Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Transkript

1 KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016

2 Kvadriky

3 Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a 2 a 2 c 2 regulární (vzniknou rotací regulární kuželosečky) a) kulová plocha x 2 + y 2 + z 2 = r 2 b) elipsoid x2 + y2 + z2 = 1 a 2 a 2 c 2 b) paraboloid x2 2p + y2 2q ± z = 0 b) hyperboloid jednodílný x2 + y2 z2 = 1 a 2 a 2 c 2 dvojdílný x2 y2 + z2 = 1 a 2 a 2 c 2

4 Rotační elipsoid elipsoid protáhlý elipsoid zploštělý promítací kabina (Utrecht, The Netherlands)

5 Rotac ní paraboloid 1 0,8 0,6 0,4-1 -0,5 0 0, ,2-0,5 00 0,5 1 Vorau, Rakousko Sve tlana Tomiczková

6 Jednodílný rotac ní hyperboloid Sydney (Austrálie) Kobe (Honšú, Japonsko) Vysoká (Tachovsko) Sve tlana Tomiczková

7 Jednodílný rotační hyperboloid Vzniká rotací hyperboly kolem vedlejší osy rotací přímky p mimoběžné s osou o rotace Rotací asymptot hyperboly vznikne asymptotický kužel (rotační kuželová plocha). Rotací přímky p dostáváme soustavu přímek = regulus. JRH je souměrný podle každé roviny obsahující osu rotace= Obsahuje i přímku p souměrnou s p podle roviny procházející osou a rovnoběžnou s p. Ta svou rotací vytváří druhý regulus. Na rotačním jednodílném hyperboloidu existují dva reguly přímek. Každé dvě přímky téhož regulu jsou vzájemně mimoběžné. Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu (s jednou je rovnoběžná).

8 Dvojdílný rotační hyperboloid Vzniká rotací hyperboly kolem její hlavní osy. Rotací asymptoty vznikne asymptotický kužel (rotační kuželová plocha)

9 Dvojdílný rotační hyperboloid Laurent Cassegrain (kolem ) byl francouzský katolický kněz, který zdokonalil Newtonův zrcadlový dalekohled. Parabolické zrcadlo s hyperbolickým sekundárním zrcadlem

10 Řez rotační kvadriky Řezem rotační kvadriky je kuželosečka. rotační elipsoid: rotační paraboloid: rotační hyperboloid: Konstrukce řezu: - najít 5 prvků (5 bodů, 3 body a 2 tečny ve dvou z nich, apod.) a použít Pascalovu větu - nebo v konkrétních případech najít určující prvky řezu (např. hlavní osy elipsy).

11 Quetelet-Dandelinova věta Quetelet-Dandelinova věta - kuželová plocha I: Ohniska eliptického řezu rotační kuželové plochy jsou dotykové body kulových ploch, které jsou vepsány kuželové ploše a dotýkají se roviny řezu. Důkaz: V nárysu pro jednoduchost vynecháváme indexy

12 Quetelet-Dandelinova věta Quetelet-Dandelinova věta - válcová plocha: Řezem rotační válcové plochy rovinou, která je kosá k ose plochy, je elipsa. Jejími ohnisky jsou dotykové body kulových ploch vepsaných válcové ploše tak, že se dotýkají roviny řezu. Střed elipsy leží na ose válcové plochy, délka její vedlejší poloosy je rovna poloměru válcové plochy. Důkaz:

13 Quetelet-Dandelinova věta - pokračování Quetelet-Dandelinova věta - kuželová plocha II: Jestliže rovina je rovnoběžná právě s jednou povrchovou přímkou rotační kuželové plochy, pak je řezem parabola. Její ohnisko je dotykovým bodem sféry vepsané do kuželové plochy. Quetelet-Dandelinova věta - kuželová plocha III: Pokud je rovina rovnoběžná se dvěma povrchovými přímkami rotační kuželové plochy, je řezem hyperbola. Její ohniska jsou dotykové body sfér vepsaných do kuželové plochy a dotýkajících se. Zobecněná Quetelet-Dandelinova věta: Ohniska průsečné kuželosečky k rotační kvadriky Φ s rovinou ϱ, která se nedotýká plochy Φ, leží v bodech dotyku obou kulových ploch, vepsaných do Φ a dotýkajících se roviny ϱ.

14 Řez paraboloidu a hyperboloidu Věta o řezu paraboloidu: Pravoúhlým průmětem eliptického řezu rotačního paraboloidu do roviny kolmé k ose paraboloidu je kružnice. Věta o řezu hyperboloidu: Každá rovina protíná hyperboloid a jeho asymptotický kužel v kuželosečkách téhož druhu. Obě kuželosečky jsou soustředné a podle společného středu homotetické (platí pro jednodílný i dvoudílný hyperboloid).

15 Průnik rotačních kvadrik Průnikem rotačních kvadrik je křivka 4. stupně. Průnik dvou rotačních kvadrik se rozpadne na dvě kuželosečky právě tehdy, když existuje kulová plocha současně vepsaná oběma kvadrikám.

16 Průnik rotačních kvadrik křížová klenba Malá Strana a Červená Lhota komínová stříška