Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Transkript

1 Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz

2 Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů Ideální filtry propusti Fourierova transformace s diskrétním časem Příklady: výpočty frekvenčních charakteristik ručně a v Matlabu

3 Opakování: systémy Definice systému Struktura systému Vlastnosti systémů Princip superpozice LTI systémy Reprezentace signálů pomocí lineární kombinace jednotkových impulsů Impulsní charakteristika Konvoluce

4 LTI systémy lineární systém Hledáme základní, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled

5 LTI systémy lineární systém Hledáme základní, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled MINULE: DNES: jednotkové impulsy sinusové signály komplexní exponenciály

6 Eulerovy vztahy e jx + e jx cos x = 2 e jx e jx sin x = 2 j

7 ?

8 Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.

9 Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí. Fourierovy řady slouží jako teoretický základ pro analýzu signálů a systémů ve frekvenční oblasti.

10 x(t) a k. spojitý periodický signál se základní periodou T. diskrétní posloupnost komplexních čísel

11 průměr

12 průměr

13 průměr

14 periodický sled Diracových impulsů (vzorkovací funkce) pro všechna k

15 periodický sled Diracových impulsů (vzorkovací funkce) pro všechna k Všechny komponenty mají stejnou amplitudu a stejnou fázi.

16 Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je. je.

17 Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá.

18 Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t 0

19 Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t 0 Příklad: posun o půl periody..

20 Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t 0 Příklad: posun o půl periody.

21 Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM:

22 Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM: Průměrný výkon signálu Výkon k té harmonické složky

23 Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM: Průměrný výkon signálu Výkon k té harmonické složky Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná.

24 Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM: Průměrný výkon signálu Výkon k té harmonické složky Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná. NÁSOBENÍ: x(t) i y(t) jsou periodické signály s periodou T. důkaz:

25 Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T.... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje.

26 Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T.... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje. Násobení ve frekvenční oblasti!!!

27 Poznámka o Fourierověřadě a Fourierově transformaci:. aneb k čemu mi je analýza periodických signálů, když většina signálů, které znám, jsou neperiodické? (EKG, epidemiologické trendy, apod.)

28 Poznámka o Fourierověřadě a Fourierově transformaci: periodické signály Fourierova řada aperiodické signály. Fourierova transformace periodické s ω 0 = 0 a T =. 8 diskrétní posloupnost koeficientů pro ω 0, 2ω 0, 3ω 0,

29 Poznámka o Fourierověřadě a Fourierově transformaci: periodické signály Fourierova řada aperiodické signály. Fourierova transformace periodické s ω 0 = 0 a T =. 8 diskrétní posloupnost koeficientů pro ω 0, 2ω 0, 3ω 0, Integrace přes nekonečno a výsledkem bude spojitý obraz spojité funkce x(t):

30 Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N.

31 Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. řada

32 Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. konečná řada

33 Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. konečná řada suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k.

34 Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. konečná řada a k =? suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k.

35 a k =? N rovnic o N neznámých

36 a k =? Konečné geometrické řady:

37 a k =? Konečné geometrické řady:.. spec. vlastnost u diskrétních signálů

38 Poznámka o Fourierověřadě diskrétního signálu a DTFT (discrete time Fourier transform):.

39 Poznámka o Fourierověřadě diskrétního signálu a DTFT (discrete time Fourier transform): DTFT nějaké posloupnosti se počítá úplně stejně jako se počítají koeficienty Fourierovy řady této posloupnosti

40 Periodické signály a LTI systémy

41 Periodické signály a LTI systémy zesílení amplituda fáze

42 Periodické signály a LTI systémy zesílení amplituda fáze LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesiluje nebo potlačuje frekvenční komponenty existující ve vstupním signálu.

43 Periodické signály a LTI systémy Frekvenční charakteristika: G(ω) =

44 Periodické signály a LTI systémy Frekvenční charakteristika: G(ω) = je periodická funkce, jejíž výpočet odpovídá výpočtu koeficientů Fourierovy řady impulsní charakteristiky h.

45 Periodické signály a LTI systémy FILTROVÁNÍ Volbou tvaru G(ω)=H(e jω ) můžeme ovlivnit frekvenční kompozici na výstupu systému. preferenční zesílení, selektivní výběr určitých frekvenčních složek

46 Periodické signály a LTI systémy FILTROVÁNÍ Volbou tvaru G(ω)=H(e jω ) můžeme ovlivnit frekvenční kompozici na výstupu systému. preferenční zesílení, selektivní výběr určitých frekvenčních složek U diskrétního času platí, že:

47 Periodické signály a LTI systémy FILTROVÁNÍ Volbou tvaru G(ω)=H(e jω ) můžeme ovlivnit frekvenční kompozici na výstupu systému. preferenční zesílení, selektivní výběr určitých frekvenčních složek odpovídá odpovídá..

48 Periodické signály a LTI systémy FILTROVÁNÍ Volbou tvaru G(ω)=H(e jω ) můžeme ovlivnit frekvenční kompozici na výstupu systému. preferenční zesílení, selektivní výběr určitých frekvenčních složek odpovídá odpovídá vzorkovací frekvenci diskrétního signálu. nejvyšší frekvenci původního signálu.

49 Idealizované filtry hraniční (cutoff) frekvence

50 Idealizované filtry Dolní propust Horní propust Pásmová propust hraniční (cutoff) frekvence

51 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

52 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém..

53 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém..

54 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

55 3. cvičení 1. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systému, který aproximuje derivaci signálu: 2. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systém, který provádí dvouvzorkové vyhlazování: 3. Aplikujte vyhlazovací a derivovací systém na učitelem dodané 1 D a 2 D signály a sledujte jak frekvenční charakteristika systémů ovlivňuje povahu výstupních signálů.

56 3. cvičení Dotaz z minulé hodiny: Jak souvisí vzorky impulsní charakteristiky s diferenční rovnicí, co do pořadí koeficientů (dotaz je relevantní u systémů s nesymetrickými impulsními odezvami)? y[n] = 3x[n]+2x[n 1]+1x[n 2] pořadí odpovídá postupnému zapomínáním starších vzorků na vstupu. h[n] = 3δ[n]+2δ[n 1]+1δ[n 2]

57 3. cvičení

58 3. cvičení

59 3. cvičení

60 ffgf Otázky? 60