Digitalizace převod AS DS (analogový diskrétní signál )

Transkript

1 Digitalizace signálu v čase Digitalizace převod AS DS (analogový diskrétní signál ) v amplitudě Obvykle převod spojité předlohy (reality) f 1 (t/x,...), f 2 ()... připomenutí Digitalizace: 1. vzorkování (časové / prostorové rozlišení) 2. kvantizace (amplitudy, hodnoty barev...) Vzorkování odebírání vzorků v časových intervalech T vz [s] se vzorkovací rychlostí F V = 1 / T VZ [vzorků / s]. obvykle T vz = konst. ekvidistantní vzorkování Ideální vzorkování neomezeně úzké vzorkovací impulzy proč? Lze modelovat: násobením x a (t) vhodnou vzorkovací funkcí p(t) jak vybrat vhodnou vzorkovací funkci? neomezeně úzký impulz = Diracův pulz má některé důležité časové / frekvenční vlastnosti: Důležité vlastnosti δ(t): x a tt t 0 =x a t 0 (1) (2) 2010 Martin Dobrovolný 1./10

2 Jak spočítat spektrum Diracova pulzu?: potom: Diracův pulz je možné modelovat jako zužující se jednotkový pulz (limitně k šířce = 0) δ(t) je možné vyrobit δ(t) = A 1(t), kde A /2 F [ t]= A 1 e =A [ j t e j t /2 = A e j / 2 e j / 2 = A e j / 2 e j / 2 2 j / 2 ] / 2 j j =......= A sin =...= A sin x x lim 0=1 τ= δ(t) f(t): F(ω): 1 τ/2 τ/2 Ατ τ=1 τ= π/τ 4π/τ ω Nebo pomocí představy: vyseknutí signálu v místě t 0 rov. posunu δ(t) (1): F [ t]= te j t dt=... rov.2: j 0 e x a tt t 0 = xt 0 t0...= =0 j =1 Velmi důležitý poznatek spektrum δ(t) obsahuje rovnoměrně zastoupeny všechny kmitočty (a to i záporné!) takový signál nelze vyrobit! paradoxně nejkratší pulz energeticky nejnáročnější nikdy nelze vyrobit např. pulzy s nekonečně krátkou vzestupnou / sestupnou hranou! reálně vždy vzorkujeme nedokonalou p(t) A obráceně spektrum konstantního signálu?: F {1t}= 1 e j t j t e dt=[ j ] proto náhrada 1 e -λ t problém: e -jω t nemá pro t ± limitu f(t): 1(t) e -λ t t 2010 Martin Dobrovolný 2./10

3 F {}= e t e j t dt=...= 1 j 00 1 j = 0 e t e jt dt e t e j t j t e dt=[ [ j ] lim 0=K j t e =... j ]0 F(t): 2 λ λ=1 λ= t Důležitý poznatek: jediná spektrální čára by vyžadovala nekonečný signál (v čase)! širokopásmové rušení je možné potlačit pulzními zásahy do signálu má-li signál nenulovou ss složku spektrum obsahuje δ(t) na nulovém kmitočtu 2010 Martin Dobrovolný 3./10

4 Vzorkování = vynásobení signálu x(t) s nekonečnou řadou δ(t). Výsledek konvoluce spekter: za použití (2): xt=x a t pt=x a t a z toho spektrum: n= X =F [ x a t pt]=f [ x at t nt v = xnt V t nt v (3) n= n= t nt V ] = n= x a tt nt V e jwt dt (4) s uvážením rov. (1) má pak integrál řešení: xnt v e j nt v spektrum JEDNOHO VZORKU Pro diskrétní posloupnosti pak podle (4): X = xnt v e j n T v (5) n= Spektrum diskrétní posloupnosti (= vzorkovaného signálu) je spojité a periodické s periodou f vz =1/T v = obsahuje spektrum původního analogového signálu posazené (zkopírované) na f vz.. Spektrum vícerozměrných signálů Spektrum 2D signálu se získá pomocí 2D vzorkovací funkce: f x, yx x 0, y y 0 dxdy= f x 0, y Martin Dobrovolný 4./10

5 Výsledkem vzorkování je 2D spektrum signálu podobně jako v případě 1D vzorkování se signál bude ve frekvenci opakovat na nosných Pro zobrazení 2D FT se velmi často používá zobrazení v ploše (více v 2. přednášce): Pro vlastní vzorkování se nejčastěji používají systémy ekvidistantního vzorkování: nejčastěji se čtvercovou mřížkou (počítače, dig. tech.) nebo systémy s hexagonální mřížkou (analogová technika, snímací kamery) 2010 Martin Dobrovolný 5./10

6 Ve výjimečných případech se používají např. systémy se stochasticky rozmístěnými funkcemi. Obraz vzorkovaný maticí 256x256 a 32x32 obrazových bodů: 2010 Martin Dobrovolný 6./10

7 Aliasing Při vzorkování platí Nyquistovo kritérium (Shannonův vzorkovací teorém): f v 2f sig... v obrázku=b Vzorkovací frekvence musí být min dvojnásobkem maximální fr. obsažené v datech Nemá cenu vzorkovat vyšší než dvojnásobnou fr. data s maxim. frekv. f sig! Co se stane pokud nedodržíme: dva pohledy: 1. časová oblast Mějme signál s modulační frekvencí f mod který budeme vzorkovat podle Nyquistova kritéria f vz = 2 x f sig : Co se signálem stane, pokud budeme vzorkovat rychleji? např. se 4 násobnou frekvencí (T n = T/4) 2010 Martin Dobrovolný 7./10

8 je vidět, že jsme získali znovu stejný průběh pouze máme dvojnásobné množství hodnot, které ho popisují, to ale nevadí, spíše naopak když budeme vzorkovat 10x rychleji, už budou 1ky a 0ly pěkně popisovat průběh signálu žádnou novou inf. však nezískáme! Co se ale stane, když tentýž signál budeme vzorkovat pomaleji? například s rychlostí f vz = 1.8 x f sig je vidět, že při vzorkování menší než dvojnásobnou rychlostí došlo k podvzorkování některá data se nám zcela ztratila celkově došlo k poškození dat 2010 Martin Dobrovolný 8./10

9 druhý pohled: 2. frekvenční oblast Původní spektrum analogového signálu podle X = xnt v e j T v sedí na násobcích n= vzorkovací frekvence. Pokud je f vz >>2 x f sig : Co se se signálem stane, pokud zmenšíme f vz na f vz = 2 x f sig? spektra se nepřekrývají (f vz = 2 x f sig ) Co se se signálem stane, pokud zmenšíme f vz na f vz < 2 x f sig? Nejen, že došlo k ořezání spekter (např. 15% každého spektra se ztratilo), ale v této části došlo i k sečtení částí spekter deformace (poškození) informace signál je znehodnocen Martin Dobrovolný 9./10

10 Jak se to projeví na reálném signálu? původní inf. se poškodí v signálu se objeví alias alias vada v signálu vzniklá podvzorkováním aliasing proces vzniku aliasů v důsledku nevhodného vzorkování antialiasing - je obecný pojem pro metody potlačování podvzorkování příklad, obrazový signál: Některé signály mají teoreticky nekonečné spektrum, či se mu blíží. Např. 2D obraz ideální fotografie. proto ani nekonečným zvyšováním f vz nelze aliasing zcela potlačit. je pouze možné posunout oblast výskytu aliasů do vyšších frekvencí: 2010 Martin Dobrovolný 10./10