Obraz matematický objekt. Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R

Transkript

1 Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R

2 Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Diskrétní obraz f d : (Ω {0... n 1 } {0... n 2 }) {0... f max }

3 Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Diskrétní obraz f d : (Ω {0... n 1 } {0... n 2 }) {0... f max } Další rozšíření: Okrajové podmínky Vektorové obrazy

4 Digitalizace Vzorkování & kvantizace hodnoty obrazové funkce (též intenzity). Digitální obraz se obvykle reprezentuje maticí. Pixel = akronym, angl. picture element.

5 Distribuce Operátor u, ϕ R

6 Distribuce Operátor u, ϕ R 1D Dirac δ (bod): δ, f (x) x = f (0) δ(x) = lim ξ ξ rect(ξx)

7 Distribuce Operátor u, ϕ R 1D Dirac δ (bod): δ, f (x) x = f (0) Vlastnosti: Linearita, Nezávislost na posunutí Spojitost δ(x) = lim ξ ξ rect(ξx) Testovací funkce husté např. v L 2 Dirac δ je identitou konvoluce.

8 Distribuce Operátor u, ϕ R 1D Dirac δ (bod): δ, f (x) x = f (0) Vlastnosti: Linearita, Nezávislost na posunutí Spojitost δ(x) = lim ξ ξ rect(ξx) Testovací funkce husté např. v L 2 Dirac δ je identitou konvoluce. Na co si dát pozor: Nelze je vyhodnocovat v bodech (δ(0) =?) Nelze je násobit (δδ =?) Derivace ( δ, ϕ = δ, ϕ ) Změna měřítka ( δ(αx), ϕ = ϕ(0)/α) Fourierova transformace jen pro temperované distribuce, ( kompaktní ϕ). (F(δ) = 1)

9 2D Dirac 2D Dirac (bod): δ, f (x, y) (x,y) = f (0, 0) δ(x, y) = lim ξ ξ2 rect(ξx, ξy) δ(x, y) = δ(x)δ(y)

10 2D Dirac 2D Dirac (bod): δ, f (x, y) (x,y) = f (0, 0) δ(x, y) = lim ξ ξ2 rect(ξx, ξy) δ(x, y) = δ(x)δ(y) Ve 2D lze definovat mnoho 1D Diraců (např. přímka, kruh,...)

11 Vzorkování Vzorkovací rastr (a) (b)

12 Vzorkování Vzorkovací rastr (a) Vzorkovací funkce (pro uniformní pravoúhlou síť) (b) f ij = φ(x h x i, y h y j), f (x,y) φ(x, y) = δ(x, y) ideální vzorkování f ij = f (h x i, h y j)

13 Vzorkování Vzorkovací rastr (a) Vzorkovací funkce (pro uniformní pravoúhlou síť) (b) f ij = φ(x h x i, y h y j), f (x,y) φ(x, y) = δ(x, y) ideální vzorkování f ij = f (h x i, h y j) Hustota vzorkování h (Shannonova věta o vzorkování).

14 První scanner obrazu, 1956 R. Kirsch, SEAC and the start of image processing at the National Bureau of Standards. In: Annals of the history of computing, IEEE, vol. 20 (1998), p 7-13.)

15 Vzorkování, příklad Originál

16 Vzorkování, příklad Originál

17 Vzorkování, příklad Originál

18 Vzorkování, příklad Originál

19 Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz

20 Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita

21 Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita lineární, kvadratická, kubická,...

22 Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita lineární, kvadratická, kubická,... souhra vzorkování a interpolace

23 Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita lineární, kvadratická, kubická,... souhra vzorkování a interpolace (o interpolaci více později)

24 Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 256 jasových úrovní

25 Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 64 jasových úrovní

26 Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 16 jasových úrovní

27 Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 4 jasové úrovně

28 Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 2 jasové úrovně

29 Histogram hodnot jasu Histogram hodnot jasu je odhadem hustoty pravděpodobnosti jevu, že pixel bude mít určitou jasovou hodnotu výchozí obraz histogram hodnot jasu

30 Histogram (2) Spojitý diskrétní

31 Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu

32 Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů

33 Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů Dodatečné vyhlazování

34 Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů Dodatečné vyhlazování Váhovací jádro

35 Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů Dodatečné vyhlazování Váhovací jádro Problémy ve vyšších dimenzích

36 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní)

37 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální

38 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2}

39 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u)

40 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u) J = i+1 i (u r i ) 2 p(u) du i

41 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u) J = i+1 i (u r i ) 2 p(u) du i Podmínky optimality: t k = (r k + r k+1 )/2 r k = E { u t k u < t k+1 }

42 Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u) J = i+1 i (u r i ) 2 p(u) du i Podmínky optimality: t k = (r k + r k+1 )/2 r k = E { u t k u < t k+1 } Nemá přímé řešení, iterační postupy.