2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

Transkript

1 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní tbulk v zdání neměl stejně široké řádky (použil jsem stndrdní nstvení tbulek ve Wordu), což vedlo žáky k tomu, že poslední řádek je určen n obrázky. Že pk nedávl smysl první řádek nikomu nepřišlo zdlek tk důležité. 1

2 Př. 2: Nrýsuj libovolný rovnormenný trojúhelník se zákldnou. Sestroj střed S strny. o pltí pro trojúhelníky S S? okž. Jkou roli hrje v trojúhelníku úsečk S? okž. S Zdá se, že pltí S S. Musíme to všk dokázt pomocí některé z vět o shodnosti trojúhelníků. Hledáme shodné strny úhly: S je společná strn obou trojúhelníků (je shodná sm se sebou), S = S (bod S je střed strny ), S = S (trojúhelník je rovnormenný trojúhelník se zákldnou, strny S S jsou rmen), pltí S S posle věty sss. Zdá se, že úsečk S je osou trojúhelníku. Potřebujeme dokázt, že úsečk S je kolmá n strnu. Pltí: S = S (odpovídjící si úhly ve shodných trojúhelnících), pltí S + S = 180 (úhel S je přímý). S + S = S + S = 2 S = 180 S = 90 úsečk S je kolmá n zákldnu je osou trojúhelníku. Pedgogická poznámk: Znčná část žáků bude dokzovt shodnost trojúhelníků pomocí shodnosti úhlu S S (přípdně kolmosti úsečky S n strnu ). ni jednu z těchto informcí všk nemáme ověřenou. Př. 3: Rozhodni, zd jsou prvdivé následující věty. Rozhodnutí zdůvodni. ) Kždé dv rovnormenné trojúhelníky, které se shodují v jednom rmeni zákldně jsou shodné. b) v rovnostrnné trojúhelníky, které se shodují v jedné strně, jsou shodné. c) v trojúhelníky, které se shodují ve třech úhlech, jsou shodné. d) v prvoúhlé trojúhelníky které se shodují v jedné strně jednom neprvém úhlu jsou shodné. ) Kždé dv rovnormenné trojúhelníky, které se shodují v jednom rmeni zákldně jsou shodné. 2

3 Prvd. v trojúhelníky, které se shodují v jednom rmeni, se musí shodovt v obou rmenech (rmen u rovnormenného trojúhelníku jsou shodná) trojúhelníky se shodují ve střech strnách jsou shodné podle věty sss. b) v rovnostrnné trojúhelníky, které se shodují v jedné strně, jsou shodné. Prvd. Všechny strny rovnostrnného trojúhelníku jsou shodné pokud se dv rovnostrnné trojúhelníky shodují v jedné strně, shodují se ve všech třech strnách jsou shodné podle věty sss. c) v trojúhelníky, které se shodují ve třech úhlech, jsou shodné. Neprvd. Neexistuje vět o shodnosti uuu. Shod ve třetím úhlu není žádnou novou informcí (pokud se trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, musí se kvůli součtu velikostí shodovt i ve třetím). Trojúhelníky se budou shodovt ve tvru, le nemusí být stejně velké (velikosti úhlu neurčují velikost trojúhelníku). d) v prvoúhlé trojúhelníky které se shodují v jedné strně jednom neprvém úhlu jsou shodné. Prvd. Pokud se prvoúhlé trojúhelníky shodují v neprvém úhlu, shodují se ve všech třech úhlech (druhým společným úhlem je prvý úhel) tedy i v obou úhlech přilehlých ke shodné strně trojúhelníky jsou shodné podle věty usu. Př. 4: okž, že úhlopříčky obdélníku se nvzájem půlí. Pltí tento důkz i pro rovnoběžníky? Jedn z možností, jk dokázt shodnost dvou úseček: dokázt, že jsou to odpovídjící si strny ve shodných trojúhelnících. Nkreslíme si obrázek obdélníku. Hledáme shodné úsečky úhly, využitelné n některou z vět os shodnosti. S Shodují se: strny (protější strny obdélníku), úhly (střídvé úhly, přímk protíná rovnoběžky ), úhly (střídvé úhly, přímk protíná rovnoběžky ), trojúhelník S je shodný s trojúhelníkem S jsou shodné i strny S S ( tedy bod S dělí úhlopříčku n dvě stejné poloviny), jsou shodné i strny S S ( tedy bod S dělí úhlopříčku n dvě stejné poloviny). úhlopříčky s obdélníku se půlí. V rovnoběžníku budou předchozí závěry pltit tké, pltí všechny předpokldy, které jsme v důkzu využili (shodnost strn i rovnosti úhlu oznčených obrázku α β (u 3

4 rovnoběžníku nepltí n rozdíl od obdélníku α = β, le tuto vlstnost jsme v důkzu nepoužili). Př. 5: Tond přišel domů z mtemtiky se zjímvým problémem. Nrýsovli libovolný nerovnormenný prvoúhlý trojúhelník sestrojili v něm výšku přeponu. élku krtší odvěsny přenesli n jednu ze zbývjících strn pk udělli kolmici. Získli tk trojúhelník, který byl shodný s menším trojúhelníkem, který vytvořili nrýsováním výšky. Tond si bohužel nepmtuje, n kterou ze zbývjících strn má délku přenést n jkou strnu udělt kolmici. Ze čmárnice, kterou má v sešitu to vyčíst nejde. Vyřeš jeho problém. Kolik způsoby je možné konstrukci provést? Zkreslíme situci do obrázku, volíme velký rozdíl v délce odvěsen. Velikost úhlu : 180 = 90 + α + x x = α = 90 α. Velikost úhlu : 90 = 90 α + y y = α. Z trojúhelníku je vidět, že β = 90 α = 90 α = β. okreslíme úhly do obrázku: Prohlédneme si trojúhelník (sestrojovný trojúhelník má být shodný s ním): strn hrje v trojúhelníku roli přepony leží tedy proti prvému úhlu přenesená strn bude muset ve shodném trojúhelníku ležet proti prvému úhlu. Zkusíme přenést strnu n strnu (získáme tk bod K). Prvý úhel musí ležet proti bodu K z bodu K vedeme kolmici n strnu. 4

5 K L Získáme trojúhelník KL, který je shodný s trojúhelníkem podle věty usu. Zkusíme přenést strnu n strnu (získáme tk bod M). Prvý úhel musí ležet proti bodu M z bodu M vedeme kolmici n strnu V. N M Získáme trojúhelník MN, který je shodný s trojúhelníkem podle věty usu. Shodný trojúhelník můžeme nrýsovt dvěm způsoby. Přeneseme krtší strnu n jednu ze zbývjících strn ze vzniklého bodu uděláme kolmici n třetí strnu. Př. 6: ) Nrýsuj prvoúhlý trojúhelník KLM o délce odvěsen k = 8cm l = 6cm. b) Nrýsuj prvoúhlý trojúhelník o délce přepony c = 10cm úhlu α = 37. Jsou trojúhelníky shodné? ) Nrýsuj prvoúhlý trojúhelník KLM o délce odvěsen k = 8cm l = 6cm. K L m k l M 5

6 K L M b) Nrýsuj prvoúhlý trojúhelník o délce přepony c = 10cm úhlu α = 37. c b opočteme úhel β zčneme rýsovt od strny c. opočtení chybějícího úhlu β : = 43. Jsou trojúhelníky shodné? V rámci přesnosti nšeho měření se shodné být zdjí (shodují se ve všech strnách i úhlech). Ve skutečnosti všk shodné nejsou, při přesnějším měření bychom zjistili, že úhel KLM který odpovídá úhlu α má velikosti (opět jen přibližně) odtek: Skutečnost, že trojúhelníky v předchozím příkldu shodné nejsou si žáci mohou ověřit n ppírku, kde jsou ob trojúhelníky položeny přes sebe. Shrnutí: 6