11. Číselné a mocninné řady
|
|
|
- Jana Macháčková
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18
2 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n.
3 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n.
4 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje.
5 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n.
6 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n. Řekneme, že řada konverguje, je-li její součet konečné číslo. V jiném případě řekneme, že řada diverguje.
7 11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.1 (nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lim a n = 0.
8 11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.1 (nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lim a n = 0. Poznámka Právě uvedená nutná podmínka konvergence se používá především ve tvaru "Jestliže lim a n 0 nebo lim a n neexistuje, potom řada n=1 a n diverguje."
9 11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.2 (i) Necht α C, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. V tom případě platí αa n = α a n. n=1 n=1
10 11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.2 (i) Necht α C, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. V tom případě platí αa n = α a n. n=1 n=1 (ii) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou konvergentní řady. Potom n=1 (a n + b n ) konverguje, a platí (a n + b n ) = n=1 a n + n=1 b n. n=1
11 11.2 Kritéria konvergence Věta 11.3 (srovnávací kritérium) Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující 0 a n b n pro každé n N, n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní.
12 11.2 Kritéria konvergence Věta 11.3 (srovnávací kritérium) Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující 0 a n b n pro každé n N, n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní. (ii) Je-li n=1 a n divergentní, je rovněž n=1 b n divergentní.
13 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.4 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom n=1 a n konverguje, právě když konverguje n=1 b n.
14 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.4 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom když konverguje n=1 b n. n=1 a n konverguje, právě (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n.
15 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.4 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom když konverguje n=1 b n. n=1 a n konverguje, právě (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n. (iii) Necht c =. Pak konverguje-li n=1 a n, konverguje i n=1 b n.
16 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje.
17 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní.
18 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-li lim n a n > 1, pak neplatí lim a n = 0 a n=1 a n je divergentní.
19 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy.
20 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje.
21 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní.
22 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-li lim a n+1 a n > 1, pak neplatí lim a n = 0 a n=1 a n je divergentní.
23 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.7 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f(n) pro n n 0.
24 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.7 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f(n) pro n n 0. Pak n 0 f(x) dx < + a n konverguje. n=1
25 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.7 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f(n) pro n n 0. Pak n 0 f(x) dx < + a n konverguje. n=1 Věta 11.8 Necht α R. Řada 1 n=1 konverguje právě tehdy, když n α α > 1.
26 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.9 (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy.
27 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.9 (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. ( ) a (i) Je-li lim n n a n+1 1 > 1, pak je n=1 a n konvergentní.
28 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.9 (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. ( ) a (i) Je-li lim n n a n+1 1 > 1, pak je n=1 a n konvergentní. ( ) a (ii) Je-li lim n n a n+1 1 < 1, pak je n=1 a n divergentní.
29 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Definice Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, pokud řada n=1 a n konverguje.
30 11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Definice Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, pokud řada n=1 a n konverguje. Věta Je-li řada n=1 a n absolutně konvergentní, je rovněž konvergentní.
31 11.3 Neabsolutní konvergence Věta (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní.
32 11.3 Neabsolutní konvergence Věta (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní. (A) n=1 a n je konvergentní,
33 11.3 Neabsolutní konvergence Věta (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní. (A) n=1 a n je konvergentní, (D) lim n b n = 0 a n=1 a n má omezenou posloupnost částečných součtů.
34 11.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0,
35 11.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0, n N : a n a n+1,
36 11.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0, n N : a n a n+1, lim a n = 0. Potom je řada n=1 ( 1)n a n konvergentní.
37 11.4 Přerovnávání řad Definice Necht p : N N je bijekce. Přerovnáním řady n=1 a n rozumíme řadu n=1 a p(n).
38 11.4 Přerovnávání řad Definice Necht p : N N je bijekce. Přerovnáním řady n=1 a n rozumíme řadu n=1 a p(n). Věta Necht n=1 a n je absolutně konvergentní řada a n=1 a p(n) je její přerovnání. Pak řada n=1 a p(n) je absolutně konvergentní a má stejný součet jako n=1 a n.
39 11.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 i=1
40 11.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 Věta (Mertens) i=1 Necht řady n=1 a n, m=1 b m konvergují, přičemž alespoň jedna z nich konverguje absolutně.
41 11.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 Věta (Mertens) i=1 Necht řady n=1 a n, m=1 b m konvergují, přičemž alespoň jedna z nich konverguje absolutně. Potom ( k ) ( ) ( ) a k+1 i b i = a n b m. k=1 i=1 n=1 m=1
42 11.5 Součin řad (pokrač.) Věta (Abel) Necht n=1 a n, m=1 b m jsou konvergentní řady, takové, že i jejich Cauchyův součin konverguje. Pak platí ( k ) ( ) ( ) a k+1 i b i = a n b m. k=1 i=1 n=1 m=1
43 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí
44 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K
45 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami
46 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když
47 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje
48 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje
49 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje součet, rozdíl obě řady konvergují
50 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje součet, rozdíl obě řady konvergují přerovnání (komutativita) řada konverguje absolutně
51 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje součet, rozdíl obě řady konvergují přerovnání (komutativita) řada konverguje absolutně násobení dvou řad obě řady konvergují,
52 11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace násobek konstantou asociativita (uzávorkování) součet, rozdíl přerovnání (komutativita) násobení dvou řad stačí, když řada konverguje řada konverguje obě řady konvergují řada konverguje absolutně obě řady konvergují, alespoň jedna z nich absolutně
53 11.6 Mocninné řady Definice Mocninnou řadou o středu z 0 C rozumíme řadu k=0 a k(z z 0 ) k, kde z C a a k C pro každé k N {0}.
54 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně,
55 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje.
56 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že Platí pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje. R = lim k k 1 ak, pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje.
57 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že Platí pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje. R = lim k k 1 ak, pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0.
58 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje.
59 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0.
60 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0. Definice Prvek R z předchozí věty nazýváme poloměrem konvergence řady k=0 a k(z z 0 ) k.
61 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0. Definice Prvek R z předchozí věty nazýváme poloměrem konvergence řady k=0 a k(z z 0 ) k. Kruh v komplexní rovině K R (z 0 ) := {z C; z z 0 < R} nazýváme kruhem konvergence, a kružnici K R (z 0 ) := {z C; z z 0 = R} nazýváme konvergenční kružnicí dané řady.
62 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní proměnné, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné.
63 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní proměnné, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné. Tedy, řekneme, že f : C C má derivaci v bodě z C, pokud existuje limita f (z) := lim w z f(w) f(z) w z C.
64 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní proměnné, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné. Tedy, řekneme, že f : C C má derivaci v bodě z C, pokud existuje limita f (z) := lim w z f(w) f(z) w z C. Na rozdíl od reálných funkcí nedefinujeme v tomto případě pojem nevlastní limity (derivace), ani pojmy jednostranná limita (derivace).
65 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht R > 0 je poloměrem konvergence mocninné řady n=0 a n(z z 0 ) n. Definujme f(z) := a n (z z 0 ) n, z z 0 < R. n=0
66 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht R > 0 je poloměrem konvergence mocninné řady n=0 a n(z z 0 ) n. Definujme f(z) := a n (z z 0 ) n, z z 0 < R. n=0 Potom řada n=1 na n(z z 0 ) n 1 konverguje pro z z 0 < R a platí f (z) = na n (z z 0 ) n 1, z z 0 < R. n=1
67 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta Necht f je jako ve Větě Potom má f derivace všech řádů pro z C, z z 0 < R, a platí: f (k) (z) = n(n 1)...(n k + 1)a n (z z 0 ) n k. n=k Speciálně platí f (k) (z 0 ) = k!a k.
68 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Mocninnou řadu lze tedy uvnitř kruhu konvergence libovolněkrát derivovat (a integrovat) člen po členu, aniž se změní poloměr konvergence.
69 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Mocninnou řadu lze tedy uvnitř kruhu konvergence libovolněkrát derivovat (a integrovat) člen po členu, aniž se změní poloměr konvergence. Stejně tak lze provádět uvnitř kruhu konvergence všechny výše sepsané aritmetické operace, včetně přerovnání řady.
70 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta (Abel) Necht f je jako ve Větě a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π).
71 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta (Abel) Necht f je jako ve Větě a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π). Potom existuje vlastní limita lim r R f(z 0 + re iϕ ) a platí: a n (z z 0 ) n = n=0 n=0 a n R n e inϕ = lim r R f(z 0 + re iϕ ).
72 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta (Abel) Necht f je jako ve Větě a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π). Potom existuje vlastní limita lim r R f(z 0 + re iϕ ) a platí: a n (z z 0 ) n = n=0 n=0 a n R n e inϕ = lim r R f(z 0 + re iϕ ). Speciálně, pokud konverguje číselná řada n=0 a nr n, je n=0 a nr n = lim x R f(x), a podobně je n=0 ( 1)n a n R n = lim x R+ f(x) za předpokladu, že číselná řada n=0 ( 1)n a n R n konverguje.
73 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x).
74 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x). Sčítání některých číselných (i mocninných) řad (ln 2, = arctg 1). π 4
75 11.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x). Sčítání některých číselných (i mocninných) řad (ln 2, = arctg 1). π 4 Hledání řešení ODR ve tvaru řady.
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
Nekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3
VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1
metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Přednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Zobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
Posloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.
Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný
Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................
Posloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
Uzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné)
Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) 0. Úvod a opakování (značení, operace s množinami apod.) 1. Reálná čísla a jejich vlastnosti Uspořádané těleso Komutativní
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
VII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x
Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor
(verze 12. května 2015)
Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Číselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
![10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí](/thumbs/54/33422824.jpg "10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí")
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
1. Úvod Výroková logika Množiny a množinové operace
1. Úvod 1.1. Výroková logika Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Definice. Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. Konjukcí
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Funkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Nevšiml jsem si. Jedinou větší výjimkou byly Taylorovy
Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13
Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad: a) 1 8 b) +1 c) 3 d) +2+1 e)! f)! 3 g) +2 +3 h) 2 2 1 =8, = 7,9 =1, = 1,1 =3, = 3,3 =1, = 2,0 =+, =,+ =0, =3 =1, = 3,1 = 1 2, = 1 2,1
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Limita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
OBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce
Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický
7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
![Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]](/thumbs/94/120485064.jpg "Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]")
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
Přehled probrané látky
Přehled probrané látky 1. přednáška 5.10.2004. Organizační pokyny. Motivace - řetězovka, brachystochrona, analýza v The Art of Computer Programming D. Knutha. Co probereme v ZS: R, posloupnosti a řady,
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Matematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Limita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu