Seriál Teorie čísel III

Transkript

1 Seriál Teorie čísel III A je tu třetí, závěrečný, opět o něco kratší díl seriálu! K jeho přečtení nebudeš příliš potřebovat látku předchozích dílů, spíš bude nutné nebát se a pořádně se zamýšlet. Odměnou Ti bude kus krásné matematiky, který sice tolik nevyužiješ v olympiádě, ale pro který stojí za to žít. Na co se tedy můžeš těšit? Nejprve se naučíš zkrotit hrůzostrašně vyhlížející sumy. Poté se seznámíš s všelijakými aritmetickými funkcemi, naučíš se je chytře násobit a vše využiješ k jednoduchým a extrémně elegantním důkazům překvapivých identit. Práce se sumami V tomto díle budeme často používat složitější úpravy výrazů se sumami. Jedná se sice o techničtějšíčástmatematiky,alezjistíš,žesevníukrývajíipěknétriky.prácisesumaminavíc mnohokrát zúročíš i v dalších oborech. Nejprve si zopakujeme sumární zápis a poté si ukážeme základní úpravy, které nám později ulehčí život. Symbol značísoučetněkolikačlenů,atovrůznýchkontextech,jaksenejlépeukážena příkladech. Mějme nějakou funkci f. (i Definujeme n f(k=f(1+f(2+ +f(n.sumatedyvyjadřujenásledující: Nejprveza kdosaďme1,potom2,3,... anakonec n.všechnytytočlenysečtěme. Například n 4 4 1=n, (m 2 +1=32=1+ 2 n. 18 m=2 (ii Výraz f(dvyjadřujesoučet f(dpřesvšechnykladnédělitele dčísla n.tedy d 2 1=(1 2 1+(2 2 1+(3 2 1+(6 2 1+(9 2 1+( d 18 (iii Obecně i If(iznamenásoučetpřesvšechnyprvkymnožiny I.Třeba i {1,3, 6,8} n=0 f(i=f(1+f(3+f( 6+f(8. (iv Také se nám může stát, že potřebujeme sčítat přes dvě proměnné. Například f(a f(b=f(2 2 +f(2f(3+f(3f(2+f(3 2, 2 i 4 d i 2 a,b 3 f(i f(d = f(2 f(1 + f(2 f(2 + f(3 f(1 + f(3 f(3 + f(4 f(1 + f(4 f(2 + f(4 f(4.

2 Korespondenčníseminář,KAMMFFUK,Malostranskénáměstí25,11800Praha1 Proměnnou k(resp. d, m, n, i, a, b,přeskteroujsmevsuměsčítali,nazývámeindexaautomaticky ji považujeme za celé číslo. Ukažme ještě jeden konkrétní příklad s vnořenými sumami: Vytknutí čísla před sumu d 4 a=1 d 2a=(2+(2+4+( =28. První často používanou úpravou je vytknutí čísla před sumu. Když máme uvnitř sumy součin a jeden z činitelů je nezávislý na sčítacím indexu, můžeme tento činitel vytknout před sumu. Jednáseoběžnévytknutí,jakhoznáme,jenusummůžepůsobitnezvykle.Například n n (n+i 1=n n+n (n+1+ +n (2n 1 i=1 = n (n+(n+1+ +(2n 1 n = n (n+i 1. i=1 Prohazování sum Častosenámstane,žemámedvěsumyvedlesebe.Pakjemůžemeprohodit.Například n m m n f(i g(j= f(i g(j. i=1 j=1 j=1 i=1 Uvědommesi,žeseopravdunicnezměnilo.Kdyžsitotižpředstavímečísla f(i g(jvtabulce s mřádkyansloupci,taklevástranavyjadřuje,žejsmeudělalisoučtyvkaždémzesloupců a výsledky jsme pak sečetli. Naproti tomu na pravé straně jsme sečetli součty řádků. Zřejmě jsmetedydostalivoboupřípadechstejnéčíslo součetvšechčíselvtabulce.natensetaky můžeme dívat jako na sumu f(i g(j. 1 i n 1 j m Prohazování sum se dá vhodně kombinovat s vytýkáním: n i=1 ( f(i m j=1 g(j = n m m n m f(i g(j= f(i g(j= i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 ( g(j n i=1 f(i. Tosemůžehoditnapříklad,pokudneumímevyjádřitsoučet m i=1 g(i,alesoučet n i=1 f(i ano. První, resp. poslední výraz v předchozí rovnosti se dá taky upravit dalším vytknutím na součindvousum,tedyna ( n ( m f(i g(j. Prohození sum je ještě o trochu komplikovanější, když prvky, přes které sčítáme ve vnitřní sumě,jsouzávislénaindexuvnějšísumy.například e d f(e.chtělibychomnaprvní místodostatsumupřes e.ktomusistačíuvědomit,že ejedělitelčísla n.tedyvnějšísuma j=1 19

3 Matematickýkorespondenčníseminář 33.ročník(2013/2014,3.komentáře bude e n.ajakényníklástpodmínkyna d?musíplatit,že djenásobek eapřitom d n. Vnitřnísumaprotobude.Výraztakupravímedopodoby d=e x f(e= e d e n d=e x f(e= e n (f(e d=e x Rozmysli si, že jsme opravdu žádný člen nevypustili a žádný nezapočítali vícekrát. Cvičení. Opravdu si to rozmysli. Nyní uvidíme, proč se prohození sum vyplatilo. Vnitřní sumu totiž umíme dál pěkně upravit. Sčítáme několikrát jedničku, stačí jen zjistit kolikrát. Jinak řečeno, vnitřní suma se rovná počtu n takových čísel d,že d=exazároveň d n.tedy ex n,ajelikož e n,tak x e.počet n vyhovujícíchčísel djeprotostejnýjakopočet xtakových,že x e.odpovědíjetedypočet dělitelůčísla n.pokudoznačíme τ(npočetdělitelůčísla n,takjsmepůvodnívýrazupravilina e f(e= e d e n 1. f(e τ. ( e Aritmetické funkce V této kapitole se dostáváme k hlavnímu programu našeho seriálu aritmetickým funkcím. Budeme je zkoumat, sčítat, násobit(a možná jinak, než bys čekal(a, a díky tomu si odvodíme mnoho zajímavých výsledků teorie čísel. Co to tedy je? Definice. Aritmetickáfunkcejefunkcezpřirozenýchčíseldoreálnýchčísel. 6 Příklademaritmetickýchfunkcíjsoufunkce f(n=n 3, f(n=log(nneboeulerovafunkce ϕ(n. Zajímavé aritmetické funkce dostaneme, když vezmeme všelijaké vlastnosti čísla n týkající se dělitelnosti. Definice. Aritmetickoufunkcí τ(nmyslímepočetvšechkladnýchdělitelůčísla n. 7 Součet všech kladných dělitelů čísla n označujeme jako σ(n. S těmito aritmetickými funkcemi jsme se vlastně již setkali zmiňovali jsme totiž dokonalá čísla,cožjsoupřesnětačísla n,prokteráplatí σ(n=2n. Počet dělitelů τ(n můžeme snadno vyjádřit, pokud známe rozklad čísla n na prvočísla. Tvrzení. Nechť n=p α 1 1 pαr r je rozklad čísla n na prvočísla. Pak platí τ(n=(α 1 +1 (α r+1. Důkaz. Stačísiuvědomit,žekaždýdělitelobsahujevesvémrozkladupouzeprvočíslap 1,...,p r, přičemžprvočíslo p i vmocnině0až α i.tojetedy(α i +1možnostíproprvočíslo p i.jelikož můžeme exponenty u různých prvočísel volit nezávisle na sobě, zjistíme počet všech dělitelů jako součin těchto výrazů Nebodokoncekomplexních.Aritmetickéfunkcejsouvlastnějenjinýpohlednaposloupnosti. 7 Mluvímeoníkrátcejakoopočtudělitelů.

4 Korespondenčníseminář,KAMMFFUK,Malostranskénáměstí25,11800Praha1 Podobný vzorec závislý na rozkladu na prvočísla existuje i pro součet dělitelů. K němu přirozeně dospějeme v kapitole o multiplikativních funkcích, zatím si jen uvědomíme, že platí následující. Tvrzení. Prosoučetdělitelůmocninyprvočíslaplatí σ(p k = pk+1 1 p 1. Důkaz. Jednásepouzeoznámý 8 vztahprosoučetgeometrickéřady1+p+ +p k.seznalostí tohoto vzorečku už snadno požadovaný výsledek dokážeš. Seznámíme se nyní s další aritmetickou funkcí Möbiovou funkcí µ, která hraje v následující teorii klíčovou roli. Definice. Möbiova 9 funkce µje 1 pro n=1, µ(n= 0, je-li nčtvercové,tedyexistuje-li a >1takové,že a 2 n, ( 1 r, je-li n=p 1 p 2 p r,kde p i jsounavzájemrůznáprvočísla. Například µ(4 = 0, µ(5 = 1, µ(6 = 1. Jednu z pěkných vlastností Möbiovy funkce ukazuje následující důležité tvrzení. Tvrzení. Platí: µ(d= { 1 1 pro n=1, = n 0 pro n >1. Důkaz. Všimněmesi,žepokudjsou a, bnesoudělná,platí µ(aµ(b = µ(ab. Pro n=1je triviálněsoučetrovenjedné.máme-li n >1,můžemehorozložitnaprvočísla, n=p α 1 1 pαr r. Jediní dělitelé čísla n, kteří do sumy přispějí, jsou ti bezčtvercoví. Proto můžeme psát(vyzkoušej si, že po roznásobení prostředního výrazu opravdu dostaneme každé nenulové číslo ze součtu nalevo právě jednou µ(d=(1+µ(p 1 (1+µ(p 2...(1+µ(p r=0 0 0=0, což jsme chtěli dokázat. ( Dirichletova konvoluce Nyníjižumímesčítatsumyamůžemesevrhnoutnatentopříklad(dobřesihopromysli. Příklad. Ukaž,žepro n 1platí ϕ(n= µ(d n d. Řešení. Nejprvesiuvědomíme,ževýraz 1/(a,b jerovenjedné,právěkdyžjsoučísla a, b nesoudělná,jinakjetonula.protose ϕ(ndávyjádřitjakotatosuma: n 1 ϕ(n=. (n,k 8 Asnadnovygooglitelný. 9 August Ferdinand Möbius ( byl německý matematik a teoretický astronom. Kromě toho, že se věnoval teorii čísel, byl také jedním ze zakladatelů topologie. Pravděpodobně jsi už slyšel(a o Möbiově pásce. 21

5 Matematickýkorespondenčníseminář 33.ročník(2013/2014,3.komentáře Následně využijeme vztahu( pro každý ze sčítanců sumy a dostaneme ϕ(n= n 1 (n,k = n d (n,k µ(d= n µ(d. Nyní přichází čas na prohození sum, které je opět poměrně náročné, pročež si jej dobře rozmysli. d k k=dx k n d k n µ(d= µ(d= (µ(d Zbývá si uvědomit, že poslední vnitřní suma vyjadřuje jen počet násobků čísla d menších neborovných n.ajelikož d n,jejichpřesně n d.tímjsmedostalipožadovanývztah,kterýsi připomeneme pro případ, že už jsi zapomněl(a, co vlastně dokazujeme: ϕ(n= µ(d n d. k=dx k n Poznámka. Součet v minulém příkladu je speciálním případem výrazu f(d g, d kde fa gjsouaritmetickéfunkce.takovétosoučtysevteoriičíselčastoobjevujíamysenyní budeme zabývat jejich obecnými vlastnostmi. Předtím si zavedeme ještě dvě jednoduché, ale užitečné aritmetické funkce: Definice. Jednotka je aritmetická funkce u, která všem číslům přiřadí jedničku(tedy u(n = 1 prokaždé n. 10 Definice. Aritmetickáfunkce Njedefinovanávztahem N(n=nprokaždé n. 11 Definice. Dirichletovakonvoluce 12 aritmetickýchfunkcí fa gjearitmetickáfunkce h(n= f(d g. d 1. Konvolucifunkcí fa gznačíme f g. Konvoluce je tedy operace, která vezme dvě aritmetické funkce a vyrobí z nich třetí. Na příkladujsmeviděli,žekdyžzvolímeza f Möbiovufunkci µaza gfunkci N,dostaneme ϕ, jinýmislovy ϕ=µ N. Jiným zajímavým příkladem jsme zakončili první díl seriálu, když jsme si ukázali, že platí n= ϕ(d. Tentovztahneříkánicjiného,nežže N= ϕ u.vtakovémtopřípadě,kdyjejednazfunkcí v konvoluci u, zavádíme nový pojem. 10 Značenívycházízanglickéhoslovaunit. 11 Značenívycházízčeskéhoslovanuda. 12 MůžešsetakésetkatspojmemDirichletůvsoučin.Mybudemevseriáluříkatjednoduše konvoluce. 22

6 Korespondenčníseminář,KAMMFFUK,Malostranskénáměstí25,11800Praha1 Definice. Nechť f jearitmetická funkce. Pakaritmetickoufunkci g = f u,tedy g(n = f(d,nazvemesumárnífunkcífunkce f. Cvičení. Najdi sumární funkci k N. Tvrzení.(Obecné vlastnosti konvoluce Nechť f, g, h jsou libovolné aritmetické funkce. Pak platí: (i f g= g f, (komutativita (ii (f g h=f (g h. (asociativita Říkáme, že je konvoluce komutativní a asociativní, což jinými slovy znamená, že nezáleží na tom,vjakémpořadíkonvoluciprovádíme,anijakuzávorkujemevýrazytypu f g h i j k. Důkaz. (i K důkazu komutativity je třeba si uvědomit, že f(dg d= a b=n f(ag(b= b a=nf(bg(a= f g(d, d kdeprostřednísumyprobíhajípřesvšechnydvojicečísel(a,b,prokteréplatí ab=n. (ii Označme A=g haupravme f A=f (g h.máme (f A(n= f(aa(d= a d=n a d=n = f(a g(b h(c. a b c=n f(a g(b h(c b c=d Je vidět, že pokud analogicky upravujeme výraz((f g h(n, dospějeme ke stejnému výsledku. Ještěseseznámímesfunkcí,která nechávájinéfunkcenapokoji. 13 Definice. Identita je aritmetická funkce I definovaná jako I(n= { 1 1 pro n=1, = n 0 pro n >1. Tvrzení. Nechť fjearitmetickáfunkce.pakplatí f I= I f= f. Důkaz. Viz cvičení. Cvičení. Tvrzení si dokaž. Cvičení. Najdi sumární funkci k I. Poznámka. V sekci o Möbiově funkci µ jsme si dokázali, že µ(d= 1 = I. n Pokudtentovztahpřeložímedořečikonvoluce,dostaneme,že I= µ u.tentovztahčástečně vysvětluje, proč je zrovna Möbiova funkce tak zajímavá. Je to totiž přesně ta funkce, jejíž sumární funkcí je I. 13 Dokoncenechávánapokojiisamasebe. 23

7 Matematickýkorespondenčníseminář 33.ročník(2013/2014,3.komentáře Nyní si můžeme ukázat, jaká síla se ukrývá v základních vlastnostech konvoluce. Příklad. Dokážeme si novým a jednodušším způsobem, že ϕ(n= µ(d n d, neboli ϕ=µ N. Důkaz. Zprvníhodíluvíme,že N= ϕ u.toznamená,žetaké N µ=(ϕ u µ.pravá stranasedíkyasociativitě(!rovná ϕ (u µ.navícvíme,že u µ=i,takže N µ=ϕ I= ϕ. Jaksnadné(abezsum. Poznámka. Vzpomeňme si nyní, kolik jsme museli udělat úprav, než jsme dostali vztah( v kapitole o sumách: f(e= f(eτ. e e d e n Přitomsistačíuvědomit, ževýraznalevéstranějesumárnífunkcezesumárnífunkcezf. Tedy(f u u.svyužitímasociativityvíme,žesetorovná f (u u,ale u unenínicjiného než 1,tedypočetdělitelů τ(nčísla n.tedy(f u u=f τ,cožjevýraznapravé straně. Řešení druhé čokoládové úlohy náročnější pasáž Jako příklad využití nabytých znalostí si ukážeme, jak se řešila druhá čokoládová úloha k minulé sérii, jejíž řešení nám bohužel nikdo neposlal. Úloha. Vzávislostinaprvočísle purčivz psoučetvšechprimitivníchprvkůmodulo p. Řešení. Vezměme si nějaký primitivní prvek g modulo p(z minulého dílu víme, že existuje. Hledaný součet pak je g k, 1 k p 1 (k,p 1=1 cožvyplýváztvrzenízmíněnéhovedruhémdíle,že g k jeprimitivníprvek,právěkdyžčísla k a p 1 jsou nesoudělná. V kapitole o aritmetických funkcích jsme si dokázali tvrzení Díky tomu lze naši sumu takto upravit: 1 k p 1 (k,p 1=1 µ(d= I(n. p 1 p 1 g k = g k I((k,p 1= g k d (k,p 1 p 1 µ(d= g k d k d p 1 µ(d. Podařilo se nám získat vnořené sumy, které můžeme prohodit, tak hurá do toho. Ve vnější suměbudemetedysčítatpřes d p 1avevnitřnípřestaková k,kterájsounásobkem dapro kteráplatí k p 1.Pokudnapíšeme k= dr,můžememístopřes ksčítatpřes rod1do p 1 d. 24 p 1 g k d k d p 1 p 1 µ(d= d k d p 1 g k µ(d= d p 1 (p 1/d r=1 g rd µ(d= d p 1 (p 1/d µ(d g rd. r=1

8 Korespondenčníseminář,KAMMFFUK,Malostranskénáměstí25,11800Praha1 Nynístačízjistit,čemuserovnávnitřnísuma.Pro d=p 1jekongruentnís1modulo p. Pro d p 1, d < p 1stačíjensumusečístjakogeometrickouřadu,čímždostaneme (p 1/d r=1 g rd = g d(gd (p 1/d 1 g d. 1 ZMaléFermatovyvětyplyne p g p 1 1=(g d (p 1/d 1,alepřitom p g d 1(protože gje primitivníprvekad<p 1.Tytočlenynámtudížmodulo pvypadnouazůstanejen µ(p 1, což je řešení úlohy. Multiplikativita funkcí Většina aritmetických funkcí, se kterými jsme se dosud v seriálu setkali a se kterými se zde ještě setkáme,mávýznamnou 14 vlastnost,kteréseříkámultiplikativita. Definice. O aritmetické funkci f řekneme, že je multiplikativní, pokud pro každou dvojici a, b přirozených navzájem nesoudělných čísel platí f(ab = f(af(b. Funkce je úplně multiplikativní, pokud f(ab = f(af(b platí pro každou dvojici přirozených čísel. Proč je multiplikativita aritmetických funkcí z několika důvodů velmi příjemná? Z několika důvodů. Jedním z nich je to, že je funkce jednoznačně určená svými hodnotami v mocninách prvočísel. Pomocí matematické indukce totiž snadno dostaneme intuitivní vzoreček f(p α 1 1 pαr r =f(p α 1 1 f(pαr r. Když tedy potřebujeme spočítat hodnotu v čísle n, stačí jej rozložit na prvočísla, zjistit hodnoty v mocninách prvočísel a využít tohoto vzorečku. Obdobně, když chceme ukázat rovnost dvou multiplikativních funkcí, stačí dokázat, že se rovnají ve všech mocninách prvočísel. Pro úplně multiplikativní funkce je situace podobná. Pro výpočet hodnoty n stačí znát hodnoty v jednotlivých prvočíslech z rozkladu(úplně multiplikativní funkce je totiž multiplikativní anavícplatí f(p k =f(p k.abysedvěúplněmultiplikativnífunkcerovnaly,stačí,abyměly stejné hodnoty v prvočíslech. Cvičení. Uvědomsi,žefunkce I, u, Na µjsoumultiplikativní.kteréznichjsoumultiplikativní úplně? U dvou důležitých funkcí už jsme si multiplikativitu nenápadně dokázali u Eulerovy funkce ϕ(jižvprvnímdílealegendreovasymbolu L p(vedruhémdíle. Cvičení. Dokaž, že pokud je f multiplikativní funkce, tak f(1 = 1. Asinikohonepřekvapí,žejsou-li fa gmultiplikativnífunkceahjedefinovanájako h(n= f(n g(n, tak je i h multiplikativní. Ale opravdové kouzlo a sílu multiplikativity poodkrývá následující tvrzení. Tvrzení.(Konvoluce zachovává multiplikativitu Pokud jsou f a g multiplikativní, pak je multiplikativníif g. Důkaz. Nechť h=f gam, njsoudvěnesoudělnáčísla.pak h(mn= ( mn f(dg. d d mn 14 Extrémněvýznamnou. 25

9 Matematickýkorespondenčníseminář 33.ročník(2013/2014,3.komentáře Každýdělitel dčísla mnsedánapsatvetvaru d=ab,kde a m, b n.navícplatí(a,b=1, ( m a, n =1.Naopakkaždátakovádvojice a, bodpovídáprávějednomuděliteli d.protose b rovnají sumy ( mn f(dg = ( mn f(ab g. d ab d mn a m b n Na pravé straně jsme získali dvojitou sumu, ze které vyrobíme součin sum, podobně jako jsme si to ukazovali v úvodní kapitole. h(mn= a m b n = b n a m = b n ( = a m ( mn f(ab g ab ( f(bg ( ( m f(af(bg g a b ( m f(ag a = h(mh(n. ( b a m ( b n ( m f(ag a f(bg b Získali jsme novou zbraň, jak o funkcích ukazovat, že jsou multiplikativní. Tvrzení. Funkce τ(početdělitelůaσ(součetdělitelůjsoumultiplikativní. 15 Důkaz. Tvrzení se samozřejmě dá dokázat z definice multiplikativity, ale vyžaduje to netriviální množstvípočítáníaúprav.stím,cojsmesidokázaliokonvoluci,setvrzenívzdá. Stačísiuvědomit,že τ(n= 1jesumárnífunkcejednotky u,tedy τ= u u.podobně σ(n= djesumárnífunkce nudy N,tedy σ= N u.funkce uanjsoumultiplikativní a díky tomu, že konvoluce zachovává multiplikativitu, jsou i funkce τ a σ multiplikativní. Poznámka. Nyníjižsnadnodokážeme,žepro n=p α 1 1 pα pαr r platí σ(n= pα p 1 1 pα2+1 2 p 2 1 pαr+1 r p r 1. Cvičení. Dokaž si, že součet dělitelů závisí na počtu dělitelů takto: σ(n= τ(dϕ. d Cvičení. Uvědom si, že konvoluce nezachovává úplnou multiplikativitu. Návod. τ= u u. Ztohodůvodujemultiplikativitadůležitějšíazajímavějšínežúplnámultiplikativita. 16 To, žejefunkcemultiplikativníúplně, užjejentaková třešničkanadortu. 17 Nadruhoustranu se tato vlastnost občas chová nadstandardně pěkně. Tak je tomu například u Dirichletových inverzí. 15 Platí dokonce zobecněná věta: součet k-tých mocnin dělitelů čísla n, neboli σ k (n = dk,jemultiplikativní. 16 Přestožedefiniceúplnémultiplikativitysezdábýtpřirozenější Nebohřebíčekdorakve.

10 Korespondenčníseminář,KAMMFFUK,Malostranskénáměstí25,11800Praha1 Definice. Nechť f je aritmetická funkce taková, že f(1 0. Potom funkci g nazveme Dirichletovouinverzík f,pokud f g= g f= I.Obvyklejiznačíme f 1. Dá se ukázat, že pro každou funkci existuje právě jedna Dirichletova inverze, my to ale dělatnebudeme.takésedáodvoditneúplněpěknýrekurentnívztahprohodnotyfunkce f 1 v závislosti na funkci f. My díky Dirichletovým inverzím dostaneme zajímavou charakterizaci úplně multiplikativních funkcí. Drž si klobouk! Tvrzení. Nechť f je multiplikativní. Pak f je úplně multiplikativní, právě když Cvičení.(těžké Zkus si tvrzení dokázat. f 1 (n=µ(nf(n prokaždépřirozené n. Návod. Projednuimplikacivyužijtvrzení µ(d=i(d.vdruhéimplikacisiuvědom,jak vypadá µ(p k,adokaž f(p α =f(p α. Bonusy na závěr Jednoduchou aplikací Dirichletovy konvoluce je následující překvapivé tvrzení, které říká, jak obrátitvztah fjesumárnífunkce g. Tvrzení.(Möbiova inverzní formule Rovnosti f(n= g(d a g(n= f(dµ d jsou ekvivalentní. Důkaz. Víme,žeprvnírovnostznamená f= g u.vynásobenímfunkcí µdostáváme f µ= (g u µ=g (u µ=g I= g,cožjedruhárovnost.kdyžnaopaktutorovnostvynásobíme funkcí u, dostaneme opět první rovnost. Vše,čímjsmesedosudvseriáluzabývali, bylokonečné (atedy dojistémíryomezené. Pojďme se tedy na chvilku odpoutat od nudné reality a vrhněme se do nekonečného vesmíru plného nekonečných řad. S nějakou nekonečnou řadou ses již pravděpodobně setkal(a. Například s krotkou řadou k+ = která má konečný součet 2. Naproti tomu řada 2 k, k= másoučetnekonečno Vyšetřování,zdamánekonečnářadakonečnýsoučet,nenísnadnéamysejímnebudeme zabývat. 27

11 Matematickýkorespondenčníseminář 33.ročník(2013/2014,3.komentáře Obrovské využití v teorii čísel ale mají poněkud divočejší řady, kupříkladu řady tvaru n=1 1 n s propevné s >1. Dáseukázat,žepro s >1mátatořadakonečnýsoučet,kterýoznačujeme ζ(s. 19 Platínapříklad známý vztah ζ(2= π2 6. PořádjeTitomálo?Námtaké.Pojďmesitytořadyještězobecnit. Definice. Nechť a je aritmetická funkce. Pak nazveme Dirichletovou řadou funkce a. Příkladem jsou tyto řady: Tvrzení. Platí n=1 n=1 n=1 D(a,s= n=1 µ(n n s = 1 ζ(s, τ(n n s = ζ(s 2, a(n n s, σ(n n s = ζ(s ζ(s 1. D(a b,s=d(a,s D(b,s. Náznak důkazu. Představ si, jak se postupně roznásobuje pravá strana. Pokud dáš k sobě členy, kterémajívejmenovateli n s pronějaké n,takzjistíš,ževčitatelibudepřesně a(d b. d Tato úvaha opravdu funguje i pro nekonečné řady, jen je potřeba ještě trocha teorie a formalit, což překračuje rámec seriálu. Cvičení. S pomocí tvrzení si dokaž tři předchozí identity. Cvičení.(těžké Nahlédni, že asi platí ζ(s= p P kde v součinu násobíme přes všechna prvočísla. Návod. Rozepiš si 1 1 1/p s jakogeometrickouřadu p s, 1+ 1 p s+ 1 p 2s+. 19 JednáseoznámouRiemannovuzetafunkci,okteréhovořínejslavnějšínevyřešenýmatematický problém Riemannova hypotéza. 28

12 Korespondenčníseminář,KAMMFFUK,Malostranskénáměstí25,11800Praha1 Jakdostanešnapravéstraně1/n s?zkussi nrozložitnaprvočísla. Cvičení.(těžké Dokaž, že 6 π 2 < ϕ(n σ(n n 2 <1. Návod. Napišsivzorečkypro ϕ(naσ(n,zobouvytkni navyužijpředchozícvičení. Závěr Pokudsesdočetl(aažsem,chtělibychomTipogratulovatapoděkovatzato,žejsinašemu seriálu udržel(a přízeň. Pokud Tě téma zaujalo, v příštích komentářích najdeš seznam další literatury, mimo jiné zdroje, ze kterých jsme při psaní seriálu čerpali. Dále bychom rádi poděkovali našemu jazykovému korektorovi Kubovi a TEXaři Olinovi za to,žeponáscelýtextdůkladněpročítali,azatrpělivost,kterousnámiměli.rovněžděkujeme i ostatním organizátorům, kteří pomohli výsledný text doladit. 29