Trigonometrie trojúhelníku

Transkript

1 1 Trojúhelníky Trigonometrie trojúhelníku Vypočítejte výšku v c v trojúhelníku, je-li úhel β = 59 strn = 14 cm. (Výsledek zokrouhlete n celé centimetry.) (level 1): Je dán trojúhelník, jehož strny mjí délky 3 cm, 4 cm 4 cm. Trojúhelník je: rovnormenný rovnostrnný prvoúhlý tupoúhlý 12 cm 7 cm 10 cm 23 cm (level 2): Jk vysoko doshuje žebřík, který je dlouhý 15 m, svírá-li s vodorovnou rovinou úhel 70? (Výsledek zokrouhlete n celé metry.) 14 m 13 m 16 m 15 m (level 1): Je dán trojúhelník, jehož strny mjí délky 3 cm, 4 cm 5 cm. Trojúhelník je: prvoúhlý rovnormenný rovnostrnný tupoúhlý (level 1): Je dán trojúhelník, jehož strny mjí délky 4 cm, 4 cm 4 cm. Trojúhelník je: rovnostrnný různostrnný prvoúhlý tupoúhlý (level 2): Silnice má stoupání O kolik metrů se liší ndmořská výšk dvou míst, která jsou od sebe po silnici vzdálená 2 km? (Výsledek zokrouhlete n celé metry.) 122 m 276 m 98 m 49 m (level 2): Strom vysoký 12 metrů pozorujeme z míst, které je ve vodorovné rovině s ptou stromu. Vidíme ho pod úhlem 10. V jké vzdálenosti od pty stojíme? (Výsledek zokrouhlete n celé metry.) 68 m 2 m 12 m 48 m (level 2): (level 2): Štít střechy má tvr rovnormenného trojúhelník. Jeho šířk je 14 m, sklon střechy je 31. Jká je výšk štítu v metrech? (Výsledek zokrouhlete n jedno desetinné místo.) 4,2 m 5,9 m 3,6 m 11,2 m (level 2): Sluneční pprsky dopdjí n silnici pod úhlem Určete, jk vysoký je sloup, který vrhá n silnici stín dlouhý 4,5 m. (Výsledek zokrouhlete n celé metry.) 6 m 3 m 4 m 5 m (level 2): N těleso působí v jednom bodě dvě síly: síl F 1 o velikosti 760 N působí ve vodorovném směru (zlev doprv) síl F 2 o velikosti 28,8 N působí ve směru svislém (shor dolů). Těleso se vlivem těchto dvou sil dá do pohybu. Určete odchylku trjektorie těles od vodorovného směru. (Výsledek zokrouhlete n celé stupně minuty.) (level 2): Je dán prvoúhlý trojúhelník (viz obrázek). Vyberte správné vyjádření hodnoty goniometrické funkce ostrého úhlu pomocí poměru délek strn. b β c 1

2 cos β = c cos β = b c tg = b sin = c Určete obsh rovnormenného trojúhelníku se zákldnou délky 4 cm vnitřním úhlem (level 2): Je dán prvoúhlý trojúhelník (viz obrázek). Vyberte správné vyjádření hodnoty goniometrické funkce ostrého úhlu pomocí poměru délek strn. tg = c b c sin = c cos = b cotg = b cm2 4 3 cm cm (level 2): Je dán rovnormenný trojúhelník, ve kterém = 120. Určete (level 2): Je dán prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem při vrcholu výškou v (viz obrázek). Vyberte správné vyjádření hodnoty goniometrické funkce ostrého úhlu. b v β c (level 2): Je dán rovnormenný trojúhelník, ve kterém = 40. od X je pt kolmice vedené z bodu n zákldnu c. Určete X. sin = v b sin = v c sin = v sin = c (level 2): Je dán prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem při vrcholu výškou v (viz obrázek). Vyberte správné vyjádření hodnoty goniometrické funkce ostrého úhlu. b v β c (level 3): V jkém zorném úhlu se jeví pozorovteli tyč dlouhá 3 m, je-li od jednoho jejího konce vzdálen 20 m od druhého konce 18 m? Výsledek zokrouhlete n celé stupně. sin β = v tg β = v cos β = v tg β = v (level 2): 2

3 (level 3): V jednom bodě působí síly F 1 F 2 o velikostech 8 N 10 N svírjí spolu úhel 55. Vypočítejte velikost síly F 3, která působí ve stejném bodě svými účinky ruší působení sil F 1 F m 16 N 15 N 17 N 18 N (level 3): V jednom bodě působí síly F 1 F 2 o velikostech 8 N 10 N svírjí spolu úhel 55. Ve stejném bodě působí síl F 3, která svými účinky ruší působení sil F 1 F 2. Určete úhel, který spolu svírá F 3 F 1. Výsledek zokrouhlete n celé stupně (level 3): Dvě přímé cesty vycházejí z rozcestníku R svírjí úhel N jedné z těchto cest ve vzdálenosti 250 m od rozcestníku R je místo, n druhé ve vzdálenosti 380 m od rozcestníku R je místo. Vypočítejte vzdálenost míst (tzn. délku úsečky ). Výsledek zokrouhlete n celé metry. 301 m 411 m 568 m 629 m (level 3): V prku jsou tři informční tbule,. Přímá vzdálenost tbulí je 150 m. Od tbule vidíme tbule pod úhlem = 55 od tbule vidíme tbule pod úhlem = 39. Jká je přímá vzdálenost tbulí? Výsledky zokrouhlete n celé metry. 183 m 147 m 195 m 218 m 19,3 m 18,2 m 18,9 m 19,5 m (level 3): Jký je úhel dopdu pprsku, který projde bodem po odrzu od zrcdl projde bodem? od je ve vzdálenosti 20 cm od zrcdl bod ve vzdálenosti 50 cm od zrcdl. Vzdálenost = 70 cm. (Pozn.: úhel dopdu pprsku je úhel mezi kolmicí dopdu dopdjícím pprskem.) Výsledek zokrouhlete n celé stupně (level 3): Určete výšku rozhledny, kterou pozorujeme ze dvou míst. Pt rozhledny P body tvoří vrcholy trojúhelníku P, = 65 m, P = 71, P = 34. Vrchol rozhledny je vidět z míst pod výškovým úhlem ody, P leží ve stejné ndmořské výšce. Výsledek zokrouhlete n celé metry. 32 m 30 m 35 m 38 m (level 3): Horkovzdušný blón tvru koule má střed ve výšce 500 m nd zemí. Pozorujeme ho z míst n zemi, z něhož ho vidíme v zorném úhlu Z míst pozorování má střed blónu výškový úhel Vypočítejte průměr blónu v metrech. Výsledek zokrouhlete n jedno desetinné místo (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu se sklonem. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G síl tření F t. Tíhovou sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá. Pro velikost třecí síly pltí F t = ff n, kde f je součinitel smykového tření. Zvětšíme-li úhel, pk: 3

4 Pro F p pltí: F t F p F t se zvětší F 1 F t se zmenší. se zmenší F 1 i F t. se zvětší F 1 F t se nezmění. se zmenší F 1 F t se nezmění. se zvětší F 1 i F t. se zmenší F 1 F t se zvětší. F p = F G cos F p = F G cos F p = F G tg F p = F G tg F p = F G sin F p = F G sin (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu se sklonem. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G. Tuto sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1 F n, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá. Pro F 1 pltí: (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu se sklonem. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G. Tuto sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1 F n, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá. Je-li F 1 = 20 N F n = 55 N, pk pro úhel pltí: F 1 = F G sin F 1 = F G sin F 1 = F G tg = 20 = 21 = 69 = 70 = 30 = 29 F 1 = F G tg F 1 = F G cos F 1 = F G cos (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu se sklonem. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G, síl od podložky F p síl tření F t. Tíhovou sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1 F n, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu se sklonem = 45. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G, síl od podložky F p síl tření F t. Tíhovou sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1 F n, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá. Pro velikost třecí síly pltí F t = ff n. Součinitel smykového tření f = 0,5. Tíhové zrychlení g = 10 m s 2. 4

5 Kvádr se bude pohybovt po nkloněné rovině se zrychlením o velikosti: F p F t (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu o délce l = 2 m výšce h = 1,2 m. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G, síl od podložky F p síl tření F t. Tíhovou sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1 F n, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá. Pro velikost třecí síly pltí F t = ff n, kde f je součinitel smykového tření. Tíhové zrychlení g = 10 m s 2. Jk velký musí být součinitel smykového tření f, by se kvádr nepohybovl zrychleně? Musel by být lespoň: F p = m s 2 = 5 2 m s 2 = 5 3 m s 2 l F t h = 0 m s 2 = 5 m s 2 = m s (level 3): Kvádr položíme n nkloněnou rovinu se sklonem. V tíhovém poli Země n něj bude působit tíhová síl F G, síl od podložky F p síl tření F t. Tíhovou sílu můžeme nhrdit jejími složkmi F 1 F n, kde F 1 má směr rovnoběžný s nkloněnou rovinou F n je n ní kolmá. Pro velikost třecí síly pltí F t = ff n. Součinitel smykového tření f = 0,47. Tíhové zrychlení g = 10 m s 2. Při jkém úhlu se může kvádr po nkloněné rovině pohybovt rovnoměrně? F p f = 0,75 f = 0,6 f = 0,65 f = 0,7 f = 0,55 f = 0, (level 3): Když držíme ve vzdálenosti 35 cm před obličejem tužku (ve svislé poloze) díváme se střídvě prvým levým okem, zjistíme, že při pohledu prvým okem se tužk kryje s levou hrnou dveří při pohledu levým okem se kryje s prvou hrnou dveří. V jké vzdálenosti před dveřmi stojíme, je-li vzdálenost mezi očim (zornicemi) 6 cm dveře mjí stndrdizovnou šířku 85 cm? Výsledek zokrouhlete n desetiny metru. F t = 25 = 15 = 20 = 65 = 28 = 62 5

6 (Nápověd: Tíhová síl těles n nkloněné rovině se rozloží n dvě nvzájem kolmé složky. Při posunu těles po nkloněné rovině musíme překont složku F 2 (viz obrázek).) F 2 F 1 F g 3 2 m 2 3 m 1 6 m 20 9 m 5,3 m 5 m 0,5 m 4,5 m (level 3): Stožár vysílče je ukotven několik lny. Kždé z kotvících ln má délku 30 m je upevněno 2 m pod vrcholem vysílče. Druhý konec ln je upevněn n zemi v neznámé vzdálenosti od vysílče. Jk vysoký je vysílč, víme-li, že ve vzdálenosti 8 m od ukotvení ln n zemi je toto lno ve výšce 6 m. 2m (level 3): N obrázku je zkresleno zobrzení předmětu pomocí tenké rozptylné čočky. ody F F jsou tzv. ohnisk čočky. Vzdálenost ohnisk od čočky je tzv. ohnisková vzdálenost f. Předmět o velikosti 25 cm (y) vzdálený 50 cm () od čočky zobrzíme čočkou, jejíž ohnisková vzdálenost f je 20 cm. Jká bude velikost y vytvořeného obrzu? (Poznámk: Ve fyzice oznčujeme ohniskové vzdálenosti rozptylných čoček záporným číslem.) y F y F??? 30m 50 7 cm 10 cm 50 3 cm cm 6m 20 m 24 m 22,5 m 24,5 m (level 3): Mximální síl, kterou jsem schopen vyvinout je 600 N. Jkou nejmenší délku musí mít nkloněná rovin, bych pomocí ní dokázl těleso o tíze N zvednout do výšky 50 cm? Tření mezi posouvným tělesem nkloněnou rovinou znedbáváme. 8m (level 3): Jk vysoký je strom, jestliže vrhá stín dlouhý 35 m? Ve stejnou dobu vrhá 180 cm vysoká postv stín o délce 200 cm m m 72 7 m m (level 3): N vlákno zvěsíme těleso o tíze 20 N (F g ) tkto vzniklé kyvdlo vychýlíme. Vychýlením kyvdl se zvýší poloh těles nd podložkou o 10 cm (h). V této poloze je vlákno npínáno 6

7 silou 12 N (F 1 ). Určete délku vlákn (l). (Nápověd: Tíh zvěšeného těles se rozloží n síly F 1 F 2 (složky tíhové síly). Síl F 1 způsobuje npínání vlákn F 2 vrcí kyvdlo do svislé polohy. Rozkld sil se provádí pomocí tzv. rovnoběžníku sil.) 270 N? (Nápověd: Tíh zvěšeného těles se rozloží n dvě složky. Síl F 1 má chrkter thové síly n část nosníku, složk F 2 má chrkter tlkové síly n část nosníku - viz obrázek.) F 1 l h F 2 F 2 G F 1 F g 25 cm 25 m 6 cm cm (level 3): N obrázku je zkresleno zobrzení předmětu y pomocí tenké spojné čočky. ody F F jsou tzv. ohnisk čočky. Vzdálenost ohnisk od čočky je tzv. ohnisková vzdálenost f. Předmět umístíme ve vzdálenosti = 60 cm od čočky s ohniskovou vzdálenosti f = 20 cm. Určete v jké vzdálenosti od čočky se vytvoří obrz y. 360 N 450 N 540 N 162 N 2 Mnohoúhelníky (level 2): Železniční násep má průřez tvru rovnormenného lichoběžník, jehož zákldny mjí délky 12 m 8 m, výšk náspu je 3 m. Vypočítejte úhel sklonu náspu. (Výsledek zokrouhlete n celé stupně minuty.) y F F l l y cm 600 cm 20 3 cm 25 cm (level 2): Prvoúhlý lichoběžník má výšku 4 cm jeho delší zákldn délky 7 cm svírá s rmenem úhel 52. Vypočítejte obvod lichoběžníku. (Výsledek zokrouhlete n celé centimetry.) (level 3): Nosník má tvr prvoúhlého trojúhelníku (viz obrázek) s odvěsnou o délce 30 cm přeponou o délce 50 cm. Jkou mximální tíhu G může mít břemeno zvěšené v bodě, jestliže mximální povolená thová síl F 1 n trám je 20 cm 18 cm 19 cm 21 cm 7

8 (level 2): V obdélníku D pltí: = 6 cm, = 2 3 cm. Určete velikost. D 19,31 cm 2 3,31 cm 2 20,88 cm (level 2): Je dán obdélník D bod E, který je středem strny D. ED = 30. Určete E. D E (level 2): V obdélníku D pltí: = 6 cm, = 2 3 cm. S je průsečík úhlopříček obdélníku. Určete velikost S. D S (level 2): Je dán obdélník D bod S, který je průsečíkem úhlopříček D. S = 60. Určete S. D S (level 2): Obsh kosodélníku se strnmi o velikostech 5 cm 4 cm je S = 10 2 cm 2. Určete odchylku jeho sousedních strn (level 2): Určete obsh prvidelného osmiúhelníku o obvodu 16 cm (výsledek je zokrouhlen n 2 desetinná míst) (level 2): Je dán čtverec D bod E, který leží n strně. N strně D zvolíme bod F tk, by trojúhelník EF byl rovnormenný trojúhelník se zákldnou EF. Určete EF víte-li, že E = 20. D F 20 E

9 (level 2): Je dán obdélník D body E, F, G H, které jsou po řdě středy strn,, D D. Určete EF G, jestliže EH = 25. D G (level 2): Určete počet úhlopříček prvidelného mnohoúhelníku, jehož středový úhel má velikost 24. H F E (level 2): Je dán prvidelný šestiúhelník DEF se středem S bod G, který je středem strny DE. Určete SG. E G D (level 2): Určete počet vrcholů prvidelného mnohoúhelníku, který má 27 úhlopříček (level 2): Určete velikost vnitřního úhlu prvidelného pětiúhelníku. F S (level 2): Určete počet úhlopříček v prvidelném desetiúhelníku (level 2): Určete počet vrcholů prvidelného mnohoúhelníku, jestliže jeho vnitřní úhel má velikost (level 2): Určete počet vrcholů prvidelného mnohoúhelníku, jehož středový úhel má velikost (level 2): Určete velikost vnitřního úhlu prvidelného mnohoúhelníku, jestliže jeho středový úhel má velikost 40. 9

10 možné, určete skutečnou plochu vodní hldiny. V opčném přípdě volte poslední nbídnutou odpověď m m (level 2): Určete počet vrcholů prvidelného mnohoúhelníku, který má 3 krát více úhlopříček než strn (level 2): Určete velikost středového úhlu prvidelného mnohoúhelníku, který má 2,5 krát více úhlopříček než strn m 2 Z dných údjů není možné zjistit plochu vodní hldiny. 3 Kružnice kruh (level 2): Tětiv v kružnici o poloměru 30 cm má délku 40 cm. Vypočítejte velikost středového úhlu příslušného této tětivě. (Výsledek zokrouhlete n celé stupně minuty.) (level 2): Vyberte vzth, který pltí pro poloměr r kružnice k opsné prvoúhlému trojúhelníku. k (level 2): Určete velikost vnitřního úhlu prvidelného mnohoúhelníku, který má 4,5 krát méně strn než úhlopříček. β (level 3): V ktstrální mpě v měřítku 1: má pozemek tvr obdélníku, jehož strny měří 3 cm 5 cm. Mjitel dokoupil část pozemku od svého soused obdélníková prcel tk má nyní v mpě rozměry 4 cm x 5 cm. O kolik metrů se prodloužil délk plotu kolem celé prcely? o 40 m o 20 m o 80 m o 10 m (level 3): N leteckém snímku přehrdy jsou dv hotely n protilehlých březích ve vzdálenosti 4 cm. Jejich skutečná vzdálenost je 400 m. Vodní hldin n fotce má plochu 30 cm 2. Je-li to 2 sin 2 sin sin 2 sin (level 2): Vyberte vzth, který pltí pro poloměr r kružnice opsné prvidelnému pětiúhelníku s délkou strny. 2 cos 54 2 cos 72 2 cos 54 2 cos 72 10

11 (level 2): Vyberte vzth, který pltí pro poloměr ρ kružnice vepsné prvidelnému pětiúhelníku s délkou strny. ρ = 2 tg 54 ρ = 2 ρ = tg 54 2 tg 54 ρ = 2 tg (level 2): Vyberte vzth, který pltí pro poloměr ρ kružnice vepsné prvidelnému šestiúhelníku s délkou strny. ρ = 2 tg 30 ρ = 2 tg 30 ρ = 2 tg 30 ρ = 2 tg (level 2): Určete poloměr kružnice opsné prvidelnému osmiúhelníku o obvodu 16 cm (výsledek je zokrouhlen n 2 desetinná míst). 2,61 cm 1,08 cm 1,41 cm (level 3): Vypočítejte délku strny c v trojúhelníku, je-li úhel = 100 úhel β = 50. Poloměr kružnice opsné trojúhelníku je 11 cm. 11 cm 8 cm 9 cm 10 cm (level 3): Určete poloměr kružnice opsné trojúhelníku, je-li strn b = 17 cm úhel β = 58. Výsledek zokrouhlete n celé centimetry. 10 cm 8 cm 9 cm 11 cm 11