I. Formulace problému

Transkript

1 Motivace Numerické řešení Eulerových rovnic v balíku FENICS Radim Cajzl Letní semestr 215 Cílem je vytvořit model proudění části chladící heliové smyčky umístěné v CV Řež. Smyčka slouží k testování materiálů v podmínkách odpovídajících heliem chlazených jaderným reaktorů IV. generace. Použité helium obsahuje různé příměsi, jež mají vliv na testované materiály a je tedy důležité znát jejich koncentrace. Ve smyčce jsou dva hlavní okruhy aktivní kanál a čistící okruh. Tyto dva okruhy jsou propojené. V aktivním kanálu je přibližně 1krát větší průtok helia oproti čistícímu okruhu. Dobrou představou o podobě smyčky je soustava průtočných trubic. Model uvedený v tomto textu bude součástí většího modelu celé smyčky, který zkoumá proudění příměsí helia. Zmíněný model celé smyčky je kombinací velmi jednoduchého systému front, který popisuje nezajímavé části smyčky a je velmi nenáročný na výpočet, spolu s geometrickými částmi, které popisují komplikovanější komponenty smyčky. Jednou z komplikovanějších komponent je část, ve které se mísí proudy z čistícího okruhu a aktivního kanálu ta je popsána v této zprávě. Pro úplnost je potřeba dodat, že předpokládáme, že pohyb helia je nezávislý na koncentracích příměsí. (Tento předpoklad je rozumný vzhledem k tomu, že koncentrace příměsí se pohybují v řádu desítek až stovek ppm, tj. řádově stovky molekul příměsi na milion molekul helia.) Výstupem zde popsaného modelu je tedy rychlostní a hustotní pole pro tuto komponentu, ideálně ve formě stacionárního řešení. I. Formulace problému Plynné helium lze aproximovat jako ideální plyn (mj. ideálně stlačitelný) bez viskozity. Pohyb takového plynu je popsán rovnicemi pro: zachování hmotnosti rovnice kontinuity: zachování hybnosti Eulerovy rovnice 1 : ρ t + (ρv) = energii (bez tepelného toku): ρv t + (v v) = p tlak: stavová rovnice E t + ((E + p)v) = p = ρre c v kde ρ je hustota, v je rychlost (zde dvourozměrná), p je tlak, E je vnitřní energie. R = 8,3141 je univerzální plynová konstanta a c v je tepelná kapacita. Tepelnou kapacitu lze položit rovnou jedné tato volba pouze škáluje tepelnou stupnici. V dalším textu i v implementaci je použit vektor w = (ρ, ρv, E) obsahující všechny složky. Kromě toho bude na některých místech použito označení m = ρv pro hybnost. Hraniční podmínky jsou: 1 Vzhledem k nízké hmotnosti helia zanedbáváme silové působení gravitaci apod. 1

2 free-slip podmínka na stěnách trubice Γ s : v n = na Γ s předepsaný profil na vstupních resp. výstupních části Γ i resp. Γ o : w(r, t) = w in,out (r, t) na Γ i,o kde n je vnější normála na hranici, r je polohový vektor. Pro hustotu resp. energii na stěnách trubice tedy nepředepisujeme nic. Jako počáteční podmínky zvolíme konstantní profil w init v celé smyčce, tj: w(r, ) = w init kde Ω je označení celé oblasti. Hybnost zvolíme na počátku nulovou. II. Implementace na Ω Výše popsané rovnice proudění souhlasí s Eulerovými rovnicemi uvedenými v [1]. Zde lze nalézt též variační formulaci a popis stabilizace pomocí silných reziduí, která je v tomto modelu použita. Pro stabilizaci je třeba zvolit konstanty C δ, C ρ, C p, C e, C h, a ε. Jejich popis i doporučení pro jejich volbu je uvedeno v [1]. Pro výpočety v této zprávě je voleno C x,7 resp. C x,2 pro rovnou trubici resp. směšovací část (viz níže) a ε =,1 pro oba případy. Testovací funkce jsou označeny ρ t, m t resp. E t pro hustotu, hybnost resp energii. Free-slip podmínka byla implementována pomocí Nitscheho metody [2]. Ta je založena na přidání dalšího členu do variační formulace: β Γ s h (m n)(m t n)ds kde h je rozměr daného trojúhelníku na hranici, β je konstanta. Volba konstanty β Vhodná hodnota konstanty β byla určena sérií výpočtů na rovné trubici. Tuto trubici lze v 2D přiblížení reprezentovat obdélníkem. Zde byl použit obdélník o rozměrech 27 9, počáteční hybnost rovna nule, počáteční hustota plynu 1,25, počáteční energie 2,. Na vstupní i výstupní části byla předepsána hustota 1,5, energie 3, a hybnost 2,5, vše nastavené konstantně během celé simulace 1. Pro tento systém lze na výstupu čekat konstantní rychlostní pole, konstantní hustotu i energii odpovídající okrajovým podmínkám. Tento systém byl počítán pro 5 časových jednotek. (Tato hranice je určena tak, aby byla spočtena dostatečně rychle a zároven se okometricky v picture norm blížila očekávanému řešení.) Během simulace byl sledován průtok stěnou trubice a průtok vstupem a výstupem. Kritérium pro vhodnou volbu konstanty β je zanedbatelnost toku stěnou oproti přítoku z trubice. Pro hledání vhodné hodnoty byla konstanta β volena mezi 5 a 5. Získaná data závislost toku stěnou přepočítaného na jednotkovou délku na hodnotě konstanty β je vynesena do grafu na obr. 1. Na log-log závislost lze nafitovat přímku, jež odpovídá vztahu: Φ(β) = β a 1 b, kde Φ je označení pro tok stěnou na jednotku délky, a =,995 ±,2, b = 3,21 ±,1 (a je směrnice přímky, b konstantní člen v log-log grafu). 1 Byla vyzkoušena i hybnost lineárně narůstající z na 2,5 v časovém intervalu (, 2,5) a dále konstantní na 2,5, nicméně tato konfigurace poskytuje konvergentní řešení pouze pro β blízké 1, pro ostatní hodnoty β nelineární řešič nezkonverguje pro druhý časový krok. 2

3 1 1 1 hodnoty ze simulací fitovaná závislost tok stěnou na jednotku délky β Obrázek 1 Závislost toku jednotkovou stěnou na konstantě β. Tedy tok stěnou je nepřímo úměrný hodnotě β. Uvážíme-li, že přítok/odtok na jednotku délky je v této konfiguraci roven 2,5, je dostatečné volit β 1 6 (tok neprůchozí stěnou je v tomto případě roven přibližně,5) 2. Pro další postup výpočtů geometrie směšovací části volím β = 1 6. CFL podmínka Časový krok je volen na základě CFL podmínky. Ta v podstatě říká, že časový krok musí být maximálně tak velký, aby plyn v jednom časovém kroku z žádného elementu sítě nedotekl dále než do sousedního elementu. Matematicky lze tuto volbu časového kroku δt formulovat: δt = min h v v V implementaci je tato volba mírně upravena, ve jmenovateli je maximum z 1 a v v. Tím zajistíme, aby časové kroky byly v rozumných mezích, což se projeví zejména na začátku. Časový krok je spočten v každém kroku, je tedy implementována adaptivní volba času. Srovnání stabilizovaných a nestabilizovaných řešení Vliv stabilizace lze hrubě srovnat již pohledem je-li vypnuta úplně, řešení nekonverguje ani pro rovnou trubici. I na takto jednoduché geometrii lze pozorovat vznik vírů rychlosti na některých sousedních prvcích míří v opačném směru, rotují a zvětšují se v čase, což způsobí divergenci řešiče. Dále lze pozorovat numerické artefakty drobné oscilace v hustotě resp. 2 Jen pro zajímavost heliová smyčka v praxi rozhodně nemá zcela nepropustné stěny při experimentech je stále nutné hélium doplňovat, jelikož uniká zejména různými spoji jednotlivých částí. V praxi by tedy mohlo být žádoucí nastavit β tak, aby simulovaný únik odpovídal reálnému úniku. To by však vyžadovalo přesnější analýzu, která se pravděpodobně nevyplatí vzhledem k relativně malému významu tohoto jevu. 3

4 energii. Tyto problémy jsou ilustrovány na obr. 2 4, kde jsou zobrazeny tři snímky ze simulace v rovné trubici (stejný systém jako výše) bez stabilizace, β = 1 9. Šipky znázorňují hybnost (jejich délka je úměrná velikosti hybnosti), barva pozadí odpovídá hustotě (modrá značí nejmenší hustotu, červená největší). Obrázek 2 Řešení bez stabilizace, 1. krok. Obrázek 3 Řešení bez stabilizace, 2. krok. Obrázek 4 Řešení bez stabilizace, 3. krok. Po přidání stabilizace energie, hybnosti i hustoty získáme konvergentní řešení, ktere je i 4

5 relativně hladké. III. Výsledky Výše zmíněný model tedy dobře funguje na rovné trubici lze pozorovat postupné ustálení rychlostního, hustotního i energetického profilu se zanedbatelným tokem skrz neprůchozí stěny. Lze jej tedy aplikovat na složitější část, ve které se mísí jednotlivé proudy ve smyčce. Bylo vyzkoušeno několik geometrií 3. Při zkouškách jednotlivých geometrií bylo možné odpozorovat dvě špatně kvantifikovatelné vlastnosti tohoto modelu: 1) při srážkách dvou proudů (tj. dojde-li k situaci, kdy se dvě masy plynu pohybují proti sobě) lze pozorovat rázové vlny. Mimo jiné lze pozorovat dočasné přetlačení slabšího proudu silnějším. Po určité době jsou tyto rázové vlny pohlceny a dojde k uspořádání stacionárního proudění. 2) pokud se v geometrii vyskytne gradient energie a hustoty, model tvoří proudění, které vede k vymizení tohoto gradientu tedy vzniknou rychlosti směřující z míst o větší energii a hustotě do míst, kde jsou tyto veličiny nižší. První vlastnost je nutné zohlednit při volbě hustoty sítě. Místa, kde dochází ke srážkám proudů musí mít síť hustší, než okolí. Druhou vlastnost lze využít při volbě okrajových podmínek pokud v místě přítoku resp. odtoku plynu nastavíme hustotu i energii větší resp. menší, než je počáteční podmínka pro zbytek oblasti, bude mít model plynu snahu tvořit proudění, které respektuje nastavený směr přítoku a odtoku plynu. Ve chvíli, kdy se hustota plynu i energie vyrovnají v důsledku proudění plynu, je však nutné hustotu i energii v místech odtoku postupně navýšit na hodnoty shodné s přítokem jednak kvůli numerické stabilitě (před místy odtoku dojde k velkému zvýšení hustoty i energie, což vede k velmi prudkému gradientu těchto veličin a pádu Newtonova řešiče), jednak proto, že podobně jako u rovné trubice je žádoucí, aby hustota i energie plynu byla na vstupu a výstupu stejná 4. Ze zkoušených geometrií dopadla nejlépe ta zobrazená na obr. 5 (zde šipky znázorňují směr přítoku resp. odtoku plynu, ostatní stěny jsou neprůchozí). U ostatních (komplikovanějších) docházelo k pádům simulace, pravděpodobně v důsledku srážek proudů v místech s malou hustotou sítě. Po zvážení počtu přidaných bodů pro eliminaci těchto pádů byly tyto geometrie zavrženy pro vysokou výpočetní náročnost. Délky vstupních/výstupních hran jsou úměrné ploše průřezu příslušných trubic ve smyčce. Pro představu délka soustavy v horizontálním směru je 1 délkových jednotek. 3 Ani jedna neodpovídá reálnému uspořádání ve smyčce vždy tedy jde o aproximaci. Reálná konfigurace této části smyčky obsahuje relativně dlouhá potrubí, několik kompresorů, čerpadel a výměníků tepla. Tyto části by byly pro simulaci velmi složité, přičemž lze předpokládat, že přínos detailního zpracování pro model celé smyčky by byl malý s neúnosným zvýšením výpočetní náročnosti. 4 To odpovídá situaci v reálné smyčce. 5

6 Obrázek 5 Geometrie směšovací části. Na počátku byla nastavena nulová hybnost, hustota 1,25 a energie 2, v celé oblasti mimo nastavené okrajové podmínky. Hybnost proudění odpovídající přítoku/odtoku z aktivního kanálu delší vstupní hrana, vodorovný směr na obr. 5 je nastavena na,5, hybnost proudění pro přítok/odtok čistícího okruhu kratší vstupní hrana, svislý směr na obr. 5 je nastavena na 1,54. Tyto hodnoty jsou voleny tak, aby součin délky hrany a hybnosti byl úměrný průtoku plynu ve smyčce. Na obou vstupech byla nastavena hustota 1,5 a energie 3, po celou dobu simulace. Na obou výstupech byla nastavena hustota lineárně rostoucí z 1,2 do 3, na časovém intervalu (, 5). 6

7 Energie na výstupech rostla po částech lineárně pomalu z 1,4 v časovém intervalu (, 14), poté rostla výrazně rychleji do 3, v intervalu (14, 16) (podrobnosti viz zdrojový kód). Tyto podmínky byly nastaveny metodou pokus-omyl na základě výše uvedených poznatků o proudění v důsledku gradientu energie resp. hustoty. Model je citlivý zejména na správné nastavení energií na výstupu. Při zkoušení byly vyzkoušeny i různé varianty do nothing podmínek, kdy na výstupech nebyly nastaveny žádně podmínky na hustotu, energii nebo obojí, vše pro různé varianty počáteční podmínky. Tyto pokusy vždy způsobily divergenci Newtonova řešiče v relativně krátkém čase (vždy řádově jednotky časových kroků). Výše uvedená konfigurace počátečních a okrajových podmínek vedla k výpočtu proudění na dané geometrii v délce 1 časových jednotek. (Tedy okrajové podmínky se mění v první polovině doby, druhá polovina slouží k relaxaci systému.) Na obr. 6 je zobrazeno hybnostní, hustotní a energetické pole v čase přibližně 13 časových jednotek, na obr. 7 totéž pro čas přibližně 1 časových jednotek (tedy výsledný stav). energie hustota Obrázek 6 Hybnostní, hustotní a energetické pole v čase 13. 7

8 energie hustota Obrázek 7 Hybnostní, hustotní a energetické pole v čase 1. Na obr. 8 je pak zobrazen průběh času v závislosti na číslu časového kroku, délka časového kroku v závislosti na čase simulace (pro ilustraci CFL podmínky), průběh celkové hmotnosti a energie plynu v soustavě v závislosti na čase. Všechny tyto veličiny naznačují, že systém se již dostal do stabilního stavu a pomalu relaxuje do stacionární polohy. Toto pozorování lze potvrdit vizuální kontrolou trajektorie průběhu hustoty, hybnosti a energie v čase. 8

9 t č. kroku 24 δt,45,4,35,3,25,2, t celková hmotnost plynu t 75 9 celková energie plynu t 75 9 IV. Závěr Obrázek 8 Průběh času, časového kroku, celkové hmotnosti a celkové energie. Byl naprogramován model proudění nevazkého nestlačitelného plynu určeného Eulerovými rovnicemi. V tomto modelu byla použita stabilizace pomocí silných reziduí a Nitscheho formulace implementaci free-slip okrajové podmínky. Nitscheho formulace free-slip podmínky byla kvantitativně analyzována na příkladu rovné trubice zde bylo zjištěno, že závislost toku neprůchozí stěnou na parametru β v Nitscheho podmínce je nepřímá úměra. Tento model byl dále aplikován na komplikovanější geometrii, ve které se mísí dva proudy plynu. Získaná trajektorie naznačuje, že získané řešení je již velmi blízko stacionárnímu proudění. V. Přílohy Zdrojové kódy programu, soubor s definicí geometrie a mřížky směšovací části a výstupy modelu pro směšovací část lze nalézt na: VI. Zdroje [1] NAZAROV, Murtazo. An adaptive finite element method for the compressible Euler equations. Licentitate Thesis, Stockholm 29 [2] FREUND, Jouni, STENBERG, Rolf. On weakly imposed boundary conditions for second order problems. Proceedings of the International Conference on Finite Elements in Fluids. Bentky,