Základy navrhování průmyslových experimentů DOE
|
|
- Petra Jandová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy navrhování průmyslových experimentů DOE cílová hodnota V. Vícefaktoriální experimenty Gejza Dohnal střední hodnota cílová hodnota
2 Vícefaktoriální návrhy experimentů počet faktorů: počet úrovní: počet replikací: počet bloků: + více faktorů lépe popisuje model + můžeme zkoumat vliv více interakcí - komplikuje se návrh velkým množstvím měření - složitá a nepřehledná analýza 2 nejčastější případ, funguje dobře při lineární závislosti 3 máme-li pochybnosti o lineární závislosti odezvy a faktoru 4 méně často, komplikovaný návrh, mnoho měření + více replikací dává lepší obraz variability chyby měření + dostáváme spolehlivější výsledky - nebezpečí závislosti na skrytých faktorech - narůstá počet měření (cena, čas) - při jediné replikaci není možné určit chybu měření vůbec + snižují variabilitu chyby měření + umožňují provádět experiment "po částech" - snižují počet stupňů volnosti pro odhad chyby měření - směšují se s interakcemi vyšších řádů (ztrácíme informaci)
3 Vícefaktoriální návrhy experimentů počet faktorů: počet úrovní: + více faktorů lépe popisuje model + můžeme zkoumat vliv více interakcí - komplikuje se návrh velkým množstvím měření - složitá a nepřehledná analýza 2 nejčastější případ, funguje dobře při lineární závislosti 3 máme-li pochybnosti o lineární závislosti odezvy a faktoru 4 méně často, komplikovaný návrh, mnoho měření
4 Vícefaktoriální návrhy experimentů Regresní model experimentu odezva má kvantitativní charakter: může nabývat hodnot z podintervalu reálné přímky model pro dva faktory: lineární model: Y = b 0 + b 1 X A + b 2 X B + koeficienty lze nalézt jako poloviční odhady příslušných efektů, b0 je celkový průměr nebo odhadem metodou nejmenších čtverců neúplný kvadratický model: Y = b 0 + b 1 X A + b 2 X B + b 12 X A X B + koeficienty lze nalézt jako poloviční odhady příslušných efektů, b0 je celkový průměr nebo odhadem metodou nejmenších čtverců úplný kvadratický model: Y = b 0 + b 1 X A + b 2 X B + b 11 X 2 A + b 22 X 2 B + b 12 X A X B + koeficienty nelze nalézt pomocí efektů nebo metodou nejmenších čtverců. Je třeba použít složitější schémata plánů (kombinovaný, víceúrovňový,...) Slouží k výpočtu optimálních hodnot faktoru nebo k výpočtu hodnot Y pro libovolnou úroveň faktoru,
5 Vícefaktoriální návrhy experimentů Příklad 2 2 Příklad: Účinek koncentrace a teploty na viskozitu výsledného produktu A B AB y y Y = b 0 + b 1 X A + b 2 X B + b 12 X A X B + b 0 = 1 2Â = 1.2, b 1 = 1 2 ˆB = 2.025, b 12 = 1 AB 2 d = 1.025, Ȳ =6.3. Y = X A 2.025X B 1.025X A X B Â = ˆB = dab = = 2.4 = 5.05 = 2.05
6 Vícefaktoriální návrhy experimentů Příklad 2 2 Příklad: Účinek koncentrace a teploty na viskozitu výsledného produktu A B AB y y Y = b 0 + b 1 X A + b 2 X B + b 12 X A X B + b 1 = 1 2Â = 1.2, b 2 = 1 2 ˆB = 2.025, b 12 = 1 AB 2 d = 1.025, Ȳ =6.3. = b 0 Y = X A 2.025X B 1.025X A X B Y = = 8.5 Y + = = 8.15 Y + = = 6.5 Y ++ = = 2.05
7 Vícefaktoriální návrhy experimentů Významné body návrhu: krychlové body centrální body hvězdicové body Krychlové body: jsou v plánu vždy a je jich 2 k-p. Mají souřadnice ±1 (např. pro 3 faktory jsou jejich souřadnice (±1, ±1, ±1)). Slouží k výpočtu efektů faktorů nebo koeficientů v lineárním modelu. Centrální body: doplňují se do experimentu (doporučený počet je 3-5). Mají nulové souřadnice (pro 3 faktory je centrální bod (0, 0, 0)). Slouží k odhadu rozptylu σ 2 jako náhrada za odhad z opakovaných pokusů. Z reziduí v centrálních bodech se počítá čistá chyba měření Nepoužívají se k výpočtu efektů faktorů. Hvězdicové body: leží na průsečících kulové plochy se středem v centrálním bodu, procházející krychlovými body a souřadných os. Jejich počet je 2k. Souřadnice pro 3 faktory jsou (±α, 0, 0), (0, ±α, 0), (0, 0, ±α). Umožňují výpočet koeficientů v úplném kvadratickém modelu Zpřesňují odhady regresních koeficientů
8 Vícefaktoriální návrhy experimentů Významné body návrhu: krychlové body centrální body hvězdicové body (P) (A, B, C, D,... ) (Q, R, S, T,... ) B R A F B V E A R S P Q S T C P D Q C T D G U H
9 Vícefaktoriální návrhy experimentů Příklad: Úrovně faktorů: A B 0,01 0,015 0,022 C 0,049 0,07 0,1 test A B C Y a b c ab ac bc abc H F E G Průměr Y v centrálních bodech: Ȳ c = 1 4 a směrodatná odchylka: = 75, 5 Rozptyl Y v centrálních bodech: s 2 = (66 75, 5)2 + (83 75, 5) 2 + (71 75, 5) 2 + (82 75, 5) Rozptyl odhadu efektu: s 2 e = 4s2 n k = 4.69, s e =5, 9 = 34, 83 = 69, 667
10 Vícefaktoriální návrhy experimentů Příklad:
11 Taguchiho přístup Taguchiho ztrátová funkce = rozptyl sledovaného jakostního znaku základem jsou designové matice, označované Ln(X y ) Ln(X y ) počet řádek v návrhu = počet měření pro jednu replikaci počet sloupců v návrhu = počet faktorů počet úrovní faktorů Taguchiho přístup se dá použít, pokud neuvažujeme interakce (jsou zanedbatelné nebo neexistují) L A B C L A B C D E F G
12 Designové matice Základní typy designových matic v Taguchiho přístupu: 2-úrovňové návrhy: L4 (2 3 ) (pro 2-3 faktory o dvou úrovních) L8 (2 7 ) (pro 3-7 faktorů o dvou úrovních) L12 (2 11 ) (pro 4-11 faktorů o dvou úrovních) L16 (2 15 ) (pro 4-15 faktorů o dvou úrovních) 3-úrovňové návrhy: L9 (3 4 ) L18 ( ) 4-úrovňové návrhy: L16 (4 5 ) L A B C L A B C D E F G
13 Řízené a šumové faktory sledované faktory: - řiditelné (lze nastavit jejich úrovně) - neřízené, šumové (lze je pouze měřit) řízené faktory tvoří tzv. vnitřní ortogonální sestavu neřízené faktory tvoří vnější ortogonální sestavu provádí se tolik replikací, kolik je kombinací úrovní ve vnější sestavě vnější sestava L X Y Z Q Q Q Q L A B C D E F G Q Q Q Q vnitřní sestava
14 Vyhodnocení Taguchiho experimentů Podíl signál/šum je míra, kterou Taguchi použil k vyhodnocování výsledků pokusů. Je dána vztahem S/N = síla signálu = (citlivost) 2 síla šumu (variabilita) 2 S/N = µ2 2 odhady střední hodnoty a rozptylu získáme z dat: ˆµ =ȳ i = 1 M MX ȳ ij = 1 M j=1 ˆ2 = S 2 i = 1 Mp MX px j=1 k=1 MX j=1 apple 1 p px k=1 y ijk ȳ i 2 y ijk Míry založené na poměru S/N: "menší je lepší" (jsou-li hodnoty responzní veličiny kladné a cílová hodnota je nula): "nominální hodnota je nejlepší" (hodnoty responzní veličiny mohou být kladné i záporné):! "větší je lepší" (hodnoty responzní veličiny musejí být kladné): z i = 10 log 10 1 Mp z i = 10 log 10 ȳ 2 i S 2 i z i = 10 log 10 1 Mp MX px j=1 k=1 y 2 ijk MX px 1 y 2 j=1 k=1 ijk
15 Příklad: Při kalení oceli uvažujeme pět faktorů, které mají vliv na výslednou tvrdost, každý z těchto faktorů budeme uvažovat ve dvou úrovních: úroveň 1 úroveň 2 teplota C rychlost kalení C/s doba ochlazování s obsah uhlíku 1 6 wt% C koncentrace CO 5 20 % _ Máme zjistit, který z faktorů má největší vliv na tvrdost ocelové součástky. Použijeme tabulku L8 (2 7 ) Pro každou kombinaci provedeme 4 replikace => provedeme celkem 8x4 = 32 měření Zvolíme ktirérium "větší je lepší"...
16 Příklad: L A B C D E F G Q Q Q y S _
17 Příklad: L obsah uhlíku rychlost kalení doba chlazení koncentr. CO2 teplota T1 T2 T3 T4 Q y S _
18 Příklad: L obsah uhlíku rychlost kalení doba chlazení koncentr. CO2 teplota T1 T2 T3 T4 Q y S S1 2 = 1 X N N 1 i=1 T1i 2 2 N. T1. z 1 = 10 log 10 T 2 1. S 2 1 _
19 Příklad: L obsah uhlíku rychlost kalení doba chlazení koncentr. CO2 teplota T1 T2 T3 T4 z y S S1 2 = 1 X N N 1 i=1 T1i 2 2 N. T1. z 1 = 10 log 10 T 2 1. S 2 1 _
20 Příklad: L obsah uhlíku rychlost kalení doba chlazení koncentr. CO2 teplota T1 T2 T3 T4 z y S úroveň úroveň efekt 1.38 _
21 Příklad: L obsah uhlíku rychlost kalení doba chlazení koncentr. CO2 teplota T1 T2 T3 T4 z y S úroveň úroveň efekt _
22 Příklad: L obsah uhlíku rychlost kalení doba chlazení koncentr. CO2 teplota T1 T2 T3 T4 z y S úroveň úroveň efekt _
23 Příklad: Uvažujme příklad se čtyřmi řiditelnými faktory A,B,C,D a jedním rušivým faktorem Q, všechny o dvou úrovních. Jsou provedeny tři replikace. Použijeme tabulku L8 (2 7 ): provedeme celkem 8x2x3 = 48 měření L A B C D Q Q Q Q Q Q y S Zvolíme ktirérium "větší je lepší"... _
24 Příklad:
25 Příklad: _
26 Příklad: S/N = 17,6221-0,1028.A - 0,0696.B - 0,0420.C - 0,0845.D + ε _ koeficient determinace R 2
27 Příklad: _
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE cílová hodnota Gejza Dohnal střední hodnota cílová hodnota 1. Kolik je základních kroků při plánování experimentů? 2. Jaké jsou základní kroky při plánování
VíceDOE (Design of Experiments)
DOE - DOE () DOE je experimentální strategie, při které najednou studujeme účinky několika faktorů, prostřednictvím jejich testování na různých úrovních. Charakteristika jakosti,y je veličina, pomocí které
VíceNavrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová
Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium
VíceII. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,
VíceOptimalizace provozních podmínek. Eva Jarošová
Optimalizace provozních podmínek Eva Jarošová 1 Obsah 1. Experimenty pro optimalizaci provozních podmínek 2. EVOP klasický postup využití statistického softwaru 3. Centrální složený návrh model odezvové
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
VícePlánování experimentu
Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Autor: Ing. Radek Růčka Přednášející: Prof. Ing. Jiří Militký, CSc. 1. LEPTÁNÍ PLAZMOU 1.1 Zadání Proces
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VícePravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Regrese Závislostproměnných funkční y= f(x) regresní y= f(x)
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VícePlánované experimenty - Návrh
Plánované experimenty - Návrh Menu: QCExpert Plánované experimenty Návrh: Plný faktor, Frakc. faktor Tento modul umožňuje navrhnout dvouúrovňový vícefaktoriální ortogonální plán typu 2 n k a následně provést
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceAVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců
AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε
VíceBodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e
VíceParametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =
Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceLINEÁRNÍ MODELY. Zdeňka Veselá
LINEÁRNÍ MODELY Zdeňka Veselá vesela.zdenka@vuzv.cz Genetika kvantitativních vlastností Jednotlivé geny nejsou zjistitelné ani měřitelné Efekty většího počtu genů poskytují variabilitu, kterou lze většinou
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceANOVA. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie
UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie ANOVA Semestrální práce Licenční studium Galileo Interaktivní statistická analýza dat Brno 2015 Ing. Petra Hlaváčková, Ph.D.
Více13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách
13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceZáklady navrhování průmyslových experimentů# (Design Of Experiments)
Základy navrhování průmyslových experimentů# (Design Of Experiments) cílová hodnota Prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. střední hodnota cílová hodnota Přednáška - 13+1 lekcí, písemná zkouška 1. Úvod do plánování
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
Více5EN306 Aplikované kvantitativní metody I
5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 5 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 7 Jak hodnotit vztah spojitých proměnných
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceStanovení manganu a míry přesnosti kalibrace ( Lineární kalibrace )
Příklad č. 1 Stanovení manganu a míry přesnosti kalibrace ( Lineární kalibrace ) Zadání : Stanovení manganu ve vodách se provádí oxidací jodistanem v kyselém prostředí až na manganistan. (1) Sestrojte
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceTERMINOLOGIE ... NAMĚŘENÁ DATA. Radek Mareček PŘEDZPRACOVÁNÍ DAT. funkční skeny
PŘEDZPRACOVÁNÍ DAT Radek Mareček TERMINOLOGIE Session soubor skenů nasnímaných během jednoho běhu stimulačního paradigmatu (řádově desítky až stovky skenů) Sken jeden nasnímaný objem... Voxel elementární
VíceProblematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
Více6. Lineární regresní modely
6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceNárodní informační středisko pro podporu jakosti
Národní informační středisko pro podporu jakosti 1 ANALÝZA ROZPTYLU a její využití při vyhodnocování experimentálních dat Eva Jarošová, VŠE Praha 2 Obsah Podstata metody, jednofaktorová ANOVA F-test Mnohonásobná
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceDesign of Experiment (DOE) Petr Misák. Brno 2017
Navrhování experimentů Design of Experiment (DOE) Petr Misák Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavebního zkušebnictví Brno 2017 Úvod - Experiment jako nástroj hledání slavné vynálezy
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
VíceMATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT
8. licenční studium Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT Příklady: ) Najděte vlastní (charakteristická) čísla a vlastní
VíceMěření závislosti statistických dat
5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě
Více2.2 Kalibrace a limity její p esnosti
UNIVERZITA PARDUBICE Òkolní rok 000/001 Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie LICEN NÍ STUDIUM STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT PÌI MANAGEMENTU JAKOSTI P EDM T:. Kalibrace a limity její p
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceTestování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová
Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. Navazující magisterské studium. studijní obor "Management kvality"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky Navazující magisterské studium studijní obor "Management kvality" školní rok 2016/2017 Integrované systémy managementu A 1. Koncepce a principy integrovaných
VíceNárodní informační středisko pro podporu jakosti
Národní informační středisko pro podporu jakosti 1 Dílčí 2 k faktoriální návrhy RNDr. Jiří Michálek, CSc. 2 Poloviční 2 k faktoriální návrh 3 Obsahuje 2 k-1 pokusů (runů) Často je také nazýván 2 k-1 dílčí
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceÚloha 1: Lineární kalibrace
Úloha 1: Lineární kalibrace U pacientů s podezřením na rakovinu prostaty byl metodou GC/MS měřen obsah sarkosinu v moči. Pro kvantitativní stanovení bylo nutné změřit řadu kalibračních roztoků o různé
VíceZadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2
Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
Vícevýsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.
Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
VíceSTATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů
STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů 1) Test na velikost rozptylu Test na velikost rozptylu STATISTICA nemá. 2) Test na velikost střední hodnoty V menu Statistika zvolíme nabídku Základní
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceZáklady navrhování průmyslových experimentů DOE
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE cílová hodnota IV. Vícefaktoriální experimenty Gejza Dohnal střední hodnota cílová hodnota Příklad Příklad Matice návrhu: Příklad Pravděpodobnostní graf
VíceAnalýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Analýza rozptylu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO Brno) Analýza rozptylu 1 / 30 Analýza
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceNapěťový vektor 3d. Díky Wikipedia za obrázek. n n n
Míry napětí Napěťový vektor 3d n n2 2 n,. n n n Zatížené těleso rozdělíme myšleným řezem na dvě části. Na malou plošku v okolí materiálového bodu P působí napěťový vektor (n) (n, x, t), který je spojitou
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceKFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VícePOLYNOMICKÁ REGRESE. Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými.
POLYNOMICKÁ REGRESE Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými. y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b n x n kde b i jsou neznámé parametry,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více6. Lineární regresní modely
6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Více