Newtonův gravitační zákon

Transkript

1 Gavitační pole FyzikaII základní definice Gavitační pole je posto, ve kteém působí gavitační síly. Zdojem gavitačního pole jsou všechny hmotné objekty. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahována gavitační sílou. Newtonův gavitační zákon Každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gavitačními silami F g, F g opačného směu. Velikost gavitační síly F g po dvě homogenní tělesa kulovitého tvau je přímo úměná součinu jejich hmotností m 1 m a nepřímo úměná duhé mocnině jejich vzdálenosti. F mm mm = κ F = κ 1 vektoově: 1 g g 3 κ je gavitační konstanta: κ = 6, N m kg - pole zpostředkuje silové působení na dálku, tělesa na sebe působí, aniž by byla ve vzájemném kontaktu nebo spojena hmotnou vazbou - silové působení je vzájemné, gavitační síly jsou přitažlivé - platí po libovolná dvě tělesa, za předpokladu, že jejich ozměy jsou vzhledem ke vzdálenosti zanedbatelné 11. Největší planeta sluneční soustavy, Jupite, obíhá kolem Slunce ve střední vzdálenosti 7, km. Hmotnost Slunce je kg. Jakou hmotnost má planeta Jupite, přitahuje-li ho Slunce gavitační silou o velikosti 4,.10 3 N? Jak velké zychlení uděluje Slunce Jupiteu? Jak velké zychlení uděluje Jupite Slunci? [1, kg,,.10-4 m.s -,, m.s - ] I.M.Hlaváčová Stana 1 LS01

2 Intenzita gavitačního pole Gavitační pole FyzikaII základní definice V okolí každého hmotného tělesa existuje gavitační pole, kteé působí na jiná tělesa. Po poovnání silového působení v ůzných místech gavitačního pole definujeme intenzitu gavitačního pole jako podíl gavitační síly F g, kteá v tomto místě na hmotný bod působí, a hmotnosti m tohoto bodu. K F g M = = κ 3 m - velikost silového působení gavitačního pole klesá se čtvecem vzdálenosti; závisí na hmotnosti M tělesa, kteé pole vytváří, nezávisí na hmotnosti hmotného bodu - vektoová veličina stejného směu jako gavitační síla, kteá působí v daném bodě - jednotka newton na kilogam - Intenzita gavitačního pole je číselně ovna síle, kteou pole působí na těleso o jednotkové hmotnosti. K M Vekto intenzity gavitačního pole vždy směřuje do středu tělesa o hmotnosti M. Takové pole je centální gavitační pole, střed tělesa gavitační střed centálního pole. Centální gavitační pole je postoově neohaničené. K Gavitační pole, kteé má ve všech místech intenzitu K konstantní se nazývá homogenní gavitační pole. I.M.Hlaváčová Stana LS01

3 Potenciál gavitačního pole Gavitační pole FyzikaII základní definice definujeme ho po poovnání potenciální enegie efeenčního tělesa (hmotnost 1 kg) v ůzných místech gavitačního pole jako podíl potenciální gavitační enegie E p hmotného bodu v daném místě a hmotnosti m tohoto bodu. Φ = E p m - jednotka: joule na kilogam - je integálem skaláního součinu intenzity a změny polohového vektou M κ = 0 d κ d M - nulovou hladinu potenciálu klademe do nekonečna ϕ = κ Páce vykonaná gavitačními silami při posunutí tělesa o hmotnosti m v homogenním gavitačním poli o intenzitě K z místa ve výšce h 1 nad povchem Země do místa ve výšce h, je dána vztahem W = mk(h 1 - h ) Páce vykonaná gavitačními silami při posunutí tělesa o hmotnosti m v adiálním gavitačním poli Země do vzdálenosti > R Z je dána vztahem = κ κ R = R R + h do výšky h: W mmz W MZ Z Z Z Páce nezávisí na cestě, po níž bylo těleso přemísťováno, ale jen na počáteční a konečné poloze tělesa. M I.M.Hlaváčová Stana 3 LS01

4 Gavitační a tíhové zychlení Gavitační pole FyzikaII základní definice Pokládáme-li Zemi za homogenní kouli o hmotnosti M Z a poloměu R Z, velikost intenzity ve výšce h nad povchem Země je: κm Z na povchu Země: κm Z - Kh = K 0 = R + h R ( ) Z Z M Z je hmotnost Země (5, kg), R Z polomě Země (6, m). Velikost intenzity se s ostoucí výškou nad povchem Země zmenšuje. Sledujeme-li gavitační pole Země na malých plochách, (stovky m) a do malých výšek (desítky km), lze ho považovat za homogenní. Gavitační síla udílí tělesu o hmotnosti m v daném bodě gavitační zychlení a g = F g /m intenzita gavitačního pole v daném místě se ovná gavitačnímu zychlení, kteé v tomto místě uděluje tělesu gavitační síla K = a g Na povchu Země je gavitační zychlení a g = 9,83 m s 1 V běžném životě na Zemi pozoujeme tíhovou sílu F G a tíhové zychlení g, ty se liší od gavitační síly/zychlení. Jsou supepozicí gavitačního působení a setvačné síly plynoucí z otáčení Země!!! Svislý smě je dán směem tíhové síly, vodoovný kolmicí na něj. I.M.Hlaváčová Stana 4 LS01

5 Gavitační pole FyzikaII základní definice Potože se Země otáčí kolem své osy, působí na povchu Země komě gavitační síly F g setvačná odstředivá síla F s (otáčející se soustava je neineciální soustava), takže celková tíhová síla F G je jejich vektoovým součtem. F G = F g + F s Působením tíhové síly vzniká tíhové zychlení g. Posto, kde se pojevují tíhové síly, nazýváme tíhové pole. V malé oblasti na zemském povchu lze i tíhové pole považovat za homogenní. Pozn.: Tíha tělesa je tlaková kolmá síla, kteou těleso umístěné v tíhovém poli působí na vodoovnou podložku nebo na závěs ve svislém směu. Značíme ji G. Tíha a tíhová síla jsou stejně velké, souhlasně oientované síly, kteé nemůžeme skládat. Působiště tíhové síly je těžiště tělesa, působiště tíhy je místo dotyku tělesa s podložkou. Svislý smě je smě tíhové síly a smě tíhového zychlení, ale není to vždy smě do středu Země (do středu země tíhová síla směřuje jen na pólech a na ovníku). Po velikost odstředivé síly F s platí: F s = m ω = m ω R Z cos ϕ kde je vzdálenost místa na povchu Země od osy otáčení, ω úhlová ychlost otáčení země (ω = π/t; T = 1 den), R Z je polomě Země, ϕ je zeměpisná šířka místa. Největší odstředivá síla je na ovníku a nulová na pólech. Velikost tíhového zychlení závisí na zeměpisné šířce a také na nadmořské výšce (ovník u mořské hladiny g = 9,78 m s ; póly 9,83 m s ; naše zeměpisné šířky 9,81 m s ; dohodou bylo stanoveno nomální tíhové zychlení u hladiny moře na 45 sevení šířky 9,80665 m s ). Potenciál tíhového pole je polohová enegie připadající v tíhovém poli na jednotku hmotnosti. Vypočítá se jako součin tíhového zychlení a vzdálenosti od Země. ϕ = gh I.M.Hlaváčová Stana 5 LS01

6 Gavitační pole pohyby v adiálním gavitačním poli Země Pohyby těles v adiálním (centálním) tíhovém poli Rakety, dužice nebo kosmické lodě se pohybují v adiálním gavitačním poli. Tva jejich tajektoie závisí na jejich ychlosti: 1. malá počáteční ychlost těleso se pohybuje po části elipsy než naazí na povch Země. Část elipsy se zvětšuje s ychlostí tělesa.. větší ychlosti - těleso na zemský povch nedopadne, opíše celou elipsu. 3. Při počáteční ychlosti v k (kuhová ychlost) těleso opisuje kužnici se středem ve středu Země. Na toto těleso působí jednak zemská gavitace F g jednak odstředivá síla F o. m MZ mv k κ MZ Tyto síly jsou v ovnováze. Fg = Fod κ = v k = ( RZ + h) RZ + h RZ + h Při povchu Země je v k = 7,9 km s 1 - pvní kosmická ychlost. 4. Při ychlostech vyšších je tajektoie opět eliptická. Rovina elipsy pochází středem Země, v němž leží jedno její ohnisko. P: nejmenší vzdálenost od Země - peigeum, A: největší vzdálenost - apogeum. S ostoucí ychlostí je elipsa potáhlejší. 5. Při počáteční ychlosti o velikosti vp = vk se eliptická tajektoie mění na paabolu - těleso se vzdaluje od Země. Rychlost v p se nazývá paabolická, úniková. Po v k = 7,9 km s 1 je v p = 11, km s 1 - duhá kosmická ychlost. 6. Než těleso dosáhne další, třetí kosmické ychlosti, pohybuje se stále v gavitačním poli Slunce. Pak opouští sluneční soustavu. I.M.Hlaváčová Stana 5 LS01

7 Gavitační pole pohyby v adiálním gavitačním poli Země Pohyby planet okolo Slunce se řídí Kepleovými zákony. Kepleovy zákony: 1. Zákon oběžných dah popisuje tva tajektoie planet: Planety obíhají kolem Slunce po elipsách málo se lišících od kužnic, jejichž společným ohniskem je Slunce. Vchol elipsy P, v němž je planeta Slunci nejblíže, se nazývá peihélium (přísluní), vchol A, v němž je planeta od Slunce nejdále, afélium (odsluní).. Zákon plošných ychlostí vysvětluje, jak se planety pohybují: Plochy opsané původičem planety za jednotku času jsou konstantní. Původič je úsečka, kteá spojuje střed planety se středem Slunce. Důsledek tohoto zákona je, že planety se v peihéliu pohybují ychleji než v aféliu. 3. Zákon oběžných dob Pomě duhých mocnin oběžných dob planet je oven poměu třetích mocnin jejich hlavních poloos. T T a = 3 a Kepleovy zákony neplatí pouze po planety ve sluneční soustavě, ale i po tělesa obíhající okolo Země (Měsíc, satelity, ) Vzdálenosti ve sluneční soustavě se měří v astonomických jednotkách AU, což je střední vzdálenost Země od Slunce. I.M.Hlaváčová Stana 6 LS01

8 Gavitační pole pohyby v homogenním tíhovém poli Země Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země Nejjednodušším pohybem tíhovém poli Země je volný pád. Je to pohyb způsobený tíhovou silou, je popsán tíhovým zychlením v= gt 1 s= gt V homogenním tíhovém poli Země dále pozoujeme tzv. složené pohyby (vhy). Skládají se z volného pádu a ovnoměného přímočaého pohybu. Podle směu pohybu dělíme vhy na: 1. svislý vh vzhůu. svislý vh dolů 3. vodoovný vh 4. šikmý vh Svislý vh vzhůu se skládá z volného pádu a ovnoměného přímočaého pohybu směem vzhůu. (př. míček, kteý si vyhodí tenista před podáním) Po okamžitou ychlost v a výšku nad zemí h v čase t platí vztahy: v= v0 gt s= v0t gt v 0 je počáteční ychlost. Část svislého vhu vzhůu, kdy HB stoupá, se nazývá výstup; je to ovnoměně zpomalený pohyb. Výstup končí, je-li okamžitá ychlost ovna 0. v0 Potom následuje volný pád. Čas, kteý bude tvat výstup 0= v0 gt v0 = gt T = je doba výstupu T, a HB vystoupá do výšky vhu H. g 1 v0 H = v0t gt g I.M.Hlaváčová Stana 5 LS01 1

9 Gavitační pole pohyby v homogenním tíhovém poli Země Svislý vh dolů Skládá se z volného pádu a ovnoměného přímočaého pohybu směem dolů. Je to ovnoměně zychlený pohyb se zychlením g a s počáteční ychlostí v 0. Př. kámen hozený do popasti. Volný pád se liší tím, že při něm kámen volně pustíme z klidu. 14. Mějme dvě tělesa. Pvní vhneme svisle vzhůu počáteční ychlostí 4,9 m.s -1. Současně z maximální výšky, kteé toto těleso může dosáhnout, vháme duhé těleso se stejnou počáteční ychlostí. Učete čas, kdy se tato tělesa střetnou, vzdálenost od povchu Země, ve kteé ke střetu dojde, ychlosti obou těles v okamžiku sážky. [0,15 s, 0,53 m, 3,67 m.s -1, 6,1 m.s -1 ] Vodoovný vh se skládá z volného pádu a ovn. přímočaého pohybu ve vodoovném směu. Tajektoií je část paaboly, s vcholem v místě vhu. př. vytékající kapalina, kulička, kteá přejede hanu vodoovného stolu. Délka vhu je závislá na počáteční ychlosti v 0 a na výšce H, ze kteé bylo těleso vženo. Po zjištění polohy HB je nutno pohyb ozdělit na dvě části svislou a vodoovnou. Svislý pohyb je volný pád z výšky H a vodoovný pohyb je pohyb ovnoměný přímočaý. Okamžitou polohu a ychlost učíme součtem obou pohybů. Okamžitou výšku 1 učíme h= H gt, vzdálenost od místa vhu d = v0t Okamžitou ychlost vodoovného vhu získáme vektoovým součtem vodoovné a svislé ychlosti, kde vodoovná ychlost je stále stejná počáteční ychlosti a svislá odpovídá volnému pádu vx = v0 ; vy = gt HB dopadne na zem za dobu volného pádu T ve vzdálenosti D od místa vhu. D označuje délku vhu. H H T = D v ( ) 0 v v0 gt g = g = + hg 1. Jakou počáteční ychlost musíme ve vodoovném směu udělit tělesu, aby délka vhu byla ovna n-násobku výšky, ze kteé bylo těleso vženo? [ n ] I.M.Hlaváčová Stana 6 LS01

10 Gavitační pole pohyby v homogenním tíhovém poli Země Šikmý vh se skládá z volného pádu a ovnoměného přímočaého pohybu šikmo k povchu Země. Délka vhu závisí na počáteční ychlosti v 0 a na úhlu α, pod kteým bylo těleso vženo. Pohyb opět ozložíme na svislý a vodoovný. Počáteční ychlost v 0 ozložíme na vodoovnou počáteční ychlost vx = v0cosα a svislou počáteční ychlost vx = v0sinα HB koná svislý vh s počáteční ychlostí v y a vodoovný ovnoměný přímočaý pohyb s ychlostí v x. Polohu v daném okamžiku učíme z těchto pohybů. 1 1 x= vxt= v0 t cosα y= vyt gt = v0sinα t gt Okamžitá ychlost je dána vektoovým součtem svislé a vodoovné ychlosti. Okamžitá svislá ychlost se učí stejně jako u svislého vhu vzhůu, vodoovná ychlost je stále stejná. Významná hodnota šikmého vhu je délka vhu, ve vojenské teminologii dostřel. v0 sinα cosα v0 sinα cosα v0 sinα D= vxtd = v0tdcosα = = = g g g vy v0cosα Td = = g g 13. Jakou počáteční ychlostí a pod jakým elevačním úhlem musíme hodit kámen, abychom ho přehodili přes řeku šiokou 35 m, aby let tval pouze 1 s? [7 58, 35,4 m.s -1 ] Délka vhu bude největší po 45, stejná po dvojice α a 90 α (15 a 75 nebo 30 a 60 ). př. výstřel z děla (α < 45 ), z minometu (α > 45 ). Tajektoií šikmého vhu paabola ve vakuu a balistická křivka ve vzduchu. Balistická křivka je vždy katší než paabola, potože ve vzduchu poti pohybu působí odpo postředí. I.M.Hlaváčová Stana 7 LS01

11 Gavitační pole otázky Gavitační pole definice (zdoj, silové působení), Newtonův gavitační zákon (ovnice, vektoový zápis, slovně), gavitační konstanta, intenzita a potenciál gavitačního pole, tíhové pole Země, homogenní a adiální pole I.M.Hlaváčová Stana 8 LS01