MASARYKOVA UNIVERZITA

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Využití matematických ploch k zastřešení DIPLOMOVÁ PRÁCE Brno 2006 Lucie Banasiová

2 Prohlašuji, že tato práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracovala samostatně a použila jsem jen uvedených pramenů a literatury. Lucie Banasiová

3 Tímto bych chtěla poděkovat doc. RNDr. Josefu Janyškovi, CSc. za vedení mé diplomové práce, cenné rady a podněty, které mi pomohly při zpracování zadaného tématu.

4 Obsah Úvod 6 Plochy 7 Střecha 9 1 Přímkové plochy Rozvinutelné přímkové plochy Rovina Válcová plocha Kuželová plocha Přímkové plochy zborcené Zborcené kvadriky Plocha eliptického pohybu v prostoru Konoidy Translační plochy Plochy válcové Translační plochy kuželosečkovo-kuželosečkové Klínové plochy 57 4 Rotační plochy Rotační kvadriky Anuloid Obecné rotační plochy Závěr 75 Literatura 76 5

5 Úvod Cílem této práce je vytvořit učební text pojednávající o využití matematických ploch v technické praxi při zastřešení. Text je určen pro výuku na středních školách technického typu. Vzhledem k této skutečnosti není teorie podávána formou matematických vět, ale je zařazena volně v textu. V úvodních dvou kapitolách se zabývám obecně plochou a střechou. Co se plochy týče, tak jde především o shrnutí poznatků o vytvoření plochy, u střechy jde o její části a hlavně jejich názvosloví, které je používáno v další části práce. V dalších kapitolách se již čtenář dozví, jaké plochy se k zastřešení používají. Práce je rozdělena do pěti kapitol, kde každá kapitola pojednává o jiném typu ploch. Stěžejní části celého textu je kapitola první, zabývající se přímkovými plochami, kde první část této kapitoly je věnována rozvinutelným přímkovým plochám, druhá pak plochám nerozvinutelným. Dále postupně přecházím k plochám translačním a klínovým. Poslední, pátá, kapitola je věnována plochám rotačním. V textu je postupně vysvětleno teoretické řešení střech, stručně jsou popsány jednotlivé typy ploch a jejich vlastnosti a nakonec se přechází ke střechám z dané plochy vytvořených. Texty jsou doplněny názornými obrázky, které pomáhají představivosti. Jde o modely jednotlivých ploch i o obrázky praktického využití daného zastřešení. 6

6 Plochy V technické praxi se používá řada ploch, jejichž výtvarný zákon je bud jednoduchý a známý, nebo složitý, popř. z geometrického hlediska i neznámý. Všechny tyto plochy je však možno seřadit tak, že určitá jejich skupina má řadu společných výrazných vlastností, které se mohou s výhodou při řešení daných ploch týkat. Obrázek 1: Plocha a její parametrické křivky Při studiu ploch v první řadě sledujeme vytvoření plochy. Plocha vzniká pohybem křivky, která není trajektorií pohybu; tvar křivky se během pohybu může měnit. Plocha je tedy nekonečnou množinou křivek k 0,k 1,..., závislých na jediném parametru u; polohy k 0,k 1,..., pohybující se proměnné křivky odpovídají postupně hodnotám u 0,u 1,..., parametru u. Plocha je tedy jednoparametrickou soustavou křivek v prostoru. Každá z tvořících křivek k 0,k 1,..., je jednoparametrickou soustavou bodů, tzn. že poloha bodu na každé z nich je dána hodnotou nějakého dalšího parametru v. Poloha bodu na ploše tedy závisí na dvou na sobě nezávislých parametrech, a proto lze plochu považovat za dvouparametrickou množinu bodů. Není-li znám výtvarný zákon plochy, dostáváme tzv. empirické plochy u nichž známe jen několik křivek (např. topografické plochy). Naopak pokud výtvarný 7

7 PLOCHY 8 zákon známe, nazýváme plochy matematickými. Výtvarný zákon pak můžeme popsat matematicky, např. parametricky pomocí analytických funkcí dvou parametrů u, v, kde souřadnice bodu M(x, y, z) matematické plochy vztažené na kartézský souřadnicový systém lze zapsat např. x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (1) pak pro v = konst proběhne bod při spojité změně parametru u tzv. u-křivku a obdobně pro u = konst proběhne v-křivku (obr. 1). Vyloučíme-li z rovnic (1) parametry u,v obdržíme rovnici plochy v implicitním nebo explicitním (Mongeově) tvaru F(x,y,z) = 0 z = f (x,y). Parametrické křivky tvoří na ploše dvě soustavy čar, pomocí nichž si mj. utvoříme představu o tvaru ploch. O stupni mluvíme jen u algebraických ploch, jejichž rovnice se dá psát ve tvaru F(x,y,z) = c i jk x i y j z k = 0, kde c i jk jsou reálné koeficienty, které jsou všechny rovny nule přičemž i, j, k jsou celé kladné exponenty. Největší exponent max(i + j + k) = n je stupněm algebraické plochy Φ n. Plochy druhého stupně se nazývají kvadratické plochy (kvadriky). Pokud nelze rovnici plochy vyjádřit ve výše zmíněném tvaru nazýváme ji plochou transcendentní. Jak již bylo uvedeno, lze obecně plochu vytvořit spojitým pohybem čáry. Tak např. spojitým pohybem přímky vzniká přímková plocha, spojitým pohybem křivky obecně zakřivená plocha, pohybem kružnice vzniká cyklická plocha. V praxi se používá většinou jen část plochy, která bývá ohraničena rovinným řezem plochy nebo křivkou proniku.

8 Střecha Nejvyšší část budovy, která ji chrání od deště a sněhu nazýváme střechou. Musí mít takový tvar, aby co nejrychleji odváděla vodu do odpadů nebo okapů a splňovala také estetické požadavky. Střešní plochy jsou tvořeny krytinou, která je nesena střešní konstrukcí. Z praktických důvodů se snažíme, abychom vystačili při konstrukci střech s co nejjednoduššími plochami. Nejlepší je používání rovin. Nemůžeme-li však s rovinami vystačit, používáme plochy přímkové, výjimečně jiné. Sklon střešních ploch má být úměrný druhu krytiny, prostředí (horské nebo nížinné) a architektonickým požadavkům. Zpravidla navrhujeme stejný sklon střešních rovin (ploch) pro všechny části střechy. Úlohu sestrojení vhodných rovin a ploch, ze kterých se skládá střecha a zároveň sestrojení jejich průsečnic, označujeme řešením okapů. Někdy je možno řešení střešního okapu provést více způsoby. Pak se většinou z řešení vybírá to, které je z účelového a estetického hlediska nejvýhodnější. Na začátku si musíme uvědomit pár věcí. Krytina bývá zpravidla nesena latěmi, které jsou upevněny na krokvích, opírajících se o trám, nazývaný pozednicí. Pozednice je vodorovná a je připevněna na zdivu budovy. Rovnoběžně k ní je střecha ukončena hranou okapní, přes kterou přepadává dešt ová voda a sníh ze střechy. Při teoretickém řešení střech pozednici nahradíme přímkou, kterou nazýváme římsovou hranou. Její vzdálenost od okapu položíme rovnu nule. Jednotlivé střešní části mají ustáleny tyto názvy: Okapová (římsová) hrana vodorovná úsečka (část křivky), ohraničující půdorys budovy, na kterou stéká voda ze střešních rovin; Roh střechy vrchol okapového obrazce, při němž je vnitřní úhel menší než 180, na obr. 2 A, B, C, D, E, F; Kout střechy vrchol okapového obrazce, při němž je vnitřní úhel větší než 180, na obr. 2 C; 9

9 STRECHA ˇ. 10 Hřeben střechy vodorovná průsečnice dvou střešních rovin, na obr. 2 KL a MN; Nároží střechy průsečnice dvou sousedních střešních rovin, na obr. 2 BN, DK, EK, FM, AN; Úžlabí střechy průsečnice dvou střešních rovin - obr. 2 CL; Sběžiště střechy bod na střeše, v němž se protínají průsečnice nejméně tří rovin, na obr. 2 M; Plášt střechy množina mnohoúhelníků shodných se střešními plochami (stěnami střechy), vhodně umístěnými v rovině tak, že jejich složením získáme povrch střechy; Výška střechy vzdálenost hřebenu od roviny půdy; Rozpon střechy vzdálenost dvou rovnoběžných okapových hran; Spád střechy tangens odchylky střešní roviny od roviny půdy; Zakázaný okap (výminka zatékání) část okapové hrany, na níž nesmí stékat voda (značí se obvykle druhou čarou těsně vedle okapové hrany vně půdorysu); Gula bod uvnitř výminky, do kterého odtéká voda z příslušné části střechy. Obrázek 2: Střecha s volnými okapy; A roh, C kout, KL hřeben, BN nároží, CL úžlabí, M sběžiště

10 Kapitola 1 Přímkové plochy Definice 1. Plocha přímková je plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka, ležící celá na ploše. Přímková plocha je tedy jednoparametrickou množinou přímek a můžeme si ji snadno představit jako útvar vzniklý pohybem přímky v prostoru. A to pohybem v názorném slova smyslu. Parametrickou rovnici přímkové plochy dostaneme tak, že zvolíme vhodnou křivku na ploše, tzv. řídicí křivku a popíšeme jednoparametrickou množinu přímek plochy, které křivku protínají. Přímky této množiny se nazývají tvořící. Mějme dánu řídicí křivku k o parametrických rovnicích x = x(u), y = ȳ(u), z = z(u), u I a tvořící přímku p, která spojitě probíhá křivku k. V každém bodě křivky k má přímka směr, udaný vektorovou funkcí (p 1, p 2, p 3 ) = (p 1 (u), p 2 (u), p 3 (u)). Vektor p je jednotkovým vektorem na přímce p, jehož směr je funkcí parametru u dané řídicí křivky k. Plocha Φ, vytvořená takovým pohybem přímky, má parametrické rovnice x = x(u) + vp 1 (u), y = ȳ(u) + vp 2 (u), z = z(u) + vp 3 (u) (1.1) kde v značí parametr na přímkách plochy, které jsou parametrickými u-křivkami. O řídicí křivce předpokládáme, že nemá singulární bod 1, tj. předpokládáme, že ( x, ȳ, z) (0,0,0). 1 Singulární body jsou body na ploše, ve kterých existuje více tečných rovin. Všechny parciální derivace prvního řádu jsou v singulárních bodech nulové. 11

11 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 12 Tečná rovina přímkové plochy (1.1) v jejím regulárním bodě M(x,y,z) je určena bodem M a směry (x u,y u,z u ) = ( x + vp 1, ȳ + vp 2, z + vp 3 ), (x v,y v,z v ) = (p 1, p 2, p 3 ). Protože tečná rovina v bodě M obsahuje přímku p, můžeme ji určit bodem ( x,ȳ, z) a směry (x u,y u,z u ),(x v,y v,z v ). Její rovnice je X x Y ȳ Z z p 1 p 2 p 3 x + v ȳ + v z + v = p 1 p 2 X x Y ȳ Z z = p 1 p 2 p 3 x ȳ z + v X x Y ȳ Z z p 1 p 2 p 3 = 0 (1.2) Levá strana rovnice (1.2) nemusí záviset na parametru v. To nastane právě tehdy, když směry ( x, ȳ, z),(p 1, p 2, p 3 ) a ( p 1, p 2, p 3 ) náleží stejnému dvojsměru, tj. když x ȳ z p 1 p 2 p 3 = 0, tj. když p 1 p 2 p 3 α( x,ȳ, z) + β(p 1, p 2, p 3 ) + γ( p 1, p 2, p 3 ) = 0, (α,β,γ) (0,0,0). (1.3) p 1 p 3 p 2 p 3 Po dosazení do rovnice (1.2) dostaneme X x Y ȳ Z z (y αv) p 1 p 2 p 3 = 0. p 1 Vyloučíme-li na přímce p bod, který odpovídá parametru v, vyhovujícímu rovnici y αv = 0, pak nalezená rovnice je rovnicí tečné roviny, která je společná pro všechny body přímky p. Neplatí-li (1.3), pak každému bodu M přímky p odpovídá právě jedna tečná rovina µ svazku rovin o ose v přímce p. Obráceně, každé rovině µ svazku o ose p odpovídá právě jeden dotykový bod M. Podél přímky p přímkové plochy existuje bud nekonečně mnoho tečných rovin, které vytvářejí svazek o ose p, nebo jediná tečná rovina. p 2 p 3

12 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 13 Tvořící přímka přímkové plochy, podél které existuje nekonečně mnoho tečných rovin, se nazývá regulární přímka. Tvořící přímka, podél které existuje jediná tečná rovina plochy se nazývá torzální přímka. Podle toho jestli přímková plocha obsahuje pouze torzální přímky, nebo obsahuje regulární tvořící přímky, rozlišujeme přímkové plochy rozvinutelné nebo zborcené plochy. 1.1 Rozvinutelné přímkové plochy Definice 2. Přímkové plochy rozvinutelné jsou plochy, které se dají bez metrických deformací rozvinout do roviny. Jsou to přímkové plochy, jejichž všechny přímky jsou torzální. Platí pro ně tedy podmínka (1.3), tj. α( x(u), ȳ(u), z(u)) + β(p 1 (u), p 2 (u), p 3 (u)) + + γ( p 1 (u), p 2 (u), p 3 (u)) = 0, (1.4) kde koeficienty α, β, γ, které závisí na parametru u, nejsou současně rovny nule. Mezi přímkové rozvinutelné plochy patří všechny plochy válcové, plochy kuželové a plochy tečen prostorových křivek (samozřejmě i rovina). Dá se ukázat, že každá křivka na rozvinutelné přímkové ploše přejde po rozvinutí této plochy do roviny do křivky se zachováním délek příslušných oblouků. Dále dvě libovolné křivky na přímkové rozvinutelné ploše, protínající se v daném bodě pod daným úhlem, přejdou po rozvinutí plochy do roviny do dvou křivek, které se protínají v odpovídajícím bodě pod stejným úhlem Rovina Pokud řídicí křivka rozvinutelné přímkové plochy je rovinná a směr tvořící přímky, zadaný vektorovou funkcí (p 1, p 2, p 3 ) = (p 1 (u), p 2 (u), p 3 (u)) zvolíme tak, aby náležel dvojsměru roviny řídicí křivky je přímkovou rozvinutelnou plochou rovina. Rovina je jedinou plochou prvního stupně. Aby rovnice (1.1) byly rovnicemi roviny, musí platit ( x, ȳ, z) = λ(p 1, p 2, p 3 ), ( p 1, p 2, p 3 ) = (0,0,0). Jak už bylo naznačeno, rovina je nejjednodušší plochou využívanou k zastřešení budov. Střechy složené z částí rovin se používají k zastřešení hranatých (rovnoběžníky, mohoúhelníky) i oblých (elipsy, kružnice,...) půdorysů. Lze je zhruba

13 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 14 dělit bud podle jejich sklonu nebo podle tvaru. Existuje však mnoho tvarových kombinací. Při teoretickém řešení těchto typů střech se v praxi používá pravoúhlé promítání na jednu průmětnu. Při tomto řešení nejdřív pracujeme jen se střešními rovinami, z nichž každá má od průmětny tutéž odchylku náležející intervalu (0,90 ). Její tangens je kladné číslo zvané spád střechy. O průmětu průsečnice dvou rovin stejného spádu platí dvě věty: Věta Necht roviny ρ, σ mají různoběžné stopy p ρ, p σ a stejný spád vzhledem k průmětně π. Potom pravoúhlý průmět průsečnice q rovin ρ, σ do průmětny π je osa různoběžek p ρ, p σ. Důkaz. Z předpokladu o rovinách ρ, σ plyne, že přímka q není kolmá k průmětně π. Proto její pravoúhlý průmět je přímka q p ρ, q p σ procházející bodem P = p ρ p σ jak je znázorněno na obr. (1.1). Necht Q je průmět libovolného bodu Q P přímky q. Kolmice vedené bodem Q ke stopám p ρ, p σ protínají tyto přímky v bodech R, S. Protože je p ρ Q R, p σ QQ, je p ρ τ, kde τ = QQ R. Proto je p ρ QR a obdobně je p σ QS. Odchylky rovin ρ, σ od průmětny π jsou tedy QRQ, QSQ. Z rovnosti těchto odchylek plyne, že je QQ R = QQ S (usu); proto je Q R = Q S, takže polopřímka PQ je osou úhlu RPS. Obrázek 1.1: Průsečnice dvou rovin stejného spádu Věta Necht různoběžné roviny ρ, σ mají různé a vzájemně rovnoběžné stopy p ρ, p σ, zároveň necht mají stejný spád vzhledem k průmětně π. Potom pravoúhlý průmět jejich průsečnice h do roviny π je osa pásu ohraničeného rovnoběžkami p ρ, p σ. Důkaz. Necht rovina τ p ρ (a tedy τ π) protíná přímky p ρ, p σ, h po řadě v bodech R, S, H. Trojúhelník RSH je rovnoramenný se základnou RS; průmět bodu H je střed úsečky RS. Z toho a z věty o vzájemné poloze tří rovin plyne tvrzení dokazované věty.

14 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 15 Poznámka. Z předchozích dvou vět plyne, že pravoúhlý průmět průsečnice různoběžných rovin ρ, σ, které mají stejný spád, je stejný pro každý spád; je tedy na volbě spádu nezávislý. Při řešení střech vycházíme z následujících předpokladů: okapové hrany jsou ve stejné výši všechny střešní roviny mají stejný spád na každou okapovou hranu odvádí vodu jen jedna střešní rovina na okapovou hranu bez výminky a do guly musí odtékat dešt ová voda Řešení střechy rovinami stejných spádů: Základní metody řešení střech pravoúhlý půdorys střechy nečiní větší problémy, rovnoběžníkový půdorys řešíme stejně jako pravoúhlý, avšak úhly stop musíme přesně půlit, abychom obdrželi přesný výsledek. 1. Metoda největšího půdorysu K řešení střechy nad zadaným půdorysem, který je členitější si vytkneme největší možný obdélník (rovnoběžník). Strany tohoto obdélníku (rovnoběžníku) jsou zčásti okapové hrany daného půdorysu. Navíc je celý uvnitř daného půdorysu. Nepokrývá-li tento obdélník celý půdorys, zvolíme ještě druhý možný obdélník. (a) správně (b) špatně Obrázek 1.2: Metoda největšího půdorysu Nad těmito obdélníky vyřešíme střechy, které následně spojíme. Pak řešíme střechy nad přidruženými obdélníky a spojujeme je se střešními rovinami již vyřešené střechy. Na obr. 1.2 máme znázorněno správné i špatné řešení dané metody. Správné řešení ukazuje obrázek vlevo, kde MN je hřeben, zatímco na obrázku vpravo je řešení chybné, protože vznikl vodorovný žlab

15 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 16 MN, který je pro své nevýhody a vzhledem k dříve uvedeným požadavkům z řešení vyloučen. Tato metoda je nevýhodná, je-li uprostřed půdorysu dvorek nebo je-li dán zakázaný okap. 2. Metoda číslovací Nejdříve očíslujeme všechny hrany půdorysu. Čísla zpravidla umíst ujeme k okapovým hranám, příp. stopám ochranných rovin. Průsečnice příslušných střešních rovin pak označíme čísly těch dvou rovin, které se v ní protínají (obr. 1.3). Každé dvě průsečnice, u kterých se vyskytuje stejné číslo, např. 1, 2 a 1, 5 jsou různoběžné. Z jejich průsečíku vychází průsečnice, která je označena zbylými čísly původních průsečnic, tedy např. 2,5. Obrázek 1.3: Metoda číslovací Pokud řešíme střechu, kde se vyskytuje příliš mnoho střešních rovin, je

16 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 17 tato metoda nepřehledná a příliš zdlouhavá. Proto složitější střechy řešíme následující volnou metodou. 3. Metoda volná Nejdříve zavedeme všechny roviny, které jsou z půdorysu zřejmé. V příslušném rozsahu naznačíme průsečnice zavedených sousedních rovin. Jakmile se průsečnice setká s jinou, jsou obě ukončeny a je zavedena průsečnice třetí (obr. 1.4 a)). Nesmí chybět žádná z průsečnic zavedených rovin, jinak vzniknou problémy. Dále pak z nejjednodušší části půdorysu zahájíme konstrukci průsečnice (obr. 1.4 b). Dojdeme-li ke složitější části půdorysu, nebo se střecha uzavře, provádíme řešení v druhém směru. Řešení končí, když se střecha uzavře, tj. když vyřešíme spojení všech užitých rovin. Obrázek 1.4: Volná metoda

17 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 18 Teoretické řešení, uvedené v předchozím textu je sice jednoznačné, avšak vzhledem k tomu, že závisí na výše uvedených předpokladech, příliš složité. A to at už z technických či estetických důvodů. Proto se provádí úpravy teoretického řešení s ohledem na zjednodušení konstrukce krovu, přičemž se nedodrží podmínka stejného spádu všech rovin, příp. se změní výšky okapových hran. Praktické řešení v tomto případě již není jednoznačné. Řešení střechy rovinami různých spádů: Řešíme-li střechy rovinami stejného spádu, dostáváme někdy řešení nevyhovující jednak z důvodů stavebně technických, jednak z důvodů estetických. Při navrhování stavebních konstrukcí je nutno počet použitých rovin co nejvíce snížit, dále se dává přednost vodorovným hřebenům. Proto často řešíme střechu rovinami různých spádů, případně používáme i zborcených ploch (viz. str. 37). Při praktickém řešení se vychází z řešení teoretického, které se dále upravuje. Např. střechu na obr. 1.5 můžeme vyřešit hned dvěmi způsoby: 1. V bodě A zvolíme rovinu 8 tak, aby její stopa na okapové rovině δ byla rovnoběžná se stopou roviny 6 (obr. 1.5 a)). Roviny 6 a 8 budou mít stejný spád a jejich průsečnici zvolíme ve stejné výši jako hřeben 2, 7. Průsečík hřebenů 6,8 a 2,7 označíme N. Podobně roviny 3,5 mají stejný spád a jejich průsečnice bude ve stejné výši jako hřeben 6,8. Průsečík hřebenů 3,5 a 6,8 označíme R. Bodem N jde nároží 6,7 a úžlabí 2,8, bodem R pak nároží 6,5 a úžlabí 3,8. Rovina nad hranou 4 je určena stopou roviny 4 na rovině δ a vhodně zvoleným bodem H na hřebeni 3,5. (a) (b) Obrázek 1.5: Řešení střechy rovinami různých spádů

18 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY Nad stopami rovin 2,1,7,6,5 na rovině δ zvolíme roviny o spádu 1 : 1. Lze tedy snadno nalézt průměty nároží 1,7 7,6 6,5 1,2 a 7,2 (obr.?? b)). Bodem A, průsečíkem okapů 2,3 vedeme rovinu 8, jejíž stopa na δ je rovnoběžná se stopou roviny 6. Rovina 8 dále prochází bodem N, což je sběžiště rovin 2,7,6. Rovina 3 je určena svou stopou na rovině δ a sběžištěm R rovin 6,8,5. Rovina 4 je pak určena stopou 4 na rovině δ a vhodně zvoleným bodem H na hřebeni 3,5. Okapové hrany střechy v různých výškách: Nejprve vyřešíme střechu nad obdélníkem 1, 2, 3, 4 a sestrojíme její řez rovinou β (obr. 1.6). Střešní roviny bude rovina β protínat v hlavních přímkách první osnovy, které označíme 1, 2, 3, 4. Nyní sestrojíme střechu nad půdorysem v rovině β: 1, 2, 3, 4, 1, 7, 6, 5. Obrázek 1.6: Řešení střechy, okapové hrany v různých výškách Více o daném problému viz. [3] Velmi jednoduché je řešení střechy nad obdélníkovým půdorysem. Rozlišujeme následující typy střech: Plochá střecha Plochá střecha (obr. 1.7) bývá zcela vodorovná s nepatrným sklonem k jedné straně nebo do středu. Její plocha musí být pokryta souvislou nepropustnou vrst-

19 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 20 vou. Používá se především k zastřešení rovnoběžníkových půdorysů. Pro její konstrukci je rozhodující, zda má nebo nemá mít charakter terasy. Mívá spád obvykle kolem 3 stupňů (tj. 3 cm na 1 m délky), může však být i zcela bezespádová či se spádem 10 i více stupňů. V rámci masové produkce se ve většině případů setkáváme se střechou šikmou jako s jakýmsi opozitem vůči plochým střechám rodinných domků z období sedmdesátých a osmdesátých let. Zvolíme-li pro zastřešení domu plochou střechu, pak projekt musí počítat s faktem, že v zimním období se vodní pára snaží proniknout z interiéru do exteriéru jejímu postupu je nutno bud důsledně zabránit již na vnitřním líci konstrukce, anebo jej naopak umožnit. Obrázek 1.7: Plochá střecha bezespádová Střecha sedlová Nejobvyklejším tvarem zastřešení rodinného domu v našich podmínkách je sedlová střecha (obr. 1.8). Je to střecha taktéž nad obdélníkem, ale narozdíl od pultové střechy je okap povolen podél dvou protilehlých římsových hran. Je tvořena dvěmi šikmými plochami, na kratších stranách je uzavřena štítovými zdmi. Sedlovou střechu je možné navrhovat v různých sklonech od 25 stupňů (alpský typ s velkými přesahy) až po 45 stupňů a více (německý typ bez přesahů). Podle sklonu sedlové střechy se rozeznává: střecha vysoká - dvě šikmé roviny se protínají ve hřebenu v úhlu kolem 90 stupňů střecha vlašská - dvě šikmé roviny se protínají ve hřebenu v úhlu větším než 90 stupňů střecha francouzská - má průřez rovnostranného trojúhelníku střecha gotická - její výška se rovná rozponu

20 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 21 střecha věžová - její výška bývá větší než 2,5 délky rozponu V České republice tvar sedlové střechy všeobecně převládá především na venkově. Sedlovou střechou se zastřešují hlavně obdélníkové půdorysy. Pokud je půdorys členitější, dá se použít i několik sedlových střech, jejichž seskupením vznikají další typy zastřešení (viz. např. střecha křížová). Venkovský dům na našem území měl vždy střechy s většími sklony, zpravidla kolem 45 stupňů. Ve starších dobách, kdy se na střechách vyskytovaly nasákavé a spalné přírodní materiály, tedy slaměné došky a dřevěné štípané šindele, to činilo spíše o několik stupňů více. S menším sklonem se u nás nesetkáme. Jedinou výjimkou je nevelké šumavské území kolem městečka Volar na Prachaticku, kde se zabydlely sedlové střechy alpského typu. Ty byly importované ze sousedního Bavorska a vyhovují zdejším extrémním horským podmínkám u kterých se počítá, že na nich sníh zůstává ležet. Sedlová střecha našeho sklonu může vytvářet i rezervu pro rozšíření obytné části do podkroví, pokud se s objemem půdy nepočítá hned od začátku, nemluvě o rekonstrukcí, kde se přímo nabízí. Obrázek 1.8: Sedlová střecha Střecha pultová Pultová střecha (obr. 1.9) je střecha nad obdélníkem, přičemž okap je dovolený jen podél jedné římsové hrany. Je velmi podobná a často nesprávně zaměňovaná se střechou plochou, tvořená vlastně jen jednou střešní plochou různého sklonu. Konstrukčně se jedná o velmi jednoduchý typ zastřešení, který se zvedá směrem k prosluněné fasádě. V podstatě se jedná o poloviční sedlovou střechu, přičemž rovina je u hřebene opřená o zed. V minulosti se používala zejména nad bočními loděmi baziliky, nyní se s oblibou používá zejména u takzvaných ekologických

21 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 22 domů, jejichž energetická bilance počítá s výraznými úsporami za vytápění díky sluneční energii proudící velkými okenními plochami do interiéru. Obrázek 1.9: Pultová střecha Střecha křížová a polokřížová Střecha křížová (obr. 1.10) vzniká průnikem dvou střech, např. sedlových, o stejné výšce hřebenu. Hřebeny se kolmo protínají. Štíty jsou na všech stranách. Obrázek 1.10: Křížová střecha

22 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 23 Polokřížová střecha (obr. 1.11) vzniká průnikem dvou střech o nestejné výšce hřebenu. Obrázek 1.11: Polokřížová střecha Střecha motýlková Střecha motýlková (obr. 1.12) je střecha, jejíž dvě ramena se šikmo svažují ke středu stavby. Používá se především v moderní architektuře. Obrázek 1.12: Motýlková střecha Střecha valbová, polovalbová a dlátková Střecha valbová (obr 1.13) je blízce příbuzná sedlové střeše. Je tvořena čtyřmi plochami téhož spádu, protínajícími se v nárožích a ve vodorovném hřebenu.

23 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 24 Trojúhelníkové plochy, které na střeše vzniknou se nazývají valbami. Má spád k okapům na všech čtyřech stranách, takže je konstrukčně složitější. Na druhou stranu však vytváří ze všech typů střech nejméně kubíků obestavěného prostoru a navíc díky přetažení střešního pláště může dům chránit lépe než střecha sedlová. Často se používá pro zastřešení domů ve tvaru L. Obrázek 1.13: Valbová střecha Střecha dlátková je druhem valbové střechy s okosenými hranami. Střecha polovalbová - pokud je střecha na kratších stranách půdorysu jen mírně přetažena, hovoříme o střeše polovalbové (obr. 1.14). Vznikne bud jako nasazení valbové střechy na sedlovou nebo opačně. Štít je pak bud v horní nebo dolní části nahrazen stříškami. (a) valbová střecha nasazená na sedlovou (b) sedlová střecha nasazená na valbovou Obrázek 1.14: Střecha polovalbová Polovalby představují typický prvek např. dřevěných šumavských staveb, jehož cílem byl zřejmě měkčí, více aerodynamický tvar domu v drsnějších klimatických

24 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 25 podmínkách. Na budovách mladších, zpravidla sociálně výlučných, nezemědělských jako jsou školy nebo fary se mnohdy používala i valba. Hrany na kratších stranách obdélníku se posunou výše. Tam se zvýší i příslušné stěny a vzniká možnost získat další přímo osvětlený prostor. Střecha stanová, jehlancová a jehlová Střecha stanová (obr. 1.15) je jehlancovitého tvaru. Roviny mohou být stejného nebo různého spádu. Trojúhelníkové zakřivené plochy stanové střechy (nad čtvercem čtyři, nad mnohoúhelníkem více, příp. uzavřená křivka jako třeba kružnice) se protínají v nárožích a setkávají se v jednom bodě který vybíhá do hrotu, nebo je na něj nasazená věžička. Stanové střechy se používaly hlavně v období gotiky. Obrázek 1.15: Nahoře střecha stanová a jehlancová, dole jehlancová Jehlancová střecha má podobu jehlanu nad čtvercem nebo pravidelným mnohoúhelníkem. Na věžích (hradů) může být zděná (popř. s okosenými hranami). Jehlancová střecha francouzského typu je tvořena komolým jehlanem, na němž je postaven nízký jehlan.

25 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 26 Jehla je druh jehlancové střechy, ale štíhlejší. Charakteristickým příkladem je sanktusník. Střecha mansardová Střecha mansardová (obr. 1.16) je vydutě lomená, sedlová nebo stanová střecha, vymezená rovinami o nestejném sklonu (spodní část má větší sklon, horní menší). Může být valbová, polovalbová nebo se štíty, popř. může mít dolní část zvonovou, horní jehlancovou. Podkrovní prostor se užitím mansardové střechy zvětšuje a zpravidla se využívá jako podkrovní obytné podlaží. Používá se již od baroka. Obrázek 1.16: Mansardová střecha Střecha šedová (shedová) Je sestavena z řady pultových nebo sedlových střech, nově např. eliptických konoidů (viz. str. 49), o stejném průřezu, které jsou řazeny za sebou (obr 1.17). Užívá se například u továrních hal (typický pilovitý profil střechy), nebot umožňuje přímé osvětlení prostoru okny v každé z jednotlivých střech. Obrázek 1.17: Shedová střecha sestavená z pultových střech

26 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY Válcová plocha Předpokládejme že v rovnici (1.3) je α = 0. Z podmínky p p2 2 + p2 3 = 1, najdeme derivováním p 1 p 1 + p 2 p 2 + p 3 p 3 = 0, a tedy po dosazení do rovnice (1.3) dostaneme rovnici p p2 2 + p2 3 = 0. Odtud plyne (p 1, p 2, p 3 ) = (0,0,0). To však znamená, že směr (p 1, p 2, p 3 ) tvořící přímky p je konstantní. Pak plocha x = x(u) + vp 1 (u), y = ȳ(u) + vp 2 (u), z = z(u) + vp 3 (u) (1.5) je válcovou plochou s řídicí křivkou k (obr. 1.18) k (x = x(u),y = ȳ(u),z = z(u)), řídicí směr povrchových přímek je (p 1, p 2, p 3 ) a p 1, p 2, p 3 jsou konstanty pro které platí p p2 2 + p2 3 = 1. Obrázek 1.18: Válcová plocha s řídicí křivkou k a tvořící přímkou p Užití válcových kleneb jako omezujících ploch tzv. valených kleneb je prastarého původu, přesto však valené klenby neztratily svůj význam ani v dnešní době. Naopak možnost užití jiného materiálu než kamene, dala těmto klenbám menší tloušt ku a v poslední době použití železového betonu umožnilo ekonomickou, sériovou výrobu tzv. válcových kleneb skořepinových. Ve stavitelství se za řídicí křivky těchto ploch užívá částí kružnice, elipsy, paraboly, hyperboly, cykloidy, řetězovky a jiných křivek, velmi často také oválů, složených z kruhových oblouků. Často se používají pro svou hospodárnost a vhodný geometrický tvar. U skořepinových oblouků ve tvaru půlkruhu se při větších rozpětích bezpodmínečně vyžaduje vyztužení pomocí výztužných žeber, aby se zabezpečila

27 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 28 tuhost konstrukce vůči ohybovým namáháním a zredukovalo se nebezpečí vydouvání skořepiny. Válcové skořepiny jsou spolu s klasickými kupolovými stavbami základem vývoje všech prostorových konstrukcí. Výrazně podnětily mechaniku a teorii pružnosti k řešení náročných problémů únosnosti skořepinových konstrukcí. Od roku 1927 se velmi rychle rozšířily a svoje vedoucí postavení co se skořepin týče si udržely až do roku Válcové skořepiny se vyztužují na obou koncích odlehčenými segmentovými deskami. Při větším rozpětí má velký význam vytvoření správného nadvýšení skořepiny v místech tlakových čar. Z tohoto důvodu se používají například eliptické oblouky, vykazující menší ohybové momenty a příznivější roznos únosnosti mezi vazníky. Osvětlení u klasických halových staveb je zabezpečeno nejčastěji bočními okenními pásmy. Současně se používají různé světlíky. Na následujícím obrázku je znázorněno využití válcové plochy v praxi a sice k zastřešení Opery v Lyonu válcovou plochou s řídicí křivkou kružnicí. Obrázek 1.19: Opera Lyon Parabolické skořepinové oblouky s vyztuženými žebry se používají hlavně při realizaci hal, které sloužily jako skladiště soli. Krásným příkladem využití parabolických válcových ploch k zastřešení je v Brně pavilon A na Brněnském výstavišti.

28 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 29 Brněnské výstaviště Klíčovou stavbou celé kompozice brněnského výstaviště z roku 1928 byl pavilon A se střechou ve tvaru parabolické válcové plochy. Autor vítězného návrhu výstaviště ho koncipoval jako dominantu se dvěmi křídly sledujícími směry obou hlavních os. V jejich průsečíku je kruhová stavba rotundy. Obrázek 1.20: Pavilony Z a A Brněnského výstaviště Ačkoliv architekt Kalous je jistě duchovním otcem základní myšlenky, k dokonalosti ji dovedl profesor Valenta, který změnil původní kruhové klenby nosných žeber na řetězovky a tedy k překlenutí hlavní budovy byla použita válcové klenba s řetězovkou jako řídicí čarou. Tato klenba spolu se smělou kulovou, (českou klenbou = nízký kulový vrchlík) nad pavilonem Z dává celému výstavišti charakteristický vzhled.

29 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 30 Stavba je příkladem čisté architektury, která má vyvážené proporce i dispozici, skvělou a odvážnou konstrukci a velmi dobrý detail. Prosklené stěny a klenby tvoří dobré podmínky pro osvětlení expozic denním světlem (což naopak méně vyhovuje dnešním záměrům, kdy za rozhodující je považováno osvětlení scénické, které zdůrazní části expozice podle záměru scenáristy a nikoliv podle polohy slunce na obloze). Pavilon A je jistě stavbou silně okázalou, neztrácí však lidské měřítko a příjemnost interiéru. Autoři našli takovou míru oslunění v relaci k prostoru, že zde kupodivu nevzniká takzvaný skleníkový efekt. I když architektura rotundy je velmi impozantní, nejpůsobivější pohledy jsou od vstupů do hlavních lodí v místě jejich křížení s bočními křídly. Pavilon A je z hlediska vývoje architektury jednou z význačných staveb funkcionalismu a konstruktivismu. Je brilantní ukázkou architektury vycházející z konstrukce splňující všechny požadavky funkčnosti. Velice zajímavé střechy vznikají různým spojováním válcových ploch, jak je vidět na obr Jde o budovu letiště St. Louis v Missouri, která byla navržena architektem Minoru Yamasaki v roce Obrázek 1.21: Letiště Lambert - St. Louis Kuželová plocha Předpokládejme, že v rovnici (1.3) je α 0. Dá se dokázat, že v tomto případě lze funkce x(u), ȳ(u), z(u) (které mohou být konstanty) volit tak, že se (1.3) zjednoduší na ( x(u),ȳ(u), z(u)) = µ(p 1 (u), p 2 (u), p 3 (u)). (1.6)

30 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 31 Necht µ = 0, pak (1.6) přejde v podmínku ( x(u),ȳ(u), z(u)) = (0,0,0), a tedy x, ȳ, z jsou konstanty, které označíme x 0, ȳ 0, z 0. Plocha x = x 0 + vp 1 (u), y = ȳ 0 + vp 2 (u), z = z 0 + vp 3 (u) (1.7) je kuželovou plochou, s vrcholem V ( x 0,ȳ 0, z 0 ) Kuželová plocha tedy vznikne pohybem přímky po rovinné křivce, přičemž jeden bod tvořící přímky, neležící na řídicí křivce je pevný (obr. 1.22). K zastřešeni se obvykle používají kuželové plochy s řídicí křivkou, která je kuželosečkou, a sice nejčastěji jde o kružnici. Obrázek 1.22: Kuželová plocha s řídicí křivkou k a tvořící přímkou p Kuželová plocha se používá např. k řešení kruhové okapové hrany, jak je znázorněno na obr a). Spád střešních rovin, resp. střešní plochy je 1 : 1, okapové hrany jsou ve stejné výši. Nad kruhovým okapem sestrojíme kužel o spádu 1 : 1, jeho řez rovinou 1 lze sestrojit dle obrázku. V úvahu přicházejí dvě paraboly a to od bodu P k hřebeni 1,3 a od bodu Q k hřebeni 1,3. Body H, H, ve kterých protínají úžlabí 1,5 hřeben 1,3, najdeme takto: zvolíme vodorovnou rovinu α ve výši hřebene 1, 3, ta protíná kužel v kružnici, jejíž poloměr r je roven rozdílu poloměru základny kužele a výšky hřebene 1,3. Dále je ještě sestrojen řez kužele 5 rovinou 3. V úvahu ovšem přichází část paraboly 3,5 v okolí jejího vrcholu. Jinak (obr 1.23 b)): Toto řešení vylučuje parabolická úžlabí. V bodech P, Q zvolíme tečné roviny 6, 7 kužele 5. Tyto plochy se dotýkají podél povrchových přímek 5,6 a 5,7. Dále sestrojíme průmět úžlabí 7,1 a podobně 6,1 tak, že rozpůlíme úhel příslušných stop na rovině okapové. Potom konstruujeme průmět hran

31 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 32 (a) (b) Obrázek 1.23: Zastřešení kruhového půdorysu pomocí kuželové plochy 3,7 a 3,6. Řez rovinou 3 se získá jako v předcházející konstrukci. Přímky 5,7 a 6,5 nejsou střešními hranami. Kuželová plocha s kruhovým půdorysem byla použita k zastřešení části budovy na obr Obrázek 1.24: Kuželová střecha nad kruhovým půdorysem Podobné použití kuželové plochy k zastřešení najdeme na budově Meeting house

32 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 33 univerzity v Sussex ve Velké Británii. Kuželová plocha je v tomto případě asymetrická, se šikmým eliptickým světlíkem ve vrcholu. Tvořící přímka plochy spojuje horní a dolní obvodový prstenec. Detail horní části střechy je na obr vlevo. Obrázek 1.25: Meeting House univerzity v Sussex

33 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přímkové plochy zborcené Definice 3. Přímkové plochy zborcené jsou přímkové plochy, které nelze spojitě rozvinout do roviny, v různých bodech téže přímky zborcené plochy jsou tečné roviny různé. Tzn. že na ploše existuje pouze konečný počet torzálních přímek. Definice 4. Jsou-li dány tři obecné prostorové křivky a, b, c, pak každá přímka, která protíná zároveň všechny řídicí křivky a, b, c je tvořící přímkou zborcené plochy. Křivky a, b, c jsou algebraickými křivkami stupňů m, n, p; každým bodem křivky a jde celkem np přímek, každým bodem křivky b mp přímek a body křivky c mn přímek. Křivky a, b, c stupňů m, n, p jsou tedy pro zborcenou plochu křivkami np, mp, resp. mn násobnými. Sestrojení (obr. 1.26): Na jedné křivce (např. na a) zvolíme bod A. Spojímeli postupně bod A se všemi body křivky b, vytvoří vzniklé spojnice kuželovou plochu 1 K, při spojení vrcholu A se všemi body křivky c kuželovou plochu 2 K. Společné površky 1 g, 2 g kuželových ploch 1 K, 2 K jsou hledané přímky zborcené plochy. Obrázek 1.26: Tvořící přímky zborcené plochy Jinak: Mějme dánu přímku, té je možno předepsat pohyb tak, aby přímka, která vyplňuje plochu přecházela z jedné polohy do polohy soumezné tak, aby byla

34 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 35 vždy k této další poloze mimoběžná. Pohyb přímky, která má vytvořit zborcenou plochu se nejlépe stanoví tak, že se požaduje, aby pohybující se přímka stále protínala tři dané křivky v prostoru a to at už křivky rovinné nebo prostorové. Uvažujme kartézskou soustavu souřadnic (P, x, y, z). Každou přímku, která není rovnoběžná s rovinou souřadnicových os x, y, můžeme zapsat pomocí rovnic x = az + m, y = bz + n, kde a, b, m, n jsou reálné koeficienty. Tyto rovnice vyjadřují pravoúhlé průměty p 2, p 3 přímky p do souřadnicových rovin ν, µ určených osami xz a yz. Obráceně přímku p π dostaneme jako průsečnici rovin kolmých k ν a µ vedených přímkami p 2, p 3. Přímky rovnoběžné s π je možno zapsat pomocí rovnic ax + by + m = 0, z = n. V obecném případě je tedy přímka v prostoru určena čtyřmi nezávislými parametry a, b, m, n, neboli čtyřmi nezávislými podmínkami. Ty mohou být vyjádřeny geometricky. Množina přímek, splňujících tři nezávislé jednoduché podmínky je závislá již jen na jednom parametru. Je tedy jednoparametrická a vytváří přímkovou plochu. Pro určení tří na sobě nezávislých podmínek jsme vlastně vybrali ze čtyřrozměrného přímkového prostoru jednoparametrickou soustavu přímek. Nyní jde jen o to, jak usměrnit jeden stupeň volnosti, aby rovnice představovaly přímkovou plochu zborcenou, ne rozvinutelnou. Dá se ukázat, že pro vznik zborcené přímkové plochy lze zařídit pohyb příslušné tvořící přímky p takto: Určíme tři řídicí křivky tak aby vyhovovaly následujícím podmínkám: žádné dvě z daných křivek nemají společný bod žádné dvě z křivek neleží v téže rovině dané křivky neleží současně na téže rozvinutelné přímkové ploše O křivkách splňujících tyto podmínky říkáme, že byly zvoleny obecně. Pohybující se přímka p, která při svém pohybu stále protíná všechny tři dané řídicí křivky vytváří přímkovou plochu zborcenou. Každý regulární bod takové plochy je jejím hyperbolickým bodem, kromě regulárních bodů izolovaných přímek zborcené plochy (torzálních přímek). Torzální přímky se na zborcených plochách mohou ale nemusí vyskytovat.

35 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 36 Stupeň zborcené plochy určíme tímto způsobem: Vytkněme dvě řídicí přímky a, b a řídicí křivku c stupně p. Libovolná přímka q určuje s a, b zborcenou plochu 2. stupně, která protíná c ve 2p bodech. Jimi procházejí povrchové přímky hyperboloidu (a b q), které jsou taky povrchovými přímkami zborcené plochy Φ ve 2p bodech, Φ je tedy stupně 2p. Zvolením přímky a a dvou křivek b, c stupňů n a p, a použitím přímky q obdobně jako v předešlém případě přicházíme k tomu, že plocha (a, b, c) je stupně 2np. Konečně stejnou úvahou použitím q sve spojení se dvěmi z daných křivek a, b, c stupňů m, n, p docházíme k tomu, že: Věta Zborcená plocha určená křivkami a, b, c stupňů m, n, p a nemajících žádné společné body, je stupně 2mnp. Pokud se křivky a, b protínají v r bodech, pak se z těchto bodů promítá třetí řídicí křivka stupně p r kuželovými plochami stupně p. Jejich povrchové přímky sice náleží k souhrnu přímek, které protínají a, b, c, ale k vlastní zborcené ploše určené křivkami a, b, c je nemůžeme počítat. Mají-li tedy křivky a, b, c stupňů m, n, p po řadě r, s, t společných bodů, je jimi určená zborcená plocha Φ stupně 2mnp rm sn t p (1.8) Je samozřejmé, že zborcená plocha bude tím jednodušší, čím jednodušší jsou řídicí křivky a, b, c Zborcené kvadriky Zborcená plocha Φ je kvadrikou, pokud je její stupeň roven 2, tj. po dosazení do rovnice (1.8) dostáváme: 2 = 2mnp rm sn t p Čísla m, n, p jsou přirozená, protože jde o stupně jednotlivých řídících křivek zborcené plochy. Jedinou možností, jak docílit, po dosazení konkrétních stupňů řídících křivek, platného vztahu je, že všechny stupně m, n, p jsou rovny jedné a řídící křivky se navzájem neprotínají. Zborcená kvadrika Φ je tedy určena třemi navzájem mimoběžnými přímkami. Na zborcené přímkové kvadrice leží dva systémy přímek, tzv. reguly. Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné a přímka jednoho regulu protíná všechny přímky regulu druhého. Kvadrika je určená kterýmikoliv třemi přímkami téhož regulu.

36 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 37 Libovolným bodem M zborcené kvadriky Φ procházejí právě dvě přímky, přičemž každá je jiného regulu. Obě leží na ploše a určují její tečnou rovinu, jako množinu tečen ke křivkám plochy procházejících bodem M. Dotykovým bodem tečné roviny je právě průsečík M těchto dvou různoběžek. Sestrojení tečné roviny: Tečná rovina v daném dotykovém bodě plochy obsahuje tečny ke všem křivkám, které tímto bodem procházejí. U zborcené plochy zastupuje jednu takovou křivku povrchová přímka, na které byl dotykový bod zvolen. Tedy každá rovina, která prochází tvořící přímkou zborcené plochy je její tečnou rovinou. Tečná rovina v bodě zborcené plochy je dána povrchovou přímkou, která daným bodem prochází a tečnou některé křivky na ploše prochájící daným bodem. Je-li tedy τ libovolná rovina procházející například přímkou d prvního regulu zborcené kvadriky Φ, pak je tečnou rovinou této kvadriky a obsahuje ještě přímku m druhého regulu, která se dá určit a základě toho, že protíná všechny přímky prvního regulu. Takže zvolíme další dvě přímky b, c prvního regulu na Φ a určíme jejich průsečíky s tečnou rovinou τ, jejichž spojnicí je přímka m. Průsečík R = d m je bodem dotyku roviny τ. Nejjednodušší zborcenou kvadrikou je tzv. zborcený hyperboloid. Zborcený hyperboloid Je určen třemi (vlastními) mimoběžnými přímkami a, b, c, které nejsou rovnoběžné se žádnou rovinou. Obrázek 1.27: Zborcený hyperboloid

37 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 38 Zborcený hyperboloid protíná nevlastní rovinu v reálné kuželosečce. Protože žádná přímka plochy není nevlastní, je tato reálná kuželosečka regulární. Konstrukce tvořících přímek zborceného hyperboloidu je jednodušší než v o- becném případě, protože pomocné kuželové plochy 1 K, 2 K uvedené dříve přejdou v roviny 2 ε (V, b) a 3 ε (V, c); bodem V na přímce a jde již jen jedna přímka p 2 ε 3 ε Zborcený hyperboloid jakožto zborcená kvadrika obsahuje dvě soustavy (dva reguly) přímek. V našem případě patří mimoběžky a, b, c do jednoho regulu, jejich příčka p do druhého regulu. Pól S nevlastní přímky vzhledem k hyperboloidu je střed hyperboloidu. Řezem rovinou rovnoběžnou s půdorysnou jsou homotetické kružnice. Zvláštním případem zborceného hyperboloidu je rotační jednodílný hyperboloid. Je vytvořen rotací přímky kolem osy, která je s danou přímkou mimoběžná (obr. 1.28). Obrázek 1.28: Rotační hyperboloid Rotačního hyperboloidu bylo použito k zastřešení hotelu Ještěd v Liberci (obr. 1.29). Hlavní architekt Karel Hubáček získal za toto řešení Perretovu cenu. Je to nejvyšší ocení, které může architekt získat. Stavba je zajímavá nejen tvarem, jenž dodal vrcholu Ještěd zcela novou podobu, ale také svou jedinečnou konstrukcí. S ohledem na povětrnostní podmínky byl zvolen tvar rotačního hyperboloidu. Od paty až na vrchol anténního nástavce

38 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 39 měří 94 metrů. Hlavní nosnou konstrukci tvoří dva železobetonové válce zasunuté do sebe a zakotvené v mohutné základové desce. Vnitřní válec má průměr 4,4 m, výšku 41,4 m a na konci je upevněn ocelový kruh anténního stožáru. Vnější válec má průměr 12,5 m a je jen 22,5 m vysoký. Obrázek 1.29: Rotační hyperboloid použitý k zastřešení hotelu Ještěd v Liberci Další použití hyperboloidu můžeme nalézt v St. Louis na budově McDonnellova planetária (obr. 1.30). Obrázek 1.30: McDonnellovo planetarium v Missouri

39 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 40 Od rotačního hyperboloidu jsou odvozeny dvě další zborcené plochy: trojosý hyperboloid a hyperbolický paraboloid. Vhodnou prostorovou afinitou vznikne z rotačního hyperboloidu tzv. trojosý hyperboloid. Na rozdíl od rotačního hyperboloidu, jehož řezem v rovinách rovnoběžných s rovinou základní je kružnice, u trojosého hyperboloidu je tímto řezem elipsa. Vhodnou perspektivní kolineací rotačního hyperboloidu dostaneme tzv. hyperbolický paraboloid, na němž můžeme sestrojit např. přímkovou plochu zborceného čtyřúhelníka. Hyperbolický paraboloid Hyperbolický paraboloid je zborcená kvadrika obsahující nevlastní přímku. Tvoří ho přímky, které protínají dané dvě mimoběžné řídicí přímky 1 m a 2 m a jsou přitom rovnoběžné s danou řídicí rovinou, např. π. Na hyperbolický paraboloid se můžeme dívat jako na zvláštní případ zborceného hyperboloidu a sice v tom smyslu, že třetí řídicí přímka 3 m je nahrazena nevlastní přímkou roviny π. Hyperbolický paraboloid bývá v technické praxi zpravidla určen tzv. zborceným čtyřúhelníkem. Často se používá k zastřešení pro své velmi dobré statické vlastnosti i pro zajímavý estetický vzhled. Obrázek 1.31: Hyperbolický paraboloid určený zborceným kosočtvercem ABCD

40 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 41 Pokud máme vyřešit střechu nad lichoběžníkovým půdorysem, přičemž okapy střechy jsou ve stejné výši, můžeme postupovat například následujícím způsobem (obr. 1.32): Kdybychom chtěli vyřešit střechu pomocí rovin stejného spádu, dostali bychom klesající hřeben. Ten bychom tedy rádi odstranili. Nad hranou AB proto zvolíme rovinu 1, nad AD rovinu 2, nad CD rovinu 3. Vyřešíme nároží 1,2 a 2,3. Rovinu 2 ukončíme ve vhodné výši vodorovným hřebenem MN (MN AD, bod M leží na nároží 1,2, bod N na nároží 2,3). Přímky MN, BC jsou vzájemně mimoběžné. Nedá se tedy jimi proložit rovina. Ved me tedy bodem M rovinu α kolmou k hřebeni MN. Rovina α je svislá a protíná okap BC v bodě M. Stejně tak vedeme bodem N rovinu β kolmou k hřebeni MN. Ta protíná okap BC v bodě N. Zborceným čtyřúhelníkem MNM N je určen hyperbolický paraboloid, který použijeme jako střešní plochu nad hranou BC. Najdeme jeho tvořící přímky. Přímky jedné soustavy hyperbolického paraboloidu (k níž náleží i přímky MN a M N ) jsou vodorovné, jedna řídicí rovina hyperbolického paraboloidu je tedy vodorovná, tj. všechny přímky téže soustavy jako M N a MN jsou vodorovné. Obrázek 1.32: Zastřešení lichoběžníkového půdorysu pomocí hyperbolického paraboloidu Průměty tvořících přímek druhé soustavy hyperbolického paraboloidu (k níž náleží přímky MM a NN ) jsou vzájemně rovnoběžné, další rovina hyperbolického paraboloidu je tedy svislá. Za řídicí rovinu této soustavy můžeme považovat rovinu α. Průsečnice obou řídicích rovin je vodorovná, je kolmá k hřebeni MN a je rovnoběžná s osou hyperbolického paraboloidu. Sestrojme ještě nároží mezi hyperbolickým paraboloidem a rovinou 1 a taky

41 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 42 mezi hyperbolickým paraboloidem a rovinou 3. Stačí využít hlavních přímek uvedených rovin a tvořících přímek hyperbolického paraboloidu, téže soustavy jako jsou přímky MN a M N. Spádová přímka roviny 1 jdoucí bodem M má svůj průmět kolmý k okapové hraně roviny 1. Rozdělme úsečku této spádové přímky mezi okapem a bodem M na n stejných dílků, koncovými body těchto dílků vedeme hlavní přímky roviny 1. Podobně rozdělíme úsečku MM na n stejných dílků a jejich koncovými body vedeme tvořící přímky hyperbolického paraboloidu. Hlavní přímka roviny 1, jejíž půdorys je od půdorysu okapové hrany vzdálen o 1 n vzdálenosti přímky A 1B 1 od bodu M 1, je ve stejné výši jako tvořící přímka hyperbolického paraboloidu, jejíž půdorys prochází bodem, který je uvnitř úsečky M 1 M 1 a od M 1 je vzdálena o 1 n vzdálenosti M 1M 1 (jde o přímku téže soustavy hyperbolického paraboloidu jako MN). Obě uvedené přímky se protínají v bodě hledaného nároží mezi rovinou 1 a hyperbolickým paraboloidem nad přímkou BC. Podobně najdeme další body tohoto nároží. Konstrukce průmětů mezi rovinou 3 a hyperbolickým paraboloidem nad hranou BC je stejná. Obě tato nároží jsou parabolická, poněvadž roviny 1, 3 jsou rovnoběžné s osou hyperbolického paraboloidu. Osobitým tvarem hyperbolického paraboloidu je sedlová skořepina (obr. 1.31). Je ohraničená čtyřmi hlavními křivkami a dva spektra tvořících přímek vytvářejí v půdorysu dva soubory vzájemně rovnoběžných přímek. První střešní konstrukce tohoto typu byly postavené na začátku 20. století. V roce 1909 pokryl španělský architekt Antoni Gaudí střechami vyzděnými v této formě malou školu v Barceloně (obr. 1.33). Obrázek 1.33: Obecní škola Sagrada Familia v Barceloně

42 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 43 Další rozvoj hyperbolických paraboloidů můžeme považovat za důsledek práce Felixe Candely v Mexiku. Hyperbolické paraboloidy jako stínící kryty obchodního domu v Mexiku D.F a známé zastřešení restaurace v Xochimilco (obr. 1.34) jsou dva příklady konstrukcí, které výrazným způsobem ovlivnily vývoj různých variací a tvarů těchto konstrukčních systémů v mnohých krajinách Evropy a Ameriky. Obrázek 1.34: Felix Candela - nahoře zastřešení restaurace Xochimilco v Mexiku, vlevo dole kostel v Nuovo Leon v Mexiku, vpravo budova L Oceanografic ve Valencii ve Španělsku Na následujícím obrázku je znázorněna skořepina před vchodem do budovy UNESCO v Paříži, podepřená parabolickým obloukem a charakterizována velkým oboustranným vyložením. Obrázek 1.35: Budova UNESCA v Paříži

43 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 44 Střecha složená z několika částí hyperbolického paraboloidu Hyperbolické paraboloidy se různým způsobem sdružují a vznikají tak další plochy využívané k zastřešení. Na obr nahoře je zobrazeno zastřešení haly, skládající se ze čtyř shodných segmentů hyperbolického paraboloidu (nad čtvercovou podstavou). Hlavní nosnou střešní konstrukci tvoří čtyři trojúhelníkové rámy (jeden označen ABC), které tvoří štíty. K jejich vrcholům se přimyká vaznicový kříž, který omezuje spolu s vazníky čtyři stejná střešní pole hyperbolických paraboloidů, daných zborcenými čtyřúhelníky (BV DC). Obrázek 1.36: Zastřešení haly (nahoře) a nástupiště (dole) řazenými hyperbolickými paraboloidy V jiném řazení je provedeno zastřešení nástupiště nádraží ČSD (obr dole). Střecha končí horizontální přímkou téže úrovně. Skořepina je podepřena jen ve svých nejnižších bodech sloupky, v nichž jsou umístěny svody dešt ové vody (bod C). Řešení je pro nástupiště zvlášt výhodné, nebot opěrné sloupky jsou ve značné vzdálenosti od hranice zakrytého prostoru a nebrání frekvenci při nástupu do vlaku.

44 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 45 Téhož řešení se používá i k zakrytí rozlehlých pracovišt a průmyslových staveb, jak ukazuje obr Jde o zastřešení filtrační haly vodárny Beerenplaat poblíž Rotterdamu. Střecha je složená ze 20 hřibových skořepin, složených vždy ze čtyř částí hyperbolického paraboloidu. Obrázek 1.37: Filtrační hala vodárny Beerenplaat poblíž Rotterdamu Vynikajícím příkladem konstrukčních systémů které využívají několik částí hyperbolického paraboloidu je návrh kostela v Tokiu. Tato monolitická skořepinová konstrukce se skládá z osmi částí ve tvaru hyperbolického paraboloidu. Půdorys je tvaru kříže s celkovou délkou 60 m a šířkou 45 m. Obrázek 1.38: Kostel v Tokiu

45 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 46 Ani v České republice nemusíme pro příklady zastřešení několika hyperbolickými paraboloidy chodit daleko. Na následujícím obrázku je znázorněna střecha na kostele v Břeclavi. Obrázek 1.39: Kostel v Břeclavi Žlabová klenba Žlabová klenba (obr. 1.40) je sestavena se shodných pásových segmentů hyperbolického paraboloidu. Obrázek 1.40: Žlabová klenba

46 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 47 Klenby bývají vyztuženy parabolickými žebry, patními a vrcholovými ztužidly. Po stránce statické je tato klenby výhodná tím, že velikost smykových sil, kterými je přenášeno zatížení klenby do žeber, je konstantní. Místo použití pásů hyperbolických paraboloidů se někdy používají prstencové pásy jenodílného rotačního paraboloidu. V praxi byly takto zastřešeny hangáry, kde rozpon klenby byl 70 m a vzdálenost kruhových žeber 11 m. Aymondova báň Aymondova báň (obr. 1.41) vzniká seskupením osmi částí ortogonálního hyperbolického paraboloidu nad čtvercovým půdorysem. Obrázek 1.41: Aymondova báň Na obrázku naznačená osmina celkové klenby je dána zborceným čtyřúhelníkem ABCV. Strana AB může být také vodorovná. Řídicí roviny jsou první promítací roviny přímek AB a AV, proto je řez paraboloidu svislou rovinou, procházející body B a V parabola, jejíž vrchol je obecně mimo bod V. Použitá je vždy jen část nad trojúhelníkem omezeným stranou, střední příčkou a úhlopříčkou čtverce půdorysu. Ostatní části klenby jsou získány kolmou souměrností podle svislých rovin, procházející středními příčkami a úhlopříčkami čtvercového půdorysu. Aymondova báň má výborné statické vlastnosti.

47 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY Plocha eliptického pohybu v prostoru Řídicími útvary plochy eliptického pohybu v prostoru jsou dvě k sobě kolmé mimoběžky a, b a řídicí rotační kuželová plocha s osou rovnoběžnou s osou obou mimoběžek. Při této volbě mají všechny tvořicí přímky i g vzhledem k π stejný spád, tj. úsečky 1 A 1 B, 2 A 2 B,... které na nich vytínají řídicí přímky, a také jejich půdorysy jsou stejně dlouhé. Zvolíme-li na tvořicí přímce g = AB libovolný bod M, pak při pohybu bodů A, B po přímkách a, b se bod M pohybuje v rovině o a proběhne elipsu. Tímto pohybem přímky g vzniká zborcená plocha čtvrtého stupně a je kolmo souměrná podle rovin procházejících řídicími přímkami a jejich osou o. V těchto rovinách souměrnosti leží také torzální přímky plochy. Nahradíme-li kuželovou řídicí plochu vlastní kružnicí c tak, aby její střed ležel na ose mimoběžek a,b a je-li její rovina kolmá k této ose, zůstane plocha opět souměrná podle rovin ao, bo, v nichž leží opět torzální přímky. Podobně jako u předcházející plochy i zde je nevlastní přímka roviny π izolovanou dvojnou přímkou plochy, a proto protínají roviny rovnoběžné s π plochu opět v elipsách. Části takto definované plochy lze použít jako střechy, jejíž okapovou hranou je kružnice nebo elipsa v horizontální rovině a jejíž hřeben tvoří vodorovná úsečka řídicí přímky a, která je kratší než s ní rovnoběžný průměr okapové kuželosečky. Těchto střech, tzv. helmic se ve středověku hodně používalo k zastřešení hradů a také u lidových staveb, zejména u dřevěných zvonic. Na Moravě je obecně známá Štramberská trúba, jejíž střecha je na obr Povrchové přímky zborcené plochy tvoří krokve v konstrukci střechy. Obrázek 1.42: Štramberská trúba

48 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY Konoidy Konoidy tvoří početnou skupinu zborcených ploch. Konoid obsahuje tři řídicí čáry takové, že jedna z nich je vlastní řídicí přímkou c, a jedna řídicí přímkou nevlastní d (určená obvykle rovinou α o nevlastní přímce d). Třetí řídicí útvar k ( kružnice, elipsa,...) určuje druh konoidu. Je-li k přímka, je konoid stupně 2. Je to nejjednodušší konoid a sice jde o hyperbolický paraboloid (viz. str. 40) Tvořící přímky konoidů mají tyto vlastnosti: jsou rovnoběžné s řídicí rovinou α protínají řídicí přímku c protínají řídicí křivku k Podle druhu řídicí křivky k rozlišujeme konoidy kruhové, eliptické, parabolické,... apod. Jestliže je řídicí přímka c kolmá na řídicí rovinu, mluvíme o přímém konoidu v opačném případě o konoidu kosém Přímý kruhový konoid Je dán řídicí kružnicí k, řídicí přímkou c a řídicí rovinou α, danou nevlastní přímkou d (obr. 1.43). Obrázek 1.43: Kruhový konoid Je to plocha čtvrtého stupně se čtyřmi torzálními rovinami, z nichž dvě jsou svislé roviny tečné k řídicí kružnici k, další dvě jsou opět tečné roviny procházející řídicí přímkou.

49 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 50 Každá rovina protíná obecně konoid v rovinné křivce čtvrtého stupně. Procházíli rovina tvořící přímkou, je řezem kubika. Roviny rovnoběžné s rovinou řídicí kružnice protínají konoid v elipsách. Tento konoid se využívá především k zastřešení budov kruhového půdorysu, jelikož jehož řídicí křivkou je kružnice. První konoidové střechy vznikly ve Francii v době, kdy v geometrických tvarech skořepin převažovaly rotační a válcové plochy. Tento geometrický tvar skořepinové konstrukce našel široké uplatnění v ČSSR, Itálii a především v Polsku. V posledních letech však ztrácí svůj význam. Na obr je zakreslen pohled na část parabolického přímého konoidu, použitého ke chránění vchodu do budovy. Řídicí parabolu tvoří nosník ve svislé rovině α, rovnoběžné s průčelnou stěnou v budovy, řídicí přímku pak vhodně volená a účelu vyhovující horizontální přímka d α. Klenba je ukončena řezem rovinou β, která je určena stopou AB roviny řídicí paraboly a bodem C na torzální přímce konoidu (vrcholové přímce klenby). Obrázek 1.44: Parabolický konoid použitý ke chránění vchodu do budovy Zvlášt výhodné je užití přímých konoidů při řešení tzv. pilových střech, tj. kleneb, které vzniknou vhodným řazením stejných prvků. Na obr. (1.46) je zakreslen pohled na pilovou střechu, k jejíž konstrukci bylo použito částí přímých konoidů. Na horním obrázku jde o konoidy kruhové, u spodního o parabolické. Řazení je možné provést řadou jiných způsobů, podle toho, k jakému účelu je prostor zakrytý střechou vytvořen.

50 KAPITOLA 1. PŘÍMKOVÉ PLOCHY 51 Obrázek 1.45: Pilová střecha z částí přímých konoidů Na následucím obrázku můžeme vidět podobné zastřešení konoidem. Tato konoidová střecha zdobí železniční stanici Oxford Road v Manchesteru ve Velké Británii. Je vytvořena řazením tří konoidů za sebe. Obrázek 1.46: Stanice Oxford Road v Manchesteru

51 Kapitola 2 Translační plochy Translační plochy vznikají posouváním dané tvořící křivky a tak, že její pevný bod probíhá při tomto rovnoběžném posuvu danou (pevnou) řídicí křivku b. Rovnoběžným posunem rozumíme takový pohyb v prostoru, při kterém každý její bod opisuje křivku shodnou s danou řídicí křivkou b (obr. 2.1). Obrázek 2.1: Vytvoření translační plochy 52

52 KAPITOLA 2. TRANSLAČNÍ PLOCHY 53 Posunutí je určeno dvojicí bodů: vzorem P a obrazem Q (obr.2.2). Obrázek 2.2: Rovnoběžné posunutí τ : P Q Definice 5. Plocha Φ je translační, jestliže existují křivky a, b plochy Φ, mající společný bod P, takové, že obraz a τ křivky a v každém posunutí τ : P Q, kde Q b, leží na Φ a každým bodem z Φ prochází obraz křivky a v některém takovémto posunutí. Křivka a se nazývá tvořící, b řídicí. Předpokládejme, že je dána translační plocha Φ s tvořící křivkou a a řídicí křivkou b, které mají společný bod P. Mějme libovolný bod Q b ξ, kde ξ je posunutí ξ : P R, kde R a, je křivka plochy Φ. Protože ξ je bijektivni zobrazeni prostoru, existuje na b jediný vzor Q bodu Q, tj. Q = Q ξ. Je-li τ : P Q, pak podle definice leží křivka a τ na Φ. Z vlastností posunutí plyne, že R τ = Q, tedy Q a τ a z toho Q Φ. Platí tedy b ξ Φ a tedy obraz b ξ křivky b v posunutí ξ : P R, kde R a je křivka plochy Φ. Rovnoběžným posouváním křivky a po křivce b a opačně získáme na takto vzniklé translační ploše Φ dvě soustavy křivek, přičemž každá soustava se skládá z navzájem shodných křivek. Pokud označíme [a] množinu obrazů křivky a ve všech posunutích τ : P Q, Q b a [b] množinu obrazů křivky b v posunutích ξ : P R, R a, pak [a] [b] je sítí na ploše Φ, tedy bodem na Φ prochází právě jedna křivka z [a] a právě jedna křivka z [b]. Libovolné dvě křivky a [a], b [b] můžeme považovat za tvořící a řídicí křivky plochy Φ. Plochu Φ můžeme vytvořit i opačně, posouváním neboli translací křivky b jako tvořící po křivce a jako řídicí. Každým bodem plochy prochází jedna tvořící a jedna řídicí křivka, jejich tečny v uvažovaném bodě určují příslušnou tečnou rovinu. Podle řídicí křivky se dotýká plochy válcová plocha, jejíž povrchové přímky jsou tečnami tvořících křivek a naopak.

53 KAPITOLA 2. TRANSLAČNÍ PLOCHY 54 Translační plochu lze vytvořit i jinak (obr. 2.3): V prostoru zvolíme dvě křivky a, b. Na křivce b zvolme bod B. Křivku a získáme tak, že spojíme středy všech úseček vedených mezi bodem B a body A, 1 A,... křivky a. Posouváním bodu B po křivce b do poloh 1 B, 2 B,... získáme kuželové plochy a na nich křivky shodné s křivkou a, která je podobná křivce a. Proto křivky a, 1 a, 2 a,... jsou shodné a v prostoru shodně položené. Bod A křivky a přitom opisuje křivku b, která je množinou středů úseček, určených bodem A a křivkou b. Takto vznikne plocha translační o řídicí křivce b a tvořící křivce a. Odvodili jsme, že množinou středů všech úseček, jejichž koncové body A, B leží na dvou křivkách a, b je plocha translační. Křivky a, b se nesmí skládat z navzájem rovnoběžných úseček. Obrázek 2.3: Vytvoření translační plochy Stupeň translační plochy, jejíž řídicí a tvořicí křivky jsou algebraickými křivkami stupňů m, n je roven mn. 2.1 Plochy válcové Je-li jedna z obou křivek a, b přímkou, je translační plocha obecnou válcovou plochou (viz. kap. 2) 2.2 Translační plochy kuželosečkovo-kuželosečkové Z translačních ploch se k zastřešení nejčastěji užívají ty, jejichž řídicími i tvořícími křivkami jsou kuželosečky. Tyto plochy se nazývají kuželosečkovo-kuželosečkové

54 KAPITOLA 2. TRANSLAČNÍ PLOCHY 55 a jsou stupně 4. Vytvoří posouváním kuželosečky a roviny α tak, že jeden její bod P probíhá kuželosečku b v rovině β. Je-li řídicí i tvořící křivka středová kuželosečka, je také vytvořená plocha translační plocha středová. Obrázek 2.4: Kuželosečkovo-kuželosečková translační plocha Řezem plochy rovinou, která je rovnoběžná s rovinou řídicí nebo tvořící křivky je tvořící nebo řídicí křivka. Řezem plochy rovinou, která je kolmá na roviny řídicí a tvořící křivky je obecně kuželosečka. Je-li rovina tečná, jde o kuželosečku singulární (bod, dvě různoběžky,...), v ostatních případech jde o kuželosečku regulární (elipsa, kružnice, hyperbola, parabola). Ve stavební praxi poskytuje použití translačních ploch nesporné výhody. Např. konstrukci skruží a tím i celého bednění lze provést sériově, nebot řídicí a podobně tvořící čáry jsou shodné. Při zakrytí velkých prostorů se používá jen částí, a to nejčastěji právě kuželosečkovo-kuželosečkových ploch tak, aby kuželosečky tvořící a řídicí měly větší průměry než strany obdélníkového půdorysu, který zastřešujeme. Nejvíce se používají translační plochy kruhovo-eliptické nebo kruhovo-parabolické, protože volbu řídicích oblouků lze dobře přizpůsobit účelu klenby. Řazením kruhovo-parabolických translačních ploch lze zakrýt rozsáhlé prostory, aniž mezi jednotlivými prvky vzniknou nežádoucí vodorovná úžlabí. Průnik dvou translačních ploch kuželosečkovo-kuželosečkových se používá jako křížová klenba. Jako příklad zastřešení translační plochou bych uvedla střechu na budově Smithfield Poultry Market Hall v Londýně (obr. 2.5). Jedná se o elipticko-parabolickou translační plochu.

55 KAPITOLA 2. TRANSLAČNÍ PLOCHY 56 Obrázek 2.5: Smithfield Poultry Market Hall Několik translační ploch kruhovo-eliptických bylo použito k zastřešení společnosti Rubber Company, vyrábějící pryž ve Walesu (obr. 2.6). Obrázek 2.6: Rubber Company ve Walesu

56 Kapitola 3 Klínové plochy Klínové plochy jsou zobecněním translačních ploch. V případě klínových ploch se ale tvořící křivka při posunu po řídicí křivce spojitě afinně transformuje. Obrázek 3.1: Klínová plocha Mějme dány tři navzájem kolmé roviny π, ν, µ, a v µ, ν křivky m, n, které mají společný bod R. Klínová plocha (tvořená křivkami m, n) je vytvořena všemi křivkami, které leží v rovinách rovnoběžných s µ, protínají m a jejichž pravoúhlé průměty do µ odpovídají křivce n v pravoúhlé perspektivní afinitě o ose x = π µ. 57

57 KAPITOLA 3. KLÍNOVÉ PLOCHY 58 Křivku m nazveme tvořící, n řídicí křivkou plochy a rovinu π její základní rovinou. Rovina α µ protíná klínovou plochu v křivce 1 n. Její pravoúhlý průmět 1 n do roviny µ odpovídá křivce n v perspektivní afinitě o ose x = π µ, ve které R A, kde A je průmět průsečíku A roviny α s křivkou m do µ. Všechny průsečíky křivek i n se základní rovinou π leží na úsečce MN (obr. 3.1). Vezmeme-li rovinu β ν a najdeme řez plochy touto rovinou, dostaneme křivku 1 m. Tato křivka protíná všechny křivky i n. Pravoúhlý průmět křivky 1 m do roviny ν je obrazem křivky m v pravoúhlé perspektivní afinitě o ose x = π ν. Podobně jako na translačních, existují také na klínových plochách dvě navzájem rovnoprávné soustavy křivek; [m] jsou křivky afinní s křivkou m a [n] jsou křivky afinní s křivkou n. Každým bodem plochy prochází tedy jedna čára afinní ke křivce n a ležící v rovině x = α µ a jedna čára afinní ke křivce m, ležící v rovině x = β ν. Je-li osa perspektivní afinity nevlastní, pak klínová plocha je plochou translační. Tečnou rovinu v libovolném bodě plochy určíme tečnami řídicí a tvořící křivky, které uvažovaným bodem procházejí. Z afinního vztahu soustavy křivek i n a i m je zřejmé, že tečny k jedné soustavě [m] afinních křivek plochy ve všech bodech křivky n, které patří druhé soustavě, protínají základní rovinu π v přímce. Obrázek 3.2: Tečny k soustavě křivek [m] protínají základn rovinu v přímce MN

58 KAPITOLA 3. KLÍNOVÉ PLOCHY 59 Tečny ke křivkám první osnovy v průsečících s křivkou druhé osnovy vytvářejí konoid s řídicí rovinou, která je rovnoběžná s rovinami křivek první osnovy a s řídicí přímkou v základní rovině (obr. 3.2). První klínové plochy začal používat Felix Candela např. při zastřešení laboratoře kosmického výzkumu na univerzitě v Mexico city z roku 1951 (obr. 3.3). Tehdy ještě však pro konstrukce klínových ploch nebyla známá žádná teorie, a proto řešil konstrukce pouze intuitivně. Obrázek 3.3: Laboratoř kosmického výzkumu - Mexico City Dále se na vzniku terie klínových ploch podílel Bedřich Hacar. Ve stavitelsví hodně používaná plocha hyperbolického paraboloidu má výborné statické vlastnosti a zajímavý tvar. Její nevýhodou však je, že na vodorovnou rovinu dosedá v obloucích hyperboly. Snaha o zachování dobrých statických vlastností plochy, která je tvořená řídicí a tvořící parabolou vedla Hacara k vytvoření speciálního typu plochy, Hacarovy plochy. Tato plocha je velmi podobná hyperbolickému paraboloidu, ovšem na vodorovnou rovinu dosedá místo hyperboly dvěma přímkami. Na obr. 3.4 to jsou přímky MN, KL.

59 KAPITOLA 3. KLÍNOVÉ PLOCHY 60 Obrázek 3.4: Hacarova plocha Hacarova plocha vedla ke zobecnění, které provedl František Kadeřávek. Plochy nazval klínové plochy.

60 Kapitola 4 Rotační plochy Definice 6. Rotačním pohybem kolem tzv. osy rotace o rozumíme pohyb, při kterém libovolný bod B, neležící na ose o vytváří tzv. kružnici otáčení bodu B, neboli rovnoběžkovou kružnici, ležící v rovině kolmé k ose o, se středem na ose o. Rovina kružnice je tzv. rovina otáčení bodu B a vzdálenost B od středu je tzv. poloměr otáčení bodu B. Obrázek 4.1: Vytvoření rotační plochy; h - rovník, m - meridián, h -rovnoběžka, t - tečna k meridiánu, u - tečna k rovnoběžce 61

61 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 62 Definice 7. Rotační plocha vzniká rotací křivky k okolo osy rotace o, za předpokladu, že křivka k neleží v ose o a že - je-li k rovinnou křivkou - není její rovina kolmá k ose o (obr. 4.1). Kružnice otáčení jednotlivých bodů křivky se nazývají rovnoběžkové kružnice (rovnoběžky). Největší z rovnoběžek je rovník, mají-li sousední rovnoběžky, ležící na obou jejich stranách menší poloměry. Rovnoběžka nejmenšího poloměru se nazývá hrdlo, nebo hrdlová kružnice, mají-li naopak sousední rovnoběžky, ležící po obou jejich stranách, větší poloměry. Řez m rotační plochy rovinou ν procházející osou rotace o je meridiánem (poledníkem) plochy. Soustava Σ r rovnoběžek a soustava Σ m poledníků vytvoří na rotační ploše ortogonální sít křivek, přičemž každým bodem plochy prochází po jedné křivce obou soustav. Tím je usnadněna konstrukce tečné roviny v bodě plochy. Tečná rovina rotační plochy je určena tečnou t k meridiánu m a tečnou u k rovnoběžce h procházející uvažovaným bodem. Vzhledem k ortogonalitě soustav Σ r a Σ m jsou i tečny t a u navzájem kolmé. Tečna t protíná osu o v bodě V. Její rotací vzniká rotační kuželová plocha dotýkající se rotační plochy podél odpovídající jí rovnoběžky. V bodech rovníku nebo hrdlové kružnice přejde tato plocha v plochu válcovou. Pokud je tečna meridiánu v uvažovaném bodě kolmá k ose rotace, přejde tečná kuželová plocha v tečnou rovinu. Rotační kuželovou nebo válcovou plochu, která vznikne rotací tečny meridiánu, nazýváme dotykovou kuželovou nebo válcovou plochou podél rovnoběžky vytvořené odpovídajícím bodem. Druhy rotačních ploch: Rotací přímky p kolem osy o se vytvoří tyto plochy: rotační válcová plocha je-li tvořící přímka rovnoběžná s osou rotační kuželová plocha protíná-li tvořící přímka osu rotační přímkový (jednodílný nebo zborcený) hyperboloid přímka a osa jsou mimoběžné Rotací kuželosečky k kolem osy o se vytvoří tyto plochy: kulová plocha otáčením kružnice kolem jejího průměru anuloid otáčením kružnice ležící v rovině osy rotace, kterou neprotíná rotační elipsoid otáčením elipsy kolem hlavní nebo vedlejší osy

62 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 63 rotační paraboloid otáčením paraboly kolem své osy rotační jednodílný hyperboloid otáčením hyperboly kolem její vedlejší osy rotační dvojdílný hyperboloid otáčením hyperboly kolem její hlavní osy Rovnice uvedených ploch kromě anuloidu jsou druhého stupně, proto jim říkáme rotační plochy druhého stupně čili rotační kvadriky. Rotací obecné křivky k kolem osy o se vytvoří rotační obecná plocha. 4.1 Rotační kvadriky Rotační kvadrika vzniká rotací kuželosečky kolem její osy. Je-li kuželosečka regulární (singulární), je také příslušná kvadrika regulární (singulární). Rotací singulárních kuželoseček vznikne: rotační válcová plocha nechali bychom kolem osy z rotovat přímku ležící v rovině yz o rovnici y = b a dospěli bychom k rovnici x 2 b 2 + y2 = 1 (viz. str. 27) nebo b2 rotační kuželová plocha nechali bychom kolem osy z rotovat přímku ležící v rovině yz o rovnici z = c y a dospěli bychom k rovnici b x 2 b 2 + y2 b 2 z2 = 0 (viz. str. 30) c2 Průsečíky osy rotace s rotační kvadrikou jsou vrcholy plochy. Je-li kuželosečka k středová, pak je také příslušná kvadrika středová a jejím středem je střed kuželosečky k. Rotační kvadriky dělíme jednak podle druhu rotující kuželosečky, jednak podle toho, která její osa je osou rotace. Elipsoid Rotací elipsy kolem její osy rotace vzniká rotační elipsoid. V případě rotace kolem hlavní osy vzniká tzv. protáhlý elipsoid, v případě rotace kolem vedlejší osy vzniká tzv. zploštělý elipsoid. Elipsoid v základní poloze vznikne rotací elipsy ležící v rovině yz se středem v počátku a osami v souřadných osách kolem osy z. Tvořící elipsa, která je současně meridiánem rotační plochy, je popsána rovnicí y 2 b 2 + z2 = 1. (4.1) c2

63 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 64 Rovnice elipsoidu, který vznikne rotací elipsy o rovnici (4.1) kolem své osy (osa z) má tvar x 2 b 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. Obrázek 4.2: Rotační elipsoid Pro b > c > 0 (osa z je vedlejší osou) dostaneme zploštělý rotační elipsoid a pro 0 < b < c (osa z je hlavní osou) dostaneme protáhlý rotační elipsoid. V případě b = c bychom dostali kulovou plochu. Obrázek 4.3: Rotační elipsoid zploštělý a protáhlý

64 KAPITOLA 4. ROTA C N I PLOCHY 65 Oba elipsoidy jsou str edovy mi nepr ı mkovy mi kvadrikami, ktere neprotı najı nevlastnı rovinu v rea lne kuz elosec ce. Na ose rotace lez ı vrcholy plochy, ktere jsou kruhovy mi body zatı mco ostatnı body jsou elipticke. Rovinne r ezy obe mi elipsoidy mohou by t jen kruz nice a elipsy. Elipsoid se pouz ı va k zastr es enı pr edevs ı m kruhovy ch, pr ı padne elipticky ch pu dorysu. Jako pr ı klad zastr es enı elipsoidem bychom mohli uve st stavbu Assembly Hall v Illinois v USA (obr. 4.4). Jde o c a st prota hle ho elipsoidu na kruhove m pu dorysu. Obra zek 4.4: Rotac nı prota hly elipsoid pouz ity na Assembly hall Dals ı m kra sny m pr ı kladem pouz itı elipsoidu k zastr es enı je budova Opery v Beijingu (obr. 4.5). V tomto pr ı pade byl k zastr es enı elipticke ho pu dorysu zplos te ly elipsoid. Obra zek 4.5: Opera v Beijingu v C ı ne

65 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 66 Kulová plocha Kulová plocha vznikne rotací kružnice kolem svého průměru. Obrázek 4.6: Kulová plocha Rovnice kulové plochy jak bylo uvedeno dříve je tvaru: x 2 + y 2 + z 2 = b 2. Kulová plocha je nepřímková středová kvadrika, jejíž všechny body jsou kruhové. Rovinným řezem kulové plochy je vždy kružnice. Zastřešení budov částí kulové plochy je docela časté. Používají se menší i větší části, v některých případech dokonce i téměř celá kulová plocha. Jako příklad takového zastřešení bych uvedla zastřešení kinosálu Deoda v Paříži (obr. 4.7) Obrázek 4.7: Kinosál Deoda v Paříži

66 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 67 Na následujím obrázku je zobrazeno další využití části kulové plochy k zastřešení, a to na světově známé budově Opery v Sydney v Austrálii. Obrázek 4.8: Opera v Sydney Austrálie, k zastřešení je užito částí kulových ploch Rotační paraboloid Rotační paraboloid vytvoříme rotací paraboly o rovnici x 2 2pz = 0 kolem osy z. Rovnice rotačního paraboloidu má pak tvar x 2 + y 2 2pz = 0. Rotační paraboloid je rotační plocha, která se dotýká nevlastní roviny v bodě, který je nevlastním bodem jeho osy rotace. Vlastní průsečík paraboloidu s osou rotace nazýváme vrcholem paraboloidu. Paraboloid je nestředovou, nepřímkovou kvadrikou, jejíž body jsou eliptické až na vrchol, který je kruhovým bodem. Rovinné řezy rotačního paraboloidu jsou paraboly a kružnice. Paraboly leží v rovinách rovnoběžných s osou rotace. Rotační paraboloid má jediný vrchol V, je souměrný podle každé roviny jdoucí jeho osou o. Společné ohnisko všech meridiánů se nazývá ohnisko paraboloidu.

67 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 68 Obrázek 4.9: Rotační paraboloid Využití rotačního paraboloidu k zastřešení není zas až tak časté, spíše se využívá jako plocha satelitů, ale přece jenom takové stavby najdeme. Tak například ho bylo použito k zastřešení budovy Swiss Re Tower v centru Londýna jak ukazuje obr Obrázek 4.10: Budova Swiss Re Tower v Londýně, vpravo detail střechy

68 KAPITOLA 4. ROTAČNÍ PLOCHY 69 Další budovou, která je zastřešena rotačním paraboloidem je kostel v Oklahoma City, jehož fotografie je na obr Tento kostel byl postaven v roce Obrázek 4.11: Egg Church v Oklahoma City 4.2 Anuloid Anuloid vzniká rotací kružnice kolem osy ležící v její rovině a neprocházející jejím středem. Zvolíme-li za poledníkovou křivku dvě souměrné kružnice, které jsou kolmé k ose otáčení o, vytvoří se jejich otáčením plocha čtvrtého stupně. Obrázek 4.12: Anuloid