F 2 a pol n osu F 2 B podle ob. 7, plat p (2e + cos ')2 + ( sin ') 2 = 2a? : A Ob. 6 X ' o F 1 2e O F 2 B pavou dostaneme (a + e cos ') = a 2? e 2 = b 2 ; Ob. 7 = b 2 a p 1 + e = a cos ' 1 + " cos ' : (8) Paamet p je oven polom u % 1 oskula n ku nice v hlavn m vcholu, " je seln v st ednost. lohy 1. Na sujte elipsu, jestli e a = 5 cm; b = 3 cm. N vod: a) Na sujte osov k a podle ob. 3 sestojte ohniska F 1, F 2. b) Podle ob. 5 naha te elipsu v bl zkosti vchol oblouky oskula n ch ku nic. c) Bodovou konstukc podle ob. 4 nalezn te v ka d m kvadantu n kolik bod elipsy ve v t vzd lenosti od vchol. 6

7 d) Popojte oblouky oskula n ch ku nic p es body u en bodovou konstukc pomoc k iv tka. 2. Elipsa z p edch zej c lohy je um st na v osov poloze. Bod X = [3 cm;?] elipsy le v pvn m kvadantu. a) Vypo t te v st ednost e a selnou v st ednost " elipsy. b) U ete excentickou anom lii bodu X. 3. Stejnou elipsu s t mt bodem X popi te pomoc pol n ch sou adnic zaveden ch podle ob. 7. a) Napi te ovnici dan elipsy v pol n ch sou adnic ch. b) U ete sou adnice a ' bodu X. 7

8 3 Kepleovy z kony Z kladn poznatky o pohybu planet po eliptick ch tajektoi ch okolo Slunce objevil Johannes Keple (1571 { 1630). Fomuloval t i z kony, kte vyplynuly z ozbou velmi p esn ch z znam o poloh ch planet, kte pov d l po dlouh l ta d nsk astonom Tycho Bahe (1546 { 1601). Oba se setkali v Paze ve slu b ch c sa e Rudolfa II., velk ho p znivce astologie. Pvn a duh z kon uve ejnil Keple. 1609: Planety se pohybuj okolo Slunce po elips ch m lo odli n ch od ku nic, v jejich spole n m ohnisku je Slunce. Obsahy ploch opsan ch p vodi em planety za jednotku asu jsou konstantn. K nim p idal t et z kon: Pom duh ch mocnin ob n ch dob dvou planet se ovn pom u t et ch mocnin velk ch poloos jejich tajektoi : T 2 1 T 2 2 = a3 1 a 3 2 (9) Zp sob, jak Keple dosp l k uveden m z kon m, si m eme velmi zjednodu en vysv tlit podle ob. 8, kde jsou v u it m m tku zobazeny tajektoie Zem a Masu. s3 s2 s1 tajektoie Masu Z 0 3 Z 0 2 Z 0 1 M3 M2 M1 s 0 3 s 0 2 s 0 1 tajektoie Zem Z1 Z 2 Z3 Ob. 8 Tajektoie Zem, Masu i ostatn ch planet le p ibli n v t e ovin a v echny planety ob haj Slunce v t m e smyslu. Zem ob h kolem Slunce s pe- 8

9 iodou T z = 365; 24 d a Mas s peiodou T, kteou za chv li vypo teme, p m n mi hlov mi ychlostmi! m = 2p T ;! z = 2p T z : P i pozoov n Masu z pohybuj c se Zem nem eme p mo u it sideickou (skute nou) dobu ob hu Masu T, ale snadno zjist me synodickou dobu ob hu T s = 779; 94 d, tj. p m nou dobu mezi dv ma opozicemi Masu (okam iky, kdy se Mas nach z p esn na opa n stan Zem ne Slunce). Pozoovateli na Zemi se pohyb Masu jev, jako by pob hal p m nou hlovou ychlost! s = 2p T s =! z?! m = 2p T z? 2p T : (10) Z toho u me sideickou dobu ob hu Masu jako T = T zt s T s? T z = 687 d = 1;881 : (11) Zobazme nejpve v u it m m tku tajektoii Zem, kte m t m p esn tva ku nice, a na ni polohy Zem Z 1 v ase t 1 a Z1 0 v ase t0 1 = t 1 +kt, kde kt je celistv n sobek peiody Masu. Zobazme tak polop mky s 1 a s 0 1, na kte ch vid me Mas z bod Z 1 a Z1 0 v asech t 1 a t 0 1. Poto e polohy Masu se opakuj s peiodou T, nach z se Mas v asech t 1 a t 0 1 v tomt bod M 1, kte nalezneme jako p se k polop mek s 1 a s 0 1. Opakov n m popsan konstukce po dal dvojice as t 2 ; t 0 2; t 3 ; t 0 3 : : : m eme postupn vymodelovat celou tajektoii Masu. Popsan m zp sobem vy et il Keple pohyby v ech tehdy zn m ch planet a odhalil v e uveden z kony. Znal ov em jen pom n velikosti eliptick ch tajektoi. Jejich skute n ozm y bylo mo no vypo tat a po. 1672, kdy Cassini tigonometick m m en m u il vzd lenost Zem a Masu. Kepleovy z kony popisuj, jak se pohybuj planety, ale nevysv tluj, po se tak pohybuj. Tento pobl m vy e il a Isaac Newton (1642 {1727), kte objevil gavita n z kon, sestavil pohybovou ovnici hmotn ho bodu v adi ln m gavita n m poli a jej m e en m Kepleovy z kony odvodil. Va me se nyn k pvn m dv ma Kepleov m z kon. Obsah plochy S opsan p vodi em planety za k tkou dobu t u me jako obsah toj heln ka u en ho p vodi em a vektoem v t, kde v je okam it ychlost planety (ob. 9). Jestli e oba vektoy sv aj hel, plat Pod l S = 1 vt sin : 2 9

10 w = S t = v sin 2 (12) ud v obsah plochy opsan p vodi em za jednotku asu a naz v me jej plo n ychlost planety. Podle 2. Kepleova z kona je po danou planetu konstantn. Pohybuje-li se planeta po eliptick tajektoii s d lkou hlavn poloosy a a excenticitou e, d lka p vodi e i hel se m n. Poto se m n i velikost okam it ychlosti planety. Nejv t je ychlost v p v peiheliu, kdy je vzd lenost planety od Slunce p = a?e, a nejmen v af liu, kdy plat a = a+e. V obou p padech je = 90 (ob. 10). Z ovnosti 1 2 v p p = 1 2 v a a plyne v p v a = a p = a + e a? e : (13) vt S a?e S a+e v a v p Ob. 9 Ob. 10 Kepleovy z kony plat nejen po pohyb planet a dal ch t les planetek, komet, meteo okolo Slunce, ale i po pohyb m s c a du ic v bl zkosti planet, kdy ov em oli cent ln ho t lesa p eb dan planeta. lohy 1. Ob n doba Masu je T = 1;881 a seln v st ednost jeho tajektoie " = 0; a) U ete d lky poloos jeho tajektoie. b) U ete vzd lenosti Masu od Slunce v peiheliu a af liu. c) U ete pom ychlost Masu v peiheliu a af liu. 2. Tajektoie Pluta m d lku velk poloosy a = 39;5 AU a zna nou selnou v st ednost " = 0;248. Tajektoie Neptuna m p ibli n tva ku nice o polom u 30;1 AU. Vypo tejte vzd lenost Pluta od Slunce v peiheliu a poovnejte ji s polom em tajektoie Neptuna. 10

11 3. Tajektoie planetky Apollo m d lku hlavn poloosy a = 1;471 AU a selnou v st ednost " = 0;560. a) U ete dobu ob hu a vzd lenosti od Slunce v peiheliu a af liu. b) U ete velikost vedlej poloosy tajektoie a do spole n ho ob zku v m tku 1 AU b= 5 cm zakeslete tajektoii Zem jako ku nici o polom u 1 AU a tajektoii planetky. (Ob k ivky na ob zku se sice pot naj, ale ovina skute n tajektoie planetky Apollo je od oviny ekliptiky odch lena o 6;35 a planetka poto Zemi nem e zas hnout.) 4 Mechanick enegie t lesa na eliptick tajektoii P i pohybu hmotn ho bodu po eliptick tajektoii se m n jeho okam it ychlost i vzd lenost od st edu cent ln ho t lesa. M n se tedy i jeho kinetick a potenci ln enegie, ale celkov mechanick enegie z st v konstantn. Vztah po v po et kinetick enegie zn me: E k = 1 2 mv2 ; kde za v dosazujeme velikost okam it ychlosti. Vztah po v po et gavita n potenci ln enegie E pg t lesa o hmotnosti m v adi ln m gavita n m poli t lesa o hmotnosti M nyn odvod me. P ce, kteou mus me vykonat, abychom t leso o hmotnosti m posunuli ve sm u p vodi e ze vzd lenosti 1 od st edu cent ln ho t lesa do vzd lenosti 2 (ob. 11), je ovna p stku jeho gavita n potenci ln enegie M m 1 2 Ob.11 W 12 = E pg2? E pg1 = F p ( 2? 1 ) ; (14) kde F p je velikost p m n s ly, kteou mus me p sobit: Mm Mm F 1 = { ; F 2 = { ; F p = p Mm F 1 F 2 = { :

12 Po dosazen Mm Mm Mm E pg2? E pg1 = { ( 2? 1 ) = {? { =?{ Mm??{ 2 Mm : P i popisu pohyb v adi ln m gavita n m poli je v hodn zvolit potenci ln enegii v nekone n vzd lenosti za nulovou. Pak je ov em v kone n vzd lenosti z pon a plat E pg =?{ Mm 1 : (15) U it m vztahu (13) a z kona zachov n enegie odvod me vztah po v po et velikosti okam it ychlosti v kte mkoliv bod eliptick tajektoie. Vyjdeme ze soustavy ovnic 1 2 mv2 p? Mm { a? e 1 Mm 2 mv2? { v a = v p a? e a + e = 1 2 mv2 a? { Mm a + e = 1 Mm 2 mv2 p? { a? e Dosazen m z (16) do (17) a pavou dostaneme s { M a + e v p = a a? e (16) (17) (18) (19) a po dosazen do (18) a p slu n ch pav ch s 2 v = { M a? 1 : (20) Pomoc vztahu (19) m eme vyj d it plo nou ychlost jako s w = 1 2 pv p = a? e { M 2 a s a + e a? e = 1 { M 2 a (a2? e 2 ) ; w = b 2 { M a (21) 12

13 lohy 1. Jak velkou p ci musej vykonat motoy akety, aby vynesly du ici o hmotnosti kg do v ky 630 km a ud lily j ychlost pot ebnou po pohyb po tajektoii tvau ku nice? 2. U ete gavita n potenci ln enegii t lesa o hmotnosti 1 kg, kte se nach z na povchu Zem. Uva ujte jen gavita n pole Zem a enegii pova- ujte za nulovou po! Jakou po te n ychlost bychom museli ud lit t lesu v t sn bl zkosti Zem, aby se tvale vzd lilo z dosahu jej ho gavita n ho p soben? 4. Halleyova kometa pol tla naposled okolo Slunce a v t se op t za 76;1. V peiheliu byla od Slunce vzd lena 0;587 AU. U ete ychlost komety v peiheliu, plo nou ychlost a obsah plochy omezen jej tajektoi. 5. P i letu kosmick sondy k jin m planet m m - J eme t m po celou dobu letu zanedbat gavita n p soben planet a p ihl et jen ke gavita n mu p soben Slunce. Enegeticky nejv hodn j je tzv. Hohmannova tajektoie, kte se dot k tajektoie Zem v m st statu a tajektoie planety v m st p ist n. Tato m sta mus le et na S opa n ch stan ch od Slunce. Na ob. 12 je zn zon na Hohmannova tajektoie po let ze Zem Z na Jupite. Ob. 12 a) U ete dobu letu. b) U ete ychlost sondy po opu t n oblasti, kde p evl d gavita n p soben Zem, a p ed vstupem do oblasti, kde p evl d gavita n p soben Jupitea. c) Poovnejte ychlosti u en v kolu b) s ychlostmi Zem a Jupitea. Tajektoie Zem a Jupitea pova ujte za ku nice o polom ech 1 AU a 5;2 AU. Doba ob hu Jupitea je 11;86. 13

14 5 V po et ozm eliptick tajektoie a doby ob hu z okam it ho pohybov ho stavu t lesa V okol peicenta (peihelia, peigea, : : : ) pob h pohyb t lesa jako ovnom n pohyb po oskula n ku nici o polom u % 1, zp soben dost edivou gavita n silou F g (ob. 12). M p itom plo nou ychlost w = v p p 2. Z (1), (4) a (6) plyne b 2 = a v2 p 2 p F g = { Mm 2 p = ma d = mv2 p = mv 2 p a % 1 b 2 ; { M = a2?e 2 = a 2?(a? p ) 2 = 2a p? 2 p : % 1 M p F g v p m pavou dostaneme a = 2 p 2 p? v2 p 2 p { M = ; { M 2? v2 p p 2 { M Ob. 12 b 2 = a { M v2 p 2 p = 4w 2 : { M 2? v2 p p 2 Zave me substituci D = v2 p 2? M {. p V az D m jednoduch fyzik ln v znam, kte odhal me jeho pavou na tva 1 2 mv2 p? Mm { p D = : m Je to celkov mechanick enegie ob haj c ho t lesa p i jeho p letu peicentem d len jeho hmotnost, tedy m n mechanick enegie. Podle z kona zachov n enegie se ov em celkov mechanick enegie b hem ob h n nem n a m eme ji vypo tat z polohy a okam it ychlosti v kte mkoliv bod tajektoie. Z odvozen je tak z ejm, e p i pohybu po eliptick tajektoii je 14

15 celkov mechanick enegie ob haj c ho t lesa z pon (jinak by vy lo a < 0). Tak plo n ychlost w je b hem pohybu konstantn a m eme ji vypo tat v kte mkoliv bod tajektoie podle vztahu (12). Zn me-li tedy v n kte m okam iku vzd lenost ob haj c ho t lesa od cent ln ho t lesa, velikost okam it ychlosti v a hel, kte sv aj vektoy a v, m eme vypo tat d lky poloos eliptick tajektoie pomoc vztah a = M 2 {? 2D ; b = w v2 ; kde D =?D 2? M { ; w = v sin 2 : (22) Dobu ob hu vypo t me, kdy plochu elipsy d l me plo nou ychlost : T = pab w (23) Dosazen m ze vztahu (21) dostaneme T = 4p 2 a 3 a 3 { M ; T 2 = 4p2 { M ; (24) co souhlas se vztahem (3) po v po et peiody t lesa na kuhov tajektoii a up es uje 3. Keple v z kon (9). Pozn mka: Jestli e D = 0, m tajektoie tva paaboly s paametem p = 2p = 4w2 {M : Jestli e D > 0, je tajektoi v tev hypeboly, jej poloosy jsou a = {M 2D ; b = w 2 D : P klad 1 Meteo se pohybuje ve vzd lenosti 2;2 AU od Slunce ychlost o velikosti 12;5 km s?1, jej sm je odch len od sm u p vodi e o 55. U ete ozm y tajektoie a dobu ob hu. Do spole n ho ob zku nakeslete d hu Zem a okam itou polohu meteou. Pak dokeslete tajektoii meteou. 15

16 e en Dosazen m do vztah (22) a (23) postupn vypo t me D =?3; J kg?1 ; w = 1; m 2 s?1 ; a = 2; m = 1;364 AU ; b = 1; m = 0;883 AU ; T = 5; s = 582 d : V st ednost a seln v st ednost tajektoie maj hodnoty e = 1; m = 1;04 AU ; " = 0;762 : Pomoc vztahu (8) u me okam it hel ', kte sv p vodi meteou s polop mkou Slunce { peihelium. Plat cos ' = p? 1 " = b 2 a? 1 e a = b2? a e =?0;97109 ; ' = 166;2 : Po zobazen tajektoi na ob. 13 bylo pou ito m tko 1 AU b= 3 cm. S ' M v Ob. 13 loha Du ici Zem byla ve v ce 200 km ud lena kolmo k p vodi i ychlost o velikosti ms?1. Vypo t te ozm y jej tajektoie a dobu ob hu. 16

17 6 asov p b h pohybu po eliptick tajektoii. Kepleova ovnice Zvolme vzta nou soustavu tak, aby po tek le el ve st edu cent ln ho t lesa, tedy v ohnisku tajektoie, a kladn poloosa x aby poch zela peicentem (ob. 14). Za dobu t od p chodu peicentem vypln p vodi t lesa st elipsy omezenou obloukem P X a se kami XF a F P. Tento obazec m eme z skat odd len m toj heln ka SF X 0 od kuhov v se e SP X 0 a zmen en m zbytku ve sm u osy y v pom u b : a. Obsah plochy opsan p vodi em za dobu t m eme za pomoci vztahu (21) vyj d it pomoc excentick anom lie E bodu X jako s S = wt = bt { M 2 a a 2 E = 2 ae sin E b? 2 a = ab 2 E? be 2 sin E : (E ud v me v adi nech.) Vyn sob me-li vztah v azem 2 ; dostaneme Kepleovu ovnici ab ({ M) 0;5 a?1;5 t = E? e sin E ; (25) a neboli E? " sin E? Qt = 0 ; (26) kde " je numeick excenticita tajektoie a Q = ({ M) 0;5 a?1;5 : X 0 y X b S E a e F S v p P x Ob

18 Kepleovou ovnic je excentick anom lie u ena implicitn a po dan t ji mus me vypo tat n kteou z p ibli n ch numeick ch metod (viz studijn text [ 1 ]). Po t 2 (0; T ) je v az Qt v intevalu (0; 2p) a tak E je v intevalu (0; 2p). Zn me-li E, vypo t me sou adnice bodu X v ase t pomoc vztah x = a cos E? e ; y = b sin E : (27) P klad 2 Kometa Hale{Bopp (ob. 15) objeven pol tla peiheliem ve vzd lenosti 0;9141 AU od Slunce. Hlavn poloosa jej tajektoie m 187;8 AU. V jak vzd lenosti od Slunce se nach zela v dob objeven a jakou ychlost se p itom pohybovala? Ob. 15? e en Nejpve vypo t me selnou v st ednost a d lku vedlej polosy tajektoie. e = a? p : = 186;9 AU ; " = e a = 0;99513 ; b = p a 2? e 2 = 18;51 AU : Od objeven komety do p letu peiheliem uplynulo 618 d = 5; s. Tento as a hodnoty a = 2; m, M = 1; kg dosad me do Kepleovy ovnice a upav me ji na tva E? 0;99513 sin E? 0; = 0 : Numeick m e en m dojdeme ke ko enu E = 0;259 ad a dosazen m do vztah (27) dostaneme sou adnice m sta, kde se kometa nach zela v dob jej ho objeven. x : =?8; m =?5;35 AU ; y : = 7; m = 4;74 AU : Z toho u me vzd lenost komety od Slunce. Velikost ychlosti komety v m st objeven vypo t me pomoc vztahu (20). = p x 2 + y 2 : = 1; m = 7;15 AU ; v = ms?1 : loha Za jakou dobu od p letu peiheliem se bude kometa z p kladu 2 nach zet ve vedlej m vcholu tajektoie? 18

19 7 Modelov n pohybu t lesa po eliptick tajektoii Model pohybu t lesa po eliptick tajektoii m eme vytvo it tak, e po aitmetickou posloupnost as ft i g s po te n hodnotou 0 a zvolenou difeenc ( asov m kokem) h, tj. po ft i g = 0; h; 2h; 3h; : : : vypo t me polohy t lesa e en m Kepleovy ovnice a ve vhodn m m tku je zobaz me. P klad 3 e en m Kepleovy ovnice modelujte pohyb du ice Zem, jej peigeum je ve vzd lenosti km od zemsk ho st edu a ychlost v peigeu m velikost ms?1. Zvolte asov kok 60 s. e en v syst mu FAMULUS Pogam v po tu: pom nn, konstanty, poceduy a funkce m=6e24! hmotnost Zem km=m*6.67e-11! hmotnost Zem vyn soben gavita n konstantou h=60! asov kok po te n hodnoty t=0 x=6.7e6; y=0! po te n sou adnice du ice v=9000! po te n ychlost SetMak4(1,3); Disp4(1,0,0,6.37e6,6.37e6)! vykeslen Zem A=x/(2-v^2*x/km) ex=a-x; ce=ex/a B=sqt(A^2-ex^2) T=2*pi*A*B/v/x! v po et paamet tajektoie a doby ob hu Q=sqt(km)*A^-1.5 DISP model t=t+h E0=0; E1=10;! e en Kepleovy ovnice LOOP! metodou p len intevalu E2=E0/2+E1/2; f=e2-ce*sin(e2)-q*t IF abs(f)<1e-6 THEN E=E2; EXIT END 19

20 IF f<0 THEN E0=E2; ELSE E1=E2 END END x=a*cos(e)-ex y=b*sin(e) Model:?? ast ji se setk v me s modelov n m pohyb v gavita n m poli numeick mi metodami, kte vych zej pouze z pohybov ovnice F g = ma ; a ze z kladn ch kinematick ch vztah v = a t ; = v t : Chceme-li po aitmetickou posloupnost as ft i g = 0; h; 2h; 3h; : : : u it posloupnost polohov ch vekto f i g, vyjdeme z po te n polohy 0 a po te n ychlosti v 0 a opakovan pou ijeme ekuentn vztahy v i+1 = v i + a i h ; i+1 = i + v i h ; kde a i = F gi m =? { M 3 i i ; 20

21 P klad 4 P edch zej c p klad e te numeick m modelov n m. e en v syst mu FAMULUS Pogam v po tu: pom nn, konstanty, poceduy a funkce m=6e24! hmotnost Zem km=m*6.67e-11! hmotnost Zem vyn soben gavita n konstantou h=60! asov kok po te n hodnoty t=0; x=6.7e6; y=0; vx=0; vy=9000 DISP SetMak4(1,3); Disp4(1,0,0,6.37e6,6.37e6)! vykeslen Zem model f=-km/(x^2+y^2)^1.5; ax=f*x; ay=f*y! cyklick v po et vx=vx+ax*h; vy=vy+ay*h x=x+vx*h; y=y+vy*h t=t+h Model:?? Jednoduch numeick metoda, jakou jsme p v pou ili, vede k modelu, kte sice dob e vystihuje chaakte sledovan ho pohybu, ale je dosti nep esn. 21

22 P esnost v po tu bychom mohli zv t it zk cen m asov ho koku, m se ov em podlu uje doba v po tu, nebo volbou p esn j numeick metody. Podobn ji se modelov n m pohyb numeick mi metodami zab v studijn text [ 2 ]. loha Modelujte pohyb Halleyovy komety v obdob okolo p letu peiheliem. Zvolte asov kok 1 t den. Do t ho ob zku zn zon te po sovn n tajektoii Zem. Liteatua [1] ediv, P.: U it numeick ch metod p i e en ovnic ve fyzik ln ch loh ch. Studijn text 35. o n ku FO [2] ediv, P.: Modelov n pohyb numeick mi metodami. Knihovni ka fyzik ln olympi dy. 38, MAFY, Hadec K lov 1999 [3] Ungemann, Z., Volf, I.: Pohyb t lesa v adi ln m gavita n m poli. kola mlad ch fyzik, SPN, Paha 1985 [4] Volf, I.: Pohyb um l ch du ic. kola mlad ch fyzik, SPN, Paha 1974 [5] Lepil, O., G n, M., ediv, P.: Fyzika a technika. SPN, Paha

23 V sledky loh 1.1. v = ms?1 ; T = 5500 s = km; h = km M = 1; kg e = 4 cm; " = 0;8; y = 2;4 cm; E = acsin y b = 53;13 = 0;927 ad. 1;8 cm 2.3. = ; x =?1 cm; y = 2;4 cm; = 2;6 cm; 1 + 0;8 cos ' p? 1 cos ' = =?0;3846; ' = 112 = 1;966 ad. " 3.1. a = 1 AU 3 s T 1 2 = 1;524 AU; e = 0;142 AU; v p = 1;3815 AU; a = 1;6661 p AU; = 1;206: v a 3.2. p = a(1? ") = 29;7 AU: 3.3. T = 1;78 ; p = 0;647 AU; a = 2;295 AU; b = 1;219 AU: 1 AU b= 1cm { M 4.1. v = R z + h = ms?1 ; 1 1 W = { Mm? + 1 Rz R z + h 2 mv2 = 5; J: 4.2. E pg =?6; { M J v u = = ms?1 : R s z a = 17;96 AU; v p = { M? 1 = ms?1 ; p a w = 1 2 v p p = 2; m 2 s?1 ; S = wt = 5; m 2 : 4.5. a = z + j = 3;1 AU; 2 t = T 2 = 2;73 ; v p = ms?1 ; v a = ms?1 ; v z = ms?1 ; v j = ms?1 : 5. a = 8; m; b = 7; m; T = s: p 6. t = E? " sin E 2? 0;99513 = Q 7;74 10?11 s = 7; s = 236 : (T = :) 23

24 7.?? 24