Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.

Transkript

1 Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/ Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník 2. Datum tvorby notace 1) Pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad). 2) Pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu. 3) Postup řešení příkladů je možno na tabuli zakrýt (např. jiným oknem, do kterého je možno psát, příklad vyřešit a pak postup řešení opět odkrýt a zkontrolovat). Při tomto postupu si žáci vytištěný text (pokud ho mají) zavřou a píšou do sešitů nebo odpovídají ústně. 4) Pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků). 5) Základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou.

2 TROJÚHELNÍKY Rozdělení trojúhelníků podle stran: Rozdělení trojúhelníků podle úhlů: -různostranný -rovnostranný.(všechny úhly 60 o ) -rovnoramenný...(základna a dvě ramena ; úhly při základně mají stejnou velikost) -ostroúhlý (všechny úhly ostré) -pravoúhlý..(jeden úhel pravý; tvoří ho odvěsny, proti pravému úhlu leží přepona) -tupoúhlý (jeden úhel tupý) Součet vnitřních úhlů trojúhelníka - je vždy 180 o (pozn. V Euklidově geometrii.) Vnitřní a vnější úhly trojúhelníka - vnitřní úhly:,, - vnější úhly:,, - vnější úhel trojúhelníka tvoří s příslušným vnitřním úhlem trojúhelníka dvojici úhlů vedlejších (součet jejich velikostí je 180 o ):, + = 180 o, + = 180 o, + = 180 o Vnitřní úhly v trojúhelníku mají velikosti v poměru : : = = 2 : 3 : 4. V jakém poměru jsou velikosti jeho vnějších úhlů? Řešení: + + = 180 o 2x + 3x + 4x = 180 o 9x = 180 o x = 20 o = 40 o, = 60 o, = 80 o = 140 o, = 120 o, = 100 o : : = 140 o : 120 o : 100 o = 7 : 6 : 5

3 Trojúhelníková nerovnost: V každém trojúhelníku platí: Součet libovolných dvou stran je větší než strana třetí. a + b c a + c b a + b c a - b b + c a Jinými slovy (podmínky pro to, aby dané tři úsečky mohly být stranami trojúhelníka): Úsečky o délkách a,b,c mohou být stranami trojúhelníka, právě když platí: a + b c a - b. Určete, zda úsečky k,l,m mohou tvořit trojúhelník: a) k = 5, l = 6, m = 12 b) k = 2, l = 5, m = 6 c) k = 4, l = 5, m = 9 Řešení: a) nemohou, b) mohou, c) nemohou, = 9 Střední příčka trojúhelníka - je úsečka, která spojuje středy stran trojúhelníka S 1 S 2 S 3 Vlastnosti střední příčky: - spojuje středy dvou stran a je rovnoběžná se stranou třetí - její velikost je rovna polovině velikosti strany, se kterou je rovnoběžná Jakou část obsahu S trojúhelníka tvoří obsah S s trojúhelníka, vytvořeného z jeho středních příček? Zdůvodněte. Řešení: S = c.v c S s = 21.( 21 c).( 21 v c ) = 1 2 c.v c S : S s = 4 Obsah trojúhelníku tvořeného středními příčkami tvoří ¼ obsahu původního trojúhelníka.(základna je poloviční a výška také). 1 8

4 Výška trojúhelníka - je kolmice vedená z vrcholu trojúhelníka na protější stranu. Všechny výšky (popř. přímky, na nichž výšky leží u tupoúhlého trojúhelníku) se protínají v jednom bodě. Tento bod se nazývá ortocentrum. v c Kde leží výšky trojúhelníku ostroúhlého, pravoúhlého a tupoúhlého? V ostroúhlém - leží všechny výšky uvnitř trojúhelníku; průsečík výšek leží uvnitř trojúhelníka; v pravoúhlém - jedna uvnitř a dvě na odvěsnách; všechny výšky se protínají ve vrcholu pravého úhlu; v tupoúhlém - jedna uvnitř a dvě vně trojúhelníka; průsečík přímek, na nichž výšky leží, je vně trojúhelníka. Těžnice trojúhelníka - je spojnice vrcholu trojúhelníka a středu protější strany. Těžiště - je průsečík těžnic. Leží vždy uvnitř trojúhelníka (na rozdíl od průsečíku výšek). Těžiště dělí každou těžnici v poměru 2:1 delší částí k vrcholu trojúhelníku. T t c S 3 Může být těžnice shodná s výškou trojúhelníka? Řešení: Pouze v rovnostranném jsou všechny těžnice shodné s výškami. Pouze v rovnoramenném je jedna těžnice shodná s výškou (je to ta, co vychází z hlavního vrcholu).

5 Osy stran - osa strany je kolmá na tuto stranu a prochází jejím středem Kružnice opsaná - je kružnice, která prochází vrcholy trojúhelníka; - průsečík os stran je střed O kružnice opsané trojúhelníku ; - poloměr kružnice opsané se značí r a je roven r = O = O = O. o 1 Tupoúhlý - střed kružnice opsané leží vně trojúhelníka. o 3 +O Pravoúhlý - střed kružnice opsané leží ve středu přepony. Je to tzv. Thaletova kružnice. o 2 Ostroúhlý - střed kružnice opsané leží uvnitř trojúhelníka. Osy úhlu - osa úhlu půlí vnitřní úhel. Kružnice vepsaná - je kružnice, která se dotýká stran trojúhelníka; - průsečík os úhlů je střed S kružnice vepsané trojúhelníku ; - poloměr kružnice vepsané se značí a je roven vzdálenosti (měříme na kolmici!) středu S kružnice od stran trojúhelníka, od tzv. bodů dotyku. Poznámka : na rozdíl od poloměru kružnice opsané musíme u kružnice vepsané sestrojit všechny tři body dotyku kružnice se stranami trojúhelníku. T 1 o 1 o 2 T 2 S T 3 o 3