KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH

Transkript

1 KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple Roman HAŠEK, Pavel PECH Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 1

2

3 Obsah Předmluva 4 1 Kvadriky jako plochy. stupně Úvod Základní pojmy Vzájemná poloha přímky, roviny a kvadriky Vzájemná poloha přímky a kvadriky Vzájemná poloha roviny a kvadriky Asymptotické směry Střed, singulární body kvadriky Singulární body Singulární kvadriky Tečna a tečná rovina Rovina sdružená se směrem Polární rovina Průměrová rovina Hlavní směry Transformace soustavy souřadnic v E Uvedení rovnice kvadriky na kanonický tvar Klasifikace kvadrik Popis jednotlivých kvadrik 67.1 Elipsoidy Hyperboloidy Jednodílný hyperboloid Dvojdílný hyperboloid Paraboloidy Eliptický paraboloid Hyperbolický paraboloid Válcová plocha Kuželová plocha

4 3 Užití Maple při řešení kvadrik Základy práce s programem Maple D grafy v Maple Modely vybraných ploch v Maple Řešený příklad Závěr 13 Výsledky cvičení 15 Literatura 19 Rejstřík 13

5 Předmluva Cílem publikace, která leží před Vámi, je seznámit Vás se základními vlastnostmi algebraických ploch druhého stupně, kterým se zkráceně říká kvadriky. Knižka navazuje na publikaci Kuželosečky od téhož autora. V Českých Budějovicích Pavel Pech 5

6

7 Úvod Křivky a plochy patří k základním objektům, se kterými se v životě setkáváme. Netřeba zdůrazňovat, jakou úlohu hrají kuželosečky. Královnou mezi nimi je kružnice, která má řadu užitečných vlastností, a kterou lidé v praktickém životě velmi používají. Nejinak tomu je i u ostatních kuželoseček elipsa, parabola či hyperbola mají, díky svým jedinečným vlastnostem, široké použití v prai, řídí se jimi zákony nebeské mechaniky apod. Roli obdobnou kružnici hraje v její trojrozměrné analogii plocha kulová. Ostatní kvadratické plochy elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy, válcová a kuželová plocha jsou prostorovou analogií kuželoseček. Kvadratické plochy se pro své jedinečné vlastnosti hojně využívají ve stavitelství, architektuře, v průmyslu aj. S dvojdílným rotačním hyperboloidem se setkáváme v systému GPS, který dokáže zjistit přesnou polohu místa na Zemi. Plochy tvaru hyperbolického paraboloidu se využívají k zastřešení objektů, jednodílný rotační hyperboloid se používá u chladicích věží elektráren, rotační paraboloid je základem vysílačů a přijímačů signálů, pro svou vlastnost soustředit paprsky daného směru do jediného bodu apod. Knížka je určena studentům základního kurzu geometrie na vysokých školách, může rovněž sloužit všem zájemcům o geometrii. Nejprve jsou systematicky vyloženy vlastnosti ploch druhého stupně. V další části je provedena jejich klasifikace. Na závěr jsou podrobně popsány vlastnosti jednotlivých ploch. V publikaci jsou použity obrázky vytvořené v programu Maple 13. Informace o tom, jak pracovat s tímto programem, spolu s komentovanými ukázkami zdrojových kódů řešení vybraných příkladů v Maple najde čtenář v závěrečné třetí kapitole. Záměrně je použito rozhraní Classic Worksheet, které zachovává svou podobu již od verze Maple V. Ukázky by tedy měly být použitelné i v nižších verzích programu, než je verze 13. Zdrojové kódy ve formátu MWS ke všem obrázkům a řešeným příkladům jsou součástí CD, na němž je kniha publikována. 7

8

9 Kapitola 1 Kvadriky jako plochy. stupně 1.1 Úvod Jak známo, každá rovina je v nějaké kartézské nebo afinní soustavě souřadnic dána rovnicí a + by + cz + d =, tedy lineární rovnicí, která neobsahuje kvadratické členy,y,z,y,z,yz ani žádné členy vyššího stupně. Eistují ale plochy v prostoru E 3, které jsou množinou bodů, jejichž souřadnice splňují rovnici, která obsahuje kvadratické členy a žádné členy stupně vyššího. Takové plochy nazýváme plochy. stupně nebo kvadratické plochy nebo stručně kvadriky. Těmito plochami se budeme v této knížce zabývat. Jejich důležitost plyne již například z faktu, že mezi tyto plochy patří nejen královna mezi plochami plocha kulová, ale i válcová a kuželová plocha, jednodílný a dvoudílný hyperboloid, hyperbolický paraboliod a další plochy, které se mimo jiné hojně využívají ve stavební prai. V celé knížce budeme při vyšetřování kvadrik pracovat v kartézské soustavě souřadnic, pokud nebude řečeno jinak. 1. Základní pojmy Definice: Nechť je dána rovnice ve tvaru a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 =, (1.1) kde koeficienty a ij jsou reálná čísla a alespoň jedno z čísel a ij, i, j =1,, 3 je různé od nuly. Potom se množina všech bodů eukleidovského prostoru E 3, jejichž souřadnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic vyhovují rovnici (1.1) nazývá plocha. stupně, přesněji, plocha. stupně určená rovnicí (1.1). Místo plocha. stupně užíváme též název kvadratická plocha nebo stručně kvadrika. Body, které této rovnici vyhovují jsou body kvadriky. Stručně budeme hovořit o kvadrice, která je dána rovnicí (1.1), jako o kvadrice 9

10 1 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ (1.1). Přitom budeme předpokládat, že rovnice (1.1) je dána v nějaké kartézské soustavě souřadnic a nebudeme tuto skutečnost vždy zdůrazňovat. Rovnici kvadriky (1.1) lze také zapsat v maticovém tvaru ( ) y z 1 a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 y z 1 =, (1.) kde a ij = a ji pro i, j =1,, 3, 4, jak se lze snadno vynásobením příslušných matic přesvědčit. Označíme-li matici ( y z 1 ) písmenem X amatici a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 písmenem K, lze rovnici kvadriky (1.1) zapsat ve tvaru (1.3) XKX =, (1.4) přičemž matice K je symetrická, tj. K = K T, kde K T značí transponovanou matici. Příklady kvadrik: + y + z 1 = kulová plocha se středem v počátku a poloměrem Obrázek 1.1: Kulová plocha 1

11 1.. ZÁKLADNÍ POJMY 11 ( +3y 4z + 1)(3 +4y +7z 3) = dvě různé roviny y Obrázek 1.: Dvě různé roviny 5 ( 1) +(y ) +(z 3) = jediný bod o souřadnicích [1,, 3]. 4 3 z y 3 +y +5z 1 = elipsoid. Obrázek 1.3: Bod.5 z y 1 1 Obrázek 1.4: Elipsoid

12 1 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ + y 1 = válcová plocha s poloměrem 1, jejíž osa je rovnoběžná s osou z. Abychom vyjádřili, že se jedná o množinu ve třírozměrném prostoru měli bychom správně psát {[, y, z]; + y 1=}. 1 z y 11 Obrázek 1.5: Válcová plocha + y z = kuželová plocha s vrcholem v počátku Obrázek 1.6: Kuželová plocha + y + z + 1 = množina prázdná. PŘÍKLAD 1..1 Odvoďte rovnici kulové plochy se středem v počátku a poloměrem r. PŘÍKLAD 1.. Odvoďte rovnici rotační válcové plochy s osou v z a s poloměrem r. PŘÍKLAD 1..3 Hyperbolický paraboloid - příklad zborcené přímkové plochy Hyperbolické paraboloidy tvoří zastřešení nástupišť na autobusovém nádraží v Českých Budějovicích (viz Obr..7).

13 1.3. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY, ROVINY A KVADRIKY 13 Obrázek 1.7: Hyperbolické paraboloidy jako prvky zastřešení (pořízeno s laskavým svolením správy Mercury centra) 1.3 Vzájemná poloha přímky, roviny a kvadriky Ze vzájemné polohy přímky a kvadriky nebo roviny a kvadriky lze odvodit řadu důležitých vlastností ploch druhého stupně. Nejprve se budeme zabývat vzájemnou polohou přímky a kvadriky Vzájemná poloha přímky a kvadriky Je dána kvadrika a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.5) apřímkas orovnicix = M + tu, kde bod M má souřadnice M =[m, n, p] a pro směrový vektor u platí u =(u, v, w). Přímka s má parametrické rovnice = m + tu y = n + tv z = p + tw. (1.6) Při vyšetřování vzájemné polohy přímky a kvadriky, můžeme postupovat podobně jako u kuželoseček. Abychom zjistili společné body přímky s a kvadriky (1.5), dosadíme, y, a z ze soustavy (1.6) do rovnice (1.5). Pro parametr t společných bodů kvadriky a přímky dostaneme rovnici ve tvaru At +Bt + C =, (1.7)

14 14 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ kde A = a 11 u + a v + a 33 w +a 1 uv +a 13 uw +a 3 vw, B = u(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+v(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )+w(a 31 m +a 3 n + a 33 p + a 34 ), (1.8) C = a 11 m + a n + a 33 p +a 1 mn +a 13 mp +a 3 np +a 14 m +a 4 n +a 34 p + a 44. Poznámka: Všimněte si, že 1) koeficient A závisí pouze na souřadnicích vektoru u, ) koeficent C vznikne dosazením souřadnic bodu M do levé strany rovnice kvadriky (1.5). Pro průsečík kvadriky a přímky mohou nastat tyto případy: a) A =, B =, C libovolné rovnice (1.7) je lineární s jedním kořenem t = C/(B). Přímka má s kvadrikou společný jediný bod. b) A =, B =, C = rovnice (1.7) nemá žádný kořen. Přímka nemá s kvadrikou společný žádný bod. c) A =, B =, C = rovnice (1.7) je splněna pro každé t. Každý bod přímky je bodem kvadriky, přímka leží celá na kvadrice. d) A =, B AC > rovnice (1.7) má dva různé reálné kořeny. Přímka má s kvadrikou společné dva různé body sečna kvadriky. e) A =,B AC = rovnice (1.7) má jeden dvojnásobný kořen. Přímka má s kvadrikou společný jeden (dvojnásobný) bod tečna kvadriky. f) A =,B AC < rovnice (1.7) nemá reálné kořeny. Přímka kvadriku neprotíná nesečna Vzájemná poloha roviny a kvadriky Při vyšetřování vzájemné polohy kvadriky (1.5) a roviny je výhodné zvolit kartézskou soustavu souřadnic tak, aby rovina řezu měla rovnici z =. Předpokládejme, že kvadrika má rovnici (1.5). Potom průnikem kvadriky a roviny je křivka o rovnici a 11 +a 1 y + a y +a 14 +a 4 y + a 44 = (1.9) jak zjistíme dosazením z = do rovnice kvadriky (1.5). Pokud je alespoň jeden z koeficientů a 11,a 1,a různý od nuly, potom je rovnice (1.9) rovnicí kuželosečky. Tedy průnikem roviny a kvadriky je v tomto případě kuželosečka elipsa, parabola, hyperbola, dvě různoběžky, dvě rovnoběžky, dvojnásobná

15 1.3. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY, ROVINY A KVADRIKY 15 přímka, bod či prázdná množina. Pokud a 11 = a 1 = a = a alespoň jedno z čísel a 14,a 4 je různé od nuly, potom je průnikem křivka o rovnici tedy přímka (viz Obr. 1.8). a 14 +a 4 y + a 44 =, 5 z y 5 Obrázek 1.8: Průnikem kvadriky s rovinou z =jepřímka Je-li a 11 = a 1 = a = a 14 = a 4 = a 44 =, potom dostáváme rovnici z(a 13 +a 3 y + a 33 z +a 34 )=, jejímž řešením je rovina z =, tedy rovina řezu, a rovina a 13 +a 3 y + a 33 z +a 34 =. V tomto případě je průnikem roviny a kvadriky celá rovina (a kvadrika se skládá ze dvou rovin) y 5 5 Obrázek 1.9: Průnikem kvadriky s rovinou z =jerovina

16 16 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Konečně, jestliže a 11 = a 1 = a = a 14 = a 4 =aa 44, je průnikem kvadriky a roviny množina prázdná. 1 z 1 y Obrázek 1.1: Průnikem kvadriky s rovinou z = je prázdná množina 1.4 Asymptotické směry V této části budeme hovořit o asymptotických směrech kvadriky a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.1) Nejprve podáme definici směru. Definice: Směrem daným nenulovým vektorem u rozumíme jednorozměrný vektorový prostor {ku; k R}. Definice: Směr daný nenulovým vektorem u =(u, v, w), se nazývá asymptotickým směrem kvadriky (1.1), jestliže platí a 11 u + a v + a 33 w +a 1 uv +a 13 uw +a 3 vw =. (1.11) Poznámka: Rovnice (1.11) z definice asymptotického směru je podmínka A =, kde A je koeficient v rovnici (1.7) pro výpočet průsečíků přímky a kvadriky. Tedy v případě, že přímka má asymptotický směr, rovnice (1.7) není kvadratická. Příklad: Určete asymptotické směry válcové plochy o rovnici + y 1=. (1.1) Podle (1.11) pro asymptotické směry válcové plochy (1.1) platí rovnice u + v =. (1.13)

17 1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 17 Tato rovnice má jediné reálné řešení u =, v =. Rovnici (1.13) vyhovuje jediný směr daný např. vektorem u =(,, 1). Je zřejmé, že se jedná o směr povrchových přímek válcové plochy (1.1). 3 z 1 1 y 1 1 Obrázek 1.11: Asymptotický směr válcové plochy Střed, singulární body kvadriky Při vyšetřování vzájemné polohy přímky s a kvadriky (1.1) jsme řešili rovnici jejíž koeficient B má tvar At +Bt + C =, (1.14) B = u(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+v(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 ) +w(a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 ). (1.15) Zvolme bod M =[m, n, p] přímkys : X = M + tu tak, aby byly splněny rovnice a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 = a 1 m + a n + a 3 p + a 4 = (1.16) a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 =. Potom bez ohledu na souřadnice směrového vektoru u přímky s je podle (1.15) B = a rovnice (1.14) má tvar At + C =. (1.17) Jestliže je kořenem této rovnice nějaké reálné číslo t, potom je kořenem (1.17) i číslo t. Tedy na kvadrice leží při libovolné volbě vektoru společně s bodem X 1 = M + t u také bod X = M t u. Bod M je středem úsečky neboť M = 1 X X.

18 18 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Bod M je středem souměrnosti kvadriky. Zavedeme pojem středu kvadriky. Definice: Bod M nazveme střed kvadriky (1.1) jestliže pro libovolný bod X 1 kvadriky eistuje bod X kvadriky tak, že bod M je středem úsečky X 1 X. O souřadnicích středu kvadriky platí následující věta: Věta: Bod M =[m, n, p] je středem kvadriky (1.1) právě když platí soustava (1.16). Důkaz: Je-li splněna soustava (1.16) potom M je středem kvadriky toto jsme ukázali. Nyní předpokládejme, že bod M =[m, n, p] je středem kvadriky (1.1). Ukážeme, že potom platí (1.16). Nechť X 1 =[ 1,y 1,z 1 ] je libovolný bod kvadriky. Podle definice středu eistuje bod X =[,y,z ]kvadrikytak,žem =(X 1 + X )/, tj. platí m = 1 +,n= y 1 + y Body X 1 a X leží na přímce s orovnici, m = z 1 + z. (1.18) = m + tu y = n + tv z = p + tw, proto platí 1 = m + t 1 u = m + t u y 1 = n + t 1 v y = n + t v z 1 = p + t 1 w z = p + t w. Dosazením rovnic (1.) do (1.18) dostaneme podmínky (1.19) (1.) u t 1 + t =, v t 1 + t =, w t 1 + t =. Jelikož u, v a w nemohou být současně rovny nule, plyne odtud t 1 + t =. (1.1) Protože t 1 a t jsou kořeny rovnice (1.14), ze vztahu (1.1) plyne B =a odtud, protože směr daný čísly u, v, w je libovolný, podmínky (1.16). Definice: Kvadrika, která má jediný střed, se nazývá středová kvadrika. Kvadrika má jediný střed právě když má soustava (1.16) jediné řešení. To nastane právě když je determinant a 11 a 1 a 13 A 44 = a 1 a a 3 (1.) a 31 a 3 a 33 různý od nuly. Odtud plyne

19 1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 19 Věta: Kvadrika je středová právě když A 44. Příklad: Napište rovnici kvadriky, která prochází bodem A =[,, 1], má střed S = [,, 1] a protíná rovinu z = v kuželosečce 4y 1=. (1.3) y Obrázek 1.1: Zadání příkladu: Plocha je dána bodem, středem a průnikem s rovinou z =. Řešení: Kvadrika má rovnici a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 =. (1.4) Označme K = a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 (1.5) matici hledané kvadriky. Budeme postupně hledat koeficienty a ij, které se vyskytují v matici (1.5). Souřadnice středu S =[,, 1] musí podle (1.16) splňovat soustavu a 11 +a 1 +a 13 ( 1) + a 14 = a 1 +a +a 3 ( 1) + a 4 = a 31 +a 3 +a 33 ( 1) + a 34 =. (1.6) Odtud plyne a 13 = a 14, a 3 = a 4,a 33 = a 34. (1.7) Průnikem kvadriky (1.4) s rovinou z = je křivka o rovnici a 11 + a y +a 1 y +a 14 +a 4 y + a 44 =. (1.8)

20 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Porovnání rovnice (1.8) s rovnicí (1.3) dává a 11 =1, a =, a 1 =, a 14 =, a 4 =, a 44 = 1. (1.9) Dosazením hodnot (1.9) a podmínek (1.7) do (1.5) dostaneme matici hledané kvadriky K = 1 a 33 a 33 a 33 1, (1.3) tj.kvadrikamátvar 4y + a 33 z +a 33 z 1=. (1.31) Zbývá určit hodnotu a 33, kterou zjistíme dosazením souřadnic bodu A = [,, 1] kvadriky do rovnice (1.31). Dostaneme a 33 =3. Hledaná kvadrika má rovnici 4y +3z +6z 1=. z y Obrázek 1.13: Řešení příkladu: Plocha daná bodem, středem a průnikem s rovinou z = (Pohled 1).

21 1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 1 z y Obrázek 1.14: Řešení příkladu: Plocha daná bodem, středem a průnikem s rovinou z =(Pohled) Singulární body Je dána kvadrika a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 =. (1.3) Definice: Bod M =[m, n, p] je singulárním bodem kvadriky (1.3) jestliže jeho souřadnice vyhovují soustavě rovnic a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 = a 1 m + a n + a 3 p + a 4 = a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 = a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44 =. (1.33) Z definice plyne, že singulární bod kvadriky je zároveň středem kvadriky, protože první tři rovnice z (1.33) jsou rovnice (1.16). Čtvrtá rovnice z (1.33) pak znamená, že bod M je bodem kvadriky, neboť a 11 m + a n + a 33 p +a 1 mn +a 13 mp +a 3 np +a 14 m +a 4 n +a 34 p + a 44 = m(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+n(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )+p(a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 )+a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44 =. Můžeme tedy vyslovit větu: Věta: Bod M je singulárním bodem kvadriky právě když je jejím středem a zároveň na kvadrice leží. Vedeme-li singulárním bodem M přímku s : X = M + tu, potom pro průsečíky přímky s a kvadriky (1.3) platí rovnice (1.7), která se v tomto případě redukuje na tvar At =, (1.34)

22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plyne, že přímka, procházející singulárním bodem kvadriky má s kvadrikou společný pouze tento singulární bod (je-li A = ) nebo celá přímka na kvadrice leží (A = ). Tedy platí věta: Věta: Každá přímka procházející singulárním bodem kvadriky, leží buď celá na kvadrice (v případě, že její směr je asymptotický) nebo má s kvadrikou společný pouze tento singulární bod (v případě, že její směr není asymptotický). Poznámka: Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kuželové plochy Obrázek 1.15: Vrchol kuželové plochy jako příklad singulárního bodu 1.6 Singulární kvadriky Označme písmenem Δ determinant Δ=det a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 (1.35) matice K kvadriky (1.3). Podle toho, zda Δ = nebo Δ = rozdělíme všechny kvadriky do dvou disjunktních skupin. Definice: Kvadrika se nazývá singulární jestliže Δ =. Jestliže Δ = potom se kvadrika nazývá regulární. Platí následující věta, která nám dává vztah mezi singulární kvadrikou a singulárními body. Věta: Obsahuje-li kvadrika singulární bod, pak je to kvadrika singulární. Důkaz: Nechť bod M =[m, n, p] je singulárním bodem kvadriky (1.3). To

23 1.6. SINGULÁRNÍ KVADRIKY 3 znamená, že jsou splněny rovnice (1.33). Soustavu (1.33) přepíšeme do tvaru a 11 m + a 1 n + a 13 p = a 14 a 1 m + a n + a 3 p = a 4 a 31 m + a 3 n + a 33 p = a 34 a 41 m + a 4 n + a 43 p = a 44. (1.36) Podle Frobeniovy věty má soustava rovnic (1.36) alespoň jedno řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tedy h a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a 41 a 4 a 43 =h a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44. (1.37) Matice soustavy je typu (4, 3), tedy její hodnost matice je menší nebo rovna třem, proto hodnost rozšířené matice soustavy je také menší nebo rovna třem. Odtud plyne, že Δ =. Poznámka: Obrácená věta neplatí. Válcová plocha je singulární kvadrikou, ale singulární bod neobsahuje. Definice: Bod kvadriky, který není singulární se nazývá regulární. V následujícím tetu ukážeme příklady některých singulárních kvadrik. Protože v těchto případech vždy Δ =, je hodnost matice kvadriky K = a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 (1.38) buď3nebonebo1. Nechť h(k) = 3. Nejprve předpokládejme, že první tři řádky matice (1.38) jsou lineárně nezávislé. Dále předpokládejme, že kvadrika má jediný střed M =[m, n, p], tj. platí rovnice (1.16). Protože čtvrtý řádek matice K je lineární kombinací ostatních řádků, plyne odtud platnost rovnic (1.33), a bod M je tedy jediným singulárním bodem kvadriky. Plocha, která má tuto vlastnost se nazývá kuželová plocha.

24 4 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 4 z y Obrázek 1.16: Kuželová plocha Najdeme její rovnici. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, aby pro singulární bod M platilo M =[,, ]. Protože M =[,, ] je řešením soustavy (1.33), plyne odtud a 14 = a 4 = a 34 = a 44 = a rovnice kuželové plochy má tvar a 11 + a y + a 33 z +a 1 y +a 13 z +a 3 yz =. (1.39) Jiným příkladem singulární kvadriky, pro jejíž matici platí h(k) = 3, je válcová plocha daná rovnicí a +by + cy +d +ey + f =, (1.4) jejíž tvořící přímky procházejí regulární kuželosečkou (1.4) a jsou kolmé na souřadnicovou rovinu y. Skutečně, matice kvadriky (1.4) a b d b c e d e f, (1.41) má hodnost 3.

25 1.6. SINGULÁRNÍ KVADRIKY 5 5 z 5 5 y Obrázek 1.17: Válcová plocha Nechť h(k) =. Příkladem singulární kvadriky, jejíž matice má hodnost, je dvojice různoběžných rovin α a β α : a 1 + b 1 y + c 1 z + d 1 = β : a + b y + c z + d =. (1.4) 5 z y Obrázek 1.18: Dvě různoběžné roviny Rovnice příslušné kvadriky je (a 1 + b 1 y + c 1 z + d 1 )(a + b y + c z + d )=. (1.43) Matice kvadriky (1.43) má (po vynásobení dvěma) tvar a 1 a a 1 b + a b 1 a 1 c + a c 1 a 1 d + a d 1 b 1 a + b a 1 b 1 b b 1 c + b c 1 b 1 d + b d 1 c 1 a + c a 1 c 1 b + c b 1 c 1 c c 1 d + c d 1 d 1 a + d a 1 d 1 b + d b 1 d 1 c + d c 1 d 1 d. (1.44) Hodnost matice lze vypočítat buď přímo, což je zdlouhavé nebo následujícím postupem. Označíme-li u 1 =(a 1,b 1,c 1,d 1 )au =(a,b,c,d ), potom

26 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ můžeme matici (1.44) napsat ve tvaru a u 1 + a 1 u b u 1 + b 1 u c u 1 + c 1 u d u 1 + d 1 u. (1.45) Protože roviny α a β jsou různoběžné, jsou vektory u 1, u lineárně nezávislé a hodnost matice (1.45) je rovna dvěma. Nechť h(k) =1. Příkladem kvadriky, jejíž matice má hodnost 1 je dvojnásobná rovina. Rovnice příslušné kvadriky je (a + by + cz + d) =. (1.46) ajejímaticemátvar a ab ac ad ba b bc bd ca cb c cd da db dc d. (1.47) Označíme-li u =(a, b, c, d), potom (1.47) lze psát ve tvaru (au,bu,cu,du). Je zřejmé, že hodnost matice (1.47) je rovna jedné. 5 5 y 5 Obrázek 1.19: Dvojnásobná rovina Eistují i další příklady singulárních kvadrik, které zde nebudeme uvádět. Výčet všech singulárních kvadrik uvedeme při jejich klasifikaci. 1.7 Tečna a tečná rovina V této kapitole se budeme zabývat tečnou a tečnou rovinou v regulárním bodě kvadriky. Uvědomme si, že regulární bod je takový bod, který není singulárním bodem. Na regulární kvadrice jsou všechny body regulární, protože pokud by

27 1.7. TEČNA A TEČNÁ ROVINA 7 kvadrika obsahovala singulární bod, byla by kvadrikou singulární. Regulární body mohou ležet i na singulární kvadrice. Např. na kuželové ploše je jediným singulárním bodem vrchol kuželové plochy. Všechny ostatní body jsou regulární. Je dána kvadrika a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.48) anechťm =[m, n, p] je regulární bod kvadriky. Budeme zkoumat tečnu kvadriky s dotykovým bodem v bodě M. Předpokládejme, že tečna t má tvar t : X = M + tu, (1.49) kde X =[, y, z] a směr daný nenulovým vektorem u =(u, v, w) neníasympto- tický. Nejprve podáme definici tečny. Definice: Tečna kvadriky je přímka, která má v bodě dotyku s kvadrikou dvojnásobný průsečík. Vrovnici At +Bt + C = (1.5) je C =, neboť bod M leží na kvadrice (1.48). Rovnice (1.5) má nyní tvar At +Bt =. (1.51) Bod M bude dvojnásobným průsečíkem právě když bude dvojnásobným kořenem rovnice (1.51). To nastane právě když v (1.51) tj. platí-li podle (1.8) B =, (1.5) u(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+v(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )+w(a 31 m+ a 3 n + a 33 p + a 34 )=. (1.53) Množina řešení rovnice (1.53) je vektorový prostor ortogonální na vektor (a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14,a 1 m + a n + a 3 p + a 4,a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 ). Jeho dimenze je tedy. Je nutné si uvědomit, že alespoň jeden z koeficientů a i1 m + a i n + a i3 p + a i4 pro i =1,, 3, je různý od nuly. V opačném případě by totiž byl podle (1.33) bod M bodem singulárním. Odtud tvrzení: Věta: Přímka (1.49) je tečnou kvadriky (1.48) v regulárním bodě M právě když vektor u splňuje (1.53).

28 8 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Z předchozí úvahy plyne, že všechny tečny kvadriky v bodě M leží v rovině τ τ : (a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 ) +(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )y +(a 31 m+ a 3 n + a 33 p + a 34 )z + a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44 =. (1.54) Definice: Rovina τ o rovnici (1.54) se nazývá tečná rovina kvadriky (1.48) v bodě M. Bod M se nazývá bod dotyku. Je výhodné napsat rovnici tečné roviny τ (1.54) v maticovém tvaru a 11 a 1 a 13 a 14 τ = ( m n p 1 ) a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 y z =, (1.55) a 41 a 4 a 43 a 44 1 jak se můžeme snadno přesvědčit. Maticový tvar rovnice tečné roviny se totiž velmi podobá maticovému tvaru (1.) rovnice kvadriky. Poznámka: Tečnou rovinu kvadriky v (regulárním) bodě M můžeme též definovat jako rovinu, v níž leží všechny tečny kvadriky v bodě M. Tečná rovina tak může obsahovat kromě bodu dotyku M ještě další body. Např. tečná rovina válcové plochy se této plochy dotýká podél celé povrchové přímky. Definice: Kolmici k tečné rovině procházející bodem M nazýváme normála kvadriky v bodě M. Příklad: Určete, při které hodnotě k se rovina y z + k = dotýká kvadriky +4y +16z 144 =. (1.56) Řešení: Tečná rovina kvadriky (1.56) s bodem dotyku v bodě M =[m, n, p] má podle (1.55) rovnici 1 ( ) m n p y z =, (1.57) tj. m +4ny +16pz 144 =. (1.58) Porovnáním rovnice y z + k =srovnicím +4ny +16pz 144 = dostaneme podmínky 4n = m, 16p = m, 144 = mk. (1.59) K podmínkám (1.59) je nutné ještě přidat rovnici m +4n +16p 144 =, (1.6)

29 1.8. ROVINA SDRUŽENÁ SE SMĚREM 9 protože bod dotyku M =[m, n, p] náleží kvadrice (1.56). Hodnotu k dostaneme řešením soustavy čtyř rovnic (1.59), (1.6) o čtyřech neznámých m, n, p, k. Dosazením za n = m,p= m 8 do (1.6) dostaneme m = ±8 a odtud k = ±18. Tečné roviny jsou dvě: hodnotě k = 18 odpovídá bod dotyku M 1 =[8, 4, 1] a hodnotě k = 18 odpovídá bod dotyku M =[ 8, 4, 1]. 1 z y 1 1 Obrázek 1.: Řešení příkladu: Tečné roviny kvadriky 1.8 Rovina sdružená se směrem V předchozí kapitole jsme zkoumali tečnu a tečnou rovinu v daném regulárním bodě kvadriky. Nyní úlohu zobecníme tak, že budeme hledat rovnici tečny ke kvadrice z daného bodu R, který obecně na kvadrice neleží Polární rovina Předpokládejme, že je dána kvadrika a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.61) a libovolný bod R =[r, s, u], který není středem kvadriky. Z bodu R vedeme ke kvadrice (1.61) tečnu p : X = R + t(t R), kde T =[m, n, p] jebod dotyku. Potom směrový vektor T R =(m r, n s, p u) musí podle (1.53)

30 3 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ splňovat rovnici (m r)(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+(n s)(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )+ (p u)(a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 )=. (1.6) Rozepsáním vztahu (1.6) s využitím faktu, že bod T leží na kvadrice, dostaneme (a 11 r + a 1 s + a 13 u + a 14 )m +(a 1 r + a s + a 3 u + a 4 )n +(a 31 r + a 3 s+ a 33 u + a 34 )p + a 41 r + a 4 s + a 43 u + a 44 =. (1.63) Z rovnice (1.63) je zřejmé, že body dotyku všech tečen z bodu R ke kvadrice (1.61) leží v rovině π π : (a 11 r + a 1 s + a 13 u + a 14 ) +(a 1 r + a s + a 3 u + a 4 )y +(a 31 r + a 3 s+ a 33 u + a 34 )z + a 41 r + a 4 s + a 43 u + a 44 =. (1.64) Definice: Rovina (1.64) se nazývá polární rovina bodu R =[r, s, u] vzhledem ke kvadrice (1.61). Bod R nazýváme pól polární roviny. Maticové vyjádření polární roviny π je následující a 11 a 1 a 13 a 14 ( ) r s u 1 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 y z 1 =. (1.65) Poznámka: 1) Dotykové body tečen, vedených z bodu R ke kvadrice leží na kuželosečce. Z předchozí úvahy totiž víme, že dotykové body tečen leží v polární rovině, a ta protíná kvadriku v kuželosečce. ) Zvolíme-li bod R na kvadrice, potom je polární rovina tečnou rovinou v daném bodě dotyku R, který je jejím pólem. Polární rovina je tedy zobecněním pojmu tečná rovina. 3) Pokud je bod R středem kvadriky (1.61), potom jsou všechny koeficienty u proměnných, y, z v rovnici (1.64) rovny nule a polární rovina není definována. Na závěr této kapitoly zmiňme následující vlastnost pólu a jeho polární roviny vzhledem ke kvadrice. Věta: Polární rovina bodu R prochází bodem R právě když polární rovina bodu R obsahuje bod R. Důkaz: Prochází-li polární rovina (a 11 r + a 1 s + a 13 u + a 14 ) +(a 1 r + a s + a 3 u + a 4 )y +(a 31 r + a 3 s+ a 33 u + a 34 )z + a 41 r + a 4 s + a 43 u + a 44 =. (1.66)

31 1.8. ROVINA SDRUŽENÁ SE SMĚREM 31 bodu R =[r, s, u] bodemr =[r,s,u ], potom (a 11 r + a 1 s + a 13 u + a 14 )r +(a 1 r + a s + a 3 u + a 4 )s +(a 31 r + a 3 s+ a 33 u + a 34 )u + a 41 r + a 4 s + a 43 u + a 44 =. (1.67) Vztah (1.67) můžeme přepsat do tvaru (a 11 r + a 1 s + a 13 u + a 14 )r +(a 1 r + a s + a 3 u + a 4 )s +(a 31 r + a 3 s + a 33 u + a 34 )u + a 41 r + a 4 s + a 43 u + a 44 =, (1.68) ze kterého plyne, že polární rovina bodu R obsahuje bod R. Důkaz opačné implikace je obdobný. Příklad: Polární rovina bodu R =[15, 4, 5] vzhledem ke kvadrice +4y +16z 144 =. Obrázek 1.1: Polární rovina bodu R vzhledem k dané kvadrice (Pohled 1) 1 z y Obrázek 1.: Polární rovina bodu R vzhledem k dané kvadrice (Pohled )

32 3 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.9 Průměrová rovina Předchozí úvahy dále zobecníme. Budeme vyšetřovat tečny kvadriky, které jsou rovnoběžné s daným směrem. Je dána kvadrika a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.69) a nechť je dán neasymptotický směr vektorem u =(u, v, w). Označme p : X = M + tu (1.7) tečnu ve směru u, kde M =[m, n, p] je bod dotyku tečny a kvadriky. Vektor u splňuje podle (1.53) rovnici u(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+v(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )+w(a 31 m+ a 3 n + a 33 p + a 34 )=, (1.71) kterou lze přepsat na tvar (a 11 u + a 1 v + a 13 w)m +(a 1 u + a v + a 3 w)n +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)p+ +a 41 u + a 4 v + a 43 w =. (1.7) Ze vztahu (1.7) plyne, obdobně jako v předchozí kapitole, že dotykové body M =[m, n, p] tečen, které jsou rovnoběžné s neasymptotickým směrem u = (u, v, w), leží v rovině (a 11 u + a 1 v + a 13 w) +(a 1 u + a v + a 3 w)y +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)z+ a 41 u + a 4 v + a 43 w =. (1.73) Odtud následující definice Definice: Nechť u =(u, v, w) je vektor neasymptotického směru. Potom se rovina (1.73) nazývá průměrová rovina sdružená se směrem u vzhledem ke kvadrice (1.69).

33 1.9. PRŮMĚROVÁ ROVINA 33 1 z 1 1 y Obrázek 1.3: Průměrová rovina sdružená s daným směrem (Pohled 1) 1 z 1 1 y Obrázek 1.4: Průměrová rovina sdružená s daným směrem (Pohled ) Poznámka: 1) Alespoň jeden z koeficientů a 11 u + a 1 v + a 13 w, a 1 u + a v + a 3 w, a 31 u + a 3 v + a 33 w uproměnných, y, z v rovnici (1.73) je různý od nuly. V opačném případě by totiž platilo a 11 u + a v + a 33 w +a 1 uv +a 13 uw +a 3 vw = u(a 11 u + a 1 v + a 13 w) +v(a 1 u + a v + a 3 w)+w(a 31 u + a 3 v + a 33 w)= (1.74) a směr určený vektorem u by byl asymptotický. Průměrová rovina je tedy pro neasymptotický směr vždy definována. ) Rovnicí (1.73) můžeme definovat i průměrovou rovinu sdruženou s asymptotickým směrem s výjimkou případu, kdy všechny tři koeficienty u proměnných, y, z v (1.73) jsou rovny nule. Průměrovou rovinu sdruženou s daným směrem u lze vyjádřit také v matico-

34 34 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ vém tvaru ( ) u v w a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 y z 1 =. (1.75) Průměrová rovina má následující vlastnost: Věta: Průměrová rovina sdružená se směrem u obsahuje středy tětiv kvadriky, které jsou rovnoběžné se směrem u. 5 z y Obrázek 1.5: Tětiva rovnoběžná se směrem u Důkaz: Nechť přímka s ve směru u protíná kvadriku (1.69) v bodech M 1 a M. Potom pro střed M =[m, n, p] tětivym 1,M platí M =1/M 1 +1/M. Píšeme-li s : X = M + tu, potom je, podle předchozích úvah, v rovnici koeficient B roven nule, tj.: At +Bt + C = (1.76) u(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+v(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )+w(a 31 m+ a 3 n + a 33 p + a 34 )=. (1.77) Z (1.77) dostaneme rovnici (a 11 u + a 1 v + a 13 w)m +(a 1 u + a v + a 3 w)n +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)p+ a 41 u + a 4 v + a 43 w =, (1.78) ze které plyne, že střed tětivy M =[m, n, p] leží v průměrové rovině (1.73).

35 1.9. PRŮMĚROVÁ ROVINA 35 Poznámka: 1) Vlastnost průměrové roviny z předchozí věty se často užívá k její definici. Průměrová rovina je definována jako rovina, ve které leží středy tětiv daného směru. ) V projektivním rozšíření prostoru E 3 se zavádějí dva druhy bodů body vlastní a body nevlastní. Každý bod má místo tří souřadnic, souřadnice čtyři. Souřadnice vlastního bodu mají tvar [, y, z, 1], kde [, y, z] jsou kartézské (afinní) souřadnice daného bodu a čtvrtá souřadnice 1 značí, že se jedná o vlastní bod. Naproti tomu bod o souřadnicích [, y, z, ] je nevlastní bod, určený směrem vektoru (, y, z). Průměrovou rovinu sdruženou se směrem u můžeme tedy podle vyjádření (1.75) chápat jako polární rovinu nevlastního bodu (u, v, w, ) vzhledem ke kvadrice (1.69). Věta: Každá průměrová rovina obsahuje všechny středy kvadriky. Důkaz: Souřadnice středu M =[m, n, p] kvadriky vyhovují rovnicím a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 = a 1 m + a n + a 3 p + a 4 = a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 =. (1.79) Ze soustavy rovnic (1.79) plyne (a 11 u + a 1 v + a 13 w)m +(a 1 u + a v + a 3 w)n +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)p+ a 41 u + a 4 v + a 43 w = u(a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )+v(a 1 m + a n + a 3 p+ a 4 )+w(a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 )=. Tedy středy kvadriky vyhovují rovnici průměrové roviny (1.73). Věta je dokázána. Podle předchozí věty tedy dostáváme: Obsahuje-li kvadrika jediný střed, potom každá průměrová rovina prochází tímto bodem (např. kulová plocha). Obsahuje-li kvadrika přímku středů, potom každá rovina svazku, jehož osou je přímka středů, je průměrová rovina (např. válcová plocha). Konečně, je-li množinou středů kvadriky celá rovina, je průměrovou rovinou tato rovina středů (např. dvě rovnoběžné roviny).

36 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ z y 1 Obrázek 1.6: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem rovnoběžná. Důkaz: Je-li asymptotický směr dán vektorem u =(u, v, w), potom pro normálový vektor průměrové roviny sdružené se směrem u (a 11 u + a 1 v + a 13 w) +(a 1 u + a v + a 3 w)y +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)z+ a 41 u + a 4 v + a 43 w = (1.8) podle (1.11) platí (a 11 u + a 1 v + a 13 w)u +(a 1 u + a v + a 3 w)v +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)w = a 11 u + a v + a 33 w +a 1 uv +a 13 uw +a 3 vw =. (1.81) Ze vztahu (1.81) plyne, že průměrová rovina (1.8) je rovnoběžná s asymptotickým směrem u. Věta je dokázána. 1.1 Hlavní směry Uvažujme kvadriku a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.8) Ke každému neasymptotickému směru u =(u, v, w) kvadriky (1.8) umíme podle předchozí kapitoly přiřadit průměrovou rovinu, sdruženou s tímto směrem. Rovnice této roviny je (a 11 u + a 1 v + a 13 w) +(a 1 u + a v + a 3 w)y +(a 31 u + a 3 v + a 33 w)z+ a 41 u + a 4 v + a 43 w =. (1.83)

37 1.1. HLAVNÍ SMĚRY 37 Naší snahou nyní bude najít takový směr u, který bude kolmý na průměrovou rovinu (1.83) sdruženou s tímto směrem. Takový směr nazveme směrem hlavním. Nejprve definice: Definice: Směr, který je kolmý k průměrové rovině s ním sdružené, se nazývá hlavní směr kvadriky. Příklad: Hlavní směry a hlavní roviny kvadriky +4y +16z 144 =. 5 z 5 5 y 5 1 Obrázek 1.7: Hlavní směr u =(1,, ) 1 5 z 5 5 y 5 1 Obrázek 1.8: Hlavní směr u =(, 1, ) 1

38 38 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1 z 1 5 y 5 1 Obrázek 1.9: Hlavní směr u =(,, 1) 1 z 5 1 y 5 1 Obrázek 1.3: Hlavní roviny kvadriky +4y +16z 144 = Při hledání hlavních směrů kvadriky si uvědomíme, že normálový vektor n průměrové roviny (1.83) má souřadnice n =(a 11 u + a 1 v + a 13 w, a 1 u + a v + a 3 w, a 31 u + a 3 v + a 33 w). (1.84) Vektor u je kolmý na rovinu (1.83) právě když u je kolineární s jejím normálovým vektorem n. To nastane právě když eistuje reálné číslo λ tak, že

39 1.1. HLAVNÍ SMĚRY 39 platí n = λu. (1.85) Rozepsáním vztahu (1.85) do souřadnic dostaneme soustavu rovnic a 11 u + a 1 v + a 13 w = λu a 1 u + a v + a 3 w = λv a 31 u + a 3 v + a 33 w = λw, (1.86) kterou upravíme na tvar (a 11 λ)u + a 1 v + a 13 w = a 1 u +(a λ)v + a 3 w = a 31 u + a 3 v +(a 33 λ)w =. (1.87) Soustava (1.87) je homogenní soustava tří lineárních rovnic o neznámých u, v, w. Jak známo z lineární algebry, tato soustava má netriviální řešení právě když je determinant soustavy roven nule, tj. platí a 11 λ a 1 a 13 a 1 a λ a 3 a 31 a 3 a 33 λ =. (1.88) Definice: Rovnice (1.88) se nazývá charakteristická rovnice kvadriky. Charakteristickou rovnici (1.88) rozepíšeme do tvaru λ 3 I 1 λ + I λ A 44 =, (1.89) kde jsme označili I 1 = a 11 + a + a 33, (1.9) I = a 11 a 1 a 1 a + a 11 a 13 a 31 a 33 + a a 3 a 3 a 33. (1.91) Koeficienty I 1,I a A 44 v rovnici (1.89) jsou ortogonální invarianty. To znamená, že se při otočení a posunutí kartézské soustavy souřadnic jejich hodnota nezmění. Odtud plyne, že ortogonálním invariantem je celá charakteristická rovnice (1.88). Kořeny charakteristické rovnice se tedy při změně kartézské soustavy souřadnic nemění. Obdobně je ortogonálním invariantem determinant Δ Δ=det a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 (1.9) matice kvadriky (1.8). Determinant Δ se také nazývá diskriminant kvadriky. Charakteristická rovnice (1.88) je kubická rovnice s neznámou λ, jak plyne

40 4 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ z rozepsaného tvaru (1.89). Kořeny charakteristické rovnice nazýváme vlastní čísla. Vlastním číslům odpovídají vlastní vektory. Při hledání hlavních směrů kvadriky (1.8) budeme postupovat následujícím způsobem. Nejprve určíme kořeny λ 1,λ,λ 3 charakteristické rovnice (1.89). Každému vlastnímu číslu λ i odpovídá vlastní vektor u i, který vypočítáme ze soustavy (1.87), když za λ dosadíme λ i. Stačí nám k tomu nejvýše dvě rovnice z (1.87), protože všechny tři rovnice jsou lineárně závislé, jak plyne z podmínky (1.88). Vlastní vektory jsou hledané hlavní směry kvadriky. Při výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů využijeme následující vlastnosti charakteristické rovnice kvadriky (1.89): Věta: 1) Charakteristická rovnice (1.89) je ortogonální invariant. ) Rovnice (1.89) má všechny tři kořeny reálné. 3) Třem různým vlastním číslům odpovídají tři navzájem kolmé vlastní vektory. 4) Vlastnímu číslu odpovídá asymptotický směr kvadriky. Důkaz: Ad 1) Rovnici (1.88) lze napsat ve tvaru A λi =, (1.93) kde A je matice a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 (1.94) a I je jednotková matice 3 3. Je-li T ortogonální matice potom podle věty o násobení determinantů TAT 1 λi = T (A λi)t 1 = A λi. Tvrzení je dokázáno. Ad ) Jak známo, kubická rovnice (1.89) má vždy alespoň jeden reálný kořen, který označíme λ 1. Číslu λ 1 odpovídá vlastní vektor u 1. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, aby osa náležela směru u 1. Potom můžeme položit u 1 =(1,, ). Soustava (1.87), které vyhovují souřadnice vektoru u 1 =(1,, ), má nyní tvar (a 11 λ 1 ) 1+a 1 +a 13 = a 1 1+(a λ 1 ) +a 3 = a 31 1+a 3 +(a 33 λ 1 ) =. (1.95)

41 1.1. HLAVNÍ SMĚRY 41 Odtud dostáváme λ 1 = a 11,a 1 =,a 31 =. Po dosazení do charakteristické rovnice (1.88) obdržíme rovnici λ 1 λ a λ a 3 a 3 a 33 λ =, (1.96) kterou upravíme na tvar ( λ1 λ ) a λ a 3 a 3 a 33 λ =. (1.97) Rovnice (1.97) má kromě reálného kořene λ 1 ještě další dva kořeny dané rovnicí a λ a 3 a 33 λ = λ λ(a + a 33 )+a a 33 a 3 =. (1.98) a 3 Diskriminant rovnice (1.98) lze napsat jako součet čtverců (a + a 33 ) 4(a a 33 a 3) (a a 33 ) +4a 3. Odtud plyne, že diskriminant je větší nebo roven nule. Kvadratická rovnice (1.98) a tedy i charakteristická rovnice kvadriky (1.89) mají reálné kořeny. Ad 3) Vlastnímu číslu λ 1 jsme přiřadili vlastní vektor u 1 =(1,, ). Soustava (1.87) má potom, jak jsme viděli v předchozí části, tvar (λ 1 λ)u = (a λ)v + a 3 w = a 3 v +(a 33 λ)w =. (1.99) Dosazením vlastního čísla λ λ 1 za λ do (1.95) dostaneme soustavu (λ 1 λ )u = (a λ )v + a 3 w = a 3 v +(a 33 λ )w =, (1.1) Nechť vektor u = (, 1, ) je řešením soustavy (1.1). Potom dosazením souřadnic do (1.1) (λ 1 λ ) = (a λ ) 1+a 3 = a 3 1+(a 33 λ ) =, (1.11) dostaneme podmínky λ = a,a 3 =.

42 4 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Soustava (1.87) má potom tvar (λ 1 λ)u = (λ λ)v = (a 33 λ)w =. (1.1) Dosadíme-li do rovnice (1.1) za λ hodnotu λ 3 λ 1 λ, potom pro vektor u 3 =(,, 1) dostaneme λ 3 = a 33. Ukázali jsme, že k navzájem různým vlastním číslům λ 1 λ λ 3, eistují tři vzájemně kolmé vlastní vektory u 1 =(1,, ), u =(, 1, ), u 3 =(,, 1). Ad 4) Jestliže λ =, potom dosazením do soustavy (1.87) dostaneme a 11 u + a 1 v + a 13 w = a 1 u + a v + a 3 w = a 31 u + a 3 v + a 33 w =. (1.13) Odtud a 11 u + a v + a 33 w +a 1 uv +a 13 uw +a 3 vw = u(a 11 u + a 1 v + a 13 w)+ v(a 1 u + a v + a 3 w)+(a 31 u + a 3 v + a 33 w)= asměrdanývektorem(u, v, w) je podle (1.11) asymptotický. Definice: Průměrová rovina, která je kolmá ke směru, se kterým je sdružená (hlavnísměr), senazýváhlavní rovina kvadriky. Osa kvadriky je průsečnice dvou hlavních rovin (pokud eistují). Průsečík kvadriky s její osou se nazývá vrchol kvadriky Transformace soustavy souřadnic v E 3 Uvažujme kvadriku, jejíž rovnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic je a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 =. (1.14) Budeme zkoumat rovnici kvadriky (1.14) při změně kartézské soustavy souřadnic na jinou kartézskou soustavu souřadnic. Nechť kartézská soustava souřadnic (k. s. s.) je dána počátkem P a uspořádanou trojicí vzájemně ortogonálních jednotkových vektorů e 1, e, e 3. Nechť souřadnice libovolného bodu X vprostorue 3 vtétok.s.s.jsou, y, z tj. X =[, y, z]. V jiné k. s. s., která je dána stejným počátkem P a uspořádanou trojicí vzájemně ortogonálních jednotkových vektorů e 1, e, e 3, má tentýž bod X souřadnice X =[,y,z ]. Jak známo, vztah mezi nečárkovanými a čárkova-

43 1.11. TRANSFORMACE SOUSTAVY SOUŘADNIC V E 3 43 nými souřadnicemi téhož bodu je dán rovnicemi = t 11 + t 1 y + t 31 z y = t 1 + t y + t 3 z (1.15) z = t 13 + t 3 y + t 33 z, což můžeme v maticovém tvaru zapsat takto ( y ) ( z = y z ) t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 t 31 t 3 t 33. (1.16) Označíme-li matici (, y, z), která je typu (1, 3), písmenem X, matici (,y,z ) písmenem X amatici t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 (1.17) t 31 t 3 t 33 písmenem T, potom místo (1.16) můžeme psát X = X T. (1.18) Matice T je matice přechodu od ortonormální báze e 1, e, e 3 k ortonormální bázi e 1, e, e 3. Jak známo [4], matice T je ortogonální maticí, tj. platí T 1 = T. (1.19) Transformace (1.18) vyjadřuje změnu souřadnic bodu X při otočení soustavy souřadnic kolem společného počátku P. Nyní posuneme otočenou k. s. s. do bodu P, jehož souřadnice v původní nečárkované soustavě jsou [m,n,p]. Potom mezi původními a novými souřadnicemi je vztah neboli = t 11 + t 1 y + t 31 z + m y = t 1 + t y + t 3 z + n (1.11) z = t 13 + t 3 y + t 33 z + p, ( ) ( y z 1 = y z 1 ) t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 t 31 t 3 t 33 m n p 1. (1.111)

44 44 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.1 Uvedení rovnice kvadriky na kanonický tvar V nějaké kartézské soustavě souřadnic je dána kvadrika rovnicí a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 =. (1.11) Rovnici (1.11) můžeme napsat ve tvaru ( ) y z 1 a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 y z 1 =, (1.113) kde K = a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 (1.114) je matice kvadriky (1.11). Matice K je symetrická, tj. K = K. Označíme-li X =(,y,z,1), potom rovnici kvadriky (1.11) můžeme napsat ve tvaru XKX =. (1.115) Při změně soustavy souřadnic na jinou kartézskou soustavu souřadnic bude mít matice kvadriky (1.11) tvar t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 t 31 t 3 t 33 m n p 1 kde matice a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 t 31 t 3 t 33 t 11 t 1 t 31 m t 1 t t 3 n t 13 t 3 t 33 p 1, (1.116) (1.117) je ortogonální matice a m, n, p jsou prozatím neurčená čísla. Matici (1.116) kvadriky (1.11) v nové soustavě souřadnic můžeme napsat ve tvaru součinu matic TKT, (1.118) kde T = t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 t 31 t 3 t 33 m n p 1 (1.119)

45 1.1. UVEDENÍ ROVNICE KVADRIKY NA KANONICKÝ TVAR 45 je matice transformace. Naší snahou je zvolit matici transformace T tak, aby matice (1.118) kvadriky byla co nejjednodušší. Nechť hlavní směry kvadriky (1.11) jsou dány jednotkovými vzájemně kolmými vektory u 1 =(u 1,v 1,w 1 ), u =(u,v,w ), u 3 =(u 3,v 3,w 3 ). Přitom předpokládáme, že vlastním číslům λ 1,λ,λ 3 odpovídají po řadě vlastní vektory u 1, u, u 3. Matici transformace T zvolme takto: T = u 1 v 1 w 1 u v w u 3 v 3 w 3 m n p 1, (1.1) kde m, n, p jsou prozatím blíže neurčené konstanty. Matice T tedy obsahuje v prvých třech řádcích jednotkové vlastní vzájemně kolmé vektory. Potom matice kvadriky v nové soustavě souřadnic má tvar u 1 v 1 w 1 u v w u 3 v 3 w 3 m n p 1 a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 u 1 u u 3 m v 1 v v 3 n w 1 w w 3 p 1. (1.11) Vynásobením prvních dvou matic vlevo v (1.11) vzhledem k (1.86) dostaneme λ 1 u 1 λ 1 v 1 λ 1 w 1 a 14 u 1 + a 4 v 1 + a 34 w 1 λ u λ v λ w a 14 u + a 4 v + a 34 w λ 3 u 3 λ 3 v 3 λ 3 w 3 a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 K L M N kde jsme označili u 1 u u 3 m v 1 v v 3 n w 1 w w 3 p 1, (1.1) K = a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14, L = a 1 m + a n + a 3 p + a 4, M = a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34, N = a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44. (1.13) Nyní budeme vyšetřovat zvlášť středové kvadriky (tj. kvadriky s jediným středem) a zvlášť nestředové kvadriky. Středový případ: A 44 Za čísla m, n, p v matici transformace T zvolíme souřadnice středu kvadriky. Potom podle (1.16) platí K = L = M =. Součin matic v (1.1) dává matici λ 1 u 1 λ 1 u 1 u λ 1 u 1 u 3 λ u u 1 λ u λ u u 3 λ 3 u 3 u 1 λ 3 u 3 u λ 3 u 3, (1.14) N

46 46 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ kde u i u j značískalárnísoučinvektorůu i, u j. Při úpravě matice (1.14) jsme využili faktu, že tato matice je symetrická. Skutečně platí (TKT ) =(T ) K T = TKT, neboť matice K je symetrická (a tedy K = K). Vlastní vektory u 1 =(u 1,v 1,w 1 ), u =(u,v,w ), u 3 =(u 3,v 3,w 3 )jsou jednotkové a vzájemně kolmé. Odtud plyne, že koeficienty u vlastních čísel λ 1,λ,λ 3 na hlavní diagonále matice (1.14) jsou rovny jedné a skalární součiny u i u j pro i =j jsou rovny nule. Ještě vyjádříme výraz N = a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44 na hlavní diagonále pomocí velkého determinantu Δ a hlavního minoru A 44. Ukážeme, že platí a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44 = Δ A 44. (1.15) Řešíme-li totiž soustavu rovnic pro výpočet středu kvadriky a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 = a 1 m + a n + a 3 p + a 4 = a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 = pomocí Cramerova pravidla, potom pro hodnoty m, n, p je a 14 a 1 a 13 a 11 a 14 a 13 a 4 a a 3 a 1 a 4 a 3 a 34 a 3 a 33 a 31 a 34 a 33 m =, n =, p = A 44 A 44 (1.16). A 44 (1.17) a 11 a 1 a 14 a 1 a a 4 a 31 a 3 a 34 Rozvineme-li determinant Δ podle posledního řádku, potom a 1 a 13 a 14 Δ= a 41 a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 +a a 11 a 13 a 14 4 a 1 a 3 a 4 a 31 a 33 a 34 a a 11 a 1 a a 1 a a 4 a 31 a 3 a 34 +a 44A 44. (1.18) Po vydělení Δ výrazem A 44 dostaneme ze vztahu (1.18), s použitím (1.17), tvrzení (1.15). Na základě předcházejících úvah dostáváme konečný tvar matice (1.14) pro středové kvadriky λ 1 λ λ 3 Δ A 44 Matici (1.19) odpovídá v maticovém vyjádření kvadrika ( y z 1 ) λ 1 λ λ 3 Δ A 44. (1.19) y z 1 =, (1.13)

47 1.1. UVEDENÍ ROVNICE KVADRIKY NA KANONICKÝ TVAR 47 jejíž kanonický tvar je λ 1 + λ y + λ 3 z + Δ A 44 =. (1.131) Nyní budeme vyšetřovat nestředové kvadriky. Nestředový případ: A 44 =. Pokud kvadrika střed nemá nebo má nekonečně mnoho středů, potom je determinant A 44 soustavy a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 = a 1 m + a n + a 3 p + a 4 = a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 = (1.13) roven nule. Protože A 44 = λ 1 λ λ 3, znamená to, že alespoň jedno z vlastních čísel λ 1,λ,λ 3 je rovno nule. Budeme předpokládat, že λ 1,λ,λ 3 =. 1 Součin matic (1.1) má tvar λ 1 u 1 λ 1 v 1 λ 1 w 1 a 14 u 1 + a 4 v 1 + a 34 w 1 λ u λ v λ w a 14 u + a 4 v + a 34 w a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 K L M N kde K, L, M, N jsou výrazy u 1 u u 3 m v 1 v v 3 n w 1 w w 3 p 1, (1.133) K = a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14, L = a 1 m + a n + a 3 p + a 4, M = a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34, N = a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44. (1.134) Vynásobením matic v (1.133), s využitím faktu, že vlastní vektory u 1, u a u 3 jsou vzájemně kolmé a jednotkové, dostaneme λ 1 E λ F G, (1.135) E F G H kde jsme označili E = Ku 1 + Lv 1 + Mw 1, F = Ku + Lv + Mw, G = Ku 3 + Lv 3 + Mw 3 = a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3, H = Km + Ln + Mp+ N. (1.136) 1 Případy, kdy λ 1,λ =,λ 3 = jsou uvedeny v další kapitole.

48 48 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Jako v případě středové kvadriky, opět jsme využili faktu, že matice (1.135) je symetrická. Nyní určíme konstanty m, n, p v (1.134). Nechť bod M =[m, n, p] ležívhlavnírovině (a 11 u 1 + a 1 v 1 + a 13 w 1 ) +(a 1 u 1 + a v 1 + a 3 w 1 )y +(a 31 u 1 + a 3 v 1 + a 33 w 1 )z + a 41 u 1 + a 4 v 1 + a 43 w 1 =, (1.137) která přísluší nenulovému vlastnímu číslu λ 1, a je tedy kolmá na hlavní směr u 1 =(u 1,v 1,w 1 ). Potom je výraz E = Ku 1 + Lv 1 + Mw 1 v matici (1.135) roven nule, jak lze zjistit dosazením m, n, p za, y, z do (1.137). Nechť bod M leží ještě v hlavní rovině (a 11 u + a 1 v + a 13 w ) +(a 1 u + a v + a 3 w )y +(a 31 u + a 3 v + a 33 w )z + a 41 u + a 4 v + a 43 w =, (1.138) která přísluší nenulovému vlastnímu číslu λ, akterájekolmánahlavnísměr u =(u,v,w ). Potom je i výraz F = Ku + Lv + Mw v matici (1.135) roven nule. Bod M náleží průniku dvou hlavních rovin, tedy podle definice leží na ose kvadriky, která náleží asymptotickému směru. Po této volbě má matice kvadriky tvar Nyní naše úvahy rozdělíme. λ 1 λ G G H, (1.139) a) Pokud soustavě (1.13) pro určení středu vyhovuje přímka středů, potom K = L = M = a odtud podle (1.136) plyne G =. Platí také obráceně: pokud G =(ae = F = ), potom K = L = M =, neboť soustava Ku 1 + Lv 1 + Mw 1 =, Ku + Lv + Mw =, Ku 3 + Lv 3 + Mw 3 =, (1.14) má pro navzájem kolmé nenulové vlastní vektory (u 1,v 1,w 1 ), (u,v,w ), (u 3,v 3,w 3 ) pouze triviální řešení K = L = M =. Protože H = Km + Ln + Mp + N, potom má matice kvadriky vzhledem k podmínkám K = L = M =tvar λ 1 λ N. (1.141)

49 1.1. UVEDENÍ ROVNICE KVADRIKY NA KANONICKÝ TVAR 49 Hodnotu N určíme dosazením souřadnic libovolného bodu M =[m, n, p] osy do rovnice (1.11). Je totiž Km + Ln + Mp+ N = (a 11 m + a 1 n + a 13 p + a 14 )m +(a 1 m + a n + a 3 p + a 4 )n +(a 31 m + a 3 n + a 33 p + a 34 )p + a 41 m + a 4 n + a 43 p + a 44 = a 11 m +a n +a 33 p +a 1 mn+a 13 mp+a 3 np+a 14 +a 4 n+a 34 p+a 44 = f(m, n, p). Jestliže f(m,n,p) = N =, potom je kvadrika eliptickou nebo hyperbolickou válcovou plochou (viz dále). Kanonický tvar válcové plochy je podle (1.141) λ 1 + λ y + N =, (1.14) kde N =. Pokud je f(m, n, p) =N =, potom přímka středů náleží kvadrice a je tedy přímkou singulárních bodů. V tomto případě se jedná o dvě různoběžné roviny. b) Jestliže G = v (1.139), potom je alespoň jeden z výrazů K, L, M různý od nuly a podle (1.13) kvadrika nemá žádný střed. Diskriminant Δ = λ 1 λ G kvadrika je v tomto případě regulární. Jedná se o kvadriku, která se nazývá paraboloid. Volbou bodu M =[m, n, p] ve vrcholu, tj. v průsečíku osy kvadriky, která je dána průsečnicí hlavních rovin (1.137), (1.138) s kvadrikou, dostaneme H = Km + Ln + Mp+ N = f(m, n, p) = a matice kvadriky má tvar λ 1 λ G G Výsledná rovnice paraboloidu v maticovém tvaru je ( y z 1 ) λ 1 λ G G. (1.143) kde G = a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3, jejíž kanonický tvar je y z 1 =, (1.144) λ 1 + λ y +Gz =. (1.145) Obdobným způsobem zjistíme, že parabolická válcová plocha má kanonickou rovnici λ 1 +Fy =.

50 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11 +a y +a 33 z +a 1 y+a 13 z+a 3 yz+a 14 +a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.146) nastat. Kvadriky budeme klasifikovat jednak podle toho, zda se jedná o regulární (Δ = ) nebo singulární (Δ = ) kvadriky, jednak podle toho, zda jsou středové (A 44 ) nebo nestředové (A 44 = ). Všechny kvadriky tak rozdělíme do čtyř následujících skupin: I) středové regulární kvadriky: A 44, Δ = II) středové singulární kvadriky: A 44, Δ= III) nestředové regulární kvadriky: A 44 =, Δ = IV) nestředové singulární kvadriky: A 44 =, Δ=. I) Středové regulární kvadriky: A 44, Δ = Předpokládejme, že A 44, Δ =. Každou středovou kvadriku lze podle (1.131) převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ 1 + λ y + λ 3 z + Δ =, (1.147) A 44 který můžeme reprezentovat zápisem v maticovém tvaru λ 1 ( ) y z 1 λ y λ 3 z =. (1.148) Δ A 44 1 Z předchozí kapitoly víme, že determinant kvadriky Δ je ortogonální invariant, tedy jeho hodnota se při změně kartézské soustavy souřadnic nemění. Rovněž tak je ortogonálním invariantem determinant A 44. Z předpokladu A 44 plyne, že λ 1,λ,λ 3. Je totiž A 44 = λ 1 λ λ 3. Předpokládejme nejprve, že všechna vlastní čísla mají stejná znaménka. O takových kvadrikách říkáme, že jsou eliptického typu. Stačí se omezit na kladná vlastní čísla v opačném případě rovnici (1.147) vynásobíme číslem minus jedna. Nechť λ 1 >, λ >, λ 3 >. Je-li Δ/A 44 <, potom po vydělení rovnice (1.147) výrazem Δ/A 44 dostaneme kvadriku, jejíž kanonický tvar je a + y b + z =1. (1.149) c

51 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 51 Zdejsmeoznačilia = Δ/(λ 1 A 44 ),b = Δ/(λ A 44 ),c = Δ/(λ 3 A 44 ). Plocha o rovnici (1.149) se nazývá trojosý elipsoid. Pro Δ/A 44 > dostaneme analogicky rovnici kvadriky a + y b + z = 1, (1.15) c která se nazývá imaginární elipsoid. Tato kvadrika zřejmě neobsahuje žádné (reálné) body. Nyní budeme zkoumat středové regulární kvadriky, jejichž vlastní čísla λ 1,λ, λ 3 nemají stejná znaménka. Takové kvadriky nazýváme kvadriky hyperbolického typu. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ >, λ 3 <. Jestliže Δ/A 44 >, potom po vydělení rovnice (1.147) výrazem Δ/A 44 dostaneme a + y b z = 1, (1.151) c kde jsme označili a =Δ/(λ 1 A 44 ),b =Δ/(λ A 44 ),c =Δ/(λ 3 A 44 ). Kvadrika o rovnici (1.151) se nazývá dvojdílný hyperboloid. Pokud Δ/A 44 <, potom po vydělení rovnice (1.147) výrazem Δ/A 44 dostaneme rovnici a + y b z =1, (1.15) c kde jsme označili a = Δ/(λ 1 A 44 ),b = Δ/(λ A 44 ),c = Δ/(λ 3 A 44 ). Plocha, daná rovnicí (1.15), se nazývá jednodílný hyperboloid. II) Středové singulární kvadriky: A 44, Δ= Nechť středová kvadrika není regulární, tj. Δ =,A 44. Nejprve předpokládejme, že vlastní čísla λ 1,λ,λ 3 mají stejná znaménka. Potom dostaneme rovnici a + y b + z =, (1.153) c které zřejmě vyhovuje jediný reálný bod [,, ]. Tato kvadrika se nazývá imaginární kuželová plocha. Nyní uvažujme singulární středovou kvadriku, jejíž vlastní čísla nemají stejná znaménka. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ >, λ 3 <. V tomto případě dostaneme rovnici a + y b z =. (1.154) c

52 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Kvadriku, která má rovnici (1.154), nazýváme kuželová plocha. III) Nestředové regulární kvadriky: A 44 =, Δ = V této části budeme studovat nestředové regulární kvadriky, tj. takové kvadriky, pro které platí A 44 =, Δ =. Tyto kvadriky se nazývají paraboloidy. Z předcházející kapitoly víme, že nestředovou regulární kvadriku, pro jejíž vlastní čísla platí λ 1,λ a λ 3 =, lze převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ 1 + λ y +Gz =, (1.155) kde G = a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 je různé od nuly, jak plyne z determinantu Δ matice kvadriky λ 1 Δ=det λ G = λ 1λ G. (1.156) G Nechť mají vlastní čísla λ 1,λ stejná znaménka (a λ 3 = ). Můžeme se omezit na případ, že platí λ 1 >, λ > (v opačném případě vynásobíme rovnici (1.155) číslem minus jedna). Je-li G<, potom můžeme rovnici (1.155) upravit na tvar a + y b = z, (1.157) kdejsmeoznačilia = G/λ 1,b = G/λ. Je-li G>, potom dostaneme rovnici a + y b = z, (1.158) kde a = G/λ 1,b = G/λ. Rovnice (1.157), (1.158) jsou rovnicemi eliptického paraboloidu. Nechť mají vlastní čísla λ 1,λ různá znaménka (a λ 3 = ). Můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ <. Jestliže G <, potom z (1.155) dostaneme rovnici a y b = z, (1.159) kde a = G/λ 1,b = G/λ. Analogicky, pro G>dostanemerovnici a y b = z. (1.16) Rovnice (1.159) a (1.16) jsou rovnicemi hyperbolického paraboloidu.

53 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 53 IV) Nestředové singulární kvadriky: A 44 =, Δ= V této části vyšetříme kvadriky, které jsou nestředové a singulární, tj. takové, pro které platí A 44 =, Δ=. IVa) λ 1,λ,λ 3 =. Nejprve předpokládejme, že pro vlastní čísla platí λ 1,λ,λ 3 =. Potom nutně, díky podmínce Δ =, musí být v matici v (1.156) G =. Uvažujme matici kvadriky ve tvaru λ 1 λ k. (1.161) Je-li k =, potom má matice kvadriky (1.161) hodnost tři a kvadrika je válcovou plochou. Předpokládejme, že vlastní čísla mají stejná znaménka. Opět můžeme předpokládat, bez újmy na obecnosti, že λ 1 >,λ >. Je-li k<, potom rovnice a + y b = 1, (1.16) kde a = k/λ 1,b = k/λ, je rovnicí eliptické válcové plochy. Je-li k>, potom rovnice a + y b = 1, (1.163) kde a = k/λ 1,b = k/λ, je rovnicí imaginární eliptické válcové plochy. Mají-li vlastní čísla λ 1,λ různá znaménka (a k = ), potom dostaneme rovnici a y b = 1, (1.164) která je rovnicí hyperbolické válcové plochy. Je-li k =, potom matice (1.161) má pro λ 1,λ hodnost dvě. Rozlišíme dva případy: Mají-li λ 1,λ stejná znaménka, potom rovnice a + y b = (1.165) je rovnicí přímky, neboť rovnici (1.165) vyhovuje každý bod o souřadnicích [,,z] a žádný jiný. Říkáme též, že rovnice (1.165) je rovnicí imaginárních různoběžných rovin, které se protínají v reálné přímce. Mají-li λ 1,λ různá znaménka, potom rovnice a y b = (1.166)

54 54 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ je rovnicí dvou různoběžných rovin, jak můžeme nahlédnout z rozkladu ( a + y )( b a y ) =. b IVb) λ 1,λ =,λ 3 =. Nyní budeme předpokládat, že jediné vlastní číslo kvadriky (1.146) je různé od nuly. Můžeme položit λ 1,λ =,λ 3 =. Nechť k =. Potom matice vede, v případě, že kλ 1 <, na rovnici λ 1 k (1.167) a = 1 (1.168) která je rovnicí dvou rovnoběžných rovin, jak můžeme vidět z rozkladu ( a +1 )( a 1 ) =. Jestliže kλ 1 >, potom rovnice je rovnice imaginárních rovnoběžných rovin. = 1 (1.169) a Nechť k =. Potom matice (1.167) obsahuje jediný nenulový prvek λ 1 ajejí hodnost je tedy rovna jedné. Tento případ vede na rovnici která je rovnicí dvojnásobné roviny. =, (1.17) a Zbývá vyšetřit případ, kdy matice kvadriky má tvar λ 1 k, (1.171) k pro k =. Potom hodnost matice (1.171) je tři. Je-li kλ 1 <, vede matice (1.171) na rovnici =kz, (1.17) a

55 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 55 jestliže kλ 1 >, dostaneme rovnici = kz. (1.173) a Plocha o rovnicích (1.17), (1.173) se nazývá parabolická válcová plocha. Vyšetřili jsme všechny případy kvadriky (1.146), které mohou nastat. Klasifikace kvadrik je tímto provedena. Příklad 1: Vyšetřete kvadriku [], [5] 7 +6y +5z 4y 4yz +4y +z +3=. (1.174) Řešení: Nejprve vypočteme diskriminant Δ kvadriky (1.174) buď rozvinutím podle některého řádku nebo sloupce nebo použijeme služeb některého matematického software. Vyjde Δ= = 3 5. (1.175) Diskriminant je různý od nuly, tedy se jedná o regulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna 7 A 44 = 6 5 = 34. (1.176) Determinant A 44 je různý od nuly, proto se jedná o středovou kvadriku. Nyní vyřešíme charakteristickou rovnici kvadriky 7 λ 6 λ =, (1.177) 5 λ kterou můžeme napsat ve tvaru λ 3 18λ +99λ 16 =. (1.178) Kořeny charakteristické rovnice (1.178) najdeme buď pomocí některého matematického programu (Derive, Maple, Mathematica,...) nebo se snažíme alespoň jeden kořen (1.178) uhodnout. V tomto případě uhodneme kořen 3. Zbývající kořeny dostaneme tak, že rovnici (1.178) vydělíme faktorem λ 3, čímž snížíme stupeň rovnice na. Zbylou kvadratickou rovnici řešíme známým způsobem. Dostaneme tak kořeny 3, 6, 9.

56 56 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Vlastní čísla označíme např. takto: Ještě vypočteme hodnotu λ 1 =3, λ =6, λ 3 =9. Δ = 3 5 A = 4 3= 6, kterou budeme potřebovat při vyjádření kanonického tvaru kvadriky. Podle (1.131) má kanonická rovnice kvadriky (1.174) tvar 3 Tuto rovnici ještě upravíme podle (1.149) na tvar 3 +6y +9z 6=. (1.179) + y 1 + z 3 =1, (1.18) ze kterého budeme vidět délky poloos. Podle (1.18) se jedná o trojosý elipsoid (viz obrázek 3.4) s délkami poloos a =,b=1,c= 3. 1 z y 3 Obrázek 1.31: Trojosý elipsoid 4 Nyní vyšetříme polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. 3 Ve vyjádření (1.179) uvádíme kvůli zjednodušení místo čárkovaných proměnných,y,z proměnné, y, z bez čárek.

57 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 57 Protože se jedná o středovou kvadriku, vypočítáme střed S =[m,n,p], pro který podle (1.16) platí: 7m n + 11 = m + 6n p + 1 = n + 5p + 1 =. (1.181) Řešením soustavy je trojice m =1,n=, p= 1, tedy S =[1,, 1]. Hlavní směry zjistíme vyjádřením vlastních vektorů u 1, u, u 3, které po řadě přísluší vlastním číslům λ 1,λ,λ 3. Pro λ 1 = 3 řešíme podle (1.87) soustavu 4u v = u + 3v w = v + w =, (1.18) které vyhovuje vlastní vektor u 1 =(1,, ). Dále pro λ = 6 dostaneme soustavu u v = u + w = (1.183) v w =, která dává řešení u =(, 1, ). Podobně získáme i souřadnice třetího vlastní vektoru, pro který platí u 3 =(,, 1). Pomocí skalárního součinu snadno ověříme, že vlastní vektory u 1, u, u 3, jsou vzájemně kolmé. Hlavní směry, dané vektory u 1, u, u 3, společně se středem S určují hledanou polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. Rovnice os a souřadnice vrcholů určovat nebudeme. Příklad : Vyšetřete kvadriku 5 y + z +4y +6z + +4y +6z 8=. (1.184) Řešení: Pro diskriminant Δ platí Δ= =16, (1.185) tedy se jedná o regulární kvadriku. Pro determinant A 44 dostaneme A 44 = =, (1.186)

58 58 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ což znamená, že kvadrika (1.184) je nestředová regulární tedy se jedná o paraboloid. Určíme kanonickou rovnici (1.184) a hlavní směry. Nejprve vypočítáme kořeny charakteristické rovnice kterámávrozepsanémstavutvar 5 λ 3 1 λ 3 1 λ =, (1.187) λ 3 5λ 14λ =, (1.188) tj. λ(λ 5λ 14) = λ(λ 7)(λ +)=. Odtud určíme vlastní čísla λ 1,λ,λ 3 λ 1 =7, λ =, λ 3 =. Nyní najdeme hlavní směry kvadriky. Ty, jak známo, určují vlastní vektory, které jsou přiřazené vlastním číslům λ 1,λ,λ 3. Vlastnímu číslu λ 1 = 7 odpovídá soustava u + v + 3w = u 8v = 3u 6w =, (1.189) jejíž řešením je vlastní vektor u 1 =(4, 1, ). Obdobně vlastnímu číslu λ = odpovídásoustava 7u + v + 3w = u + v = 3u + 3w =, (1.19) jejímž řešením je vlastní vektor u =(1,, 1). Konečně hodnotě λ 3 = odpovídá řešení soustavy 5u + v + 3w = u v = 3u + w =, (1.191) kterým je vlastní vektor u 3 =(1,, 3), který určuje asymptotický směr kvadriky. Pro kanonickou rovnici kvadriky budeme ještě potřebovat normovaný vektor směru, který je určený vektorem u 3. Snadno zjistíme, že takový vektor má souřadnice u 3 u 3 = 1 ( 1 (1,, 3) =, , 3 14 ). (1.19)

59 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 59 Matice kanonické rovnice (1.184) je podle (1.143) ve tvaru 7 u 3 +v 3 +3w 3 u 3 +v 3 +3w 3, (1.193) kde u 3,v 3,w 3 jsou souřadnice vektoru u 3 u 3 =( 1 14, 14, 3 14 ). Hodnota výrazu u 3 +v 3 +3w 3 v (1.193) je u 3 +v 3 +3w 3 = = Dosazením do (1.193) dostaneme , (1.194) a odtud kanonickou rovnici (1.184) 7 y 8 14 =. (1.195) Kvadrika je tedy hyperbolický paraboloid (viz obrázky 1.3 a 1.33). 6 z y 5 5 Obrázek 1.3: Hyperbolický paraboloid (Pohled 1)

60 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 6 4 z 5 y Obrázek 1.33: Hyperbolický paraboloid (Pohled ) Nyní vyhledáme hlavní roviny, osu a vrchol paraboloidu. Hlavnímu směru, určenému vlastním vektorem u 1 =(4, 1, ), odpovídá průměrová rovina, která je něj kolmá, a která se nazývá hlavní rovina. Hlavní rovina má podle (1.73) rovnici tj. ( ) y z 1 =, (1.196) 8 +7y +14z +1=. (1.197) Pro hlavní rovinu, sdruženou s hlavním směrem daným vlastním vektorem u =(1,, 1), podobným způsobem dostaneme y z +3=. (1.198) Průnik hlavních rovin (1.197), (1.198) dává osu paraboloidu. Průnik osy paraboloidu s paraboloidem je vrchol V. Určíme jej jako společné řešení rovnic (1.184), (1.197), (1.198). S použitím počítače dostaneme [ V = , , 111 ]. 39 Příklad 3: Vyšetřete kvadriku 3 +3y +3z +4 y +yz +6 +y( 1) 6z 9=. (1.199)

61 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 61 Řešení: Diskriminant kvadriky Δ je 3 3 Δ= =. (1.) Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna 3 Δ= 3 1 =, (1.1) 1 3 Determinant A 44 je roven nule jedná se o nestředovou kvadriku. Řešením soustavy rovnic (1.16) pro určení středu kvadriky 3m n +3 = m + 3n + p 1 = n + 3p 3 = (1.) je přímka středů o rovnici m = 1+ t, n =3 3t, p = t (1.3) která je osou kvadriky. Směr osy, daný vektorem o souřadnicích (, 3, 1), (1.4) je asymptotickým směrem kvadriky, což snadno můžeme ověřit, řešíme-li rovnici (1.5) pro asymptotické směry Rovnici (1.5) upravíme na tvar 3u +3v +3w +4 uv +vw =. (1.5) ( u v + ) ( w + 3 v + 1 ) =, (1.6) 3 ze kterého plyne (1.4). Vyšetříme charakteristickou rovnici 3 λ Δ= 3 λ 1 =, (1.7) 1 3 λ tj. λ(λ 9λ + 18) = λ(λ 3)(λ 6) =. (1.8)

62 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Řešením rovnice jsou vlastní čísla kterým po řadě odpovídají hlavní směry λ 1 =3, λ =6,λ 3 =, (1.9) u 1 =(,, 4), u =(3, 3, 1), u 3 =(, 3, 1). (1.1) Z vyjádření (1.1) vidíme, že směr, daný vektorem u 3, který odpovídá vlastnímu číslu λ 3 =, je asymptotický v souladu s (1.4). Výraz G = a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 je roven nule, jak se můžeme přesvědčit přímým dosazením. Zde ovšem u 3,v 3,w 3 jsou souřadnice normovaného vektoru u 3 u 3. Je Potom skutečně u 3 u 3 = 1 ( 3 ) (, 3, 1 = 3, 1, a 14 u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 =3 3 ( 1) ). 1 3 =. Zbývá zjistit hodnotu výrazu H = Km + Ln + Mp+ N, kde M =[m, n, p] je libovolný bod osy. Z její rovnice (1.3) dosazením za parametr např. t =1 vychází bod X =[ 1,, 1]. Protože K = L = M =, je H = N aplatí N = a 14 m + a 4 n + a 34 p + a 44 =3 ( 1) + ( 1) + 1 ( 3) 9= 15. Matice kvadriky (1.199) je , (1.11) a kanonická rovnice je ve tvaru 3 +6y 15 =, (1.1) tj. po vydělení +y 5=. (1.13) Jedná se o eliptickou válcovou plochu (viz obrázek 1.34), jejíž řez rovinou kolmou na osu je elipsa (1.13).

63 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 63 4 z Obrázek 1.34: Eliptická válcová plocha y Příklad 4: Vyšetřete kvadriku 8 8y 3z 1y +1z +1yz +14y 1z 3 = (1.14) Řešení: Pro diskriminant Δ kvadriky (1.14) je Δ= =. (1.15) Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna Δ= =, (1.16) Determinant A 44 je roven nule jedná se tedy o nestředovou singulární kvadriku. Charakteristická rovnice která má v rozepsaném stavu tvar 8 λ λ λ =, (1.17) λ 3 +3λ 15λ =, (1.18) má kořeny 69 λ 1 = 3 69,λ = 3, λ 3 =. (1.19) Dvě vlastní čísla λ 1 a λ jsou různá od nuly, v úvahu tedy přicházejí eliptická nebo hyperbolická válcová plocha nebo dvojice různoběžných rovin.

64 64 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Soustava rovnic pro určení středu (1.13) má v našem případě tvar 8m 6n + 5p 1 = 6m 8n + 5p +7 = 5m + 5n 3p 5 =. (1.) Jejím řešením je přímka středů o rovnici m = t, n = t, p = t. (1.1) 1 Nyní určíme, zda přímka středů (1.1) náleží kvadrice. Podle (1.134) dosadíme souřadnice přímky (1.1) do rovnice m +7n 5p 3 = (1.) a zjistíme, že pro všechny body přímky (1.1) je rovnice (1.) splněna. Tedy se jedná o přímku singulárních bodů a kvadrika je dvojicí různoběžných rovin (viz obrázek 1.35). 4 z 4 4 y Obrázek 1.35: Dvojice různoběžných rovin K tomu, abychom určili rovnice obou rovin v původní soustavě souřadnic, stačí najít jeden bod každé z obou rovin, který neleží na jejich společné průsečnici (1.1). Dosazením za =y = do rovnice (1.14) získáme rovnici 3z +1z +3=, která má řešení z 1 = 3 az = 1 3. Každý z bodů o souřadnicích [,, 3] a [,, 1 3 ] leží jedné z obou rovin. Přímka (1.1) a bod [,, 3] určují rovinu 4 +y z 3=,

65 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 65 přímka (1.1) a bod [,, 1 3 ] dávají rovnici druhé roviny 4y +3z +1=. Na závěr uveďme, že původní rovnici kvadriky (1.14) můžeme napsat ve tvaru (4 +y z 3)( 4y +3z +1)=, ze kterého můžeme roznásobením ověřit správnost našeho výpočtu. Cvičení: 1) Napište rovnici kulové plochy se středem v bodě [ 3,, 5] procházející počátkem. ) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici 3) Vyšetřete kvadriky: + y + z 1 +8y 14z 1 =. a) 7 13y +6z +4y 1z +1yz 84 +9y 4z 63 =, b) 4 +4y +1z +4y 1yz +4 +y +3z =, c) +9y +16z 6y 8z +4yz 4z =, d) +y + z +y yz 6 8y +z +1=, e) +y + z 4 +4y 1 =, f) +y y +3yz 6 +7y +6z +7=, g) 5 4y + z 8y +6z + 8y +6z 8=, h) 11 +1y +6z 1y +4z 8yz 1=, i) 9 +4y + z 1y +6z 4yz +3 y + z =, j) +y +4z y 4yz + y 4=, k) 3 y z +5y z +3yz 8 +5y 4z 3=, l) 5 +5y +5z +4z +3yz 14 13y 17z +3=, m) +y +z +y z +yz 6 +18y +4z =, n) +9y + z 6y +z 6yz +8 4y +8z +16=, o) + y +3z +1y +6z +6yz 1 y 6z +37=, p) y + z + yz 1=, q) 3 3y + z +8y 4z yz 4 +6y +z =, r) y z 34y 3 +34y +15=, s) 13 +4y +9z +1yz +5 z +1=.

66 66 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 4) Napište rovnici rotačního hyperboloidu, který vznikne otočením hyperboly a) kolem hlavní osy, b) kolem vedlejší osy. 3y 3 5) Napište rovnici rotační válcové plochy o poloměru 5, jehož osa má rovnici =1+t, y = 1 t, z =3+4t. Poznámka: Výsledky cvičení jsou uvedeny v závěru knihy

67 Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme zabývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoidy a hyperboloidy, které patří do skupiny regulárních středových kvadrik. Poté uvedeme vlastnosti paraboloidů. V další části budeme zkoumat kuželové a válcové plochy, které patří do skupiny singulárních kvadrik. Uvedeme vlastnosti, které jsou pro dané plochy charakteristické, rovněž připojíme možnosti použití uvedených ploch v prai..1 Elipsoidy Trojosý elipsoid je středová regulární kvadrika, která má rovnici Kladná čísla a, b, c jsou délky os elipsoidu, obr..1 a + y b + z =1. (.1) c Souřadnicová rovina z = protíná elipsoid (.1) v elipse o rovnici a + y =1, (.) b jak se lze snadno přesvědčit dosazením za z = do rovnice elipsoidu (.1). Vezmeme-li místo souřadnicové roviny z = rovinu s ní rovnoběžnou z = k, pro nějakou konstantu k, vidíme, že pro k >crovina elipsoid neprotíná, pro k <crovina z = k protíná elipsoid v elipse, která je podobná elipse (.). Pro k = c je průnikem jediný bod [,,c], který je bodem dotyku tečné roviny z = c. Obdobné platí pro rovinu z = c. Ostatní souřadnicové roviny y = a = protínají elipsoid po řadě v elipsách orovnicích a + z c =1 a y b + z c =1. 67

68 68 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obrázek.1: Trojosý elipsoid + y + z =1. a b c Analogický výsledek jako pro rovinu z = k dostaneme, vezmeme-li místo rovin y =a =rovinysnimirovnoběžnéy = k a = k, pro nějakou reálnou konstantu k. Vrcholy elipsoidu A, B, C, D, E, F jsou body o souřadnicích A =[a,, ], B= [,b,], C=[,,c], D=[ a,,c], E=[, b, c], F =[,, c]. Vrcholy leží v průsečících tří os elipsoidu (které v našem případě splývají s osami souřadnic, y, z) s elipsoidem. 1 z 1 1 y 1 Obrázek.: Trojosý elipsoid Speciálním případem je rotační elipsoid, jehož dvě osy mají stejnou délku. Jestliže a = b > c,potom se elipsoid nazývá zploštělý rotační elipsoid s osou

69 .1. ELIPSOIDY 69 rotace z. z y Obrázek.3: Zploštělý rotační elipsoid Jestliže a = b < c,potom se jedná o vejčitý (protáhlý) rotační elipsoid s osou Obrázek.4: Vejčitý rotační elipsoid a + y a + z c =1. rotace v ose z, obr..4.

70 7 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK z y Obrázek.5: Vejčitý rotační elipsoid Pokud a = b = c = r, potom se tato plocha nazývá kulová plocha o poloměru r. Její rovnice je + y + z = r. Kulová plocha má mnoho zajímavých vlastností a je skutečnou královnou mezi plochami. Jednou z vlastností je tzv. izoperimetrická vlastnost kulové plochy: Mezi všemi konveními plochami o daném povrchu má kulová plocha největší objem. Této vlastnosti se využívá např. při výrobě nádrží, obalů apod. Obrázek.6: Mýdlové bubliny svým tvarem potvrzují izoperimetrickou vlastnost kulové plochy (zdroj obrázku: bubbles.jpg)

71 .. HYPERBOLOIDY 71 Kvadratická plocha, jejíž rovnice je a + y b + z = 1, (.3) c se nazývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme z rovnice (.3), neobsahuje žádný reálný bod.. Hyperboloidy Hyperboloidy patří společně s elipsoidy mezi středové regulární kvadriky. Vlastní čísla jsou nenulová a mají, na rozdíl od elipsoidů, různá znaménka. Rozlišujeme dva druhy hyperboloidů jednodílný a dvojdílný. Nejprve se budeme věnovat jednodílnému hyperboloidu...1 Jednodílný hyperboloid Jednodílný hyperboloid má rovnici a + y b z =1. (.4) c Kladná čísla a, b, c jsou délky os hyperboloidu. z 5 y 5 Obrázek.7: Jednodílný hyperboloid Souřadnicová rovina = protíná hyperboloid (.4) v hyperbole y b z =1, (.5) c jak plyne dosazením = do rovnice (.4). Analogicky, rovina y = protne hyperboloid v hyperbole a z =1, (.6) c

72 7 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Vezmeme-li místo roviny = rovinu s ní rovnoběžnou = k, kde k je nějaká reálná konstanta, potom pro k <aje průnikem roviny = k a hyperboloidu (.4) hyperbola, která je podobná hyperbole (.5). Je-li k >adostaneme hyperbolu, která je podobná hyperbole z c y =1. (.7) b Pro hodnotu k = a protíná rovina = a hyperboloid (.4) v křivce o rovnici která vyjadřuje dvě různoběžky y y b + z c =, b z =, (.8) c y b z c =. Rovina = a je tečnou rovinou a bod [a,, ] je jejím bodem dotyku. Obdobně rovina = a je tečnou rovinou hyperbolidu v bodě dotyku [ a,, ]. Analogický výsledek dostaneme pro rovinu y = k, která je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou y =. Třetí souřadnicová rovina z = protne hyperboloid v elipse a + y =1. (.9) b Tato elipsa se někdy nazývá hrdlová elipsa či zkráceně hrdlo. 5 y z 5 Obrázek.8: Hrdlová elipsa (hrdlo) Roviny z = k, které jsou rovnoběžné s rovinou z =, protínají hyperboloid (.4) pro libovolné k v elipsách, které jsou podobné elipse (.9). Speciálním případem hyperboloidu (.4) je rotační jednodílný hyperboloid, pro

73 .. HYPERBOLOIDY 73 jehož délky os platí a = b. Takový hyperboloid vznikne rotací hyperboly kolem vedlejší osy. z 4 y Obrázek.9: Rotační jednodílný hyperboloid Hyperboloid, jehož rovnice je + y z = r, se nazývá rovnoosý rotační jednodílný hyperboloid. Zde jsme označili a = b = c = r. Jeho řezy rovinami, které procházejí osou rotace z, jsou rovnoosé hyperboly. z 4 y Obrázek.1: Rovnoosý rotační jednodílný hyperboloid Jednodílný hyperboloid má několik důležitých vlastností, pro které se využívá např. ve stavebnictví, strojírenství apod. Jednou z těchto vlastností je, že se jedná o přímkovou plochu, tj. o plochu, kterou lze sestavit pouze z přímek.

74 74 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obrázek.11: Chladící věže jaderné elektrárny v Temelíně - rotační jednodílné hyperboloidy Ukážeme, že jednodílný hyperboloid, jehož rovnice je a + y b z =1, (.1) c je přímková plocha. Abychom to dokázali, vyjádříme rovnici (.1) ve tvaru a z c =1 y b. (.11) Všimněte si, že ve vztahu (.11) jsou obě strany rovnice ve tvaru rozdílu čtverců a místo (.1) můžeme tedy psát ( a + z ) ( c a z ) ( = 1+ y ) ( 1 y ). (.1) c b b Uvažujme soustavu rovnic ( α a + z ) ( c β a z ) c ( = β ( = α 1+ y b 1 y b ) ), (.13) kde α, β jsou reálná čísla, která nejsou současně rovna nule. Pro pevná α, β vyjadřuje soustava (.13) přímku, neboť se jedná o průnik dvou rovin. Každé řešení (.13) vyhovuje rovnici (.1). To znamená, že každá přímka (.13), kde α, β probíhají všechna reálná čísla, (α, β) = (, ), vyhovuje kvadrice (.1). Platí věta:

75 .. HYPERBOLOIDY 75 Věta: Každým bodem X =[,y,z ] kvadriky (.4) prochází právě jedna přímka plochy daná soustavou (.13). Důkaz: KdanémuboduX =[,y,z ] plochy (.1) najdeme koeficienty α, β, kterými je určena přímka (.13) plochy, procházející bodem X. Rovnice přímky (.13) přepíšeme do tvaru ( β : α = a + z ) ( : 1+ y ) ( c b β : α = 1 y ) ( : b a z ), (.14) c přičemž zároveň platí ( a + z ) ( : 1+ y ) ( = 1 y ) ( : c b b a z ). (.15) c Ze vztahů (.14), vzhledem k rovnosti (.15), vidíme, že hodnota poměru β : α je dána např. první rovnicí v (.14). Jestliže současně a + z c =a1+ y b =, tj. není-li poměr β : α definován, potom hodnotu β : α určíme z druhé rovnice v (.14). Pokud totiž 1 + y b =, potom je vždy 1 y b. Ukázali jsme, že bodem [,y,z ] kvadriky (.4) prochází právě jedna přímka plochy daná soustavou (.13). Snadno se ukáže, že se žádné dvě přímky soustavy (.13) neprotínají. Pokud by se přímky protínaly v bodě Y, potom by bodem Y, který je bodem plochy, protože obě přímky na ploše leží, procházely dvě přímky soustavy (.13), a to je spor s předchozí větou. Obdobně se ukáže, že žádné dvě přímky soustavy (.13) nejsou rovnoběžné. Všechny přímky soustavy (.13) jsou tedy navzájem mimoběžné. Množinu všech přímek soustavy (.13) nazveme 1. regulus. Analogicky dostaneme z vyjádření (.1) soustavu α ( a + z ) = β ( 1 y c b ) β ( a z ) = α ( 1+ y ), (.16) c b kde α,β probíhají všechna reálná čísla, s výjimkou případu (α,β ) = (, ). Pro pevná α,β představují rovnice (.16) přímku. Každé řešení soustavy (.16) vyhovuje rovnici kvadriky (.1). Platí věta analogická předchozí větě: Věta: Každým bodem X =[,y,z ] kvadriky (.1) prochází právě jedna přímka soustavy (.16). Množinu všech přímek soustavy (.16) nazveme. regulus. Výsledky obou předchozích vět můžeme shrnout do následující věty: Věta: Na kvadrice (.1) eistují dva reguly přímek dané soustavami (.13), (.16). Každým bodem kvadriky (.1) prochází právě jedna přímka 1. regulu

76 76 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK aprávějednapřímka. regulu. Ještě ukážeme následující vlastnost přímek z různých regulů: Věta: Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu. Důkaz: Libovolnou přímku 1. resp.. regulu můžeme zadat, položíme-li β : α = u resp. β : α = v, kde u, v jsou nějaká reálná čísla. Podle (.13) a (.16) potom platí ( u 1+ y ) = b a + z ( c u a z ) = 1 y ( c b v 1 y ) = b a + z (.17) ( c v a z ) = 1+ y c b. Snadno se přesvědčíme, že soustava (.17), která se skládá ze čtyř rovnic o třech neznámých, y, z, má jediné řešení = a uv +1 u + v, y = b v u u + v, z = c uv 1 u + v (.18) a přímky se protínají v jednom bodě. Jestliže u = v v (.18), potom jsou přímky (.13), (.16) rovnoběžné (a mají společný jediný nevlastní bod). To nahlédneme takto: Přímka daná prvními dvěma rovnicemi soustavy (.17) má směr u, který je kolmý na normálové vektory obor rovin, tj.: u = ( 1 a, u b, 1 ) c ( u a, 1 b, u ) = c ( u 1 bc, u ac, u +1 ). (.19) ab Analogicky, druhá přímka, která je dána třetí a čtvrtou rovnicí v (.17), má směr v, pro který platí: v = ( 1 a, v b, 1 ) ( v c a, 1 b, v ) = c ( v +1 bc, v ac, v 1 ). (.) ab Z (.19) a (.) vidíme, že pro v = u jsou směry u a v rovnoběžné. Příklad: Ukažte, že rotací přímky kolem osy, která je s přímkou mimoběžná, vznikne rotační jednodílný hyperboloid. Řešení: Osu rotace zvolme v ose z. Přímka p, která bude rotovat okolo osy z, nechť má rovnici p : X = P + tu. (.1)

77 .. HYPERBOLOIDY 77 Bez újmy na obecnosti můžeme volit P =[,a,], kde a =, u =(u,,w), kde u =, w =. Přímku (.1) vyjádříme ve tvaru = + t u y = a + t z = + t w. (.) Pevně zvolenému parametru t je přiřazen jediný bod X = [, y, z], daný z 4 4 z 4 4 y 4 4 y Obrázek.1: Přímka Obrázek.13: Rotace přímky kolem osy z rovnicemi (.). Při tomto pevně zvoleném t se při rotaci přímky p kolem osy z, pohybujebodx po kružnici, která leží v rovině rovnoběžné se souřadnicovou rovinou z =, kterámárovnici + y = t u + a, (.3) jak plyne z prvních dvou rovnic v (.). Ze třetí rovnice v (.) vyjádříme parametr t, pro který t = z w a dosadíme jej do vztahu (.3). Dostaneme což po úpravě dává + y = z w u + a, (.4) a + y a z =1, (.5) c kde jsme označili c = wa/u. Rovnice (.5) je rovnicí rotačního jednodílného hyperboloidu s délkami os a, a, c.

78 78 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obrázek.14: Výsledný rotační jednodílný hyperboloid (kód řešení v Maple viz str. 111) 4.. Dvojdílný hyperboloid Dvojdílný hyperboloid má rovnici a + y b z = 1, (.6) c kde kladná čísla a, b, c jsou délky os hyperboloidu, obr z y 5 Obrázek.15: Dvojdílný hyperboloid Kanonická rovnice (.6) dvojdílného hyperboloidu se liší od rovnice (.4) jednodílného hyperboloidu pouze znaménkem konstanty na prvé straně rovnice. Z rovnice (.6) můžeme vidět, že souřadnicová rovina z = hyperboloid

79 .. HYPERBOLOIDY 79 neprotíná. Průnikem je totiž křivka o rovnici a + y b = 1, které nevyhovuje žádný reálný bod. Pokud místo roviny z = vezmeme rovinu s ní rovnoběžnou z = k, potom pro k >cdostaneme elipsu, která je podobná elipse a + y =1. (.7) b 5 5 y 5 z 5 Obrázek.16: Dvojdílný hyperboloid (.6) - pohled ve směru osy z Pro k <crovina z = k kvadriku neprotíná, pro k = c nebo k = c dostaneme vrcholy kvadriky [,,c]nebo[,, c]. Rovina = k protíná hyperboloid v hyperbole, která je podobná hyperbole y b + z =1. (.8) c Obdobně rovina y = k protíná hyperboloid (.6) pro každou hodnotu k v hyperbole, která je podobná hyperbole b + z =1. (.9) c Z našich úvah plyne, že dvojdílný hyperboloid (.6) se skládá ze dvou částí, které odděluje např. rovina z =. Speciálním případem je rotační dvojdílný hyperboloid, prokterýa = b. Jeho rovnice je a + y a z = 1. (.3) c

80 8 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK 5 z y 5 5 Obrázek.17: Rotační dvojdílný hyperboloid Rotační dvojdílný hyperboloid dostaneme rotací hyperboly kolem hlavní osy. Položíme-li a = b = c = r potom rovnice + y z = r vyjadřuje rovnoosý rotační dvojdílný hyperboloid. Poznámka: Dvojdílný hyperboloid není na rozdíl od jednodílného hyperboloidu přímková plocha. Z tohoto důvodu by se mohlo zdát, že využití dvojdílného hyperboloidu v prai není tak časté. Opak je však pravdou. Rotační dvojdílný hyperboloid hraje zásadní úlohu při použití GPS (Global Positioning System) systému, pomocí kterého dovedeme zjistit naši přesnou polohu na Zemi [3]. Jedná se o zobecnění zvukoměřičské úlohy v rovině, při níž využíváme vlastnosti hyperboly, viz [4]. Princip GPS je následující, obr..18: Ve čtyřech různých místech A, B, C, D v prostoru byl zaznamenán signál po řadě v časech t 1,t,t 3,t 4. Určete místo zdroje signálu. Předpokládejme, že platí t 1 t t 3 t 4. VmístěA byl signál zaznamenán nejdříve, v místě B se zpožděním t t 1 sekund vůči místu A. Označíme-li v rychlost šíření signálu, je zdroj signálu X o(t t 1 ) v metrů dál od místa B než od místa A. Pro rozdíl vzdáleností XB XA platí XB XA =(t t 1 )v a zdroj signálu X tedy leží na dvojdílném rotačním hyperboloidu, jehož ohniska jsou v bodech A, B a vzdálenost jeho vrcholů je rovna (t t 1 )v. Uvažujeme pouze ten díl hyperboloidu, který je blíže bodu A. Obdobně zjistíme polohu zdroje signálu X vzhledem k bodům B,C. Pro vzdálenosti XB, XC platí XC XB =(t 3 t )v abodx leží na dvojdílném

81 .. HYPERBOLOIDY 81 Obrázek.18: rotačním hyperboloidu, jehož ohniska jsou v bodech B,C a vzdálenost jeho vrcholů je rovna (t 3 t )v. Uvažujeme pouze ten díl hyperboloidu, který je blíže bodu B. Analogicky, množina bodů X, jejichž rozdíl vzdáleností od bodů C, D je roven XC XD =(t 4 t 3 )v, je dvojdílný rotační hyperboloid, jehož ohniska jsou vbodechc, D a vzdálenost jeho vrcholů je rovna (t 4 t 3 )v. Uvažujeme pouze ten díl hyperboloidu, který je blíže bodu C. Zdroj signálu X tedy musí ležet v průniku tří shora zmíněných hyperboloidů. Uvážíme-li, že dva hyperboloidy se protínají v prostorové křivce, potom průnik tří hyperboloidů je roven průniku prostorové křivky s hyperboloidem. Je zřejmé, že výpočet celé procedury je velmi složitý, a není prakticky proveditelný bez použití počítače. Obrázek.19: Ilustrace principu GPS - určení polohy jako společného bodu tří hyperboloidů

82 8 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK.3 Paraboloidy Paraboloidy jsou regulární kvadriky, jejichž charakteristická rovnice má jedno nulové a dvě nenulová řešení. Mají-li obě nenulová řešení stejná znaménka, jedná se o eliptický paraboloid, jsou-li znaménka různá, hovoříme o hyperbolickém paraboloidu..3.1 Eliptický paraboloid Eliptický paraboloid je kvadrika, která má v nějaké kartézské soustavě souřadnic rovnici a + y =z. (.31) b Kladná čísla a, b jsou délky os eliptického paraboloidu. z y 5 5 Obrázek.: Eliptický paraboloid (.31) Rovina = protíná kvadriku (.31) v parabole y =b z, (.3) jak zjistíme přímým dosazením = do (.31). Pro libovolné k protíná rovina = k kvadriku (.31) v parabole která je shodná s parabolou (.3). y =b z b k a,

83 .3. PARABOLOIDY 83 5 z 5 5 Obrázek.1: Eliptický paraboloid (.31) - pohled ve směru osy Analogicky, souřadnicová rovina y = protíná paraboloid v parabole y =a z. (.33) Rovina y = k, kde k je nějaké reálné číslo, která je rovnoběžná s rovinou y =, protíná paraboloid v parabole shodná s parabolou (.33). Můžeme říci, že roviny rovnoběžné s hlavní rovinou y = protínají paraboloid ve shodných parabolách, jejichž osy leží v hlavní rovině =. z 5 y 5 5 Obrázek.: Eliptický paraboloid (.31) - pohled ve směru osy y Konečně souřadnicová rovina z = protíná kvadriku (.31) v jediném bodě [, ] ve vrcholu paraboloidu. Pro k> protíná rovina z = k paraboloid v elipse a + y b =k,

84 84 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK je-li k<, rovina z = k paraboloid neprotíná. Jestliže a = b v rovnici (.31) eliptického paraboloidu, potom kvadriku nazýváme rotační paraboloid. Rotační paraboloid se v prai používá k různým účelům jako parabolické zrcadlo, pomocí kterého: a) paprsky různých směrů vycházející z určitého zdroje, dovedeme usměrnit do jediného směru, či naopak, b) rovnoběžné paprsky umíme soustředit do jediného bodu. Parabolické zrcadlo se podle a) využívá v reflektorech a svítilnách, ve vysílačích apod. Všude, kde je zapotřebí paprsky různých směrů soustředit do jediného směru. Obrázek.3: Tradiční ceremoniál zažehnutí olympijské pochodně pomocí slunečních paprsků soustředěných parabolickým zrcadlem. Řecká Olympie, rok 4 ( Vlastnosti rotačního paraboloidu podle b) využíváme při konstrukci parabolických antén pro příjem televizního nebo rádiového signálu, při konstrukci slunečních elektráren aj. Všude, kde je nutné soustředit svazek rovnoběžných paprsků (např. sluneční záření) do jediného bodu. Říká se, že Archimédes chtěl pomocí soustavy zrcadel umístěných ve tvaru paraboloidu zapálit nepřátelské lodě.

85 .3. PARABOLOIDY 85 Obrázek.4: Nejrozsířenější satelitní anténa, tzv. offsetová parabola. Jedná se o výřez z plochy rotačního paraboloidu tak, aby přijímač v ohnisku (LNB konvertor) stál co nejméně v cestě dopadajícího signálu ( Hyperbolický paraboloid Hyperbolický paraboloid je kvadrika, jejíž rovnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic je a y =z. (.34) b Kladná čísla a, b jsou délky os hyperbolického paraboloidu. 1 5 z y 5 5 Obrázek.5: Hyperbolický paraboloid (.34) Souřadnicová rovina = protíná hyperbolický paraboloid (.34) v parabole y =b z. (.35)

86 86 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Rovina = k protíná kvadriku (.34) v parabole, která je shodná s parabolou (.35). Souřadnicová rovina y = protíná kvadriku v parabole =a z. (.36) Všimněte si, že parabola (.36) je opačně orientovaná než parabola (.35). Rovina y = k protíná pro libovolné k paraboloid v parabole, která je shodná s parabolou (.36). Z našich úvah plyne možnost vytvoření plochy (.34) ze systému shodných parabol ležících v rovinách rovnoběžných s hlavní rovinou =, které mají vrchol na parabole, která leží v hlavní rovině y =. Třetí souřadnicová rovina z = protíná paraboloid ve dvojici různoběžek a y ( b = a + y ) ( b a y ) =. (.37) b Rovina z = je tečnou rovinou kvadriky (.34) v bodě dotyku [, ] vrcholu plochy. Tento bod také nazýváme sedlovým bodem plochy (.34). 1 Rovina z = k protíná plochu v hyperbole a y =k (.38) b z y 5 Obrázek.6: Hyperbolický paraboloid (.34) - pohled ve směru osy z Opět si všimněme, že pro k > jsou hyperboly opačně orientované oproti hyperbolám, které dostaneme pro k<. Hyperbolický paraboloid je plocha, která je v prai velmi hojně používána. 1 Tvar plochy v okolí bodu [, ] připomíná koňské sedlo.

87 .3. PARABOLOIDY 87 Jednou z příčin proč tomu tak je, je skutečnost, že se jedná o přímkovou plochu. To nyní dokážeme: Rovnici a y =z. (.39) b přepíšeme do ekvivalentního tvaru ( a + y ) ( b a y ) = z. (.4) b Uvažujme soustavu dvou rovnic s reálnými parametry α, β ( α a + y ) = βz ( b β a y ) = α, (.41) b kde α, β nejsou současně rovna nule. Pro každou dvojici α, β je řešením soustavy (.41) přímka, neboť se jedná o průnik dvou rovin. Každé řešení soustavy (.41) vyhovuje (vynásobíme-li spolu levé strany rovnic a pravé strany rovnic) rovnici (.34). To znamená, že pro každé α, β přímka (.41) leží na hyperbolickém paraboloidu. Platí věta: Věta: Každým bodem X = [,y,z ] plochy (.34) prochází právě jedna přímka soustavy (.41). Důkaz: Pro daný bod X = [,y,z ] potřebujeme nalézt hodnoty α, β, kterými je hledaná přímka určena. V bodě [,y,z ] plochy platí: ( β : α = a + y ) : z ( b β : α = : a y ). (.4) b aprotožex náleží ploše (.34), je splněna rovnice ( a + y ) ( : z =: b a y ). (.43) b Odtud vidíme, díky (.43), že stačí určit hodnotu podílu β : α např. z druhé rovnice v (.4). Důkaz je proveden. Definice: Množina všech přímek, které vyhovují soustavě (.41) pro všechna α, β, která nejsou současně rovna nule, se nazývá 1. regulus plochy (.34). Každé dvě přímky 1. regulu jsou mimoběžné. Pokud by se totiž protínaly v nějakém bodě X, potom by bodem X, který leží na ploše, procházely dvě přímky 1. regulu, a to je spor s předcházející větou. Na hyperbolickém paraboloidu eistuje ještě jeden regulus přímek. Záměnou

88 88 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK členů v (.41) získáme následující soustavu α ( a + y ) = β b β ( a y ) = αz, (.44) b kde α,β jsou libovolná reálná čísla, která nejsou současně rovna nule. Množina všech přímek, které jsou řešením soustavy (.44) leží na kvadrice (.34) a tvoří tak. regulus přímek plochy. Obdobně se ukáže, že každým bodem plochy (.34) prochází jediná přímka. regulu. Všechny přímky. regulu jsou navzájem mimoběžné. Výsledky shrneme do následující věty: Věta: Na kvadrice (.34) eistují dva reguly přímek dané soustavami (.41), (.44). Každým bodem kvadriky (.34) prochází právě jedna přímka 1. regulu aprávějednapřímka. regulu. Přímky z různých regulů hyperbolického paraboloidu se vzájemně protínají. Platí věta: Věta: Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu. Důkaz: Uvažujme libovolnou přímku 1. regulu, která odpovídá hodnotě u = β/α v soustavě (.41) a libovolnou přímku. regulu, která odpovídá hodnotě v = β /α v soustavě (.44). Dostaneme soustavu čtyř rovnic uz = a + y ( b u a y ) =, b v = a + y ( b v a y ) = z b (.45) o třech neznámých, y, z, která má jediné řešení = a v +1 u, y = b v 1 u, z = v u. Věta je dokázána. Ještě ukážeme, že všechny přímky jednoho regulu jsou rovnoběžné s rovinou. Libovolná přímka, která je řešením soustavy (.41), kterou můžeme přepsat do tvaru uz = a + y ( b u a y ) =, (.46) b

89 .3. PARABOLOIDY 89 kde u = β/α, má směrový vektor ( 1 a, 1 ) ( u b, u a, u ) b, = kterýurčujestejnýsměrjakovektor ( u b, u a, u ), ab ( a, b, ). (.47) u Z vyjádření (.47) vidíme, že směrový vektor každé přímky 1. regulu má prvé dvě souřadnice konstantní a je tedy rovnoběžný s např. s rovinou b ay =. (.48) Analogicky, přímky. regulu jsou rovnoběžné s rovinou Výsledek můžeme zformulovat do následující věty: b + ay =. (.49) Věta: Všechny přímky 1. regulu jsou rovnoběžné s rovinou (.48), všechny přímky. regulu jsou rovnoběžné s rovinou (.49). Uvedených vlastností soustav přímek hyperbolického paraboloidu se využívá ve stavebnictví. Z hlediska stavbně technické prae se přímková plocha jeví jako vhodná plocha pro různé konstrukce. Často se hyperbolický paraboloid používá k zastřešení prostoru ve tvaru prostorového čtyřúhelníku, který vzniká při zástavbě proluk mezi domy. Obrázek.7: Detail hyperbolických paraboloidů užitých jako prvky zastřešení na autobusovém nádraží v Českých Budějovicích (pořízeno s laskavým svolením správy Mercury centra)

90 9 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Ukážeme si, jakým způsobem se zastřešení provádí. Příklad: V daném prostorovém čtyřúhelníku ABCD, který leží na hyperbolického paraboloidu sestrojte přímky 1. a. regulu, obr..8,.9. Řešení: Především je zapotřebí si uvědomit, že čtyřmi přímkami AB, BC, CD, DA, v prostoru je zadán hyperbolický paraboloid. Dva páry mimoběž- Obrázek.8: Konstrukce hyperbolického paraboloidu nad prostorovým čtyřúhelníkem ABCD ných přímek AB, CD a BC,AD se navzájem protínají v bodech A, B, C, D a vytváří tak základ 1. a. regulu hyperbolického paraboloidu. K tomu, abychom nalezli další přímku 1. regulu, který je určen mimoběžkami AB, CD, si uvědomíme, že tato přímka musí protínat všechny přímky. regulu, to znamená i mimoběžky BC,AD a zároveň musí být rovnoběžná s rovinou, se kterou jsou rovnoběžné přímky AB, CD. Protože každým bodem hyperbolického paraboloidu procházejí právě dvě přímky, lze daným bodem X přímky AD vést jedinou přímku, která má shora uvedené vlastností. Obvykle postupujeme tak, že spojíme středy úseček BC,AD. Tato spojnice náleží do 1. regulu, neboť protíná přímky BC a AD a je rovnoběžná s rovinou, se kterou jsou rovnoběžné přímky AB, CD. To nahlédneme z této úvahy. Označíme-li S 1,S po řadě středy úseček BC,AD, potom S 1 = 1 (B + C), S = 1 (A + D) a odtud S 1 S = 1 (B A)+1 (C D). (.5) Směrový vektor S 1 S přímky S 1 S je podle (.5) lineární kombinací vektorů B A, a C D. Tedy přímka S 1 S je rovnoběžná s rovinou, jejíž zaměření je generováno vektory B A, C D. Obdobně přímka T 1 T, kde T 1,T jsou středy úseček AB, CD, je přímkou.

91 .3. PARABOLOIDY 91 Obrázek.9: Hyperbolický paraboloid nad prostorovým čtyřúhelníkem ABCD regulu hyperbolického paraboloidu. Dále postupujeme stejným způsobem. Další přímka 1. regulu je spojnice středů úseček BS 1 a AS atd. Rozdělením stran AB, CD na n shodných dílů dostaneme spojením příslušných dělících bodů n 1 příček. Obrázek.3: Hyperbolický paraboloid v Maple (kód řešení viz str. 113) Obrázek.31: Zastřešení budovy hyperbolickým paraboloidem - kampus Claude Bernard University Lyon

92 9 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK.4 Válcová plocha Válcová plocha patří mezi nestředové singulární kvadriky, jejichž matice má hodnost tři. Jedná se o přímkovou plochu. Vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic získáme rovnici a + y b = 1, (.51) která je rovnicí eliptické válcové plochy. z y Obrázek.3: Eliptická válcová plocha Válcovou plochu (.51) můžeme vytvořit z přímek rovnoběžných s osou z, které procházejí elipsou, danou stejnou rovnicí (.51). Rovina z = k, k R protíná válcovou plochu v elipsách shodných s elipsou (.51). Rovina = k pro k <aprotíná válcovou plochu ve dvojici rovnoběžek, pro rovinu = k dostaneme dvojnásobnou přímku, podél které se rovina dotýká válcové plochy. Je-li k >a,potom rovina = k, jak můžeme nahlédnout z rovnice (.51), plochu neprotíná. Analogický výsledek dostaneme pro roviny y = k. Jestliže a = b (.51), jedná se rotační válcovou plochu, kterou získáme rotací přímky rovnoběžné s osou rotace z.

93 .4. VÁLCOVÁ PLOCHA 93 z y Obrázek.33: Rotační válcová plocha Mezi eliptické válcové plochy patří i plocha y + = 1, a b (.5) která je rovnicí imaginární eliptické válcové plochy. Tato plocha neobsahuje žádný reálný bod. Rovnice y = 1 a b (.53) je rovnicí hyperbolické válcové plochy. 1 5 z 5 5 y Obrázek.34: Hyperbolická válcová plocha

94 94 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Hyperbolickou válcovou plochu můžeme dostat jako množinu všech přímek rovnoběžných s osou z, které procházejí hyperbolou, která má stejnou rovnici jako (.53). Rovina z = k, k R protíná válcovou plochu (.53) v hyperbole, která je shodná s (.53). Rovina = k pro k >aprotíná válcovou plochu (.53) ve dvojici rovnoběžek. Je-li k = a nebo k = a potom se rovina = k válcové plochy (.53) dotýká podél přímky a je tak tečnou rovinou válcové plochy. Jestliže k <a, potom rovina = k plochu neprotíná. Analogický výsledek obdržíme pro řezy rovinami y = k. Válcová plocha, jejíž rovnice ve vhodně zvolené kartézské soustavě souřadnic je kde k =, se nazývá parabolická válcová plocha. =kz, (.54) a 1 5 z 5 5 y Obrázek.35: Parabolická válcová plocha Parabolická válcová plocha (.54) se skládá z přímek, které procházejí parabolou o rovnici (.54), které jsou rovnoběžné s osou z. Rovina y = m, m R protíná válcovou plochu (.54) v parabole, která je shodná s parabolou (.54). Rovina = m protíná válcovou plochu (.54) v přímce, která je rovnoběžná s osou y. Rovina z = m protíná plochu (.54) v případě, že m k>vedvojicirovnoběžek. Jestliže m =, potom se rovina z = dotýká válcové plochy podél osy y = a je její tečnou rovinou. Je-li že m k<, potom rovina z = m plochu (.54) neprotíná.

95 .5. KUŽELOVÁ PLOCHA 95 Válcová plocha, zvláště rotační, má široké použití v prai ve stavebnictví, v dopravě, v průmyslu apod..5 Kuželová plocha Kuželová plocha je středová singulární kvadrika, pro kterou platí a 44 =. Kvadrika, která má ve vhodně zvolené kartézské soustavě souřadnic rovnici a + y b z c = (.55) se nazývá kuželová plocha. Bod V =[,, ] je vrchol kuželové plochy. 4 Obrázek.36: Kuželová plocha 4 Rovina z = k, protíná pro k = kuželovou plochu (.55) v elipse, která je podobná elipse a + y =1. (.56) b Rovina z = protne plochu (.55) v jediném bodě ve vrcholu V =[,, ] kuželové plochy. Rovina = k protíná kuželovou plochu pro libovolné k = vhyperbole,která je podobná hyperbole y b + z =1. (.57) c Průnik roviny = a kuželové plochy (.55) je dvojice různoběžek y b z ( y c = b + z )( y c b z ) =. (.58) c Obdobná situace nastane pro řezy rovinami y = k. Jestliže a = b, potom se kvadrika (.55) nazývá rotační kuželová plocha. Rotační kuželovou plochu dostaneme rotací přímky, která je různoběžná s osou

96 96 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK rotace z. Ukažme to Obrázek.37: Rotační kuželová plocha Příklad: Ukažte, že rotací přímky, která je různoběžná s osu rotace dostaneme rotační kuželovou plochu. Řešení: Osu z umístíme do osy rotace. Předpokládejme, že přímka p prochází počátkem V =[,, ] a její směrový vektor je u =(u,,w), kde u =,w =. Potom můžeme psát p : X(t) =[ut,,wt] nebo v rozepsaném tvaru: p : = u t y = t (.59) z = w t. Bod X(t) =[ut,,wt] při rotaci přímky p kolem osy z opisuje kružnici o rovnici Dosazením za t do rovnice (.6) z (.59) dostaneme + y = u t. (.6) + y u w z = u + y u z w =, což je rovnice hledané kuželové plochy. Porovnáním s (.55) dostaneme geometrický význam parametrů a, b, c, kdy vychází a = b = u, c = w. Poznámka: 1) Ukázali jsme, že roviny, které jsou rovnoběžné se souřadnicovými rovinami protínají kuželovou plochu v elipse nebo hyperbole, či v jejich singulárních analogiích v bodě nebo ve dvojici různoběžek. Pokud se rovina řezu dotýká kuželové plochy podél povrchové přímky (a je

97 .5. KUŽELOVÁ PLOCHA 97 tedy její tečnou rovinou), potom je průnikem této roviny a kvadriky (dvojnásobná) přímka. Vezmeme-li rovinu, která je s tečnou rovinou rovnoběžná, potom je řezem parabola, viz [4]. Rovinným řezem kuželové plochy (.55) jsou tedy téměř všechny kuželosečky včetně kuželoseček singulárních. Které chybějí? ) Válcovou plochu můžeme, pokud připustíme eistenci nevlastních bodů, také považovat za kuželovou plochu. Sice za kuželovou plochu s vrcholem v nevlastním bodě, který je dán směrem povrchových přímek válcové plochy. 3) Kuželovou plochu můžeme také definovat jako množinu všech přímek, které procházejí kuželosečkou a daným bodem vrcholem, který neleží v rovině kuželosečky. Tuto vlastnost můžeme nahlédnout z této úvahy: Obsahuje-li kuželová plocha (.55) bod X =[,y,z ], potom obsahuje i spojnici bodu X svrcholemv =[,, ]. Tedy přímka X(t) =[ t, y t, z t], t R, leží na kuželové ploše, neboť rovnice (.55) je splněna pro každé t, jak se můžeme přesvědčit přímým dosazením. Obrázek.38: Rotační kuželová plocha na zastřešení věže sídla Krajského soudu v Českých Budějovicích Příklad: Napište rovnici kuželové plochy s vrcholem v bodě V =[3,, ], jejíž tvořící přímky svírají s osou úhel ϕ =3. Řešení: Ze zadání plyne, že se jedná o rotační kuželovou plochu s osou rotace vose, jejíž kanonická rovnice je a + y b + z =. (.61) b

98 98 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Protože vrchol má souřadnice V =[3,, ], potom má rovnice hledané kuželové plochy tvar ( 3) a + y b + z =. (.6) b Vynásobením rovnice (.6) výrazem b dostaneme rovnici k( 3) + y + z =, (.63) kde jsme označili k = b /a. Získáme tak rovnici o jediné neznámé k. Její hodnotu zjistíme dosazením nějakého bodu kuželové plochy (který je různý od vrcholu) do rovnice (.63). Protože povrchové přímky kuželové plochy svírají s osou úhel ϕ = 3, potom pro bod Z =[,,m], který leží v průsečíku plochy (.63) a osy z, platí, obr..39, tan 3 = m/3 a odtud m = 3. Obrázek.39: Souřadnice bodu Z = [,, 3] dosadíme do (.63) a dostaneme hodnotu k =1/3. Hledaná rovnice kuželové plochy je ( 3) 3y 3z =.

99 .5. KUŽELOVÁ PLOCHA Obrázek.4: Rotační kuželová plocha v Maple (kód řešení viz str. 114) Rovněž kuželová plocha má široké uplatnění jak v praktickém, tak teoretickém užití.

100 1 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK

101 Kapitola 3 Užití Maple při řešení kvadrik 3.1 Základy práce s programem Maple Počítačový algebraický systém Maple TM je produktem kanadské společnosti Maplesoft, Waterloo Maple Inc. Jedná se o špičkový produkt v kategorii programů CAS (Computer Algebra System), který je téměř každý rok aktualizován. V době vydání této knihy byla na trh uvedena verze Maple 14. Uživatel má k dispozici několik typů rozhraní pro komunikaci s programem a pro využívání jeho výpočetních prostředků. Dva základní módy práce s programem nabízejí uživatelská prostředí Standard worksheet a Classic worksheet. První z nich, Standard worksheet (generuje soubory s příponou mw), představuje plně grafické uživatelské rozhraní, v jehož pojetí se promítají nejnovější trendy ve vývoji komunikačních rozhraní mezi uživatelem a počítačovým programem. Konkrétně se jedná o snahu zprostředkovat uživateli možnost intuitivního ovládání programu, bez nutnosti znát synta jeho příkazů. Konzervativním protipólem tohoto grafického uživatelského rozhraní je prostředí Classic worksheet (generuje soubory s příponou mws). To zachovává design charakteristický pro Maple již od jeho verze 5, zároveň však plně využívá nejnovější výpočetní jádro systému spolu se všemi jeho funkcemi. Zřejmou výhodou prostředí Classic worksheet jsou nižší nároky na velikost paměti počítače a rychlost jeho procesoru. Pro běžného uživatele, který nemá důvod pro investování do každoročního upgrade, je ještě významnějším plusem tohoto prostředí nadčasovost jeho vzhledu, stejně jako způsobu práce. Příklady v něm vytvořené jsou tak ve většině případů přenositelné mezi různými verzemi programu. Z tohoto důvodu jsou všechny řešené příklady i ukázky řešení dílčích problémů v této knize realizovány v prostředí Classic worksheet Maple 13. Příslušné kódy, uložené v souborech mws, jsou k dispozici na CD spolu s touto knihou. Zevrubné informace o programu Maple, příklady jeho použití, instruktážní videa apod, stejně jako popisy dalších produktů firmy Maplesoft, najde zájemce na webové stránce 11

102 1 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 1. Zadávání příkazů Na jednom řádku může být uvedeno více příkazů, každý z nich však musí být ukončen středníkem (;) nebo dvojtečkou (:) a řádek potvrzen klávesou Enter (bez ohledu na to, kde je v něm kurzor). Například a 3 sečteme příkazem +3;. Příkaz ukončený středníkem se vykoná a jeho výsledek se zobrazí na následujícím řádku, příkaz ukončený dvojtečkou se rovněž vykoná, výsledek se však nezobrazí. Nový výpočet s proměnnými je vhodné zahájit příkazem restart;, který vymaže hodnoty všech proměnných. Vyhneme se tak případným komplikacím se starými hodnotami při opakování výpočtu. Pokud potřebujeme vymazat obsah konkrétní proměnné, například proměnné a, použijeme příkaz a:= a ;. Nápovědu ke konkrétnímu příkazu Maple vyvoláme zadáním příkazu ve tvaru?jméno (zde nemusíme ukončit středníkem, stačí Enter). Například, zadáním?plot získáme kompletní nápovědu k příkazu plot i s odkazy na příbuzná témata. Velkým zdrojem informací a inspirace jsou příklady konkrétního použití, které jsou součástí nápovědy ke každému příkazu. Příklady je možno pomocí Ctrl+C, Ctrl+V kopírovat do pracovního okna programu Maple, tam je vyzkoušet a následně třeba modifikovat pro potřeby našich výpočtů.. Přibližná hodnota výrazu Maple pracuje v symbolickém režimu. Pokud potřebujeme přibližné vyjádření hodnoty nějakého výrazu desetinným rozvojem, můžeme použít příkaz evalf(výraz, počet cifer);. Například po zadání evalf(pi,); dostaneme hodnotu π na 19 desetinných míst. Parametr počet cifer je nepovinný. Vyzkoušejte evalf(sqrt());. 3. Balíčky příkazů Velká část příkazů programu Maple je uložena v tzv. balíčcích (packages). Například příkazy pro počítání s vektory a maticemi jsou uloženy v balíčcích linalg a LinearAlgebra. Při zobrazování křivek a ploch pak využíváme příkazy z balíčků plots a plottools. Jsou dvě možnosti, jak se k takovým příkazům dostat. 1) Načíst do paměti celý balíček příkazem with. Například balíček linalg načteme příkazem with(linalg);. Ukončíme-li příkaz středníkem, je vypsán seznam všech příkazů z balíčku. Pokud o takový přehled nestojíme, ukončíme příkaz dvojtečkou. ) Aniž bychom balíček otvírali, můžeme konkrétní příkaz v něm obsažený zavolat příkazem ve tvaru jméno balíčku[jméno funkce](parametry funkce);. Viz například volání příkazu linalg[genmatri], které je uvedeno v partii věnované řešení soustav rovnic na straně 15.

103 3.1. ZÁKLADY PRÁCE S PROGRAMEM MAPLE Funkce jedné proměnné Definice funkce. Chceme-li definovat například funkci f : y = 4, máme možnost využít těchto dvou příkazů: > f:=->^-4*; nebo f:=unapply(^-4*,); Základním příkazem pro zobrazení grafu funkce je příkaz plot(f(),);. Podobu grafu můžeme ovlivnit jeho doplněním o další parametry a volby. Například graf s definovaným rozsahem os zobrazíme příkazem > plot(f(),=-5..5,y=-4..4); Všechny volby (options), kterými můžeme modifikovat výsledek příkazu plot, zobrazíme zadáním?plot,options. U nespojitých funkcí například oceníme volbu discont=true. Porovnejtepříkazy: > plot(tan(),=-*pi..*pi,y=-4..4); > plot(tan(),=-*pi..*pi,y=-4..4,discont=true); Derivace funkce. První, respektive n-tá derivace funkce (výrazu) f() se vypočítá zadáním příkazu > diff(f(),); resp. diff(f(),$n); Chceme-li s derivací dále pracovat jako s funkcí, je vhodné zadat ji pomocí operátoru D. První, respektive n-tá derivace jako funkce proměnné se potom vyjádří příkazem > D(f)(); resp. (D@@n)(f)(); Neurčitý a určitý integrál. Neurčitý, resp. určitý (s mezemi, 4) integrál funkce (výrazu) f() vypočítáme příkazem > int(f(),); resp. int(f(),=..4); Vyzkoušejte příkaz pro výpočet objemu tělesa vzniklého rotací grafu funkce f() kolem osy na intervalu, 5 (zobrazení tohoto rotačního tělesa je popsáno ne straně 18): > Int(Pi*f()^,=..5)=int(Pi*f()^,=..5); Limita funkce. Výpočet limity ve vlastním a nevlastním bodě, stejně jako výpočet jednostranné limity funkce f() ilustrují následující příklady: > limit(f(),=4); limit(f(),=infinity); > limit(f(),=4,right); > limit(f(),=4,left); 5. Funkce více proměnných Definice funkce. Opět máme dvě možnosti, jak definovat funkci, např. g : z = sin y: > g:=(,y)->^*sin(y); nebo g:=unapply(^*sin(y),,y); Graf funkce zobrazíme příkazem: plot3d(g(,y),=-5..5,y=-5..5); Pro zobrazení plochy dané rovnicí F (, y, z) =, například y z =, použijeme příkaz implicitplot3d z balíčku plots: > plots[implicitplot3d](^-y^-z=,=-5..5,y=-5..5,z=-5..5); Zobrazená plocha není příliš hladká. Vyzkoušejte přidat do výše uvedeného příkazu implicitplot3d jako nepovinný parametr volbu grid=[3,3,3].

104 14 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK Více informací o možnostech ovlivnit podobu grafu získáme zadáním?plot3d,options. Derivace funkce. Parciální derivace funkce g(, y) podle, respektive podle y, se určí příkazem > diff(g(,y),); resp. diff(g(,y),y); Při použití operátoru D, který umožňuje nakládat s derivací jako s funkcí proměnných, y, pak vypočítáme uvedené parciální derivace takto: > D[1](g)(,y); resp. D[](g)(,y); 5 g Smíšená parciální derivace se potom zadá příkazem y3 > diff(g(,y),$,y$3); nebo > D[1$,$3](g)(,y); 6. Řešení rovnice Symbolické řešení. K symbolickému řešení rovnice, např. 4 5=, použijeme příkaz > Res:=solve(^-4*-5,); resp. Res:=solve(^-4*-5,{}); Výsledek potom dostaneme ve tvaru Res:=5,-1, resp.res:={=5},{=-1}. Na jednotlivé kořeny rovnice se odkazujeme pomocí indeů, které odpovídají jejich pořadí ve výpisu výsledku příkazu solve, tj.příkazy: Res[1]; a Res[]; Příkaz solve řeší rovnici v oboru kompleních čísel. Pokud nás zajímají jenom reálné kořeny, můžeme použít alternativní příkaz RealDomain[solve] z balíčku RealDomain. Pro ilustraci porovnejte výstupy následujících příkazů: > solve(^3+*+1,); a > RealDomain[solve](^3+*+1,); Při grafickém řešení rovnice oceníme příkazy lhs(rov) a rhs(rov) pro uchopení levé a pravé strany rovnice rov. Například rovnici = bychom graficky řešili touto posloupností příkazů: > rov:=^=.75^.75; plot({lhs(rov),rhs(rov)},=-..); Důležitou součástí řešení rovnice je ověření jeho správnosti dosazením, tj. zkouška. Pro postupné dosazení jednotlivých řešení do rovnice r můžeme použít příkaz subs nebo příkaz eval. Podmínkou použití příkazu eval, které ilustruje následující příklad, je uzavření neznámé vpříkazusolve do složených závorek: > r:=^3-*+1=; solve(r,{}); eval(r,res[1]); eval(r,res[]); Někdy potřebujeme provést rozklad mnohočlenu na jedné (např. levé) straně rovnice. Použijeme-li příkaz factor(lhs(r)), záhy zjistíme, že má své limity (viz?factor). Lepší službu vykoná následující série příkazů: > polytools[split](lhs(r),); > convert(%,radical); Symbol % představuje jméno (systémové) proměnné, v níž je uložen výsledek naposledy vykonaného (tj. potvrzeného klávesou Enter) příkazu. Podobně symbol %% odkazuje na výsledek předposledního vykonaného příkazu.

105 3.1. ZÁKLADY PRÁCE S PROGRAMEM MAPLE 15 Numerické řešení. K numerickému řešení rovnice je určen příkaz fsolve. Pokud má rovnice více nulových bodů, je možné v tomto příkazu specifikovat bod, v jehož okolí chceme řešení hledat. Například výše uvedenou rovnici = bychom, po jejím grafickém řešení, kompletně numericky vyřešili následující posloupností příkazů: > rov:=^=.75^.75; fsolve(rov,=); fsolve(rov,=1); 7. Řešení soustavy lineárních rovnic. Operace s maticemi a s vektory. Řešme následující (regulární) soustavu lineárních rovnic: + y +z =1, 3 y z = 4, +3y z = 6 Přímé řešení provedeme příkazem > solve({+y+*z=1,3*-y-z=-4,*+3*y-z=-6},{,y,z}); Ověření řešitelnosti (Frobeniova podmínka). Rozšířenou matici Aroz, matici soustavy A i vektor pravých stran b vytvoříme následujícími příkazy: > Aroz:=linalg[genmatri]({+y+*z=1,3*-y-z=-4,*+3*y-z=-6}, [,y,z],flag); > A:=linalg[genmatri]({+y+*z=1,3*-y-z=-4,*+3*y-z=-6}, [,y,z],b); Poznámka: Opakem příkazu genmatri je příkaz geneqns. Hodnost matice A zjistíme příkazem linalg[rank](a);, Gaussovu eliminaci provedeme příkazem linalg[gausselim](a);, Gauss-Jordanovu eliminaci pak realizujeme příkazem linalg[gaussjord](a);. Eliminaci můžeme provádět i krok za krokem, například užitím příkazu pivot. Lineární soustavu můžeme řešit i užitím speciálního příkazu linsolve z knihovny linalg. Na tomto místě je třeba uvést, že balíček příkazů linalg je již staršího data a jeho obsah není nijak aktualizován. V novějších verzích Maple je sice nadále trpěn (s přívlastkem deprecated ), avšak jeho funkci přebírá balíček moderněji naprogramovaných příkazů LinearAlgebra (viz?linearalgebra). Řešení regulární soustavy užitím inverzní matice. Řešení soustavy AX = b můžeme vyjádřit vztahem X = A 1 b,kdea 1 je inverzní matice k matici A. Inverzní matici kmaticia získáme zadáním příkazu inverse(a);. Součin matic A 1 a b můžeme provést jedním z následujících dvou příkazů: > evalm(inverse(a)&*b); nebo linalg[multiply](inverse(a),b); Cramerovo pravidlo. Matice A 1,A,A 3 vytvoříme například pomocí příkazů submatri a augment knihovny linalg. Determinant matice A potom vypočítáme příkazem linalg[det](a); Poznámka: Pokud používáme více příkazů z nějaké knihovny, vyplatí se jí otevřít příkazem with, v našem případě with(linalg):. Potom bude výpočet, např. pro neznámou, vypadat následovně. Nejprve vytvoříme matici A příkazem

106 16 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A:=augment(submatri(A,1..3,[1]),b,submatri(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu : > :=det(a)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (, 3) zadáme jedním z příkazů: > M:=linalg[matri](,3,[1,,3,4,5,6]); > M:=linalg[matri]([[1,,3],[4,5,6]]); Operace s vektory. Vektory, např. u =(1,, 3) a v =(, 5, 4), zadáme příkazy u:=[1,-,3]; a v:=[,-5,4]; Skalární, respektive vektorový součin vektorů u, v provedeme následující aplikací příkazu dotprod, resp.crossprod: > linalg[dotprod](u,v, orthogonal ); > linalg[crossprod](u,v); Normu (eukleidovskou) vektoru u spočítáme příkazem linalg[norm](u,);. Pozor na záměnu s výpočtem absolutní hodnoty výrazu. Ta se určí příkazem abs();. Úhelvektorů u, v spočítáme následující posloupností příkazů. První z nich otevře balíček příkazů linalg, druhý uvede velikost úhlu α vradiánech a pomocí třetího příkazu potom tento údaj převedeme na velikost úhlu ve stupních: > with(linalg): > alpha:=arccos(dotprod(u,v)/(norm(u,)*norm(v,))); > evalf(convert(alpha,degrees)); 3. 3DgrafyvMaple V této příloze se budeme nejprve podrobně věnovat možnostem znázornění trojrozměrných křivek a ploch pomocí prostředků rozhraní Classic worksheet programu Maple. V závěru přílohy potom zmíníme dvě konkrétní aplikace programu Maple, které dovolují uživatelsky nenáročným způsobem, bez znalosti jakéhokoliv příkazu, konstruovat grafické znázornění ploch a provádět analýzu ploch druhého stupně. Jedná se o takzvané maplety. Prvníztěchtomapletů, Interactive Plot Builder, je asistentem pro kreslení 3D grafů dodávaným spolu s programem. Takovýchto asistentů má uživatel programu Maple k dispozici více, pouze však v prostředí Standard worksheet (pro více informací stačí zadat?assistants ). Druhý z představených mapletů je příkladem uživatelsky naprogramované aplikace. Byl vytvořen v roce 8 studentem Padagogické fakulty JU Markem Dvorožňákem. Pojetí této aplikace přesně odpovídá jejímu účelu, kterým je provedení kompletní analýzy zadané křivky spolu s jejím grafickým znázorněním. 1. Křivka Křivka zvaná šroubovice je dána parametrickými rovnicemi = r cos ω, y = r sin ω, z = v ω, kde r je poloměr příslušného otáčení, ω je úhel tohoto otáčení

107 3.. 3D GRAFY V MAPLE 17 a v je parametr šroubového pohybu, tzv. redukovaná výška závitu (posunutí podél osy rotace příslušné otočení o jeden radián). Zadáme parametrické rovnice, zvolíme si hodnoty r a v a odpovídající šroubovici zobrazíme. > H:=omega->[r*cos(omega),r*sin(omega),v*omega]; > r:=5: v:=.1: Pro grafické znázornění křivky H(omega) můžeme použít buď příkaz spacecurve z balíčku plots, nebopříkazplot3d. Zde jsou obě možnosti: > plots[spacecurve](h(t),t=..4*pi,aes=frame); > plot3d(h(t),t=..4*pi,s=..1,numpoints=1); V druhém případě používáme kvůli dané syntai příkazu plot3d (očekává dva parametry) klamný parametr s, který s křivkou nijak nesouvisí. Výslednou podobu grafů můžeme opět ovlivnit prostřednictvím nepovinných parametrů, tzv. voleb (options).. Plocha Následují příklady různých způsobů zobrazení plochy v závislosti na jejím zadání. Použité příkazy jsou ve většině případů uvedeny v základním tvaru. Tomu může odpovídat kvalita výsledných grafů. Jejich podobu lze dále ovlivnit, a tím i vylepšit, řadou volitelných parametrů, jejichž kompletní přehled získáme zadáním?plot3d,options. Za vyzkoušení určitě stojí například volby grid, numpoints, style, caption a lightmodel. Plocha daná rovnicí ve tvaru z = f(, y). Plocha zvaná Plückerův konoid je dána rovnicí z = y. K jejímu zobrazení můžeme použít buď příkaz + y plot3d: > z:=(,y)->(^-y^)/(^+y^); > plot3d(z(,y),=-1..1,y=-1..1); nebo příkaz implicitplot3d z balíčku plots: > plots[implicitplot3d](z=(^-y^)/(^+y^),=-..,y=-.., z=-.., grid=[4,4,1]); Plocha daná rovnicí ve tvaru F (, y, z) =. Trojosý elipsoid, daný rovnicí +y +5z 1 =, zobrazíme například pomocí příkazů > Kv:=^+*y^+5*z^-1=; > plots[implicitplot3d](kv,=-1..1,y=-1..1,z=-1..1); Jak bylo řečeno v úvodu, můžeme příkazy pro kreslení grafu doplnit různými nepovinnými parametry ovlivňujícími kvalitu obrázku. Vyzkoušejte: > plots[implicitplot3d](kv,=-1..1,y=-1..1,z=-1..1, grid=[,,],style=patchcontour,color=red,lightmodel=light1, scaling=constrained); Plocha daná parametricky. K zobrazení parametrického vyjádření plochy použijeme příkaz plot3d. Například kulovou plochu o středu S =[1,, 3] a poloměru r = zobrazíme užitím parametrického grafu takto: > S:=[1,,3]; r:=;

108 18 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > plot3d([s[1]+r*cos(u)*cos(t),s[]+r*cos(u)*sin(t),s[3]+r*sin(u)], t=..*pi,u=-pi/..pi/,aes=frame); Plocha daná rozměry a souřadnicemi středu/vrcholu. Balíček plottools obsahuje příkazy pro zobrazení různých rovinných křivek (mimo jiné elipsy a hyperboly) a trojrozměrných těles (např. koule, válec, rovnoběžnostěn, osmistěn apod.). Nás z nich na tomto místě mohou zajímat kužel, válec a koule, jejichž povrchy jsou částmi příslušných kvadratických ploch. Kulovou plochu o středu S =[1,, 3] a poloměru r = tak můžeme zobrazit pomocí příkazu sphere ze zmíněného balíčku plottools takto: > Koule:=plottools[sphere]([1,,3],): > plots[display](koule,color=green,lightmodel=light,aes=frame); Příkazy z balíčku plottools negenerují obrázky, ale pouze data potřebná pro jejich vykreslení, které potom musíme provést příkazem plots[display]. Podobně jako kulovou plochu bychom zobrazili také válec a kužel. Použili bychom příkazy plottools[cylinder] a plottools[cone]. Pro více informací viz?plottools. 3. Rotační plochy - parametrický graf Na straně 13 jsme počítali objem tělesa, které vznikne rotací grafu funkce f() = 4 kolem osy na intervalu, 5. Toto těleso lze snadno zobrazit (viz obrázek 3.1) pomocí parametrického grafu takto: > f:=->^-4*; > P:=[,f()*cos(u),f()*sin(u)]; > plot3d(p,=..5,u=-pi..pi,scaling=constrained); Obrázek 3.1: Rotační plocha 4. Průnik ploch Průniková křivka kulové plochy s válcovou plochou, které jsou dány rovnicemi + y + z =4r, ( r) + y = r, se nazývá Vivianiho křivka nebo též Vivianiho okno (viz obrázek 3.). Nejprve zobrazíme příslušnou kulovou a válcovou plochu pro konkrétní hodnotu r. Průnikovou křivku těchto dvou ploch potom vyjádříme parametricky a zobrazíme ve stejném obrázku. Výsledek by měl zhruba odpovídat obrázku 3..

109 3.. 3D GRAFY V MAPLE 19 Definujeme obě plochy a zvolíme hodnotu r =5: > Sph:=^+y^+z^=4*r^; Cyl:=(-r)^+y^=r^; > r:=5: Výstupy příkazů implicitplot nezobrazíme (proto je ukončíme dvojtečkou), ale uložíme do proměnných SphG, CylG: > SphG:=plots[implicitplot3d](Sph,=-1..1,y=-1..1,z=-1..1, color=grey): > CylG:=plots[implicitplot3d](Cyl,=-1..1,y=-1..1,z=-1..1, color=pink): K jejich zobrazení do jedné soustavy souřadnic pak použijeme příkaz display z balíčku plots: > plots[display](sphg,cylg); Průnikovou křivku získáme řešením soustavy rovnic daných ploch. Pro získání kompletního řešení použijeme příkaz allvalues: > Sol:=allvalues(solve({Cyl,Sph},{,y})); Abychom převedli obě řešení do tvaru uspořádaných trojic, použijeme příkaz eval následujícím způsobem: > VW1:=eval([,y,z],Sol[1]); VW:=eval([,y,z],Sol[]); K zobrazení použijeme příkaz spacecurve z balíčku plots. Opět výstup uložíme do proměnné a ukončíme dvojtečkou: > VWG:=plots[spacecurve]({VW1,VW },z=-1..1, color=red, thickness=3, numpoints=1): Všechny tři objekty (dvě plochy a průnikovou křivku) zobrazíme do jedné soustavy souřadnic: > plots[display3d](sphg,cylg,vwg): Obrázek 3.: Vivianiho okno Poznámka: Chceme-li dostat úplně stejný obrázek, jako je Obr.3., musíme příslušné plochy zadat parametricky: > SphG:=plot3d([*r*cos(t)*cos(u),*r*cos(t)*sin(u),*r*sin(t)], t=-pi..pi, u=..*pi, scaling=constrained): > CylG:=plot3d([r*cos(u)+r,r*sin(u),t], t=-3*r..3*r, u=-pi..pi, scaling=constrained): > plots[display3d](sphg,cylg,vwg):

110 11 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 5. Aplikace pro kreslení 3D grafů Interactive Plot Builder. V prostředí Standard worksheet můžeme využít řadu jednoúčelových aplikací - mapletů, které jsou součástí systému Maple. Více informací získáme po zadání?assistants, resp.?tutors. Obrázek 3.3: Interactive Plot Builder - asistent pro tvorbu 3D grafů

111 3.3. MODELY VYBRANÝCH PLOCH V MAPLE 111 Maplet Vyšetření kvadrik Pro podporu výuky křivek druhého stupně a jako doplněk této knihy naprogramoval student Pedagogické fakulty Jihočeské univerzity Marek Dvorožňák v roce 8 tento maplet provádějící úplnou klasifikaci kvadrik krok za krokem. Obrázek 3.4: Maplet Vyšetření kvadrik Aplikace je dostupná na zdrojovém CD knihy Maplety mohou být spuštěny nezávisle na běhu programu Maple. Bohužel je však nutné, aby byl program Maple (verze 9.5 nebo vyšší) na počítači nainstalován. Maplety využívají jeho výpočetní jádro. 3.3 Modely vybraných ploch v Maple Tato příloha je věnována užití Maple k odvození parametrických rovnic a grafickému znázornění vybraných kvadratických ploch. Uvedená řešení v Maple jsou inspirována příklady, které najdeme v knize na následujících stranách: str. 76 (rotační jednodílný hyperboloid), str. 9 (hyperbolický paraboloid) a str. 97 (rotační kuželová plocha). 1. Rotační jednodílný hyperboloid Příklad: Ukažte, že rotací přímky kolem osy, která je s přímkou mimoběžná, vznikne rotační jednodílný hyperboloid (Str. 76).